(\large\bf Derivat i një funksioni)
Merrni parasysh funksionin y=f(x), e specifikuar në interval (a, b). Le x- çdo pikë fikse e intervalit (a, b), A Δx- një numër arbitrar i tillë që vlera x+Δx i përket edhe intervalit (a, b). Ky numër Δx quhet rritje e argumentit.
Përkufizimi. Rritja e funksionit y=f(x) në pikën x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, le të telefonojmë numrin
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Ne besojmë se Δx ≠ 0. Konsideroni në një pikë të caktuar fikse x raporti i rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen përkatëse të argumentit Δx
Ne do ta quajmë këtë relacion marrëdhënie ndryshimi. Që nga vlera x ne e konsiderojmë fikse, raporti i diferencës është funksion i argumentit Δx. Ky funksion është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit Δx, që i përket një lagjeje mjaft të vogël të pikës Δx=0, me përjashtim të vetë pikës Δx=0. Kështu, ne kemi të drejtë të shqyrtojmë çështjen e ekzistencës së një kufiri të funksionit të specifikuar në Δx → 0.
Përkufizimi. Derivat i një funksioni y=f(x) në një pikë të caktuar fikse x quhet kufiri në Δx → 0 raporti i diferencës, domethënë
Me kusht që të ekzistojë ky kufi.
Emërtimi. y'(x) ose f′(x).
Kuptimi gjeometrik i derivatit: Derivat i një funksioni f(x) në këtë pikë x e barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit kau dhe një tangjente me grafikun e këtij funksioni në pikën përkatëse:
f′(x 0) = \tgα.
Kuptimi mekanik i derivatit: Derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore të pikës:
Ekuacioni i një tangjente në një drejtëz y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0) merr formën
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Normalja në një kurbë në një pikë është pingul me tangjenten në të njëjtën pikë. Nëse f′(x 0)≠ 0, pastaj ekuacioni i normales me drejtëzën y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0)është shkruar kështu:
Koncepti i diferencibilitetit të një funksioni
Lëreni funksionin y=f(x) të përcaktuara në një interval të caktuar (a, b), x- disa vlera fikse të argumentit nga ky interval, Δx- çdo rritje e argumentit të tillë që vlera e argumentit x+Δx ∈ (a, b).
Përkufizimi. Funksioni y=f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, nëse rritet Δy këtë funksion në pikë x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, mund të paraqitet në formë
Δy = A Δx +αΔx,
Ku A- disa numra të pavarur nga Δx, A α - funksioni i argumentit Δx, e cila është pafundësisht e vogël në Δx→ 0.
Meqenëse prodhimi i dy funksioneve infiniteminale αΔxështë një infinit i vogël i rendit më të lartë se Δx(vetia e 3 funksioneve infiniteminale), atëherë mund të shkruajmë:
Δy = A Δx +o(Δx).
Teorema. Në mënyrë për funksionin y=f(x) ishte i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat të fundëm në këtë pikë. Ku A=f′(x), kjo eshte
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Operacioni i gjetjes së derivatit zakonisht quhet diferencim.
Teorema. Nëse funksioni y=f(x) x, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.
Komentoni. Nga vazhdimësia e funksionit y=f(x) në këtë pikë x, në përgjithësi, diferencueshmëria e funksionit nuk pason f(x) në këtë pikë. Për shembull, funksioni y=|x|- e vazhdueshme në një pikë x=0, por nuk ka derivat.
Koncepti i funksionit diferencial
Përkufizimi. Diferenciali i funksionit y=f(x) quhet prodhimi i derivatit të këtij funksioni dhe rritja e ndryshores së pavarur x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Për funksionin y=x marrim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, kjo eshte dx=Δx- diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshoreje.
Kështu, ne mund të shkruajmë
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferenciale dy dhe rritje Δy funksione y=f(x) në këtë pikë x, të dyja korrespondojnë me të njëjtin rritje argumenti Δx, në përgjithësi, nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.
Kuptimi gjeometrik i diferencialit: Diferenciali i një funksioni është i barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes me grafikun e këtij funksioni kur argumenti shtohet. Δx.
Rregullat e diferencimit
Teorema. Nëse secili prej funksioneve u(x) Dhe v(x) të diferencueshëm në një pikë të caktuar x, pastaj shuma, diferenca, prodhimi dhe herësi i këtyre funksioneve (herësi me kusht që v(x)≠ 0) janë gjithashtu të diferencueshme në këtë pikë, dhe formulat qëndrojnë:
Merrni parasysh funksionin kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Ku y=f(u), u=φ(x). Në këtë rast u thirrur argument i ndërmjetëm, x - ndryshore e pavarur.
Teorema. Nëse y=f(u) Dhe u=φ(x) janë funksione të diferencueshme të argumenteve të tyre, pastaj derivat i një funksioni kompleks y=f(φ(x)) ekziston dhe është i barabartë me produktin e këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur, d.m.th.
Komentoni. Për një funksion kompleks që është një mbivendosje e tre funksioneve y=F(f(φ(x))), rregulli i diferencimit ka formën
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
ku janë funksionet v=φ(x), u=f(v) Dhe y=F(u)- funksionet e diferencueshme të argumenteve të tyre.
Teorema. Lëreni funksionin y=f(x) rritet (ose zvogëlohet) dhe është i vazhdueshëm në ndonjë lagje të pikës x 0. Le të jetë, përveç kësaj, ky funksion i diferencueshëm në pikën e treguar x 0 dhe derivati i tij në këtë pikë f′(x 0) ≠ 0. Pastaj në ndonjë lagje të pikës përkatëse y 0 =f(x 0) e kundërta është përcaktuar për y=f(x) funksionin x=f -1 (y), dhe funksioni invers i treguar është i diferencueshëm në pikën përkatëse y 0 =f(x 0) dhe për derivatin e tij në këtë pikë y formula është e vlefshme
Tabela e derivateve
Pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë
Le të shqyrtojmë diferencialin e një funksioni kompleks. Nëse y=f(x), x=φ(t)- funksionet e argumenteve të tyre janë të diferencueshme, pastaj derivati i funksionit y=f(φ(t)) shprehur me formulën
y′ t = y′ x x′ t.
A-parësore dy=y′ t dt, atëherë marrim
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Pra, ne e kemi vërtetuar
Vetia e pandryshueshmërisë së formës së diferencialit të parë të një funksioni: si në rastin kur argumenti xështë variabël i pavarur, dhe në rastin kur argumenti x në vetvete është një funksion i diferencueshëm i ndryshores së re, diferencialit dy funksione y=f(x)është e barabartë me derivatin e këtij funksioni të shumëzuar me diferencialin e argumentit dx.
Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta
Ne kemi treguar se diferenciali dy funksione y=f(x), në përgjithësi, nuk është e barabartë me rritjen Δy këtë funksion. Megjithatë, deri në një funksion pafundësisht të vogël të një rendi më të vogël të vogël se Δx, barazia e përafërt është e vlefshme
Δy ≈ dy.
Raporti quhet gabimi relativ i barazisë së kësaj barazie. Sepse Δy-dy=o(Δx), atëherë gabimi relativ i kësaj barazie bëhet aq i vogël sa të dëshirohet me ulje |Dh|.
Duke marrë parasysh atë Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, marrim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ose
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Kjo barazi e përafërt lejon me gabim o (Δx) funksioni i zëvendësimit f(x) në një lagje të vogël të pikës x(dmth për vlera të vogla Δx) funksion linear i argumentit Δx, duke qëndruar në anën e djathtë.
Derivatet e rendit më të lartë
Përkufizimi. Derivati i dytë (ose derivati i rendit të dytë) i një funksioni y=f(x) quhet derivat i derivatit të parë të tij.
Shënimi për derivatin e dytë të një funksioni y=f(x):
Kuptimi mekanik i derivatit të dytë. Nëse funksioni y=f(x) përshkruan ligjin e lëvizjes së një pike materiale në një vijë të drejtë, pastaj derivatin e dytë f″(x) e barabartë me nxitimin e një pike lëvizëse në momentin e kohës x.
Derivatet e tretë dhe të katërt përcaktohen në mënyrë të ngjashme.
Përkufizimi. n derivati i th (ose derivati n-të rendit) funksionet y=f(x) quhet derivat i tij n-1 derivati i th:
y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.
Emërtimet: y", y IV, y V etj.
Gjeni një shprehje për derivatin e funksionit eksponencial \(y = (e^x)\), duke përdorur përkufizimin e derivatit.
Zgjidhje.
Hapat fillestarë janë standardë: fillimisht shkruajmë rritjen e funksionit \(\Delta y\), që korrespondon me shtimin e argumentit \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \djathtas) - y\majtas(x \djathtas) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x)) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \djathtas).) \] Derivati llogaritet si kufi i raporti i rritjeve: \[ (y"\majtas(x \djathtas) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \deri 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \djathtas)))((\Delta x)).) \] Funksioni \(y = (e^x)\) në numërues nuk varet nga Δ x dhe mund të merret përtej shenjës kufitare. Pastaj derivati merr formën e mëposhtme: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Le të shënojmë kufirin që rezulton me \(L\) dhe Llogariteni atë veçmas. Vini re rastësisht, se \((e^0) = 1\) dhe, për këtë arsye, ne mund të shkruajmë \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^ (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \ deri në 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 )))((\ Delta x)) = e"\left(0 \djathtas),) \] pra, ky kufi paraqet vlerën e derivatit të funksionit eksponencial në zero. Rrjedhimisht, \ Ne kemi marrë një marrëdhënie në të cilën derivati i dëshiruar shprehet përmes vetë funksionit \(y = (e^x)\) dhe derivatit të tij në pikën \(x = 0\). Le të vërtetojmë se \ Për ta bërë këtë, kujtojmë se numri \(e\) është përcaktuar në formën e një kufiri të pafund si \ dhe numri \(e\) në fuqinë \(\Delta x\) do të jetë në përputhje me rrethanat. , të jetë e barabartë me \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \në \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \djathtas) ^n).\] Më pas aplikojmë formulën e famshme Binomi i Njutonit dhe zgjeroni shprehjen nën shenjën limit in seri binomiale: \[(\majtas((1 + \frac((\Delta x))(n)) \djathtas)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\majtas( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Këtu \((C_n^k)\) tregon numrin e kombinimeve të \(n\) elementeve me \( k\ ). Në tekstet evropiane dhe amerikane, numri i kombinimeve shënohet si \ Le të kthehemi në kufirin tonë \(L\), i cili tani mund të shkruhet në këtë formë: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0 ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \ deri në 0) \frac((\lim\limits_(n \në \infty ) \ majtas[ (\shuma\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k) ) ) \djathtas] - 1))((\Delta x)).) \] Është e përshtatshme për ne që të izolojmë dy termat e parë në serinë binomiale: për \(k = 0\) dhe \(k = 1 \). Si rezultat, marrim \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0 )^n (C_n^k((\majtas((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k)) ) \djathtas] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \deri 0) \frac((\lim\limits_(n \në \infty ) \left[ (C_n^0((\majtas((\frac((\Delta x) )(n )) \djathtas))^0) + C_n^1(\majtas((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\majtas((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k)) ) \djathtas] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ shuma\ limitet_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k)) ) \djathtas] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\majtas((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k))))((\Delta x))) = (\lim\ limits_(\ Delta x \ në 0) \majtas[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\majtas((\frac((\Delta x))(n)) \djathtas))^k)) ) \djathtas] ) = (1 + \lim\limits_(n \në \infty) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \ djathtas)) ^(k - 1)))) (((n^k)))) ) \djathtas)) \djathtas].) \] Natyrisht, shuma e serisë tenton në zero si \(\Delta x \në 0\) . Prandaj, \(L = 1\). Kjo do të thotë se derivati i funksionit eksponencial \(y = (e^x)\) është i barabartë me vetë funksionin: \
Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme të gjeometrisë, mekanikës, fizikës dhe degëve të tjera të njohurive, lindi nevoja duke përdorur të njëjtin proces analitik nga ky funksion. y=f(x) merrni një funksion të ri të quajtur funksioni derivator(ose thjesht derivat) i një funksioni të caktuar f(x) dhe shënohet nga simboli
Procesi me të cilin nga një funksion i caktuar f(x) merrni një veçori të re f" (x), thirri diferencimi dhe përbëhet nga tre hapat e mëposhtëm: 1) jepni argumentin x rritje
x dhe përcaktoni rritjen përkatëse të funksionit
y = f(x+
x) -f(x); 2) përbëjnë një lidhje 
3) duke numëruar x konstante dhe
x0, gjejmë 
, të cilin e shënojmë me f" (x), sikur të theksonte se funksioni që rezulton varet vetëm nga vlera x, në të cilën shkojmë në kufi. Përkufizimi:
Derivati y " =f " (x)
funksioni i dhënë y=f(x)
për një x të dhënë quhet kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, me kusht që rritja e argumentit të tentojë në zero, nëse, natyrisht, ekziston ky kufi, d.m.th. të fundme. Kështu, 
, ose 
Vini re se nëse për disa vlera x, për shembull kur x=a, qëndrim 
në
x0 nuk priret në kufirin e fundëm, atëherë në këtë rast thonë se funksioni f(x) në x=a(ose në pikën x=a) nuk ka derivat ose nuk është i diferencueshëm në pikë x=a.
2. Kuptimi gjeometrik i derivatit.
Konsideroni grafikun e funksionit y = f (x), të diferencueshëm në afërsi të pikës x 0
f(x)
Le të shqyrtojmë një vijë të drejtë arbitrare që kalon nëpër një pikë në grafikun e një funksioni - pika A(x 0, f (x 0)) dhe që pret grafikun në një pikë B(x;f(x)). Një vijë e tillë (AB) quhet sekant. Nga ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Që nga AC || Ox, pastaj ALO = BAC = β (si korrespondues për paralelen). Por ALO është këndi i prirjes së sekantit AB ndaj drejtimit pozitiv të boshtit Ox. Kjo do të thotë se tanβ = k është pjerrësia e drejtëzës AB.
Tani do të zvogëlojmë ∆х, d.m.th. ∆х→ 0. Në këtë rast, pika B do t'i afrohet pikës A sipas grafikut dhe sekanti AB do të rrotullohet. Pozicioni kufizues i sekantit AB në ∆x→ 0 do të jetë një drejtëz (a), e quajtur tangjente në grafikun e funksionit y = f (x) në pikën A.
Nëse shkojmë në kufi si ∆x → 0 në barazinë tgβ =∆y/∆x, marrim 
ortg =f "(x 0), pasi 
-këndi i prirjes së tangjentes në drejtimin pozitiv të boshtit Ox 
, sipas përkufizimit të një derivati. Por tg = k është koeficienti këndor i tangjentes, që do të thotë k = tg = f "(x 0).
Pra, kuptimi gjeometrik i derivatit është si më poshtë:
Derivati i një funksioni në pikën x 0 e barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit të vizatuar në pikën me abshisën x 0 .
3. Kuptimi fizik i derivatit.
Konsideroni lëvizjen e një pike përgjatë një vije të drejtë. Le të jepet koordinata e një pike në çdo kohë x(t). Dihet (nga një kurs i fizikës) se shpejtësia mesatare në një periudhë kohore është e barabartë me raportin e distancës së përshkuar gjatë kësaj periudhe kohore me kohën, d.m.th.
Vav = ∆x/∆t. Le të shkojmë te kufiri në barazinë e fundit si ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - shpejtësia e menjëhershme në kohën t 0, ∆t → 0.
dhe lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (sipas përkufizimit të derivatit).
Pra, (t) =x"(t).
Kuptimi fizik i derivatit është si vijon: derivat i funksionity = f(x) në pikëx 0 është shpejtësia e ndryshimit të funksionitf(x) në pikëx 0
Derivati përdoret në fizikë për të gjetur shpejtësinë nga një funksion i njohur i koordinatave kundrejt kohës, nxitimi nga një funksion i njohur i shpejtësisë kundrejt kohës.
(t) = x"(t) - shpejtësia,
a(f) = "(t) - nxitimi, ose
Nëse ligji i lëvizjes së një pike materiale në një rreth është i njohur, atëherë mund të gjejmë shpejtësinë këndore dhe nxitimin këndor gjatë lëvizjes rrotulluese:
φ = φ(t) - ndryshimi i këndit me kalimin e kohës,
ω = φ"(t) - shpejtësia këndore,
ε = φ"(t) - nxitimi këndor, ose ε = φ"(t).
Nëse dihet ligji i shpërndarjes së masës së një shufre johomogjene, atëherë mund të gjendet densiteti linear i shufrës johomogjene:
m = m(x) - masë,
x , l - gjatësia e shufrës,
p = m"(x) - dendësia lineare.
Duke përdorur derivatin zgjidhen problemet nga teoria e elasticitetit dhe dridhjet harmonike. Pra, sipas ligjit të Hukut
F = -kx, x – koordinata e ndryshueshme, k – koeficienti i elasticitetit të sustës. Duke vendosur ω 2 =k/m, marrim ekuacionin diferencial të lavjerrësit të sustës x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
ku ω = √k/√m frekuenca e lëkundjeve (l/c), k - ngurtësia e sustës (H/m).
Ekuacioni i formës y" + ω 2 y = 0 quhet ekuacioni i lëkundjeve harmonike (mekanike, elektrike, elektromagnetike). Zgjidhja e ekuacioneve të tilla është funksioni
y = Asin(ωt + φ 0) ose y = Acos(ωt + φ 0), ku
A - amplituda e lëkundjeve, ω - frekuenca ciklike,
φ 0 - faza fillestare.
Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?
Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit
Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:
Derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.
Përndryshe mund të shkruhet kështu:
Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:
derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.
Kuptimi fizik i derivatit: derivati i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.
Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:
Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:
Rregulli i parë: vendosni një konstante
Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .
Shembull. Le të llogarisim derivatin:
Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve
Derivati i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.
Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.
Gjeni derivatin e funksionit:
Rregulli i tretë: derivati i produktit të funksioneve
Derivati i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:
Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:
Zgjidhja: 
Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.
Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:
Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.
Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve
Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:
Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.
Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.
Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.
Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:
Në rastin tonë, baza është numri:
Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.
Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .
Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:
Shembuj:
- Gjeni derivatin e funksionit.
- Cili është derivati i funksionit?
Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.
Rregullat e diferencimit
Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...
Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.
Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.
Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:
Gjithsej janë 5 rregulla.
Konstanta hiqet nga shenja derivatore.
Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.
Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .
Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.
Shembuj.
Gjeni derivatet e funksioneve:
- në një pikë;
- në një pikë;
- në një pikë;
- në pikën.
Zgjidhjet:
- (derivati është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është funksion linear, mbani mend?);
Derivat i produktit
Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:
Derivat:
Shembuj:
- Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
- Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.
Zgjidhjet:
Derivat i një funksioni eksponencial
Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).
Pra, ku është një numër.
Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:
Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:
Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.
Ka ndodhur?
Këtu, kontrolloni veten:
Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.
Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:
Përgjigjet:
Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk mund të shkruhet në një formë më të thjeshtë. Prandaj, e lëmë në këtë formë në përgjigje.
Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin përkatës të diferencimit:
Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:
Derivat i një funksioni logaritmik
Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:
Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:
Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:
Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:
Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:
Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.
Derivat i një funksioni kompleks.
Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".
Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.
Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.
Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .
Për shembullin tonë,.
Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.
Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .
Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).
Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:
Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion
- Çfarë veprimi do të kryejmë së pari? Së pari, le të llogarisim sinusin, dhe vetëm pastaj ta kubikeojmë atë. Kjo do të thotë se është një funksion i brendshëm, por i jashtëm.
Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: . - E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: . - E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: . - E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: . - E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.
Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:
Një shembull tjetër:
Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:
Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:
Duket e thjeshtë, apo jo?
Le të kontrollojmë me shembuj:
Zgjidhjet:
1) E brendshme: ;
E jashtme: ;
2) E brendshme: ;
(Vetëm mos u përpiqni ta shkurtoni deri tani! Asgjë nuk del nga kosinusi, mbani mend?)
3) E brendshme: ;
E jashtme: ;
Është menjëherë e qartë se ky është një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky është tashmë një funksion kompleks në vetvete, dhe ne gjithashtu nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (e vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: ne ende do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.
Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj ne i shumëzojmë të gjitha.
Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë radhe do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:
Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve është e njëjtë si më parë:
Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.
1. Shprehje radikale. .
2. Rrënja. .
3. Sinus. .
4. Sheshi. .
5. Duke i bashkuar të gjitha:
DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:
Derivatet bazë:
Rregullat e diferencimit:
Konstanta hiqet nga shenja derivatore:
Derivati i shumës:
Derivati i produktit:
Derivati i herësit:
Derivati i një funksioni kompleks:
Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:
- Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
- Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
- Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.
