Spektrum av en periodisk sekvens. Spektrum av en sekvens av rektangulära pulser

2. Spektrum av en periodisk sekvens av rektangulära pulser

Betrakta den periodiska sekvensen av rektangulära pulser som visas i fig. 5. Denna signal kännetecknas av pulslängden, dess amplitud och period. Spänningen plottas längs den vertikala axeln.

Fig. 5. Periodisk sekvens av rektangulära pulser

Vi väljer startpunkt mitt i pulsen. Sedan utökas signalen endast i cosinus. De harmoniska frekvenserna är n/T, där n- något heltal. Övertonsamplituderna enligt (1.2.) kommer att vara lika:

därför att V (t)=E vid , var är pulslängden och V (t)= 0 på, då

Det är bekvämt att skriva denna formel i formen:

(2.1.)

Formel (1,5.) Ger beroendet av amplituden hos den nionde harmoniken på perioden och varaktigheten i form av en kontinuerlig funktion (funktion ). Denna funktion kallas spektrumenveloppen. Man bör komma ihåg att det endast har en fysisk betydelse vid frekvenser där motsvarande harmonier finns. I fig. Figur 6 visar spektrumet för en periodisk sekvens av rektangulära pulser.

Fig. 6. Spektrum av en periodisk sekvens

Rektangulära pulser.

När vi konstruerar kuvertet menar vi det - är det

En oscillerande funktion av frekvens, och nämnaren ökar monotoniskt med ökande frekvens. Därför erhålls en kvasi-oscillerande funktion med en gradvis minskning. Eftersom frekvensen tenderar att noll, både teller och nämnaren tenderar att noll, och deras förhållande tenderar att enhet (den första klassiska gränsen). Nollvärden på kuvertet förekommer vid punkter där dvs.

Var m- ett heltal (utomm

En periodisk sekvens av rektangulära videopulser är en modulerande funktion för bildning av en periodisk sekvens av rektangulära radiopulser (PPRP), som undersöker signaler för att upptäcka och mäta koordinaterna för rörliga mål. Därför, med hjälp av spektrumet för moduleringsfunktionen (PPVI), är det möjligt att bestämma spektrumet för sondsignalen (PPVI) relativt enkelt och snabbt. När en sonderingssignal reflekteras från ett rörligt mål ändras frekvenserna för bärvågens övertonsspektrum (dopplereffekt). Som ett resultat är det möjligt att identifiera en användbar signal som återspeglas från ett rörligt mål mot bakgrund av störande (störningar) vibrationer reflekterade från stationära föremål (lokala föremål) eller långsamma föremål (meteorologiska formationer, flockar av fåglar, etc.) .

PPPVI (Fig. 1.42) är en uppsättning enstaka rektangulära videopulser som följer varandra med lika tidsintervall. Analytiskt uttryck av signalen.

var är pulsamplituden; - Pulsvaraktighet; – pulsrepetitionsperiod; – pulsrepetitionsfrekvens, ; - Tullcykel.

För att beräkna den spektrala sammansättningen av en periodisk sekvens av pulser, används Fourier-serien. Med kända spektra av enstaka pulser som bildar en periodisk sekvens kan vi använda förhållandet mellan spektraltätheten hos pulserna och seriens komplexa amplituder:

För en enda rektangulär videopuls beskrivs den spektrala tätheten med formeln

Med hjälp av förhållandet mellan spektraltätheten för en enstaka puls och seriens komplexa amplituder, finner vi

där = 0; ± 1; ± 2; ...

Amplitud-frekvensspektrumet (Fig. 1.43) kommer att representeras av en uppsättning komponenter:

i detta fall motsvarar positiva värden noll initiala faser, och negativa värden motsvarar initiala faser lika med .

Således kommer det analytiska uttrycket för PPPVI att vara lika med

Från analysen av graferna som visas i figur 1.43 följer:

· PPPVI -spektrumet är diskret och består av individuella harmonier med frekvens.

· ASF-kuvertet ändras enligt lagen.

· Det maximala värdet på kuvertet är lika med värdet på konstantkomponenten.

· De initiala faserna av harmonier inom de udda lobarna är lika med 0, inom de jämna lobarna.

· Antalet harmonier inom varje lob är lika med.

Signalspektrumets bredd vid 90 % av signalenergin

· Signalbas, så signalen är enkel.

Om du ändrar varaktigheten på pulserna eller deras repetitionsfrekvens F(period), då kommer parametrarna för spektrumet och dess ASF att förändras.

Figur 1.43 visar ett exempel på en förändring i signalen och dess ASF när pulsvaraktigheten fördubblas.

Periodiska sekvenser av rektangulära videopulser och deras ASF -parametrar, T,. och , T, visas i figur 1.44.

Från analysen av de givna graferna följer det:

1. För PPPVI med pulslängd:

· Tullförhållande q= 4, därför är 3 harmonier koncentrerade i varje lob;

· Frekvensen för den k:te övertonen;

· Signalspektrumbredd vid 90 % energinivå;

Den konstanta komponenten är lika med

2. För PPPVI med pulslängd:

· Tullförhållande Q = 2 Därför finns det en harmonisk i varje lob;

· Frekvensen för den k-th harmoniken förblir oförändrad;

· Signalspektrumbredden på 90% av dess energi minskade med två gånger;

· Den konstanta komponenten ökade med 2 gånger.

Således kan vi dra slutsatsen att med ökande pulsvaraktighet är ASF "komprimerad" längs ordinataxeln (bredden på signalspektrumet minskar), medan amplituderna för spektralkomponenterna ökar. De harmoniska frekvenserna ändras inte.

I figur 1.44. Ett exempel på en förändring i signalen och dess ASF med en ökning av repetitionsperioden med fyra gånger (en minskning av repetitionsgraden med 4 gånger) presenteras.

c) signalspektrumbredden på 90% av dess energi har inte förändrats;

d) den konstanta komponenten minskade med 4 gånger.

Således kan vi dra slutsatsen att med en ökning av repetitionsperioden (en minskning av repetitionsfrekvensen) inträffar "komprimering" i ASF längs frekvensaxeln (amplituderna för harmonikerna minskar med en ökning av deras antal inom varje lob) . Signalspektrumets bredd ändras inte. En ytterligare minskning av repetitionsfrekvensen (ökning av repetitionsperioden) kommer att leda (vid) till en minskning av amplituderna för harmonikerna till oändliga värden. I detta fall kommer signalen att förvandlas till en enda och följaktligen kommer spektrumet att bli kontinuerligt.

Låt oss överväga en periodisk sekvens av rektangulära pulser med en period T, pulsvaraktighet T U och ett maximivärde. Låt oss hitta seriens utvidgning av en sådan signal genom att välja koordinaternas ursprung, som visas i fig. 15. I detta fall är funktionen symmetrisk när det gäller ordinataxeln, dvs. Alla koefficienter för sinusformade komponenter = 0, och endast koefficienterna behöver beräknas.

konstantkomponent

(2.28)

Den ständiga komponenten är medelvärdet under perioden, dvs. är området för pulsen dividerat med hela perioden, dvs. , dvs. Samma sak som hände med en strikt formell beräkning (2.28).

Låt oss komma ihåg att frekvensen för den första harmoniken är ¦ 1 =, där t är perioden för den rektangulära signalen. Avstånd mellan övertoner D¦=¦ 1. Om det harmoniska numret n visar sig vara sådant att sinusens argument är, går amplituden för denna harmoniska till noll för första gången. Detta villkor är uppfyllt när . Det harmoniska numret där dess amplitud försvinner för första gången kallas "Första noll" och beteckna det med bokstaven n, betonar de speciella egenskaperna för denna harmoniska:

Å andra sidan är pliktcykeln för pulser förhållandet mellan perioden T och pulsvaraktigheten t u, dvs. . Därför är den "första noll" numeriskt lika med pulsens arbetscykel N = s. Eftersom sinus går till noll för alla värden på argumentet som är multiplar av P, går amplituderna för alla harmonier med siffror som är multiplar av antalet "första noll" också till noll. Det är, var där k- något heltal. Så till exempel från (2.22) och (2.23) följer att spektrumet av rektangulära pulser med en arbetscykel på 2 endast består av udda harmonik. Eftersom den S = 2, då N=2, dvs. Amplituden för den andra harmoniken går till noll för första gången - detta är "första noll". Men sedan amplituderna för alla andra harmonier med siffror som delas med 2, dvs. alla jämna ettor måste också gå till noll. Med arbetscykel S=3 kommer nollamplituderna att vara vid 3, 6, 9, 12, ... övertoner.

Med ökande arbetscykel förskjuts de "första noll" till regionen för harmonik med högre antal och följaktligen minskar hastigheten för minskning av harmoniska amplituder. Enkel beräkning av amplituden för den första övertonen vid U m= 100V för arbetscykel S=2, U m 1=63,7V, vid S=5, U m 1=37,4V och vid S=10, U m 1=19,7V, dvs. När arbetscykeln ökar, minskar amplituden för den första övertonen kraftigt. Om vi ​​till exempel hittar amplitudförhållandet för den 5:e övertonen U m 5 till amplituden för den första övertonen U m 1, sedan för S=2, U m 5/U m 1=0,2, och för S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, dvs. dämpningshastigheten för högre övertoner minskar med ökande arbetscykel.

Sålunda, med ökande arbetscykel, blir spektrumet för en sekvens av rektangulära pulser mer enhetligt.

Litteratur: [L.1], s. 40

Som ett exempel ger vi Fourier -seriens utvidgning av en periodisk sekvens av rektangulära pulser med amplitud-, varaktighet och repetitionsperiod, symmetrisk om noll, dvs.

, (2.10)

Här

Att utöka en sådan signal till en Fourier-serie ger

, (2.11)

var är arbetscykeln.

För att förenkla notationen kan du ange notationen

, (2.12)

Då kommer (2.11) att skrivas enligt följande

, (2.13)

I fig. 2.3 visar en sekvens av rektangulära pulser. Sekvensens spektrum, såväl som alla andra periodiska signaler, är diskret (linje) till sin natur.

Spektrumhöljet (Fig. 2.3, B) är proportionellt . Avståndet längs frekvensaxeln mellan två angränsande spektrumkomponenter är, och mellan två nollvärden (bredden på spektrumloben) är. Antalet harmoniska komponenter i en lob, inklusive nollvärdet till höger i figur är ett heltal). När perioden ökar, den grundläggande frekvensen minskar, de spektrala komponenterna i diagrammet kommer närmare varandra, amplituderna för harmonikerna minskar också. I detta fall bevaras kuvertets form.

Vid lösning av praktiska problem med spektralanalys används cykliska frekvenser istället för vinkelfrekvenser , mätt i Hertz. Uppenbarligen kommer avståndet mellan angränsande harmonier på diagrammet att vara, och bredden på en spektrumlob kommer att vara. Dessa värden presenteras inom parentes i diagrammet.

I praktisk radioteknik används i de flesta fall i stället för den spektrala representationen (Fig. 2.3, B), spektrala diagram över amplitud- och fasspektra. Amplitudspektrumet för en sekvens av rektangulära pulser visas i fig. 2.3, c.

Uppenbarligen är kuvertet för amplitudspektrumet proportionellt .

När det gäller fasspektrumet (Fig. 2.3, D) tros det att de initiala faserna av de harmoniska komponenterna plötsligt förändras med mängden -π när kuvertets tecken ändras sinc kπ/q. De initiala faserna av harmoniken i den första loben antas vara noll. Då kommer de initiala faserna av harmonin i den andra loben att vara φ = -π , Tredje kronbladet φ = -2π etc.

Låt oss överväga en annan Fourier -serie som representerar signalen. För att göra detta använder vi Eulers formel

.

I enlighet med denna formel kan KTH -komponenten (2.9) av signalutvidgningen till en Fourier -serie representeras enligt följande

; . (2.15)

Här mängderna och är komplexa och representerar komplexa amplituder för spektrumkomponenterna. Sedan serien

Fourier (2.8) med hänsyn till (2.14) kommer att ta följande formulär

, (2.16)

, (2.17)

Det är lätt att verifiera att expansion (2.16) utförs i termer av basfunktionerna , som också är ortogonala på intervallet , dvs.

Uttryck (2.16) är komplex form Fourier -serien, som sträcker sig till negativa frekvenser. Mängder och , där betecknar det komplexa konjugatet av en kvantitet, kallas komplexa amplituder spektrum Därför att är en komplex storhet, följer det av (2.15) att

Och .

Då utgör helheten amplitudspektrumet, och helheten utgör signalens fasspektrum.

I fig. Figur 2.4 visar ett spektralt diagram över spektrumet för sekvensen av rektangulära pulser som diskuterats ovan, representerade av en komplex Fourier -serie

Spektrumet har också en linjekaraktär, men till skillnad från de tidigare betraktade spektra bestäms det både i området för positivt och i området med negativa frekvenser. Eftersom det är en jämn funktion av argumentet är spektraldiagrammet symmetriskt omkring noll.

Utifrån (2.15) kan vi fastställa en överensstämmelse mellan koefficienterna och expansionen (2.3). Därför att

Och ,

Sedan får vi som ett resultat

. (2.18)

Uttryck (2.5) och (2.18) låter dig hitta värdena i praktiska beräkningar.

Låt oss ge en geometrisk tolkning av Fourierseriens komplexa form. Låt oss välja den k:te komponenten i signalspektrumet. I komplex form beskrivs den k:te komponenten av formeln

var och bestäms av uttryck (2.15).

I det komplexa planet representeras var och en av termerna i (2.19) som längdvektorer , roterad i en vinkel och relativt den reella axeln och roterande i motsatta riktningar med frekvens (Fig. 2.5).

Uppenbarligen ger summan av dessa vektorer en vektor som ligger på den reella axeln vars längd är . Men denna vektor motsvarar den harmoniska komponenten

När det gäller projektioner av vektorer på den imaginära axeln, har dessa projektioner lika långa, men motsatta riktningar och summerar till noll. Detta betyder att signaler som presenteras i komplex form (2.16) faktiskt är riktiga signaler. Med andra ord är Fourierseriens komplexa form matematisk En abstraktion som är mycket bekväm för att lösa ett antal problem med spektralanalys. Därför kallas ibland spektrumet som definieras av den trigonometriska Fourier -serien fysiskt spektrum, och den komplexa formen av Fourier-serien är matematisk spektrum.

Och avslutande kommer vi att överväga frågan om energi och kraftfördelning i spektrumet för en periodisk signal. För att göra detta använder vi Parsevals jämlikhet (1.42). När signalen utvidgas till en trigonometrisk Fourier -serie tar uttryck (1.42) formen

.

Likström

,

och energin för den k:te övertonen

.

Sedan signalenergin

. (2.20)

Därför att genomsnittlig signalkraft

,

sedan med hänsyn till (2.18)

. (2.21)

När signalen utvidgas till en komplex Fourier -serie tar uttryck (1.42) formen

,

Var
- KTH -harmonisk energi.

Signalenergin i detta fall

,

och dess genomsnittliga kraft

.

Från ovanstående uttryck följer det att energin eller den genomsnittliga kraften för den K-TH-spektrala komponenten i det matematiska spektrumet är hälften så mycket som energin eller kraften i motsvarande spektralkomponent i det fysiska spektrumet. Detta beror på det faktum att det fysiska spektrumet fördelas lika mellan det matematiska spektrumet.

-τ och /2

τ och /2

T

t

U 0

S(t)

Uppgift nr 1, grupp RI - 210701

Från utgången från meddelandekällan tas signaler som bär information, såväl som klocksignaler som används för att synkronisera driften av sändaren och mottagaren av transmissionssystemet. Informationssignaler har formen av en icke -periodisk och klocksignaler - en periodisk sekvens av pulser.

För att korrekt bedöma möjligheten att överföra sådana pulser via kommunikationskanaler kommer vi att bestämma deras spektrala sammansättning. En periodisk signal i form av pulser av vilken form som helst kan utvidgas till en Fourier -serie enligt (7).

Signaler av olika former används för överföring över omkostnader och kabelkommunikationslinjer. Valet av en eller annan form beror på arten av meddelandena som överförs, frekvensspektrumet för signalerna och frekvens- och tidsparametrarna för signalerna. Signaler Stäng i form till rektangulära pulser används ofta i tekniken för att överföra diskreta meddelanden.

Låt oss beräkna spektrumet, dvs. en uppsättning konstant amplituder och

Harmoniska komponenter i periodiska rektangulära pulser (figur 4, a) med varaktighet och period. Eftersom signalen är en jämn funktion av tiden, försvinner sedan i uttryck (3) alla till och med harmoniska komponenter ( = 0), och de udda komponenterna tar följande värden:

(10)

Den ständiga komponenten är lika med

(11)

För en 1: 1 -signal (telegrafpunkter) Figur 4A:

,
. (12)

Moduler av amplituderna för de spektrala komponenterna i en sekvens av rektangulära pulser med en period
visas i fig. 4, b. Abscissa -axeln visar den huvudsakliga pulsupprepningsfrekvensen
() och frekvenser av udda harmoniska komponenter
,
etc. Spektrumhöljet ändras enligt lagen.

När perioden ökar jämfört med pulsvaraktigheten ökar antalet harmoniska komponenter i den spektrala sammansättningen av den periodiska signalen. Till exempel, för en signal med en period (figur 4, c), finner vi att den ständiga komponenten är lika med

I frekvensbandet från noll till frekvens finns det fem harmoniska komponenter (figur 4, d), medan det bara finns en tidvattnet.

Med en ytterligare ökning av pulsupprepningsperioden blir antalet harmoniska komponenter större och större. I det extrema fallet när
Signalen blir en icke-periodisk funktion av tiden, antalet av dess harmoniska komponenter i frekvensbandet från noll till frekvens ökar till oändligheten; De kommer att vara belägna på oändligt nära frekvensavstånd; spektrumet för den icke-periodiska signalen blir kontinuerlig.

Figur 4

2.4 Spektrum av en enda puls

En enda videopuls anges (figur 5):

Bild 5

Fourier-seriemetoden möjliggör en djup och fruktbar generalisering, vilket gör det möjligt att erhålla de spektrala egenskaperna hos icke-periodiska signaler. För att göra detta, låt oss mentalt komplettera en enda puls med samma pulser, regelbundet efter ett visst tidsintervall och få den tidigare studerade periodiska sekvensen:

Låt oss föreställa oss en enda puls som en summa av periodiska pulser med en stor period.

, (14)

var är heltal.

För periodisk svängning

. (15)

För att återgå till en enda impuls, låt oss rikta upprepningsperioden till oändlighet :. I det här fallet är det uppenbart:

, (16)

Låt oss beteckna

. (17)

Mängden är den spektrala egenskapen (funktion) för en enda puls (direkt Fourier -transform). Det beror endast på den temporära beskrivningen av pulsen och i allmänhet är komplex:

, (18) var
; (19)

; (20)

,

Var
- modul för spektralfunktionen (pulsens amplitudfrekvenssvar);

- Fasvinkel, fasfrekvenskarakteristik för pulsen.

Låt oss hitta en enda puls med formel (8) med hjälp av spektralfunktionen:

.

Om vi ​​får:

. (21)

Det resulterande uttrycket kallas den omvända Fourier -transformen.

Fourier Integral definierar fart som en oändlig summa av oändliga harmoniska komponenter belägna vid alla frekvenser.

På grundval av detta talar de om ett kontinuerligt (fast) spektrum som besattes av en enda puls.

Den totala pulsenergin (energin som släpps vid det aktiva motståndet ohm) är lika med

(22)

Ändra integrationens ordning får vi

.

Den interna integralen är den spektrala funktionen av momentum taget med argumentet -, dvs. är en komplex konjugatkvantitet:

Därav

Kvadratmodul (produkten från två konjugatkomplexantal är lika med den kvadratiska modulen).

I detta fall sägs det konventionellt att pulspektrumet är tvåsidig, dvs. Beläget i frekvensbandet från till.

Det givna förhållandet (23), som fastställer kopplingen mellan pulsenergin (vid ett motstånd på 1 ohm) och modulen för dess spektrala funktion, kallas Parsevals jämlikhet.

Den säger att energin som finns i en puls är lika med summan av energierna för alla komponenter i dess spektrum. Parsevals jämlikhet kännetecknar en viktig egenskap hos signaler. Om vissa selektiva system bara överför en del av signalspektrumet, vilket försvagar dess andra komponenter, betyder detta att en del av signalenergin går förlorad.

Eftersom fyrkanten för modulen är en jämn funktion av integrationsvariabeln, sedan genom att fördubbla värdet på integralen, kan man införa integration i intervallet från 0 till:

. (24)

I det här fallet säger de att pulspektrumet är beläget i frekvensbandet från 0 till och kallas ensidig.

Integranden i (23) kallas energispektrumet (spektralenergitätheten) för pulsen

Den kännetecknar distributionen av energi efter frekvens, och dess värde vid frekvens är lika med pulsenergin per frekvensband lika med 1 Hz. Följaktligen är pulsenergin resultatet av att integrera signalens energispektrum över hela frekvensområdet. Med andra ord är energin lika med området som är inneslutet mellan kurvan som visar signalens energispektrum och Abscissa -axeln.

För att uppskatta energifördelningen över spektrumet använder du den relativa integrerade energifördelningen (energikarakteristik)

, (25)

Var
- Pulsenergi i ett givet frekvensband från 0 till, som kännetecknar fraktionen av pulsenergi koncentrerad i frekvensområdet från 0 till.

För enstaka pulser med olika former gäller följande lagar: