Թեորեմ կետի իմպուլսի փոփոխության մասին. Թեորեմ կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին

Թեորեմում քննարկվող համակարգը կարող է լինել ցանկացած մարմիններից բաղկացած ցանկացած մեխանիկական համակարգ։

Թեորեմի հայտարարություն

Մեխանիկական համակարգի շարժման (իմպուլսի) մեծությունը մեծություն է, որը հավասար է համակարգում ընդգրկված բոլոր մարմինների շարժման (իմպուլսների) մեծությունների գումարին։ Համակարգի մարմինների վրա գործող արտաքին ուժերի իմպուլսը համակարգի մարմինների վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարն է։

( կգ մ/վ)

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմն ասում է

Համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է նույն ժամանակահատվածում համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի ազդակին:

Համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը

Եթե ​​համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը զրոյական է, ապա համակարգի շարժման (իմպուլս) մեծությունը հաստատուն մեծություն է։

, մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը դիֆերենցիալ ձևով:

Ստացված հավասարության երկու կողմերն էլ միացնելով կամայականորեն որոշ ժամանակի ընթացքում որոշ և, Մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը ինտեգրալ ձևով.

Իմպուլսի պահպանման օրենքը (Իմպուլսի պահպանման օրենքը) նշում է, որ համակարգի բոլոր մարմինների իմպուլսների վեկտորային գումարը հաստատուն արժեք է, եթե համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերի վեկտորային գումարը հավասար է զրոյի։

(իմպուլսի մոմենտը m 2 kg s −1)

Կենտրոնի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի փոփոխության թեորեմ

Նյութական կետի իմպուլսի պահի (կինետիկ մոմենտի) ժամանակային ածանցյալը ցանկացած ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի մոմենտին:

դկ 0 /dt = Մ 0 (Ֆ ) .

Թեորեմ առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին

Ցանկացած ֆիքսված առանցքի նկատմամբ նյութական կետի իմպուլսի (կինետիկ մոմենտի) պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ այս կետի վրա ազդող ուժի պահին:

դկ x /dt = Մ x (Ֆ ); դկ y /dt = Մ y (Ֆ ); դկ զ /dt = Մ զ (Ֆ ) .

Հաշվի առեք նյութական կետ Մ զանգվածային մ , շարժվելով ուժի ազդեցության տակ Ֆ (Նկար 3.1): Գրենք և կառուցենք անկյունային իմպուլսի վեկտորը (կինետիկ իմպուլս) Մ 0 նյութական կետ կենտրոնի նկատմամբ Օ :

Եկեք տարբերակենք անկյունային իմպուլսի արտահայտությունը (կինետիկ պահ կ 0) ըստ ժամանակի՝

Որովհետեւ դոկտ /dt = Վ , ապա վեկտորի արտադրյալը Վ ⊗ մ ⋅ Վ (գոյական վեկտորներ Վ Եվ մ ⋅ Վ ) հավասար է զրոյի։ Միևնույն ժամանակ դ (մ ⋅ V) /dt = F ըստ նյութական կետի իմպուլսի թեորեմի։ Հետևաբար մենք ստանում ենք դա

դկ 0 /dt = r ⊗Ֆ , (3.3)

Որտեղ r ⊗Ֆ = Մ 0 (Ֆ ) – վեկտոր-ուժի պահ Ֆ ֆիքսված կենտրոնի համեմատ Օ . Վեկտոր կ 0 ⊥ ինքնաթիռ ( r , մ ⊗Վ ), և վեկտորը Մ 0 (Ֆ ) ⊥ ինքնաթիռ ( r ,Ֆ ), վերջապես ունենք

դկ 0 /dt = Մ 0 (Ֆ ) . (3.4)

Բանաձևը (3.4) արտահայտում է նյութական կետի անկյունային իմպուլսի (անկյունային իմպուլսի) փոփոխության թեորեմը կենտրոնի նկատմամբ. Նյութական կետի իմպուլսի պահի (կինետիկ մոմենտի) ժամանակային ածանցյալը ցանկացած ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի մոմենտին:

Նախագծելով հավասարությունը (3.4) դեկարտյան կոորդինատների առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

