Në këtë artikull do të analizojmë në detaje përkufizimin e rrethit të numrave, do të zbulojmë pronën kryesore të tij dhe do të rregullojmë numrat 1,2,3, etj. Rreth asaj se si të shënoni numra të tjerë në rreth (për shembull, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) kupton .
Rrethi i numrave quhet rrethi me rreze njësi pikat e të cilit korrespondojnë , të rregulluar sipas rregullave të mëposhtme:
1) Origjina është në pikën e djathtë ekstreme të rrethit;
2) Në drejtim të kundërt - drejtim pozitiv; në drejtim të akrepave të orës - negative;
3) Nëse e vendosim distancën \(t\) në rreth në drejtim pozitiv, atëherë do të arrijmë në një pikë me vlerën \(t\);
4) Nëse e grafikojmë distancën \(t\) në rreth në drejtim negativ, atëherë do të arrijmë në një pikë me vlerën \(–t\).
Pse rrethi quhet rreth numëror?
Sepse ka numra mbi të. Në këtë mënyrë, rrethi është i ngjashëm me boshtin e numrave - në rreth, si në bosht, ka një pikë specifike për çdo numër.
Pse e dini se çfarë është një rreth numrash?
Duke përdorur rrethin e numrave, përcaktohen vlerat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve. Prandaj, për të njohur trigonometrinë dhe për të kaluar Provimin e Unifikuar të Shtetit me 60+ pikë, duhet të kuptoni se çfarë është rrethi me numra dhe si të vendosni pika në të.
Çfarë nënkuptojnë në përkufizim fjalët "...e rrezes së njësisë..."?
Kjo do të thotë se rrezja e këtij rrethi është e barabartë me \(1\). Dhe nëse ndërtojmë një rreth të tillë me qendër në origjinë, atëherë ai do të kryqëzohet me boshtet në pikat \(1\) dhe \(-1\).
Nuk duhet të vizatohet i vogël; mund të ndryshoni "madhësinë" e ndarjeve përgjatë akseve, atëherë fotografia do të jetë më e madhe (shih më poshtë).
Pse rrezja është saktësisht një? Kjo është më e përshtatshme, sepse në këtë rast, kur llogaritim perimetrin duke përdorur formulën \(l=2πR\), marrim:
Gjatësia e rrethit të numrave është \(2π\) ose afërsisht \(6.28\).
Çfarë do të thotë "...pikat e të cilave korrespondojnë me numrat realë"?
Siç thamë më lart, në rrethin e numrave për çdo numër real do të jetë patjetër "vendi" i tij - një pikë që korrespondon me këtë numër.
Pse të përcaktoni origjinën dhe drejtimin në rrethin e numrave?
Qëllimi kryesor i rrethit të numrave është të përcaktojë në mënyrë unike pikën e tij për çdo numër. Por si mund të përcaktoni se ku të vendosni pikën nëse nuk dini nga të numëroni dhe ku të lëvizni?
Këtu është e rëndësishme të mos ngatërroni origjinën në vijën e koordinatave dhe në rrethin e numrave - këto janë dy sisteme të ndryshme referimi! Dhe gjithashtu mos e ngatërroni \(1\) në boshtin \(x\) dhe \(0\) në rreth - këto janë pika në objekte të ndryshme.
Cilat pika korrespondojnë me numrat \(1\), \(2\), etj.?
Mos harroni, ne supozuam se rrethi i numrave ka një rreze prej \(1\)? Ky do të jetë segmenti ynë njësi (për analogji me boshtin e numrave), të cilin do ta vizatojmë në rreth.
Për të shënuar një pikë në rrethin e numrave që korrespondon me numrin 1, duhet të shkoni nga 0 në një distancë të barabartë me rrezen në drejtim pozitiv.
Për të shënuar një pikë në rrethin që korrespondon me numrin \(2\), ju duhet të udhëtoni një distancë të barabartë me dy rreze nga origjina, në mënyrë që \(3\) të jetë një distancë e barabartë me tre rreze, etj.
Kur shikoni këtë foto, mund të keni 2 pyetje:
1. Çfarë ndodh kur rrethi "mbaron" (d.m.th. ne bëjmë një revolucion të plotë)?
Përgjigje: le të shkojmë në raundin e dytë! Dhe kur të përfundojë i dyti, do të shkojmë te i treti e kështu me radhë. Prandaj, një numër i pafund numrash mund të vizatohen në një rreth.
2. Ku do të jenë numrat negativë?
Përgjigje: po aty! Ato gjithashtu mund të rregullohen, duke numëruar nga zero numrin e kërkuar të rrezeve, por tani në një drejtim negativ.
Fatkeqësisht, është e vështirë të shënosh numra të plotë në rrethin e numrave. Kjo për faktin se gjatësia e rrethit të numrave nuk do të jetë e barabartë me një numër të plotë: \(2π\). Dhe në vendet më të përshtatshme (në pikat e kryqëzimit me boshtet) do të ketë gjithashtu fraksione, jo numra të plotë
Mësimet video janë ndër mjetet më efektive të mësimdhënies, veçanërisht në lëndët shkollore si matematika. Prandaj, autori i këtij materiali ka mbledhur vetëm informacione të dobishme, të rëndësishme dhe kompetente në një tërësi të vetme.
Ky mësim zgjat 11:52 minuta. Duhet pothuajse e njëjta kohë që një mësues të shpjegojë materialin e ri për një temë të caktuar në klasë. Edhe pse përparësia kryesore e mësimit me video do të jetë fakti që studentët do të dëgjojnë me vëmendje atë për të cilën po flet autori, pa u shpërqendruar nga tema dhe biseda të jashtme. Në fund të fundit, nëse studentët nuk dëgjojnë me kujdes, ata do të humbasin një pikë të rëndësishme të mësimit. Dhe nëse mësuesi shpjegon vetë materialin, atëherë studentët e tij lehtë mund të shpërqendrohen nga gjëja kryesore me bisedat e tyre për tema abstrakte. Dhe, natyrisht, bëhet e qartë se cila metodë do të jetë më racionale.
Autori ia kushton fillimin e mësimit përsëritjes së atyre funksioneve që studentët ishin njohur më herët në kursin e algjebrës. Dhe të parët që filluan të studiojnë janë funksionet trigonometrike. Për t'i shqyrtuar dhe studiuar ato, kërkohet një model i ri matematikor. Dhe ky model bëhet rrethi i numrave, i cili është pikërisht ajo që thuhet në temën e mësimit. Për ta bërë këtë, prezantohet koncepti i një rrethi njësi dhe jepet përkufizimi i tij. Më tej në figurë, autori tregon të gjithë përbërësit e një rrethi të tillë dhe çfarë do të jetë e dobishme për studentët për të mësuar më tej. Harqet tregojnë katërshe.
Pastaj autori sugjeron të merret parasysh rrethi i numrave. Këtu ai bën vërejtjen se është më e përshtatshme të përdoret një rreth njësi. Ky rreth tregon se si fitohet pika M nëse t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Më pas, autori u kujton nxënësve se si të gjejnë perimetrin e një rrethi. Dhe pastaj nxjerr gjatësinë e rrethit të njësisë. Propozohet që këto të dhëna teorike të zbatohen në praktikë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një shembull ku duhet të gjeni një pikë në një rreth që korrespondon me vlera të caktuara numrash. Zgjidhja e shembullit shoqërohet me një ilustrim në formën e një fotografie, si dhe me shënimet e nevojshme matematikore.
Sipas kushtit të shembullit të dytë, është e nevojshme të gjenden pika në rrethin e numrave. Edhe këtu e gjithë zgjidhja shoqërohet me komente, ilustrime dhe shënime matematikore. Kjo kontribuon në zhvillimin dhe përmirësimin e shkrim-leximit matematikor të studentëve. Shembulli i tretë është ndërtuar në mënyrë të ngjashme.
Më pas, autori shënon ato numra në rreth që ndodhin më shpesh se të tjerët. Këtu ai sugjeron të bëni dy modele të një rrethi numrash. Kur të dyja paraqitjet të jenë gati, merret parasysh shembulli tjetër, i katërt, ku duhet të gjeni një pikë në rrethin e numrave që korrespondon me numrin 1. Pas këtij shembulli, formulohet një deklaratë sipas së cilës mund të gjeni pikën M që korrespondon me numri t.
Më pas, paraqitet një vërejtje sipas së cilës nxënësit mësojnë se numri “pi” korrespondon me të gjithë numrat që bien në një pikë të caktuar kur ai kalon të gjithë rrethin. Ky informacion mbështetet nga shembulli i pestë. Zgjidhja e tij përmban arsyetim logjikisht të saktë dhe vizatime që ilustrojnë situatën.
DEKODIMI I TEKSTIT:
RRETH NUMERIK
Më parë, ne studiuam funksionet e përcaktuara nga shprehjet analitike. Dhe këto funksione u quajtën algjebrike. Por në kursin e matematikës shkollore studiohen funksione të klasave të tjera, jo algjebrike. Le të fillojmë të mësojmë funksionet trigonometrike.
Për të prezantuar funksionet trigonometrike, na duhet një model i ri matematik - rrethi i numrave. Le të shqyrtojmë rrethin e njësisë. Një rreth, rrezja e të cilit është e barabartë me segmentin e shkallës, pa treguar njësi specifike matëse, do të quhet njësi. Rrezja e një rrethi të tillë konsiderohet e barabartë me 1.
Ne do të përdorim një rreth njësi në të cilin janë vizatuar diametrat horizontale dhe vertikale CA dhe DB (ce a dhe de be) (shih Figurën 1).
Ne do ta quajmë harkun AB tremujorin e parë, harkun BC tremujorin e dytë, harkun CD tremujorin e tretë dhe harkun DA tremujorin e katërt.
Merrni parasysh rrethin e numrave. Në përgjithësi, çdo rreth mund të konsiderohet si një rreth numerik, por është më i përshtatshëm të përdoret rrethi i njësisë për këtë qëllim.
PËRKUFIZIM Jepet një rreth njësi dhe në të shënohet pika e fillimit A - skaji i djathtë i diametrit horizontal. Le të lidhim çdo numër real t (te) me një pikë në rreth sipas rregullit të mëposhtëm:
1) Nëse t>0 (te është më e madhe se zero), atëherë, duke lëvizur nga pika A në drejtim të kundërt të akrepave të orës (drejtimi pozitiv i rrethit), ne përshkruajmë një shteg AM (a em) me gjatësi t përgjatë rrethit. Pika M do të jetë pika e dëshiruar M(t) (em nga te).
2) Nëse t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Le t'i caktojmë pikën A numrit t = 0.
Një rreth njësi me një korrespondencë të vendosur (midis numrave realë dhe pikave në rreth) do të quhet rreth numrash.
Dihet se perimetri L (el) llogaritet me formulën L = 2πR (el është e barabartë me dy pi er), ku π≈3.14, R është rrezja e rrethit. Për një rreth njësi R=1cm, kjo do të thotë L=2π≈6,28 cm (el është e barabartë me dy pi afërsisht 6,28).
Le të shohim shembuj.
SHEMBULL 1. Gjeni një pikë në rrethin e numrave që i përgjigjet numrit të dhënë: ,.(pi nga dy, pi, tre pi nga dy, dy pi, njëmbëdhjetë pi nga dy, shtatë pi, minus pesë pi nga dy)
Zgjidhje. Gjashtë numrat e parë janë pozitivë, prandaj, për të gjetur pikat përkatëse në rreth, duhet të ecni një rrugë me një gjatësi të caktuar përgjatë rrethit, duke lëvizur nga pika A në drejtim pozitiv. Gjatësia e çdo çereku të një njësie rrethi është e barabartë. Kjo do të thotë AB =, domethënë, pika B korrespondon me numrin (shih Fig. 1). AC = dmth pika C i korrespondon numrit AD = dmth pika D i korrespondon numrit Dhe pika A perseri i korrespondon numrit, sepse pasi kemi ecur nje rruge pergjate rrethit kemi perfunduar ne piken e fillimit A.
Le të shqyrtojmë se ku do të vendoset pika. Meqenëse tashmë e dimë se sa është gjatësia e rrethit, do ta zvogëlojmë atë në formën (katër pi plus tre pi me dy). Kjo do të thotë, duke lëvizur nga pika A në drejtim pozitiv, duhet të përshkruani një rreth të tërë dy herë (një shteg me gjatësi 4π) dhe gjithashtu një shteg gjatësie që përfundon në pikën D.
Cfare ndodhi? Kjo është 3∙2π + π (tri herë dy pi plus pi). Kjo do të thotë që duke lëvizur nga pika A në drejtim pozitiv, duhet të përshkruani një rreth të tërë tre herë dhe gjithashtu një shteg me gjatësi π, i cili do të përfundojë në pikën C.
Për të gjetur një pikë në rrethin e numrave që korrespondon me një numër negativ, duhet të ecni nga pika A përgjatë rrethit në drejtim negativ (në drejtim të akrepave të orës) një rrugë me gjatësi, dhe kjo korrespondon me 2π +. Kjo rrugë do të përfundojë në pikën D.
SHEMBULL 2. Gjeni pika në rrethin numëror (pi me gjashtë, pi me katër, pi me tre).
Zgjidhje. Duke e ndarë harkun AB në gjysmë, marrim pikën E, e cila korrespondon. Dhe duke e ndarë harkun AB në tre pjesë të barabarta me pika F dhe O, marrim se pika F korrespondon dhe pika T korrespondon
(shih figurën 2).
SHEMBULL 3. Gjeni pika në rrethin e numrave (minus trembëdhjetë pi me katër, nëntëmbëdhjetë pi me gjashtë).
Zgjidhje. Duke depozituar harkun AE (a em) me gjatësi (pi me katër) nga pika A trembëdhjetë herë në drejtim negativ, marrim pikën H (hiri) - mesi i harkut BC.
Duke depozituar një hark AF me gjatësi (pi me gjashtë) nga pika A nëntëmbëdhjetë herë në drejtim pozitiv, arrijmë në pikën N (en), e cila i përket tremujorit të tretë (harku CD) dhe CN është e barabartë me pjesën e tretë të hark CD (se de).
(shih figurën shembullin 2).
Më shpesh duhet të kërkoni pika në rrethin e numrave që korrespondojnë me numrat (pi me gjashtë, pi me katër, pi nga tre, pi me dy), si dhe ato që janë shumëfisha të tyre, domethënë (shtatë pi me gjashtë, pesë pi nga katër, katër pi nga tre, njëmbëdhjetë pi nga dy). Prandaj, për të lundruar shpejt, këshillohet të bëni dy paraqitje të rrethit të numrave.
Në paraqitjen e parë, secila prej çerekëve të rrethit të numrave do të ndahet në dy pjesë të barabarta dhe pranë secilës prej pikave që rezultojnë do të shkruajmë "emrat" e tyre:
Në paraqitjen e dytë, secila prej lagjeve është e ndarë në tre pjesë të barabarta dhe pranë secilës prej dymbëdhjetë pikave që rezultojnë ne shkruajmë "emrat" e tyre:
Nëse lëvizim në drejtim të akrepave të orës, do të marrim të njëjtat "emra" për pikat në vizatime, vetëm me një vlerë minus. Për paraqitjen e parë:
Në mënyrë të ngjashme, nëse lëvizni përgjatë paraqitjes së dytë në drejtim të akrepave të orës nga pika O.
SHEMBULL 4. Gjeni pika në rrethin numerik që i përgjigjen numrave 1 (një).
Zgjidhje. Duke ditur se π≈3.14 (pi është afërsisht i barabartë me tre pikë katërmbëdhjetë të qindtat), ≈ 1.05 (pi herë tre është afërsisht i barabartë me një pikë pesë të qindtat), ≈ 0.79 (pi herë katër është afërsisht i barabartë me pikën zero shtatëdhjetë e nëntë të qindtat) . Do të thotë,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Deklarata e mëposhtme është e vërtetë: nëse një pikë M në rrethin e numrave korrespondon me një numër t, atëherë ajo korrespondon me çdo numër të formës t + 2πk(te plus dy pi ka), ku ka është çdo numër i plotë dhe kϵ Z(ka i përket Zetit).
Duke përdorur këtë pohim, mund të konkludojmë se pika korrespondon me të gjitha pikat e formës t =+ 2πk (te është e barabartë me pi herë tre plus dy maja), ku kϵZ ( ka i përket zet), dhe pikës (pesë pi me katër) - pikat e formës t = + 2πk (te është e barabartë me pesë pi me katër plus dy pi ka), ku kϵZ ( ka i takon zetit) e kështu me radhë.
SHEMBULL 5. Gjeni pikën në rrethin numerik: a) ; b) .
Zgjidhje. a) Kemi: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(njëzet pi herë tre barazohet njëzet herë tre pi është gjashtë plus dy të tretat, shumëzuar me pi është gjashtë pi plus dy pi shumë tre të barabarta dy pi herë tre plus tre herë dy pi).
Kjo do të thotë se numri korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin e numrave si numri (ky është tremujori i dytë) (shih paraqitjen e dytë në Fig. 4).
b) Kemi: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (minus tridhjetë e pesë pi shumëfishuar katër baraz me minus tetë plus tre të katërtat herë pi është minus tre pi shumëfish katër plus dy pi herë minus katër ). Kjo do të thotë, numri korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin e numrave si numri
Në këtë mësim ne do të kujtojmë përkufizimin e një rreshti numerik dhe do të japim një përkufizim të ri të një rrethi numerik. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje një veti të rëndësishme të rrethit të numrave dhe pikave të rëndësishme në rreth. Le të përcaktojmë problemat e drejtpërdrejta dhe të anasjellta për rrethin e numrave dhe të zgjidhim disa shembuj të problemeve të tilla.
Tema: Funksionet trigonometrike
Mësimi: Rrethi i numrave
Për çdo funksion, argumenti i pavarur shtyhet ose nga rreshti numerik, ose në një rreth. Le të karakterizojmë si vijën numerike dhe rrethi i numrave.
Vija e drejtë bëhet vijë numerike (koordinative) nëse shënohet origjina e koordinatave dhe zgjidhet drejtimi dhe shkalla (Fig. 1).
Vija numerike krijon një korrespodencë një-për-një midis të gjitha pikave në vijë dhe të gjithë numrave realë.
Për shembull, marrim një numër dhe e vendosim në boshtin e koordinatave, marrim një pikë, Marrim një numër dhe e vendosim në bosht, fitojmë një pikë (Fig. 2).
Dhe anasjelltas, nëse marrim ndonjë pikë në vijën koordinative, atëherë ka një numër real unik që i korrespondon asaj (Fig. 2).
Njerëzit nuk erdhën në një korrespondencë të tillë menjëherë. Për ta kuptuar këtë, le të kujtojmë grupet numerike bazë.
Fillimisht kemi prezantuar një grup numrash natyrorë
Pastaj një grup numrash të plotë 
Një grup numrash racionalë
Supozohej se këto grupe do të ishin të mjaftueshme dhe se do të kishte një korrespondencë një-për-një midis të gjithë numrave racionalë dhe pikave në një vijë. Por doli se ka pika të panumërta në vijën numerike që nuk mund të përshkruhen me numra të formularit
Një shembull është hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë me këmbët 1 dhe 1. Është e barabartë (Fig. 3).
Midis grupit të numrave racionalë, a ka një numër saktësisht të barabartë me Jo, nuk ka. Le ta vërtetojmë këtë fakt.
Le ta vërtetojmë me kontradiktë. Le të supozojmë se ka një thyesë të barabartë me d.m.th.
Më pas i vendosim në katror të dyja anët.Natyrisht, ana e djathtë e barazisë pjesëtohet me 2, . Kjo do të thotë dhe Pastaj Por pastaj dhe A do të thotë Pastaj rezulton se thyesa është e reduktueshme. Kjo bie ndesh me kushtin, që do të thotë
Numri është irracional. Bashkësia e numrave racionalë dhe irracionalë formojnë bashkësinë e numrave realë 
Nëse marrim ndonjë pikë në një vijë, një numër real do t'i korrespondojë asaj. Dhe nëse marrim ndonjë numër real, do të ketë një pikë të vetme që i korrespondon asaj në vijën koordinative.
Le të sqarojmë se çfarë është një rreth numrash dhe cilat janë marrëdhëniet midis grupit të pikave në rreth dhe grupit të numrave realë.
Origjina - pika A. Drejtimi i numërimit - në drejtim të kundërt - pozitiv, në drejtim të akrepave të orës - negativ. Shkalla - perimetri (Fig. 4).
Duke i prezantuar këto tre dispozita, kemi rrethi i numrave. Ne do të tregojmë se si t'i caktojmë një pikë në një rreth secilit numër dhe anasjelltas.
Duke vendosur numrin marrim një pikë në rreth
Çdo numër real korrespondon me një pikë në rreth. Po anasjelltas?
Pika korrespondon me numrin. Dhe nëse marrim numra, të gjithë këta numra kanë vetëm një pikë në imazhin e tyre në rreth
Për shembull, korrespondon me pikën B(Fig. 4).
Le t'i marrim të gjithë numrat, të gjithë korrespondojnë me pikën. B. Nuk ka korrespondencë një-për-një midis të gjithë numrave realë dhe pikave në një rreth.
Nëse ka një numër fiks, atëherë vetëm një pikë në rreth korrespondon me të
Nëse ka një pikë në një rreth, atëherë ka një grup numrash që korrespondojnë me të
Ndryshe nga një vijë e drejtë, një rreth koordinativ nuk ka një korrespondencë një-për-një midis pikave dhe numrave. Çdo numër i korrespondon vetëm një pikë, por çdo pikë i korrespondon një numri të pafund numrash dhe ne mund t'i shkruajmë ato.
Le të shohim pikat kryesore në rreth.
Duke dhënë një numër, gjeni se cilës pikë të rrethit i përgjigjet.
Duke e ndarë harkun në gjysmë, marrim një pikë (Fig. 5).
Problemi i anasjelltë: dhënë një pikë në mes të një harku, gjeni të gjithë numrat realë që i korrespondojnë.
Le të shënojmë të gjithë harqet e shumëfishta në rrethin e numrave (Fig. 6).
Harqe që janë shumëfish të
Jepet një numër.Duhet të gjesh pikën përkatëse.
Problem i anasjelltë - duke pasur parasysh një pikë, ju duhet të gjeni se me cilët numra korrespondon.
Ne shikuam dy detyra standarde në dy pika kritike.
a) Gjeni një pikë në rrethin numerik me koordinatë
Vonesa nga pika A kjo është dy kthesa të tëra dhe një gjysmë tjetër, dhe marrim një pikë M- kjo është mesi i tremujorit të tretë (Fig. 8).
Përgjigju. Pika M- mesi i tremujorit të tretë.
b) Gjeni një pikë në rrethin numerik me koordinatë
Vonesa nga pika A një kthesë të plotë dhe ne ende marrim një pikë N(Fig. 9).
Përgjigje: Pika Nështë në tremujorin e parë.
Ne shikuam vijën numerike dhe rrethin numerik dhe kujtuam veçoritë e tyre. Një tipar i veçantë i linjës numerike është korrespodenca një me një midis pikave të kësaj rreshti dhe grupit të numrave realë. Nuk ka korrespondencë të tillë një-për-një në rreth. Çdo numër real në rreth korrespondon me një pikë të vetme, por secila pikë në rrethin e numrave korrespondon me një numër të pafund numrash realë.
Në mësimin tjetër do të shikojmë rrethin e numrave në planin koordinativ.
Lista e referencave në temën "Rrethi i numrave", "Pika në një rreth"
1. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algjebra dhe analiza matematikore për klasën e 10 (libër mësuesi për nxënës të shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i algjebres dhe analizes matematikore.-M.: Edukimi, 1997.
5. Përmbledhje problemash në matematikë për aplikantët në institucionet e arsimit të lartë (redaktuar nga M.I. Skanavi) - M.: Shkolla e Lartë, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algjebrik.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme mbi algjebrën dhe parimet e analizës (një manual për studentët në klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Përmbledhje problemash mbi algjebrën dhe parimet e analizës: tekst shkollor. shtesa për klasat 10-11. me thellësi studiuar Matematikë.-M.: Arsimi, 2006.
Detyre shtepie
Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Burime shtesë në internet
3. Portali arsimor për përgatitjen e provimeve ().
Emri i artikullit Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore
Klasa 10
UMK Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore, klasat 10-11. NË 2. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm (niveli bazë) / A.G. Mordkoviç. – Botimi i 10-të, ster. - M.: Mnemosyne, 2012. Pjesa 2. Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli bazë) /[ A.G. Mordkovich et al.]; e Redaktuar nga A.G. Mordkoviç. – Botimi i 10-të, ster. - M.: Mnemosyne, 2012.
Niveli i studimit. Baza
Tema e mësimit Rrethi i numrave (ora 2)
Mesimi 1
Synimi: prezantoni konceptin e një rrethi numerik si një model i një sistemi koordinativ lakor.
Detyrat : të zhvillojë aftësinë për të përdorur rrethin e numrave gjatë zgjidhjes së problemave.
Rezultatet e planifikuara:
Gjatë orëve të mësimit
Koha e organizimit.
2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë që shkaktonin vështirësi për nxënësit
II. Punë gojore.
1. Përputhni çdo interval në vijën numerike me një pabarazi dhe një shënim analitik për intervalin. Futni të dhënat në tabelë.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
NË [–5; + ) DHE [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Ndryshe nga vija numerike e studiuar, rrethi numerik është një model më kompleks. Koncepti i një harku, i cili qëndron në themel të tij, nuk është përpunuar me besueshmëri në gjeometri.
2 . Puna me tekstin shkollor . Le të shohim një shembull praktik me. 23–24 tekste (pista vrapimi në stadium). Ju mund t'u kërkoni nxënësve të japin shembuj të ngjashëm (lëvizja e një sateliti në orbitë, rrotullimi i një ingranazhi, etj.).
3. Ne justifikojmë lehtësinë e përdorimit të rrethit njësi si numerik.
4. Puna me tekstin shkollor. Le të shohim shembuj nga f. 25–31 tekste shkollore. Autorët theksojnë se për përvetësimin e suksesshëm të modelit të rrethit të numrave, si teksti shkollor ashtu edhe libri i problemeve ofrojnë një sistem "lojërash didaktike" të veçanta. Janë gjashtë prej tyre, në këtë mësim do të përdorim katër të parat.
(Mordkovich A. G. M79 Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. Klasat 10-11 (niveli bazë): manual metodologjik për mësuesit / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 f. : i sëmurë.)
"Loja" e parë – llogaritja e gjatësisë së harkut të një rrethi njësi. Nxënësit duhet të mësohen me faktin se gjatësia e të gjithë rrethit është 2 , gjysmë rrethi - , çerek rrethi - etj.
"Loja" e dytë – gjetja e pikave në rrethin numerik që u përgjigjet numrave të dhënë, të shprehur në thyesa të një numri
për shembull, pikë 
etj (numra dhe pikë "të mira").
"loja" e tretë – gjetja e pikave në rrethin numerik që u përgjigjen numrave të dhënë, të pashprehur në thyesa të një numri për shembull, pikë M (1), M (–5), etj. (numrat dhe pikët "të këqija").
"Loja" e katërt - regjistrimi i numrave që korrespondojnë me një pikë të caktuar "të mirë" në rrethin e numrave, për shembull, mesi i tremujorit të parë është "mirë", numrat që i korrespondojnë atij kanë formën 
Pauzë dinamike
Ushtrimet e zgjidhura në këtë orë mësimi korrespondojnë me katër lojërat didaktike të përcaktuara. Nxënësit përdorin një plan urbanistik rrethi me diametërAC (horizontale) dheBD(vertikale).
1. № 4.1, № 4.3.
Zgjidhja:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) - 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Zgjidhja:
№ 4.13.
V. Punë testuese.
opsioni 1
Opsioni 2
1. Shënoni pikën në rrethin numerik që i përgjigjet këtij numri:
2. Gjeni të gjithë numrat që u përgjigjen pikave të shënuara në rrethin numerik.
VI. Përmbledhja e mësimit.
Pyetje për studentët:
– Jepni përkufizimin e një rrethi me numra.
– Sa është gjatësia e një rrethi njësi? Gjatësia e një rrethi gjysmë njësi? Lagjet e saj?
– Si mund të gjeni një pikë në rrethin e numrave që i përgjigjet një numri? Numri 5?
Detyre shtepie:, faqe 23. Nr 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) - Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d), Nr. 4.15.
Mësimi #2
Golat : konsolidoni konceptin e rrethit numerik si model i një sistemi koordinativ lakor.
Detyrat : vazhdoni të zhvilloni aftësinë për të gjetur pika në rrethin e numrave që korrespondojnë me numrat e dhënë "të mirë" dhe "të keq"; shkruani numrin që i përgjigjet një pike në rrethin e numrave; zhvillojnë aftësinë për të kompozuar një shënim analitik të harkut të një rrethi numerik në formën e një mosbarazimi të dyfishtë.
Të zhvillojë aftësitë llogaritëse, të folurit e saktë matematikor dhe të menduarit logjik të studentëve.
Futni pavarësinë, vëmendjen dhe saktësinë. Nxitni një qëndrim të përgjegjshëm ndaj të mësuarit.
Rezultatet e planifikuara:
Di, kuptoj: - rrethi i numrave.
Të jetë i aftë: - të gjejë pika në rreth sipas koordinatave të dhëna; - gjeni koordinatat e një pike të vendosur në një rreth numerik.
Të jetë në gjendje të zbatojë materialin teorik të studiuar gjatë kryerjes së punës me shkrim.
Mbështetja teknike e mësimit Kompjuter, ekran, projektor, tekst shkollor, libër me probleme.
Mbështetje shtesë metodologjike dhe didaktike për mësimin: Mordkovich A. G. M79 Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. Klasat 10-11 (niveli bazë): manual metodologjik për mësuesit / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 f. : llum
Gjatë orëve të mësimit
Koha e organizimit.
Gjendja psikologjike e studentëve.
Kontrollimi i detyrave të shtëpisëNr. 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) - Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d), Nr.
№ 4.15. Analizoni zgjidhjen e detyrave që shkaktuan vështirësi.
Punë gojore.
(në rrëshqitje)
1. Lidhni pikat në rrethin numerik dhe numrat e dhënë:
b)
V)
G)
d)
e)
dhe)
h)
2. Gjeni pikat në rrethin numerik.
–2; 4; –8;
13.
III. Shpjegimi i materialit të ri.
Siç u përmend tashmë, studentët zotërojnë një sistem prej gjashtë "lojërash" didaktike që ofrojnë aftësinë për të zgjidhur probleme të katër llojeve kryesore të lidhura me rrethin e numrave (nga numri në pikë; nga pika në numër; nga harku në pabarazi të dyfishtë; nga pabarazia e dyfishtë në hark).
(Mordkovich A. G. M79 Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. Klasat 10-11 (niveli bazë): manual metodologjik për mësuesit / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 f. : i sëmurë.)
Në këtë mësim do të përdorim dy lojërat e fundit:
"Loja" e 5-të – përpilimi i shënimeve analitike (mosbarazimet e dyfishta) për harqet e rrethit numerik. Për shembull, nëse jepet një hark që lidh mesin e tremujorit të parë (fillimin e harkut) dhe pikën më të ulët të të dyve që e ndajnë tremujorin e dytë në tre pjesë të barabarta (fundi i harkut), atëherë analiza përkatëse analitike shënimi ka formën:
Nëse fillimi dhe fundi i të njëjtit hark ndërrohen, atëherë regjistrimi përkatës analitik i harkut do të duket si ky:
Autorët e tekstit vërejnë se termat "bërthamë e shënimit analitik të një harku", "shënimi analitik i një harku" nuk njihen përgjithësisht, ato u prezantuan për arsye thjesht metodologjike, dhe nëse do t'i përdorni ato apo jo varet nga mësuesi.
"Loja" e 6-të – nga ky shënim analitik i harkut (pabarazia e dyfishtë) kaloni në imazhin e tij gjeometrik.
Shpjegimi duhet të bëhet duke përdorur teknikën e analogjisë. Ju mund të përdorni një model të linjës numerike të lëvizshme që mund të "shembet" në një rreth numrash.
Puna me tekstin shkollor .
Le të shohim shembullin 8 nga f. 33 tekste shkollore.
Pauzë dinamike
IV. Formimi i aftësive dhe aftësive.
Kur kryejnë detyrat, studentët duhet të sigurohen që kur shkruajnë një hark në mënyrë analitike, ana e majtë e pabarazisë së dyfishtë është më e vogël se ana e djathtë. Për ta bërë këtë, kur regjistroni, duhet të lëvizni në një drejtim pozitiv, domethënë në drejtim të kundërt.
Grupi 1 . Ushtrime për gjetjen e pikave "të këqija" në rrethin e numrave.
№ 4.16, Nr. 4.17 (a; b).
Grupi i 2-të . Ushtrime për regjistrimin analitik të një harku dhe ndërtimin e një harku bazuar në regjistrimin analitik të tij.
№ 4.18 (a; b), nr. 4.19 (a; b), nr. 4.20 (a; b).
V. Punë e pavarur.
Opsioni 1
3. Sipas modelit analitik 
shkruani emërtimin e harkut të numrave dhe ndërtoni modelin gjeometrik të tij.
Opsioni 2
1. Mbështetur në modelin gjeometrik të harkut të rrethit numerik, shkruajeni modelin analitik në formën e një mosbarazimi të dyfishtë.
2. Sipas emërtimit të dhënë të harkut të rrethit numerik 
tregojnë modelet gjeometrike dhe analitike të tij.
3. Sipas modelit analitik 
shkruani emërtimin e harkut të rrethit numerik dhe ndërtoni modelin gjeometrik të tij.
VI. Përmbledhja e mësimit.
Pyetje për studentët:
– Në çfarë mënyrash mund të shkruani në mënyrë analitike harkun e rrethit numerik?
– Si quhet bërthama e regjistrimit analitik të një harku?
– Cilat kushte duhet të plotësojnë numrat në të majtë dhe në të djathtë të një pabarazie të dyfishtë?
Detyre shtepie:
1. , faqe 23. Nr. 4.17 (c; d), nr. 4.18 (c; d), nr. 4.19 (c; d), nr. 4.20 (c; d).
2. Mbështetur në modelin gjeometrik të harkut të rrethit numerik, shënoni modelin analitik të tij në formën e një mosbarazimi të dyfishtë.
3. Sipas emërtimit të dhënë të harkut të rrethit numerik 
tregojnë modelet gjeometrike dhe analitike të tij.
