Le të ndalemi në disa detaje në punën e Ostrogradsky mbi integrale të shumta.
Formula e Ostrogradsky për shndërrimin e një integrali të trefishtë në një të dyfishtë, të cilin zakonisht e shkruajmë në formën
ku div A është divergjenca e fushës së vektorit A,
Аn është prodhimi skalar i vektorit A dhe vektorit njësi të normales së jashtme n të sipërfaqes kufitare; në literaturën matematikore shpesh më parë shoqërohej me emrat Gauss dhe Green.
Në fakt, në veprën e Gausit mbi tërheqjen e sferoideve, mund të shihen vetëm raste shumë të veçanta të formulës (1), për shembull, me P=x, Q=R=0, etj. Sa i përket J. Green, në veprën e tij mbi teorinë e elektricitetit dhe nuk ka fare magnetizëm në formulën (1); ai nxjerr një marrëdhënie tjetër midis integraleve të trefishta dhe të dyfishta, domethënë, formula e Green për operatorin Laplace, e cila mund të shkruhet në formën
Natyrisht, ne mund të nxjerrim formulën (1) nga (2), duke supozuar
dhe në të njëjtën mënyrë është e mundur të merret formula (2) nga formula (1), por Green nuk mendoi ta bënte këtë.
ku në të majtë është integrali mbi vëllim, dhe në të djathtë është integrali mbi sipërfaqen kufitare, dhe këto janë kosinuset e drejtimit të normales së jashtme.
Dorëshkrimet e Parisit të Ostrogradskit dëshmojnë, me siguri të plotë, se si zbulimi ashtu edhe mesazhi i parë i teoremës integrale (1) i përkasin atij. Fillimisht u deklarua dhe u vërtetua, pikërisht siç po bëjnë tani, në "Vërtetimi i një teoreme të llogaritjes integrale", paraqitur në Akademinë e Shkencave të Parisit më 13 shkurt 1826, pas së cilës u formulua përsëri në atë pjesë të "Kujtimet mbi përhapjen e nxehtësisë në trupat e ngurtë." , të cilin Ostrogradsky e prezantoi më 6 gusht 1827. "Kujtimet" iu dhanë për shqyrtim Fourier-it dhe Poisson-it, dhe këta të fundit sigurisht e lexuan atë, siç dëshmohet nga hyrja në të parën faqet e të dyja pjesëve të dorëshkrimit. Sigurisht, ideja për t'i atribuar vetes teoremën, me të cilën ai u njoh në veprën e Ostrogradsky dy vjet përpara se të paraqiste veprën e tij mbi teorinë e elasticitetit, as që i ndodhi Poisson.
Për sa i përket marrëdhënies midis veprave mbi integrale të shumta të Ostrogradsky dhe Green, kujtojmë se në "Shënim mbi teorinë e nxehtësisë" u nxor një formulë që përqafon formulën e vetë Green-it si një rast shumë të veçantë. Simbolika tashmë e pazakontë Cauchy e përdorur nga Ostrogradsky në "Shënim" deri vonë e fshehu këtë zbulim të rëndësishëm nga studiuesit. Sigurisht, Greene ruan nderin e zbulimit dhe publikimit të parë në 1828 të formulës për operatorët Laplace që mban emrin e tij.
Zbulimi i një formule për shndërrimin e një integrali të trefishtë në një integral të dyfishtë e ndihmoi Ostrogradskin të zgjidhte problemin e ndryshimit të një integrali n-fish, domethënë, të nxjerrë formulën e përgjithshme për transformimin e integralit nga një shprehje e llojit të divergjencës mbi një n- domeni dimensional dhe integrali mbi siperfaqen S duke e kufizuar me ekuacionin L(x,y, z,…)=0. Nëse i përmbahemi shënimit të mëparshëm, atëherë formula ka formën
Sidoqoftë, Ostrogradsky nuk përdori imazhet gjeometrike dhe termat që ne përdorim: gjeometria e hapësirave shumëdimensionale nuk ekzistonte ende në atë kohë.
Në "Kujtimet mbi llogaritjen e variacioneve të integraleve të shumëfishta" shqyrtohen dy çështje më të rëndësishme në teorinë e integraleve të tillë. Së pari, Ostrogradsky nxjerr një formulë për ndryshimin e variablave në një integral shumëdimensional; së dyti, për herë të parë ai jep një përshkrim të plotë dhe të saktë të metodës së llogaritjes së një integrali n-fish duke përdorur n integrime të njëpasnjëshme mbi secilën prej variablave brenda kufijve të duhur. Së fundi, nga formulat që përmban ky memoar, rrjedh lehtësisht rregulli i përgjithshëm i diferencimit në lidhje me parametrin e një integrali shumëdimensional, kur nga ky parametër varet jo vetëm funksioni i integrandit, por edhe kufiri i fushës së integrimit. Rregulli i emërtuar rrjedh nga formulat në kujtime në mënyrë kaq të natyrshme saqë matematikanët e mëvonshëm madje e identifikuan atë me një nga formulat e këtij memoari.
Ostrogradsky i kushtoi një punë të veçantë ndryshimit të variablave në integrale të shumëfishta. Për integralin e dyfishtë, Euler nxori rregullin përkatës duke përdorur transformime formale; për integralin e trefishtë, Lagranzhi e nxori atë. Megjithatë, megjithëse rezultati i Lagranzhit është i saktë, arsyetimi i tij nuk ishte i saktë: ai dukej se vazhdoi nga fakti se elementët e vëllimeve në variablat e vjetra dhe të reja - koordinatat - janë të barabarta me njëri-tjetrin. Ostrogradsky bëri një gabim të ngjashëm në fillim në derivimin e sapopërmendur të rregullit për zëvendësimin e variablave. Në artikullin "Mbi transformimin e variablave në integrale të shumëfishta", Ostrogradsky zbuloi gabimin e Lagranzhit dhe gjithashtu për herë të parë nënvizoi atë metodë gjeometrike vizuale për transformimin e variablave në një integral të dyfishtë, i cili, në një formë pak më rigoroze, është paraqitur gjithashtu. në manualet tona. Gjegjësisht, gjatë zëvendësimit të variablave në integral duke përdorur formulat, domeni i integrimit ndahet nga vijat e koordinatave të dy sistemeve u=const, v=const në katërkëndësha lakuar infiniteminal. Pastaj integrali mund të merret duke mbledhur fillimisht ato elemente të tij që korrespondojnë me një shirit të lakuar pafundësisht të ngushtë, dhe më pas duke vazhduar përmbledhjen e elementeve në vija derisa të shteren të gjithë. Një llogaritje e thjeshtë jep për sipërfaqen, e cila deri në ato të vogla të rendit më të lartë, mund të konsiderohet si paralelogram, shprehja ku, zgjidhet në mënyrë që sipërfaqja të jetë pozitive. Rezultati është formula e njohur
Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse
Puna e kursit
Disiplina: Matematikë e lartë
(Bazat e Programimit Linear)
Në temën: INTEGRALET E SHUMËFISHTA
Përfunduar nga: ______________
Mësuesi:___________
Data ___________________
Gradë _________________
Nënshkrimi ________________
VORONEZH 2008
1 Integrale të shumëfishta
1.1 Integral i dyfishtë
1.2 Integrali i trefishtë
1.3 Integrale të shumëfishta në koordinata kurvilinare
1.4 Zbatimet gjeometrike dhe fizike të integraleve të shumëfishta
2 Integrale lakuare dhe sipërfaqësore
2.1 Integrale kurvilineare
2.2 Integralet sipërfaqësore
2.3 Zbatime gjeometrike dhe fizike
Bibliografi
1 Integrale të shumëfishta
1.1 Integral i dyfishtë
Le të shqyrtojmë një rajon të mbyllur D në rrafshin Oxy, të kufizuar nga linja L. Le ta ndajmë këtë rajon në n pjesë me disa rreshta
, dhe distancat më të mëdha përkatëse ndërmjet pikave në secilën prej këtyre pjesëve do të shënohen me d 1, d 2, ..., d n. Le të zgjedhim një pikë P i në secilën pjesë.Le të jepet një funksion z = f(x, y) në domenin D. Le të shënojmë me f(P 1), f(P 2),…, f(P n) vlerat e këtij funksioni në pikat e zgjedhura dhe të krijojmë një shumë produktesh të formës f(P i)ΔS i:
, (1)
quhet shuma integrale për funksionin f(x, y) në domenin D.
Nëse ekziston i njëjti limit i shumave integrale (1) për
dhe , e cila nuk varet as nga mënyra e ndarjes së rajonit D në pjesë dhe as nga zgjedhja e pikave Pi në to, atëherë quhet integrali i dyfishtë i funksionit f(x, y) mbi rajonin D dhe shënohet
. (2)
Llogaritja e integralit të dyfishtë mbi rajonin D të kufizuar me vija
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Integral i trefishtë
Koncepti i një integrali të trefishtë paraqitet me analogji me një integral të dyfishtë.
Le të jepet një rajon i caktuar V në hapësirë, i kufizuar nga një sipërfaqe e mbyllur S. Le të përcaktojmë një funksion të vazhdueshëm f(x, y, z) në këtë rajon të mbyllur. Pastaj e ndajmë rajonin V në pjesë arbitrare Δv i, duke marrë parasysh vëllimin e secilës pjesë të barabartë me Δv i, dhe krijojmë një shumë integrale të formës
, (4)Kufiri në
shumat integrale (11), të pavarura nga metoda e ndarjes së domenit V dhe zgjedhja e pikave Pi në çdo nënfushë të këtij domeni, quhet integrali i trefishtë i funksionit f(x, y, z) mbi domenin V:
. (5)
Integrali i trefishtë i funksionit f(x,y,z) mbi rajonin V është i barabartë me integralin e trefishtë mbi të njëjtin rajon:
. (6)
1.3 Integrale të shumëfishta në koordinata kurvilinare
Le të prezantojmë koordinatat kurvilineare në aeroplan, të quajtur polare. Le të zgjedhim pikën O (pol) dhe rrezen që del prej saj (boshti polar).
Oriz. 2 Fig. 3
Koordinatat e pikës M (Fig. 2) do të jenë gjatësia e segmentit MO - rrezja polare ρ dhe këndi φ ndërmjet MO dhe boshtit polar: M(ρ,φ). Vini re se për të gjitha pikat e rrafshit, përveç polit, ρ > 0 dhe këndi polar φ do të konsiderohet pozitiv kur matet në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe negativ kur matet në drejtim të kundërt.
Marrëdhënia ndërmjet koordinatave polare dhe karteziane të pikës M mund të vendoset duke rreshtuar origjinën e sistemit të koordinatave karteziane me polin, dhe gjysmë-boshtin pozitiv Ox me boshtin polar (Fig. 3). Atëherë x=ρcosφ, y=ρsinφ. Nga këtu
, tg. Le të përcaktojmë në rajonin D të kufizuar nga kurbat ρ=Φ 1 (φ) dhe ρ=Φ 2 (φ), ku φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
Në hapësirën tredimensionale futen koordinatat cilindrike dhe sferike.
Koordinatat cilindrike të pikës P(ρ,φ,z) janë koordinatat polare ρ, φ të projeksionit të kësaj pike në rrafshin Oxy dhe aplikimi i kësaj pike z (Fig. 5).
Fig.5 Fig.6
Formulat për kalimin nga koordinatat cilindrike në ato karteziane mund të specifikohen si më poshtë:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
Në koordinatat sferike, pozicioni i një pike në hapësirë përcaktohet nga koordinata lineare r - distanca nga pika në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane (ose poli i sistemit sferik), φ - këndi polar midis pozitivit. gjysmë-boshti Ox dhe projeksioni i pikës në rrafshin Ox, dhe θ - këndi midis gjysmë-boshtit pozitiv të boshtit Oz dhe segmentit OP (Fig. 6). Ku
Le të vendosim formulat për kalimin nga koordinatat sferike në karteziane:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Atëherë formulat për kalimin në koordinatat cilindrike ose sferike në integralin e trefishtë do të duken kështu:
, (10)
ku F 1 dhe F 2 janë funksione të marra duke zëvendësuar shprehjet e tyre përmes koordinatave cilindrike (8) ose sferike (9) në funksionin f në vend të x, y, z.
1.4 Zbatimet gjeometrike dhe fizike të integraleve të shumëfishta
1) Zona e rajonit të sheshtë S:
(11)Shembulli 1.
Gjeni zonën e figurës D të kufizuar me vija
Është e përshtatshme për të llogaritur këtë zonë duke numëruar y si një variabël të jashtëm. Pastaj kufijtë e rajonit jepen nga ekuacionet
Dhe 
llogaritur duke përdorur integrimin sipas pjesëve: 
Më parë, ne vërtetuam vetitë e një integrali të caktuar duke përdorur përkufizimin e tij si kufi i shumave. Vetitë themelore të integraleve të shumëfishta mund të vërtetohen saktësisht në të njëjtën mënyrë. Për thjeshtësi, ne do t'i konsiderojmë të gjitha funksionet si të vazhdueshme, kështu që integralet e tyre sigurisht që kanë kuptim.
I. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale dhe integrali i shumës së fundme të funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve të termave:
II. Nëse një rajon zbërthehet në një numër të kufizuar pjesësh [për shembull, në dy pjesë, atëherë integrali mbi të gjithë rajonin është i barabartë me shumën e integraleve mbi të gjitha pjesët:
III. Nëse në zonë, atëherë
Veçanërisht :
IV. Nëse shenja në rajonin (a) ruhet, atëherë vlen teorema e vlerës mesatare, e shprehur me formulën
ku ndodhet një pikë brenda rajonit (a).
Në veçanti, kur marrim
ku është zona e rajonit.
Veti të ngjashme vlejnë për integralin e trefishtë. Vini re se kur përcaktojmë një integral të dyfishtë dhe të trefishtë si kufi i një shume, gjithmonë supozohet se rajoni i integrimit është i fundëm dhe funksioni i integrantit është në çdo rast i kufizuar, domethënë ekziston një numër pozitiv A i tillë që fare pikat N të rajonit të integrimit. Nëse këto kushte nuk plotësohen, atëherë integrali mund të ekzistojë si një integral i papërshtatshëm në të njëjtën mënyrë siç ishte rasti për një integral të thjeshtë të caktuar. Ne do të merremi me integrale të shumëfishta jo të duhura në §8.
Kujdes: Kur llogaritni integrale të pahijshme me pika njëjës brenda intervalit të integrimit, nuk mund të zbatoni mekanikisht formulën Njuton-Leibniz, pasi kjo mund të çojë në gabime.
Rregulli i përgjithshëm: Formula Njuton-Leibniz është e saktë nëse antiderivati i f(x) në pikën njëjës të kësaj të fundit është e vazhdueshme.
Shembulli 2.11.
Le të shqyrtojmë një integral të pasaktë me një pikë njëjës x = 0. Formula e Njuton-Leibniz, e aplikuar zyrtarisht, jep
Megjithatë, rregulli i përgjithshëm nuk zbatohet këtu; për f(x) = 1/x antiderivativin ln |x| nuk është përcaktuar në x = 0 dhe është pafundësisht i madh në këtë pikë, d.m.th. nuk është e vazhdueshme në këtë pikë. Është e lehtë të verifikohet me verifikim të drejtpërdrejtë që integrali divergjent. Vërtet,
Pasiguria që rezulton mund të zbulohet në mënyra të ndryshme pasi e dhe d tentojnë të zero në mënyrë të pavarur. Në veçanti, duke vendosur e = d, marrim vlerën kryesore të integralit të papërshtatshëm të barabartë me 0. Nëse e = 1/n, dhe d =1/n 2, d.m.th. d tenton në 0 më shpejt se e, atëherë marrim
kur dhe anasjelltas,
ato. integrali divergjent.n
Shembulli 2.12.
Le të shqyrtojmë një integral të papërshtatshëm me një pikë njëjës x = 0. Antiderivati i funksionit ka formën dhe është i vazhdueshëm në pikën x = 0. Prandaj, mund të zbatojmë formulën Njuton-Leibniz:
Një përgjithësim natyror i konceptit të një integrali të caktuar Riemann në rastin e një funksioni të disa ndryshoreve është koncepti i një integrali të shumëfishtë. Për rastin e dy ndryshoreve quhen integrale të tilla dyfishtë.
Konsideroni në hapësirën dydimensionale Euklidiane R'R, d.m.th. në një plan me një sistem koordinativ kartezian, një grup E zona përfundimtare S.
Le të shënojmë me ( i = 1, …, k) vendos ndarjen E, d.m.th. një sistem i tillë i nëngrupeve të tij E i, i = 1,. . ., k, që Ø për i ¹ j dhe (Fig. 2.5). Këtu shënojmë nëngrupin E i pa kufirin e saj, d.m.th. pikat e brendshme të nëngrupit E i , e cila së bashku me kufirin e saj Gr E Unë formoj një nëngrup të mbyllur E unë,. Është e qartë se zona S(E i) nënbashkësi E i përkon me sipërfaqen e brendshme të saj, që nga zona e kufirit GRE i është i barabartë me zero.
Le të shënojmë d(E i). diametri i caktuar E i, d.m.th. distanca maksimale midis dy pikave të saj. Do të thirret sasia l(t) = d(E i). imtësia e ndarjes t. Nëse funksioni f(x),x = (x, y), përcaktohet në E si funksion i dy argumenteve, atëherë çdo shumë e formës
X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i, y i),
varësisht si nga funksioni f ashtu edhe nga pjesa t, dhe nga zgjedhja e pikave x i О E i М t, quhet shuma integrale e funksionit f .
Nëse për një funksion f ekziston një vlerë që nuk varet as nga ndarjet t dhe as nga zgjedhja e pikave (i = 1, ..., k), atëherë ky kufi quhet integrali i dyfishtë Riemann nga f(x,y) dhe shënohet
Vetë funksioni f thirret në këtë rast Riemann i integrueshëm.
Kujtojmë se në rastin e një funksioni me një argument si grup E mbi të cilin kryhet integrimi, zakonisht merret segmenti , dhe ndarja e saj t konsiderohet të jetë një ndarje e përbërë nga segmente. Në aspekte të tjera, siç mund të shihet lehtë, përkufizimi i integralit të dyfishtë të Riemann-it përsërit përkufizimin e integralit të caktuar Riemann për një funksion të një argumenti.
Integrali i dyfishtë Riemann i funksioneve të kufizuara të dy ndryshoreve ka vetitë e zakonshme të një integrali të caktuar për funksionet e një argumenti - lineariteti, aditiviteti në lidhje me grupet mbi të cilat kryhet integrimi, ruajtjes kur integrohen pabarazitë jo strikte, integrueshmëria e produktit funksionet e integruara etj.