դկ x /dt = Մ x (Ֆ ); դկ y /dt = Մ y (Ֆ ); դկ զ /dt = Մ զ (Ֆ ) . (3.5)

Հավասարումներն (3.5) արտահայտում են նյութական կետի անկյունային իմպուլսի (կինետիկ իմպուլսի) փոփոխության թեորեմն առանցքի նկատմամբ. Ցանկացած ֆիքսված առանցքի նկատմամբ նյութական կետի իմպուլսի (կինետիկ մոմենտի) պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ այս կետի վրա ազդող ուժի պահին:

Դիտարկենք (3.4) և (3.5) թեորեմներից բխող հետևանքները:

Եզրակացություն 1.Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ուժը Ֆ ամբողջ շարժման ընթացքում կետն անցնում է անշարժ կենտրոնով Օ (կենտրոնական ուժի դեպք), այսինքն. Երբ Մ 0 (Ֆ ) = 0. Ապա թեորեմից (3.4) հետևում է, որ կ 0 = հաստատ ,

դրանք. Կենտրոնական ուժի դեպքում նյութական կետի անկյունային իմպուլսը (կինետիկ մոմենտը) այս ուժի կենտրոնի նկատմամբ մնում է անփոփոխ մեծությամբ և ուղղությամբ (Նկար 3.2):

Նկար 3.2

Պայմանից կ 0 = հաստատ դրանից բխում է, որ շարժվող կետի հետագիծը հարթ կոր է, որի հարթությունն անցնում է այս ուժի կենտրոնով։

Եզրակացություն 2.Թող Մ զ (Ֆ ) = 0, այսինքն. ուժը հատում է առանցքը զ կամ դրան զուգահեռ: Այս դեպքում, ինչպես երևում է հավասարումների երրորդից (3.5), կ զ = հաստատ ,

դրանք. եթե որևէ ֆիքսված առանցքի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի պահը միշտ զրո է, ապա այս առանցքի նկատմամբ կետի անկյունային իմպուլսը (կինետիկ մոմենտը) մնում է հաստատուն։

Իմպուլսի փոփոխության թեորեմի ապացույց

Թող համակարգը կազմված լինի զանգվածներով և արագացումներով նյութական կետերից: Մենք համակարգի մարմինների վրա գործող բոլոր ուժերը բաժանում ենք երկու տեսակի.

Արտաքին ուժերը ուժեր են, որոնք գործում են դիտարկվող համակարգում չընդգրկված մարմիններից: Նյութական կետի վրա գործող արտաքին ուժերի արդյունքը թվով եսնշենք

Ներքին ուժերն այն ուժերն են, որոնց հետ բուն համակարգի մարմինները փոխազդում են միմյանց հետ: Այն ուժը, որով թվով կետի վրա եսհամարով կետը վավեր է կ, կնշենք , իսկ ազդեցության ուժը եսրդ կետը կրդ կետ - . Ակնհայտ է, երբ, ապա

Օգտագործելով ներկայացված նշումը, մենք գրում ենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքը քննարկվող նյութական կետերից յուրաքանչյուրի համար ձևով.

Հաշվի առնելով դա և ամփոփելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքի բոլոր հավասարումները՝ ստանում ենք.

Արտահայտությունը ներկայացնում է համակարգում գործող բոլոր ներքին ուժերի գումարը: Համաձայն Նյուտոնի երրորդ օրենքի՝ այս գումարում յուրաքանչյուր ուժ համապատասխանում է այնպիսի ուժի, որը, հետևաբար, պահպանվում է. Քանի որ ամբողջ գումարը բաղկացած է նման զույգերից, գումարն ինքնին զրո է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել

Օգտագործելով համակարգի իմպուլսի նշումը, մենք ստանում ենք

Հաշվի առնելով արտաքին ուժերի իմպուլսի փոփոխությունը , մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը դիֆերենցիալ ձևով.

Այսպիսով, ստացված վերջին հավասարումներից յուրաքանչյուրը թույլ է տալիս ասել. համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը տեղի է ունենում միայն արտաքին ուժերի գործողության արդյունքում, և ներքին ուժերը չեն կարող որևէ ազդեցություն ունենալ այս արժեքի վրա:

Ստացված հավասարության երկու կողմերն էլ ինտեգրելով որոշ և ի միջև կամայականորեն վերցված ժամանակային միջակայքում, մենք ստանում ենք համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի արտահայտությունը ինտեգրալ ձևով.

որտեղ և են համակարգի շարժման քանակի արժեքները ժամանակի պահերին և, համապատասխանաբար, արտաքին ուժերի իմպուլսն է որոշակի ժամանակահատվածում: Նախկինում ասվածի և ներկայացված նշումների համաձայն.

Քանի որ կետի զանգվածը հաստատուն է, և դրա արագացումը, դինամիկայի հիմնական օրենքը արտահայտող հավասարումը (2) կարող է ներկայացվել ձևով.

Հավասարումը (32) միաժամանակ արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. կետի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժերի գումարին։

Թող շարժվող կետն ունենա արագություն ժամանակի պահին և արագություն՝ այնուհետև հավասարության երկու կողմերը (32) բազմապատկենք և դրանցից վերցնենք որոշակի ինտեգրալներ։ Այս դեպքում, աջ կողմում, որտեղ ինտեգրումը տեղի է ունենում ժամանակի ընթացքում, կլինեն ինտեգրալի սահմանները, իսկ ձախ կողմում, որտեղ արագությունը ինտեգրված է, ինտեգրալի սահմանները կլինեն համապատասխան արագության արժեքները:

Քանի որ-ի ինտեգրալը հավասար է, արդյունքը հետևյալն է

Աջ կողմի ինտեգրալները, ինչպես հետևում է բանաձևից (30), ներկայացնում են գործող ուժերի ազդակները։ Հետևաբար, վերջապես կլինի

Բանաձևը (33) արտահայտում է վերջնական ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. որոշակի ժամանակահատվածում կետի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է կետի վրա ազդող բոլոր ուժերի իմպուլսների գումարին։ նույն ժամանակահատվածում:

Խնդիրներ լուծելիս վեկտորային հավասարման (33) փոխարեն հաճախ օգտագործվում են կանխատեսումների հավասարումներ։ Հավասարության երկու կողմերը (33) նախագծելով կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Առանցքի երկայնքով տեղի ունեցող ուղղագիծ շարժման դեպքում թեորեմն արտահայտվում է այս հավասարումներից առաջինով։

Խնդրի լուծում. (33) կամ (34) հավասարումները թույլ են տալիս, իմանալով, թե ինչպես է փոխվում կետի արագությունը, երբ կետը շարժվում է, որոշել գործող ուժերի իմպուլսը (դինամիկայի առաջին խնդիրը) կամ, իմանալով գործող ուժերի իմպուլսները, որոշել. ինչպես է փոխվում կետի արագությունը շարժվելիս (դինամիկայի երկրորդ խնդիրը): Երկրորդ խնդիրը լուծելիս, երբ ուժերը տրվում են, անհրաժեշտ է հաշվարկել դրանց իմպուլսները:Ինչպես երևում է (30) կամ (31) հավասարություններից, դա կարելի է անել միայն այն դեպքում, երբ ուժերը հաստատուն են կամ կախված են միայն ժամանակից:

Այսպիսով, (33), (34) հավասարումները կարող են ուղղակիորեն օգտագործվել դինամիկայի երկրորդ խնդիրը լուծելու համար, երբ խնդրի տվյալները և պահանջվող մեծությունները ներառում են՝ գործող ուժերը, կետի շարժման ժամանակը և դրա սկզբնական և վերջնական արագությունները (այսինքն. մեծություններ), իսկ ուժերը պետք է լինեն հաստատուն կամ կախված միայն ժամանակից:

Խնդիր 95. Կգ զանգված ունեցող կետը շրջանով շարժվում է թվային հաստատուն արագությամբ Որոշե՛ք կետի վրա ազդող ուժի իմպուլսը այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում կետն անցնում է շրջանագծի քառորդ մասը։

Լուծում. Իմպուլսի փոփոխության թեորեմի համաձայն՝ երկրաչափորեն կառուցելով շարժման այս մեծությունների տարբերությունը (նկ. 222), ստացված ուղղանկյուն եռանկյունից գտնում ենք.

Բայց, ըստ խնդրի պայմանների, հետևաբար.

Վերլուծական հաշվարկի համար, օգտագործելով (34) հավասարումների առաջին երկուսը, կարող ենք գտնել

Խնդիր 96. Բեռին, որն ունի զանգված և գտնվում է հորիզոնական հարթության վրա, տրվում է (հրումով) սկզբնական արագություն, բեռի հետագա շարժումը դանդաղեցնում է հաստատուն F ուժը։ Որոշեք, թե որքան ժամանակ կպահանջվի բեռի համար։ կանգնել,

Լուծում. Ըստ խնդրի տվյալների՝ պարզ է, որ շարժման ժամանակը որոշելու համար կարելի է օգտագործել ապացուցված թեորեմը։ Մենք պատկերում ենք բեռը կամայական դիրքում (նկ. 223): Դրա վրա գործում է P ծանրության ուժը, N հարթության ռեակցիան և արգելակման ուժը F: Ուղղելով առանցքը շարժման ուղղությամբ՝ մենք կազմում ենք առաջին հավասարումները (34):

Այս դեպքում արագությունը կանգառի պահին), ա. Ուժերից միայն F ուժն է տալիս պրոյեկցիան առանցքի վրա: Քանի որ այն հաստատուն է, որտեղ է արգելակման ժամանակը: Այս բոլոր տվյալները փոխարինելով (ա) հավասարման մեջ՝ ստանում ենք պահանջվող ժամանակը

Ուժի ազդեցության տակ նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը Ֆկարող է ներկայացվել հետևյալ վեկտորային ձևով.

Քանի որ կետի զանգվածը մընդունվում է որպես հաստատուն, ապա այն կարող է մուտքագրվել ածանցյալ նշանի տակ։ Հետո

Բանաձև (1) արտահայտում է դիֆերենցիալ ձևով կետի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը. Առաջին ածանցյալը կետի իմպուլսի ժամանակի նկատմամբ հավասար է կետի վրա ազդող ուժին.

Կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում (1) կարող է ներկայացվել որպես

Եթե ​​երկու կողմերը (1) բազմապատկվեն dt, ապա ստանում ենք նույն թեորեմի մեկ այլ ձև՝ իմպուլսի թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով.

դրանք. կետի իմպուլսի դիֆերենցիալը հավասար է կետի վրա ազդող ուժի տարրական իմպուլսին։

Նախագծելով (2)-ի երկու մասերը կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք

Ինտեգրելով (2)-ի երկու մասերը զրոյից t (նկ. 1), ունենք

որտեղ է տվյալ պահին կետի արագությունը տ; - արագություն տ = 0;

Ս- ժամանակի ընթացքում ուժի իմպուլս տ.

(3) ձևով արտահայտությունը հաճախ անվանում են իմպուլսի թեորեմ վերջավոր (կամ ինտեգրալ) ձևով. կետի իմպուլսի փոփոխությունը ցանկացած ժամանակահատվածում հավասար է ուժի իմպուլսին նույն ժամանակահատվածում:

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումների ժամանակ այս թեորեմը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.

Նյութական կետի համար ցանկացած ձևի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը ըստ էության չի տարբերվում կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներից։

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմ

Համակարգի շարժման մեծությունը կկոչվի վեկտորային մեծություն Ք, հավասար է համակարգի բոլոր կետերի շարժման մեծությունների երկրաչափական գումարին (հիմնական վեկտորին):

Դիտարկենք մի համակարգ, որը բաղկացած է n նյութական միավորներ. Եկեք այս համակարգի համար կազմենք շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ և դրանք գումարենք տերմին առ անդամ: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

Վերջին գումարը, պայմանավորված ներքին ուժերի հատկությամբ, հավասար է զրոյի։ Բացի այդ,

Վերջապես մենք գտնում ենք.

Բանաձևը (4) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով. համակարգի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի երկրաչափական գումարին։

Գտնենք թեորեմի մեկ այլ արտահայտություն. Թող պահը տ= 0 համակարգի շարժման ծավալն է Q 0, և ժամանակի պահին t 1դառնում է հավասար Q 1.Այնուհետև հավասարության երկու կողմերը (4) բազմապատկելով dtև ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.

Կամ որտեղ:

(S- ուժի իմպուլս)

քանի որ աջ կողմի ինտեգրալները արտաքին ուժերի ազդակներ են տալիս,

հավասարումը (5) արտահայտում է համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմն ինտեգրալ ձևով. որոշակի ժամանակահատվածում համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նույն ժամանակահատվածում համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի իմպուլսների գումարին:

Կոորդինատային առանցքների վրա կանխատեսումներում կունենանք.

Իմպուլսի պահպանման օրենքը

Համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմից կարելի է ստանալ հետևյալ կարևոր հետևությունները.

1. Համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը հավասար լինի զրոյի.

Այնուհետև (4) հավասարումից հետևում է, որ այս դեպքում Q = Const.

Այսպիսով, եթե համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի գումարը հավասար է զրոյի, ապա համակարգի իմպուլսի վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ հաստատուն կլինի:

2. 01 Թող համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժերը լինեն այնպիսին, որ դրանց ելքերի գումարը ինչ-որ առանցքի վրա (օրինակ՝ Ox) հավասար լինի զրոյի.

Այնուհետեւ (4`) հավասարումներից հետեւում է, որ այս դեպքում Q = Const.

Այսպիսով, եթե որևէ առանցքի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի կանխատեսումների գումարը հավասար է զրոյի, ապա այս առանցքի վրա համակարգի շարժման քանակի պրոյեկցիան հաստատուն արժեք է:

Այս արդյունքներն արտահայտում են համակարգի իմպուլսի պահպանման օրենքը։Դրանցից հետևում է, որ ներքին ուժերը չեն կարող փոխել համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

· Գլանափաթեթի վերադարձի մասին ֆենոմեն. Եթե ​​հրացանն ու փամփուշտը դիտարկենք որպես մեկ համակարգ, ապա կրակոցի ժամանակ փոշու գազերի ճնշումը կլինի ներքին ուժ։ Այս ուժը չի կարող փոխել համակարգի ընդհանուր թափը: Բայց քանի որ փոշու գազերը, ազդելով փամփուշտի վրա, հաղորդում են նրան որոշակի քանակությամբ առաջ ուղղված շարժում, նրանք պետք է միաժամանակ հրացանին փոխանցեն նույն շարժումը հակառակ ուղղությամբ: Սա կհանգեցնի հրացանի շարժմանը դեպի ետ, այսինքն. այսպես կոչված վերադարձը։ Նմանատիպ երեւույթ տեղի է ունենում ատրճանակով կրակելիս (հետադարձ):

· Պտուտակի (պտուտակի) շահագործում. Պտուտակն օդի (կամ ջրի) որոշակի զանգվածի շարժում է հաղորդում պտուտակի առանցքի երկայնքով՝ հետ շպրտելով այս զանգվածը։ Եթե ​​նետված զանգվածը և օդանավը (կամ նավը) դիտարկենք որպես մեկ համակարգ, ապա շարժիչի և շրջակա միջավայրի փոխազդեցության ուժերը, որպես ներքին, չեն կարող փոխել այս համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը։ Հետևաբար, երբ օդի (ջրի) զանգվածը հետ է շպրտվում, օդանավը (կամ նավը) ստանում է համապատասխան առաջընթաց արագություն, որպեսզի դիտարկվող համակարգի շարժման ընդհանուր ծավալը մնա հավասար զրոյի, քանի որ այն զրոյական էր մինչև շարժման սկիզբը։ .

Նմանատիպ ազդեցություն է ձեռք բերվում թիակների կամ թիավարման անիվների գործողությամբ:

· R e c t i v e Շարժում Հրթիռում (հրթիռ) վառելիքի այրման գազային արգասիքները մեծ արագությամբ դուրս են մղվում հրթիռի պոչի անցքից (ռեակտիվ շարժիչի վարդակից): Ճնշման ուժերը, որոնք գործում են այս դեպքում, կլինեն ներքին ուժեր, և դրանք չեն կարող փոխել հրթիռ-փոշի գազային համակարգի ընդհանուր թափը։ Բայց քանի որ արտահոսող գազերն ունեն որոշակի քանակությամբ շարժում՝ ուղղված դեպի ետ, հրթիռը ստանում է համապատասխան առաջընթաց արագություն։

Առանցքի շուրջ պահերի թեորեմ.

Դիտարկենք զանգվածի նյութական կետը մ, շարժվելով ուժի ազդեցության տակ Ֆ. Եկեք դրա համար գտնենք փոխհարաբերությունները վեկտորների պահի միջև mVԵվ Ֆորոշ ֆիքսված Z առանցքի համեմատ:

m z (F) = xF - yF (7)

Նմանապես արժեքի համար m(mV), եթե հանվում է մփակագծերից դուրս կլինի

մ z (mV) = m (xV - yV)(7`)

Այս հավասարության երկու կողմերից էլ վերցնելով ժամանակի նկատմամբ ածանցյալները՝ գտնում ենք

Ստացված արտահայտության աջ կողմում առաջին փակագիծը հավասար է 0-ի, քանի որ dx/dt=V և dу/dt = V, երկրորդ փակագիծն ըստ (7) բանաձևի հավասար է

mz(F), քանի որ դինամիկայի հիմնական օրենքի համաձայն.

Վերջապես մենք կունենանք (8)

Ստացված հավասարումն արտահայտում է առանցքի շուրջ պահերի թեորեմը. Ցանկացած առանցքի նկատմամբ կետի իմպուլսի պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ գործող ուժի մոմենտին:Նմանատիպ թեորեմ է գործում ցանկացած O կենտրոնի վերաբերյալ պահերի համար:

Բաղկացած է nնյութական միավորներ. Եկեք այս համակարգից ընտրենք որոշակի կետ Մջզանգվածով մ ժ. Ինչպես հայտնի է, այս կետում գործում են արտաքին և ներքին ուժեր։

Եկեք կիրառենք այն կետին Մջբոլոր ներքին ուժերի արդյունք F j iև բոլոր արտաքին ուժերի արդյունքը Ֆ ժ ե(Նկար 2.2): Ընտրված նյութական կետի համար Մջ(ինչ վերաբերում է ազատ կետին) մենք գրում ենք իմպուլսի փոփոխության թեորեմը դիֆերենցիալ ձևով (2.3).

Եկեք գրենք նմանատիպ հավասարումներ մեխանիկական համակարգի բոլոր կետերի համար (j=1,2,3,…,n).

Նկար 2.2

Եկեք այդ ամենը մաս առ մաս ավելացնենք nհավասարումներ:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Այստեղ ∑m j ×V j =Q- մեխանիկական համակարգի շարժման չափը.
∑F j e = R e- մեխանիկական համակարգի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը.
∑F j i = R i =0– համակարգի ներքին ուժերի հիմնական վեկտորը (ըստ ներքին ուժերի հատկության՝ այն հավասար է զրոյի):

Վերջապես, մեխանիկական համակարգի համար մենք ստանում ենք

dQ/dt = R e. (2.11)

Արտահայտությունը (2.11) թեորեմ է դիֆերենցիալ ձևով մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության մասին (վեկտորային արտահայտությամբ). Մեխանիկական համակարգի իմպուլսի վեկտորի ժամանակային ածանցյալը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորին..

Վեկտորային հավասարությունը (2.11) նախագծելով դեկարտյան կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք արտահայտություններ մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի համար կոորդինատային (սկալյար) արտահայտությամբ.

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

դրանք. Ցանկացած առանցքի վրա մեխանիկական համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիայի ժամանակային ածանցյալը հավասար է այս մեխանիկական համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի այս առանցքի վրա պրոյեկցիային:.

Հավասարության երկու կողմերը (2.12) բազմապատկելով dt, թեորեմը ստանում ենք մեկ այլ դիֆերենցիալ ձևով.

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

դրանք. Մեխանիկական համակարգի դիֆերենցիալ իմպուլսը հավասար է համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի (տարրական իմպուլսների գումարին) տարրական իմպուլսին..

Հավասարության ինտեգրում (2.13) 0-ից մինչև ժամանակային փոփոխության ընթացքում տ, մենք ստանում ենք թեորեմ մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխության մասին վերջնական (ինտեգրալ) ձևով (վեկտորային արտահայտությամբ).

Q - Q 0 = S e,

դրանք. մեխանիկական համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է հիմնական վեկտորի (ընդհանուր իմպուլսների գումարին) ընդհանուր իմպուլսի հետ, որոնք գործում են համակարգի վրա նույն ժամանակահատվածում։.

Նախագծելով վեկտորային հավասարությունը (2.14) դեկարտյան կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք թեորեմի արտահայտություններ պրոյեկցիաներում (սկալյար արտահայտությամբ).

դրանք. մեխանիկական համակարգի իմպուլսի պրոյեկցիայի փոփոխությունը ցանկացած առանցքի վրա որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է բոլոր արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորի (ընդհանուր իմպուլսների գումարի) ընդհանուր իմպուլսի նույն առանցքի վրա պրոյեկցիայի հետ։ նույն ժամանակահատվածում գործող մեխանիկական համակարգի վրա.

Դիտարկված թեորեմից (2.11) – (2.15) բխում են հետևյալ հետևությունները.

1. Եթե R e = ∑F j e = 0, Դա Q = Const- ունենք մեխանիկական համակարգի իմպուլսի վեկտորի պահպանման օրենքը. եթե հիմնական վեկտորը Ռ եմեխանիկական համակարգի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերի հավասար է զրոյի, ապա այս համակարգի իմպուլսի վեկտորը մնում է անփոփոխ մեծությամբ և ուղղությամբ և հավասար է իր սկզբնական արժեքին: Q 0, այսինքն. Q = Q 0.
2. Եթե R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Դա Q x = կոնստ- ունենք մեխանիկական համակարգի իմպուլսի առանցքի վրա պրոյեկցիայի պահպանման օրենքը. եթե մեխանիկական համակարգի վրա ազդող բոլոր ուժերի հիմնական վեկտորի պրոյեկցիան որևէ առանցքի վրա զրո է, ապա պրոյեկցիան նույն առանցքի վրա Այս համակարգի իմպուլսի վեկտորը կլինի հաստատուն արժեք և հավասար է իմպուլսի այս առանցքի վրա նախագծմանը, այսինքն. Q x = Q 0x.

Նյութական համակարգի իմպուլսի փոփոխության թեորեմի դիֆերենցիալ ձևը կարևոր և հետաքրքիր կիրառություններ ունի շարունակական մեխանիկայի մեջ։ (2.11)-ից մենք կարող ենք ստանալ Էյլերի թեորեմը:

Թող նյութական կետը շարժվի ուժի ազդեցության տակ Ֆ. Պահանջվում է որոշել այս կետի շարժումը շարժվող համակարգի նկատմամբ Օքսիզ(տես նյութական կետի բարդ շարժում), որը հայտնի կերպով շարժվում է անշարժ համակարգի նկատմամբ Օ 1 x 1 y 1 զ 1 .

Դինամիկայի հիմնական հավասարումը ստացիոնար համակարգում

Եկեք գրենք կետի բացարձակ արագացումը՝ օգտագործելով Կորիոլի թեորեմը

Որտեղ ա abs- բացարձակ արագացում;

ա rel- հարաբերական արագացում;

ա գոտի- շարժական արագացում;

ա միջուկը– Coriolis արագացում.

Եկեք վերաշարադրենք (25)՝ հաշվի առնելով (26)

Ներկայացնենք նշումը
- շարժական իներցիայի ուժ,
- Coriolis իներցիոն ուժ. Այնուհետև (27) հավասարումը ձև է ստանում

Հարաբերական շարժումն ուսումնասիրելու դինամիկայի հիմնական հավասարումը (28) գրված է այնպես, ինչպես բացարձակ շարժման դեպքում, կետի վրա գործող ուժերին պետք է գումարել միայն իներցիայի փոխանցման և Կորիոլսի ուժերը։

Ընդհանուր թեորեմներ նյութական կետի դինամիկայի վերաբերյալ

Բազմաթիվ խնդիրներ լուծելիս կարող եք օգտագործել Նյուտոնի երկրորդ օրենքի հիման վրա ստացված նախապես պատրաստված բլանկները: Խնդիրների լուծման նման մեթոդները համակցված են այս բաժնում:

Թեորեմ նյութական կետի իմպուլսի փոփոխության մասին

Ներկայացնենք հետևյալ դինամիկ բնութագրերը.

1. Նյութական կետի թափը– վեկտորային մեծություն, որը հավասար է կետի զանգվածի և դրա արագության վեկտորի արտադրյալին

. (29)

2. Ուժային իմպուլս

Ուժի տարրական ազդակ– վեկտորային մեծություն, որը հավասար է ուժի վեկտորի արտադրյալին և տարրական ժամանակային միջակայքին

(30).

Հետո ամբողջական իմպուլս

. (31)

ժամը Ֆ=const մենք ստանում ենք Ս=Ft.

Վերջնական ժամանակահատվածի ընդհանուր իմպուլսը կարող է հաշվարկվել միայն երկու դեպքում, երբ կետի վրա ազդող ուժը հաստատուն է կամ կախված է ժամանակից։ Մնացած դեպքերում անհրաժեշտ է ուժն արտահայտել որպես ժամանակի ֆունկցիա։

Իմպուլսի (29) և իմպուլսի (30) չափերի հավասարությունը թույլ է տալիս դրանց միջև քանակական կապ հաստատել։

Դիտարկենք M նյութական կետի շարժումը կամայական ուժի ազդեցությամբ Ֆկամայական հետագծի երկայնքով:

ՄԱՍԻՆ UD:
. (32)

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները (32) և ինտեգրում

. (33)

Արդյունքում, հաշվի առնելով (31), մենք ստանում ենք

. (34)

Բանաձեւը (34) արտահայտում է հետեւյալ թեորեմը.

Թեորեմ: Որոշակի ժամանակահատվածում նյութական կետի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է տվյալ կետի վրա ազդող ուժի իմպուլսին նույն ժամանակային միջակայքում:

Խնդիրները լուծելիս (34) հավասարումը պետք է նախագծված լինի կոորդինատային առանցքների վրա

Այս թեորեմը հարմար է օգտագործել, երբ տրված և անհայտ մեծությունների մեջ կան կետի զանգվածը, նրա սկզբնական և վերջնական արագությունը, ուժերը և շարժման ժամանակը։

Թեորեմ նյութական կետի անկյունային իմպուլսի փոփոխության մասին

Մ
նյութական կետի իմպուլսի պահըկենտրոնի նկատմամբ հավասար է կետի և ուսի իմպուլսի մոդուլի արտադրյալին, այսինքն. ամենակարճ հեռավորությունը (ուղղահայաց) կենտրոնից մինչև արագության վեկտորի հետ համընկնող գիծը

, (36)

. (37)

Ուժի մոմենտի (պատճառի) և իմպուլսի (հետևանքի) մոմենտի հարաբերությունը հաստատվում է հետևյալ թեորեմով.

Թող տրված զանգվածի M կետը մշարժվում է ուժի ազդեցության տակ Ֆ.

,
,

, (38)

. (39)

Եկեք հաշվարկենք (39) ածանցյալը.

. (40)

Միավորելով (40) և (38)՝ մենք վերջապես ստանում ենք

. (41)

Բանաձևը (41) արտահայտում է հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ: Ինչ-որ կենտրոնի նկատմամբ նյութական կետի անկյունային իմպուլսի վեկտորի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ կետի վրա ազդող ուժի պահին:

Խնդիրները լուծելիս (41) հավասարումը պետք է նախագծված լինի կոորդինատային առանցքների վրա

Հավասարումներում (42) իմպուլսի և ուժի մոմենտները հաշվարկվում են կոորդինատային առանցքների համեմատ:

(41)-ից հետևում է անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը (Կեպլերի օրենք).

Եթե ​​որևէ կենտրոնի նկատմամբ նյութական կետի վրա ազդող ուժի պահը զրո է, ապա այս կենտրոնի նկատմամբ կետի անկյունային իմպուլսը պահպանում է իր մեծությունն ու ուղղությունը։

Եթե
, Դա
.

Թեորեմը և պահպանման օրենքը օգտագործվում են կորագիծ շարժման հետ կապված խնդիրներում, հատկապես կենտրոնական ուժերի ազդեցության տակ։