Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.
Insamling och användning av personlig information
Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.
Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.
Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.
Vilken personlig information samlar vi in:
- När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.
Hur vi använder din personliga information:
- De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
- Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
- Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
- Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.
Utlämnande av information till tredje part
Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.
Undantag:
- Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ i Ryska federationen - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
- I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.
Skydd av personlig information
Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.
Respektera din integritet på företagsnivå
För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.
ABSTRAKT
"Fullständig studie av en funktion och konstruktionen av dess graf."
INTRODUKTION
Att studera egenskaperna hos en funktion och rita dess graf är en av de mest underbara tillämpningarna av derivator. Denna metod för att studera funktion har upprepade gånger utsatts för noggrann analys. Det främsta skälet är att i tillämpningar av matematik var det nödvändigt att ta itu med fler och mer komplexa funktioner som dök upp när man studerade nya fenomen. Undantag från reglerna som utvecklats av matematiken dök upp, fall dök upp när de skapade reglerna inte alls var lämpliga, funktioner dök upp som inte hade en derivata någon gång.
Syftet med att studera kursen i algebra och elementär analys i årskurserna 10-11 är den systematiska studien av funktioner, avslöjandet av det tillämpade värdet av allmänna matematikmetoder relaterade till studiet av funktioner.
Utvecklingen av funktionella begrepp under studierna av algebra och början av analys på högre utbildningsnivå hjälper gymnasieelever att få visuella idéer om kontinuitet och diskontinuiteter i funktioner, lära sig om kontinuiteten i alla elementära funktioner inom området dess tillämpning, lära sig att konstruera sina grafer och generalisera information om de viktigaste elementära funktionerna och förstå deras roll i studiet av verklighetsfenomen, i mänsklig praktik.
Ökar och minskar funktioner
Att lösa olika problem från områdena matematik, fysik och teknik leder till upprättandet av ett funktionellt samband mellan de variabler som är involverade i detta fenomen.
Om ett sådant funktionellt beroende kan uttryckas analytiskt, det vill säga i form av en eller flera formler, blir det möjligt att studera det med hjälp av matematisk analys.
Detta syftar på möjligheten att förtydliga beteendet hos en funktion när en eller annan variabel ändras (där funktionen ökar, var den minskar, var den når ett maximum, etc.).
Tillämpningen av differentialkalkyl för att studera en funktion är baserad på ett mycket enkelt samband som finns mellan beteendet hos en funktion och egenskaperna hos dess derivata, i första hand dess första och andra derivator.
Låt oss överväga hur vi kan hitta intervall med ökande eller minskande funktion, det vill säga intervall för dess monotoni. Baserat på definitionen av en monotont minskande och ökande funktion är det möjligt att formulera satser som gör att vi kan relatera värdet av den första derivatan av en given funktion till arten av dess monotoni.
Sats 1.1. Om funktionen y
=
f
(
x
)
, differentierbar på intervallet(
a
,
b
)
, ökar monotont på detta intervall, sedan när som helst
(
x
) >0;
om den minskar monotont, då när som helst i intervallet (
x
)<0.
Bevis. Låt funktioneny = f ( x ) monotont ökar med( a , b ) , Detta betyder att för alla som är tillräckligt små > 0 gäller följande ojämlikhet:
f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Fig. 1.1).
Ris. 1.1
Tänk på gränsen
.
Om > 0, då 
> 0 om< 0, то
< 0.
I båda fallen är uttrycket under gränstecknet positivt, vilket betyder att gränsen är positiv, det vill säga ( x )>0 , vilket var det som behövde bevisas. Den andra delen av satsen, relaterad till den monotona minskningen av funktionen, bevisas på ett liknande sätt.
Sats 1.2. Om funktionen y = f ( x ) , kontinuerlig på segmentet[ a , b ] och är differentierbar vid alla dess inre punkter, och dessutom, ( x ) >0 för vem som helst x ϵ ( a , b ) , då ökar denna funktion monotont med( a , b ) ; Om
( x ) <0 för vem som helst xϵ ( a , b ), då minskar denna funktion monotont med( a , b ) .
Bevis. Låt oss ta ϵ ( a , b ) Och ϵ ( a , b ) , och< . Enligt Lagranges sats
( c ) = .
Men ( c )>0 och > 0, vilket betyder ( > 0, det vill säga
(. Det erhållna resultatet indikerar en monoton ökning av funktionen, vilket var det som behövde bevisas. Den andra delen av satsen bevisas på ett liknande sätt.
Extrema av funktionen
När man studerar beteendet hos en funktion spelas en speciell roll av de punkter som skiljer från varandra intervallen för monoton ökning från intervallen för dess monotona minskning.
Definition 2.1. Punkt kallas maxpunkten för funktionen
y
=
f
(
x
)
, om för någon, hur liten som helst ,
(
< 0
, а точка
kallas en minimipunkt om (
> 0.
Minsta och högsta poäng kallas gemensamt för extrema poäng. Den bitvis monotona funktionen av sådana punkter har ett ändligt tal på ett ändligt intervall (fig. 2.1).
Ris. 2.1
Sats 2.1 (nödvändigt villkor för existensen av ett extremum). Om differentierbar på intervallet( a , b ) funktion har vid punkt från detta intervall är maximum, då är dess derivata vid denna punkt lika med noll. Detsamma kan sägas om minimipunkten .
Beviset för denna sats följer av Rolles sats, där det visades att vid punkterna minimum eller maximum = 0, och tangenten som dras till grafen för funktionen vid dessa punkter är parallell med axelnOXE .
Av sats 2.1 följer att om funktioneny = f ( x ) har en derivata vid alla punkter, då kan den nå ett extremum vid de punkter där = 0.
Detta villkor är dock inte tillräckligt, eftersom det finns funktioner för vilka det angivna villkoret är uppfyllt, men det finns inget extremum. Till exempel funktioneny= vid en punkt x = 0 derivatan är noll, men det finns inget extremum vid denna tidpunkt. Dessutom kan extremumet vara på de punkter där derivatan inte finns. Till exempel funktioneny = | x | det finns ett minimum vid punktenx = 0 , även om derivatan inte existerar vid denna tidpunkt.
Definition 2.2. Punkterna där derivatan av en funktion försvinner eller har en diskontinuitet kallas kritiska punkter för denna funktion.
Följaktligen räcker inte sats 2.1 för att bestämma extrempunkter.
Sats 2.2 (tillräckligt villkor för att det ska finnas ett extremum). Låt funktionen y = f ( x ) kontinuerligt i intervallet( a , b ) , som innehåller dess kritiska punkt , och är differentierbar vid alla punkter i detta intervall, möjligen med undantag för själva punkten . Sedan, om, när du flyttar denna punkt från vänster till höger, derivatans tecken ändras från plus till minus, är detta en maximipunkt, och omvänt, från minus till plus - en minimipunkt.
Bevis. Om derivatan av en funktion ändrar sitt tecken när den passerar en punkt från vänster till höger från plus till minus, sedan går funktionen från ökande till minskande, det vill säga den når punkten dess maximala och vice versa.
Från ovanstående följer ett schema för att studera en funktion vid ett extremum:
1) hitta definitionsdomänen för funktionen;
2) beräkna derivatan;
3) hitta kritiska punkter;
4) genom att ändra tecknet för den första derivatan bestäms deras karaktär.
Uppgiften att studera en funktion för ett extremum ska inte förväxlas med uppgiften att bestämma minimi- och maximivärdena för en funktion på ett segment. I det andra fallet är det nödvändigt att inte bara hitta extrempunkterna på segmentet, utan också jämföra dem med värdet på funktionen i dess ändar.
Intervaller för konvexa och konkava funktioner
En annan egenskap hos grafen för en funktion som kan bestämmas med hjälp av derivatan är dess konvexitet eller konkavitet.
Definition 3.1. Fungera y = f ( x ) kallas konvex på intervallet( a , b ) , om dess graf är placerad under någon tangent ritad till den på ett givet intervall, och vice versa, kallas den konkav om dess graf ligger över någon tangent som ritats till den på ett givet intervall.
Låt oss bevisa ett teorem som låter oss bestämma intervallen för konvexitet och konkavitet för en funktion.
Sats 3.1. Om på alla punkter i intervallet( a , b ) andra derivatan av funktionen ( x ) är kontinuerlig och negativ, då funktioneny = f ( x ) är konvex och vice versa, om andraderivatan är kontinuerlig och positiv så är funktionen konkav.
Vi utför beviset för funktionens konvexitetsintervall. Låt oss ta en godtycklig poängϵ ( a , b ) och rita en tangent till grafen för funktionen vid denna punkty = f ( x ) (Fig. 3.1).
Satsen kommer att bevisas om det visas att alla punkter i kurvan på intervallet( a , b ) ligga under denna tangent. Med andra ord är det nödvändigt att bevisa det för samma värdenx kurvordinatery = f ( x ) mindre än ordinatan för tangenten som dras till den vid punkten .
Ris. 3.1
För visshetens skull betecknar vi kurvans ekvation: = f ( x ) , och ekvationen för tangenten till den vid punkten :
- f ( ) = ( )( x - )
eller
= f ( ) + ( )( x - ) .
Låt oss kompensera skillnaden Och:
- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).
Tillämpa på skillnadf ( x ) – f ( ) Lagranges medelvärdessats:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
Var ϵ ( , x ).
Låt oss nu tillämpa Lagranges sats på uttrycket inom hakparentes:
- = ( )( - )( x - ) , Var ϵ ( , ).
Som framgår av figuren,x > , Då x - > 0 Och - > 0 . Dessutom, enligt satsen, ( )<0.
Multiplicerar vi dessa tre faktorer får vi det , vilket var det som behövde bevisas.
Definition 3.2. Punkten som skiljer det konvexa intervallet från det konkava intervallet kallas böjningspunkten.
Av definition 3.1 följer att tangenten vid en given punkt skär kurvan, det vill säga på ena sidan är kurvan belägen under tangenten och på den andra ovanför.
Sats 3.2. Om vid punkten andra derivatan av funktionen
y = f ( x ) är lika med noll eller existerar inte, och när den passerar genom en punkt tecknet för andraderivatan ändras till det motsatta, då är denna punkt en böjningspunkt.
Beviset för denna sats följer av det faktum att tecknen ( x ) på motsatta sidor av spetsen är olika. Det betyder att på ena sidan av punkten är funktionen konvex och på den andra är den konkav. I detta fall, enligt definition 3.2, punkten är böjningspunkten.
Studien av en funktion för konvexitet och konkavitet utförs enligt samma schema som studien för ett extremum.
4. Asymptoter för funktionen
I de föregående styckena diskuterades metoder för att studera beteendet hos en funktion med hjälp av derivatan. Men bland frågorna relaterade till den fullständiga studien av en funktion finns det också de som inte är relaterade till derivatan.
Så, till exempel, är det nödvändigt att veta hur en funktion beter sig när en punkt på dess graf rör sig oändligt bort från origo. Detta problem kan uppstå i två fall: när argumentet för en funktion går till oändlighet och när, under en diskontinuitet av det andra slaget vid slutpunkten, själva funktionen går till oändlighet. I båda dessa fall kan en situation uppstå när funktionen tenderar till någon rät linje, kallad dess asymptot.
Definition . Asymptot för grafen för en funktiony = f ( x ) är en rät linje som har egenskapen att avståndet från grafen till denna räta linje tenderar att bli noll när grafpunkten rör sig obegränsat från origo.
Det finns två typer av asymptoter: vertikala och sneda.
Vertikala asymptoter inkluderar raka linjerx
=
, som har egenskapen att grafen för funktionen i deras närhet går till oändlighet, det vill säga villkoret är uppfyllt: 
.
Uppenbarligen är kravet på den specificerade definitionen uppfyllt här: avståndet från kurvans graf till den räta linjenx = tenderar till noll, och själva kurvan går till oändlighet. Så vid diskontinuitetspunkter av det andra slaget har funktioner vertikala asymptoter, till exempel,y= vid en punkt x = 0 . Följaktligen sammanfaller bestämning av de vertikala asymptoterna för en funktion med att hitta diskontinuitetspunkter av det andra slaget.
Sned asymptoter beskrivs av den allmänna ekvationen för en rät linje på ett plan, det vill sägay = kx + b . Detta innebär att, till skillnad från vertikala asymptoter, här är det nödvändigt att bestämma talenk Och b .
Så låt kurvan = f ( x ) har en sned asymptot, det vill säga klx kurvans punkter kommer så nära den räta linjen som önskas = kx + b (Fig. 4.1). Låta M ( x , y ) - en punkt belägen på en kurva. Dess avstånd från asymptoten kommer att kännetecknas av längden på vinkelrät| MN | .
För att helt studera funktionen och rita dess graf rekommenderas följande schema:
A) hitta definitionsdomänen, brytpunkter; utforska beteendet hos en funktion nära diskontinuitetspunkter (hitta gränserna för funktionen till vänster och höger vid dessa punkter). Ange de vertikala asymptoterna.
B) avgöra om en funktion är jämn eller udda och dra slutsatsen att det finns symmetri. Om , då är funktionen jämn och symmetrisk kring OY-axeln; när funktionen är udda, symmetrisk om ursprunget; och om är en funktion av allmän form.
C) hitta skärningspunkterna för funktionen med koordinataxlarna OY och OX (om möjligt), bestäm intervallen för konstanttecken för funktionen. Gränserna för intervall med konstant tecken för en funktion bestäms av punkterna där funktionen är lika med noll (funktionsnollor) eller inte existerar och gränserna för definitionsdomänen för denna funktion. I intervaller där grafen för funktionen är placerad ovanför OX-axeln, och där - under denna axel.
D) hitta den första derivatan av funktionen, bestäm dess nollor och intervall med konstant tecken. I intervaller där funktionen ökar och där den minskar. Gör en slutsats om förekomsten av extrema (punkter där en funktion och derivata existerar och när den passerar genom vilka den ändrar tecken. Om tecknet ändras från plus till minus har funktionen vid denna punkt ett maximum, och om från minus till plus , sedan ett minimum). Hitta funktionens värden vid extrempunkterna.
D) hitta andraderivatan, dess nollor och intervall med konstanttecken. I intervaller var< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) hitta lutande (horisontella) asymptoter, vars ekvationer har formen 
; Var 
.
På 
grafen för funktionen kommer att ha två lutande asymptoter, och varje värde på x at och kan också motsvara två värden på b.
G) hitta ytterligare punkter för att förtydliga grafen (om nödvändigt) och konstruera en graf.
Exempel 1
Utforska funktionen och konstruera dess graf. Lösning: A) definitionsdomän 
; funktionen är kontinuerlig i sin definitionsdomän; – brytpunkt, eftersom 
;
. Sedan – vertikal asymptot.
B)
de där. y(x) är en funktion av allmän form.
C) Hitta skärningspunkterna för grafen med OY-axeln: ställ in x=0; sedan y(0)=–1, dvs. grafen för funktionen skär axeln i punkten (0;-1). Nollor för funktionen (grafens skärningspunkter med OX-axeln): sätt y=0; Sedan 
.
Diskriminanten för en andragradsekvation är mindre än noll, vilket betyder att det inte finns några nollor. Då är gränsen för intervallen med konstant tecken punkten x=1, där funktionen inte existerar.
Funktionens tecken i vart och ett av intervallen bestäms av metoden för delvärden:
Det framgår tydligt av diagrammet att i intervallet är grafen för funktionen placerad under OX-axeln och i intervallet - ovanför OX-axeln.
D) Vi tar reda på förekomsten av kritiska punkter.
.
Vi hittar kritiska punkter (där eller inte finns) från jämlikheterna och .
Vi får: x1=1, x2=0, x3=2. Låt oss skapa en extra tabell
bord 1 
(Den första raden innehåller kritiska punkter och intervallen i vilka dessa punkter delas av OX-axeln; den andra raden anger värdena för derivatan vid kritiska punkter och tecknen på intervallen. Tecknen bestäms av delvärdet metod. Den tredje raden indikerar värdena för funktionen y(x) vid kritiska punkter och visar funktionens beteende - ökar eller minskar med motsvarande intervall på den numeriska axeln. Dessutom är närvaron av ett minimum eller maximum är anges.
D) Hitta intervallen för konvexitet och konkavitet för funktionen.
; bygga en tabell som i punkt D); Endast på den andra raden skriver vi ner tecknen, och i den tredje anger vi typen av konvexitet. Därför att ; då är den kritiska punkten ett x=1.
Tabell 2 
Punkten x=1 är böjningspunkten.
E) Hitta sneda och horisontella asymptoter 
Då är y=x en sned asymptot.
G) Baserat på erhållen data bygger vi en graf över funktionen 
1). Funktionens omfattning.
Det är uppenbart att denna funktion är definierad på hela tallinjen, förutom punkterna "" och "", eftersom vid dessa punkter är nämnaren lika med noll och därför existerar inte funktionen, och räta linjer och är vertikala asymptoter.
2). En funktions beteende som argument tenderar till oändlighet, förekomsten av diskontinuitetspunkter och kontroll av förekomsten av sneda asymptoter.
Låt oss först kolla hur funktionen beter sig när den närmar sig oändligheten till vänster och till höger. 
Alltså när funktionen tenderar till 1, dvs. – horisontell asymptot.
I närheten av diskontinuitetspunkter bestäms funktionens beteende enligt följande: 
De där. När man närmar sig diskontinuitetspunkter till vänster minskar funktionen oändligt och till höger ökar den oändligt.
Vi bestämmer närvaron av en sned asymptot genom att beakta likheten: 
Det finns inga sneda asymptoter.
3). Skärningspunkter med koordinataxlar.
Här är det nödvändigt att överväga två situationer: hitta skärningspunkten med Ox-axeln och Oy-axeln. Tecknet för skärning med Ox-axeln är funktionens nollvärde, d.v.s. det är nödvändigt att lösa ekvationen:
Denna ekvation har inga rötter, därför har grafen för denna funktion inga skärningspunkter med Ox-axeln.
Tecknet för skärningen med Oy-axeln är värdet x = 0. I detta fall
,
de där. – funktionsgrafens skärningspunkt med Oy-axeln.
4).Bestämning av extrema punkter och intervall för ökning och minskning.
För att studera denna fråga definierar vi den första derivatan: 
.
Låt oss likställa värdet av den första derivatan med noll. 
.
Ett bråk är lika med noll när dess täljare är lika med noll, dvs. .
Låt oss bestämma intervallen för ökning och minskning av funktionen.
Funktionen har alltså en extrempunkt och existerar inte på två punkter.
Således ökar funktionen på intervallen och och minskar på intervallen och .
5). Böjningspunkter och områden med konvexitet och konkavitet.
Denna egenskap hos en funktions beteende bestäms med hjälp av andraderivatan. Låt oss först bestämma närvaron av böjningspunkter. Den andra derivatan av funktionen är lika med 
När och funktionen är konkav;
när och funktionen är konvex.
6). Plotta en funktion.
Med hjälp av de hittade värdena i poäng kommer vi schematiskt att konstruera en graf av funktionen:
Exempel 3
Utforska funktion 
och bygga dess graf. Lösning
Den givna funktionen är en icke-periodisk funktion av allmän form. Dess graf passerar genom ursprunget för koordinater, eftersom .
Definitionsdomänen för en given funktion är alla värden för variabeln utom och för vilka bråkets nämnare blir noll.
Följaktligen är punkterna diskontinuitetspunkterna för funktionen.
Därför att 
, 
Därför att 
,
, då är punkten en diskontinuitetspunkt av det andra slaget.
De raka linjerna är de vertikala asymptoterna i grafen för funktionen.
Ekvationer av sneda asymptoter, där, 
.
På 
,
.
Således har för och grafen för funktionen en asymptot.
Låt oss hitta intervallen för ökning och minskning av funktionen och extrema punkter.
.
Den första derivatan av funktionen vid och, därför, vid och funktionen ökar.
När , alltså när , minskar funktionen.
finns inte för , . 
alltså när 
Grafen för funktionen är konkav.
På 
alltså när 
Grafen för funktionen är konvex. 
När du passerar genom punkterna , , byter tecken. När , funktionen inte är definierad, har grafen för funktionen därför en böjningspunkt.
Låt oss bygga en graf över funktionen. 
Studiet av en funktion genomförs enligt ett tydligt schema och kräver att studenten har gedigna kunskaper om grundläggande matematiska begrepp som definitions- och värdeområdet, funktionens kontinuitet, asymptoter, extrema punkter, paritet, periodicitet, etc. . Eleven ska kunna differentiera funktioner fritt och lösa ekvationer som ibland kan vara mycket komplexa.
Det vill säga, denna uppgift testar ett betydande lager av kunskap, varje lucka i vilken kommer att bli ett hinder för att få rätt lösning. Särskilt ofta uppstår svårigheter med att konstruera grafer över funktioner. Detta misstag är omedelbart märkbart för läraren och kan i hög grad skada ditt betyg, även om allt annat gjordes korrekt. Här kan du hitta onlinefunktionsforskningsproblem: studieexempel, ladda ner lösningar, beställa uppdrag.
Utforska en funktion och rita en graf: exempel och lösningar online
Vi har förberett åt dig en hel del färdiga funktionsstudier, både betalda i lösningsboken och gratis i avsnittet Exempel på funktionsstudier. Utifrån dessa lösta uppgifter kommer du att kunna bekanta dig i detalj med metodiken för att utföra liknande uppgifter, och utföra din forskning analogt.
Vi erbjuder färdiga exempel på komplett forskning och plottning av funktioner av de vanligaste typerna: polynom, bråk-rationella, irrationella, exponentiella, logaritmiska, trigonometriska funktioner. Varje löst problem åtföljs av en färdig graf med markerade nyckelpunkter, asymptoter, maxima och minima; lösningen utförs med hjälp av en algoritm för att studera funktionen.
I vilket fall som helst kommer de lösta exemplen att vara till stor hjälp för dig eftersom de täcker de mest populära typerna av funktioner. Vi erbjuder dig hundratals redan lösta problem, men, som du vet, finns det ett oändligt antal matematiska funktioner i världen, och lärare är stora experter på att hitta på allt mer kluriga uppgifter för fattiga elever. Så, kära studenter, kvalificerad hjälp kommer inte att skada er.
Lösning av anpassade funktionsforskningsproblem
I det här fallet kommer våra partners att erbjuda dig en annan tjänst - full funktionsforskning online att beställa. Uppgiften kommer att slutföras för dig i enlighet med alla krav för en algoritm för att lösa sådana problem, vilket mycket kommer att glädja din lärare.
Vi kommer att göra en fullständig studie av funktionen åt dig: vi kommer att hitta definitionsdomänen och värdedomänen, undersöka kontinuitet och diskontinuitet, fastställa paritet, kontrollera din funktion för periodicitet och hitta skärningspunkterna med koordinataxlarna . Och, naturligtvis, vidare med hjälp av differentialkalkyl: vi kommer att hitta asymptoter, beräkna extrema, böjningspunkter och konstruera själva grafen.
Att konstruera en graf av en funktion med singulära punkter inkluderar studiet av själva funktionen: bestämma intervallet av tillåtna värden för argumentet, bestämma variationsintervallet för funktionen, bestämma om funktionen är jämn eller udda, bestämma brytpunkterna av funktionen, hitta intervall av konstant tecken för funktionen, hitta asymptoter av grafen för funktionen. Med hjälp av den första derivatan kan du bestämma intervallen för ökning (minskning) av funktionen och närvaron av extremumpunkter. Med hjälp av den andra derivatan kan du bestämma intervallen för konvexitet (konkavitet) för funktionsgrafen, såväl som inflexionspunkter. Samtidigt tror vi att om någon gång puss kram tangent till grafen för funktionen ovanför kurvan, då har grafen för funktionen vid denna punkt konvexitet; om tangenten är under kurvan, så har grafen för funktionen vid denna punkt en konkavitet.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funktionsstudie.
a) Område av tillåtna värden för argumentet: (-∞,+∞).
b) Område för ändring av funktionen: (-∞, +∞).
c) Funktionen är udda, eftersom y(-x) = -y(x), de där. grafen för funktionen är symmetrisk om ursprunget.
d) Funktionen är kontinuerlig, det finns inga diskontinuitetspunkter, därför finns det inga vertikala asymptoter.
e) Hitta ekvationen för sned asymptot y(x) = k∙x + b, Var
k = /x Och b = 
I det här exemplet är asymptotparametrarna lika:
k = , eftersom den högsta graden av täljaren och nämnaren är lika, lika med tre, och förhållandet mellan koefficienterna vid dessa högsta grader är lika med ett. När x→ + ∞ den tredje anmärkningsvärda gränsen användes för att beräkna gränsen.
b = = = 0, vid beräkning av gränsen vid x→ + ∞ använde den tredje anmärkningsvärda gränsen. Så, grafen för denna funktion har en lutande asymptot y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - derivatan beräknas med hjälp av kvotdifferentieringsformeln.
a) Bestäm nollorna för derivatan och diskontinuitetspunkten, likställ täljaren och nämnaren för derivatan med noll, respektive: y´=0, Om x=0. 1:a derivatan har inga diskontinuitetspoäng.
b) Vi bestämmer intervallen för konstant tecken för derivatan, dvs. intervaller av monotoni av funktionen: kl -∞
3. Att studera en funktion med hjälp av 2:a derivatan.
Genom att använda formeln för att differentiera kvotienter och göra algebraiska transformationer får vi: y´´ = /(x²+3)³
a) Bestäm nollorna för 2:a derivatan och intervallen för konstanttecken: y´´ = 0, Om x=0 Och x= + 3 . Den andra derivatan har inga diskontinuitetspoäng.
b) Låt oss bestämma konstansintervallen för 2:a derivatan, dvs. intervaller för konvexitet eller konkavitet för grafen för en funktion. Vid -∞
Exempel: Utforska en funktion och rita en graf av den y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funktionsstudie.
a) Område av acceptabla värden: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Område för ändring av funktionen: (-∞,+∞).
d) Denna funktion har en diskontinuitetspunkt av 2:a slaget vid x=0.
e) Hitta asymptoter. Därför att funktionen har en diskontinuitetspunkt av 2:a slaget vid x=0, så har funktionen följaktligen en vertikal asymptot x=0. Denna funktion har inga sneda eller horisontella asymptoter.
2.Studera en funktion med 1:a derivatan.
Låt oss omvandla funktionen genom att utföra alla algebraiska operationer. Som ett resultat kommer formen på funktionen att förenklas avsevärt: y(x)=x2-x-1+(1/x). Det är väldigt lätt att ta derivatan från summan av termerna och vi får: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Bestäm nollpunkterna och diskontinuitetspunkterna för 1:a derivatan. Vi bringar uttrycken för 1:a derivatan till en gemensam nämnare och genom att likställa täljaren och sedan nämnaren till noll får vi: y´=0 på x=1, y´ - finns inte när x=0.
b) Låt oss bestämma intervallen för monotoni för funktionen, dvs. intervall av konstant tecken för derivatan. Vid -∞<x<0
Och 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Med hjälp av 2:a derivatan bestämmer vi intervallen för konvexitet eller konkavitet för funktionsgrafen, såväl som, om några, böjningspunkter. Låt oss presentera uttrycket för den andra derivatan till den gemensamma nämnaren, och sedan, genom att likställa täljaren och nämnaren med noll i tur och ordning, får vi: y´´=0 på x=-1, y´´- finns inte när x=0.
Vid -∞
ris. 4 fig. 5
Exempel: Utforska en funktion och rita en graf av den y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Funktionsstudie.
a) Område av tillåtna argumentvärden: den logaritmiska funktionen existerar endast för argument som är strikt större än noll, därför, x²+4x+5>0 – detta villkor är uppfyllt för alla värden i argumentet, dvs. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Område för ändring av funktionen: (0, +∞). Låt oss transformera uttrycket under logaritmetecknet och likställa funktionen med noll: ln((x+2)²+1) =0. De där. funktionen går till noll när x=-2. Grafen för funktionen kommer att vara symmetrisk med avseende på den räta linjen x=-2.
c) Funktionen är kontinuerlig och har inga brytpunkter.
d) Funktionens graf har inga asymptoter.
2.Studera en funktion med 1:a derivatan.
Genom att använda regeln för att differentiera en komplex funktion får vi: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Låt oss bestämma nollpunkterna och diskontinuitetspunkterna för derivatan: y´=0, på x=-2. Den första derivatan har inga diskontinuitetspunkter.
b) Vi bestämmer intervallen för monotoni för funktionen, dvs. intervall av konstant tecken för förstaderivatan: vid -∞<x<-2
derivat y´<0,
därför minskar funktionen, när -2
3.Studie av funktionen i termer av 2:a derivatan.
Låt oss representera den första derivatan i följande form: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Låt oss bestämma intervallen för konstanttecken för andraderivatan. Eftersom nämnaren för 2:a derivatan alltid är icke-negativ, bestäms tecknet för andra derivatan endast av täljaren. y´´=0 på x=-3 Och x=-1.
På -∞
Exempel: Utforska en funktion och rita en graf y(x) = x²/(x+2)²
1.Funktionsstudie.
a) Område av tillåtna värden för argumentet (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Område för funktionsändring².
a) Låt oss bestämma nollorna och intervallen för konstanttecken för andraderivatan. Därför att Eftersom bråkets nämnare alltid är positiv, bestäms tecknet för andraderivatan helt av täljaren. Vid -∞
