Դիպլոմային բանաձևերօգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։
Թիվ գէ n- թվի հզորությունը աԵրբ:
Գործողություններ աստիճաններով.
1. Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցիչները գումարվում են.
մի մ·a n = a m + n.
2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները.
3. 2 կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին.
(abc…) n = a n · b n · c n…
4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.
(a/b) n = a n /b n .
5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.
(a m) n = a m n .
Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:
Օրինակ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Գործողություններ արմատներով.
1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.
2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և արմատների բաժանարարի հարաբերությանը.
3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական թիվը հասցնել այս հզորության.
4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ ներդնել nրդ հզորությունը արմատական թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.
5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանել արմատը n-արմատական թվի թվի-րդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.
Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես այն, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է ոչ դրական ցուցիչի բացարձակ արժեքին.
Բանաձև մի մ:a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ հետ մ< n.
Օրինակ. ա4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Բանաձևին մի մ:a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։
Զրո ինդեքսով աստիճան։Զրո ցուցիչով զրոյի չհավասարվող ցանկացած թվի հզորությունը հավասար է մեկի:
Օրինակ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանի մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մ- այս թվի երրորդ հզորությունը Ա.
Excel-ն օգտագործում է ներկառուցված ֆունկցիաներ և մաթեմատիկական օպերատորներ՝ արմատը հանելու և թիվը հասցնելու համար: Եկեք նայենք օրինակներին:
Excel-ում SQRT ֆունկցիայի օրինակներ
Ներկառուցված SQRT ֆունկցիան վերադարձնում է դրական քառակուսի արմատի արժեքը: Գործառույթների ցանկում այն գտնվում է Մաթեմատիկա կատեգորիայի ներքո:
Ֆունկցիայի շարահյուսություն՝ =ROOT (համար):
Միակ և պահանջվող արգումենտը դրական թիվն է, որի համար ֆունկցիան հաշվարկում է քառակուսի արմատը։ Եթե արգումենտը բացասական է, Excel-ը կվերադարձնի #NUM! սխալ:
Դուք կարող եք նշել որոշակի արժեք կամ թվային արժեք ունեցող բջիջի հղում՝ որպես արգումենտ:
Եկեք նայենք օրինակներին:
Ֆունկցիան վերադարձրեց 36 թվի քառակուսի արմատը: Փաստարկը որոշակի արժեք է:
ABS ֆունկցիան վերադարձնում է -36 բացարձակ արժեքը: Դրա օգտագործումը թույլ տվեց մեզ խուսափել բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելիս սխալներից։
Ֆունկցիան վերցրեց 13-ի գումարի քառակուսի արմատը և C1 բջիջի արժեքը:
Exponentiation ֆունկցիա Excel-ում
Ֆունկցիայի շարահյուսություն՝ =POWER (արժեք, համար): Երկու փաստարկներն էլ պարտադիր են։
Արժեքը ցանկացած իրական թվային արժեք է: Թիվը այն հզորության ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացվի տվյալ արժեքը:
Եկեք նայենք օրինակներին:
C2 բջիջում - 10 թիվը քառակուսացնելու արդյունք:
Ֆունկցիան վերադարձրեց 100 թիվը բարձրացված ¾-ի:
Օպերատորի միջոցով հզորացում
Excel-ում թիվն ուժի հասցնելու համար կարող եք օգտագործել «^» մաթեմատիկական օպերատորը: Այն մուտքագրելու համար սեղմեք Shift + 6 (անգլերեն ստեղնաշարի դասավորությամբ):
Որպեսզի Excel-ը մուտքագրված տեղեկատվությունը վերաբերվի որպես բանաձևի, նախ դրվում է «=» նշանը: Հաջորդը այն թիվն է, որը պետք է հասցնել հզորության: Իսկ «^» նշանից հետո աստիճանի արժեքն է։
Այս մաթեմատիկական բանաձևի ցանկացած արժեքի փոխարեն կարող եք օգտագործել թվերով բջիջների հղումներ:
Սա հարմար է, եթե ձեզ անհրաժեշտ է մի քանի արժեքներ կառուցել:
Բանաձևը ամբողջ սյունակում պատճենելով՝ մենք արագ ստացանք A սյունակի թվերը երրորդ աստիճանի հասցնելու արդյունքները:
n-րդ արմատների արդյունահանում
ROOT-ը Excel-ի քառակուսի արմատի ֆունկցիան է: Ինչպե՞ս հանել 3-րդ, 4-րդ և այլ աստիճանների արմատը:
Հիշենք մաթեմատիկական օրենքներից մեկը՝ n-րդ արմատը հանելու համար անհրաժեշտ է թիվը հասցնել 1/n հզորության։
Օրինակ՝ խորանարդի արմատը հանելու համար թիվը բարձրացնում ենք 1/3-ի։
Եկեք օգտագործենք բանաձեւը Excel-ում տարբեր աստիճանի արմատներ հանելու համար:
Բանաձևը վերադարձրեց 21 թվի խորանարդային արմատի արժեքը: Կոտորակի հզորության բարձրացման համար օգտագործվեց «^» օպերատորը:
Շնորհավորում ենք. այսօր մենք կանդրադառնանք արմատներին՝ 8-րդ դասարանի ամենահուզիչ թեմաներից մեկը: :)
Շատերը շփոթվում են արմատների հետ կապված ոչ թե այն պատճառով, որ դրանք բարդ են (ինչն է այդքան բարդ՝ մի քանի սահմանում և ևս մի քանի հատկություն), այլ որովհետև դպրոցական դասագրքերի մեծ մասում արմատները սահմանվում են այնպիսի ջունգլիներում, որ միայն դասագրքերի հեղինակներն են։ իրենք կարող են հասկանալ այս գրությունը: Եվ նույնիսկ այն ժամանակ միայն մի շիշ լավ վիսկիով: :)
Հետևաբար, հիմա ես կտամ արմատի ամենաճիշտ և իրավասու սահմանումը. միակը, որը դուք իսկապես պետք է հիշեք: Եվ հետո ես կբացատրեմ, թե ինչու է այս ամենը անհրաժեշտ և ինչպես կիրառել այն գործնականում:
Բայց նախ, հիշեք մի կարևոր կետ, որը շատ դասագրքեր կազմողներ ինչ-ինչ պատճառներով «մոռանում են».
Արմատները կարող են լինել զույգ աստիճանի (մեր սիրելի $\sqrt(a)$, ինչպես նաև բոլոր տեսակի $\sqrt(a)$ և նույնիսկ $\sqrt(a)$) և կենտ աստիճանի (բոլոր տեսակի $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ և այլն): Իսկ կենտ աստիճանի արմատի սահմանումը որոշակիորեն տարբերվում է զույգից:
Հավանաբար արմատների հետ կապված բոլոր սխալների և թյուրիմացությունների 95%-ը թաքնված է այս «մի փոքր այլ կերպ» մեջ: Այսպիսով, եկեք մեկընդմիշտ պարզենք տերմինաբանությունը.
Սահմանում. Նույնիսկ արմատ n$a$ թվից ցանկացած է ոչ բացասական$b$ թիվն այնպիսին է, որ $((b)^(n))=a$: Իսկ նույն $a$ թվի կենտ արմատը սովորաբար ցանկացած $b$ թիվ է, որի համար գործում է նույն հավասարությունը՝ $((b)^(n))=a$:
Ամեն դեպքում, արմատը նշվում է այսպես.
\(ա)\]
Նման նշումով $n$ թիվը կոչվում է արմատային ցուցիչ, իսկ $a$ թիվը կոչվում է արմատական արտահայտություն: Մասնավորապես, $n=2$-ի համար մենք ստանում ենք մեր «սիրած» քառակուսի արմատը (ի դեպ, սա զույգ աստիճանի արմատ է), իսկ $n=3$-ի համար ստանում ենք խորանարդ արմատ (կենտ աստիճան), որը հաճախ հանդիպում են նաև խնդիրների և հավասարումների մեջ:
Օրինակներ. Քառակուսի արմատների դասական օրինակներ.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Ի դեպ, $\sqrt(0)=0$ և $\sqrt(1)=1$: Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ $((0)^(2))=0$ և $((1)^(2))=1$:
Սովորական են նաև խորանարդի արմատները, որոնցից վախենալ պետք չէ.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Դե, մի քանի «էկզոտիկ օրինակներ».
\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Եթե դուք չեք հասկանում, թե որն է տարբերությունը զույգ և կենտ աստիճանի միջև, նորից կարդացեք սահմանումը: Դա շատ կարեւոր է!
Միևնույն ժամանակ մենք կանդրադառնանք արմատների մեկ տհաճ հատկանիշին, որի պատճառով անհրաժեշտ էր առանձին սահմանում մտցնել զույգ և կենտ ցուցիչների համար:
Ինչու՞ են ընդհանրապես անհրաժեշտ արմատները:
Սահմանումը կարդալուց հետո շատ ուսանողներ կհարցնեն. «Ի՞նչ էին ծխում մաթեմատիկոսները, երբ նրանք դա եկան»: Եվ իրոք՝ ինչի՞ն են պետք այս բոլոր արմատները։
Այս հարցին պատասխանելու համար մի պահ վերադառնանք տարրական դպրոց։ Հիշեք. այն հեռավոր ժամանակներում, երբ ծառերն ավելի կանաչ էին, իսկ պելմենինն ավելի համեղ, մեր հիմնական մտահոգությունը թվերը ճիշտ բազմապատկելն էր։ Դե, «հինգը հինգով - քսանհինգ» նման մի բան, դա բոլորն է: Բայց դուք կարող եք թվերը բազմապատկել ոչ թե զույգերով, այլ եռյակներով, քառապատիկներով և ընդհանրապես ամբողջ բազմություններով.
\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \վերջ (հավասարեցնել)\]
Սակայն հարցը սա չէ։ Հնարքն այլ է՝ մաթեմատիկոսները ծույլ մարդիկ են, ուստի նրանք դժվարությամբ են գրել տասը հինգի բազմապատկումն այսպես.
Դրա համար էլ աստիճաններ են հորինել։ Ինչու երկար տողի փոխարեն չգրել գործոնների թիվը որպես վերնագիր: Նման մի բան.
Շատ հարմար է! Բոլոր հաշվարկները զգալիորեն կրճատվել են, և դուք պետք չէ վատնել մի փունջ մագաղաթյա թերթեր և նոթատետրեր՝ 5183-ը գրելու համար: Այս ռեկորդը կոչվում էր թվի ուժ, նրանում հայտնաբերվեցին մի շարք հատկություններ, բայց երջանկությունը կարճ տեւեց։
Խմելու մեծ խնջույքից հետո, որը կազմակերպվել էր հենց աստիճանների «բացահայտման» համար, ինչ-որ առանձնահատուկ համառ մաթեմատիկոս հանկարծ հարցրեց. Հիմա, իսկապես, եթե գիտենք, որ $b$ որոշակի թիվը, ասենք, 5-րդ աստիճանին տալիս է 243, ապա ինչպե՞ս կարող ենք կռահել, թե ինքնին $b$ թիվը ինչի է հավասար։
Այս խնդիրը պարզվեց, որ շատ ավելի գլոբալ է, քան կարող էր թվալ առաջին հայացքից։ Որովհետև պարզվեց, որ «պատրաստի» ուժերի մեծ մասի համար այդպիսի «նախնական» թվեր չկան։ Դատեք ինքներդ.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((բ)^(3))=27\Աջ սլաք b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((բ)^(3))=64\Աջ սլաք b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Իսկ եթե $((b)^(3))=$50? Ստացվում է, որ մենք պետք է գտնենք որոշակի թիվ, որն իր վրա երեք անգամ բազմապատկելու դեպքում մեզ կտա 50։ Բայց ո՞րն է այս թիվը։ Այն ակնհայտորեն մեծ է 3-ից, քանի որ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Այսինքն այս թիվը գտնվում է երեքից չորսի միջակայքում, բայց դուք չեք հասկանա, թե դա ինչի է հավասար:
Հենց սա է պատճառը, որ մաթեմատիկոսները $n$th արմատներ են գտել: Հենց սա է պատճառը, որ ներդրվեց $\sqrt(*)$ արմատական խորհրդանիշը։ Նշանակել հենց $b$ թիվը, որը նշված աստիճանով մեզ կտա նախկինում հայտնի արժեք
\[\sqrt[n](a)=b\Աջ սլաք ((b)^(n))=a\]
Ես չեմ վիճում. հաճախ այդ արմատները հեշտությամբ հաշվարկվում են, մենք վերևում տեսանք մի քանի նման օրինակ: Բայց այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում, եթե դուք մտածեք կամայական թվի մասին և հետո փորձեք դրանից հանել կամայական աստիճանի արմատը, դուք սարսափելի վտանգի առաջ կկանգնեք:
Ի՞նչ կա այնտեղ։ Նույնիսկ ամենապարզ և ծանոթ $\sqrt(2)$-ը չի կարող ներկայացվել մեր սովորական ձևով` որպես ամբողջ թիվ կամ կոտորակ: Եվ եթե այս թիվը մուտքագրեք հաշվիչի մեջ, կտեսնեք սա.
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Ինչպես տեսնում եք, տասնորդական կետից հետո գոյություն ունի թվերի անվերջ հաջորդականություն, որոնք չեն ենթարկվում ոչ մի տրամաբանության։ Դուք, իհարկե, կարող եք կլորացնել այս թիվը՝ այլ թվերի հետ արագ համեմատելու համար: Օրինակ:
\[\sqrt(2)=1.4142...\մոտ 1.4 \lt 1.5\]
Կամ ահա ևս մեկ օրինակ.
\[\sqrt(3)=1.73205...\մոտ 1.7 \gt 1.5\]
Բայց այս բոլոր կլորացումները, նախ, բավականին կոպիտ են. և երկրորդ, դուք նույնպես պետք է կարողանաք աշխատել մոտավոր արժեքներով, հակառակ դեպքում կարող եք բռնել ոչ ակնհայտ սխալների մի փունջ (ի դեպ, համեմատության և կլորացման հմտությունը պահանջվում է ստուգել միասնական պետական քննության պրոֆիլում):
Հետևաբար, լուրջ մաթեմատիկայի մեջ դուք չեք կարող անել առանց արմատների. դրանք $\mathbb(R)$ բոլոր իրական թվերի բազմության նույն հավասար ներկայացուցիչներն են, ինչպես մեզ վաղուց ծանոթ կոտորակներն ու ամբողջ թվերը:
Արմատը որպես $\frac(p)(q)$ ձևի կոտորակ ներկայացնելու անկարողությունը նշանակում է, որ այս արմատը ռացիոնալ թիվ չէ։ Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ, և դրանք հնարավոր չէ ճշգրիտ ներկայացնել, բացառությամբ արմատականի կամ դրա համար հատուկ նախագծված այլ կառուցվածքների օգնությամբ (լոգարիթմներ, հզորություններ, սահմաններ և այլն): Բայց դրա մասին ավելին մեկ այլ անգամ:
Դիտարկենք մի քանի օրինակ, որտեղ բոլոր հաշվարկներից հետո իռացիոնալ թվերը դեռ կմնան պատասխանում։
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\մոտ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\մոտ -1.2599... \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Բնականաբար, արմատի տեսքից գրեթե անհնար է կռահել, թե ինչ թվեր կգան տասնորդական կետից հետո։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք հույս դնել հաշվիչի վրա, բայց նույնիսկ ամենաառաջադեմ ամսաթվի հաշվիչը մեզ տալիս է միայն իռացիոնալ թվի առաջին մի քանի թվանշանները: Ուստի շատ ավելի ճիշտ է պատասխանները գրել $\sqrt(5)$ և $\sqrt(-2)$ ձևերով։
Հենց դրա համար էլ դրանք հորինվել են։ Պատասխանները հարմար ձայնագրելու համար:
Ինչու են անհրաժեշտ երկու սահմանումներ:
Ուշադիր ընթերցողը հավանաբար արդեն նկատել է, որ օրինակներում բերված բոլոր քառակուսի արմատները վերցված են դրական թվերից։ Դե, գոնե զրոյից: Բայց խորանարդի արմատները կարելի է հանգիստ հանել բացարձակապես ցանկացած թվից՝ լինի դա դրական, թե բացասական:
Ինչու է դա տեղի ունենում: Նայեք $y=((x)^(2))$ ֆունկցիայի գրաֆիկին:
Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը տալիս է երկու արմատ՝ դրական և բացասական Փորձենք այս գրաֆիկի միջոցով հաշվարկել $\sqrt(4)$: Դրա համար գրաֆիկի վրա գծվում է $y=4$ հորիզոնական գիծ (նշված կարմիրով), որը հատվում է պարաբոլի հետ երկու կետում՝ $((x)_(1))=2$ և $((x): )_(2)) =-2$. Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ
Առաջին թվով ամեն ինչ պարզ է, այն դրական է, ուստի այն արմատն է.
Բայց հետո ի՞նչ անել երկրորդ կետի հետ։ Չորսը միանգամից երկու արմատ ունի՞: Ի վերջո, եթե −2 թիվը քառակուսի տանենք, ապա կստանանք նաև 4։ Ինչո՞ւ չգրել $\sqrt(4)=-2$ այդ դեպքում։ Իսկ ինչո՞ւ են ուսուցիչները նման գրառումներին նայում այնպես, կարծես ուզում են քեզ ուտել :)
Դժբախտությունն այն է, որ եթե լրացուցիչ պայմաններ չպարտադրեք, ապա քառակուսին կունենա երկու քառակուսի արմատ՝ դրական և բացասական: Եվ ցանկացած դրական թիվ կունենա նաև դրանցից երկուսը։ Բայց բացասական թվերն ընդհանրապես արմատներ չեն ունենա, դա երևում է նույն գրաֆիկից, քանի որ պարաբոլան երբեք չի ընկնում առանցքից ցածր: y, այսինքն. չի ընդունում բացասական արժեքներ.
Նմանատիպ խնդիր առաջանում է բոլոր արմատների համար՝ զույգ ցուցիչով.
- Խստորեն ասած՝ յուրաքանչյուր դրական թիվ կունենա երկու արմատ՝ $n$ զույգ ցուցիչով;
- Բացասական թվերից նույնիսկ $n$-ով արմատն ընդհանրապես չի հանվում։
Այդ իսկ պատճառով $n$ զույգ աստիճանի արմատի սահմանման մեջ հատուկ նշված է, որ պատասխանը պետք է լինի ոչ բացասական թիվ։ Ահա թե ինչպես ենք մենք ազատվում երկիմաստությունից.
Բայց կենտ $n$-ի դեպքում նման խնդիր չկա։ Սա տեսնելու համար եկեք դիտենք $y=((x)^(3))$ ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Խորանարդային պարաբոլան կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, ուստի խորանարդի արմատը կարելի է վերցնել ցանկացած թվից Այս գրաֆիկից կարելի է երկու եզրակացություն անել.
- Խորանարդ պարաբոլայի ճյուղերը, ի տարբերություն սովորականի, գնում են դեպի անսահմանություն երկու ուղղությամբ՝ և՛ վերև, և՛ վար: Հետևաբար, անկախ նրանից, թե ինչ բարձրության վրա ենք հորիզոնական գիծ գծում, այս գիծը, անշուշտ, կհատվի մեր գրաֆիկի հետ: Հետևաբար, խորանարդի արմատը միշտ կարելի է հանել բացարձակապես ցանկացած թվից.
- Բացի այդ, նման խաչմերուկը միշտ եզակի կլինի, ուստի կարիք չկա մտածելու, թե որ թիվն է համարվում «ճիշտ» արմատը և որն անտեսել: Այդ իսկ պատճառով կենտ աստիճանի համար արմատներ որոշելն ավելի պարզ է, քան զույգ աստիճանի համար (ոչ բացասականության պահանջ չկա)։
Ափսոս, որ այս պարզ բաները չեն բացատրվում դասագրքերի մեծ մասում։ Փոխարենը, մեր ուղեղը սկսում է ճախրել բոլոր տեսակի թվաբանական արմատներով և դրանց հատկություններով:
Այո, ես չեմ վիճում. դուք նույնպես պետք է իմանաք, թե ինչ է թվաբանական արմատը: Եվ այս մասին մանրամասն կխոսեմ առանձին դասում։ Այսօր մենք կխոսենք նաև դրա մասին, քանի որ առանց դրա բոլոր մտքերը $n$-րդ բազմակիության արմատների մասին թերի կլինեն:
Բայց նախ դուք պետք է հստակ հասկանաք այն սահմանումը, որը ես տվեցի վերևում: Հակառակ դեպքում, տերմինների առատության պատճառով ձեր գլխում այնպիսի խառնաշփոթ կսկսվի, որ վերջում ընդհանրապես ոչինչ չեք հասկանա։
Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հասկանալ զույգ և կենտ ցուցանիշների տարբերությունը: Հետևաբար, եկեք ևս մեկ անգամ հավաքենք այն ամենը, ինչ դուք իսկապես պետք է իմանաք արմատների մասին.
- Զույգ աստիճանի արմատ գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից և ինքնին միշտ ոչ բացասական թիվ է: Բացասական թվերի համար նման արմատն անորոշ է:
- Բայց կենտ աստիճանի արմատը գոյություն ունի ցանկացած թվից և ինքնին կարող է լինել ցանկացած թիվ. դրական թվերի համար այն դրական է, իսկ բացասական թվերի համար, ինչպես գլխարկն է հուշում, այն բացասական է:
Դժվա՞ր է։ Ոչ, դժվար չէ։ Պարզ է? Այո, դա լիովին ակնհայտ է! Այսպիսով, հիմա մենք մի փոքր կվարժվենք հաշվարկներով:
Հիմնական հատկություններ և սահմանափակումներ
Արմատները շատ տարօրինակ հատկություններ և սահմանափակումներ ունեն, սա կքննարկվի առանձին դասում: Հետևաբար, այժմ մենք կքննարկենք միայն ամենակարևոր «հնարքը», որը վերաբերում է միայն հավասար ցուցանիշ ունեցող արմատներին: Եկեք այս հատկությունը գրենք որպես բանաձև.
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ձախ| x\աջ|\]
Այսինքն, եթե թիվը բարձրացնենք մինչև զույգ հզորության և հետո հանենք նույն հզորության արմատը, ապա մենք կստանանք ոչ թե սկզբնական թիվը, այլ դրա մոդուլը։ Սա պարզ թեորեմ է, որը կարելի է հեշտությամբ ապացուցել (բավական է առանձին դիտարկել ոչ բացասական $x$-ը, իսկ հետո՝ առանձին-առանձին բացասականները)։ Ուսուցիչները անընդհատ խոսում են այդ մասին, դա տրված է յուրաքանչյուր դպրոցական դասագրքում։ Բայց հենց որ բանը հասնում է իռացիոնալ հավասարումների (այսինքն՝ արմատական նշան պարունակող հավասարումների) լուծմանը, ուսանողները միաձայն մոռանում են այս բանաձևը։
Խնդիրը մանրամասն հասկանալու համար եկեք մեկ րոպե մոռանանք բոլոր բանաձևերը և փորձենք անմիջապես հաշվարկել երկու թիվ.
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \աջ))^(4)))=?\]
Սրանք շատ պարզ օրինակներ են։ Մարդկանց մեծ մասը կլուծի առաջին օրինակը, բայց շատերը խրված են երկրորդի վրա: Ցանկացած նման անհեթեթություն առանց խնդիրների լուծելու համար միշտ հաշվի առեք ընթացակարգը.
- Նախ՝ թիվը հասցվում է չորրորդ իշխանության։ Դե, դա մի տեսակ հեշտ է: Դուք կստանաք նոր թիվ, որը կարելի է գտնել նույնիսկ բազմապատկման աղյուսակում.
- Եվ հիմա այս նոր թվից անհրաժեշտ է հանել չորրորդ արմատը։ Նրանք. արմատների և հզորությունների «կրճատում» չի լինում, դրանք հաջորդական գործողություններ են:
Դիտարկենք առաջին արտահայտությունը՝ $\sqrt((3)^(4)))$: Ակնհայտ է, որ նախ պետք է հաշվարկել արտահայտությունը արմատի տակ.
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Այնուհետև մենք հանում ենք 81 թվի չորրորդ արմատը.
Հիմա նույնն անենք երկրորդ արտահայտության հետ։ Նախ, մենք −3 թիվը բարձրացնում ենք չորրորդ աստիճանի, որը պահանջում է այն ինքն իրենով 4 անգամ բազմապատկել.
\[((\left(-3 \աջ))^(4))=\left(-3 \աջ)\cdot \left(-3 \աջ)\cdot \left(-3 \աջ)\cdot \ ձախ (-3 \աջ)=81\]
Մենք ստացանք դրական թիվ, քանի որ արտադրանքի մինուսների ընդհանուր թիվը 4 է, և նրանք բոլորը կչեղարկեն միմյանց (ի վերջո, մինուսի համար մինուսը տալիս է գումարած): Այնուհետև մենք նորից հանում ենք արմատը.
Սկզբունքորեն, այս տողը չէր կարող գրվել, քանի որ անիմաստ է, որ պատասխանը նույնը կլիներ: Նրանք. Նույն հավասարաչափ հզորության հավասար արմատը «այրում է» մինուսները, և այս առումով արդյունքը չի տարբերվում սովորական մոդուլից.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt((3)^(4)))=\ձախ| 3 \ճիշտ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \աջ))^(4)))=\ձախ| -3 \ճիշտ|=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Այս հաշվարկները լավ համընկնում են զույգ աստիճանի արմատի սահմանման հետ. արդյունքը միշտ ոչ բացասական է, և արմատական նշանը նույնպես միշտ պարունակում է ոչ բացասական թիվ։ Հակառակ դեպքում, արմատն անորոշ է:
Նշում ընթացակարգի վերաբերյալ
- $\sqrt(((a)^(2)))$ նշումը նշանակում է, որ մենք սկզբում քառակուսի ենք դնում $a$ թիվը, այնուհետև վերցնում ենք ստացված արժեքի քառակուսի արմատը։ Հետևաբար, մենք կարող ենք վստահ լինել, որ արմատային նշանի տակ միշտ կա ոչ բացասական թիվ, քանի որ $((a)^(2))\ge ամեն դեպքում 0$;
- Բայց $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ նշումը, ընդհակառակը, նշանակում է, որ մենք սկզբում վերցնում ենք $a$ որոշակի թվի արմատը և միայն դրանից հետո քառակուսի ենք բերում արդյունքը։ Հետևաբար, $a$ թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող բացասական լինել. սա պարտադիր պահանջ է, որը ներառված է սահմանման մեջ:
Այսպիսով, ոչ մի դեպքում չի կարելի անմտորեն կրճատել արմատներն ու աստիճանները՝ դրանով իսկ իբր «պարզեցնելով» սկզբնական արտահայտությունը։ Որովհետև, եթե արմատը բացասական թիվ ունի, իսկ արտահայտիչը զույգ է, մենք ստանում ենք խնդիրների մի փունջ։
Սակայն այս բոլոր խնդիրները արդիական են միայն նույնիսկ ցուցանիշների համար։
Արմատային նշանի տակից հանելով մինուս նշանը
Բնականաբար, կենտ ցուցիչներով արմատները նույնպես ունեն իրենց առանձնահատկությունը, որը սկզբունքորեն գոյություն չունի զույգերի դեպքում։ Այսինքն:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Մի խոսքով, դուք կարող եք հեռացնել մինուսը կենտ աստիճանի արմատների նշանի տակից: Սա շատ օգտակար հատկություն է, որը թույլ է տալիս «դուրս գցել» բոլոր թերությունները.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \աջ)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \վերջ (հավասարեցնել)\]
Այս պարզ հատկությունը մեծապես հեշտացնում է բազմաթիվ հաշվարկներ: Հիմա ձեզ պետք չէ անհանգստանալ. իսկ եթե բացասական արտահայտությունը թաքնված է արմատի տակ, բայց արմատի աստիճանը հավասար է: Բավական է միայն արմատներից դուրս «դուրս նետել» բոլոր մինուսները, որից հետո դրանք կարելի է բազմապատկել միմյանցով, բաժանել և ընդհանրապես շատ կասկածելի բաներ անել, որոնք «դասական» արմատների դեպքում երաշխավորված են մեզ տանելու։ սխալ.
Եվ այստեղ ասպարեզ է գալիս մեկ այլ սահմանում՝ նույնը, որով դպրոցներից շատերում սկսում են իռացիոնալ արտահայտությունների ուսումնասիրությունը: Եվ առանց որի մեր հիմնավորումը թերի կլիներ։ Հանդիպե՛ք
Թվաբանական արմատ
Մի պահ ենթադրենք, որ արմատային նշանի տակ կարող են լինել միայն դրական թվեր կամ ծայրահեղ դեպքում՝ զրո։ Եկեք մոռանանք զույգ/կենտ ցուցանիշների մասին, մոռանանք վերը տրված բոլոր սահմանումները՝ կաշխատենք միայն ոչ բացասական թվերով։ Ուրեմն ինչ?
Եվ հետո մենք կստանանք թվաբանական արմատ. այն մասամբ համընկնում է մեր «ստանդարտ» սահմանումների հետ, բայց դեռ տարբերվում է դրանցից:
Սահմանում. Ոչ բացասական $a$ թվի $n$th աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական $b$ թիվ է, որ $((b)^(n))=a$:
Ինչպես տեսնում ենք, մեզ այլևս չի հետաքրքրում պարիտետը։ Փոխարենը հայտնվեց նոր սահմանափակում՝ արմատական արտահայտությունն այժմ միշտ ոչ բացասական է, իսկ արմատն ինքնին նույնպես ոչ բացասական է։
Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես է թվաբանական արմատը տարբերվում սովորականից, նայեք քառակուսի և խորանարդ պարաբոլայի գրաֆիկներին, որոնց արդեն ծանոթ ենք.
Թվաբանական արմատների որոնման տարածք - ոչ բացասական թվեր Ինչպես տեսնում եք, այսուհետ մեզ հետաքրքրում են միայն գրաֆիկների այն կտորները, որոնք գտնվում են առաջին կոորդինատային եռամսյակում, որտեղ $x$ և $y$ կոորդինատները դրական են (կամ առնվազն զրո): Այլևս կարիք չկա ցուցիչին նայել՝ հասկանալու համար՝ իրավունք ունե՞նք արմատի տակ բացասական թիվ դնել, թե՞ ոչ։ Քանի որ բացասական թվերն այլեւս սկզբունքորեն չեն դիտարկվում։
Դուք կարող եք հարցնել. «Դե, ինչո՞ւ է մեզ անհրաժեշտ այդպիսի ստերիլիզացված սահմանում»: Կամ. «Ինչու՞ մենք չենք կարող հաղթահարել վերը նշված ստանդարտ սահմանումը»:
Դե, ես կտամ ընդամենը մեկ հատկություն, որի պատճառով նոր սահմանումը տեղին է դառնում։ Օրինակ, հզորության կանոնը.
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Խնդրում ենք նկատի ունենալ. մենք կարող ենք արմատական արտահայտությունը բարձրացնել ցանկացած հզորության և միևնույն ժամանակ բազմապատկել արմատային ցուցիչը նույն հզորությամբ, և արդյունքը կլինի նույն թիվը: Ահա օրինակներ.
\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Այսպիսով, ո՞րն է մեծ գործը: Ինչու՞ մենք նախկինում չէինք կարող դա անել: Ահա թե ինչու. Դիտարկենք մի պարզ արտահայտություն՝ $\sqrt(-2)$ - այս թիվը միանգամայն նորմալ է մեր դասական ընկալման մեջ, բայց բացարձակապես անընդունելի թվաբանական արմատի տեսանկյունից։ Փորձենք փոխակերպել այն.
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \աջ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \վերջ (հավասարեցնել)$
Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում մենք հանեցինք մինուսը ռադիկալի տակից (մենք բոլոր իրավունքներն ունենք, քանի որ ցուցանիշը կենտ է), իսկ երկրորդ դեպքում օգտագործեցինք վերը նշված բանաձևը։ Նրանք. Մաթեմատիկական տեսանկյունից ամեն ինչ արվում է ըստ կանոնների։
WTF?! Ինչպե՞ս կարող է նույն թիվը լինել և՛ դրական, և՛ բացասական: Ոչ մի դեպքում. Պարզապես հզորացման բանաձևը, որը հիանալի է աշխատում դրական թվերի և զրոյի դեպքում, սկսում է լրիվ հերետիկոսություն առաջացնել բացասական թվերի դեպքում:
Հենց նման երկիմաստությունից ազատվելու համար են հորինվել թվաբանական արմատները։ Առանձին մեծ դաս է նվիրված նրանց, որտեղ մենք մանրամասն դիտարկում ենք նրանց բոլոր հատկությունները: Այսպիսով, մենք հիմա դրանց վրա չենք անդրադառնա, դասն արդեն չափազանց երկար է ստացվել:
Հանրահաշվական արմատ. նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելին իմանալ
Երկար մտածում էի՝ այս թեման առանձին պարբերության մեջ դնե՞լ, թե՞ ոչ։ Ի վերջո որոշեցի թողնել այստեղ։ Այս նյութը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելի լավ հասկանալ արմատները՝ այլևս ոչ թե միջին «դպրոցական» մակարդակում, այլ օլիմպիադային մոտ մակարդակով:
Այսպիսով, ի լրումն թվի $n$th արմատի «դասական» սահմանմանը և հարակից բաժանմանը զույգ և կենտ ցուցիչների, կա ավելի «չափահաս» սահմանում, որն ամենևին էլ կախված չէ հավասարությունից և այլ նրբություններից: Սա կոչվում է հանրահաշվական արմատ:
Սահմանում. Ցանկացած $a$-ի հանրահաշվական $n$th արմատը $b$ բոլոր թվերի բազմությունն է, որպեսզի $((b)^(n))=a$: Նման արմատների համար հաստատված նշանակում չկա, ուստի մենք պարզապես գծիկ կդնենք վերևում.
\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \աջ. \աջ\) \]
Դասի սկզբում տրված ստանդարտ սահմանումից հիմնարար տարբերությունն այն է, որ հանրահաշվական արմատը կոնկրետ թիվ չէ, այլ բազմություն: Եվ քանի որ մենք աշխատում ենք իրական թվերով, այս հավաքածուն գալիս է միայն երեք տեսակի.
- Դատարկ հավաքածու։ Առաջանում է, երբ բացասական թվից պետք է գտնել զույգ աստիճանի հանրահաշվական արմատ.
- Հավաքածու, որը բաղկացած է մեկ տարրից: Այս կատեգորիային են պատկանում կենտ հզորությունների բոլոր արմատները, ինչպես նաև զրոյի զույգ հզորությունների արմատները.
- Վերջապես, հավաքածուն կարող է ներառել երկու թիվ՝ նույն $((x)_(1))$ և $((x)_(2))=-((x)_(1))$, որոնք մենք տեսանք գրաֆիկի քառակուսի ֆունկցիա: Համապատասխանաբար, նման դասավորությունը հնարավոր է միայն դրական թվից զույգ աստիճանի արմատը հանելիս։
Վերջին դեպքն ավելի մանրամասն քննարկման է արժանի։ Տարբերությունը հասկանալու համար եկեք հաշվենք մի քանի օրինակ։
Օրինակ. Գնահատեք արտահայտությունները.
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Լուծում. Առաջին արտահայտությունը պարզ է.
\[\ overline (\sqrt(4))=\ձախ\( 2;-2 \աջ\)\]
Դա երկու թվեր են, որոնք կազմում են հավաքածուի մի մասը: Որովհետև դրանցից յուրաքանչյուրը քառակուսի վրա տալիս է չորս:
\[\overline(\sqrt(-27))=\ձախ\( -3 \աջ\)\]
Այստեղ մենք տեսնում ենք մի շարք, որը բաղկացած է միայն մեկ թվից: Սա միանգամայն տրամաբանական է, քանի որ արմատային ցուցիչը տարօրինակ է:
Վերջապես, վերջին արտահայտությունը.
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Մենք ստացանք դատարկ հավաքածու: Որովհետև չկա մեկ իրական թիվ, որը չորրորդ (այսինքն, նույնիսկ!) աստիճանի հասցնելու դեպքում մեզ կտա −16 բացասական թիվը:
Վերջնական նշում. Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, պատահական չէ, որ ես ամենուր նշել եմ, որ մենք աշխատում ենք իրական թվերով։ Որովհետև կան նաև կոմպլեքս թվեր - այնտեղ միանգամայն հնարավոր է հաշվարկել $\sqrt(-16)$, և շատ այլ տարօրինակ բաներ։
Այնուամենայնիվ, ժամանակակից դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացներում բարդ թվեր գրեթե երբեք չեն հայտնվում: Դրանք հանվել են դասագրքերի մեծ մասից, քանի որ մեր պաշտոնյաները թեման համարում են «չափազանց դժվար հասկանալի»։
Այսքանը: Հաջորդ դասում մենք կդիտարկենք արմատների բոլոր հիմնական հատկությունները և վերջապես կսովորենք, թե ինչպես պարզեցնել իռացիոնալ արտահայտությունները: :)
Գործողություններ ուժերով և արմատներով: Աստիճան բացասականով ,
զրո և կոտորակային ցուցիչ։ Անիմաստ արտահայտությունների մասին.
Գործողություններ աստիճաններով.
1. Միևնույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները գումարվում են:
մի մ · a n = a m + n.
2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս՝ դրանց ցուցիչները հանվում են .
3. Երկու կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այդ գործոնների աստիճանների արտադրյալին։
(աբգ… ) n = a n· b n · c n…
4. Հարաբերակցության (կոտորակի) աստիճանը հավասար է դիվիդենտի (համարիչ) և բաժանարարի (հայտարարի) աստիճանների հարաբերությանը.
(ա/բ ) n = a n / b n .
5. Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս դրանց ցուցանիշները բազմապատկվում են.
(մի մ ) n = a m n .
Վերոնշյալ բոլոր բանաձևերը կարդացվում և կատարվում են երկու ուղղությամբ՝ ձախից աջ և հակառակը։
ՕՐԻՆԱԿ (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Գործողություններ արմատներով. Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում խորհրդանիշը նշանակում է թվաբանական արմատ(արմատական արտահայտությունը դրական է):
1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է արտադրյալին այս գործոնների արմատները.
2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և բաժանարարի արմատների հարաբերությանը.
3. Երբ արմատ բարձրացնելով իշխանության, բավական է բարձրացնել այս իշխանությունը արմատական համարը:
4. Եթե բարձրացնենք արմատի աստիճանը ներսմ բարձրացնել դեպիմ րդ հզորությունը արմատական թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.
5. Եթե նվազեցնենք արմատի աստիճանը ներսմ արդյունահանեք արմատը մեկ անգամ և միևնույն ժամանակմ Արմատական թվի րդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չէկփոխվի.
Ընդլայնելով աստիճանի հայեցակարգը: Առայժմ մենք աստիճաններ ենք դիտարկել միայն բնական ցուցիչներով.բայց գործողություններ հետ աստիճաններն ու արմատները նույնպես կարող են հանգեցնել բացասական, զրոԵվ կոտորակայինցուցանիշները։ Այս բոլոր ցուցանիշները պահանջում են լրացուցիչ սահմանում:
Բացասական ցուցիչով աստիճան: Որոշ թվի հզորություն գ բացասական (ամբողջական) ցուցիչը սահմանվում է որպես մեկ բաժանված բացարձակ արժեքին հավասար ցուցիչով նույն թվի հզորությամբբացասական ցուցանիշ.
Տայժմ բանաձեւը մի մ: a n= մի մ - n կարող է օգտագործվել ոչ միայնմ, ավելի քան n, այլեւ հետ մ, ավելի քիչ քան n .
ՕՐԻՆԱԿ ա 4 :ա 7 =ա 4 - 7 =ա - 3 .
Եթե ուզում ենք բանաձեւըմի մ : a n= մի մ - nարդար էր, երբm = n, մեզ անհրաժեշտ է զրոյական աստիճանի սահմանում:
Զրո ինդեքսով աստիճան։ Զրո ցուցիչով ցանկացած ոչ զրոյական թվի հզորությունը 1 է:
ՕՐԻՆՆԵՐ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Աստիճան կոտորակային ցուցիչով: Իրական թիվ բարձրացնելու համարև մ/ն հզորության նկատմամբ , դուք պետք է հանեք արմատըմ-ի n-րդ հզորությունը - այս թվի երրորդ հզորությունըԱ.
Անիմաստ արտահայտությունների մասին. Նման մի քանի արտահայտություններ կան.ցանկացած թիվ.
Փաստորեն, եթե ենթադրենք, որ այս արտահայտությունը հավասար է ինչ-որ թվի x, ապա բաժանման գործողության սահմանման համաձայն ունենք՝ 0 = 0 · x. Բայց այս հավասարությունը տեղի է ունենում, երբ ցանկացած x թիվ, ինչը ապացուցման կարիք ուներ։
Դեպք 3.
0 0 - ցանկացած թիվ.
Իսկապես,
Լուծում Դիտարկենք երեք հիմնական դեպք.
1) x = 0 – այս արժեքը չի բավարարում այս հավասարմանը
(Ինչու՞):
2) երբ x> 0 մենք ստանում ենք. x/x = 1, այսինքն. 1 = 1, ինչը նշանակում է
Ինչ x- ցանկացած թիվ; բայց հաշվի առնելով, որ ին
Մեր դեպքում x> 0, պատասխանն էx > 0 ;
3) երբ x < 0 получаем: – x/x= 1, այսինքն . –1 = 1, հետևաբար,
Այս դեպքում լուծում չկա։
Այսպիսով, x > 0.
Հաճախ մաթեմատիկական արտահայտությունների փոխակերպումը և պարզեցումը պահանջում է արմատներից անցնել ուժեր և հակառակը: Այս հոդվածում խոսվում է այն մասին, թե ինչպես փոխարկել արմատը աստիճանի և հետ: Քննարկվում են տեսությունը, գործնական օրինակները և ամենատարածված սխալները:
Անցում կոտորակային ցուցիչներով հզորություններից դեպի արմատներ
Ենթադրենք, ունենք թվանշան ունեցող սովորական կոտորակի տեսքով՝ a m n: Ինչպե՞ս գրել նման արտահայտությունը որպես արմատ:
Պատասխանը բխում է հենց աստիճանի սահմանումից:
Սահմանում
Դրական a թիվը m n հզորությանը a m թվի n արմատն է:
Այս դեպքում պետք է պահպանվի հետևյալ պայմանը.
a > 0; մ ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Զրոյի կոտորակային հզորությունը սահմանվում է նույն կերպ, բայց այս դեպքում m թիվը ընդունվում է ոչ թե որպես ամբողջ թիվ, այլ որպես բնական թիվ, որպեսզի բաժանում 0-ի տեղի չունենա.
0 մ n = 0 մ n = 0:
Ըստ սահմանման՝ a m n աստիճանը կարող է ներկայացվել որպես a m n արմատ:
Օրինակ՝ 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4:
Այնուամենայնիվ, ինչպես արդեն նշվեց, չպետք է մոռանալ պայմանների մասին. a > 0; մ ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Այսպիսով, - 8 1 3 արտահայտությունը չի կարող ներկայացվել - 8 1 3 ձևով, քանի որ նշումը - 8 1 3 պարզապես իմաստ չունի - բացասական թվերի աստիճանը սահմանված չէ: Ավելին, արմատն ինքնին - 8 1 3: իմաստ արտահայտել.
Հիմքի և կոտորակային ցուցիչների արտահայտություններով աստիճաններից անցումը կատարվում է նույն կերպ՝ աստիճանի հիմքում ընկած բնօրինակ արտահայտությունների թույլատրելի արժեքների ողջ տիրույթում (այսուհետ՝ VA):
Օրինակ, x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 արտահայտությունը կարելի է գրել որպես x 2 + 2 x + 1 - 4-ի քառակուսի արմատ: x 2 + x · y · z - z 3 հզորության արտահայտությունը: - 7 3-ը դառնում է x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 արտահայտությունը բոլոր x, y, z այս արտահայտության ODZ-ից:
Հնարավոր է նաև արմատների հակադարձ փոխարինում ուժերով, երբ արմատով արտահայտության փոխարեն գրվում են հզորությամբ արտահայտություններ։ Մենք պարզապես հակադարձում ենք նախորդ պարբերության հավասարությունը և ստանում.
Կրկին, դրական թվերի համար անցումը ակնհայտ է a. Օրինակ՝ 7 6 4 = 7 6 4, կամ 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3:
Բացասական a-ի համար արմատները իմաստ ունեն: Օրինակ՝ 4 2 6, - 2 3։ Սակայն անհնար է այդ արմատները ներկայացնել տերությունների տեսքով՝ 4 2 6 և - 2 1 3։
Հնարավո՞ր է նույնիսկ նման արտահայտությունները վերափոխել ուժերով։ Այո, եթե նախնական փոփոխություններ կատարեք։ Եկեք քննարկենք, թե որոնք են:
Օգտագործելով հզորությունների հատկությունները, կարող եք վերափոխել արտահայտությունը - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6:
Քանի որ 4 > 0, մենք կարող ենք գրել.
Բացասական թվի կենտ արմատի դեպքում կարող ենք գրել.
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1:
Այնուհետև - 2 3 արտահայտությունը կունենա ձև.
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Եկեք հիմա հասկանանք, թե ինչպես են արմատները, որոնց տակ պարունակվում են արտահայտությունները, փոխարինվում են հիմքում այս արտահայտությունները պարունակող հզորություններով:
Ա տառով նշենք որոշ արտահայտություն. Այնուամենայնիվ, մենք չենք շտապի A m n-ը ներկայացնել A m n ձևով: Եկեք բացատրենք, թե ինչ է նշանակում այստեղ: Օրինակ՝ x - 3 2 3 արտահայտությունը, ելնելով առաջին պարբերության հավասարությունից, ուզում եմ ներկայացնել x - 3 2 3 ձևով։ Նման փոխարինումը հնարավոր է միայն x - 3 ≥ 0-ի համար, իսկ ODZ-ից մնացած x-ի համար դա հարմար չէ, քանի որ բացասական a-ի համար m n = a m n բանաձևը իմաստ չունի:
Այսպիսով, դիտարկված օրինակում A m n = A m n ձևի փոխակերպումը փոխակերպում է, որը նեղացնում է ODZ-ը, և A m n = A m n բանաձևի ոչ ճշգրիտ կիրառման պատճառով հաճախ սխալներ են տեղի ունենում:
A m n արմատից A m n հզորությանը ճիշտ տեղափոխելու համար պետք է պահպանել մի քանի կետ.
- Եթե m թիվը ամբողջ և կենտ է, իսկ n-ը բնական և զույգ է, ապա A m n = A m n բանաձևը վավեր է փոփոխականների ողջ ODZ-ի համար։
- Եթե m-ն ամբողջ և կենտ թիվ է, իսկ n-ը բնական և կենտ, ապա A m n արտահայտությունը կարող է փոխարինվել.
- A m n փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնց համար A ≥ 0;
- on - - A m n փոփոխականների բոլոր արժեքների համար, որոնց համար Ա< 0 ; - Եթե m-ն ամբողջ և զույգ թիվ է, իսկ n-ը ցանկացած բնական թիվ, ապա A m n-ը կարող է փոխարինվել A m n-ով:
Եկեք ամփոփենք այս բոլոր կանոնները աղյուսակում և բերենք դրանց օգտագործման մի քանի օրինակ:
Վերադառնանք x - 3 2 3 արտահայտությանը։ Այստեղ m = 2-ը ամբողջ և զույգ թիվ է, իսկ n=3-ը բնական թիվ է: Սա նշանակում է, որ x - 3 2 3 արտահայտությունը ճիշտ կգրվի հետևյալ ձևով.
x - 3 2 3 = x - 3 2 3:
Բերենք արմատներով ու զորություններով մեկ այլ օրինակ.
Օրինակ. Արմատը ուժի վերածելը
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5, x > - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5
Եկեք հիմնավորենք աղյուսակում ներկայացված արդյունքները. Եթե m թիվը ամբողջ և կենտ է, իսկ n-ը բնական է և զույգ, A m n արտահայտության մեջ ODZ-ի բոլոր փոփոխականների համար A-ի արժեքը դրական է կամ ոչ բացասական (m> 0-ի համար): Ահա թե ինչու A m n = A m n .
Երկրորդ տարբերակում, երբ m-ն ամբողջ թիվ է, դրական և կենտ, իսկ n-ը բնական է և կենտ, A m n-ի արժեքներն առանձնացվում են: ODZ-ից այն փոփոխականների համար, որոնց համար A-ն ոչ բացասական է, A m n = A m n = A m n: Այն փոփոխականների համար, որոնց համար A-ն բացասական է, մենք ստանում ենք A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n :
Նմանապես դիտարկենք հետևյալ դեպքը, երբ m-ն ամբողջ և զույգ թիվ է, իսկ n-ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Եթե A-ի արժեքը դրական է կամ ոչ բացասական, ապա ODZ-ից փոփոխականների նման արժեքների համար m n = A m n = A m n: Բացասական A-ի համար մենք ստանում ենք A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n:
Այսպիսով, երրորդ դեպքում, ODZ-ի բոլոր փոփոխականների համար մենք կարող ենք գրել A m n = A m n:
Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter
