Дослідження функції онлайн калькулятор. Дослідження функції методами диференціального обчислення

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

РЕФЕРАТ

«Повне дослідження функції та побудова її графіка».

ВСТУП

Вивчення властивостей функції та побудова її графіка є одним із найчудовіших додатків похідної. Цей метод дослідження функції неодноразово піддавався ретельному аналізу. Основна причина полягає в тому, що в додатках математики доводилося мати справу з більш складними функціями, що з'являються при вивченні нових явищ. З'явилися винятки з розроблених математикою правил, з'явилися випадки, коли взагалі створені правила не годилися, з'явилися функції, що не мають жодної точки похідної.

Метою вивчення курсу алгебри і започаткування аналізу в 10-11 класах є систематичне вивчення функцій, розкриття прикладного значення загальних методів математики, пов'язаних з дослідженням функцій.

Розвиток функціональних уявлень в курсі вивчення алгебри і почав аналізу на старшому ступені навчання допомагає старшокласникам отримати наочні уявлення про безперервність і розриви функцій, дізнатися про безперервність будь-якої елементарної функції в галузі її застосування, навчитися будувати їх графіки та узагальнити відомості про основні елементарні функції та усвідомити участь у вивченні явищ реальної дійсності, у людській практикі.

Зростання та зменшення функції

Вирішення різних завдань з галузі математики, фізики і техніки призводить до встановлення функціональної залежності між змінними величинами, що беруть участь у даному явищі.

Якщо таку функціональну залежність можна висловити аналітично, тобто як однієї чи кількох формул, то з'являється можливість досліджувати її засобами математичного аналізу.

Мається на увазі можливість з'ясування поведінки функції при зміні тієї чи іншої змінної величини (де функція зростає, де зменшується, де досягає максимуму і т.д.).

Застосування диференціального обчислення до дослідження функції спирається на простий зв'язок, що існує між поведінкою функції та властивостями її похідної, насамперед її першої та другої похідної.

Розглянемо, як можна знаходити інтервали зростання або зменшення функції, тобто інтервали її монотонності. Виходячи з визначення монотонно спадної та зростаючої функції, можна сформулювати теореми, що дозволяють пов'язати значення першої похідної цієї функції з характером її монотонності.

Теорема 1.1. Якщо функція y = f ( x ) , що диференціюється на інтервалі( a , b ) , монотонно зростає на цьому інтервалі, то в будь-якій його точці
( x ) >0; якщо вона монотонно зменшується, то в будь-якій точці інтервалу ( x )<0.

Доведення. Нехай функціяy = f ( x ) монотонно зростає на( a , b ) , значить, для будь-якого досить малого > 0 виконується нерівність:

f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Рис. 1.1).

Мал. 1.1

Розглянемо межу

.

Якщо > 0, то > 0, якщо< 0, то

< 0.

В обох випадках вираз під знаком межі позитивний, отже, і межа позитивна, тобто ( x )>0 , що й потрібно було довести. Аналогічно доводиться і друга частина теореми, пов'язана з монотонним зменшенням функції.

Теорема 1.2. Якщо функція y = f ( x ) , безперервна на відрізку[ a , b ] і диференційована у всіх його внутрішніх точках, і, крім того, ( x ) >0 для будь-кого x ϵ ( a , b ) , то дана функція монотонно зростає на( a , b ) ; якщо

( x ) <0 для будь-кого xϵ ( a , b ), то дана функція монотонно зменшується на( a , b ) .

Доведення. Візьмемо ϵ ( a , b ) і ϵ ( a , b ) , причому< . За теоремою Лагранжа

( c ) = .

Але ( c )>0 і > 0, отже, ( > 0, тобто

(. Отриманий результат свідчить про монотонне зростання функції, як і вимагалося довести. Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Екстремуми функції

При дослідженні поведінки функції особливу роль відіграють точки, які відокремлюють один від одного інтервали монотонного зростання інтервалів її монотонного зменшення.

Визначення 2.1. Крапка називається точкою максимуму функції

y = f ( x ) , якщо для будь-кого, скільки завгодно малого , ( < 0 , а точка називається точкою мінімуму, якщо ( > 0.

Точки мінімуму та максимуму мають загальну назву точок екстремуму. У шматково-монотонної функції таких точок кінцеве число на кінцевому інтервалі (рис. 2.1).

Мал. 2.1

Теорема 2.1 (необхідна умова існування екстремуму). Якщо диференційована на інтервалі( a , b ) функція має у точці з цього інтервалу максимум, її похідна в цій точці дорівнює нулю. Те ж саме можна сказати і про точку мінімуму .

Доказ цієї теореми випливає з теореми Роля, в якій було показано, що в точках мінімуму чи максимуму = 0 і дотична, проведена до графіка функції в цих точках, паралельна осіOX .

З теореми 2.1 випливає, що якщо функціяy = f ( x ) має похідну у всіх точках, вона може досягати екстремуму в тих точках, де = 0.

Однак ця умова не є достатньою, оскільки існують функції, у яких зазначена умова виконується, але екстремуму немає. Наприклад, у функціїy= у точці x = 0 похідна дорівнює нулю, проте екстремуму в цій точці немає. Крім того, екстремум може бути у тих точках, де похідна не існує. Наприклад, у функціїy = | x | є мінімум у точціx = 0 хоча похідна в цій точці не існує.

Визначення 2.2. Точки, в яких похідна функції перетворюється на нуль або терпить розрив, називаються критичними точками цієї функції.

Отже, теореми 2.1 недостатньо визначення екстремальних точок.

Теорема 2.2 (достатня умова існування екстремуму). Нехай функція y = f ( x ) безперервна на інтервалі( a , b ) , який містить її критичну точку , і диференційована у всіх точках цього інтервалу, за винятком, можливо, самої точки . Тоді, якщо при переході цієї точки ліворуч праворуч знак похідної змінюється з плюсу на мінус, то це точка максимуму, і, навпаки, з мінуса на плюс – точка мінімуму.

Доведення. Якщо похідна функції змінює свій знак під час переходу точки зліва направо з плюсу на мінус, то функція переходить від зростання до спадання, тобто досягає в точці свого максимуму та навпаки.

З вищесказаного випливає схема дослідження функції на екстремум:

1) знаходять область визначення функції;

2) обчислюють похідну;

3) знаходять критичні точки;

4) щодо зміни знака першої похідної визначають їх характер.

Не слід плутати завдання дослідження функції на екстремум із завданням визначення мінімального та максимального значення функції на відрізку. У другий випадок необхідно знайти як екстремальні точки на відрізку, а й порівняти їх із значенням функції з його кінцях.

Інтервали опуклості та увігнутості функції

Ще однією характеристикою графіка функції, яку можна визначати за допомогою похідної, є його опуклість чи увігнутість.

Визначення 3.1. Функція y = f ( x ) називається опуклою на проміжку( a , b ) , якщо її графік розташований нижче будь-якої дотичної, проведеної до нього на даному проміжку, і навпаки, називається увігнутою, якщо її графік виявиться вищим за будь-яку дотичну, проведену до нього на даному проміжку.

Доведемо теорему, що дозволяє визначати інтервали опуклості та увігнутості функції.

Теорема 3.1. Якщо у всіх точках інтервалу( a , b ) друга похідна функції ( x ) безперервна і негативна, то функціяy = f ( x ) випукла і навпаки, якщо друга похідна безперервна і позитивна, то функція увігнута.

Доказ проведемо для інтервалу опуклості функції. Візьмемо довільну точкуϵ ( a , b ) і проведемо у цій точці дотичну до графіка функціїy = f ( x ) (Рис. 3.1).

Теорема буде доведена, якщо буде показано, що всі точки кривої на проміжку( a , b ) лежать під цією дотичною. Інакше кажучи, необхідно довести, що для тих самих значеньx ординати кривоїy = f ( x ) менше, ніж ординати дотичної, проведеної до неї в точці .

Мал. 3.1

Для визначеності позначимо рівняння кривої: = f ( x ) а рівняння дотичної до неї в точці :

- f ( ) = ( )( x - )

або

= f ( ) + ( )( x - ) .

Складемо різницюі :

- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).

Застосуємо до різниціf ( x ) – f ( ) теорему про середнє Лагранжа:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

де ϵ ( , x ).

Застосуємо тепер теорему Лагранжа до вираження у квадратних дужках:

- = ( )( - )( x - ) , де ϵ ( , ).

Як видно з малюнка,x > тоді x - > 0 і - > 0 . Крім того, за умовою теореми, ( )<0.

Перемножуючи ці три множники, отримаємо, що , що й потрібно було довести.

Визначення 3.2. Крапка, що відокремлює інтервал опуклості від інтервалу увігнутості, називається точкою перегину.

З визначення 3.1 випливає, що в даній точці дотична перетинає криву, тобто з одного боку крива розташована нижче за дотичну, а з іншого – вище.

Теорема 3.2. Якщо у точці друга похідна функції

y = f ( x ) дорівнює нулю чи не існує, а при переході через точку знак другої похідної змінюється на протилежний, то ця точка є точкою перегину.

Доказ цієї теореми випливає з того, що знаки ( x ) по різні боки від точки різні. Отже, з одного боку від точки функція опукла, з другого – увігнута. У цьому випадку, згідно з визначенням 3.2, точка є точкою перегину.

Дослідження функції на опуклість та увігнутість проводиться за тією ж схемою, що й дослідження на екстремум.

4. Асимптоти функції

У попередніх пунктах було розглянуто методи дослідження поведінки функції за допомогою похідної. Однак серед питань, що стосуються повного дослідження функції, є такі, які з похідною не пов'язані.

Так, наприклад, необхідно знати, як поводиться функція при нескінченному видаленні точки її графіка від початку координат. Така проблема може виникнути у двох випадках: коли аргумент функції йде на нескінченність і коли при розриві другого роду в кінцевій точці йде на нескінченність сама функція. В обох випадках може виникнути ситуація, коли функція буде прагнути до деякої прямої, званої її асимптотою.

Визначення. Асимптотою графіка функціїy = f ( x ) називається пряма лінія, що володіє тим властивістю, що відстань від графіка до цієї прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Розрізняють два типи асимптот: вертикальні та похилі.

До вертикальних асимптотів належать прямі лінії.x = , які мають тим властивістю, що графік функції у тому околиці йде на нескінченність, тобто, виконується умова: .

Очевидно, що тут задовольняється вимога зазначеного визначення: відстань від кривої графіки до прямоїx = прагне нуля, а сама крива у своїй йде на нескінченність. Отже, у точках розриву другого роду функції мають вертикальні асимптоти, наприклад,y= у точці x = 0 . Отже, визначення вертикальних асимптот функції збігається зі знаходженням точок розриву другого роду.

Похилі асимптоти описуються загальним рівнянням прямої лінії на площині, тобтоy = kx + b . Отже, на відміну вертикальних асимптот, тут необхідно визначити числаk і b .

Отже, нехай крива = f ( x ) має похилий асимптоту, тобто приx точки кривої як завгодно близько підходять до прямої = kx + b (Рис. 4.1). Нехай M ( x , y ) - Точка, розташована на кривій. Її відстань від асимптоти характеризуватиметься довжиною перпендикуляра| MN | .

Для повного дослідження функції та побудови її графіка рекомендується наступна схема:
А) знайти область визначення точки розриву; дослідити поведінку функції поблизу точок розриву (знайти межі функції ліворуч і праворуч у цих точках). Вказати вертикальні асимптоти.
Б) визначити парність чи непарність функції та зробити висновок про наявність симетрії. Якщо , то функція парна, симетрична щодо осі OY; при функція непарна, симетрична щодо початку координат; а якщо – функція загального вигляду.
В) знайти точки перетину функції з осями координат OY та OX (якщо це можливо), визначити інтервали знаковості функції. Межі інтервалів знакостійності функції визначаються точками, в яких функція дорівнює нулю (нулі функції) або не існує межами області визначення цієї функції. В інтервалах, де графік функції розташований над віссю OX, де – під цією віссю.
Г) знайти першу похідну функції, визначити її нулі та інтервали знакопостійності. В інтервалах, де функція зростає, а де зменшується. Зробити висновок про наявність екстремумів (точок, де функція та похідна існують і при переході через які змінює знак. Якщо змінює знак із плюсу на мінус, то в цій точці функція має максимум, а якщо з мінуса на плюс, то мінімум). Знайти значення функції у точках екстремумів.
Д) знайти другу похідну, її нулі та інтервали знаковості. В інтервалах, де< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Е) знайти похилі (горизонтальні) асимптоти, рівняння яких мають вигляд ; де
.
При графік функції матиме дві похилі асимптоти, причому кожному значенню x при можуть відповідати і два значення b.
Ж) знайти додаткові точки для уточнення графіка (якщо є необхідність) і побудувати графік.

Приклад 1 Дослідити функцію та побудувати її графік. Рішення: А) область визначення ; функція безперервна у сфері визначення; - Точка розриву, т.к. ;. Тоді – вертикальна асимптота.
Б)
тобто. y(x) - функція загального виду.
В) Знаходимо точки перетину графіка з віссю OY: думаємо x = 0; тоді y(0)=-1, тобто. графік функції перетинає вісь у точці (0; -1). Нулі функції (точки перетину графіка з віссю OX): гадаємо y=0; тоді
.
Дискримінант квадратного рівняння менший за нуль, значить нулів не існує. Тоді межею інтервалів знаковості є точка x=1, де функція немає.
Знак функції у кожному з інтервалів визначаємо методом приватних значень:

Зі схеми видно, що в інтервалі графік функції розташований під віссю OX, а в інтервалі над віссю OX.
Г) З'ясовуємо наявність критичних точок.
.
Критичні точки (де або немає) знаходимо з рівностей і .

Отримуємо: x1=1, x2=0, x3=2. Складемо допоміжну таблицю

Таблиця 1

(У першому рядку записуються критичні точки та інтервали, на які ділять ці точки вісь OX; у другому рядку вказуються значення похідної у критичних точках та знаки на інтервалах. Знаки визначаються методом приватних значень. У третьому рядку вказуються значення функції y(x) у критичних точках і показується поведінка функції – зростання чи спадання на відповідних інтервалах числової осі.Додатково позначається наявність мінімуму чи максимуму.
Д) Знаходимо інтервали опуклості та увігнутості фукнції.
; будуємо таблицю як у пункті Р); лише у другому рядку записуємо знаки , а третьому вказуємо вид опуклості. Т.к. ; то критична точка одна x = 1.
Таблиця 2

Точка x=1 є точкою перегину.
Е) Знаходимо похилі та горизонтальні асимптоти

Тоді y = x - похила асимптота.
Ж) За отриманими даними будуємо графік функції

Приклад2 Провести повне дослідження функції та побудувати її графік. Рішення.

1). Область визначення функції.
Очевидно, що ця функція визначена по всій числовій прямій, крім точок "" і "", т.к. у цих точках знаменник дорівнює нулю і, отже, функція немає, а прямі і – вертикальні асимптоти.

2). Поведінка функції при прагненні аргументу до нескінченності, існування точок розриву та перевірка наявності похилих асимптотів.
Перевіримо спочатку як поводиться функція при наближенні до нескінченності вліво та вправо.

Отже, при функція прагне 1, тобто. - Горизонтальна асимптота.
В околиці точок розриву поведінка функції визначається так:


Тобто. при наближенні до точок розриву зліва функція нескінченно зменшується, праворуч – нескінченно зростає.
Наявність похилої асимптоти визначимо, розглянувши рівність:

Похилих асимптот немає.

3). Точки перетину з осями координат.
Тут необхідно розглянути дві ситуації: знайти точку перетину з віссю Ох та з віссю Оу. Ознакою перетину з віссю Ох є нульове значення функції, тобто. необхідно вирішити рівняння:

Це рівняння немає коренів, отже, точок перетину з віссю Ох графіка даної функції немає.
Ознакою перетину з віссю Оу є значення х = 0. При цьому
,
тобто. - Точка перетину графіка функції з віссю Оу.

4).Визначення точок екстремуму та проміжків зростання та спадання.
Для дослідження цього питання визначимо першу похідну:
.
Прирівняємо до нуля значення першої похідної.
.
Дроб дорівнює нулю, коли дорівнює нулю її чисельник, тобто. .
Визначимо проміжки зростання та зменшення функції.

Т.ч., функція має одну точку екстремуму і у двох точках не існує.
Таким чином, функція зростає на проміжках і убуває на проміжках і .

5). Точки перегину та ділянки опуклості та увігнутості.
Ця характеристика поведінки функції визначається за допомогою другої похідної. Визначимо спочатку наявність точок перегину. Друга похідна функції дорівнює

При функцію увігнута;

при функція опукла.

6). Побудова графіка функції.
Використовуючи в пунктах знайдені величини, схематично побудуємо графік функції:

Приклад3 Дослідити функцію та побудувати її графік.

Рішення
Ця функція є неперіодичною функцією загального виду. Її графік проходить через початок координат, оскільки .
Областью визначення заданої функції є значення змінної , крім і , у яких знаменник дробу перетворюється на нуль.
Отже, точки є точками розриву функції.
Так як ,

Так як ,
точка є точкою розриву другого роду.
Прямі та є вертикальними асимптотами графіка функції.
Рівняння похилих асимптот , де , .
При ,
.
Таким чином, при і графік функції має одну асимптоту .
Знайдемо інтервали зростання та зменшення функції та точки екстремумів.
.
Перша похідна функції при і, отже, при функція і зростає.
При , отже, при , функція зменшується.
немає при , .
, отже, при графік функції увігнутий.
При , отже, при графік функції опуклий.

Під час переходу через точки , , змінює знак. При , функція не визначена, отже графік функції має одну точку перегину .
Побудуємо графік функції.

Дослідження функції проводиться за чіткою схемою і вимагає від студента твердих знань основних математичних понять, таких як область визначення та значень, безперервність функції, асимптота, точки екстремуму, парність, періодичність тощо. Студент повинен вільно диференціювати функції та вирішувати рівняння, які часом бувають дуже хитромудрими.

Тобто це завдання перевіряє суттєвий пласт знань, будь-яка прогалина в яких стане перешкодою для отримання правильного рішення. Особливо часто складно виникають з побудовою графіків функцій. Ця помилка відразу впадає у вічі викладачеві і може дуже сильно зіпсувати вашу оцінку, навіть якщо все інше було зроблено правильно. Тут ви можете знайти завдання на дослідження функції онлайн: вивчити приклади, скачати рішення, замовити завдання

Дослідити функцію та побудувати графік: приклади та рішення онлайн

Ми приготували для вас безліч готових досліджень функцій, як платних в решільнику, так і безкоштовних розділ Приклади досліджень функцій. На основі цих вирішених завдань ви зможете детально ознайомитись з методикою виконання подібних завдань, за аналогією виконати своє дослідження.

Ми пропонуємо готові приклади повного дослідження та побудови графіка функції найпоширеніших типів: багаточленів, дробово-раціональних, ірраціональних, експоненціальних, логарифмічних, тригонометричних функцій. До кожної вирішеної задачі додається готовий графік із виділеними ключовими точками, асимптотами, максимумами та мінімумами, рішення ведеться за алгоритмом дослідження функції .

Рішені приклади, в будь-якому випадку, стануть для вас гарною підмогою, оскільки охоплюють найпопулярніші типи функцій. Ми пропонуємо вам сотні вже вирішених завдань, але, як відомо, математичних функцій на світі - нескінченна кількість, а викладачі - великі художники вигадувати для бідних студентів все нові й нові хитромудрі завдання. Тож, дорогі студенти, кваліфікована допомога вам не завадить.

Вирішення завдань на дослідження функції на замовлення

На цей випадок наші партнери запропонують вам іншу послугу - повне дослідження функції онлайнна замовлення. Завдання буде виконане для вас з дотриманням усіх вимог до алгоритму вирішення подібних завдань, що дуже потішить вашого викладача.

Ми зробимо вам повне дослідження функції: знайдемо область визначення і область значень, досліджуємо на безперервність і розривність, встановимо парність, перевіримо вашу функцію на періодичність, знайдемо точки перетину з осями координат. Ну і, звичайно ж, далі за допомогою диференціального обчислення: знайдемо асимптоти, обчислимо екстремуми, точки перегину, збудуємо сам графік.

Побудова графіка функції за особливими точками включає дослідження самої функції: визначення області допустимих значень аргументу, визначення області зміни функції, визначення парності або непарності функції, визначення точок розриву функції, знаходження інтервалів знаковості функції, знаходження асимптот графіка функції. За допомогою першої похідної можна визначити інтервали зростання (зменшення) функції, наявність точок екстремуму. За другою похідною можна визначити інтервали опуклості (увігнутості) графіка функції, а також точки перегину. При цьому вважаємо, що якщо в певній точці xoщо стосується графіку функції вище кривої, то графік функції у цій точці має опуклість; якщо ж дотична нижче кривої, то графік функції у цій точці має увігнутість.

y(x) = x³/(x²+3)

1. Дослідження функції.

а) Область допустимих значень аргументу: (-∞, +∞).

б) Область зміни функції: (-∞, +∞).

в) Функція є непарною, т.к. y(-x) = -y(x),тобто. графік функції симетричний щодо початку координат.

г) Функція є безперервною, точок розриву немає, отже немає вертикальних асимптот.

д) Знаходження рівняння похилої асимптоти y(x) = k∙x + b, де

k = /xі b =

У цьому прикладі параметри асимптоти відповідно дорівнюють:

k = т.к. старший ступінь чисельника та знаменника однакові, рівні трьом, а відношення коефіцієнтів при цих старших ступенях дорівнює одиниці. При x→ + ∞ для обчислення межі використовували третю чудову межу.

b = = = 0 при обчисленні межі при x→ + ∞ скористалися третьою чудовою межею. Отже, графік цієї функції має похилий асимптоту. y=x.

2.

y´= /(x²+3)² -похідна обчислена за допомогою формули диференціювання частки.

а) Визначаємо нулі похідної та точки розриву, прирівнюючи відповідно чисельник і знаменник похідної нулю: y´=0,якщо x = 0.Точка розриву 1-а похідна не має.

б) Визначаємо інтервали знаковості похідної, тобто. інтервали монотонності функції: при -∞похідна позитивна, отже, функція зростає; при 0≤x<+∞, похідна продовжує залишатися позитивною, тобто. функція також зростає.

3. Вивчення функції за допомогою другої похідної.

Використовуючи формулу диференціювання приватного та здійснивши алгебраїчні перетворення, лікуємо: y´´ = /(x²+3)³

а) Визначаємо нулі 2-ої похідної та інтервали знаковості: y´´ = 0,якщо x=0і x= + 3 . Точок розриву у другої похідної немає.

б) Визначимо інтервали застабільності другої похідної, тобто. інтервали опуклості або увігнутості графіка функції. При -∞ і при 0друга похідна y´´>0, тобто. графік функції увігнутий. При - 3і при 3друга похідна y´´<0, тобто. графік функції опуклий. Так як у точках x=0і x= + 3 друга похідна дорівнює нулю, та її знак змінюється, то ці точки є точками перегину графіка функції (рис.4).

Приклад: дослідити функцію та побудувати її графік y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.Дослідження функції.

а) Область допустимих значень: (-∞,0)U(0,+∞).

б) Область зміни функції: (-∞, +∞).

г) Ця функція має точку розриву 2-го роду при x = 0.

д) Знаходження асимптот. Т.к. функція має точку розриву 2-го роду при x=0, то отже, функція має вертикальну асимптоту x = 0.Похилих або горизонтальних асимптотів дана функція не має.

2.Дослідження функції за допомогою першої похідної.

Перетворимо функцію, зробивши всі дії алгебри. В результаті вид функції значно спроститься: y(x)=x²-x-1+(1/x).Від суми доданків дуже просто брати похідну та отримаємо: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

а) Визначаємо нулі та точки розриву 1-ої похідної. Наводимо вирази для першої похідної до спільного знаменника і, прирівнявши чисельник, а потім і знаменник нулю, отримаємо: y´=0при x=1, y' -не існуєпри x = 0.

б) Визначимо інтервали монотонності функції, тобто. інтервали знаковості похідної. При -∞<x<0 і 0перша похідна y´<0, отже, функція зменшується. При 1≤ x<∞ перша похідна y´>0,отже, функція зростає. У точці x=1перша похідна змінює знак з мінусу на плюс, отже, у цій точці функція має мінімум. Мінімум пологий, т.к. при x=1похідна y=0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. За другою похідною визначимо інтервали опуклості або увігнутості графіка функції, а також, якщо вони є, точки перегину. Наведемо вираз для другої похідної до спільного знаменника, а потім, прирівнюючи нулю почергово чисельник та знаменник, отримаємо: y´´=0при x=-1, y´´-не існуєпри x = 0.

При -∞ і при 00 – графік функції увігнутий. При -1≤ x<0 - Графік функції опуклий. Т.к. у точці x=-1друга похідна змінює знак із плюсу на мінус, то точка x=-1 –точка перегину графіка функції (рис.5).

Мал. 4 рис. 5

Приклад: дослідити функцію та побудувати її графік y(x) = ln (x²+4x+5)

1.Дослідження функції.

а) Область допустимих значень аргументу: логарифмічна функція існує тільки для аргументів строго більше за нуль, отже, x²+4x+5>0 –ця умова виконується за всіх значень аргументу, тобто. О.Д.З. – (-∞, +∞).

б) Область зміни функції: (0, +∞). Перетворюємо вираз, що стоїть під знаком логарифму, та прирівнюємо функцію нулю: ln((x+2)²+1) =0.Тобто. функція звертається в нуль при x=-2.Графік функції буде симетричним щодо прямої x=-2.

в) Функція безперервна, точок розриву немає.

г) Асимптот у графіка функції немає.

2.Дослідження функції за допомогою першої похідної.

Використовуючи правило диференціювання складної функції, отримаємо: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

а) Визначимо нулі та точки розриву похідної: y´=0,при x=-2.Точка розриву перша похідна не має.

б) Визначаємо інтервали монотонності функції, тобто. інтервали знакостійності першої похідної: при -∞<x<-2 похідна y´<0, отже, функція зменшується; -2похідна y´>0,отже, функція зростає. Оскільки похідна у точці x=-2змінює знак із мінуса на плюс, то в цій точці функція має мінімум (пологій).

3.Вивчення функції з другої похідної.

Представимо першу похідну у такому вигляді: y'=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)²).

а) Визначимо інтервали знаковості другої похідної. Оскільки знаменник 2-ой похідної завжди неотрицательный, то символ другий похідної визначається лише чисельником. y´´=0при x=-3і x=-1.

При -∞і при -1друга похідна y´´<0, отже, графік функції цих інтервалах опуклий. При -3друга похідна y´´>0,отже, графік функції цьому інтервалі – увігнутий. Крапки x=-3і x=-1 –точки перегину графіка функції, т.к. у цих точках відбувається зміна знаки другої похідної, а сама друга похідна перетворюється на нуль (рис.6).

Приклад: дослідити функцію та побудувати графік y(x) = x²/(x+2)²

1.Дослідження функції.

а) Область допустимих значень аргументу (-∞, -2)U(-2, +∞).

б) Область зміни функції ².

а) Визначимо нулі та інтервали знаковості другої похідної. Т.к. знаменник дробу завжди позитивний, то знак другої похідної повністю визначається чисельником. При -∞ і при -2друга похідна y´´>0, Отже, графік функції цих інтервалах – увігнутий; при 1≤x<+∞ друга похідна y´´<0 Отже, графік функції на цьому інтервалі має опуклість. При переході через точку x=1знак другої похідної змінюється з плюсу на мінус, тобто. ця точка є точкою перегину графіка функції. При x→+∞графік функції асимптотично наближається до своєї горизонтальної асимптоти y=1знизу. При x→ -∞, Графік наближається до своєї горизонтальної асимптоти зверху (рис.7).