Բեռի զանգվածի կենտրոնի շարժման արագացման որոշում. Նյուտոնի երրորդ օրենքը

«Կվանտ» ամսագրի խմբագրական խորհրդի և խմբագիրների հետ հատուկ պայմանավորվածություն.

Մեխանիկական խնդիրներ լուծելիս նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոն հասկացության օգտագործումը կարող է անգնահատելի օգնություն ցուցաբերել։ Որոշ խնդիրներ պարզապես չեն կարող լուծվել առանց այս հայեցակարգին դիմելու, մյուսների լուծումը դրա օգնությամբ կարող է դառնալ շատ ավելի պարզ և պարզ:

Նախքան կոնկրետ խնդիրներ քննարկելը, եկեք հիշենք զանգվածի կենտրոնի հիմնական հատկությունները և դրանք օրինակներով բացատրենք:

Նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնը (իներցիայի կենտրոնը) կետ է, որը բնութագրում է զանգվածների բաշխումը համակարգում, որի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.

Այստեղ m i- համակարգը կազմող նյութական կետերի զանգվածները, x i, y i, z i- այս կետերի կոորդինատները: Շառավիղի վեկտորի հայեցակարգին ծանոթ ընթերցողները կնախընտրեն վեկտորային նշումը.

(1)

Օրինակ 1. Եկեք գտնենք զանգվածի կենտրոնի դիրքը, ամենապարզ համակարգը, որը բաղկացած է երկու կետերից, որոնց զանգվածները մ 1 և մ 2 և նրանց միջև եղած հեռավորությունը լ(նկ. 1):

Ուղղորդելով առանցքը Xառաջին կետից երկրորդը մենք գտնում ենք, որ առաջին կետից մինչև զանգվածի կենտրոն հեռավորությունը (այսինքն՝ զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը) հավասար է, իսկ զանգվածի կենտրոնից մինչև երկրորդ կետ հեռավորությունը հավասար է. դեպի, այսինքն. հեռավորությունների հարաբերակցությունը հակադարձ է զանգվածների հարաբերակցությանը: Սա նշանակում է, որ այս դեպքում զանգվածի կենտրոնի դիրքը համընկնում է ծանրության կենտրոնի հետ։

Եկեք քննարկենք զանգվածի կենտրոնի որոշ հատկություններ, որոնք, մեզ թվում է, կլրացնեն այս հայեցակարգի վերը տրված որոշակիորեն պաշտոնական սահմանումը ֆիզիկական բովանդակությամբ:

1) Զանգվածի կենտրոնի դիրքը չի փոխվի, եթե համակարգի որոշ հատված փոխարինվի մեկ կետով այս ենթահամակարգի զանգվածին հավասար զանգվածով և գտնվում է նրա զանգվածի կենտրոնում։

Օրինակ 2. Դիտարկենք հարթ միատարր եռանկյունին և գտնենք նրա զանգվածի կենտրոնի դիրքը։ Եռանկյունը բարակ շերտերի բաժանեք կողմերից մեկին զուգահեռ և յուրաքանչյուր շերտը փոխարինեք իր մեջտեղում գտնվող կետով: Քանի որ բոլոր այդպիսի կետերը գտնվում են եռանկյան միջնագծի վրա, զանգվածի կենտրոնը նույնպես պետք է ընկած լինի միջինի վրա: Կրկնելով պատճառաբանությունը յուրաքանչյուր կողմի համար, մենք գտնում ենք, որ զանգվածի կենտրոնը գտնվում է միջնամասերի հատման կետում:

2) Զանգվածի կենտրոնի արագությունը կարելի է գտնել՝ հաշվի առնելով հավասարության երկու կողմերի ժամանակի ածանցյալը (1).

(2)

Որտեղ - համակարգի իմպուլսը, մ- համակարգի ընդհանուր զանգվածը. Երևում է, որ փակ համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագությունը հաստատուն է։ Սա նշանակում է, որ եթե թարգմանաբար շարժվող հղման շրջանակը կապենք զանգվածի կենտրոնի հետ, ապա այն կլինի իներցիոն:

Օրինակ 3. Եկեք տեղադրենք միատարր երկարությամբ ձող լուղղահայաց հարթ հարթության վրա (նկ. 2) և բաց թողեք: Անկման ժամանակ նրա իմպուլսի և՛ հորիզոնական բաղադրիչը, և՛ զանգվածի կենտրոնի արագության հորիզոնական բաղադրիչը կմնան հավասար զրոյի։ Հետևաբար, ընկնելու պահին ձողի կենտրոնը կլինի այն տեղում, որտեղ սկզբում կանգնած է եղել ձողը, իսկ ձողի ծայրերը հորիզոնականորեն կտեղափոխվեն .

3) զանգվածի կենտրոնի արագացումը ժամանակի նկատմամբ հավասար է դրա արագության ածանցյալին.

(3)

որտեղ հավասարության աջ կողմում կան միայն արտաքին ուժեր, քանի որ բոլոր ներքին ուժերը ջնջվում են Նյուտոնի երրորդ օրենքի համաձայն: Մենք գտնում ենք, որ զանգվածի կենտրոնը շարժվում է որպես երևակայական կետ, որի զանգվածը հավասար է համակարգի զանգվածին, որը կշարժվի առաջացած արտաքին ուժի ազդեցության ներքո: Սա, հավանաբար, զանգվածի կենտրոնի ամենաֆիզիկական հատկությունն է:

Օրինակ 4. Եթե ​​գցեք փայտը, որի պատճառով այն պտտվում է, ապա փայտի զանգվածի կենտրոնը (նրա մեջտեղը) կշարժվի մշտական ​​արագացումով պարաբոլայի երկայնքով (նկ. 3):

4) Թող կետերի համակարգը լինի միասնական գրավիտացիոն դաշտում: Այնուհետև զանգվածի կենտրոնով անցնող ցանկացած առանցքի նկատմամբ ծանրության ընդհանուր պահը հավասար է զրոյի: Սա նշանակում է, որ ծանրության արդյունքն անցնում է զանգվածի կենտրոնով, այսինքն. զանգվածի կենտրոնը նաև ծանրության կենտրոնն է։

5) Միատեսակ գրավիտացիոն դաշտի կետերի համակարգի պոտենցիալ էներգիան հաշվարկվում է բանաձևով

Որտեղ հց - համակարգի զանգվածի կենտրոնի բարձրությունը:

Օրինակ 5. Երբ փոս է փորում միատարր ֆունտ խորությամբ հև հողի ցրումը մակերեսի վրա, նրա պոտենցիալ էներգիան մեծանում է, որտեղ մ- պեղված հողի զանգված.

6) Եվ ևս մեկ օգտակար հատկություն զանգվածի կենտրոնի. Կետերի համակարգի կինետիկ էներգիան կարող է ներկայացվել որպես երկու անդամի գումար՝ համակարգի ընդհանուր թարգմանական շարժման կինետիկ էներգիա, որը հավասար է , և կինետիկ էներգիա։ Եզանգվածի կենտրոնի հետ կապված հղման համակարգի նկատմամբ շարժման համեմատ.

Օրինակ 6. Հորիզոնական մակերևույթի վրա υ արագությամբ առանց սահելու գլորվող օղակի կինետիկ էներգիան հավասար է.

քանի որ հարաբերական շարժումն այս դեպքում մաքուր պտույտ է, որի համար օղակի կետերի գծային արագությունը հավասար է υ-ի (ներքևի կետի ընդհանուր արագությունը պետք է հավասար լինի զրոյի):

Հիմա եկեք սկսենք վերլուծել խնդիրները՝ օգտագործելով զանգվածի կենտրոնը:

Խնդիր 1. Հարթ հորիզոնական մակերեսի վրա միատարր ձող է ընկած: Ձողի վրա կիրառվում են հավասար մեծության, բայց հակառակ ուղղությամբ երկու հորիզոնական ուժեր՝ մի ուժը կիրառվում է ձողի կեսին, մյուսը՝ ծայրին (նկ. 4): Ո՞ր կետի համեմատ ձողը կսկսի պտտվել:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ պտտման առանցքը կլինի ուժի կիրառման կետերի միջև ընկած կետը: Այնուամենայնիվ, հավասարումը (3) ցույց է տալիս, որ քանի որ արտաքին ուժերի գումարը զրո է, զանգվածի կենտրոնի արագացումը նույնպես զրո է։ Սա նշանակում է, որ ձողի կենտրոնը կմնա հանգստի վիճակում, այսինքն. ծառայում են որպես պտտման առանցք:

