Bu yazıda sayı çemberinin tanımını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz, ana özelliğini bulacağız ve 1,2,3 vb. sayıları düzenleyeceğiz. Çember üzerindeki diğer sayıların nasıl işaretleneceği hakkında (örneğin, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) anlıyor .
Sayı çemberi noktaları birbirine karşılık gelen birim yarıçaplı bir daire denir aşağıdaki kurallara göre düzenlenmiştir:
1) Başlangıç noktası çemberin en sağ noktasındadır;
2) Saat yönünün tersine - pozitif yön; saat yönünde – negatif;
3) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini pozitif yönde çizersek, o zaman \(t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız;
4) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini negatif yönde çizersek, o zaman \(–t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız.
Çembere neden sayı çemberi deniyor?
Çünkü üzerinde numaralar var. Bu şekilde daire sayı eksenine benzer - daire üzerinde de eksende olduğu gibi her sayı için belirli bir nokta vardır.
Sayı çemberinin ne olduğunu neden biliyorsunuz?
Sayı çemberi kullanılarak sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri belirlenir. Bu nedenle trigonometriyi bilmek ve Birleşik Devlet Sınavını 60+ puanla geçmek için sayı çemberinin ne olduğunu ve üzerine noktaların nasıl yerleştirileceğini anlamalısınız.
Tanımdaki "...birim yarıçap..." kelimeleri ne anlama geliyor?
Bu, bu dairenin yarıçapının \(1\)'e eşit olduğu anlamına gelir. Ve eğer merkezi orijinde olan böyle bir daire inşa edersek, o zaman eksenlerle \(1\) ve \(-1\) noktalarında kesişecektir.
Küçük çizilmesine gerek yoktur; eksenler boyunca bölümlerin "boyutunu" değiştirebilirsiniz, o zaman resim daha büyük olacaktır (aşağıya bakınız).
Yarıçap neden tam olarak bir? Bu daha uygundur, çünkü bu durumda çevreyi \(l=2πR\) formülünü kullanarak hesaplarken şunu elde ederiz:
Sayı çemberinin uzunluğu \(2π\) veya yaklaşık olarak \(6,28\)'dir.
“...noktaları gerçek sayılara karşılık gelenler” ne anlama geliyor?
Yukarıda söylediğimiz gibi, herhangi bir gerçek sayının sayı çemberinde kesinlikle onun “yer”i olacaktır - bu sayıya karşılık gelen bir nokta.
Sayı çemberinin kökenini ve yönünü neden belirlemelisiniz?
Sayı çemberinin temel amacı her sayının noktasını benzersiz bir şekilde belirlemektir. Ancak nereden sayacağınızı ve nereye hareket edeceğinizi bilmiyorsanız, noktayı nereye koyacağınızı nasıl belirleyebilirsiniz?
Burada orijini koordinat çizgisi ile sayı çemberi üzerinde karıştırmamak önemlidir - bunlar iki farklı referans sistemidir! Ayrıca \(x\) eksenindeki \(1\) ile daire üzerindeki \(0\)'yi karıştırmayın; bunlar farklı nesneler üzerindeki noktalardır.
Hangi noktalar \(1\), \(2\), vb. sayılarına karşılık gelir?
Sayı çemberinin yarıçapının \(1\) olduğunu varsaydığımızı hatırlıyor musunuz? Bu, daire üzerine çizeceğimiz birim segmentimiz (sayı eksenine benzetilerek) olacaktır.
1 sayısına karşılık gelen sayı çemberi üzerinde bir noktayı işaretlemek için 0'dan pozitif yönde yarıçapa eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir.
\(2\) sayısına karşılık gelen daire üzerinde bir noktayı işaretlemek için, başlangıç noktasından iki yarıçapa eşit bir mesafe kat etmeniz gerekir, böylece \(3\) üç yarıçapa eşit bir mesafe olur, vb.
Bu resme baktığınızda aklınıza 2 soru gelebilir:
1. Çember “bittiğinde” (yani tam bir devrim yaptığımızda) ne olur?
Cevap: ikinci tura çıkalım! İkincisi bittiğinde üçüncüye geçeceğiz ve böyle devam edecek. Bu nedenle bir daire üzerine sonsuz sayıda sayı çizilebilir.
2. Negatif sayılar nerede olacak?
Cevap: işte orada! Ayrıca, gerekli sayıda yarıçapı sıfırdan sayarak, ancak şimdi negatif yönde de düzenlenebilirler.
Ne yazık ki sayı çemberinde tam sayıları belirtmek zordur. Bunun nedeni sayı çemberinin uzunluğunun bir tamsayıya eşit olmamasıdır: \(2π\). Ve en uygun yerlerde (eksenler ile kesişme noktalarında) tam sayılar değil kesirler de olacaktır.
Video dersler özellikle matematik gibi okul konularında en etkili öğretim araçları arasında yer alıyor. Bu nedenle, bu materyalin yazarı yalnızca yararlı, önemli ve yetkin bilgileri tek bir bütün halinde toplamıştır.
Bu ders 11:52 dakika uzunluğundadır. Bir öğretmenin sınıfta belirli bir konuyla ilgili yeni materyali açıklaması neredeyse aynı miktarda zaman alır. Her ne kadar video dersinin ana avantajı, öğrencilerin, yabancı konular ve konuşmalardan rahatsız olmadan, yazarın söylediklerini dikkatlice dinleyecekleri gerçeği olacaktır. Sonuçta öğrenciler dikkatli dinlemezlerse dersin önemli bir noktasını kaçıracaklardır. Ve eğer öğretmen materyali kendisi açıklarsa, öğrencileri soyut konulardaki konuşmalarıyla asıl meseleden kolaylıkla dikkatlerini dağıtabilirler. Ve elbette hangi yöntemin daha akılcı olacağı da ortaya çıkıyor.
Yazar, dersin başlangıcını öğrencilerin daha önce cebir dersinde aşina oldukları fonksiyonların tekrarına ayırmıştır. Ve çalışmaya ilk başlayan trigonometrik fonksiyonlardır. Bunları dikkate almak ve incelemek için yeni bir matematiksel model gereklidir. Ve bu model, dersin konusunda da belirtildiği gibi sayı çemberi haline geliyor. Bunun için birim çember kavramı tanıtılmış ve tanımı verilmiştir. Şekilde ayrıca yazar, böyle bir dairenin tüm bileşenlerini ve daha ileri öğrenme için öğrenciler için neyin yararlı olacağını göstermektedir. Yaylar çeyrekleri gösterir.
Daha sonra yazar sayı çemberini düşünmeyi önerir. Burada birim çember kullanmanın daha uygun olduğunu belirtiyor. Bu daire t>0, t ise M noktasının nasıl elde edildiğini gösterir.<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Daha sonra yazar öğrencilere dairenin çevresini nasıl bulacaklarını hatırlatır. Daha sonra birim çemberin uzunluğunu verir. Bu teorik verilerin pratikte uygulanması önerilmektedir. Bunu yapmak için, bir daire üzerinde belirli sayı değerlerine karşılık gelen bir nokta bulmanız gereken bir örneği düşünün. Örneğin çözümüne resim biçiminde bir illüstrasyon ve gerekli matematiksel gösterimler eşlik etmektedir.
İkinci örneğin şartına göre sayı çemberi üzerinde noktalar bulmak gerekiyor. Burada da çözümün tamamına yorumlar, resimler ve matematiksel gösterim eşlik ediyor. Bu, öğrencilerin matematik okuryazarlığının gelişmesine ve iyileştirilmesine katkıda bulunur. Üçüncü örnek de benzer şekilde oluşturulmuştur.
Daha sonra yazar, diğerlerinden daha sık meydana gelen sayıları daireye not eder. Burada bir sayı çemberinin iki modelini yapmayı öneriyor. Her iki düzen de hazır olduğunda, sayı çemberinde 1 sayısına karşılık gelen bir nokta bulmanız gereken bir sonraki dördüncü örnek dikkate alınır. Bu örnekten sonra, karşılık gelen M noktasını bulabileceğiniz bir ifade formüle edilir. t sayısı.
Daha sonra, öğrencilerin "pi" sayısının tüm daireyi geçerken belirli bir noktaya düşen tüm sayılara karşılık geldiğini öğrendiklerine göre bir açıklama yapılır. Bu bilgi beşinci örnekle desteklenmektedir. Çözümü mantıksal olarak doğru akıl yürütmeyi ve durumu gösteren çizimleri içeriyor.
METİN KOD ÇÖZME:
SAYISAL DAİRE
Daha önce analitik ifadelerle tanımlanan fonksiyonları incelemiştik. Ve bu fonksiyonlara cebirsel adı verildi. Ancak okul matematik dersinde cebirsel derslerin değil diğer derslerin fonksiyonları incelenmektedir. Trigonometrik fonksiyonları öğrenmeye başlayalım.
Trigonometrik fonksiyonları tanıtmak için yeni bir matematiksel modele ihtiyacımız var: sayı çemberi. Birim çemberi ele alalım. Belirli ölçü birimleri belirtilmeden yarıçapı ölçek parçasına eşit olan bir daireye birim adı verilecektir. Böyle bir dairenin yarıçapı 1'e eşit kabul edilir.
CA ve DB yatay ve dikey çaplarının (ce a ve de be) çizildiği bir birim daire kullanacağız (bkz. Şekil 1).
İlk çeyreğe AB yayı, ikinci çeyreğe yay BC, üçüncü çeyreğe yay CD ve dördüncü çeyreğe yay DA diyeceğiz.
Sayı çemberini düşünün. Genel olarak herhangi bir daire sayısal bir daire olarak düşünülebilir ancak bu amaç için birim daireyi kullanmak daha uygundur.
TANIM Bir birim çember verilir ve üzerinde yatay çapın sağ ucu olan A başlangıç noktası işaretlenir. Her t(te) gerçel sayısını aşağıdaki kurala göre çember üzerindeki bir noktayla ilişkilendirelim:
1) Eğer t>0 ise (te sıfırdan büyükse), o zaman A noktasından saat yönünün tersine (dairenin pozitif yönü) hareket ederek, çember boyunca t uzunluğunda bir AM (a em) yolu tanımlarız. M noktası istenen M(t) noktası olacaktır (te'den em).
2) Eğer t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) A noktasını t = 0 sayısına atayalım.
Belirli bir yazışmaya (gerçek sayılar ile daire üzerindeki noktalar arasında) sahip bir birim çembere sayı çemberi adı verilecektir.
L (el) çevresinin L = 2πR (el iki pi er'e eşittir) formülü ile hesaplandığı bilinmektedir; burada π≈3.14, R dairenin yarıçapıdır. Birim çember R=1 cm için bu, L=2π≈6,28 cm anlamına gelir (el, iki pi'ye yaklaşık 6,28'e eşittir).
Örneklere bakalım.
ÖRNEK 1. Sayı çemberi üzerinde verilen sayıya karşılık gelen bir nokta bulun: ,.(pi'ye iki, pi, üç pi'ye iki, iki pi, onbir pi'ye iki, yedi pi, eksi beş pi'ye iki)
Çözüm. İlk altı sayı pozitiftir, bu nedenle daire üzerinde karşılık gelen noktaları bulmak için, A noktasından pozitif yönde hareket ederek daire boyunca belirli bir uzunlukta bir yolda yürümeniz gerekir. Birim çemberin her çeyreğinin uzunluğu eşittir. Bu AB = anlamına gelir, yani B noktası sayıya karşılık gelir (bkz. Şekil 1). AC = yani C noktası sayıya karşılık gelir AD = yani D noktası sayıya karşılık gelir Ve A noktası yine sayıya karşılık gelir çünkü daire boyunca bir yol yürüdükten sonra başlangıç noktasına ulaştık. A.
Noktanın nerede bulunacağını düşünelim.Çemberin uzunluğunu zaten bildiğimiz için onu (dört pi artı üç pi'ye iki) biçimine indireceğiz. Yani, A noktasından pozitif yönde hareket ederek, iki kez tam bir daire (4π uzunluğunda bir yol) ve ayrıca D noktasında biten uzunlukta bir yol tanımlamanız gerekir.
Ne oldu? Bu 3∙2π + π'dir (üç çarpı iki pi artı pi). Bu, A noktasından pozitif yönde hareket ederek, üç kez tam bir daire ve ayrıca C noktasında sona erecek π uzunluğunda bir yol tanımlamanız gerektiği anlamına gelir.
Sayı çemberi üzerinde negatif bir sayıya karşılık gelen bir nokta bulmak için, A noktasından çember boyunca negatif yönde (saat yönünde) uzunlukta bir yol yürümeniz gerekir ve bu 2π +'ya karşılık gelir. Bu yol D noktasında bitecek.
ÖRNEK 2. Sayı çemberindeki noktaları bulun (pi'ye altı, pi'ye dört, pi'ye üç).
Çözüm. AB yayını ikiye bölerek karşılık gelen E noktasını elde ederiz. Ve AB yayını F ve O noktalarına göre üç eşit parçaya bölerek, F noktasının ve T noktasının karşılık geldiğini elde ederiz.
(bkz. şekil 2).
ÖRNEK 3. Sayı çemberi üzerindeki noktaları bulun (eksi on üç pi x dört, on dokuz pi x altı).
Çözüm. Uzunluğu (pi x dört) olan AE (a em) yayını A noktasından on üç kez negatif yönde bırakarak, BC yayının ortası olan H (kül) noktasını elde ederiz.
A noktasından pozitif yönde on dokuz kez AF uzunluğunda (pi x altı) bir AF yayını bırakarak, üçüncü çeyreğe (CD yayı) ait olan N (en) noktasına ulaşırız ve CN, çemberin üçüncü kısmına eşittir. ark CD'si (bkz.).
(bkz. şekil örneği 2).
Çoğu zaman, sayı çemberi üzerinde sayılara (pi'ye altı, pi'ye dört, pi'ye üç, pi'ye iki) ve bunların katlarına karşılık gelen noktaları aramanız gerekir, yani (yedi) pi'ye altı, beş pi'ye dört, dört pi'ye üç, on bir pi'ye iki). Bu nedenle, hızlı bir şekilde gezinmek için sayı çemberinin iki düzeninin yapılması tavsiye edilir.
İlk düzende, sayı çemberinin dörtte birinin her biri iki eşit parçaya bölünecek ve ortaya çıkan noktaların her birinin yanına "isimlerini" yazacağız:
İkinci düzende, çeyreklerin her biri üç eşit parçaya bölünmüştür ve ortaya çıkan on iki noktanın her birinin yanına "adlarını" yazıyoruz:
Saat yönünde hareket edersek çizimlerdeki noktalar için yalnızca eksi değerle aynı "isimleri" alırız. İlk düzen için:
Benzer şekilde, ikinci düzende O noktasından itibaren saat yönünde hareket ederseniz.
ÖRNEK 4. Sayı çemberi üzerinde 1 (bir) sayılarına karşılık gelen noktaları bulun.
Çözüm. π≈3,14 (pi yaklaşık olarak üç virgül on dört yüzde bire eşittir), ≈ 1,05 (pi çarpı üç yaklaşık olarak bir virgül beş yüzde bire eşittir), ≈ 0,79 (pi çarpı dört yaklaşık olarak sıfır virgül yüzde yetmiş dokuza eşittir) olduğunu bilerek. Araç,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Aşağıdaki ifade doğrudur: sayı çemberindeki bir M noktası bir t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman t + 2π biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelirk(te artı iki pi ka), burada ka herhangi bir tam sayıdır ve kϵ Z(ka Zet'e aittir).
Bu ifadeyi kullanarak, noktanın t =+ 2πk (te eşittir pi çarpı üç artı iki tepe) formundaki tüm noktalara karşılık geldiği sonucuna varabiliriz; burada kϵZ ( ka, zet'e aittir) ve noktaya (beş pi'ye dört) - t = + 2πk formunun noktaları (te, beş pi'ye dört artı iki pi ka'ya eşittir), burada kϵZ ( ka zet'e aittir) vb.
ÖRNEK 5. Sayı çemberi üzerindeki noktayı bulun: a) ; B) .
Çözüm. a) Elimizde: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(yirmi pi çarpı üç eşittir yirmi çarpı üç pi eşittir altı artı iki üçte iki, çarpı pi eşittir altı pi artı iki pi çarpı üç eşittir iki pi çarpı üç artı üç çarpı iki pi).
Bu, sayının sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir (bu ikinci çeyrektir) (Şekil 4'teki ikinci düzene bakınız).
b) Elimizde: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (eksi otuz beş pi çarpı dört eşittir eksi sekiz artı dörtte üç çarpı pi eşittir eksi üç pi çarpı dört artı iki pi çarpı eksi dört ). Yani sayı, sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir.
Bu dersimizde sayı doğrusu tanımını hatırlayacağız ve sayı çemberinin yeni tanımını vereceğiz. Ayrıca sayı çemberinin önemli bir özelliğini ve çember üzerindeki önemli noktaları detaylı olarak ele alacağız. Sayı çemberi için doğrudan ve ters problemleri tanımlayalım ve bu tür problemlerin birkaç örneğini çözelim.
Konu: Trigonometrik fonksiyonlar
Ders: Sayı Çemberi
Herhangi bir fonksiyon için bağımsız argüman şu şekilde ertelenir: sayı doğrusu veya bir daire üzerinde. Hem sayı doğrusu hem de sayı doğrusunu karakterize edelim. sayı dairesi.
Koordinatların orijini işaretlenirse ve yön ve ölçek seçilirse düz çizgi bir sayı (koordinat) çizgisine dönüşür (Şekil 1).
Sayı doğrusu, doğru üzerindeki tüm noktalar ile tüm gerçek sayılar arasında bire bir yazışma kurar.
Mesela bir sayı alıp koordinat eksenine koyarsak bir nokta elde ederiz, bir sayı alıp eksene koyarsak bir nokta elde ederiz (Şekil 2).
Ve tam tersi, eğer koordinat çizgisi üzerinde herhangi bir noktayı alırsak, o zaman ona karşılık gelen benzersiz bir gerçek sayı vardır (Şekil 2).
İnsanlar böyle bir yazışmaya hemen gelmediler. Bunu anlamak için temel sayısal kümeleri hatırlayalım.
İlk önce bir dizi doğal sayıyı tanıttık
Daha sonra bir dizi tamsayı 
Rasyonel sayılar kümesi
Bu kümelerin yeterli olacağı ve bir doğru üzerindeki tüm rasyonel sayılar ile noktalar arasında bire bir eşleşme olacağı varsayılmıştır. Ancak sayı doğrusunda formdaki sayılarla tanımlanamayan sayısız nokta olduğu ortaya çıktı.
Bir örnek, ayakları 1 ve 1 olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Eşittir (Şekil 3).
Rasyonel sayılar kümesi içinde, tam olarak Hayır'a eşit bir sayı var mıdır, yoktur. Bu gerçeği kanıtlayalım.
Bunu çelişkiyle kanıtlayalım. Yani'ye eşit bir kesir olduğunu varsayalım.
Sonra her iki tarafın karesini alıyoruz.Açıkçası eşitliğin sağ tarafı 2'ye bölünebilir. Bu şu anlama gelir: Sonra Ama sonra ve A, O zaman kesrin indirgenebilir olduğu ortaya çıkar. Bu durumla çelişiyor, yani
Sayı irrasyonel. Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesi reel sayılar kümesini oluşturur 
Bir doğru üzerinde herhangi bir noktayı alırsak, buna bir gerçek sayı karşılık gelecektir. Ve eğer herhangi bir gerçek sayıyı alırsak, koordinat doğrusu üzerinde ona karşılık gelen tek bir nokta olacaktır.
Sayı çemberinin ne olduğunu ve çember üzerindeki noktalar kümesi ile reel sayılar kümesi arasındaki ilişkilerin ne olduğunu açıklayalım.
Kökeni - nokta A. Sayma yönü - saat yönünün tersine - pozitif, saat yönünde - negatif. Ölçek - çevre (Şekil 4).
Bu üç hükmü tanıtarak, sayı dairesi. Her sayıya bir daire üzerinde bir noktanın nasıl atanacağını ve bunun tersinin nasıl yapılacağını göstereceğiz.
Numarayı ayarlayarak çember üzerinde bir nokta elde ederiz
Her reel sayı çember üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Peki ya tam tersi?
Nokta sayıya karşılık gelir. Ve sayıları alırsak, tüm bu sayıların çember üzerindeki görüntülerinde yalnızca bir nokta vardır.
Örneğin, noktaya karşılık gelir B(Şekil 4).
Bütün sayıları alalım, hepsi noktaya karşılık geliyor. B. Bir çember üzerindeki tüm reel sayılar ve noktalar arasında birebir bir ilişki yoktur.
Sabit bir sayı varsa, daire üzerinde yalnızca bir nokta ona karşılık gelir
Bir daire üzerinde bir nokta varsa, o zaman ona karşılık gelen bir dizi sayı vardır
Düz bir çizginin aksine, koordinat çemberinde noktalar ve sayılar arasında bire bir yazışma yoktur. Her sayı yalnızca bir noktaya karşılık gelir ama her nokta sonsuz sayıda sayıya karşılık gelir ve bunları yazabiliriz.
Çemberin ana noktalarına bakalım.
Verilen bir sayının çember üzerinde hangi noktaya karşılık geldiğini bulun.
Yayı ikiye bölerek bir nokta elde ederiz (Şekil 5).
Ters problem: Bir yayın ortasında bir nokta verildiğinde, ona karşılık gelen tüm gerçek sayıları bulun.
Sayı çemberindeki tüm çoklu yayları işaretleyelim (Şekil 6).
Katları olan yaylar
Bir sayı veriliyor, karşılık gelen noktayı bulmanız gerekiyor.
Ters problem - Bir nokta verildiğinde, bunun hangi sayılara karşılık geldiğini bulmanız gerekir.
İki kritik noktada iki standart göreve baktık.
a) Sayı çemberi üzerinde koordinatı verilen bir nokta bulun
Noktadan itibaren gecikme A bu iki tam tur ve bir yarım daha ve bir puan alıyoruz M- bu üçüncü çeyreğin ortasıdır (Şekil 8).
Cevap. Nokta M- üçüncü çeyreğin ortası.
b) Sayı çemberi üzerinde koordinatı verilen bir nokta bulun
Noktadan itibaren gecikme A tam bir dönüş ve hala bir puan alıyoruz N(Şekil 9).
Cevap: Nokta N ilk çeyrekte bulunuyor.
Sayı doğrusuna ve sayı çemberine baktık ve özelliklerini hatırladık. Sayı doğrusunun özel bir özelliği, bu doğrunun noktaları ile gerçel sayılar kümesi arasındaki bire bir yazışmadır. Çemberde böyle bire-bir yazışmalar yok. Çember üzerindeki her gerçek sayı tek bir noktaya karşılık gelir, ancak sayı çemberi üzerindeki her nokta sonsuz sayıda gerçek sayıya karşılık gelir.
Bir sonraki dersimizde koordinat düzlemindeki sayı çemberine bakacağız.
"Sayı çemberi", "Çemberin üzerindeki nokta" konusundaki referansların listesi
1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı) - M .: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.
5. Yükseköğretim kurumlarına başvuran adaylar için matematik problemlerinin derlenmesi (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir el kitabı) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8.Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.
Ev ödevi
Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Ek web kaynakları
3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().
Öğe adı Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı
Sınıf 10
UMK Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı, 10-11. sınıflar. 2'DE . Bölüm 1. Genel eğitim kurumları için ders kitabı (temel düzey) / A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, ster. - M.: Mnemosyne, 2012. Bölüm 2. Eğitim kurumları için problem kitabı (temel düzey) /[ A.G. Mordkovich ve ark.]; tarafından düzenlendi A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, ster. - M.: Mnemosyne, 2012.
Eğitim seviyesi. Temel
Ders konusu Sayı çemberi (saat 2 yönünde)
Ders 1
Hedef: Eğrisel koordinat sisteminin bir modeli olarak sayı çemberi kavramını tanıtmak.
Görevler : Problem çözerken sayı çemberini kullanma becerisini geliştirmek.
Planlanan sonuçlar:
Dersler sırasında
Zamanı organize etmek.
2. Öğrencilerin zorlanmasına neden olan ödevleri kontrol etmek
II. Sözlü çalışma.
1. Sayı doğrusu üzerindeki her aralığı bir eşitsizlikle ve aralığın analitik gösterimiyle eşleştirin. Verileri tabloya girin.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] e (– ; –5)
İÇİNDE [–5; + ) VE [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Sayı çemberi, incelenen sayı doğrusundan farklı olarak daha karmaşık bir modeldir. Bunun altında yatan yay kavramı geometride güvenilir bir şekilde işlenmemiştir.
2 . Ders kitabıyla çalışmak . ile pratik bir örneğe bakalım. 23–24 ders kitabı (stadyum koşu parkuru). Öğrencilerden benzer örnekler (uydunun yörüngedeki hareketi, bir dişlinin dönüşü vb.) vermelerini isteyebilirsiniz.
3. Birim çemberi sayısal olarak kullanmanın rahatlığını gerekçelendiriyoruz.
4. Ders kitabıyla çalışmak. s'den örneklere bakalım. 25–31 ders kitapları. Yazarlar, sayı çemberi modeline başarılı bir şekilde hakim olmak için hem ders kitabının hem de problem kitabının özel bir "didaktik oyunlar" sistemi sağladığını vurguluyor. Bunlardan altı tane var, bu derste ilk dördünü kullanacağız.
(Mordkoviç A.G. M79 Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10-11. Sınıflar (temel seviye): öğretmenler için metodolojik el kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyna, 2010. - 202 s. : hasta.)
1. "oyun" – birim çemberin yay uzunluğunun hesaplanması. Öğrenciler çemberin tamamının uzunluğunun 2 olduğu gerçeğine alışmalıdır. , yarım daire – , çeyrek daire – vesaire.
2. "oyun" – sayı çemberi üzerinde, bir sayının kesirleriyle ifade edilen, verilen sayılara karşılık gelen noktaları bulma
örneğin puanlar 
vb. (“iyi” sayılar ve puanlar).
3. "oyun" – sayı çemberi üzerinde, bir sayının kesirleriyle ifade edilmeyen, verilen sayılara karşılık gelen noktaları bulmak örneğin, puan M (1), M (–5), vb. (“kötü” sayılar ve puanlar).
4. "oyun" – sayı çemberinde belirli bir “iyi” noktaya karşılık gelen sayıların kaydedilmesi, örneğin ilk çeyreğin ortası “iyi”dir, buna karşılık gelen sayılar şu şekildedir: 
Dinamik duraklatma
Bu derste çözülen alıştırmalar, belirlenen dört didaktik oyuna karşılık gelir. Öğrenciler çapları olan bir sayı çemberi düzeni kullanırAC (yatay) veBD(dikey).
1. № 4.1, № 4.3.
Çözüm:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Çözüm:
№ 4.13.
V. Test çalışması.
seçenek 1
seçenek 2
1. Sayı çemberi üzerinde bu sayıya karşılık gelen noktayı işaretleyin:
2. Sayı çemberinde işaretlenen noktalara karşılık gelen tüm sayıları bulun.
VI. Ders özeti.
Öğrenciler için sorular:
– Sayı çemberinin tanımını veriniz.
– Birim çemberin uzunluğu nedir? Yarım birim çemberin uzunluğu? Odası mı?
– Sayı çemberinde bir sayıya karşılık gelen bir noktayı nasıl bulabilirsiniz? 5 numara?
Ev ödevi:, sayfa 23. No. 4.2, No. 4.4, No. 4.5 (c; d) – No. 4.11 (c; d), No. 4.13 (c; d), No. 4.15.
Ders 2
Hedefler : sayı çemberi kavramını eğrisel bir koordinat sisteminin bir modeli olarak pekiştirmek.
Görevler : Sayı çemberi üzerinde verilen "iyi" ve "kötü" sayılara karşılık gelen noktaları bulma yeteneğini geliştirmeye devam etmek; sayı çemberindeki bir noktaya karşılık gelen sayıyı yazın; Bir sayı çemberinin yayının çift eşitsizlik biçiminde analitik gösterimini oluşturma yeteneğini geliştirmek.
Öğrencilerin hesaplama becerilerini, doğru matematiksel konuşmalarını ve mantıksal düşünmelerini geliştirmek.
Bağımsızlığı, dikkati ve doğruluğu aşılayın. Öğrenmeye karşı sorumlu bir tutum geliştirin.
Planlanan sonuçlar:
Bilin, anlayın: - sayı çemberi.
Şunları yapabilmek: - verilen koordinatlara göre bir daire üzerindeki noktaları bulmak; - sayı çemberi üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını bulun.
Yazılı çalışma yaparken çalışılan teorik materyali uygulayabilme.
Ders teknik desteği Bilgisayar, ekran, projektör, ders kitabı, problem kitabı.
Ders için ek metodolojik ve didaktik destek: Mordkovich A. G. M79 Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10-11. Sınıflar (temel seviye): öğretmenler için metodolojik el kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyna, 2010. - 202 s. : silt
Dersler sırasında
Zamanı organize etmek.
Öğrencilerin psikolojik ruh hali.
Ödev kontrol ediliyorSayı 4.2, Sayı 4.4, Sayı 4.5 (c; d) – Sayı 4.11 (c; d), Sayı 4.13 (c; d),
№ 4.15. Zorluk yaratan görevlere yönelik çözümü analiz edin.
Sözlü çalışma.
(slaytta)
1. Sayı çemberindeki noktaları verilen sayılarla eşleştirin:
B)
V)
G)
D)
e)
Ve)
H)
2. Sayı çemberi üzerindeki noktaları bulun.
–2; 4; –8;
13.
III. Yeni malzemenin açıklanması.
Daha önce belirtildiği gibi, öğrenciler sayı çemberiyle ilgili dört ana türdeki problemleri (sayıdan noktaya; noktadan sayıya; yaydan çift eşitsizliğe; çift eşitsizlikten) çözme yeteneği sağlayan altı didaktik "oyun"dan oluşan bir sistemde ustalaşırlar. ark için).
(Mordkoviç A.G. M79 Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10-11. Sınıflar (temel seviye): öğretmenler için metodolojik el kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M .: Mnemosyne, 2010. - 202 s. : hasta.)
Bu derste son iki oyunu kullanacağız:
5. "oyun" – sayı çemberinin yayları için analitik kayıtların (çift eşitsizlikler) derlenmesi. Örneğin, ilk çeyreğin ortasını (yayın başlangıcı) ve ikinci çeyreği üç eşit parçaya bölen ikisinin en alt noktasını (yayın sonu) birleştiren bir yay verilirse, o zaman karşılık gelen analitik notasyon şu şekildedir:
Aynı yayın başlangıcı ve bitişi değiştirilirse yayın ilgili analitik kaydı şöyle görünecektir:
Ders kitabının yazarları, "bir yayın analitik gösteriminin özü", "bir yayın analitik gösterimi" terimlerinin genel olarak tanınmadığını, bunların tamamen metodolojik nedenlerle tanıtıldığını ve bunların kullanılıp kullanılmayacağının kişinin kararına bağlı olduğunu belirtmektedir. Öğretmen.
6. "oyun" – yayın bu analitik gösteriminden (çifte eşitsizlik) geometrik görüntüsüne geçin.
Açıklama benzetme tekniği kullanılarak yapılmalıdır. Bir sayı çemberine "daraltılabilen" hareketli bir sayı doğrusu modeli kullanabilirsiniz.
Ders kitabıyla çalışmak .
Sayfa 8'deki örneğe bakalım. 33 ders kitabı.
Dinamik duraklatma
IV. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.
Ödevleri tamamlarken öğrenciler, analitik olarak bir yay yazarken çift eşitsizliğin sol tarafının sağ taraftan küçük olmasını sağlamalıdır. Bunu yapmak için kayıt yaparken pozitif yönde, yani saat yönünün tersine hareket etmeniz gerekir.
1. grup . Sayı çemberindeki “kötü” noktaları bulmaya yönelik alıştırmalar.
№ 4.16, Sayı 4.17 (a; b).
2. grup . Bir yayın analitik kaydına ve analitik kaydına dayalı bir yayın oluşturulmasına ilişkin alıştırmalar.
№ 4.18 (a; b), No. 4.19 (a; b), No. 4.20 (a; b).
V. Bağımsız çalışma.
Seçenek 1
3. Analitik modele göre 
sayı yayının tanımını yazın ve geometrik modelini oluşturun.
Seçenek 2
1. Sayı çemberinin yayının geometrik modeline dayanarak analitik modeli çift eşitsizlik biçiminde yazınız.
2. Sayı çemberinin yayının verilen tanımına göre 
Geometrik ve analitik modellerini gösterir.
3. Analitik modele göre 
sayı çemberinin yayının tanımını yazın ve geometrik modelini oluşturun.
VI. Ders özeti.
Öğrenciler için sorular:
– Sayı çemberinin yayını analitik olarak hangi yollarla yazabilirsiniz?
– Bir yayın analitik kaydının çekirdeğine ne denir?
– Çifte eşitsizliğin solundaki ve sağındaki sayılar hangi koşulları karşılamalıdır?
Ev ödevi:
1. , sayfa 23. No. 4.17 (c; d), No. 4.18 (c; d), No. 4.19 (c; d), No. 4.20 (c; d).
2. Sayı çemberinin yayının geometrik modeline dayanarak analitik modelini çift eşitsizlik biçiminde yazın.
3. Sayı çemberinin yayının verilen tanımına göre 
Geometrik ve analitik modellerini gösterir.
