Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.
Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:
Dereceli işlemler.
1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:
bir m·a n = a m + n .
2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:
3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:
(a/b) n = a n /b n .
5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek üsler çarpılır:
(bir m) n = bir m n .
Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.
Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Köklerle işlemler.
1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:
2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:
3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:
4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda inşa etmek N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:
5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:
Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:
Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.
Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.
Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.
Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.
Excel, kökü ayıklamak ve sayının üssünü yükseltmek için yerleşik işlevleri ve matematiksel işleçleri kullanır. Örneklere bakalım.
Excel'deki KARE işlevi örnekleri
Yerleşik SQRT işlevi pozitif karekök değerini döndürür. İşlevler menüsünde Matematik kategorisi altındadır.
İşlev sözdizimi: =KÖK(sayı).
Tek ve gerekli argüman, fonksiyonun karekökünü hesapladığı pozitif sayıdır. Bağımsız değişken negatifse Excel #SAYI! hatası döndürür.
Bağımsız değişken olarak belirli bir değeri veya sayısal değere sahip bir hücreye başvuruyu belirtebilirsiniz.
Örneklere bakalım.
İşlev, 36 sayısının karekökünü döndürdü. Bağımsız değişken belirli bir değerdir.
ABS işlevi -36'nın mutlak değerini döndürür. Kullanımı, negatif bir sayının karekökünü çıkarırken hatalardan kaçınmamızı sağladı.
Fonksiyon, 13'ün toplamının ve C1 hücresinin değerinin karekökünü aldı.
Excel'de üs alma işlevi
İşlev sözdizimi: =GÜÇ(değer; sayı). Her iki argüman da gereklidir.
Değer herhangi bir gerçek sayısal değerdir. Sayı, belirli bir değerin yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.
Örneklere bakalım.
C2 hücresinde - 10 sayısının karesinin sonucu.
Fonksiyon 100 sayısını ¾'e yükselterek döndürdü.
Operatör kullanarak üs alma
Excel'de bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için “^” matematik operatörünü kullanabilirsiniz. Girmek için Shift + 6 tuşlarına basın (İngilizce klavye düzeniyle).
Excel'in girilen bilgileri formül olarak işlemesi için öncelikle “=” işareti konur. Sırada bir kuvvete yükseltilmesi gereken sayı var. Ve “^” işaretinden sonra derecenin değeri gelir.
Bu matematiksel formülün herhangi bir değeri yerine, sayıların bulunduğu hücrelere yapılan referansları kullanabilirsiniz.
Birden fazla değer oluşturmanız gerekiyorsa bu kullanışlıdır.
Formülü tüm sütuna kopyalayarak, A sütunundaki sayıların üçüncü kuvvetine çıkarmanın sonuçlarını hızlı bir şekilde elde ettik.
N'inci köklerin çıkarılması
KÖK, Excel'deki karekök işlevidir. 3., 4. ve diğer derecelerin kökü nasıl çıkarılır?
Matematik yasalarından birini hatırlayalım: n'inci kökü çıkarmak için sayının 1/n üssünü yükseltmeniz gerekir.
Örneğin küp kökünü çıkarmak için sayıyı 1/3'ün üssüne yükseltiriz.
Excel'de farklı derecelerdeki kökleri çıkarmak için formülü kullanalım.
Formül, 21 sayısının küp kökünün değerini döndürüyordu. Kesirli kuvvete yükseltmek için “^” operatörü kullanıldı.
Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız. :)
Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, bunun nedeni köklerin karmaşık olması değil (bunun nesi karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları bunu yapabilir. bu yazıyı kendileri anlayabilirler. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)
Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyuluyor ve pratikte nasıl uygulanıyor.
Ancak öncelikle, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:
Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.
Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:
Tanım. Hatta kök N$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.
Her durumda kök şu şekilde gösterilir:
\(A)\]
Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü denir ve $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alıyoruz (bu arada, bu çift dereceli bir kök) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alıyoruz; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.
Örnekler. Klasik karekök örnekleri:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]
Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]
Birkaç “egzotik örnek”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]
Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!
Bu arada köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üslü sayılar için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.
Neden köklere ihtiyaç var?
Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?
Bu soruyu cevaplamak için bir anlığına ilkokula dönelim. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Yani “beşe beş – yirmi beş” gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:
Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:
Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayda bir sayının kuvvetleri adı verildi, içinde bir sürü özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.
Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?
Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]
Ya $((b)^(3))=50$ ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.
Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve sonra da bundan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.
Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizle (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:
\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]
Veya işte başka bir örnek:
\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]
Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin test edilmesi gerekir).
Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.
Bir kökü $\frac(p)(q)$ biçiminde kesir olarak temsil edememek, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, güçler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka zaman anlatacağım.
Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]
Doğal olarak kökün görünümünden virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.
İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.
Neden iki tanıma ihtiyaç var?
Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.
Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü
İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:
Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Sanki dördünün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyoruz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar? :)
Sorun şu ki, eğer herhangi bir ek koşul dayatmazsanız, o zaman dörtlünün pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü olacaktır. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen yani negatif değerleri kabul etmez.
Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:
- Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
- Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.
Bu nedenle $n$ çift dereceli bir kökün tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.
Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:
Bir küp parabol herhangi bir değeri alabilir, dolayısıyla küp kökü herhangi bir sayıdan alınabilir Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:
- Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
- Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).
Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında anlatılmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.
Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bundan ayrı bir derste detaylı olarak bahsedeceğim. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.
Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.
Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:
- Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
- Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.
Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.
Temel özellikler ve sınırlamalar
Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:
\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]
Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü çıkarırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilecek basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı dikkate almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.
Konuyu detaylı anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Bunlar çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:
- İlk olarak sayının dördüncü kuvvetine yükseltilir. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
- Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.
İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:
\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:
Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]
Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:
Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı çift gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]
Bu hesaplamalar, çift dereceli bir kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.
Prosedürle ilgili not
- $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
- Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz; bu, tanımda yer alan zorunlu bir gerekliliktir.
Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.
Ancak tüm bu sorunlar yalnızca eşit göstergeler için geçerlidir.
Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma
Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu, tüm dezavantajları "ortadan kaldırmanıza" olanak tanıyan çok kullanışlı bir özelliktir:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]
Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.
Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulda irrasyonel ifadeler üzerinde çalışmaya başlarken kullanılan tanımın aynısı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Tanışmak!
Aritmetik kök
Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?
Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - kısmen "standart" tanımlarımızla örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.
Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.
Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.
Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:
Aritmetik kök arama alanı - negatif olmayan sayılar Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz - burada $x$ ve $y$ koordinatları pozitif (veya en azından sıfır). Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.
Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"
Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]
Lütfen unutmayın: Radikal ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4))))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.
O NE LAN?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.
Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız ayrı bir büyük ders onlara ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.
Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için
Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.
Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.
Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:
- Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
- Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
- Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı ikinci dereceden grafik fonksiyonu. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.
Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.
Örnek. İfadeleri değerlendirin:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Çözüm. İlk ifade basittir:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.
Son olarak son ifade:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.
Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.
Ancak karmaşık sayılara modern okul matematik derslerinde neredeyse hiç yer verilmez. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.
Bu kadar. Bir sonraki derste köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve son olarak irrasyonel ifadeleri nasıl basitleştireceğimizi öğreneceğiz. :)
Yetkileri ve kökleri olan işlemler. Negatif derece ,
sıfır ve kesirli gösterge. Anlamı olmayan ifadeler hakkında.
Dereceli işlemler.
1. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır:
bir m · bir n = bir m + n .
2. Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri düşüldü .
3. İki veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.
(ABC… ) n = bir n· bn · cn…
4. Bir oranın derecesi (kesir), bölenin (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:
(a/b ) n = a n / b n.
5. Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsleri çarpılır:
(bir m ) n = a m n.
Yukarıdaki formüllerin tümü soldan sağa ve soldan sağa her iki yönde okunur ve yürütülür.
ÖRNEK (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Köklerle işlemler. Aşağıdaki formüllerin tamamında sembol araç aritmetik kök(Radikal ifade pozitiftir).
1. Birkaç faktörün çarpımının kökü çarpıma eşittir Bu faktörlerin kökleri:
2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:
3. Bir kökü bir güce yükseltirken, bu güce yükseltmek yeterlidir. radikal sayı:
4. Kökün derecesini arttırırsak M yükseltmek M inci kuvveti radikal bir sayıysa, kökün değeri değişmeyecektir:
5. Kökün derecesini azaltırsak M kökü bir kez ve aynı anda çıkarın M bir radikal sayının kuvveti ise kökün değeri değildir değişecek:
Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak ile eylemler dereceler ve kökler de şunlara yol açabilir: olumsuz, sıfır Ve kesirli göstergeler. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.
Negatif üslü bir derece. Bir c sayısının kuvveti negatif (tamsayı) bir üs bir bölünmüş olarak tanımlanır mutlak değere eşit bir üs ile aynı sayının kuvveti ileolumsuz gösterge:
Tşimdi formül bir m: BİR= bir m - N sadece için kullanılamazM, bundan fazla N, ama aynı zamanda M, daha az N .
ÖRNEK A 4 :A 7 = bir 4 - 7 = bir - 3 .
Eğer formülü istiyorsakbir m : BİR= bir m - Nne zaman adildim = n, sıfır derecenin tanımına ihtiyacımız var.
Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.
ÖRNEKLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için ve m/n gücüne , kökü çıkarmanız gerekiyor m'nin n'inci kuvveti bu sayının -inci kuvveti A :
Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var. herhangi bir numara.
Aslında bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak X, o zaman bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · X. Ancak bu eşitlik şu durumlarda ortaya çıkar: herhangi bir sayı x Kanıtlanması gereken şey buydu.
Durum 3.
0 0 - herhangi bir numara.
Gerçekten mi,
Çözüm: Üç ana durumu ele alalım:
1) X = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor
(Neden?).
2) ne zaman X> 0 elde ederiz: x/x = 1, yani 1 = 1, bunun anlamı
Ne X- herhangi bir numara; ancak bunu dikkate alarak
Bizim durumumuzda X> 0, cevapX > 0 ;
3) ne zaman X < 0 получаем: – x/x= 1, yani e . –1 = 1, dolayısıyla
Bu durumda çözüm yoktur.
Böylece, X > 0.
Çoğu zaman, matematiksel ifadeleri dönüştürmek ve basitleştirmek, köklerden kuvvetlere ve tam tersi yönde ilerlemeyi gerektirir. Bu makalede bir kökün dereceye ve geriye nasıl dönüştürüleceği anlatılmaktadır. Teorik, pratik örnekler ve en yaygın hatalar tartışılmaktadır.
Kesirli üslü kuvvetlerden köklere geçiş
Diyelim ki sıradan bir kesir biçiminde bir üssü olan bir sayımız var - a m n. Böyle bir ifade kök olarak nasıl yazılır?
Cevap, derecenin tanımından kaynaklanmaktadır!
Tanım
Pozitif bir a sayısının mn kuvveti, a m sayısının n köküdür.
Bu durumda aşağıdaki koşulun karşılanması gerekir:
a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Sıfırın kesirli kuvveti de benzer şekilde tanımlanır, ancak bu durumda m sayısı bir tam sayı olarak değil, doğal bir sayı olarak alınır, böylece 0'a bölünme gerçekleşmez:
0 m n = 0 m n = 0 .
Tanıma uygun olarak, a m n derecesi a m n kökü olarak temsil edilebilir.
Örneğin: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Ancak daha önce de belirttiğimiz gibi şu koşulları unutmamalıyız: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Bu nedenle, - 8 1 3 ifadesi - 8 1 3 biçiminde temsil edilemez, çünkü - 8 1 3 gösterimi mantıklı değildir - negatif sayıların derecesi tanımlanmamıştır.Ayrıca kökün kendisi - 8 1 3 mantıklı.
Tabandaki ifadelere ve kesirli üslere sahip derecelerden geçiş, derece tabanındaki orijinal ifadelerin izin verilen tüm değerleri (bundan sonra VA olarak anılacaktır) boyunca benzer şekilde gerçekleştirilir.
Örneğin x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 ifadesi x 2 + 2 x + 1 - 4'ün karekökü olarak yazılabilir. İfadenin x 2 + x · y · z - z 3 kuvvetine göre yazılması - 7 3, bu ifadenin ODZ'sindeki tüm x, y, z için x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 ifadesi haline gelir.
Köklü ifade yerine kuvvetli ifadeler yazıldığında köklerin kuvvetlerle ters değiştirilmesi de mümkündür. Önceki paragraftaki eşitliği tersine çeviririz ve şunu elde ederiz:
Yine pozitif sayılar a için geçiş açıktır. Örneğin, 7 6 4 = 7 6 4 veya 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Negatif a için kökler anlamlıdır. Örneğin - 4 2 6, - 2 3. Ancak bu kökleri - 4 2 6 ve - 2 1 3 kuvvetleri şeklinde temsil etmek imkansızdır.
Bu tür ifadeleri güçlerle dönüştürmek mümkün mü? Evet, bazı ön değişiklikler yaparsanız. Hangileri olduğunu düşünelim.
Güçlerin özelliklerini kullanarak - 4 2 6 ifadesini dönüştürebilirsiniz.
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
4>0 olduğundan şunu yazabiliriz:
Negatif bir sayının tek kökü durumunda şunu yazabiliriz:
bir 2 m + 1 = - bir 2 m + 1 .
O zaman - 2 3 ifadesi şu şekli alacaktır:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Şimdi ifadelerin altında yer aldığı köklerin, tabanda bu ifadeleri içeren kuvvetlerin nasıl yer değiştirdiğini anlayalım.
Bazı ifadeleri A harfiyle gösterelim. Ancak A m n'yi A m n biçiminde temsil etmek için acele etmeyeceğiz. Burada ne kastedildiğini açıklayalım. Örneğin x - 3 2 3 ifadesini ilk paragraftaki eşitlikten yola çıkarak x - 3 2 3 şeklinde sunmak istiyorum. Böyle bir değiştirme yalnızca x - 3 ≥ 0 için mümkündür ve ODZ'den kalan x için uygun değildir, çünkü negatif a için a m n = a m n formülü mantıklı değildir.
Bu nedenle, ele alınan örnekte, A mn = A mn formunun dönüşümü ODZ'yi daraltan bir dönüşümdür ve A mn = A mn formülünün yanlış uygulanması nedeniyle sıklıkla hatalar meydana gelir.
A m n kökünden A m n kuvvetine doğru şekilde geçmek için birkaç noktaya dikkat edilmelidir:
- Eğer m sayısı tam sayı ve tek ise ve n doğal ve çift ise, o zaman A m n = A m n formülü değişkenlerin ODZ'sinin tamamı için geçerlidir.
- Eğer m bir tam sayı ve tek ise ve n bir doğal ve tek ise, o zaman A m n ifadesi değiştirilebilir:
- A ≥ 0 olan değişkenlerin tüm değerleri için A m n'de;
- açık - - A'nın olduğu değişkenlerin tüm değerleri için A m n< 0 ; - Eğer m bir tam sayı ve çift ise ve n herhangi bir doğal sayı ise, bu durumda A m n'nin yerine A m n gelebilir.
Tüm bu kuralları bir tabloda özetleyelim ve kullanımlarına ilişkin birkaç örnek verelim.
x - 3 2 3 ifadesine dönelim. Burada m = 2 bir tam sayı ve çift sayı, n = 3 ise bir doğal sayıdır. Bu, x - 3 2 3 ifadesinin şu biçimde doğru şekilde yazılacağı anlamına gelir:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Kökleri ve güçleri ile başka bir örnek verelim.
Örnek. Kökü güce dönüştürme
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Tabloda sunulan sonuçları gerekçelendirelim. Eğer m sayısı tamsayı ve tekse ve n doğal ve çiftse, A m n ifadesindeki ODZ'deki tüm değişkenler için A'nın değeri pozitiftir veya negatif değildir (m > 0 için). Bu yüzden A m n = A m n.
İkinci seçenekte m pozitif ve tek bir tam sayı, n ise doğal ve tek olduğunda A m n'nin değerleri ayrılır. A'nın negatif olmadığı ODZ değişkenleri için A m n = A m n = A m n. A'nın negatif olduğu değişkenler için A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n elde ederiz.
Benzer şekilde m'nin bir tam sayı ve çift ve n'nin herhangi bir doğal sayı olduğu aşağıdaki durumu ele alalım. A'nın değeri pozitif veya negatif değilse, o zaman ODZ'deki değişkenlerin bu değerleri için A m n = A m n = A m n . Negatif A için şunu elde ederiz: A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n.
Böylece üçüncü durumda ODZ'deki tüm değişkenler için A m n = A m n yazabiliriz.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