Llogaritja e integraleve të shumëfishta të Riemann-it reduktohet në llogaritje integrale të përsëritura. Le të shqyrtojmë rastin e integralit të dyfishtë Riemann. Lëreni funksionin f(x,y) përkufizohet në bashkësinë E që shtrihet në prodhimin kartezian të bashkësive X ´ Y, E M X ´ Y.
Nga integrali i përsëritur i funksionit f(x, y) quhet integral në të cilin integrimi kryhet në mënyrë sekuenciale mbi ndryshore të ndryshme, d.m.th. integrale të formës
Set E(y) = (x:
Për integralin e përsëritur, përdoret gjithashtu shënimi i mëposhtëm:
që, si ai i mëparshmi, do të thotë se së pari, për një fikse y, y O E y, funksioni është i integruar f(x, y) Nga x përgjatë segmentit E(y), që është një pjesë e grupit E që korrespondon me këtë y. Si rezultat, integrali i brendshëm përcakton një funksion të një ndryshoreje - y. Ky funksion më pas integrohet si funksion i një ndryshoreje, siç tregohet nga simboli i integralit të jashtëm.
Kur ndryshojmë rendin e integrimit, marrim një integral të përsëritur të formularit
ku kryhet integrimi i brendshëm y, dhe e jashtme - nga x. Si lidhet ky integral i përsëritur me integralin e përsëritur të përcaktuar më sipër?
Nëse ka një integral të dyfishtë të funksionit f, d.m.th.
atëherë ekzistojnë të dy integralet e përsëritur, dhe ato janë identike në madhësi dhe të barabarta me dyfishin, d.m.th.
Theksojmë se kushti i formuluar në këtë deklaratë për mundësinë e ndryshimit të rendit të integrimit në integrale të përsëritura është vetëm mjaftueshëm, por jo e nevojshme.
Kushtet e tjera të mjaftueshme Mundësitë e ndryshimit të rendit të integrimit në integrale të përsëritura janë formuluar si më poshtë:
nëse ekziston të paktën një nga integralet
pastaj funksioni f(x, y) Riemann i integrueshëm në set E, të dy integralet e përsëritura të tij ekzistojnë dhe janë të barabartë me integralin e dyfishtë. n
Le të specifikojmë shënimin e projeksioneve dhe seksioneve në shënimin e integraleve të përsëritur.
Nëse bashkësia E është drejtkëndësh
Se E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); ku E(y) = E x për çdo y, y О E y . , A E(x) = Ey për çdo x , x О E x ..
Hyrja formale: " y y О E yÞ E(y) = P.shÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey
Nëse bashkësia E ka kufiri i lakuar dhe lejon përfaqësimet
Në këtë rast, integralet e përsëritura shkruhen si më poshtë:
Shembulli 2.13.
Llogaritni integralin e dyfishtë mbi një zonë drejtkëndore, duke e reduktuar atë në përsëritës.
Meqenëse kushti sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, pastaj kontrollon përmbushjen e kushteve të mjaftueshme për ekzistencën e integralit të dyfishtë I në formën e ekzistencës së ndonjë prej integraleve të përsëritur
nuk ka nevojë ta kryeni këtë në mënyrë specifike dhe menjëherë mund të vazhdoni me llogaritjen e integralit të përsëritur
Nëse ekziston, atëherë ekziston edhe integrali i dyfishtë, dhe I = I 1 . Sepse
Pra, unë = .n
Shembulli 2.14.
Llogaritni integralin e dyfishtë mbi rajonin trekëndor (shih Fig. 2.6), duke e reduktuar atë në të përsëritur
Gr(E) = (
Së pari, le të verifikojmë ekzistencën e integralit të dyfishtë I. Për ta bërë këtë, mjafton të verifikohet ekzistenca e integralit të përsëritur
ato. integrandët janë të vazhdueshëm në intervalet e integrimit, pasi të gjithë janë funksione fuqie. Prandaj, integrali I 1 ekziston. Në këtë rast ekziston edhe integrali i dyfishtë dhe është i barabartë me çdo të përsëritur, d.m.th.
Shembulli 2.15.
Për të kuptuar më mirë lidhjen midis koncepteve të integraleve të dyfishta dhe të përsëritura, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm, i cili mund të hiqet në leximin e parë. Është dhënë një funksion i dy ndryshoreve f(x, y).
Vini re se për x fikse ky funksion është tek në y, dhe për y fiks është tek në x. Si bashkësi E mbi të cilën është integruar ky funksion, marrim katrorin E = (
Së pari marrim parasysh integralin e përsëritur
Integral i brendshëm
merret për y fikse, -1 £ y £ 1. Meqenëse integrani për y fiks është tek në x, dhe integrimi mbi këtë ndryshore kryhet mbi segmentin [-1, 1], simetrik në lidhje me pikën 0, atëherë integrali i brendshëm është i barabartë me 0. Natyrisht, që integrali i jashtëm mbi ndryshoren y të funksionit zero është gjithashtu i barabartë me 0, d.m.th.
Arsyetim i ngjashëm për integralin e dytë të përsëritur çon në të njëjtin rezultat:
Pra, për funksionin f(x, y) në shqyrtim ekzistojnë integrale të përsëritura dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin. Megjithatë, nuk ka integral të dyfishtë të funksionit f(x, y). Për ta parë këtë, le t'i drejtohemi kuptimit gjeometrik të llogaritjes së integraleve të përsëritura.
Për të llogaritur integralin e përsëritur
përdoret një lloj i veçantë i ndarjes së katrorit E, si dhe një llogaritje e veçantë e shumave integrale. Përkatësisht, katrori E ndahet në vija horizontale (shih Fig. 2.7), dhe çdo rrip ndahet në drejtkëndësha të vegjël. Çdo shirit korrespondon me një vlerë të caktuar të ndryshores y; për shembull, kjo mund të jetë ordinata e boshtit horizontal të shiritit.
Llogaritja e shumave integrale kryhet si më poshtë: së pari, shumat llogariten për çdo brez veç e veç, d.m.th. në y fikse për x të ndryshëm, dhe më pas këto shuma të ndërmjetme mblidhen për breza të ndryshëm, d.m.th. për y të ndryshëm. Nëse imtësia e ndarjes tenton në zero, atëherë në kufi fitojmë integralin e përsëritur të lartpërmendur.
Është e qartë se për integralin e dytë të përsëritur
grupi E ndahet në vija vertikale që korrespondojnë me x të ndryshëm. Shumat e ndërmjetme llogariten brenda çdo brezi në drejtkëndësha të vegjël, d.m.th. përgjatë y, dhe më pas ato përmblidhen për breza të ndryshëm, d.m.th. nga x. Në kufi, kur imtësia e ndarjes tenton në zero, marrim integralin përkatës të përsëritur.
Për të vërtetuar se një integral i dyfishtë nuk ekziston, mjafton të japim një shembull të një ndarjeje, llogaritja e shumave integrale për të cilat, në kufirin kur finesa e ndarjes tenton në zero, jep një rezultat të ndryshëm nga vlera. të integraleve të përsëritura. Le të japim një shembull të një ndarjeje të tillë që korrespondon me sistemin e koordinatave polar (r, j) (shih Fig. 2.8).
Në sistemin e koordinatave polar, pozicioni i çdo pike në rrafshin M 0 (x 0 , y 0), ku x 0 , y 0 janë koordinatat karteziane të pikës M 0, përcaktohet nga gjatësia r 0 e rrezes. duke e lidhur me origjinën dhe këndin j 0 të formuar nga kjo rreze me drejtim pozitiv të boshtit x (këndi numërohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës). Lidhja midis koordinatave karteziane dhe polare është e qartë:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Ndarja është ndërtuar si më poshtë. Së pari, katrori E ndahet në sektorë me rreze që dalin nga qendra e koordinatave dhe më pas secili sektor ndahet në trapezoide të vegjël me vija pingul me boshtin e sektorit. Llogaritja e shumave integrale kryhet si më poshtë: së pari përgjatë trapezoidëve të vegjël brenda secilit sektor përgjatë boshtit të tij (përgjatë r), dhe më pas nëpër të gjithë sektorët (përgjatë j). Pozicioni i secilit sektor karakterizohet nga këndi i boshtit të tij j, dhe gjatësia e boshtit të tij r(j) varet nga ky kënd:
nëse ose , atëherë ;
nese atehere ;
nese atehere
nese atehere .
Duke kaluar në kufirin e shumave integrale të një ndarjeje polare kur pastërtia e ndarjes tenton në zero, marrim një paraqitje të integralit të dyfishtë në koordinatat polare. Një shënim i tillë mund të merret në një mënyrë thjesht formale, duke zëvendësuar koordinatat karteziane (x, y) me ato polare (r, j).
Sipas rregullave të kalimit në integrale nga koordinatat karteziane në polare, duhet të shkruhet, sipas përkufizimit:
Në koordinatat polare, funksioni f(x, y) do të shkruhet si më poshtë:
Më në fund kemi
Integrali i brendshëm (i papërshtatshëm) në formulën e fundit
ku funksioni r(j) tregohet më sipër, 0 £ j £ 2p , është e barabartë me +¥ për çdo j, sepse
Prandaj, integrani në integralin e jashtëm i vlerësuar mbi j nuk përcaktohet për asnjë j. Por atëherë nuk përcaktohet vetë integrali i jashtëm, d.m.th. integrali origjinal i dyfishtë nuk është i përcaktuar.
Vini re se funksioni f(x, y) nuk plotëson kushtin e mjaftueshëm për ekzistencën e një integrali të dyfishtë mbi bashkësinë E. Le të tregojmë se integrali
nuk ekziston. Vërtet,
Në mënyrë të ngjashme, i njëjti rezultat është vendosur për integralin
Koncepti i integralit të dyfishtë
Një integral i dyfishtë (DI) është një përgjithësim i një integrali të caktuar (DI) të një funksioni të një ndryshoreje në rastin e një funksioni të dy ndryshoreve.
Le të përcaktohet një funksion i vazhdueshëm jo-negativ $z=f\left(x,y\right)$ në një domen të mbyllur $D$ të vendosur në planin koordinativ $xOy$. Funksioni $z=f\left(x,y\right)$ përshkruan një sipërfaqe të caktuar që është projektuar në domenin $D$. Rajoni $D$ kufizohet nga një vijë e mbyllur $L$, pikat kufitare të së cilës i përkasin gjithashtu rajonit $D$. Supozojmë se linja $L$ është formuar nga një numër i kufizuar kthesash të vazhdueshme të përcaktuara nga ekuacionet e formës $y=\vartheta \left(x\right)$ ose $x=\psi \left(y\right)$ .
Le ta ndajmë rajonin $D$ në $n$ seksione arbitrare të zonës $\Delta S_(i) $. Në secilin nga seksionet zgjedhim një pikë arbitrare $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Në secilën nga këto pika llogarisim vlerën e funksionit të dhënë $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Le të shqyrtojmë vëllimin nën atë pjesë të sipërfaqes $z=f\left(x,y\right)$ që është projektuar në zonën $\Delta S_(i) $. Gjeometrikisht, ky vëllim mund të përfaqësohet përafërsisht si vëllimi i një cilindri me bazë $\Delta S_(i) $ dhe lartësi $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \djathtas)$ , pra e barabartë me produktin $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Pastaj vëllimi nën të gjithë sipërfaqen $z=f\left(x,y\right)$ brenda rajonit $D$ mund të llogaritet përafërsisht si shuma e vëllimeve të të gjithë cilindrave $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \djathtas)\cdot \Delta S_(i) $. Kjo shumë quhet shuma integrale për funksionin $f\left(x,y\right)$ në domenin $D$.
Le ta quajmë diametrin $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ të një seksioni $\Delta S_(i) $ distanca më e madhe ndërmjet pikave ekstreme të këtij seksioni. Le të tregojë $\lambda $ diametri më i madh i të gjitha seksioneve nga rajoni $D$. Le të $\lambda \në 0$ për shkak të përsosjes së pakufizuar $n\to \infty $ të ndarjes së domenit $D$.
Përkufizimi
Nëse ka një kufi të shumës integrale $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, atëherë ky numër quhet CI i funksionit $f\left(x,y\ djathtas)$ mbi domenin $D $ dhe shënoni $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ ose $I=\iint \limits _(D)f\ majtas(x,y\djathtas) \cdot dx\cdot dy $.
Në këtë rast, rajoni $D$ quhet rajoni i integrimit, $x$ dhe $y$ janë variablat e integrimit dhe $dS=dx\cdot dy$ është elementi i zonës.
Nga përkufizimi rrjedh kuptimi gjeometrik i DI: jep vlerën e saktë të vëllimit të një cilindri të caktuar lakor.
Zbatimi i integraleve të dyfishta
Vëllimi i trupit
Në përputhje me kuptimin gjeometrik të DI, vëllimi $V$ i një trupi të kufizuar sipër nga sipërfaqja $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, më poshtë nga rajoni $D$ në aeroplan $xOy$, në anët nga një sipërfaqe cilindrike , gjeneratorët e së cilës janë paralel me boshtin $Oz$ dhe udhëzuesi është kontura e rajonit $D$ (rreshti $L$), llogaritet me formulën $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Lëreni trupin të kufizojë sipërfaqen $z=f_(2) \left(x,y\right)$ nga lart, dhe sipërfaqen $z=f_(1) \left(x,y\right)$ nga poshtë, dhe $f_( 2) \left(x,y\djathtas)\ge f_(1) \left(x,y\djathtas)$. Projeksioni i të dy sipërfaqeve në rrafshin $xOy$ është i njëjti rajon $D$. Pastaj vëllimi i një trupi të tillë llogaritet duke përdorur formulën $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Supozoni se në domenin $D$ funksioni $f\left(x,y\right)$ ndryshon shenjën. Pastaj, për të llogaritur vëllimin e trupit përkatës, rajoni $D$ duhet të ndahet në dy pjesë: pjesa $D_(1) $, ku $f\left(x,y\right)\ge 0$ dhe pjesa $D_(2) $, ku $f\majtas(x,y\djathtas)\le 0$. Në këtë rast, integrali mbi rajonin $D_(1) $ do të jetë pozitiv dhe i barabartë me vëllimin e asaj pjese të trupit që shtrihet mbi rrafshin $xOy$. Integrali mbi sipërfaqen $D_(2) $ do të jetë negativ dhe në vlerë absolute i barabartë me vëllimin e asaj pjese të trupit që shtrihet nën rrafshin $xOy$.
Zona e një figure të sheshtë
Nëse vendosim $f\left(x,y\right)\equiv 1$ kudo në rajonin $D$ në planin koordinativ $xOy$, atëherë CI është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e rajonit të integrimit $D $, domethënë, $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Në sistemin e koordinatave polar, e njëjta formulë merr formën $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Zona e një sipërfaqe arbitrare
Le të projektohet një sipërfaqe $Q$, e dhënë nga ekuacioni $z=f_(1) \left(x,y\right)$ në rrafshin koordinativ $xOy$ në domenin $D_(1)$. Në këtë rast, sipërfaqja $Q$ mund të llogaritet duke përdorur formulën $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \djathtas)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Sasia e substancës
Le të supozojmë se në rajonin $D$ një substancë me densitet sipërfaqësor $\rho \left(x,y\right)$ shpërndahet në rrafshin $xOy$. Kjo do të thotë se dendësia e sipërfaqes $\rho \left(x,y\right)$ është masa e materies për sipërfaqe elementare $dx\cdot dy$ e rajonit $D$. Në këto kushte, masa totale e substancës mund të llogaritet duke përdorur formulën $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Vini re se "substanca" mund të jetë një ngarkesë elektrike, nxehtësi, etj.
Koordinatat e qendrës së masës së një figure të sheshtë
Formulat për llogaritjen e vlerave të koordinatave të qendrës së masës së një figure të sheshtë janë si më poshtë: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Sasitë në numërues quhen momente statike $M_(y) $ dhe $M_(x) $ të figurës së rrafshët $D$ rreth boshteve $Oy$ dhe $Ox$, respektivisht.
Nëse figura e sheshtë është homogjene, domethënë $\rho =const$, atëherë këto formula thjeshtohen dhe shprehen jo përmes masës, por përmes sipërfaqes së figurës së sheshtë $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D)x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Momentet e inercisë së sipërfaqes së një figure të rrafshët
Le të shqyrtojmë një figurë të sheshtë materiale në rrafshin $xOy$. Le ta imagjinojmë atë si një rajon të caktuar $D$, mbi të cilin shpërndahet një substancë me masë totale $M$ me një densitet të ndryshueshëm të sipërfaqes $\rho \left(x,y\right)$.
Vlera e momentit të inercisë së sipërfaqes së një figure të sheshtë në lidhje me boshtin $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Vlera e momentit të inercisë rreth boshtit $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Momenti i inercisë së një figure të sheshtë në lidhje me origjinën është i barabartë me shumën e momenteve të inercisë në lidhje me boshtet e koordinatave, domethënë $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Integralet e trefishta futen për funksionet e tre variablave.
Le të supozojmë se është dhënë një rajon i caktuar $V$ i hapësirës tredimensionale, i kufizuar nga një sipërfaqe e mbyllur $S$. Supozojmë se edhe pikat që shtrihen në sipërfaqe i përkasin rajonit $V$. Supozoni se një funksion i vazhdueshëm $f\left(x,y,z\right)$ është dhënë në domenin $V$. Për shembull, një funksion i tillë, me kusht që $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, mund të jetë dendësia e shpërndarjes vëllimore të disa substancave, shpërndarja e temperaturës, etj.
Le ta ndajmë rajonin $V$ në $n$ pjesë arbitrare, vëllimet e të cilave janë $\Delta V_(i) $. Në secilën pjesë zgjedhim një pikë arbitrare $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Në secilën nga këto pika llogarisim vlerën e funksionit të dhënë $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Le të formojmë shumën integrale $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ dhe ne do të përsosim pafundësisht $\left(n\to \infty \djathtas)$ ndarjen e rajonit $V$ në mënyrë që diametri më i madh $\lambda $ i të gjitha pjesëve $\Delta V_(i) $ zvogëlohet për një kohë të pacaktuar $ \left(\lambda \në 0\djathtas)$.
Përkufizimi
Në kushtet e mësipërme, kufiri $I$ i kësaj shume integrale ekziston, quhet integrali i trefishtë i funksionit $f\left(x,y,z\right)$ mbi domenin $V$ dhe shënohet $I\ ; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\djathtas)\; \cdot dV $ ose $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