Խնդիր 2. Բարակ միատեսակ գավազանի երկարություն լեւ զանգված մշարժման մեջ դնել հարթ հորիզոնական մակերևույթի երկայնքով այնպես, որ այն շարժվի թարգմանաբար և միաժամանակ պտտվի ω անկյունային արագությամբ: Գտեք ձողի լարվածությունը կախված հեռավորությունից xդեպի իր կենտրոնը։

Եկեք անցնենք իներցիոն հղման համակարգին, որը կապված է ձողի կենտրոնի հետ: Դիտարկենք ձողի մի կտորի շարժումը, որը փակված է դիտարկվող ձողի կետի միջև (գտնվում է հեռավորության վրա. xկենտրոնից) և դրա ծայրը (նկ. 5):

Այս կտորի միակ արտաքին ուժը պահանջվող լարվածության ուժն է Ֆ n, զանգվածը հավասար է , և նրա զանգվածի կենտրոնը շարժվում է շառավղով շրջանով արագացումով։ Գրելով ընտրված կտորի զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը` ստանում ենք

Խնդիր 3. Երկուական աստղը բաղկացած է զանգվածով երկու բաղադրիչ աստղերից մ 1 և մ 2, որի միջև հեռավորությունը չի փոխվում և մնում է հավասար Լ. Գտեք երկուական աստղի պտտման ժամանակահատվածը:

Եկեք դիտարկենք բաղադրիչ աստղերի շարժումը իներցիալ հղման համակարգում, որը կապված է երկուական աստղի զանգվածի կենտրոնի հետ: Այս հղման շրջանակում աստղերը շարժվում են նույն անկյունային արագությամբ տարբեր շառավիղների շրջանակներով (նկ. 6):

Զանգվածով աստղի պտտման շառավիղը մ 1-ը հավասար է (տե՛ս Օրինակ 1), և նրա կենտրոնաձիգ արագացումը ստեղծվում է դեպի մեկ այլ աստղի ձգման ուժով.

Մենք տեսնում ենք, որ կրկնակի աստղի պտտման ժամանակահատվածը հավասար է

և որոշվում է երկուական աստղի ընդհանուր զանգվածով, անկախ նրանից, թե ինչպես է այն բաշխված բաղադրիչ աստղերի միջև։

Խնդիր 4. Երկու կետային զանգված մև 2 մկապված անկշիռ թելով երկարությամբ լև շարժվել հարթ հորիզոնական հարթության վրա: Ժամանակի ինչ-որ պահի զանգվածի արագությունը 2 մհավասար է զրոյի, իսկ զանգվածի արագությունը մհավասար է υ-ին և ուղղահայաց թելին (նկ. 7): Գտեք համակարգի թելի լարվածությունը և պտտման ժամանակահատվածը:

Բրինձ. 7

Համակարգի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է 2 զանգվածից հեռավորության վրա մև շարժվում է արագությամբ: Զանգվածի կենտրոնի հետ կապված հղման համակարգում զանգվածի կետ 2 մարագությամբ շարժվում է շառավղով շրջանով: Սա նշանակում է, որ պտտման ժամանակահատվածը հավասար է (ստուգեք, որ նույն պատասխանը ստացվի, եթե դիտարկենք զանգվածով կետ մ) Մենք գտնում ենք թելի լարվածությունը երկու կետերից որևէ մեկի շարժման հավասարումից.

Խնդիր 5. Զանգվածի երկու նույնական բլոկ մյուրաքանչյուրը կապված է թեթեւ զսպանակային կոշտությամբ կ(նկ. 8): Առաջին գծին տրվում է արագություն υ 0 երկրորդ գծի ուղղությամբ: Նկարագրեք համակարգի շարժումը: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի, որպեսզի զսպանակային դեֆորմացիան առաջին անգամ հասնի իր առավելագույն արժեքին:

Համակարգի զանգվածի կենտրոնը կշարժվի հաստատուն արագությամբ։ Զանգվածի կենտրոնի հղման շրջանակում յուրաքանչյուր բլոկի սկզբնական արագությունը հավասար է, իսկ կես զսպանակի կոշտությունը, որը միացնում է այն զանգվածի անշարժ կենտրոնին, 2 է: կ(զսպանակի կոշտությունը հակադարձ համեմատական ​​է դրա երկարությանը): Նման տատանումների ժամանակաշրջանը հավասար է

և յուրաքանչյուր բարի թրթռման ամպլիտուդը, որը կարելի է գտնել էներգիայի պահպանման օրենքից,

Առաջին անգամ դեֆորմացիան առավելագույնը կդառնա ժամանակաշրջանի մեկ քառորդից հետո, այսինքն. որոշ ժամանակ անց .

Խնդիր 6. Գնդիկի զանգված մ v արագությամբ բախվում է 2 զանգվածով անշարժ գնդակին մ. Գտեք երկու գնդակների արագությունները առաձգական կենտրոնական հարվածից հետո:

Զանգվածի կենտրոնի հետ կապված հղման շրջանակում երկու գնդակների ընդհանուր իմպուլսը զրո է ինչպես բախումից առաջ, այնպես էլ դրանից հետո: Հեշտ է կռահել, թե վերջնական արագությունների որ պատասխանն է բավարարում և՛ այս պայմանին, և՛ էներգիայի պահպանման օրենքը. արագությունները մեծությամբ կմնան նույնը, ինչ մինչև հարվածը, բայց կփոխեն իրենց ուղղությունները դեպի հակառակը: Համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագությունը հավասար է . Զանգվածային համակարգի կենտրոնում առաջին գնդակը շարժվում է արագությամբ, իսկ երկրորդ գնդակը արագությամբ շարժվում է դեպի առաջինը: Հարվածից հետո գնդակները կթռչեն նույն արագությամբ: Մնում է վերադառնալ սկզբնական հղման շրջանակին: Կիրառելով արագությունների գումարման օրենքը՝ մենք գտնում ենք, որ զանգվածով գնդակի վերջնական արագությունը մհավասար և դեպի ետ ուղղված, իսկ նախկինում հանգստի վիճակում գտնվող 2 զանգվածով գնդակի արագությունը մհավասար և առաջ ուղղված:

Ուշադրություն դարձրեք, որ զանգվածային համակարգի կենտրոնում ակնհայտ է, որ հարվածի ժամանակ գնդակների հարաբերական արագությունը չի փոխվում մեծության, այլ փոխվում է ուղղության մեջ: Եվ քանի որ արագությունների տարբերությունը չի փոխվում մեկ այլ իներցիոն հղման համակարգ տեղափոխվելիս, մենք կարող ենք ենթադրել, որ մենք ստացել ենք այս կարևոր կապը սկզբնական հղման համակարգի համար.

υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,

որտեղ υ տառը օգտագործվում է սկզբնական արագությունները նշելու համար, և u- եզրափակիչների համար: Այս հավասարումը կարող է լուծվել իմպուլսի պահպանման օրենքի հետ միասին՝ էներգիայի պահպանման օրենքի փոխարեն (որտեղ արագությունները հասնում են երկրորդ ուժի)։

Խնդիր 7. Հայտնի է, որ երկու միանման գնդակների առաձգական կենտրոնից դուրս հարվածի ժամանակ, որոնցից մեկը հարվածից առաջ հանգիստ վիճակում է եղել, ընդլայնման անկյունը 90° է։ Ապացուցեք այս հայտարարությունը.

Զանգվածային համակարգի կենտրոնում, կենտրոնից դուրս ազդեցությունը կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ. Հարվածից առաջ գնդակները մոտենում են հավասար ազդակներով, հարվածից հետո նրանք իրարից հեռանում են նույն մեծության, բայց հակառակ ուղղություններով, և ընդարձակման գիծը պտտվում է մոտեցման գծի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ։ Նախնական հղման համակարգին վերադառնալու համար յուրաքանչյուր վերջնական արագություն պետք է գումարվի (վեկտորապես) զանգվածի կենտրոնի արագությանը: Նույնական գնդակների դեպքում զանգվածի կենտրոնի արագությունը հավասար է , որտեղ υ-ն հարվածող գնդակի արագությունն է, իսկ զանգվածի կենտրոնի հղման շրջանակում գնդակները մոտենում և հեռանում են իրարից նույն արագությամբ։ Այն փաստը, որ յուրաքանչյուր վերջնական արագություն զանգվածի կենտրոնի արագությանը ավելացնելուց հետո, ստացվում են փոխադարձ ուղղահայաց վեկտորներ, երևում է Նկար 9-ից: Կամ կարող եք պարզապես ստուգել, ​​որ վեկտորների սկալյար արտադրյալը անհետանում է այն պատճառով, որ մոդուլները վեկտորները հավասար են միմյանց.

