Bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teorem. Bir noktanın açısal momentumunun değiştirilmesiyle ilgili teorem Bir noktanın açısal momentumunun değiştirilmesiyle ilgili teorem

Teoremde tartışılan sistem herhangi bir cisimden oluşan herhangi bir mekanik sistem olabilir.

Teoremin ifadesi

Mekanik bir sistemin hareket (impuls) miktarı, sistemdeki tüm cisimlerin hareket (impuls) miktarlarının toplamına eşit bir miktardır. Sistemin gövdelerine etki eden dış kuvvetlerin darbesi, sistemin gövdelerine etki eden tüm dış kuvvetlerin darbelerinin toplamıdır.

( kg m/sn)

Bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem şöyle ifade eder:

Belirli bir süre boyunca sistemin momentumundaki değişim, aynı süre içinde sisteme etki eden dış kuvvetlerin itkisine eşittir.

Bir sistemin momentumunun korunumu yasası

Sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfır ise sistemin hareket miktarı (momentum) sabit bir niceliktir.

, sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremin ifadesini diferansiyel formda elde ederiz:

Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da bazıları ile arasında keyfi olarak alınan bir süre boyunca entegre ettikten sonra, sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremin ifadesini integral formda elde ederiz:

Momentumun korunumu kanunu (Momentumun korunumu kanunu), sisteme etki eden dış kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşitse, sistemin tüm cisimlerinin darbelerinin vektör toplamının sabit bir değer olacağını belirtir.

(momentum momenti m 2 kg s −1)

Merkeze göre açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem

Maddi bir noktanın herhangi bir sabit merkeze göre momentum momentinin (kinetik moment) zamana göre türevi, aynı merkeze göre noktaya etki eden kuvvetin momentine eşittir.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Bir eksene göre açısal momentumdaki değişime ilişkin teorem

Maddi bir noktanın herhangi bir sabit eksene göre momentum momentinin (kinetik moment) zamana göre türevi, bu noktaya etki eden kuvvetin aynı eksene göre momentine eşittir.

dk X /dt = M X (F ); dk sen /dt = M sen (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Maddi bir noktayı düşünün M yığın M kuvvetin etkisi altında hareket eden F (Şekil 3.1). Açısal momentumun (kinetik momentum) vektörünü yazalım ve oluşturalım. M Merkeze göre 0 malzeme noktası Ö :

Açısal momentum (kinetik moment) ifadesinin türevini alalım. k 0) zamana göre:

Çünkü doktor /dt = V , sonra vektör çarpımı V ⊗ M ⋅ V (doğrusal vektörler V Ve M ⋅ V ) sıfıra eşittir. Aynı zamanda d(m ⋅ V) /dt = F maddi bir noktanın momentumu ile ilgili teoreme göre. Bu yüzden bunu anlıyoruz

dk 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Nerede R ⊗F = M 0 (F ) – kuvvetin vektör momenti F sabit bir merkeze göre Ö . Vektör k 0 ⊥ düzlem ( R , M ⊗V ) ve vektör M 0 (F ) ⊥ düzlem ( R ,F ), sonunda elimizde

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Denklem (3.4), maddi bir noktanın merkeze göre açısal momentumundaki (açısal momentum) değişime ilişkin teoremi ifade eder: Maddi bir noktanın herhangi bir sabit merkeze göre momentum momentinin (kinetik moment) zamana göre türevi, aynı merkeze göre noktaya etki eden kuvvetin momentine eşittir.

Eşitliği (3.4) Kartezyen koordinatların eksenlerine yansıtarak şunu elde ederiz:

dk X /dt = M X (F ); dk sen /dt = M sen (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Eşitlikler (3.5), maddi bir noktanın eksene göre açısal momentumundaki (kinetik momentum) değişime ilişkin teoremi ifade eder: Maddi bir noktanın herhangi bir sabit eksene göre momentum momentinin (kinetik moment) zamana göre türevi, bu noktaya etki eden kuvvetin aynı eksene göre momentine eşittir.

Teorem (3.4) ve (3.5)'ten elde edilen sonuçları ele alalım.

Sonuç 1. Kuvvetin olduğu durumu düşünün F noktanın tüm hareketi sırasında sabit merkezden geçer Ö (merkezi kuvvet durumu), yani. Ne zaman M 0 (F ) = 0. O halde Teorem (3.4)'ten şu sonuç çıkar: k 0 = yapı ,

onlar. Merkezi bir kuvvet söz konusu olduğunda, maddi bir noktanın bu kuvvetin merkezine göre açısal momentumu (kinetik momenti) büyüklük ve yön bakımından sabit kalır (Şekil 3.2).

Şekil 3.2

durumdan k 0 = yapı buradan hareket eden bir noktanın yörüngesinin, düzlemi bu kuvvetin merkezinden geçen düz bir eğri olduğu sonucu çıkar.

Sonuç 2.İzin vermek M z (F ) = 0, yani kuvvet ekseni geçer z veya ona paraleldir. Bu durumda denklemlerin üçüncüsünden (3.5) görülebileceği gibi, k z = yapı ,

onlar. Herhangi bir sabit eksene göre bir noktaya etki eden kuvvetin momenti her zaman sıfır ise, o zaman noktanın bu eksene göre açısal momentumu (kinetik momenti) sabit kalır.

Momentumdaki değişime ilişkin teoremin kanıtı

Sistemin kütleleri ve ivmeleri olan maddi noktalardan oluşmasına izin verin. Sistemin cisimlerine etki eden tüm kuvvetleri iki türe ayırıyoruz:

Dış kuvvetler, söz konusu sisteme dahil olmayan cisimlerden etki eden kuvvetlerdir. Sayılarla maddi bir noktaya etki eden dış kuvvetlerin sonucu Ben hadi belirtelim

İç kuvvetler, sistemin gövdelerinin birbirleriyle etkileşime girdiği kuvvetlerdir. Sayının bulunduğu noktadaki kuvvet Ben sayının olduğu nokta geçerlidir k, göstereceğiz ve etkinin gücünü Ben bu nokta k nokta - . Açıkçası, ne zaman, o zaman

Tanıtılan gösterimi kullanarak, dikkate alınan maddi noktaların her biri için Newton'un ikinci yasasını formda yazıyoruz.

Hesaba katıldığında ve Newton'un ikinci yasasının tüm denklemlerini topladığımızda şunu elde ederiz:

İfade, sisteme etki eden tüm iç kuvvetlerin toplamını temsil eder. Newton'un üçüncü yasasına göre bu toplamda her kuvvet bir kuvvete karşılık gelir, dolayısıyla onu tutar. Toplamın tamamı bu çiftlerden oluştuğu için toplamın kendisi sıfırdır. Böylece yazabiliriz

Sistemin momentumunun gösterimini kullanarak şunu elde ederiz:

Dış kuvvetlerin momentumundaki değişimi dikkate alarak , sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremin ifadesini diferansiyel formda elde ederiz:

Böylece elde edilen son denklemlerin her biri şunu belirtmemize olanak tanır: Sistemin momentumundaki bir değişiklik yalnızca dış kuvvetlerin eyleminin bir sonucu olarak meydana gelir ve iç kuvvetlerin bu değer üzerinde herhangi bir etkisi olamaz.

Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da bazıları ile arasında keyfi olarak alınan bir zaman aralığı boyunca entegre ettikten sonra, sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremin integral formdaki ifadesini elde ederiz:

burada ve sistemin zaman anlarındaki hareket miktarının değerleri ve sırasıyla ve belirli bir süre boyunca dış kuvvetlerin dürtüsüdür. Daha önce söylenenlere ve tanıtılan notasyonlara uygun olarak,

Noktanın kütlesi sabit ve ivmesi sabit olduğundan, dinamiğin temel yasasını ifade eden denklem (2) şu şekilde temsil edilebilir:

Denklem (32) eş zamanlı olarak bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teoremi diferansiyel formda ifade eder: bir noktanın momentumunun zamana göre türevi, noktaya etki eden kuvvetlerin toplamına eşittir

Hareket eden bir noktanın zaman anındaki hızı ve anındaki hızı olsun, sonra eşitliğin her iki tarafını da (32) ile çarpıp belirli integralleri alıyoruz. Bu durumda integralin zamanla oluştuğu sağ tarafta integralin limitleri, hızın entegre edildiği solda ise integralin limitleri karşılık gelen hız değerleri olacaktır.

İntegrali eşit olduğundan sonuç

Sağdaki integraller, formül (30)'dan takip edildiği gibi, etki eden kuvvetlerin itkilerini temsil eder. Bu yüzden sonunda olacak

Denklem (33), bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teoremi son haliyle ifade eder: Belirli bir zaman periyodu boyunca bir noktanın momentumundaki değişiklik, o noktaya etki eden tüm kuvvetlerin itkilerinin toplamına eşittir. aynı zaman dilimi.

Problemleri çözerken vektör denklemi (33) yerine projeksiyonlardaki denklemler sıklıkla kullanılır. Eşitliğin (33) her iki tarafını koordinat eksenlerine yansıtarak şunu elde ederiz:

Eksen boyunca doğrusal hareketin meydana gelmesi durumunda teorem bu denklemlerden ilkiyle ifade edilir.

Problem çözme. Denklemler (33) veya (34), bir nokta hareket ettiğinde bir noktanın hızının nasıl değiştiğini bilerek, etki eden kuvvetlerin itkisini (dinamiğin ilk problemi) belirlemeyi veya etki eden kuvvetlerin itmelerini bilerek, belirlemeyi sağlar. hareket ederken bir noktanın hızının nasıl değiştiği (dinamiğin ikinci problemi). İkinci problemi çözerken, kuvvetler verildiğinde, onların darbelerini hesaplamak gerekir.Eşitliklerden (30) veya (31) görülebileceği gibi, bu ancak kuvvetler sabit olduğunda veya yalnızca zamana bağlı olduğunda yapılabilir.

Dolayısıyla, problemdeki veriler ve gerekli miktarlar şunları içerdiğinde denklemler (33), (34) doğrudan dinamiğin ikinci problemini çözmek için kullanılabilir: etki eden kuvvetler, noktanın hareket zamanı ve başlangıç ​​ve son hızları (örn. miktarlar) ve kuvvetler sabit veya yalnızca zamana bağlı olmalıdır.

Problem 95. Kütlesi kg olan bir nokta sayısal olarak sabit hızla bir daire içinde hareket ediyor Noktanın dairenin dörtte birini geçtiği süre boyunca noktaya etki eden kuvvetin itişini belirleyin

Çözüm. Momentumdaki değişim teoremine göre, bu hareket miktarları arasındaki farkı geometrik olarak oluşturarak (Şekil 222), ortaya çıkan dik üçgenden buluruz.

Ancak sorunun koşullarına göre, dolayısıyla,

Analitik hesaplama için denklemlerin (34) ilk ikisini kullanarak şunu bulabiliriz:

Problem 96. Kütlesi olan ve yatay düzlemde bulunan bir yüke (itme ile) bir başlangıç ​​hızı verilir.Yükün sonraki hareketi sabit bir F kuvveti tarafından yavaşlatılır.Yükün ne kadar süreceğini belirleyin durdurmak için,

Çözüm. Sorun verilerine göre, hareket zamanını belirlemek için kanıtlanmış teoremi kullanabileceğiniz açıktır. Yükü keyfi bir konumda gösteriyoruz (Şekil 223). Yer çekimi kuvveti P, düzlemin tepkisi N ve frenleme kuvveti F tarafından etki edilir. Ekseni hareket yönünde yönlendirerek denklemlerden ilkini (34) oluşturuyoruz.

Bu durumda durma anındaki hız) a. Kuvvetlerden sadece F kuvveti eksene izdüşümü verir, sabit olduğundan frenleme süresi nerede olur. Tüm bu verileri denklem (a)'da yerine koyarsak gerekli zamanı elde ederiz

Kuvvetin etkisi altındaki maddi bir noktanın diferansiyel hareket denklemi F aşağıdaki vektör formunda temsil edilebilir:

Bir noktanın kütlesinden beri M sabit kabul edilirse türev işareti altına yazılabilir. Daha sonra

Formül (1) bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teoremi diferansiyel formda ifade eder: Bir noktanın momentumunun zamana göre birinci türevi, o noktaya etkiyen kuvvete eşittir.

Koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda (1) şu şekilde temsil edilebilir:

Her iki taraf (1) ile çarpılırsa dt sonra aynı teoremin başka bir formunu elde ederiz - diferansiyel formda momentum teoremi:

onlar. Bir noktanın momentumunun diferansiyeli, o noktaya etki eden kuvvetin temel itkisine eşittir.

(2)'nin her iki parçasını da koordinat eksenlerine yansıtarak şunu elde ederiz:

(2)'nin her iki parçasını da sıfırdan t'ye entegre edersek (Şekil 1), şunu elde ederiz:

noktanın hızı şu anda nerede T; - hız T = 0;

S- zamanla kuvvet darbesi T.

(3) formundaki bir ifadeye genellikle sonlu (veya integral) formda momentum teoremi denir: Herhangi bir zaman periyodunda bir noktanın momentumundaki değişim, aynı zaman periyodundaki kuvvet itkisine eşittir.

Koordinat eksenlerine izdüşümlerde bu teorem aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

Maddi bir nokta için herhangi bir biçimdeki momentum değişimine ilişkin teorem, esasen bir noktanın diferansiyel hareket denklemlerinden farklı değildir.

Bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem

Sistemin hareket miktarına vektör miktarı denir Q, sistemin tüm noktalarının hareket miktarlarının geometrik toplamına (ana vektör) eşittir.

Aşağıdakilerden oluşan bir sistem düşünün N maddi noktalar. Bu sistemin diferansiyel hareket denklemlerini oluşturalım ve bunları terim terim toplayalım. Sonra şunu elde ederiz:

İç kuvvetlerin özelliğinden dolayı son toplam sıfıra eşittir. Ayrıca,

Sonunda şunu buluyoruz:

Denklem (4), sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremi diferansiyel formda ifade eder: sistemin momentumunun zamana göre türevi, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin geometrik toplamına eşittir.

Teorem için başka bir ifade bulalım. Şimdilik izin ver T= 0 sistemin hareket miktarı Soru 0 ve tam zamanında t 1 eşit olur Soru 1. Daha sonra eşitliğin her iki tarafı (4) ile çarpılır. dt ve entegre ettiğimizde şunu elde ederiz:

Veya nerede:

(S-kuvvet darbesi)

sağdaki integraller dış kuvvetlerin itici güçlerini verdiğinden,

Denklem (5), sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremi integral formda ifade eder: Belirli bir süre boyunca sistemin momentumundaki değişim, aynı süre içinde sisteme etki eden dış kuvvetlerin itkilerinin toplamına eşittir.

Koordinat eksenleri üzerindeki projeksiyonlarda aşağıdakilere sahip olacağız:

Momentumun korunumu kanunu

Bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teoremden aşağıdaki önemli sonuçlar elde edilebilir:

1. Sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfıra eşit olsun:

Daha sonra denklem (4)'ten bu durumda şu sonucu çıkar: Q = sabit.

Böylece, Sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfıra eşitse, sistemin momentum vektörü büyüklük ve yön bakımından sabit olacaktır.

2. 01Sisteme etki eden dış kuvvetlerin bazı eksenlere (örneğin Ox) izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşit olacak şekilde olsun:

Daha sonra denklemlerden (4`) bu durumda şu sonucu çıkar: Q = sabit.

Böylece, herhangi bir eksene etki eden tüm dış kuvvetlerin izdüşümlerinin toplamı sıfıra eşitse, sistemin hareket miktarının bu eksene izdüşümü sabit bir değerdir.

Bu sonuçlar ifade Bir sistemin momentumunun korunumu yasası. Bunlardan, iç kuvvetlerin sistemin toplam hareket miktarını değiştiremeyeceği sonucu çıkar.

Bazı örneklere bakalım:

· Rulonun geri dönüşüyle ​​ilgili fenomen. Tüfek ve mermiyi tek bir sistem olarak düşünürsek, atış sırasında toz gazların basıncı bir iç kuvvet olacaktır. Bu kuvvet sistemin toplam momentumunu değiştiremez. Ancak mermiye etki eden toz gazlar ona belli miktarda ileri yönde hareket kazandırdığından, aynı anda tüfeğe ters yönde de aynı miktarda hareket vermeleri gerekir. Bu, tüfeğin geriye doğru hareket etmesine neden olacaktır; sözde geri dönüş. Silah ateşlendiğinde de benzer bir olay meydana gelir (geri alma).

· Pervanenin (pervane) çalışması. Pervane, pervanenin ekseni boyunca belirli bir hava (veya su) kütlesine hareket vererek bu kütleyi geri fırlatır. Fırlatılan kütle ile uçağı (veya gemiyi) tek bir sistem olarak düşünürsek, pervane ile çevre arasındaki etkileşim kuvvetleri, iç kuvvetler olarak, bu sistemin toplam hareket miktarını değiştiremez. Bu nedenle, bir hava (su) kütlesi geri fırlatıldığında, uçak (veya gemi) buna karşılık gelen bir ileri hız alır, böylece söz konusu sistemin toplam hareket miktarı, hareket başlamadan önce sıfır olduğundan sıfıra eşit kalır. .

Küreklerin veya çarkların hareketi ile de benzer bir etki elde edilir.

· Rektif İtiş Bir rokette (roket), yakıtın yanmasından kaynaklanan gaz halindeki ürünler, roketin kuyruğundaki delikten (jet motoru memesinden) yüksek hızda fırlatılır. Bu durumda etki eden basınç kuvvetleri iç kuvvetler olacaktır ve roket-barut gazları sisteminin toplam momentumunu değiştiremezler. Ancak kaçan gazların belirli miktarda geriye doğru hareketi olduğundan, roket buna karşılık gelen bir ileri hız alır.

Bir eksene göre momentler teoremi.

Kütlenin maddi noktasını düşünün M kuvvetin etkisi altında hareket eden F. Bunun için vektörlerin momentleri arasındaki ilişkiyi bulalım. mV Ve F bazı sabit Z eksenine göre.

mz (F) = xF - yF (7)

Aynı şekilde değer için m(mV) eğer çıkarılırsa M parantez dışında olacak

M z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Bu eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevlerini alarak şunu buluruz:

Ortaya çıkan ifadenin sağ tarafında, ilk parantez 0'a eşittir, çünkü dx/dt=V ve dу/dt = V formül (7)'ye göre ikinci parantez şuna eşittir:

mz(F), çünkü dinamiğin temel yasasına göre:

Sonunda (8) elde edeceğiz

Ortaya çıkan denklem eksen etrafındaki momentler teoremini ifade eder: Bir noktanın herhangi bir eksene göre momentum momentinin zamana göre türevi, etki eden kuvvetin aynı eksene göre momentine eşittir. Benzer bir teorem herhangi bir O merkezi etrafındaki momentler için de geçerlidir.

Şunlardan oluşur: N maddi noktalar. Bu sistemden belli bir noktayı seçelim M j kütleli mj. Bilindiği gibi bu noktaya dış ve iç kuvvetler etki etmektedir.

Bunu noktaya uygulayalım M j tüm iç kuvvetlerin sonucu F j ben ve tüm dış güçlerin sonucu Fj e(Şekil 2.2). Seçilen bir önemli nokta için M j(serbest bir nokta için) momentumdaki değişime ilişkin teoremi diferansiyel formda (2.3) yazıyoruz:

Mekanik sistemin tüm noktaları için benzer denklemler yazalım (j=1,2,3,…,n).

Şekil 2.2

Hepsini parça parça ekleyelim N denklemler:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j ben, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j ben. (2.10)

Burada ∑m j ×V j =Q– mekanik sistemin hareket miktarı;
∑F j e = Re– mekanik sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin ana vektörü;
∑F j ben = R ben =0– sistemin iç kuvvetlerinin ana vektörü (iç kuvvetlerin özelliğine göre sıfıra eşittir).

Son olarak elde ettiğimiz mekanik sistem için

dQ/dt = Re. (2.11)

İfade (2.11), diferansiyel formda (vektör ifadesinde) mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin bir teoremdir: mekanik bir sistemin momentum vektörünün zamana göre türevi, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin ana vektörüne eşittir.

Vektör eşitliğini (2.11) Kartezyen koordinat eksenlerine yansıtarak, mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin teorem için koordinat (skaler) ifadesinde ifadeler elde ederiz:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

onlar. bir mekanik sistemin momentumunun herhangi bir eksene izdüşümünün zamana göre türevi, bu mekanik sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin ana vektörünün bu eksen üzerindeki izdüşümüne eşittir.

Eşitliğin her iki tarafının (2.12) ile çarpılması dt teoremini başka bir diferansiyel formda elde ederiz:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

onlar. mekanik bir sistemin diferansiyel momentumu, sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin ana vektörünün temel dürtüsüne (temel dürtülerin toplamı) eşittir.

Eşitliğin (2.13) 0'dan zaman değişimine entegre edilmesi T, mekanik bir sistemin momentumundaki değişime ilişkin son (integral) formda (vektör ifadesinde) bir teorem elde ederiz:

Q - Q 0 = S e,

onlar. Sonlu bir zaman periyodu boyunca mekanik bir sistemin momentumundaki değişiklik, aynı zaman periyodunda sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin ana vektörünün toplam itici gücüne (toplam itici güçlerin toplamı) eşittir..

Vektör eşitliğini (2.14) Kartezyen koordinat eksenlerine yansıtarak, teorem için projeksiyonlarda (skaler bir ifadede) ifadeler elde ederiz:

onlar. mekanik bir sistemin momentumunun sonlu bir zaman periyodu boyunca herhangi bir eksene izdüşümündeki değişiklik, tüm dış kuvvetlerin ana vektörünün toplam itici gücünün (toplam itici güçlerin toplamı) aynı eksen üzerindeki izdüşümüne eşittir Aynı süre içerisinde mekanik sisteme etki eden.

Ele alınan teoremden (2.11) – (2.15) aşağıdaki sonuçlar çıkar:

1. Eğer Re = ∑F j e = 0, O Q = sabit– mekanik bir sistemin momentum vektörünün korunumu yasamız var: eğer ana vektör Tekrar Mekanik bir sisteme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamı sıfıra eşitse, bu sistemin momentum vektörü büyüklük ve yön bakımından sabit ve başlangıç ​​​​değerine eşit kalır. Soru 0 yani S = Q 0.
2. Eğer R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), O Q x = sabit– mekanik bir sistemin momentum eksenine izdüşümünün korunumu yasamız var: eğer mekanik bir sisteme etki eden tüm kuvvetlerin ana vektörünün herhangi bir eksene izdüşümü sıfır ise, o zaman aynı eksen üzerine izdüşüm bu sistemin momentum vektörü sabit bir değer olacak ve momentumun bu eksen başlangıç ​​vektörüne izdüşümüne eşit olacaktır; Q x = Q 0x.

Bir malzeme sisteminin momentumundaki değişime ilişkin teoremin diferansiyel formunun sürekli ortam mekaniğinde önemli ve ilginç uygulamaları vardır. (2.11)'den Euler teoremini elde edebiliriz.

Maddi bir noktanın kuvvet etkisi altında hareket etmesine izin verin F. Bu noktanın hareketli sisteme göre hareketinin belirlenmesi gerekmektedir. Oksiz(bkz. maddi bir noktanın karmaşık hareketi), sabit bir sisteme göre bilinen bir şekilde hareket eder Ö 1 X 1 sen 1 z 1 .

Sabit bir sistemdeki dinamiğin temel denklemi

Coriolis teoremini kullanarak bir noktanın mutlak ivmesini yazalım.

Nerede A karın kasları– mutlak ivme;

A göreceli– bağıl hızlanma;

A Lane– taşınabilir hızlandırma;

A çekirdek– Coriolis ivmesi.

(26)’yı dikkate alarak (25)’i yeniden yazalım.

Gösterimi tanıtalım
- taşınabilir atalet kuvveti,
- Coriolis eylemsizlik kuvveti. Daha sonra denklem (27) şu şekli alır:

Bağıl hareketi incelemek için temel dinamik denklemi (28), mutlak hareketle aynı şekilde yazılmıştır; bir noktaya etki eden kuvvetlere yalnızca transfer ve Coriolis atalet kuvvetleri eklenmelidir.

Maddi bir noktanın dinamiği üzerine genel teoremler

Birçok problemi çözerken Newton'un ikinci yasasına göre elde edilen önceden hazırlanmış boşlukları kullanabilirsiniz. Bu tür problem çözme yöntemleri bu bölümde birleştirilmiştir.

Maddi bir noktanın momentumundaki değişime ilişkin teorem

Aşağıdaki dinamik özellikleri tanıtalım:

1. Maddi bir noktanın momentumu– bir noktanın kütlesi ile hız vektörünün çarpımına eşit vektör miktarı

. (29)

2. Kuvvet dürtüsü

Temel kuvvet dürtüsü– kuvvet vektörü ile temel zaman aralığının çarpımına eşit vektör miktarı

(30).

Daha sonra tam dürtü

. (31)

Şu tarihte: F=sabit elde ederiz S=ft.

Sonlu bir süre için toplam itme kuvveti yalnızca iki durumda hesaplanabilir; bir noktaya etki eden kuvvet sabit olduğunda veya zamana bağlı olduğunda. Diğer durumlarda kuvveti zamanın bir fonksiyonu olarak ifade etmek gerekir.

İtki (29) ve momentum (30) boyutlarının eşitliği, aralarında niceliksel bir ilişki kurmamızı sağlar.

Rastgele bir kuvvetin etkisi altında maddi bir M noktasının hareketini ele alalım. F keyfi bir yörünge boyunca.

HAKKINDA UD:
. (32)

(32)'deki değişkenleri ayırıyoruz ve entegre ediyoruz

. (33)

Sonuç olarak (31)’i dikkate alarak şunu elde ederiz:

. (34)

Denklem (34) aşağıdaki teoremi ifade etmektedir.

Teorem: Belirli bir süre boyunca maddi bir noktanın momentumundaki değişiklik, aynı zaman aralığında o noktaya etki eden kuvvetin itici gücüne eşittir.

Problemleri çözerken denklem (34) koordinat eksenlerine yansıtılmalıdır.

Bu teoremin, verilen ve bilinmeyen büyüklükler arasında bir noktanın kütlesi, başlangıç ​​ve son hızı, kuvvetleri ve hareket zamanı bulunduğunda kullanılması uygundur.

Maddi bir noktanın açısal momentumundaki değişime ilişkin teorem

M
Maddi bir noktanın momentum momenti merkeze göre noktanın ve omuzun momentum modülünün çarpımına eşittir, yani. merkezden hız vektörüne denk gelen çizgiye kadar olan en kısa mesafe (dik)

, (36)

. (37)

Kuvvet momenti (neden) ile momentum momenti (etki) arasındaki ilişki aşağıdaki teorem ile kurulur.

Belirli bir kütlenin M noktası olsun M kuvvetin etkisi altında hareket eder F.

,
,

, (38)

. (39)

(39)'un türevini hesaplayalım.

. (40)

(40) ve (38)'i birleştirerek sonunda şunu elde ederiz:

. (41)

Denklem (41) aşağıdaki teoremi ifade etmektedir.

Teorem: Maddi bir noktanın açısal momentum vektörünün bir merkeze göre zamana göre türevi, aynı merkeze göre o noktaya etki eden kuvvetin momentine eşittir.

Problemleri çözerken denklem (41) koordinat eksenlerine yansıtılmalıdır.

Denklemlerde (42), momentum ve kuvvet momentleri koordinat eksenlerine göre hesaplanır.

(41)'den şu sonuç çıkıyor açısal momentumun korunumu yasası (Kepler yasası).

Herhangi bir merkeze göre maddi bir noktaya etki eden kuvvetin momenti sıfır ise, o zaman noktanın bu merkeze göre açısal momentumu büyüklüğünü ve yönünü korur.

Eğer
, O
.

Teorem ve korunum kanunu, özellikle merkezi kuvvetlerin etkisi altında, eğrisel hareket içeren problemlerde kullanılır.