Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.
Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:
Operacionet me gradë.
1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:
jam·a n = a m + n .
2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:
3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:
(a/b) n = a n /b n .
5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:
(a m) n = a m n .
Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.
Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacionet me rrënjë.
1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:
2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:
3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:
4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n Fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:
Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.
Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.
Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jo të barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.
Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.
Excel përdor funksione të integruara dhe operatorë matematikorë për të nxjerrë rrënjën dhe për të ngritur një numër në një fuqi. Le të shohim shembuj.
Shembuj të funksionit SQRT në Excel
Funksioni i integruar SQRT kthen vlerën pozitive të rrënjës katrore. Në menynë Funksionet, është nën kategorinë Math.
Sintaksa e funksionit: =ROOT(numri).
Argumenti i vetëm dhe i kërkuar është një numër pozitiv për të cilin funksioni llogarit rrënjën katrore. Nëse argumenti është negativ, Excel do të kthejë një gabim #NUM!.
Ju mund të specifikoni një vlerë specifike ose një referencë për një qelizë me një vlerë numerike si argument.
Le të shohim shembuj.
Funksioni ktheu rrënjën katrore të numrit 36. Argumenti është një vlerë specifike.
Funksioni ABS kthen vlerën absolute prej -36. Përdorimi i tij na lejoi të shmangnim gabimet gjatë nxjerrjes së rrënjës katrore të një numri negativ.
Funksioni mori rrënjën katrore të shumës 13 dhe vlerën e qelizës C1.
Funksioni i fuqisë në Excel
Sintaksa e funksionit: =POWER (vlera, numri). Të dy argumentet janë të nevojshme.
Vlera është çdo vlerë numerike reale. Një numër është një tregues i fuqisë në të cilën duhet të rritet një vlerë e caktuar.
Le të shohim shembuj.
Në qelizën C2 - rezultati i katrorit të numrit 10.
Funksioni ktheu numrin 100 të ngritur në ¾.
Eksponimi duke përdorur operatorin
Për të ngritur një numër në fuqi në Excel, mund të përdorni operatorin matematikor "^". Për ta futur atë, shtypni Shift + 6 (me paraqitjen e tastierës angleze).
Në mënyrë që Excel të trajtojë informacionin e futur si një formulë, fillimisht vendoset shenja "=". Tjetra është numri që duhet të rritet në një fuqi. Dhe pas shenjës "^" është vlera e shkallës.
Në vend të çdo vlere të kësaj formule matematikore, mund të përdorni referenca për qelizat me numra.
Kjo është e përshtatshme nëse keni nevojë të ndërtoni vlera të shumta.
Duke kopjuar formulën në të gjithë kolonën, shpejt morëm rezultatet e rritjes së numrave në kolonën A në fuqinë e tretë.
Nxjerrja e rrënjëve të n-të
ROOT është funksioni i rrënjës katrore në Excel. Si të nxjerrim rrënjën e shkallëve të 3-të, 4-të dhe të tjera?
Le të kujtojmë një nga ligjet matematikore: për të nxjerrë rrënjën e n-të, duhet ta ngrini numrin në fuqinë 1/n.
Për shembull, për të nxjerrë rrënjën e kubit, e ngremë numrin në fuqinë 1/3.
Le të përdorim formulën për të nxjerrë rrënjë të shkallëve të ndryshme në Excel.
Formula ktheu vlerën e rrënjës kubike të numrit 21. Për t'u ngritur në një fuqi fraksionale, u përdor operatori "^".
Urime: sot do të shikojmë rrënjët - një nga temat më marramendëse në klasën e 8-të. :)
Shumë njerëz ngatërrohen për rrënjët, jo sepse ato janë komplekse (çka është kaq e ndërlikuar në të - disa përkufizime dhe disa veçori të tjera), por sepse në shumicën e teksteve shkollore rrënjët përcaktohen përmes një xhungleje të tillë që vetëm autorët e teksteve vetë mund ta kuptojnë këtë shkrim. Dhe edhe atëherë vetëm me një shishe uiski të mirë. :)
Prandaj, tani do të jap përkufizimin më të saktë dhe më kompetent të rrënjës - i vetmi që duhet të mbani mend vërtet. Dhe pastaj do të shpjegoj: pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe si ta zbatojmë atë në praktikë.
Por së pari, mbani mend një pikë të rëndësishme që shumë përpilues të teksteve shkollore për ndonjë arsye "harrojnë":
Rrënjët mund të jenë të shkallës çift ($\sqrt(a)$ tona të preferuara, si dhe të gjitha llojet e $\sqrt(a)$ dhe çift $\sqrt(a)$) dhe të shkallës tek (të gjitha llojet e $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, etj.). Dhe përkufizimi i rrënjës së një shkalle tek është disi i ndryshëm nga një çift.
Ndoshta 95% e të gjitha gabimeve dhe keqkuptimeve që lidhen me rrënjët janë të fshehura në këtë ndyrë "disi ndryshe". Pra, le të sqarojmë terminologjinë njëherë e përgjithmonë:
Përkufizimi. Edhe rrënjë n nga numri $a$ është cilido jo negative numri $b$ është i tillë që $((b)^(n))=a$. Dhe rrënja tek e të njëjtit numër $a$ është përgjithësisht çdo numër $b$ për të cilin vlen e njëjta barazi: $((b)^(n))=a$.
Në çdo rast, rrënja shënohet si kjo:
\(a)\]
Numri $n$ në një shënim të tillë quhet eksponent rrënjë, dhe numri $a$ quhet shprehje radikale. Në veçanti, për $n=2$ marrim rrënjën tonë katrore "të preferuar" (meqë ra fjala, kjo është një rrënjë e shkallës çift), dhe për $n=3$ marrim një rrënjë kubike (shkallë tek), e cila është gjithashtu gjenden shpesh në probleme dhe ekuacione.
Shembuj. Shembuj klasikë të rrënjëve katrore:
\[\fillim(lidh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fund (radhis)\]
Meqë ra fjala, $\sqrt(0)=0$ dhe $\sqrt(1)=1$. Kjo është mjaft logjike, pasi $((0)^(2))=0$ dhe $((1)^(2))=1$.
Rrënjët e kubit janë gjithashtu të zakonshme - nuk ka nevojë të kesh frikë prej tyre:
\[\fillim(lidh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fund (radhis)\]
Epo, disa "shembuj ekzotikë":
\[\fillim(lidh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fund (radhis)\]
Nëse nuk e kuptoni se cili është ndryshimi midis shkallës çift dhe tek, rilexoni përsëri përkufizimin. Eshte shume e rendesishme!
Ndërkohë, do të shqyrtojmë një veçori të pakëndshme të rrënjëve, për shkak të së cilës na duhej të prezantonim një përkufizim të veçantë për eksponentët çift dhe tek.
Pse duhen rrënjët fare?
Pas leximit të përkufizimit, shumë studentë do të pyesin: "Çfarë pinin duhan matematikanët kur dolën me këtë?" Dhe me të vërtetë: pse nevojiten fare të gjitha këto rrënjë?
Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kthehemi për një moment në shkollën fillore. Mbani mend: në ato kohë të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe petat më të shijshme, shqetësimi ynë kryesor ishte të shumëzonim saktë numrat. Epo, diçka si "pesë me pesë - njëzet e pesë", kjo është e gjitha. Por ju mund të shumëzoni numrat jo në çifte, por në treshe, katërfisha dhe përgjithësisht grupe të plota:
\[\fillim(lidh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \fund(rreshtoj)\]
Megjithatë, ky nuk është thelbi. Truku është i ndryshëm: matematikanët janë dembelë, kështu që ata e kishin të vështirë të shkruanin shumëzimin e dhjetë pesësheve si kjo:
Prandaj dolën me diploma. Pse të mos shkruani numrin e faktorëve si një mbishkrim në vend të një vargu të gjatë? Diçka si kjo:
Është shumë i përshtatshëm! Të gjitha llogaritjet janë reduktuar ndjeshëm dhe nuk duhet të humbisni një tufë fletësh pergamenë dhe fletore për të shkruar rreth 5183. Ky rekord u quajt fuqia e një numri; në të u gjetën një mori pronash, por lumturia doli të jetë jetëshkurtër.
Pas një festë madhështore të pijes, e cila u organizua vetëm për "zbulimin" e diplomave, një matematikan veçanërisht kokëfortë pyeti befas: "Po sikur të dimë shkallën e një numri, por vetë numri është i panjohur?" Tani, në të vërtetë, nëse e dimë se një numër i caktuar $b$, le të themi, fuqia e 5-të jep 243, atëherë si mund të hamendësojmë se me çfarë është i barabartë vetë numri $b$?
Ky problem doli të ishte shumë më global sesa mund të duket në shikim të parë. Sepse doli që për shumicën e fuqive "të gatshme" nuk ka numra të tillë "fillestarë". Gjykojeni vetë:
\[\fillo(rreshtoj) & ((b)^(3))=27\Djathtas b=3\cdot 3\cdot 3\Djathtas shigjeta b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Djathtas b=4\cdot 4\cdot 4\Djathtas shigjeta b=4. \\ \fund (radhis)\]
Po sikur $((b)^(3))=50$? Rezulton se duhet të gjejmë një numër të caktuar që, kur shumëzohet me veten tre herë, do të na japë 50. Por cili është ky numër? Është qartësisht më i madh se 3, pasi 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Kjo është ky numër qëndron diku midis tre dhe katër, por ju nuk do të kuptoni se me çfarë është e barabartë.
Kjo është pikërisht arsyeja pse matematikanët dolën me $n$th rrënjë. Kjo është pikërisht arsyeja pse u prezantua simboli radikal $\sqrt(*)$. Për të caktuar vetë numrin $b$, i cili në shkallën e treguar do të na japë një vlerë të njohur më parë
\[\sqrt[n](a)=b\Djathtas ((b)^(n))=a\]
Unë nuk debatoj: shpesh këto rrënjë llogariten lehtësisht - ne pamë disa shembuj të tillë më lart. Por prapëseprapë, në shumicën e rasteve, nëse mendoni për një numër arbitrar dhe më pas përpiqeni të nxirrni rrënjën e një shkalle arbitrare prej tij, do të përballeni me një problem të tmerrshëm.
Cfare ishte atje! Edhe $\sqrt(2)$ më i thjeshtë dhe më i njohur nuk mund të përfaqësohet në formën tonë të zakonshme - si një numër i plotë ose një thyesë. Dhe nëse futni këtë numër në një kalkulator, do të shihni këtë:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Siç mund ta shihni, pas pikës dhjetore ka një sekuencë të pafund numrash që nuk i binden asnjë logjike. Sigurisht, mund ta rrumbullakosni këtë numër për ta krahasuar shpejt me numrat e tjerë. Për shembull:
\[\sqrt(2)=1,4142...\afërsisht 1,4 \lt 1,5\]
Ose këtu është një shembull tjetër:
\[\sqrt(3)=1,73205...\afërsisht 1,7 \gt 1,5\]
Por të gjitha këto rrumbullakime, së pari, janë mjaft të përafërta; dhe së dyti, gjithashtu duhet të jeni në gjendje të punoni me vlera të përafërta, përndryshe mund të kapni një mori gabimesh jo të dukshme (nga rruga, aftësia e krahasimit dhe rrumbullakimit kërkohet të testohet në profilin e Provimit të Unifikuar të Shtetit).
Prandaj, në matematikë serioze nuk mund të bësh pa rrënjë - ata janë të njëjtët përfaqësues të barabartë të grupit të të gjithë numrave realë $\mathbb(R)$, ashtu si thyesat dhe numrat e plotë që kanë qenë prej kohësh të njohur për ne.
Pamundësia për të paraqitur një rrënjë si një pjesë e formës $\frac(p)(q)$ do të thotë se kjo rrënjë nuk është një numër racional. Numra të tillë quhen irracionalë dhe nuk mund të paraqiten me saktësi veçse me ndihmën e një radikali ose konstruksioneve të tjera të krijuara posaçërisht për këtë (logarithme, fuqi, kufij, etj.). Por më shumë për këtë herë tjetër.
Le të shqyrtojmë disa shembuj ku, pas të gjitha llogaritjeve, numrat irracionalë do të mbeten ende në përgjigje.
\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\afërsisht 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\afërsisht -1,2599... \\ \fund (radhis)\]
Natyrisht, nga pamja e rrënjës është pothuajse e pamundur të merret me mend se cilët numra do të vijnë pas pikës dhjetore. Megjithatë, mund të mbështeteni në një kalkulator, por edhe llogaritësi më i avancuar i datës na jep vetëm disa shifrat e para të një numri irracional. Prandaj, është shumë më e saktë të shkruani përgjigjet në formën $\sqrt(5)$ dhe $\sqrt(-2)$.
Pikërisht për këtë janë shpikur. Për të regjistruar me lehtësi përgjigjet.
Pse duhen dy përkufizime?
Lexuesi i vëmendshëm ndoshta e ka vënë re tashmë se të gjitha rrënjët katrore të dhëna në shembuj janë marrë nga numra pozitivë. Epo, të paktën nga e para. Por rrënjët e kubit mund të nxirren me qetësi nga absolutisht çdo numër - qoftë pozitiv apo negativ.
Pse po ndodh kjo? Hidhini një sy grafikut të funksionit $y=((x)^(2))$:
Grafiku i një funksioni kuadratik jep dy rrënjë: pozitive dhe negative Le të përpiqemi të llogarisim $\sqrt(4)$ duke përdorur këtë grafik. Për ta bërë këtë, në grafik vizatohet një vijë horizontale $y=4$ (e shënuar me të kuqe), e cila kryqëzohet me parabolën në dy pika: $((x)_(1))=2$ dhe $((x )_(2)) =-2$. Kjo është mjaft logjike, pasi
Gjithçka është e qartë me numrin e parë - është pozitiv, pra është rrënja:
Por atëherë çfarë të bëjmë me pikën e dytë? A thua katër kanë dy rrënjë njëherësh? Në fund të fundit, nëse e vendosim në katror numrin −2, do të marrim edhe 4. Pse të mos shkruani atëherë $\sqrt(4)=-2$? Dhe pse mësuesit i shikojnë postimet e tilla sikur duan të të hanë? :)
Problemi është se nëse nuk vendosni ndonjë kusht shtesë, atëherë kuadrati do të ketë dy rrënjë katrore - pozitive dhe negative. Dhe çdo numër pozitiv do të ketë gjithashtu dy prej tyre. Por numrat negativë nuk do të kenë rrënjë fare - kjo mund të shihet nga i njëjti grafik, pasi parabola nuk bie kurrë nën boshtin y, d.m.th. nuk pranon vlera negative.
Një problem i ngjashëm ndodh për të gjitha rrënjët me një eksponent çift:
- Në mënyrë të rreptë, çdo numër pozitiv do të ketë dy rrënjë me eksponent çift $n$;
- Nga numrat negativ, rrënja me madje $n$ nuk nxirret fare.
Kjo është arsyeja pse në përkufizimin e një rrënjë të një shkalle çift $n$ është përcaktuar në mënyrë specifike që përgjigja duhet të jetë një numër jo negativ. Kështu shpëtojmë nga paqartësia.
Por për $n$ teke nuk ka një problem të tillë. Për ta parë këtë, le të shohim grafikun e funksionit $y=((x)^(3))$:
Një parabolë kubike mund të marrë çdo vlerë, kështu që rrënja e kubit mund të merret nga çdo numër Nga ky grafik mund të nxirren dy përfundime:
- Degët e një parabole kubike, ndryshe nga ajo e rregullt, shkojnë në pafundësi në të dy drejtimet - lart dhe poshtë. Prandaj, pavarësisht nga lartësia që vizatojmë një vijë horizontale, kjo vijë sigurisht që do të kryqëzohet me grafikun tonë. Rrjedhimisht, rrënja e kubit mund të nxirret gjithmonë nga absolutisht çdo numër;
- Për më tepër, një kryqëzim i tillë do të jetë gjithmonë unik, kështu që nuk keni nevojë të mendoni se cili numër konsiderohet rrënja "e saktë" dhe cili duhet të injorohet. Kjo është arsyeja pse përcaktimi i rrënjëve për një shkallë tek është më i thjeshtë se për një shkallë çift (nuk ka kërkesë për jonegativitet).
Është për të ardhur keq që këto gjëra të thjeshta nuk shpjegohen në shumicën e teksteve shkollore. Në vend të kësaj, truri ynë fillon të fluturojë me të gjitha llojet e rrënjëve aritmetike dhe vetitë e tyre.
Po, unë nuk debatoj: ju gjithashtu duhet të dini se çfarë është një rrënjë aritmetike. Dhe unë do të flas për këtë në detaje në një mësim të veçantë. Sot do të flasim gjithashtu për të, sepse pa të të gjitha mendimet për rrënjët e shumëfishimit $n$-th do të ishin të paplota.
Por së pari ju duhet të kuptoni qartë përkufizimin që dhashë më lart. Përndryshe, për shkak të bollëkut të termave, në kokën tuaj do të fillojë një rrëmujë e tillë që në fund nuk do të kuptoni asgjë fare.
E tëra çfarë ju duhet të bëni është të kuptoni ndryshimin midis treguesve çift dhe tek. Prandaj, le të mbledhim edhe një herë gjithçka që vërtet duhet të dini për rrënjët:
- Një rrënjë e një shkalle çift ekziston vetëm nga një numër jonegativ dhe në vetvete është gjithmonë një numër jo negativ. Për numrat negativ, një rrënjë e tillë është e papërcaktuar.
- Por rrënja e një shkalle tek ekziston nga çdo numër dhe në vetvete mund të jetë çdo numër: për numrat pozitivë është pozitiv, dhe për numrat negativ, siç lë të kuptohet kapaku, është negativ.
Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Është e qartë? Po, është plotësisht e qartë! Kështu që tani do të praktikojmë pak me llogaritjet.
Karakteristikat dhe kufizimet themelore
Rrënjët kanë shumë veti dhe kufizime të çuditshme - kjo do të diskutohet në një mësim të veçantë. Prandaj, tani do të shqyrtojmë vetëm "mashtrimin" më të rëndësishëm, i cili vlen vetëm për rrënjët me një indeks të barabartë. Le ta shkruajmë këtë veti si formulë:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\majtas| x\djathtas|\]
Me fjalë të tjera, nëse e ngremë një numër në një fuqi çift dhe më pas nxjerrim rrënjën e së njëjtës fuqi, nuk do të marrim numrin origjinal, por modulin e tij. Kjo është një teoremë e thjeshtë që mund të vërtetohet lehtësisht (mjafton të konsiderohen jo-negativët $x$ veç e veç, dhe më pas ato negative veçmas). Mësuesit flasin vazhdimisht për të, është dhënë në çdo tekst shkollor. Por, sapo bëhet fjalë për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale (d.m.th., ekuacioneve që përmbajnë një shenjë radikale), studentët e harrojnë njëzëri këtë formulë.
Për të kuptuar çështjen në detaje, le të harrojmë të gjitha formulat për një minutë dhe të përpiqemi të llogarisim dy numra menjëherë:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4))=?\]
Këta janë shembuj shumë të thjeshtë. Shumica e njerëzve do të zgjidhin shembullin e parë, por shumë njerëz ngecin në të dytin. Për të zgjidhur çdo gjë të tillë pa probleme, gjithmonë merrni parasysh procedurën:
- Së pari, numri rritet në fuqinë e katërt. Epo, është disi e lehtë. Do të merrni një numër të ri që mund të gjendet edhe në tabelën e shumëzimit;
- Dhe tani nga ky numër i ri është e nevojshme të nxirret rrënja e katërt. Ato. nuk ndodh asnjë "zvogëlim" i rrënjëve dhe fuqive - këto janë veprime të njëpasnjëshme.
Le të shohim shprehjen e parë: $\sqrt((3)^(4)))$. Natyrisht, së pari duhet të llogaritni shprehjen nën rrënjë:
\[((3)^(4))=3\cpika 3\cpika 3\cpika 3=81\]
Pastaj nxjerrim rrënjën e katërt të numrit 81:
Tani le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Së pari, ne e ngremë numrin -3 në fuqinë e katërt, e cila kërkon shumëzimin e tij me vetveten 4 herë:
\[((\left(-3 \djathtas))^(4))=\majtas(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \left(-3 \djathtas)\cdot \ majtas(-3 \djathtas)=81\]
Ne morëm një numër pozitiv, pasi numri i përgjithshëm i minuseve në produkt është 4, dhe të gjithë do të anulojnë njëri-tjetrin (në fund të fundit, një minus për një minus jep një plus). Pastaj e nxjerrim përsëri rrënjën:
Në parim, kjo rresht nuk mund të ishte shkruar, pasi është e pamend që përgjigja do të ishte e njëjtë. Ato. një rrënjë e barabartë e së njëjtës fuqi uniforme "djeg" minuset, dhe në këtë kuptim rezultati nuk dallohet nga një modul i rregullt:
\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((3)^(4)))=\majtas| 3 \djathtas|=3; \\ & \sqrt(((\majtas(-3 \djathtas))^(4)))=\majtas| -3 \djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]
Këto llogaritje janë në përputhje të mirë me përcaktimin e një rrënja të një shkalle çift: rezultati është gjithmonë jo negativ dhe shenja radikale gjithashtu përmban gjithmonë një numër jo negativ. Përndryshe, rrënja është e papërcaktuar.
Shënim për procedurën
- Shënimi $\sqrt(((a)^(2)))$ do të thotë që fillimisht ne katrore numrin $a$ dhe më pas marrim rrënjën katrore të vlerës që rezulton. Prandaj, mund të jemi të sigurt se ka gjithmonë një numër jo negativ nën shenjën e rrënjës, pasi $((a)^(2))\ge 0$ në çdo rast;
- Por shënimi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, përkundrazi, do të thotë që ne fillimisht marrim rrënjën e një numri të caktuar $a$ dhe vetëm pastaj rezultatin në katror. Prandaj, numri $a$ në asnjë rast nuk mund të jetë negativ - kjo është një kërkesë e detyrueshme e përfshirë në përkufizim.
Kështu, në asnjë rast nuk duhet të zvogëlohen pa menduar rrënjët dhe shkallët, duke gjoja "thjeshtuar" shprehjen origjinale. Sepse nëse rrënja ka një numër negativ dhe eksponenti i saj është çift, marrim një mori problemesh.
Sidoqoftë, të gjitha këto probleme janë të rëndësishme vetëm për treguesit madje.
Heqja e shenjës minus nën shenjën e rrënjës
Natyrisht, edhe rrënjët me eksponentë tek kanë veçorinë e tyre, e cila në parim nuk ekziston me çiftin. Gjegjësisht:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Me pak fjalë, mund të hiqni minusin nga nën shenjën e rrënjëve të shkallës tek. Kjo është një pronë shumë e dobishme që ju lejon të "hedhni" të gjitha disavantazhet:
\[\fillim(radhis) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \djathtas)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fund (radhis)\]
Kjo veçori e thjeshtë thjeshton shumë llogaritjet. Tani nuk keni nevojë të shqetësoheni: po sikur një shprehje negative të fshihej nën rrënjë, por shkalla në rrënjë doli të ishte e barabartë? Mjafton vetëm të "hedhni" të gjitha minuset jashtë rrënjëve, pas së cilës ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën, të ndahen dhe në përgjithësi të bëjnë shumë gjëra të dyshimta, të cilat në rastin e rrënjëve "klasike" garantohen të na çojnë në një gabim.
Dhe këtu del në skenë një përkufizim tjetër - i njëjti me të cilin në shumicën e shkollave ata fillojnë studimin e shprehjeve irracionale. Dhe pa të cilën arsyetimi ynë do të ishte i paplotë. Takohuni!
Rrënja aritmetike
Le të supozojmë për një moment se nën shenjën e rrënjës mund të ketë vetëm numra pozitivë ose, në raste ekstreme, zero. Le të harrojmë për treguesit çift/tek, le të harrojmë të gjitha përkufizimet e dhëna më lart - do të punojmë vetëm me numra jo negativë. Po pastaj?
Dhe pastaj do të marrim një rrënjë aritmetike - ajo pjesërisht mbivendoset me përkufizimet tona "standarde", por ende ndryshon prej tyre.
Përkufizimi. Një rrënjë aritmetike e shkallës $n$të të një numri jonegativ $a$ është një numër jonegativ $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$.
Siç mund ta shohim, ne nuk jemi më të interesuar për barazi. Në vend të kësaj, u shfaq një kufizim i ri: shprehja radikale tani është gjithmonë jo-negative, dhe vetë rrënja është gjithashtu jo-negative.
Për të kuptuar më mirë se si ndryshon rrënja aritmetike nga ajo e zakonshme, hidhini një sy grafikëve të parabolës katrore dhe kubike me të cilat jemi njohur tashmë:
Zona e kërkimit aritmetik të rrënjës - numra jo negativë Siç mund ta shihni, tani e tutje ne jemi të interesuar vetëm për ato pjesë të grafikëve që ndodhen në tremujorin e parë të koordinatave - ku koordinatat $x$ dhe $y$ janë pozitive (ose të paktën zero). Nuk keni më nevojë të shikoni treguesin për të kuptuar nëse kemi të drejtë të vendosim një numër negativ nën rrënjë apo jo. Sepse numrat negativë nuk konsiderohen më në parim.
Ju mund të pyesni: "Epo, pse na duhet një përkufizim kaq i sterilizuar?" Ose: "Pse nuk mund t'ia dalim me përkufizimin standard të dhënë më lart?"
Epo, unë do të jap vetëm një pronë për shkak të së cilës përkufizimi i ri bëhet i përshtatshëm. Për shembull, rregulli për fuqizimin:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Ju lutemi vini re: ne mund ta ngremë shprehjen radikale në çdo fuqi dhe në të njëjtën kohë të shumëzojmë eksponentin e rrënjës me të njëjtën fuqi - dhe rezultati do të jetë i njëjti numër! Këtu janë shembuj:
\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \fund (liroj)\]
Pra, çfarë është puna e madhe? Pse nuk mund ta bënim këtë më parë? Ja pse. Le të shqyrtojmë një shprehje të thjeshtë: $\sqrt(-2)$ - ky numër është mjaft normal në kuptimin tonë klasik, por absolutisht i papranueshëm nga pikëpamja e rrënjës aritmetike. Le të përpiqemi ta konvertojmë atë:
$\begin(lidh) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\majtas(-2 \djathtas))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \fund (rreshtoj)$
Siç mund ta shihni, në rastin e parë hoqëm minusin nga poshtë radikalit (kemi të drejtë, pasi eksponenti është tek), dhe në rastin e dytë kemi përdorur formulën e mësipërme. Ato. Nga pikëpamja matematikore, gjithçka bëhet sipas rregullave.
WTF?! Si mund të jetë i njëjti numër pozitiv dhe negativ? Në asnjë mënyrë. Thjesht formula për fuqizimin, e cila funksionon mirë për numrat pozitivë dhe zero, fillon të prodhojë herezi të plotë në rastin e numrave negativë.
Pikërisht për të hequr qafe një paqartësi të tillë u shpikën rrënjët aritmetike. Një mësim i veçantë i madh u kushtohet atyre, ku ne i konsiderojmë të gjitha pronat e tyre në detaje. Kështu që ne nuk do të ndalemi në to tani - mësimi tashmë ka rezultuar shumë i gjatë.
Rrënja algjebrike: për ata që duan të dinë më shumë
Kam menduar gjatë nëse këtë temë ta vendos në një paragraf të veçantë apo jo. Në fund vendosa ta lë këtu. Ky material është menduar për ata që duan të kuptojnë rrënjët edhe më mirë - jo më në nivelin mesatar "shkollor", por në atë afër nivelit të Olimpiadës.
Pra: përveç përkufizimit "klasik" të rrënjës $n$th të një numri dhe ndarjes së lidhur në eksponentë çift dhe tek, ekziston një përkufizim më "i rritur" që nuk varet aspak nga barazia dhe hollësitë e tjera. Kjo quhet rrënjë algjebrike.
Përkufizimi. Rrënja algjebrike $n$th e çdo $a$ është bashkësia e të gjithë numrave $b$ të tillë që $((b)^(n))=a$. Nuk ka asnjë përcaktim të përcaktuar për rrënjë të tilla, kështu që ne thjesht do të vendosim një vizë sipër:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\majtas\( b\majtas| b\in \mathbb(R);((b)^(n)=a \djathtas. \djathtas\) \]
Dallimi thelbësor nga përkufizimi standard i dhënë në fillim të mësimit është se një rrënjë algjebrike nuk është një numër specifik, por një grup. Dhe meqenëse ne punojmë me numra realë, ky grup vjen në vetëm tre lloje:
- Komplet bosh. Ndodh kur duhet të gjeni një rrënjë algjebrike të një shkalle çift nga një numër negativ;
- Një grup i përbërë nga një element i vetëm. Të gjitha rrënjët e fuqive tek, si dhe rrënjët e fuqive çift zero, bëjnë pjesë në këtë kategori;
- Së fundi, grupi mund të përfshijë dy numra - të njëjtët $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))=-((x)_(1))$ që pamë në grafik funksion kuadratik. Prandaj, një rregullim i tillë është i mundur vetëm kur nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga një numër pozitiv.
Rasti i fundit meriton shqyrtim më të detajuar. Le të numërojmë disa shembuj për të kuptuar ndryshimin.
Shembull. Vlerësoni shprehjet:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Zgjidhje. Shprehja e parë është e thjeshtë:
\[\overline(\sqrt(4))=\majtas\( 2;-2 \djathtas\)\]
Janë dy numra që janë pjesë e grupit. Sepse secila prej tyre në katror jep një katër.
\[\overline(\sqrt(-27))=\majtas\( -3 \djathtas\)\]
Këtu shohim një grup të përbërë nga vetëm një numër. Kjo është mjaft logjike, pasi eksponenti i rrënjës është i çuditshëm.
Më në fund, shprehja e fundit:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Morëm një grup bosh. Sepse nuk ka asnjë numër të vetëm real që, kur të ngrihet në fuqinë e katërt (d.m.th., çift!), të na japë numrin negativ -16.
Shënim përfundimtar. Ju lutemi vini re: jo rastësisht vura re kudo se ne punojmë me numra realë. Sepse ka edhe numra kompleksë - është mjaft e mundur të llogaritet $\sqrt(-16)$ atje, dhe shumë gjëra të tjera të çuditshme.
Sidoqoftë, numrat kompleksë pothuajse kurrë nuk shfaqen në kurset moderne të matematikës shkollore. Ato janë hequr nga shumica e teksteve shkollore sepse zyrtarët tanë e konsiderojnë temën "shumë të vështirë për t'u kuptuar".
Kjo eshte e gjitha. Në mësimin tjetër do të shikojmë të gjitha vetitë kryesore të rrënjëve dhe më në fund do të mësojmë se si të thjeshtojmë shprehjet irracionale. :)
Operacione me fuqi dhe rrënjë. Diplomë me negative ,
zero dhe thyesore tregues. Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim.
Operacionet me gradë.
1. Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, eksponentët e tyre mblidhen:
jam · a n = a m + n .
2. Gjatë pjesëtimit të shkallëve me bazë të njëjtë, eksponentët e tyre zbriten .
3. Shkalla e prodhimit të dy ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Shkalla e një raporti (fraksioni) është e barabartë me raportin e shkallëve të dividentit (numëruesit) dhe pjesëtuesit (emëruesit):
(a/b ) n = a n / b n .
5. Kur ngrihet një fuqi në një fuqi, eksponentët e tyre shumëzohen:
(jam ) n = a m n .
Të gjitha formulat e mësipërme lexohen dhe ekzekutohen në të dy drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.
SHEMBULL (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operacionet me rrënjë. Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli do të thotë rrënjë aritmetike(shprehja radikale është pozitive).
1. Rrënja e produktit të disa faktorëve është e barabartë me produktin rrënjët e këtyre faktorëve:
2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e rrënjëve të dividendit dhe pjesëtuesit:
3. Kur ngre një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet në këtë fuqi numri radikal:
4. Nëse rrisim shkallën e rrënjës në m ngre në m fuqia e th është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
5. Nëse zvogëlojmë shkallën e rrënjës në m nxirrni rrënjën një herë dhe në të njëjtën kohë m fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk është do të ndryshojë:
Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani ne kemi konsideruar shkallë vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me gradë dhe rrënjët gjithashtu mund të çojnë në negativ, zero Dhe thyesore treguesit. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.
Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e disa numrave c një eksponent negativ (numër i plotë) përkufizohet si një i ndarë me një fuqi të të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolutetregues negativ:
T tani formula jam: a n= jam - n mund të përdoret jo vetëm përm, me shume se n, por edhe me m, më pak se n .
SHEMBULL a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Nëse duam formulënjam : a n= jam - nishte e drejtë kurm = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.
Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.
SHEMBUJ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real dhe në fuqinë m/n , ju duhet të nxirrni rrënjën fuqia e n-të e m -fuqia e këtij numri A:
Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.çdo numër.
Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër x, atëherë sipas përcaktimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 · x. Por kjo barazi ndodh kur çdo numër x, që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Rasti 3.
0 0 - çdo numër.
Vërtet,
Zgjidhja. Le të shqyrtojmë tre raste kryesore:
1) x = 0 – kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion
(Pse?).
2) kur x> 0 marrim: x/x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë
Çfarë x- çdo numër; por duke marrë parasysh se në
Në rastin tonë x> 0, përgjigjja ështëx > 0 ;
3) kur x < 0 получаем: – x/x= 1, d.m.th . –1 = 1, pra,
Në këtë rast nuk ka zgjidhje.
Kështu, x > 0.
Shpesh, transformimi dhe thjeshtimi i shprehjeve matematikore kërkon kalimin nga rrënjët në fuqi dhe anasjelltas. Ky artikull flet se si të konvertohet një rrënjë në një shkallë dhe mbrapa. Diskutohet teoria, shembuj praktik dhe gabimet më të zakonshme.
Kalimi nga fuqitë me eksponentë thyesorë në rrënjë
Le të themi se kemi një numër me një eksponent në formën e një thyese të zakonshme - a m n. Si të shkruani një shprehje të tillë si rrënjë?
Përgjigja rrjedh nga vetë përkufizimi i gradës!
Përkufizimi
Një numër pozitiv a me fuqinë m n është rrënja n e numrit a m.
Në këtë rast, duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:
a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Fuqia thyesore e zeros përcaktohet në mënyrë të ngjashme, por në këtë rast numri m nuk merret si numër i plotë, por si numër natyror, në mënyrë që të mos ndodhë pjesëtimi me 0:
0 m n = 0 m n = 0 .
Në përputhje me përkufizimin, shkalla a m n mund të përfaqësohet si rrënja a m n .
Për shembull: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Megjithatë, siç është përmendur tashmë, nuk duhet të harrojmë për kushtet: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Kështu, shprehja - 8 1 3 nuk mund të përfaqësohet në formën - 8 1 3, pasi shënimi - 8 1 3 thjesht nuk ka kuptim - shkalla e numrave negativ nuk është e përcaktuar. Për më tepër, vetë rrënja - 8 1 3 ka kuptim.
Kalimi nga shkallët me shprehje në bazë dhe në eksponentët fraksional kryhet në mënyrë të ngjashme në të gjithë gamën e vlerave të lejueshme (në tekstin e mëtejmë VA) të shprehjeve origjinale në bazën e shkallës.
Për shembull, shprehja x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 mund të shkruhet si rrënjë katrore e x 2 + 2 x + 1 - 4. Shprehja në fuqinë x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 bëhet shprehja x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 për të gjitha x, y, z nga ODZ e kësaj shprehjeje.
Është i mundur edhe zëvendësimi i kundërt i rrënjëve me fuqi, kur në vend të shprehjes me rrënjë shkruhen shprehje me fuqi. Ne thjesht e kthejmë barazinë nga paragrafi i mëparshëm dhe marrim:
Përsëri, tranzicioni është i dukshëm për numrat pozitivë a. Për shembull, 7 6 4 = 7 6 4, ose 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Për a negative rrënjët kanë kuptim. Për shembull - 4 2 6, - 2 3. Sidoqoftë, është e pamundur të përfaqësohen këto rrënjë në formën e fuqive - 4 2 6 dhe - 2 1 3.
A është e mundur të konvertohen shprehje të tilla me fuqi? Po, nëse bëni disa ndryshime paraprake. Le të shqyrtojmë se cilat.
Duke përdorur vetitë e fuqive, mund të transformoni shprehjen - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Meqenëse 4 > 0, mund të shkruajmë:
Në rastin e një rrënjë tek të një numri negativ, mund të shkruajmë:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Atëherë shprehja - 2 3 do të marrë formën:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Le të kuptojmë tani se si rrënjët nën të cilat përmbahen shprehjet zëvendësohen nga fuqitë që përmbajnë këto shprehje në bazë.
Le të shënojmë me shkronjën A disa shprehje. Megjithatë, nuk do të nxitojmë të paraqesim A m n në formën A m n. Le të shpjegojmë se çfarë nënkuptohet këtu. Për shembull, shprehjen x - 3 2 3, bazuar në barazinë nga paragrafi i parë, dëshiroj ta paraqes në formën x - 3 2 3. Një zëvendësim i tillë është i mundur vetëm për x - 3 ≥ 0, dhe për x të mbetur nga ODZ nuk është i përshtatshëm, pasi për negativ a formula a m n = a m n nuk ka kuptim.
Kështu, në shembullin e konsideruar, një transformim i formës A m n = A m n është një transformim që ngushton ODZ, dhe për shkak të aplikimit të pasaktë të formulës A m n = A m n, shpesh ndodhin gabime.
Për të lëvizur saktë nga rrënja A m n në fuqinë A m n , duhet të respektohen disa pika:
- Nëse numri m është numër i plotë dhe tek, dhe n është natyral dhe çift, atëherë formula A m n = A m n është e vlefshme për të gjithë ODZ të ndryshoreve.
- Nëse m është një numër i plotë dhe tek, dhe n është një numër natyror dhe tek, atëherë shprehja A m n mund të zëvendësohet:
- në A m n për të gjitha vlerat e variablave për të cilat A ≥ 0;
- on - - A m n për të gjitha vlerat e variablave për të cilat A< 0 ; - Nëse m është një numër i plotë dhe çift, dhe n është çdo numër natyror, atëherë A m n mund të zëvendësohet me A m n.
Le t'i përmbledhim të gjitha këto rregulla në një tabelë dhe të japim disa shembuj të përdorimit të tyre.
Le të kthehemi te shprehja x - 3 2 3. Këtu m = 2 është një numër i plotë dhe çift, dhe n = 3 është një numër natyror. Kjo do të thotë që shprehja x - 3 2 3 do të shkruhet saktë në formën:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Le të japim një shembull tjetër me rrënjë dhe fuqi.
Shembull. Shndërrimi i rrënjës në fuqi
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Le të arsyetojmë rezultatet e paraqitura në tabelë. Nëse numri m është numër i plotë dhe tek, dhe n është natyral dhe çift, për të gjitha variablat nga ODZ në shprehjen A m n vlera e A është pozitive ose jo negative (për m > 0). Kjo është arsyeja pse A m n = A m n .
Në opsionin e dytë, kur m është një numër i plotë, pozitiv dhe tek, dhe n është natyral dhe tek, vlerat e A m n ndahen. Për variablat nga ODZ për të cilat A është jonegative, A m n = A m n = A m n . Për variablat për të cilat A është negative, marrim A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Le të shqyrtojmë në mënyrë të ngjashme rastin e mëposhtëm, kur m është një numër i plotë dhe çift, dhe n është çdo numër natyror. Nëse vlera e A është pozitive ose jo negative, atëherë për vlera të tilla të variablave nga ODZ A m n = A m n = A m n. Për negativin A marrim A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Kështu, në rastin e tretë, për të gjitha variablat nga ODZ mund të shkruajmë A m n = A m n .
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