Զորավարժություններ

1. Զանգվածի ձող մև երկարությունը լկախված է մի ծայրից: Ձողը որոշակի անկյան տակ շեղվել է ուղղահայաց դիրքից և բաց թողնվել: Ուղղահայաց դիրքն անցնելու պահին ստորին կետի արագությունը հավասար է υ-ի։ Գտեք լարվածությունը ձողի միջին կետում ժամանակի այս պահին:

2. Զանգվածի ձող մև երկարությունը լպտտել հորիզոնական հարթության մեջ ω անկյունային արագությամբ նրա ծայրերից մեկի շուրջ: Գտեք կապը ձողի լարվածության և հեռավորության միջև xպտտման առանցքին, եթե մյուս ծայրին մի փոքր զանգված է ամրացված Մ.

3. Գտե՛ք հոդվածի 5-րդ խնդիրում նկարագրված համակարգի տատանման ժամանակաշրջանը, սակայն տարբեր զանգվածների ձողերի համար։ մ 1 և մ 2 .

4. Ստացե՛ք երկու գնդակների առաձգական կենտրոնական ազդեցության հայտնի ընդհանուր բանաձևերը՝ օգտագործելով անցումը դեպի զանգվածի հղման շրջանակի կենտրոն:

5. Զանգվածի գնդիկ մ 1-ը բախվում է փոքր զանգվածի մնացած գնդակին մ 2. Գտեք ներգնա գնդակի շեղման առավելագույն հնարավոր անկյունը կենտրոնից դուրս առաձգական հարվածի ժամանակ:

1.

2.

3.

Զանգվածի կենտրոն Զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը. Օրենքն ինքնին. Մարմինները միմյանց վրա գործում են նույն բնույթի ուժերով, որոնք ուղղված են նույն ուղիղ գծի երկայնքով, մեծությամբ հավասար և հակառակ ուղղությամբ: Զանգվածի կենտրոնը երկրաչափական կետ է, որը բնութագրում է մարմնի կամ մասնիկների համակարգի շարժումը. ամբողջ. Սահմանում Իներցիայի կենտրոնի զանգվածի կենտրոնի դիրքը դասական մեխանիկայում սահմանվում է հետևյալ կերպ.

7. Նյուտոնի երրորդ օրենքը. Զանգվածի կենտրոն Զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը.

Նյուտոնի երրորդ օրենքըԳործող ուժը մեծությամբ հավասար է և ռեակցիայի ուժին հակառակ ուղղությամբ:

Օրենքն ինքնին.

Մարմինները միմյանց վրա գործում են նույն բնույթի ուժերով, որոնք ուղղված են նույն ուղիղ գծի երկայնքով, հավասար մեծությամբ և հակառակ ուղղությամբ.

Զանգվածի կենտրոն սա բնութագրող երկրաչափական կետ էշարժումը մասնիկների մարմինը կամ համակարգն ամբողջությամբ։

Սահմանում

Զանգվածի կենտրոնի (իներցիայի կենտրոնի) դիրքը դասական մեխանիկայում որոշվում է հետևյալ կերպ.

որտեղ զանգվածի կենտրոնի շառավիղ վեկտոր, շառավիղ վեկտոր i համակարգի րդ կետը,

i-րդ ​​կետի զանգվածը.

.

Սա նյութական կետերի համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումն է, որի զանգվածը հավասար է ամբողջ համակարգի զանգվածին, որի վրա կիրառվում է բոլոր արտաքին ուժերի գումարը (արտաքին ուժերի հիմնական վեկտորը) կամ թեորեմը. զանգվածի կենտրոնի շարժման վրա։

Ինչպես նաև այլ աշխատանքներ, որոնք կարող են հետաքրքրել ձեզ
22476.		ԱՆՁՆԱԿԱՆ ՌԱԴԻՈԶԱՆԳԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ, ՓԱՅՋԵՐԻ, ԿՐԿՆՈՂՆԵՐԻ, ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՏԵՂԵԿԱՏՎՈՒԹՅԱՆ ՀԱՂՈՐԴՈՒՄՆԵՐԻ ԱՐՁԱՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄ:	1,21 ՄԲ
	ԱՆՁՆԱԿԱՆ ՌԱԴԻՈԶԱՆԳԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄ ՓԱՅՋԵՐԻ ԿՐԿՆՈՂՆԵՐ ՏԵՂԵԿԱՏՎՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՂՈՐԴԱԿԱՆ ԱՐՁԱՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ. Աշխատանքի նպատակը Ուսումնասիրել անհատական ​​ռադիոզանգերի համակարգերի դասակարգումը, էջերը, կրկնողները, հիմնական տեղեկատվության փոխանցման արձանագրությունները: Ծանոթացեք SPRV-ին տեղեկատվություն փոխանցելու հիմնական արձանագրություններին: Այս դեպքում զանգը բաժանորդին փոխանցելու համար օգտագործվել է հասցեի հաջորդական տոնային կոդավորում՝ ապահովելով մինչև մի քանի տասնյակ հազար օգտատերերի սպասարկման հնարավորություն։
22477.		TETRA TRUNKING ՑԱՆՑԵՐԻ ՍՏԱՆԴԱՐՏՈՒՄ ԽՈՍՔԻ ԱԶԱՆԳՆԵՐԻ ԿՈԴԳՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆ	961,5 ԿԲ
	Առաջադրանք. Ծանոթացեք խոսքի ազդանշանի կոդավորման ալգորիթմի ընդհանուր նկարագրությանը: Ուսումնասիրեք տարբեր տրամաբանական ալիքների ալիքների կոդավորման առանձնահատկությունները: CELP խոսքի ազդանշանի կոդավորման ալգորիթմի ընդհանուր նկարագրությունը Խոսքի ազդանշանների տեղեկատվական մուլտիպլեքսավորումը կոդավորելու համար TETRA ստանդարտը օգտագործում է գծային կանխատեսումով և բազմիմպուլսային գրգռմամբ կոդավորիչ՝ CELP Code Excited Linear Pgediction-ից:
22478.		GSM-900 ԲՋՋԱՅԻՆ ԿԱՊԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ	109,5 ԿԲ
	Աշխատանքի նպատակը Ուսումնասիրել GSM ստանդարտի թվային բջջային ռադիոկապի համակարգում ընդունված ֆունկցիոնալ կառուցվածքի և միջերեսների հիմնական տեխնիկական բնութագրերը: Առաջադրանք. Ծանոթացեք GSM ստանդարտի ընդհանուր բնութագրերին: Համառոտ տեսություն GSM Global System for Mobile Communications ստանդարտը սերտորեն կապված է բոլոր ժամանակակից թվային ցանցային ստանդարտների հետ, հիմնականում ISDN-ի և IN Intelligent Network-ի հետ:

Դինամիկայի հիմնական օրենքը կարելի է գրել այլ ձևով՝ իմանալով համակարգի զանգվածի կենտրոնի հայեցակարգը.

Այն այնտեղ է համակարգի զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը, մեխանիկայի կարեւորագույն հավասարումներից մեկը։ Այն նշում է, որ մասնիկների ցանկացած համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է այնպես, կարծես համակարգի ամբողջ զանգվածը կենտրոնացած է այդ կետում և դրա վրա կիրառվել են բոլոր արտաքին ուժերը:

Համակարգի զանգվածի կենտրոնի արագացումը լիովին անկախ է արտաքին ուժերի կիրառման կետերից։

Եթե ​​, ապա , ապա և է փակ համակարգի դեպքը իներցիոն հղման համակարգում։ Այսպիսով, եթե համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է հավասարաչափ և ուղիղ գծով, դա նշանակում է, որ շարժման ընթացքում նրա իմպուլսը պահպանվում է։

Օրինակ՝ զանգվածի և շառավղով միատարր գլան գլորվում է թեք հարթության վրա՝ առանց սահելու անկյուն կազմելով հորիզոնականի հետ: Գտե՛ք շարժման հավասարումը:

Համատեղ լուծումը տալիս է պարամետրերի արժեքները

Զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը համընկնում է նյութական կետի դինամիկայի հիմնական հավասարման հետ և դրա ընդհանրացումն է մասնիկների համակարգին. ամբողջ համակարգի արագացումը համաչափ է բոլոր արտաքին ուժերի արդյունքին և հակադարձորեն։ համաչափ համակարգի զանգվածին:

Զանգվածի կենտրոնին կոշտ միացված հղման համակարգը, որը թարգմանաբար շարժվում է ISO-ի համեմատ, կոչվում է զանգվածի կենտրոն: Դրա առանձնահատկությունն այն է, որ մասնիկների համակարգի ընդհանուր իմպուլսը նրանում միշտ հավասար է զրոյի, ինչպես .

Աշխատանքի ավարտ -

Այս թեման պատկանում է բաժնին.

Թարգմանական շարժման կինեմատիկա

Մեխանիկայի ֆիզիկական հիմքերը.. թարգմանական շարժման կինեմատիկա.. մեխանիկական շարժումը գոյության ձև է..

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լրացուցիչ նյութ այս թեմայի վերաբերյալ, կամ չեք գտել այն, ինչ փնտրում էիք, խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել որոնումը մեր աշխատանքների տվյալների բազայում.

Ի՞նչ ենք անելու ստացված նյութի հետ.

Եթե ​​այս նյութը օգտակար էր ձեզ համար, կարող եք այն պահել ձեր էջում սոցիալական ցանցերում.

Թվիթեր

Այս բաժնի բոլոր թեմաները.

Մեխանիկական շարժում
Նյութը, ինչպես հայտնի է, գոյություն ունի երկու ձևով՝ նյութի և դաշտի տեսքով։ Առաջին տեսակը ներառում է ատոմներ և մոլեկուլներ, որոնցից կառուցված են բոլոր մարմինները։ Երկրորդ տեսակը ներառում է բոլոր տեսակի դաշտերը՝ գրավիտացիա

Տարածություն և ժամանակ
Բոլոր մարմինները գոյություն ունեն և շարժվում են տարածության և ժամանակի մեջ: Այս հասկացությունները հիմնարար են բոլոր բնական գիտությունների համար: Ցանկացած մարմին ունի չափսեր, այսինքն. դրա տարածական չափը

Հղման համակարգ
Մարմնի դիրքը ժամանակի կամայական պահին միանշանակորեն որոշելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հղման համակարգ՝ կոորդինատային համակարգ, որը հագեցած է ժամացույցով և կոշտ միացված է բացարձակ կոշտ մարմնին, համաձայն.

Շարժման կինեմատիկական հավասարումներ
Երբ t.M շարժվում է, նրա կոորդինատները փոխվում են ժամանակի հետ, հետևաբար, շարժման օրենքը ճշտելու համար անհրաժեշտ է նշել ֆունկցիայի տեսակը.

Շարժում, տարրական շարժում
Թող M կետը շարժվի A-ից B կոր AB ուղու երկայնքով: Սկզբնական պահին նրա շառավիղի վեկտորը հավասար է

Արագացում. Նորմալ և շոշափելի արագացում
Կետի շարժումը բնութագրվում է նաև արագացումով՝ արագության փոփոխության արագությամբ։ Եթե ​​կետի արագությունը կամայական ժամանակի համար

Առաջ շարժում
Կոշտ մարմնի մեխանիկական շարժման ամենապարզ տեսակը թարգմանական շարժումն է, որի դեպքում մարմնի ցանկացած երկու կետերը միացնող ուղիղ գիծը շարժվում է մարմնի հետ՝ մնալով զուգահեռ | իր

Իներցիայի օրենքը
Դասական մեխանիկան հիմնված է Նյուտոնի երեք օրենքների վրա, որոնք նա ձևակերպել է իր «Բնական փիլիսոփայության մաթեմատիկական սկզբունքները» էսսեում, որը հրատարակվել է 1687 թվականին։ Այս օրենքները հանճարի արդյունք էին

Իներցիոն հղման շրջանակ
Հայտնի է, որ մեխանիկական շարժումը հարաբերական է, և դրա բնույթը կախված է հղման համակարգի ընտրությունից։ Նյուտոնի առաջին օրենքը չի համապատասխանում բոլոր հղման շրջանակներին: Օրինակ՝ հարթ մակերեսի վրա ընկած մարմինները

Քաշը. Նյուտոնի երկրորդ օրենքը
Դինամիկայի հիմնական խնդիրն է որոշել մարմինների շարժման բնութագրերը նրանց վրա կիրառվող ուժերի ազդեցության տակ։ Փորձից հայտնի է, որ ուժի ազդեցության տակ

Նյութական կետի դինամիկայի հիմնական օրենքը
Հավասարումը նկարագրում է վերջավոր չափերի մարմնի շարժման փոփոխությունը ուժի ազդեցության տակ դեֆորմացիայի բացակայության դեպքում և եթե այն

Նյուտոնի երրորդ օրենքը
Դիտարկումները և փորձերը ցույց են տալիս, որ մի մարմնի մեխանիկական ազդեցությունը մյուսի վրա միշտ փոխազդեցություն է: Եթե ​​2-րդ մարմինը գործում է 1-ին մարմնի վրա, ապա մարմին 1-ն անպայմանորեն հակադրվում է դրանց

Գալիլեյան փոխակերպումներ
Դրանք հնարավորություն են տալիս որոշել կինեմատիկական մեծությունները մեկ իներցիոն տեղեկատու համակարգից մյուսին անցնելու ժամանակ։ Վերցնենք

Գալիլեոյի հարաբերականության սկզբունքը
Բոլոր տեղեկատու համակարգերի ցանկացած կետի արագացում, որը շարժվում է միմյանց նկատմամբ ուղղագիծ և միատեսակ նույն ձևով.

Պահպանման քանակները
Ցանկացած մարմին կամ մարմինների համակարգ նյութական կետերի կամ մասնիկների հավաքածու է: Նման համակարգի վիճակը մեխանիկայի որոշ ժամանակաշրջանում որոշվում է կոորդինատների և արագությունների սահմանմամբ

Զանգվածի կենտրոն
Մասնիկների ցանկացած համակարգում կարող եք գտնել մի կետ, որը կոչվում է զանգվածի կենտրոն

Պահպանողական ուժեր
Եթե ​​տիեզերքի յուրաքանչյուր կետում ուժ է գործում այնտեղ տեղադրված մասնիկի վրա, ապա ասում են, որ մասնիկը գտնվում է ուժերի դաշտում, օրինակ՝ ձգողականության, գրավիտացիոն, Կուլոնի և այլ ուժերի դաշտում։ Դաշտ

Կենտրոնական ուժեր
Յուրաքանչյուր ուժային դաշտ առաջանում է որոշակի մարմնի կամ մարմինների համակարգի գործողությամբ: Այս դաշտում մասնիկի վրա ազդող ուժը մոտ է

Ուժային դաշտում մասնիկի պոտենցիալ էներգիան
Այն փաստը, որ պահպանողական ուժի աշխատանքը (անշարժ դաշտի համար) կախված է միայն դաշտում մասնիկի սկզբնական և վերջնական դիրքերից, թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել ներուժի կարևոր ֆիզիկական հայեցակարգը.

Պոտենցիալ էներգիայի և ուժի հարաբերությունը պահպանողական դաշտի համար
Մասնիկի փոխազդեցությունը շրջակա մարմինների հետ կարելի է նկարագրել երկու կերպ՝ օգտագործելով ուժ հասկացությունը կամ օգտագործելով պոտենցիալ էներգիա հասկացությունը: Առաջին մեթոդն ավելի ընդհանուր է, քանի որ դա վերաբերում է նաև ուժերին

Ուժային դաշտում մասնիկի կինետիկ էներգիան
Թող զանգվածի մասնիկը շարժվի ուժով

Մասնիկի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան
Հայտնի է, որ ուժային դաշտում շարժվելիս մասնիկի կինետիկ էներգիայի աճը հավասար է մասնիկի վրա ազդող բոլոր ուժերի տարրական աշխատանքին.

Մասնիկների մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը
Արտահայտությունից հետևում է, որ պահպանողական ուժերի անշարժ դաշտում մասնիկի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան կարող է փոխվել.

Կինեմատիկա
Դուք կարող եք պտտել ձեր մարմինը որոշակի անկյան տակ

Մասնիկի իմպուլս. Իշխանության պահը
Բացի էներգիայից և իմպուլսից, կա ևս մեկ ֆիզիկական մեծություն, որի հետ կապված է պահպանման օրենքը՝ սա անկյունային իմպուլս է: Մասնիկի անկյունային իմպուլսը

Իմպուլսի և առանցքի շուրջ ուժի պահը
Եկեք կամայական ֆիքսված առանցք վերցնենք մեզ հետաքրքրող հղման համակարգում

Համակարգի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը
Դիտարկենք մի համակարգ, որը բաղկացած է երկու փոխազդող մասնիկներից, որոնց վրա գործում են նաև արտաքին ուժեր և

Այսպիսով, մասնիկների փակ համակարգի անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն և չի փոխվում ժամանակի հետ
Սա ճիշտ է իներցիոն հղման համակարգի ցանկացած կետի համար. Համակարգի առանձին մասերի իմպուլսի պահերը մ

Կոշտ մարմնի իներցիայի պահը
Դիտարկենք ամուր մարմին, որը կարող է

Կոշտ մարմնի պտույտի դինամիկայի հավասարումը
Կոշտ մարմնի պտտման դինամիկայի հավասարումը կարելի է ստանալ՝ գրելով կամայական առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի պահերի հավասարումը.

Պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիա
Դիտարկենք բացարձակ կոշտ մարմին, որը պտտվում է դրա միջով անցնող ֆիքսված առանցքի շուրջ: Բաժանենք այն փոքր ծավալներով և զանգվածներով մասնիկների

Կոշտ մարմնի պտտման աշխատանք
Եթե ​​մարմինը պտտվում է ուժով

Իներցիայի կենտրոնախույս ուժ
Դիտարկենք սկավառակ, որը գնդակի հետ միասին պտտվում է ճառագողի վրա դրված զսպանակի վրա, Նկար 5.3. Գնդակը գտնվում է

Coriolis ուժ
Երբ մարմինը շարժվում է պտտվող CO-ի համեմատությամբ, բացի այդ, հայտնվում է մեկ այլ ուժ՝ Կորիոլիս ուժը կամ Կորիոլիսի ուժը։

Փոքր տատանումներ
Դիտարկենք մեխանիկական համակարգ, որի դիրքը կարելի է որոշել օգտագործելով մեկ մեծություն, ինչպիսին է x-ը: Այս դեպքում, ասում են, որ համակարգը ունի մեկ աստիճան ազատության x-ի արժեքը կարող է լինել

Հարմոնիկ թրթռումներ
Նյուտոնի 2-րդ օրենքի հավասարումը ձևի քվազի-առաձգական ուժի շփման ուժերի բացակայության դեպքում ունի ձև.

Մաթեմատիկական ճոճանակ
Սա նյութական կետ է, որը կախված է երկարության անսպառ թելի վրա, որը տատանվում է ուղղահայաց հարթության վրա

Ֆիզիկական ճոճանակ
Սա ամուր մարմին է, որը թրթռում է մարմնին միացված ֆիքսված առանցքի շուրջ: Առանցքը ուղղահայաց է նկարին և

Խոնավ տատանումներ
Իրական տատանողական համակարգում կան դիմադրողական ուժեր, որոնց գործողությունը հանգեցնում է համակարգի պոտենցիալ էներգիայի նվազմանը, իսկ տատանումները կխամրվեն, ամենապարզ դեպքում.

Ինքնա-տատանումներ
Խոնավ տատանումների դեպքում համակարգի էներգիան աստիճանաբար նվազում է, և տատանումները դադարում են։ Դրանք չխոնավացնելու համար անհրաժեշտ է որոշակի պահերին համակարգի էներգիան արտաքինից համալրել.

Հարկադիր թրթռումներ
Եթե ​​տատանողական համակարգը, բացի դիմադրողական ուժերից, ենթարկվում է արտաքին պարբերական ուժի գործողությանը, որը փոխվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն.

Ռեզոնանս
Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածության կորը հանգեցնում է նրան, որ տվյալ համակարգի համար որոշակի կոնկրետ

Ալիքի տարածումը առաձգական միջավայրում
Եթե ​​տատանման աղբյուրը տեղադրված է առաձգական միջավայրի ցանկացած վայրում (պինդ, հեղուկ, գազային), ապա մասնիկների փոխազդեցության շնորհիվ տատանումը միջավայրում կտարածվի մասնիկից ժամ։

Հարթ և գնդաձև ալիքների հավասարումը
Ալիքի հավասարումն արտահայտում է տատանվող մասնիկի տեղաշարժի կախվածությունը նրա կոորդինատներից,

Ալիքի հավասարում
Ալիքի հավասարումը լուծում է դիֆերենցիալ հավասարման, որը կոչվում է ալիքի հավասարում: Այն հաստատելու համար մենք հավասարումից գտնում ենք երկրորդ մասնակի ածանցյալները ժամանակի և կոորդինատների նկատմամբ

Համակարգի զանգվածի կենտրոնը շառավղով վեկտորով կետն է

 խտությամբ զանգվածի շարունակական բաշխման համար
. Եթե ​​համակարգի յուրաքանչյուր մասնիկի վրա կիրառվող գրավիտացիոն ուժերը ուղղված են միակողմանի, ապա զանգվածի կենտրոնը համընկնում է ծանրության կենտրոնի հետ։ Բայց եթե
ոչ զուգահեռ, ապա զանգվածի կենտրոնն ու ծանրության կենտրոնը չեն համընկնում։

Հաշվի առնելով ժամանակի ածանցյալը , ստանում ենք.

դրանք. համակարգի ընդհանուր իմպուլսը հավասար է զանգվածի արտադրյալին և զանգվածի կենտրոնի արագությանը։

Այս արտահայտությունը փոխարինելով ընդհանուր իմպուլսի փոփոխության օրենքով՝ մենք գտնում ենք.

Համակարգի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է մասնիկի պես, որի մեջ կենտրոնացած է համակարգի ողջ զանգվածը և որի վրա կիրառվում է ստացված զանգվածը։ արտաքինուժ

ժամը առաջադեմՇարժման ընթացքում կոշտ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են այնպես, ինչպես զանգվածի կենտրոնը (նույն հետագծերով), հետևաբար, թարգմանական շարժումը նկարագրելու համար բավական է գրել և լուծել զանգվածի կենտրոնի շարժման հավասարումը. .

Որովհետեւ
, ապա զանգվածի կենտրոնը փակ համակարգպետք է պահպանի հանգստի վիճակ կամ միատեսակ գծային շարժում, այսինքն. =կոնստ. Բայց միևնույն ժամանակ ամբողջ համակարգը կարող է պտտվել, թռչել, պայթել և այլն: գործողության արդյունքում ներքին ուժեր.

1. Ռեակտիվ շարժիչ. Մեշչերսկու հավասարումը

Ռեակտիվկոչվում է մարմնի շարժում, որտեղ այն տեղի է ունենում միանալըկամ դեն նետելըզանգվածները. Շարժման ընթացքում տեղի է ունենում մարմնի զանգվածի փոփոխություն. dt ժամանակի ընթացքում m զանգվածով մարմինը արագությամբ կպչում է (կլանում) կամ մերժում (արտանետում) dm զանգվածը։ մարմնի համեմատ; առաջին դեպքում դմ>0, երկրորդում՝ դմ<0.

Դիտարկենք այս շարժումը՝ օգտագործելով հրթիռի օրինակը։ Անցնենք դեպի K իներցիոն հղման շրջանակ, որը ժամանակի տվյալ պահին t շարժվում է նույն արագությամբ , նույնն է, ինչ հրթիռը - սա կոչվում է ISO ուղեկցող– այս հղման շրջանակներում հրթիռը ներկայումս տ հանգստանում է(այս համակարգում հրթիռի արագությունը =0). Եթե ​​հրթիռի վրա ազդող արտաքին ուժերի գումարը հավասար չէ զրոյի, ապա K համակարգում հրթիռի շարժման հավասարումը, բայց քանի որ բոլոր ISO-ները համարժեք են, ապա K համակարգում հավասարումը կունենա նույն ձևը.

Սա - Մեշչերսկու հավասարումը, նկարագրելով շարժումը որեւէ մեկըփոփոխական զանգվածով):

Հավասարման մեջ m զանգվածը փոփոխական մեծություն է, և այն չի կարող ներառվել ածանցյալ նշանի տակ։ Հավասարման աջ կողմի երկրորդ անդամը կոչվում է ռեակտիվ ուժ

Հրթիռի համար ռեակտիվ ուժը կատարում է ձգողական ուժի դեր, սակայն dm/dt>0 զանգված ավելացնելու դեպքում ռեակտիվ ուժը կլինի նաև արգելակման ուժ (օրինակ, երբ հրթիռը շարժվում է ամպի մեջ. տիեզերական փոշի):

1. Մասնիկների համակարգի էներգիան

Մասնիկների համակարգի էներգիան բաղկացած է կինետիկից և պոտենցիալից: Համակարգի կինետիկ էներգիան համակարգի բոլոր մասնիկների կինետիկ էներգիաների գումարն է

և ըստ սահմանման՝ քանակն է հավելում(ինչպես իմպուլսը):

Իրավիճակն այլ է համակարգի պոտենցիալ էներգիայի հետ կապված։ Նախ, փոխազդեցության ուժերը գործում են համակարգի մասնիկների միջև
. ՀետևաբարA ij =-dU ij, որտեղ U ij-ը i-րդ և j-րդ մասնիկների փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան է։ Ամփոփելով U ij համակարգի բոլոր մասնիկների վրա՝ մենք գտնում ենք այսպես կոչված սեփական պոտենցիալ էներգիահամակարգեր:

Էական է, որ համակարգի սեփական պոտենցիալ էներգիան կախված է միայն դրա կազմաձևից:Ընդ որում, այս քանակությունը հավելում չէ։

Երկրորդ, համակարգի յուրաքանչյուր մասնիկ, ընդհանուր առմամբ, նույնպես ենթարկվում է արտաքին ուժերի ազդեցությանը։ Եթե ​​այս ուժերը պահպանողական են, ապա դրանց աշխատանքը հավասար կլինի արտաքին պոտենցիալ էներգիայի նվազմանը A=-dU ext, որտեղ

որտեղ U i-ն արտաքին դաշտում i-րդ մասնիկի պոտենցիալ էներգիան է: Այն կախված է արտաքին դաշտում բոլոր մասնիկների դիրքերից և հավելում է:

Այսպիսով, արտաքին պոտենցիալ դաշտում տեղակայված մասնիկների համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան սահմանվում է որպես

E syst =K syst +U int +U ext

Դաս «Զանգվածի կենտրոն»

Ժամանակացույց՝ 2 դաս

Թիրախ:Ուսանողներին ծանոթացնել «զանգվածի կենտրոն» հասկացությանը և դրա հատկություններին:

Սարքավորումներ:ստվարաթղթից կամ նրբատախտակից պատրաստված գործիչներ, գլանափաթեթ, դանակ, մատիտներ:

Դասի պլան

Դասի փուլերի ժամանակային մեթոդներ և տեխնիկա

I Ծանոթացում ուսանողներին 10 ճակատային հարցում, ուսանողների աշխատանքը գրատախտակի մոտ:

դասի խնդրին

II. Նոր բան սովորելը 15-20 Ուսուցչի պատմություն, խնդրի լուծում,

նյութ՝ 10 փորձարարական առաջադրանք

III Ուսանողների նոր 10 ուղերձների կիրառում

Նյութը՝ 10-15 խնդիրների լուծում,

15 ճակատային հարցում

IV Եզրակացություններ. Տնային աշխատանք 5-10 Նյութի բանավոր ամփոփում ուսուցչի կողմից.

առաջադրանք Գրատախտակին գրելը

Դասերի ժամանակ.

Ի Կրկնություն 1. Ճակատային հետազոտություն՝ ուժի ուս, ուժի պահ, հավասարակշռության վիճակ, հավասարակշռության տեսակներ.

Էպիգրաֆ. Յուրաքանչյուր մարմնի ծանրության կենտրոնը որոշակի կետ է, որը գտնվում է դրա ներսում, այնպիսին, որ եթե մարմինը մտովի կախեք դրանից, ապա այն մնում է հանգստի վիճակում և պահպանում է իր սկզբնական դիրքը:

II. Բացատրություննոր նյութ

Թող տրվի մարմին կամ մարմինների համակարգ։ Եկեք մտովի բաժանենք մարմինը կամայականորեն փոքր մասերի՝ m1, m2, m3 զանգվածներով... Այս մասերից յուրաքանչյուրը կարելի է դիտարկել որպես նյութական կետ։ Mi զանգվածով i-րդ նյութական կետի դիրքը տարածության մեջ որոշվում է շառավղով վեկտորով rես(նկ. 1.1): Մարմնի զանգվածը նրա առանձին մասերի զանգվածների գումարն է՝ m = ∑ mi:

Մարմնի (մարմինների համակարգի) զանգվածի կենտրոնը այնպիսի C կետ է, որի շառավիղի վեկտորը որոշվում է բանաձևով.

r= 1/m∙∑mi rես

Կարելի է ցույց տալ, որ մարմնի նկատմամբ զանգվածի կենտրոնի դիրքը կախված չէ ծագման O-ի ընտրությունից, այսինքն. Վերևում տրված զանգվածի կենտրոնի սահմանումը միանշանակ է և ճիշտ:

Միատարր սիմետրիկ մարմինների զանգվածի կենտրոնը գտնվում է նրանց երկրաչափական կենտրոնում կամ համաչափության առանցքի վրա, կամայական եռանկյունի տեսքով հարթ մարմնի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է նրա միջնամասերի հատման կետում։

Խնդրի լուծումը

ԽՆԴԻՐ 1. Միատարր գնդիկներ՝ m1 = 3 կգ, m2 = 2 կգ, m3 = 6 կգ և m4 = 3 կգ զանգվածով, ամրացված են լուսաձողի վրա (նկ. 1.2): Մոտակա գնդակների կենտրոնների միջև հեռավորությունը

a = 10 սմ Գտեք կառուցվածքի ծանրության կենտրոնի դիրքը և զանգվածի կենտրոնը:

ԼՈՒԾՈՒՄ. Կառուցվածքի ծանրության կենտրոնի դիրքը գնդերի նկատմամբ կախված չէ տարածության մեջ գավազանի կողմնորոշումից: Խնդիրը լուծելու համար հարմար է ձողը հորիզոնական դնել, ինչպես ցույց է տրված նկար 2-ում: Թող ծանրության կենտրոնը լինի ձողի վրա ձախ գնդակի կենտրոնից L հեռավորության վրա, այսինքն. t. A-ից: Ծանրության կենտրոնում կիրառվում է բոլոր գրավիտացիոն ուժերի արդյունքը, և դրա մոմենտը A առանցքի նկատմամբ հավասար է գնդակների ծանրության պահերի գումարին: Մենք ունենք r = (m1 + m2 + m3 + m4) g,

R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.

Հետեւաբար L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 սմ

ՊԱՏԱՍԽԱՆ. Ծանրության կենտրոնը համընկնում է զանգվածի կենտրոնի հետ և գտնվում է C կետում՝ ձախ գնդակի կենտրոնից L=16,4 սմ հեռավորության վրա։

Պարզվում է, որ մարմնի (կամ մարմինների համակարգի) զանգվածի կենտրոնն ունի մի շարք ուշագրավ հատկություններ։ Դինամիկայի մեջ ցույց է տրվում, որ կամայականորեն շարժվող մարմնի իմպուլսը հավասար է մարմնի զանգվածի և նրա զանգվածի կենտրոնի արագության արտադրյալին, և որ զանգվածի կենտրոնը շարժվում է այնպես, կարծես մարմնի վրա ազդող բոլոր արտաքին ուժերը կիրառվել են։ զանգվածի կենտրոնում, և ամբողջ մարմնի զանգվածը կենտրոնացած էր նրա մեջ:

Մարմնի ծանրության կենտրոնը, որը գտնվում է Երկրի գրավիտացիոն դաշտում, կոչվում է մարմնի բոլոր մասերի վրա ազդող բոլոր ծանրության ուժերի արդյունքի կիրառման կետ: Այս արդյունքը կոչվում է մարմնի վրա ազդող ծանրության ուժ: Մարմնի ծանրության կենտրոնում կիրառվող ծանրության ուժը մարմնի վրա նույն ազդեցությունն է ունենում, ինչ մարմնի առանձին մասերի վրա գործող ծանրության ուժերը։

Հետաքրքիր դեպք է, երբ մարմնի չափերը շատ ավելի փոքր են, քան Երկրի չափերը։ Այնուհետև մենք կարող ենք ենթադրել, որ զուգահեռ ձգողական ուժերը գործում են մարմնի բոլոր մասերի վրա, այսինքն. մարմինը գտնվում է միասնական գրավիտացիոն դաշտում։ Զուգահեռ և նույնական ուղղված ուժերը միշտ ունենում են արդյունքային ուժ, որը կարելի է ապացուցել։ Բայց տիեզերքում մարմնի որոշակի դիրքում հնարավոր է նշել միայն ձգողականության բոլոր զուգահեռ ուժերի արդյունքի գործողության գիծը, որի կիրառման կետն առայժմ կմնա անորոշ, քանի որ. պինդ մարմնի համար ցանկացած ուժ կարող է փոխանցվել նրա գործողության գծով: Ինչ վերաբերում է կիրառման կետին:

Կարելի է ցույց տալ, որ մարմնի ցանկացած դիրքի համար ծանրության միատեսակ դաշտում, մարմնի առանձին մասերի վրա ազդող բոլոր գրավիտացիոն ուժերի արդյունքի գործողության գիծը անցնում է նույն կետով՝ մարմնի նկատմամբ անշարժ: Այս պահին կիրառվում է հավասար ուժ, և կետն ինքնին կլինի մարմնի ծանրության կենտրոնը:

Ծանրության կենտրոնի դիրքը մարմնի նկատմամբ կախված է միայն մարմնի ձևից և մարմնի զանգվածի բաշխումից և կախված չէ մարմնի դիրքից ծանրության միասնական դաշտում։ Ծանրության կենտրոնը պարտադիր չէ, որ տեղակայված լինի հենց մարմնում: Օրինակ, միաձույլ ծանրության դաշտում օղակն ունի իր ծանրության կենտրոնը իր երկրաչափական կենտրոնում:

Միատեսակ ծանրության դաշտում մարմնի ծանրության կենտրոնը համընկնում է նրա զանգվածի կենտրոնի հետ:

Դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում մի տերմինը կարող է ցավ չպատճառող փոխարինվել մյուսով։

Բայց. մարմնի զանգվածի կենտրոնը գոյություն ունի անկախ գրավիտացիոն դաշտի առկայությունից, իսկ ծանրության կենտրոնի մասին կարելի է խոսել միայն ծանրության առկայության դեպքում:

Հարմար է գտնել մարմնի ծանրության կենտրոնի, հետևաբար և զանգվածի կենտրոնի գտնվելու վայրը՝ հաշվի առնելով մարմնի համաչափությունը և օգտագործելով ուժի պահ հասկացությունը։

Եթե ​​ուժի թեւը զրո է, ապա ուժի մոմենտը զրո է, և նման ուժը չի առաջացնում մարմնի պտտվող շարժում։

Հետևաբար, եթե ուժի գործողության գիծն անցնում է զանգվածի կենտրոնով, ապա այն շարժվում է թարգմանաբար։

Այսպիսով, դուք կարող եք որոշել ցանկացած հարթ գործչի զանգվածի կենտրոնը: Դա անելու համար դուք պետք է ամրացնեք այն մի կետում՝ տալով ազատ պտտվելու հնարավորություն։ Այն կտեղադրվի այնպես, որ ծանրության ուժը, պտտելով այն, անցնի զանգվածի կենտրոնով։ Այն կետում, որտեղ գործիչը ամրացված է, կախեք թելով բեռով (ընկույզ), գծեք կախոցի երկայնքով (այսինքն՝ ձգողականության գիծը): Եկեք կրկնենք քայլերը, ապահովելով գործիչը մեկ այլ կետում: Ծանրության ուժերի գործողության գծերի հատումը մարմնի զանգվածի կենտրոնն է

Փորձարարական առաջադրանք.որոշել հարթ գործչի ծանրության կենտրոնը (հիմնվելով ուսանողների կողմից ստվարաթղթից կամ նրբատախտակից ավելի վաղ պատրաստված թվերի վրա):

Հրահանգներ՝ ամրացրեք գործիչը եռոտանի վրա: Ֆիգուրի անկյուններից մեկից կախում ենք սանրվածքը։ Մենք գծում ենք ձգողականության գիծը: Պտտեցնել գործիչը և կրկնել գործողությունը: Զանգվածի կենտրոնը գտնվում է ծանրության գործողության գծերի հատման կետում։

Առաջադրանքը արագ ավարտած ուսանողներին կարող է տրվել լրացուցիչ առաջադրանք՝ նկարին ամրացնել քաշը (մետաղյա պտուտակ) և որոշել զանգվածի կենտրոնի նոր դիրքը: Եզրակացություն արեք.

«Կենտրոնների» ուշագրավ հատկությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ավելի քան երկու հազար տարեկան են, պարզվեց, որ օգտակար է ոչ միայն մեխանիկայի համար, օրինակ՝ տրանսպորտային միջոցների և ռազմական տեխնիկայի նախագծման, կառուցվածքների կայունությունը հաշվարկելու կամ ստացման համար։ ռեակտիվ մեքենաների շարժման հավասարումները. Դժվար թե Արքիմեդը նույնիսկ պատկերացնի, որ զանգվածի կենտրոն հասկացությունը շատ հարմար կլինի միջուկային ֆիզիկայի կամ տարրական մասնիկների ֆիզիկայի հետազոտությունների համար։

Ուսանողների հաղորդագրությունները.

Իր «Տափակ մարմինների հավասարակշռության մասին» աշխատության մեջ Արքիմեդն օգտագործել է ծանրության կենտրոնի գաղափարը՝ իրականում չսահմանելով այն: Ըստ երևույթին, այն առաջին անգամ ներմուծվել է Արքիմեդի անհայտ նախորդի կամ նրա կողմից, բայց ավելի վաղ մեզ չհասած աշխատության մեջ:

Տասնյոթ երկար դարեր պետք է անցներ, մինչև գիտությունը նոր արդյունքներ ավելացներ Արքիմեդի ձգողականության կենտրոնների վերաբերյալ հետազոտություններին։ Դա տեղի է ունեցել այն ժամանակ, երբ Լեոնարդո դա Վինչիին հաջողվել է գտնել քառանիստի ծանրության կենտրոնը։ Նա, մտածելով իտալական թեքված աշտարակների, ներառյալ Պիզայի աշտարակի կայունության մասին, եկավ «աջակցության պոլիգոնի թեորեմի»։

Արքիմեդի կողմից հայտնաբերված լողացող մարմինների հավասարակշռության պայմանները հետագայում պետք է նորից հայտնաբերվեին։ Դա արվել է 16-րդ դարի վերջին հոլանդացի գիտնական Սայմոն Ստևինի կողմից, ով ծանրության կենտրոնի հայեցակարգի հետ մեկտեղ օգտագործել է «ճնշման կենտրոն» հասկացությունը՝ ջրի ճնշման ուժի կիրառման կետը։ շրջապատելով մարմինը.

Տորիչելիի սկզբունքը (և զանգվածի կենտրոնի հաշվարկման բանաձևերը նույնպես նրա անունով են կոչվել), պարզվում է, որ կանխազգացել է նրա ուսուցիչ Գալիլեոն։ Իր հերթին, այս սկզբունքը հիմք է հանդիսացել Հյուգենսի դասական աշխատանքի ճոճանակային ժամացույցների վերաբերյալ և օգտագործվել նաև Պասկալի հայտնի հիդրոստատիկ ուսումնասիրություններում:

Մեթոդը, որը թույլ տվեց Էյլերին ուսումնասիրել կոշտ մարմնի շարժումը ցանկացած ուժերի ազդեցության տակ, այս շարժումը տարրալուծելն էր մարմնի զանգվածի կենտրոնի տեղաշարժի և դրա միջով անցնող առանցքների շուրջ պտույտի մեջ:

Օբյեկտները մշտական ​​դիրքում պահելու համար, երբ նրանց հենարանը շարժվում է, այսպես կոչված կարդան կախոցը օգտագործվել է մի քանի հարյուրամյակ. սարք, որում մարմնի ծանրության կենտրոնը գտնվում է առանցքների տակ, որոնց շուրջ այն կարող է պտտվել: Օրինակ՝ նավի կերոսինի լամպը։

Թեև Լուսնի վրա ձգողականությունը վեց անգամ ավելի քիչ է, քան Երկրի վրա, հնարավոր կլինի այնտեղ «միայն» չորս անգամ ավելացնել բարձր թռիչքի ռեկորդը։ Մարզիկի մարմնի ծանրության կենտրոնի բարձրության փոփոխությունների վրա հիմնված հաշվարկները հանգեցնում են այս եզրակացության:

Բացի իր առանցքի շուրջ ամենօրյա պտույտից և Արեգակի շուրջ տարեկան պտույտից, Երկիրը մասնակցում է ևս մեկ շրջանաձև շարժմանը: Լուսնի հետ միասին այն «պտտվում է» ընդհանուր զանգվածի կենտրոնի շուրջ, որը գտնվում է Երկրի կենտրոնից մոտավորապես 4700 կիլոմետր հեռավորության վրա:

Երկրի որոշ արհեստական ​​արբանյակներ հագեցված են մի քանի կամ նույնիսկ տասնյակ մետր երկարությամբ ծալովի գավազանով, որը կշռված է վերջում (այսպես կոչված գրավիտացիոն կայունացուցիչ): Բանն այն է, որ երկարաձգված արբանյակը ուղեծրով շարժվելիս ձգտում է պտտվել իր զանգվածի կենտրոնի շուրջ, որպեսզի նրա երկայնական առանցքը ուղղահայաց լինի: Այնուհետև այն, ինչպես Լուսինը, միշտ մի կողմից դեմքով կլինի Երկրին:

Որոշ տեսանելի աստղերի շարժման դիտարկումները ցույց են տալիս, որ դրանք երկուական համակարգերի մի մասն են, որոնցում «երկնային գործընկերները» պտտվում են զանգվածի ընդհանուր կենտրոնի շուրջ։ Նման համակարգի անտեսանելի ուղեկիցներից մեկը կարող է լինել նեյտրոնային աստղը կամ, հնարավոր է, սև խոռոչը:

Ուսուցչի բացատրությունը

Զանգվածի կենտրոնի թեորեմ. մարմնի զանգվածի կենտրոնը կարող է փոխել իր դիրքը միայն արտաքին ուժերի ազդեցության տակ:

Թեորեմի հետևանքը զանգվածի կենտրոնի վերաբերյալ. մարմինների փակ համակարգի զանգվածի կենտրոնը մնում է անշարժ համակարգի մարմինների ցանկացած փոխազդեցության ժամանակ:

Խնդրի լուծում (խորհրդի մոտ)

ԽՆԴԻՐ 2. Նավակը կանգնած է անշարժ ջրի մեջ: Նավակում գտնվող անձը աղեղից դեպի ծայր է շարժվում: Ի՞նչ հեռավորության վրա h կշարժվի նավը, եթե մարդու զանգվածը m = 60 կգ է, նավակի զանգվածը M = 120 կգ, իսկ նավակի երկարությունը L = 3 մ է: Անտեսեք ջրի դիմադրությունը:

ԼՈՒԾՈՒՄ. Եկեք օգտագործենք խնդրի պայմանը, որ զանգվածի կենտրոնի սկզբնական արագությունը զրոյական է (նավը և մարդը սկզբում հանգստանում էին) և ջրի դիմադրություն չկա (հորիզոնական ուղղությամբ արտաքին ուժեր չեն գործում «մարդ- նավակ» համակարգ): Հետևաբար, համակարգի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատը հորիզոնական ուղղությամբ չի փոխվել։ Նկար 3-ը ցույց է տալիս նավակի և անձի նախնական և վերջնական դիրքերը: x0 զանգվածի կենտրոնի սկզբնական կոորդինատը x0 = (mL+ML/2)/(m+M)

x = (mh+M(h+L/2))/(m+M) զանգվածի կենտրոնի վերջնական կոորդինատը x

Հավասարեցնելով x0 = x, գտնում ենք h= mL/(m+M) =1m

Լրացուցիչ.խնդիրների ժողովածու Ստեփանովա Գ.Ն. թիվ 393

Ուսուցչի բացատրությունը

Հիշեցնելով հավասարակշռության պայմանները՝ մենք գտանք, որ

Հենակետ ունեցող մարմինների համար կայուն հավասարակշռություն է նկատվում, երբ ծանրության գործողության գիծն անցնում է հիմքով։

Հետևություն. որքան մեծ է աջակցության տարածքը և որքան ցածր է ծանրության կենտրոնը, այնքան ավելի կայուն է հավասարակշռության դիրքը:

Ցույց

Տեղադրեք մանկական խաղալիքների գլանափաթեթը (Vanka - Vstanka) կոպիտ տախտակի վրա և բարձրացրեք տախտակի աջ եզրը: Ո՞ր ուղղությամբ է շեղվելու խաղալիքի «գլուխը»՝ պահպանելով հավասարակշռությունը։

Բացատրություն. Թմբուկի C ծանրության կենտրոնը գտնվում է «իրանի» գնդաձև մակերեսի O երկրաչափական կենտրոնից ներքև: Հավասարակշռության դիրքում C կետը և թեք հարթությամբ խաղալիքի շփման կետը պետք է լինեն նույն ուղղահայաց վրա. հետևաբար, թմբուկի «գլուխը» կշեղվի դեպի ձախ

Ինչպե՞ս բացատրել հավասարակշռության պահպանումը նկարում ներկայացված դեպքում:

Բացատրություն. Մատիտ-դանակի համակարգի ծանրության կենտրոնը գտնվում է հենակետի տակ

IIIՄիավորում.Ճակատային հետազոտություն

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Երբ մարմինը շարժվում է հասարակածից դեպի բևեռ, նրա վրա ազդող ծանրության ուժը փոխվում է։ Սա ազդում է մարմնի ծանրության կենտրոնի դիրքի վրա:

Պատասխան՝ ոչ, որովհետև Մարմնի բոլոր տարրերի ձգողության ուժի հարաբերական փոփոխությունները նույնն են։

2. Հնարավո՞ր է գտնել «համար»-ի ծանրության կենտրոնը, որը բաղկացած է երկու զանգվածային գնդիկներից, որոնք միացված են անկշիռ ձողով, պայմանով, որ «համրի» երկարությունը համեմատելի լինի Երկրի տրամագծին:

Պատասխան՝ ոչ։ Ծանրության կենտրոնի գոյության պայմանը գրավիտացիոն դաշտի միատեսակությունն է։ Ոչ միատեսակ գրավիտացիոն դաշտում «համրի» պտույտները նրա զանգվածի կենտրոնի շուրջ հանգեցնում են նրան, որ L1 և L2 գործողության գծերը՝ գնդակների վրա կիրառվող ծանրության ուժերը, չունեն ընդհանուր կետ։

3. Ինչու՞ է մեքենայի առջևի հատվածն ընկնում, երբ կտրուկ արգելակում ես:

Պատասխան. Արգելակելիս շփման ուժ է գործում անիվների վրա ճանապարհի կողքին՝ ստեղծելով ոլորող մոմենտ մեքենայի զանգվածի կենտրոնի շուրջ:

4. Որտե՞ղ է գտնվում բլիթի ծանրության կենտրոնը:

Պատասխան՝ փոսում։

5. Ջուրը լցվում է գլանաձեւ բաժակի մեջ։ Ինչպե՞ս կփոխվի ապակի-ջրային համակարգի ծանրության կենտրոնի դիրքը:

Պատասխան՝ Համակարգի ծանրության կենտրոնը սկզբում կնվազի, հետո կմեծանա։

6. Ի՞նչ երկարությամբ ծայրը պետք է կտրել համասեռ ձողից, որպեսզի նրա ծանրության կենտրոնը տեղափոխվի ∆ℓ-ով:

Պատասխան՝ երկարությունը 2∆ℓ:

7. Միատարր ձողն ուղիղ անկյան տակ թեքվել է մեջտեղում։ Որտե՞ղ էր այժմ նրա ծանրության կենտրոնը:

Պատասխան. O կետում - O1O2 հատվածի կեսը, որը միացնում է ձողի AB և BC հատվածների միջնակետերը:

9. Անշարժ տիեզերակայանը գլան է։ Տիեզերագնացը սկսում է շրջանաձև քայլել կայանի շուրջը նրա մակերեսով: Ի՞նչ կլինի կայանի հետ.

Պատասխան. ՀետԿայանը կսկսի պտտվել հակառակ ուղղությամբ, և նրա կենտրոնը կնկարագրի նույն զանգվածի կենտրոնի շուրջը, ինչ տիեզերագնացը:

11. Ինչո՞ւ է դժվար ոտքերի վրա քայլելը։

Պատասխան. ոտքերի վրա գտնվող մարդու ծանրության կենտրոնը զգալիորեն մեծանում է, իսկ գետնի վրա նրա հենարանի տարածքը նվազում է:

12. Ե՞րբ է լարախաղացին ավելի հեշտ հավասարակշռություն պահպանել՝ պարանի երկայնքով նորմալ շարժվելիս, թե՞ դույլերով բեռնված խիստ կոր ճառագայթը տանելիս:

Պատասխան. Երկրորդ դեպքում, քանի որ դույլերով ճոպանուղու զանգվածի կենտրոնն ավելի ցածր է, այսինքն. ավելի մոտ է աջակցությանը - պարանին:

IVՏնային աշխատանք:(կատարում են ցանկացողները. առաջադրանքները բարդ են, լուծողները ստանում են «5»):

*1. Գտե՛ք նկարում պատկերված հավասարակողմ անկշիռ եռանկյան գագաթներում գտնվող գնդերի համակարգի ծանրության կենտրոնը

Պատասխան. Ծանրության կենտրոնը գտնվում է այն անկյան կիսադիրի մեջտեղում, որի գագաթին կա 2 մ զանգվածով գունդ:

*2. Տախտակի անցքի խորությունը, որի մեջ տեղադրված է գնդակը, գնդակի շառավիղի կեսն է: Հորիզոնի նկատմամբ տախտակի թեքության ո՞ր անկյան տակ գնդակը դուրս կգա անցքից: