03.07.202327.05.2017

Lëreni një funksion real të plotësojë kushtet e Dirichlet në intervalin - L, L. Le të shkruajmë zgjerimin e tij në serinë trigonometrike të Furierit:

Nëse në (10.1) shprehim dhe përmes funksionit eksponencial të argumentit imagjinar:

atëherë marrim serinë

ku për shkak të (10.2)

Tre formulat e fundit mund të kombinohen:

Seria (10.3) me koeficientët (10.4) quhet seri trigonometrike Furier në formë komplekse.

Shembulli 1. Zgjeroni funksionin, ku është një numër kompleks, në një seri Furier në interval.

Zgjidhje . Le të gjejmë koeficientët Fourier:

Që atëherë

Zgjerimi i kërkuar do të ketë formën

ku merret parasysh se

Zbatimi i barazisë së Parseval në serinë (10.5)

ju mund të gjeni shumën e një serie tjetër numrash. Në të vërtetë, në rastin tonë

Pastaj nga (10.6) vijon

Ushtrimi 1. Vërtetoni se

shënim. Vendos (10.5) X= 0 dhe X = .

Ushtrimi 2. Vërtetoni se kur

Integrali Furier

Konvergjenca e integralit Furier

Lëreni funksionin të përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Duke supozuar se në një interval të fundëm arbitrar - L, L funksioni i dhënë plotëson kushtet e Dirichlet-it, le ta paraqesim atë me një seri trigonometrike Furier në formë komplekse:

Frekuenca k th harmonika; .

Duke futur shprehjet (11.2) në (11.1), marrim

Në madhësi. Ana e djathtë e formulës (11.3) është e ngjashme me shumën integrale për një funksion mbi një ndryshore në interval. Prandaj, mund të presim që pasi të kalojmë në kufirin në (11.3) në në vend të serisë, të marrim integralin

Formula (11.4) quhet formula integrale e Furierit, dhe ana e djathtë e saj quhet integrali i Furierit.

Arsyetimi i përdorur për të nxjerrë formulën (11.4) nuk është rigoroz dhe është vetëm sugjerues. Kushtet në të cilat formula integrale e Furierit është e vlefshme përcaktohen nga një teoremë që ne e pranojmë pa prova.

Teorema. Le të jetë funksioni, së pari, absolutisht i integrueshëm në interval, d.m.th. integrali konvergon dhe, së dyti, plotëson kushtet e Dirichlet në çdo interval të fundëm (- L, L). Atëherë integrali Furier konvergjon (në kuptimin e vlerës kryesore) kudo në, d.m.th. barazia (11.4) është e kënaqur për të gjithë X nga mes. Këtu, si më parë, supozohet se në pikën e ndërprerjes vlera e funksionit është e barabartë me gjysmën e shumës së kufijve të tij të njëanshëm në këtë pikë.

Transformimi i Furierit

Ne e transformojmë formulën integrale të Furierit (11.4) si më poshtë. Le të vendosim

Nëse një funksion është i vazhdueshëm dhe absolutisht i integrueshëm në të gjithë boshtin, atëherë funksioni është i vazhdueshëm në interval. Në të vërtetë, që atëherë

dhe meqenëse integrali në të djathtë konvergon, integrali në të majtë konvergon. prandaj, integrali në (12.1) konvergon absolutisht. Barazia (12.2) është e kënaqur njëkohësisht për të gjithë, kështu që integrali (12.1) konvergjon në mënyrë të njëtrajtshme në lidhje me. Nga kjo rezulton se funksioni është i vazhdueshëm (ashtu si konvergjenca uniforme e një serie të përbërë nga funksione të vazhdueshme nënkupton vazhdimësinë e shumës së saj).

Nga (11.4) marrim

Funksioni kompleks i përcaktuar nga formula (12.1) quhet transformim Furier ose transformim Furier i funksionit. Nga ana tjetër, formula (12.3) përcakton si transformimin e anasjelltë të Furierit, ose imazhin e anasjelltë të funksionit. Barazia (12.3) për një funksion të caktuar mund të konsiderohet si një ekuacion integral në lidhje me funksionin, zgjidhja e të cilit është dhënë me formulën (12.1). Dhe, anasjelltas, zgjidhja e ekuacionit integral (12.1) për një funksion të caktuar jepet me formulën (12.3).

Në formulën (12.3), shprehja specifikon, relativisht, një paketë harmonike komplekse me frekuenca të shpërndara vazhdimisht në interval dhe një amplitudë komplekse totale. Funksioni quhet dendësia spektrale. Formula (12.2), e shkruar në formë

mund të interpretohet si zgjerimi i një funksioni në një shumë paketash harmonike, frekuencat e të cilave formojnë një spektër të vazhdueshëm të shpërndarë në interval.

Barazitë e Parsevalit. Le të jenë imazhet Furier të funksioneve reale dhe, përkatësisht. Pastaj

ato. produktet skalare dhe normat e funksioneve janë invariante të transformimit Furier. Le ta vërtetojmë këtë deklaratë. Sipas përkufizimit të produktit skalar kemi. Duke zëvendësuar funksionin me shprehjen e tij (12.3) përmes transformimit Furier, marrim

Në bazë të (12.1)

Prandaj, d.m.th. formula (12.4) është vërtetuar. Formula (12.5) është marrë nga (12.4) në.

Transformimet e kosinusit dhe sinusit të Furierit. Nëse një funksion real është çift, atëherë transformimi i tij Furier, të cilin e shënojmë këtu, është gjithashtu një funksion real çift. Vërtet,

Integrali i fundit, për shkak të çuditshmërisë së integrandit, zhduket. Kështu,

Këtu përdorim vetinë (7.1) të funksioneve çift.

Nga (12.6) rrjedh se funksioni është real dhe i varur në mënyrë të barabartë, pasi ai hyn në (12.6) vetëm përmes kosinusit.

Formula (12.3) e transformimit të anasjelltë të Furierit në këtë rast jep

Meqenëse dhe janë përkatësisht funksione çift dhe tek të ndryshores, atëherë

Formulat (12.6) dhe (12.7) përcaktojnë transformimin e kosinusit Furier.

Në mënyrë të ngjashme, nëse një funksion real është tek, atëherë transformimi i tij Furier është ku është një funksion real tek. ku

Barazimet (12.8), (12.9) përcaktojnë transformimin e sinusit Furier.

Vini re se formulat (12.6) dhe (12.8) përfshijnë vlerat e funksionit vetëm për. Prandaj, transformimet e kosinusit dhe sinusit Furier mund të aplikohen gjithashtu në një funksion të përcaktuar në një interval gjysmë të pafund. Në këtë rast, në integralet në formulat (12.7) dhe (12.9) konvergojnë në funksionin e dhënë, dhe në vazhdimësitë e tij çift dhe tek, përkatësisht.

Të cilat tashmë janë mjaft të mërzitshme. Dhe mendoj se ka ardhur momenti kur është koha për të nxjerrë mallra të reja të konservuara nga rezervat strategjike të teorisë. A është e mundur të zgjerohet funksioni në një seri në ndonjë mënyrë tjetër? Për shembull, shprehni një segment të drejtëz në terma të sinuseve dhe kosinuseve? Duket e pabesueshme, por funksione të tilla në dukje të largëta mund të jenë
"ribashkim". Përveç gradave të njohura në teori dhe praktikë, ka qasje të tjera për zgjerimin e një funksioni në një seri.

Në këtë mësim do të njihemi me seritë trigonometrike të Furierit, do të prekim çështjen e konvergjencës dhe shumës së saj dhe, natyrisht, do të analizojmë shembuj të shumtë të zgjerimit të funksioneve në seritë Furier. Sinqerisht doja ta quaja artikullin "Seria Fourier për Dummies", por kjo do të ishte e pasinqertë, pasi zgjidhja e problemeve do të kërkonte njohuri të degëve të tjera të analizës matematikore dhe disa përvojë praktike. Prandaj, preambula do t'i ngjajë stërvitjes së astronautëve =)

Së pari, duhet t'i qaseni studimit të materialeve të faqeve në formë të shkëlqyer. I përgjumur, i pushuar dhe i matur. Pa emocione të forta për këmbën e thyer të lloj brejtësi dhe mendime obsesive për vështirësitë e jetës për peshqit e akuariumit. Seria Fourier nuk është e vështirë për t'u kuptuar, por detyrat praktike thjesht kërkojnë përqendrim të shtuar të vëmendjes - në mënyrë ideale, duhet të shkëputeni plotësisht nga stimujt e jashtëm. Situata rëndohet nga fakti se nuk ka asnjë mënyrë të lehtë për të kontrolluar zgjidhjen dhe përgjigjen. Kështu, nëse shëndeti juaj është nën mesataren, atëherë është më mirë të bëni diçka më të thjeshtë. A është e vërtetë.

Së dyti, para se të fluturoni në hapësirë, është e nevojshme të studioni panelin e instrumenteve të anijes. Le të fillojmë me vlerat e funksioneve që duhet të klikohen në makinë:

Për çdo vlerë natyrore:

1) . Në të vërtetë, sinusoidi "qep" boshtin x përmes çdo "pi":
. Në rastin e vlerave negative të argumentit, rezultati, natyrisht, do të jetë i njëjtë: .

2) . Por jo të gjithë e dinin këtë. Kosinusi "pi" është ekuivalenti i një "blinker":

Një argument negativ nuk e ndryshon çështjen: .

Ndoshta kaq mjafton.

Dhe së treti, trupa e dashur kozmonautësh, ju duhet të jeni në gjendje të... integrohen.
Në veçanti, me besim nënshtrojeni funksionin nën shenjën diferenciale, integrojnë pjesë-pjesë dhe të jesh në paqe me Formula Njuton-Leibniz. Le të fillojmë ushtrimet e rëndësishme para fluturimit. Unë kategorikisht nuk rekomandoj ta anashkaloni atë, në mënyrë që të mos zhyteni në mungesë peshe më vonë:

Shembulli 1

Njehsoni integrale të caktuar

ku merr vlerat natyrore.

Zgjidhje: integrimi kryhet mbi ndryshoren “x” dhe në këtë fazë ndryshorja diskrete “en” konsiderohet konstante. Në të gjitha integralet vendos funksionin nën shenjën diferenciale:

Një version i shkurtër i zgjidhjes që do të ishte mirë të synohej duket si ky:

Le të mësohemi me të:

Katër pikat e mbetura janë vetëm. Mundohuni t'i qaseni detyrës me ndërgjegje dhe shkruani integralet në një mënyrë të shkurtër. Shembuj zgjidhjesh në fund të orës së mësimit.

Pas kryerjes së ushtrimeve CILËSIA, veshim skafandra
dhe duke u përgatitur për të filluar!

Zgjerimi i një funksioni në një seri Furier në interval

Konsideroni disa funksione që përcaktuar të paktën për një periudhë kohore (dhe mundësisht për një periudhë më të gjatë). Nëse ky funksion është i integrueshëm në interval, atëherë ai mund të zgjerohet në trigonometrik Seria Furier:
, ku janë të ashtuquajturat Koeficientët Furier.

Në këtë rast thirret numri periudha e dekompozimit, dhe numri është gjysma e jetës së dekompozimit.

Është e qartë se në rastin e përgjithshëm seria Fourier përbëhet nga sinus dhe kosinus:

Në të vërtetë, le ta shkruajmë në detaje:

Termi zero i serisë zakonisht shkruhet në formën .

Koeficientët Furier llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

Unë e kuptoj shumë mirë që ata që fillojnë të studiojnë temën janë ende të paqartë për termat e rinj: periudha e dekompozimit, gjysmë cikli, Koeficientët Furier etj. Mos u frikësoni, kjo nuk është e krahasueshme me eksitimin përpara se të shkoni në hapësirën e jashtme. Le të kuptojmë gjithçka në shembullin e mëposhtëm, përpara se ta ekzekutojmë, është logjike të bëni pyetje praktike të ngutshme:

Çfarë duhet të bëni në detyrat e mëposhtme?

Zgjeroni funksionin në një seri Fourier. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të përshkruhet një grafik i një funksioni, një grafik i shumës së një serie, një shumë e pjesshme, dhe në rastin e fantazive të sofistikuara të profesorëve, të bëhet diçka tjetër.

Si të zgjerohet një funksion në një seri Fourier?

Në thelb, ju duhet të gjeni Koeficientët Furier, domethënë, hartoni dhe llogarisni tre integral i caktuar.

Ju lutemi kopjoni formën e përgjithshme të serisë Fourier dhe tre formulat e punës në fletoren tuaj. Më vjen shumë mirë që disa vizitorë të faqes po realizojnë ëndrrën e tyre të fëmijërisë për t'u bërë astronaut para syve të mi =)

Shembulli 2

Zgjero funksionin në një seri Furier në interval. Ndërtoni një grafik, një grafik të shumës së serisë dhe shumës së pjesshme.

Zgjidhje: Pjesa e parë e detyrës është zgjerimi i funksionit në një seri Fourier.

Fillimi është standard, sigurohuni që të shkruani se:

Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe.

Le ta zgjerojmë funksionin në një seri Furier në intervalin:

Duke përdorur formulat e duhura, gjejmë Koeficientët Furier. Tani duhet të kompozojmë dhe llogarisim tre integral i caktuar. Për lehtësi, do të numëroj pikat:

1) Integrali i parë është më i thjeshti, megjithatë, kërkon edhe kokërdhokët e syrit:

2) Përdorni formulën e dytë:

Ky integral është i njohur dhe e merr pjesë-pjesë:

Përdoret kur gjendet Metoda e nënshtrimit të një funksioni nën shenjën diferenciale.

Në detyrën në shqyrtim, është më i përshtatshëm për t'u përdorur menjëherë formula për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar :

Disa shënime teknike. Së pari, pas aplikimit të formulës e gjithë shprehja duhet të vendoset në kllapa të mëdha, pasi ka një konstante përpara integralit origjinal. Le të mos e humbasim atë! Kllapat mund të zgjerohen në çdo hap tjetër; këtë e bëra si mjetin e fundit. Në "pjesën" e parë Ne tregojmë kujdes të jashtëzakonshëm në zëvendësim; siç mund ta shihni, konstanta nuk përdoret dhe kufijtë e integrimit zëvendësohen në produkt. Ky veprim është theksuar në kllapa katrore. Epo, ju jeni njohur me integralin e "pjesës" së dytë të formulës nga detyra e trajnimit;-)

Dhe më e rëndësishmja - përqendrim ekstrem!

3) Ne jemi duke kërkuar për koeficientin e tretë Furier:

Përftohet një i afërm i integralit të mëparshëm, i cili gjithashtu është integron pjesë-pjesë:

Ky shembull është pak më i komplikuar, unë do të komentoj hapat e mëtejshëm hap pas hapi:

(1) Shprehja është e mbyllur plotësisht në kllapa të mëdha. Nuk doja të dukesha e mërzitshme, ata e humbin konstanten shumë shpesh.

(2) Në këtë rast, unë i hapa menjëherë këto kllapa të mëdha. Vëmendje e veçantë Ne i përkushtohemi "pjesës" së parë: konstantja pi duhan mënjanë dhe nuk merr pjesë në zëvendësimin e kufijve të integrimit (dhe ) në produkt. Për shkak të rrëmujës së rekordit, këshillohet sërish që ky veprim të theksohet me kllapa katrore. Me "pjesën" e dytë gjithçka është më e thjeshtë: këtu fraksioni u shfaq pas hapjes së kllapave të mëdha, dhe konstantja - si rezultat i integrimit të integralit të njohur;-)

(3) Në kllapa katrore kryejmë transformime, kurse në integralin e djathtë - zëvendësim i kufijve të integrimit.

(4) Ne heqim "dritën ndezëse" nga kllapat katrore: , dhe më pas hapim kllapat e brendshme: .

(5) Ne anulojmë 1 dhe –1 në kllapa dhe bëjmë thjeshtimet përfundimtare.

Më në fund, gjenden të tre koeficientët Fourier:

Le t'i zëvendësojmë ato në formulë :

Në të njëjtën kohë, mos harroni të ndani në gjysmë. Në hapin e fundit, konstanta ("minus dy"), e cila nuk varet nga "en", merret jashtë shumës.

Kështu, ne kemi marrë zgjerimin e funksionit në një seri Furier në intervalin:

Le të studiojmë çështjen e konvergjencës së serisë Fourier. Unë do të shpjegoj teorinë, në veçanti Teorema e Dirichlet-it, fjalë për fjalë "në gishta", kështu që nëse keni nevojë për formulime strikte, ju lutemi referojuni tekstit shkollor për analizën matematikore (për shembull, vëllimi i dytë i Bohan; ose vëllimi i tretë i Fichtenholtz, por është më i vështirë).

Pjesa e dytë e problemit kërkon vizatimin e një grafiku, një grafik të shumës së një serie dhe një grafik të një shume të pjesshme.

Grafiku i funksionit është i zakonshëm vijë e drejtë në një aeroplan, e cila vizatohet me një vijë të zezë me pika:

Le të kuptojmë shumën e serisë. Siç e dini, seritë e funksioneve konvergojnë në funksione. Në rastin tonë, seria e ndërtuar Fourier për çdo vlerë të "x" do të konvergojë në funksionin, i cili tregohet me të kuqe. Ky funksion toleron këputje të llojit të parë në pika, por është përcaktuar edhe në to (pikat e kuqe në vizatim)

Kështu: . Është e lehtë të shihet se është dukshëm i ndryshëm nga funksioni origjinal, kjo është arsyeja pse në hyrje Një tildë përdoret më tepër se një shenjë e barabartë.

Le të studiojmë një algoritëm që është i përshtatshëm për të ndërtuar shumën e një serie.

Në intervalin qendror, seria Fourier konvergon në vetë funksionin (segmenti qendror i kuq përkon me vijën e zezë me pika të funksionit linear).

Tani le të flasim pak për natyrën e zgjerimit trigonometrik në shqyrtim. Seria Furier përfshin vetëm funksione periodike (konstante, sinus dhe kosinus), pra shuma e serisë është gjithashtu një funksion periodik.

Çfarë do të thotë kjo në shembullin tonë specifik? Dhe kjo do të thotë se shuma e serisë –sigurisht periodike dhe segmenti i kuq i intervalit duhet të përsëritet pafundësisht majtas dhe djathtas.

Unë mendoj se kuptimi i frazës "periudha e dekompozimit" është bërë më në fund i qartë. E thënë thjesht, çdo herë situata përsëritet vazhdimisht.

Në praktikë, zakonisht mjafton të përshkruhen tre periudha dekompozimi, siç bëhet në vizatim. Epo, dhe gjithashtu "cungjet" e periudhave fqinje - në mënyrë që të jetë e qartë se grafiku vazhdon.

Me interes të veçantë janë pikat e ndërprerjes së llojit të parë. Në pika të tilla, seria Fourier konvergjon në vlera të izoluara, të cilat ndodhen pikërisht në mes të "kërcimit" të ndërprerjes (pikat e kuqe në vizatim). Si të zbulohet ordinata e këtyre pikave? Së pari, le të gjejmë ordinatën e "katit të sipërm": për ta bërë këtë, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikën më të djathtë të periudhës qendrore të zgjerimit: . Për të llogaritur ordinatat e "katit të poshtëm", mënyra më e lehtë është të marrësh vlerën më të majtë të së njëjtës periudhë: . Ordinata e vlerës mesatare është mesatarja aritmetike e shumës së “lart dhe poshtë”: . Një fakt i këndshëm është se kur ndërtoni një vizatim, menjëherë do të shihni nëse mesi është llogaritur saktë apo gabim.

Le të ndërtojmë një shumë të pjesshme të serisë dhe në të njëjtën kohë të përsërisim kuptimin e termit "konvergjencë". Motivi dihet edhe nga mësimi rreth shuma e një serie numrash. Le të përshkruajmë pasurinë tonë në detaje:

Për të krijuar një shumë të pjesshme, duhet të shkruani zero + dy terma të tjerë të serisë. Kjo eshte,

Në vizatim, grafiku i funksionit tregohet me ngjyrë të gjelbër dhe, siç mund ta shihni, ai "mbështjell" shumën e plotë mjaft fort. Nëse marrim parasysh një shumë të pjesshme të pesë termave të serisë, atëherë grafiku i këtij funksioni do t'i përafrojë vijat e kuqe edhe më saktë; nëse ka njëqind terma, atëherë "gjarpri i gjelbër" në të vërtetë do të bashkohet plotësisht me segmentet e kuqe, etj. Kështu, seria Fourier konvergjon në shumën e saj.

Është interesante të theksohet se çdo shumë e pjesshme është funksion të vazhdueshëm, megjithatë, shuma totale e serisë është ende e ndërprerë.

Në praktikë, nuk është aq e rrallë të ndërtohet një grafik i shumës së pjesshme. Si ta bëjmë atë? Në rastin tonë, është e nevojshme të merret parasysh funksioni në segment, të llogaritet vlerat e tij në skajet e segmentit dhe në pikat e ndërmjetme (sa më shumë pikë të merrni parasysh, aq më i saktë do të jetë grafiku). Më pas duhet t'i shënoni këto pika në vizatim dhe të vizatoni me kujdes një grafik mbi periudhën, dhe më pas ta "përsërisni" atë në intervale ngjitur. Kush tjeter? Në fund të fundit, përafrimi është gjithashtu një funksion periodik... ...në disa mënyra grafiku i tij më kujton një ritëm të barabartë të zemrës në ekranin e një pajisjeje mjekësore.

Kryerja e ndërtimit, natyrisht, nuk është shumë e përshtatshme, pasi duhet të jeni jashtëzakonisht të kujdesshëm, duke ruajtur një saktësi jo më pak se gjysmë milimetri. Sidoqoftë, do t'i kënaq lexuesit që nuk janë të kënaqur me vizatimin - në një problem "real" nuk është gjithmonë e nevojshme të kryhet një vizatim; në rreth 50% të rasteve është e nevojshme të zgjerohet funksioni në një seri Fourier dhe kjo është ajo. .

Pas përfundimit të vizatimit, ne kryejmë detyrën:

Përgjigju:

Në shumë detyra funksioni vuan këputje e llojit të parë pikërisht gjatë periudhës së dekompozimit:

Shembulli 3

Zgjeroni funksionin e dhënë në interval në një seri Furier. Vizatoni një grafik të funksionit dhe shumës totale të serisë.

Funksioni i propozuar specifikohet në mënyrë të pjesshme (dhe, vini re, vetëm në segment) dhe duron këputje e llojit të parë në pikën. A është e mundur të llogariten koeficientët Fourier? Nuk ka problem. Si ana e majtë ashtu edhe e djathta e funksionit janë të integrueshme në intervalet e tyre, prandaj integralet në secilën prej tre formulave duhet të përfaqësohen si shuma e dy integraleve. Le të shohim, për shembull, se si bëhet kjo për një koeficient zero:

Integrali i dytë doli të ishte i barabartë me zero, gjë që zvogëloi punën, por nuk është gjithmonë kështu.

Dy koeficientët e tjerë të Furierit përshkruhen në mënyrë të ngjashme.

Si të tregohet shuma e një serie? Në intervalin e majtë vizatojmë një segment të vijës së drejtë, dhe në interval - një segment të vijës së drejtë (ne theksojmë seksionin e boshtit me shkronja të theksuara dhe të theksuara). Kjo do të thotë, në intervalin e zgjerimit, shuma e serisë përkon me funksionin kudo, përveç tre pikave "të këqija". Në pikën e ndërprerjes së funksionit, seria Fourier do të konvergojë në një vlerë të izoluar, e cila ndodhet saktësisht në mes të "kërcimit" të ndërprerjes. Nuk është e vështirë ta shohësh atë me gojë: kufiri i anës së majtë: , kufiri i anës së djathtë: dhe, padyshim, ordinata e pikës së mesit është 0,5.

Për shkak të periodicitetit të shumës, fotografia duhet të "shumohet" në periudha ngjitur, në veçanti, e njëjta gjë duhet të përshkruhet në intervalet dhe . Në të njëjtën kohë, në pikat seria Fourier do të konvergojë në vlerat mesatare.

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re.

Mundohuni ta përballoni vetë këtë detyrë. Një mostër e përafërt e modelit përfundimtar dhe një vizatim në fund të mësimit.

Zgjerimi i një funksioni në një seri Furier gjatë një periudhe arbitrare

Për një periudhë zgjerimi arbitrar, ku "el" është çdo numër pozitiv, formulat për seritë Fourier dhe koeficientët Furier dallohen nga një argument pak më i ndërlikuar për sinusin dhe kosinusin:

Nëse , atëherë marrim formulat e intervalit me të cilat filluam.

Algoritmi dhe parimet për zgjidhjen e problemit janë ruajtur plotësisht, por kompleksiteti teknik i llogaritjeve rritet:

Shembulli 4

Zgjeroni funksionin në një seri Furier dhe vizatoni shumën.

Zgjidhje: në fakt një analog i shembullit nr. 3 me këputje e llojit të parë në pikën. Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe. Funksioni përcaktohet vetëm në gjysmë-interval, por kjo nuk e ndryshon çështjen - është e rëndësishme që të dy pjesët e funksionit të jenë të integrueshme.

Le ta zgjerojmë funksionin në një seri Fourier:

Meqenëse funksioni është i ndërprerë në origjinë, çdo koeficient Furier duhet të shkruhet padyshim si shuma e dy integraleve:

1) Unë do të shkruaj integralin e parë sa më shumë të jetë e mundur:

2) Ne shikojmë me kujdes sipërfaqen e Hënës:

Integrali i dytë merre pjesë-pjesë:

Çfarë duhet t'i kushtojmë vëmendje pasi hapim me yll vazhdimin e zgjidhjes?

Së pari, ne nuk e humbim integralin e parë , ku ekzekutojmë menjëherë nënshkrimi i shenjës diferenciale. Së dyti, mos harroni konstanten fatkeqe para kllapave të mëdha dhe mos u ngatërroni nga shenjat kur përdorni formulën. Kllapat e mëdha janë akoma më të përshtatshme për t'u hapur menjëherë në hapin tjetër.

Pjesa tjetër është çështje teknike; vështirësitë mund të shkaktohen vetëm nga përvoja e pamjaftueshme në zgjidhjen e integraleve.

Po, jo më kot kolegët e shquar të matematikanit francez Fourier ishin indinjuar - si guxoi ai të rregullonte funksionet në seri trigonometrike?! =) Nga rruga, të gjithë ndoshta janë të interesuar për kuptimin praktik të detyrës në fjalë. Vetë Fourier punoi në një model matematikor të përçueshmërisë termike, dhe më pas seria me emrin e tij filloi të përdoret për të studiuar shumë procese periodike, të cilat janë të dukshme dhe të padukshme në botën përreth. Tani, meqë ra fjala, e kapa veten duke menduar se jo rastësisht e krahasova grafikun e shembullit të dytë me ritmin periodik të zemrës. Të interesuarit mund të njihen me aplikimin praktik Transformimi Furier në burime të palëve të treta. ...Edhe pse është më mirë të mos - do të mbahet mend si Dashuria e Parë =)

3) Duke marrë parasysh lidhjet e dobëta të përmendura në mënyrë të përsëritur, le të shohim koeficientin e tretë:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Le të zëvendësojmë koeficientët e gjetur të Furierit në formulë , duke mos harruar të ndajmë koeficientin zero në gjysmë:

Le të komplotojmë shumën e serisë. Le të përsërisim shkurtimisht procedurën: ndërtojmë një vijë të drejtë në një interval dhe një vijë të drejtë në një interval. Nëse vlera "x" është zero, vendosim një pikë në mes të "kërcimit" të hendekut dhe "përsërisim" grafikun për periudhat ngjitur:

Në "kryqëzimet" e periudhave, shuma do të jetë gjithashtu e barabartë me pikat e mesit të "kërcimit" të hendekut.

Gati. Më lejoni t'ju kujtoj se vetë funksioni përcaktohet nga kushti vetëm në një gjysmë interval dhe, padyshim, përkon me shumën e serisë në intervale

Përgjigju:

Ndonjëherë një funksion i dhënë pjesë-pjesë është i vazhdueshëm gjatë periudhës së zgjerimit. Shembulli më i thjeshtë: . Zgjidhje (shih vëllimin 2 të Bohanit) njëjtë si në dy shembujt e mëparshëm: pavarësisht vazhdimësia e funksionit në pikën , çdo koeficient Furier shprehet si shuma e dy integraleve.

Në intervalin e zbërthimit pikat e ndërprerjes së llojit të parë dhe/ose mund të ketë më shumë pika “bashkimi” të grafikut (dy, tre dhe në përgjithësi çdo përfundimtar sasi). Nëse një funksion është i integrueshëm në secilën pjesë, atëherë ai është gjithashtu i zgjerueshëm në një seri Fourier. Por nga përvoja praktike nuk mbaj mend një gjë kaq mizore. Sidoqoftë, ka detyra më të vështira sesa ato që sapo u konsideruan, dhe në fund të artikullit ka lidhje me seritë Fourier me kompleksitet të shtuar për të gjithë.

Ndërkohë, le të pushojmë, të mbështetemi në karriget tona dhe të sodisim hapësirat e pafundme të yjeve:

Shembulli 5

Zgjeroni funksionin në një seri Furier në interval dhe vizatoni shumën e serisë.

Në këtë problem funksioni të vazhdueshme në gjysmë-intervalin e zgjerimit, i cili thjeshton zgjidhjen. Gjithçka është shumë e ngjashme me shembullin nr. 2. Nuk ka shpëtim nga anija kozmike - do të duhet të vendosni =) Një mostër e përafërt e projektimit në fund të mësimit, një orar është bashkangjitur.

Zgjerimi i serive Furier të funksioneve çift dhe tek

Me funksionet çift dhe tek, procesi i zgjidhjes së problemit thjeshtohet dukshëm. Dhe kjo është arsyeja pse. Le të kthehemi te zgjerimi i një funksioni në një seri Fourier me një periudhë prej "dy pi" dhe periudha arbitrare "dy el" .

Le të supozojmë se funksioni ynë është i barabartë. Termi i përgjithshëm i serisë, siç mund ta shihni, përmban kosinus çift dhe sinus tek. Dhe nëse zgjerojmë një funksion EVEN, atëherë pse na duhen sinuset tek?! Le të rivendosim koeficientin e panevojshëm: .

Kështu, një funksion çift mund të zgjerohet në një seri Furier vetëm në kosinus:

Sepse integrale të funksioneve çift përgjatë një segmenti integrimi që është simetrik në lidhje me zero mund të dyfishohet, atëherë koeficientët e mbetur të Furierit thjeshtohen.

Për hendekun:

Për një interval arbitrar:

Shembujt e teksteve shkollore që mund të gjenden pothuajse në çdo tekst shkollor për analizën matematikore përfshijnë zgjerime të funksioneve çift . Përveç kësaj, ato janë hasur disa herë në praktikën time personale:

Shembulli 6

Funksioni është dhënë. Kërkohet:

1) zgjeroni funksionin në një seri Furier me pikë , ku është një numër pozitiv arbitrar;

2) shkruani zgjerimin në interval, ndërtoni një funksion dhe grafikoni shumën totale të serisë.

Zgjidhje: në paragrafin e parë propozohet të zgjidhet problemi në formë të përgjithshme, dhe kjo është shumë e përshtatshme! Nëse lind nevoja, thjesht zëvendësoni vlerën tuaj.

1) Në këtë problem, periudha e zgjerimit është gjysmë periudhe. Gjatë veprimeve të mëtejshme, veçanërisht gjatë integrimit, “el” konsiderohet konstante

Funksioni është i barabartë, që do të thotë se mund të zgjerohet në një seri Fourier vetëm në kosinus: .

Ne kërkojmë për koeficientët Furier duke përdorur formulat . Kushtojini vëmendje avantazheve të tyre të pakushtëzuara. Së pari, integrimi kryhet mbi segmentin pozitiv të zgjerimit, që do të thotë se ne shpëtojmë me siguri nga moduli , duke marrë parasysh vetëm "X" të dy pjesëve. Dhe, së dyti, integrimi është thjeshtuar dukshëm.

Dy:

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Kështu:
, ndërsa konstanta , e cila nuk varet nga “en”, merret jashtë shumës.

Përgjigju:

2) Le të shkruajmë zgjerimin në interval; për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë vlerën e kërkuar të gjysmëperiudhës në formulën e përgjithshme:

Seria Trigonometrike Furier quhet një seri e formës

a0 /2 + a 1 koz x + b 1 mëkat x + a 2cos2 x + b 2 mëkat2 x + ... + a nënoficerët nx + b n mëkat nx + ...

ku janë numrat a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n, b n... - Koeficientët Furier.

Një paraqitje më e kondensuar e serisë Fourier me simbolin "sigma":

Siç sapo kemi vendosur, në ndryshim nga seritë e fuqisë, në serinë Fourier, në vend të funksioneve më të thjeshta merren funksionet trigonometrike

1/2, koz x, mëkat x,cos2 x, mëkat2 x, ..., cos nx, mëkat nx, ... .

Koeficientët Furier llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

Të gjitha funksionet e mësipërme në serinë Fourier janë funksione periodike me periodë 2 π . Çdo term i serisë trigonometrike Furier është një funksion periodik me periudhën 2 π .

Prandaj, çdo shumë e pjesshme e serisë Fourier ka një periudhë prej 2 π . Nga kjo rrjedh se nëse seria Fourier konvergon në intervalin [- π , π ] , atëherë ai konvergjon në të gjithë vijën numerike dhe shuma e tij, duke qenë kufiri i një sekuence shumash të pjesshme periodike, është një funksion periodik me periudhë 2. π .

Konvergjenca e serive Furier dhe shuma e serive

Lëreni funksionin F(x) të përcaktuara në të gjithë vijën numerike dhe periodike me pikën 2 π , është një vazhdim periodik i funksionit f(x) nëse në segmentin [- π , π ] ndodh F(x) = f(x)

Nëse në segmentin [- π , π ] seria Fourier konvergon me funksionin f(x) pastaj konvergjon në të gjithë vijën numerike në vazhdimin periodik të saj.

Përgjigja e pyetjes në cilat kushte është seria Furier e një funksioni f(x) konvergjon në këtë funksion, jep teorema e mëposhtme.

Teorema. Lëreni funksionin f(x) dhe derivatin e tij f"(x) - e vazhdueshme në segmentin [- π , π ] ose të ketë një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të llojit të parë mbi të. Pastaj seria Furier e funksionit f(x) konvergon në të gjithë vijën numerike dhe në secilën pikë x, që i përket segmentit [- π , π ] , ku f(x) është e vazhdueshme, shuma e serisë është e barabartë me f(x), dhe në çdo pikë x0 e ndërprerjes së funksionit, shuma e serisë është e barabartë me mesataren aritmetike të kufijve të funksionit f(x) djathtas dhe majtas:

Ku Dhe .

Në skajet e segmentit [- π , π ] shuma e serisë është e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të funksionit në pikat majtas dhe djathtas të periudhës së zgjerimit:

Në çdo moment x, që i përket segmentit [- π , π ] , shuma e serisë Furier është e barabartë me F(x), Nëse x- pika e vazhdimësisë F(x), dhe është e barabartë me mesataren aritmetike të kufijve F(x) majtas dhe djathtas:

Nëse x- pika e thyerjes F(x), Ku F(x) - vazhdim periodik f(x) .

Shembulli 1. Funksioni periodik f(x) me periudhën 2 π përcaktuar si më poshtë:

Më thjesht, ky funksion shkruhet si f(x) = |x| . Zgjeroni funksionin në një seri Furier, përcaktoni konvergjencën e serisë dhe shumën e serisë.

Zgjidhje. Le të përcaktojmë koeficientët Fourier të këtij funksioni:

Tani kemi gjithçka për të marrë serinë Fourier të këtij funksioni:

Kjo seri konvergon në të gjitha pikat dhe shuma e saj është e barabartë me funksionin e dhënë.

Zgjidheni vetë problemin e serisë Fourier dhe më pas shikoni zgjidhjen

Seritë Furier për funksionet çift dhe tek

Lëreni funksionin f(x) është përcaktuar në segmentin [- π , π ] dhe është çift, d.m.th. f(- x) = f(x) . Pastaj koeficientët e tij bn janë të barabarta me zero. Dhe për koeficientët an Formulat e mëposhtme janë të sakta:

Le tash funksionin f(x) të përcaktuara në segmentin [- π , π ] , tek, d.m.th. f(x) = -f(- x) . Pastaj koeficientët Furier an janë të barabartë me zero, dhe koeficientët bn përcaktohet nga formula

Siç mund të shihet nga formulat e nxjerra më sipër, nëse funksioni f(x) është çift, atëherë seria Fourier përmban vetëm kosinus, dhe nëse është tek, atëherë vetëm sinus.

Shembulli 3.

Zgjidhje. Ky është një funksion tek, kështu që koeficientët e tij Furier janë , dhe për të gjetur , duhet të llogaritni integralin e caktuar:

Kjo barazi është e vërtetë për këdo. Në pika, shuma e serisë Furier sipas teoremës së dhënë në paragrafin e dytë nuk përkon me vlerat e funksionit, por është e barabartë me . Jashtë segmentit, shuma e serisë është një vazhdim periodik i funksionit; grafiku i tij u dha më sipër si një ilustrim i shumës së serisë.

Shembulli 4. Zgjeroni funksionin në një seri Fourier.

Zgjidhje. Ky është një funksion çift, kështu që koeficientët e tij Furier janë , dhe për të gjetur , duhet të llogaritni integrale të përcaktuara:

Ne marrim serinë Fourier të këtij funksioni:

Kjo barazi është e vlefshme për çdo, pasi në pika shuma e serisë Fourier në këtë rast përkon me vlerat e funksionit, pasi .

Seritë Furier për çdo sistem funksionesh ortogonal

Sekuenca e funksioneve të vazhdueshme në intervalin [ a,b], i quajtur sistemi ortogonal i funksioneve në segment[a,b], nëse të gjitha funksionet e sekuencës janë ortogonale në çift në këtë segment, domethënë nëse

Sistemi quhet ortogonal dhe i normalizuar (ortonormal) në segment,

nëse plotësohet kushti

Lëreni tani f(x) - çdo funksion i vazhdueshëm në intervalin [ a,b]. Pranë Furierit një funksion të tillë f(x) në segmentin [ a,b] sipas sistemit ortogonal rreshti quhet:

koeficientët e të cilit përcaktohen nga barazia:

N=1,2,...

Nëse një sistem ortogonal funksionesh në intervalin [ a,b] ortonormal, atëherë në këtë rast

Ku n=1,2,...

Lëreni tani f(x) - çdo funksion që është i vazhdueshëm ose ka një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje të llojit të parë në segmentin [ a,b]. Seritë Furier të një funksioni të tillë f(x) në të njëjtin segment

sipas sistemit ortogonal seria quhet:

Nëse seria Furiere e funksionit f(x) sipas sistemit (1) konvergon në funksion f(x) në secilën nga pikat e tij të vazhdimësisë që i përkasin segmentit [ a,b]. Në këtë rast ata thonë se f(x) në segmentin [ a,b] zgjerohet në një seri në sistemin ortogonal (1).

Forma komplekse e serisë Fourier

Shprehja quhet forma komplekse e serisë Furier të funksionit f(x), nëse përcaktohet nga barazia

, Ku

Kalimi nga seria Fourier në formë komplekse në serinë në formë reale dhe mbrapa kryhet duke përdorur formulat:

(n=1,2, . . .)

Problemi i dridhjeve të vargut

Lëreni një varg me gjatësi të shtrihet në një gjendje ekuilibri l me skajet x= 0 dhe x=l. Le të supozojmë se vargu është nxjerrë nga ekuilibri dhe vibron lirshëm. Ne do të shqyrtojmë dridhjet e vogla të vargut që ndodhin në rrafshin vertikal.

Sipas supozimeve të bëra më sipër, mund të tregohet se funksioni u(x,t) duke karakterizuar pozicionin e vargut në çdo moment të kohës t, plotëson ekuacionin

(1) , ku a është një numër pozitiv.

Detyra jonë është të gjejmë funksionin u(x,t) , grafiku i të cilit jep formën e vargut në çdo kohë t, pra gjeni një zgjidhje për ekuacionin (1) me kufirin:

dhe kushtet fillestare:

Së pari, ne do të kërkojmë zgjidhje për ekuacionin (1) që plotësojnë kushtet kufitare (2). Nuk është e vështirë ta shohësh këtë u(x,t) 0 është një zgjidhje e ekuacionit (1), që plotëson kushtet kufitare (2). Ne do të kërkojmë zgjidhje që nuk janë identike të barabarta me 0, të përfaqësuara si produkt u(x,t)=X(x)T(t), (4) , ku , .

Zëvendësimi i shprehjes (4) në ekuacionin (1) jep:

Nga e cila detyra jonë zbret në gjetjen e zgjidhjeve për ekuacionet:

Duke përdorur këtë gjendje X(0)=0, X(l)=0, vërtetojmë se është numër negativ duke shqyrtuar të gjitha rastet.

a) Le pastaj X”=0 dhe zgjidhja e përgjithshme e saj do të shkruhet si më poshtë:

prej nga dhe , që është e pamundur, pasi po shqyrtojmë zgjidhje që nuk zhduken në mënyrë identike.

b) Le të . Pastaj zgjidhja e ekuacionit

marrim , dhe, duke nënrenditur, e gjejmë atë

c) Nëse atëherë

Ekuacionet kanë rrënjë:

Ku -konstante arbitrare. Nga gjendja fillestare gjejmë:

nga ku, d.m.th.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Duke marrë parasysh këtë, mund të shkruajmë:

(N=1,2,...).

dhe për këtë arsye

, (n=1,2,...),

por meqenëse A dhe B janë të ndryshme për vlera të ndryshme të n-së, ne kemi

, (n=1,2,...),

ku dhe janë konstante arbitrare, të cilat do të përpiqemi t'i përcaktojmë në mënyrë të tillë që seria të plotësojë ekuacionin (1), kushtet kufitare (2) dhe kushtet fillestare (3).

Pra, le ta nënrendojmë funksionin u(x,t) në kushtet fillestare, d.m.th., ne do të zgjedhim të tillë që të plotësohen kushtet

Këto barazi janë, përkatësisht, zgjerime të funksioneve dhe në segmente në një seri Furier në sinus. (Kjo do të thotë që koeficientët do të llogariten si për një funksion tek). Kështu, zgjidhja për të lëkundur një varg me kufi të caktuar dhe kushte fillestare jepet nga formula

(n=1,2,...)

Integrali Furier

Kushtet e mjaftueshme për përfaqësimin e një funksioni në një integral Furier.

Në mënyrë që f(x) përfaqësohej nga integrali Furier në të gjitha pikat e vazhdimësisë dhe pikat e rregullta të ndërprerjes, mjafton:

1) integrueshmëria absolute në

(d.m.th. integrali konvergjon)

2) në çdo segment të fundëm [- L, L] funksioni do të ishte pjesë-pjesë i qetë

3) në pikat e ndërprerjes së një funksioni, integrali Furier i tij përcaktohet nga gjysma e kufirit majtas dhe djathtas në këto pika, dhe në pikat e vazhdimësisë me vetë funksionin. f(x)

Integrali Furier i një funksioni f(x) është një integral i formës: