توان و استخراج ریشه در اکسل. استخراج ریشه ها: روش ها، مثال ها، راه حل ها نحوه محاسبه جذر توان

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد جاست n-ام قدرت یک عدد آچه زمانی:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

صبح·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

مثلا. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان th یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه ای با ضریب منفی.توان یک عدد معین با یک نما غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق نمایی غیر مثبت تعریف می شود:

فرمول صبح:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

مثلا. آ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول صبح:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که مساوی صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی آبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام متر-ام قدرت این عدد آ.

اکسل از توابع داخلی و عملگرهای ریاضی برای استخراج ریشه و افزایش یک عدد به توان استفاده می کند. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از تابع SQRT در اکسل

تابع SQRT داخلی مقدار ریشه مربع مثبت را برمی گرداند. در منوی توابع، در دسته ریاضی قرار دارد.

نحو تابع: =ROOT(تعداد).

تنها و مورد نیاز یک عدد مثبت است که تابع جذر آن را محاسبه می کند. اگر آرگومان منفی باشد، اکسل یک خطای #NUM! را برمی‌گرداند.

شما می توانید یک مقدار خاص یا یک مرجع به یک سلول با یک مقدار عددی به عنوان آرگومان مشخص کنید.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

تابع جذر عدد 36 را برگرداند. آرگومان یک مقدار خاص است.

تابع ABS مقدار مطلق -36 را برمی گرداند. استفاده از آن به ما این امکان را داد که هنگام استخراج جذر یک عدد منفی از خطا جلوگیری کنیم.

تابع جذر مجموع 13 و مقدار سلول C1 را گرفت.



تابع توان در اکسل

نحو تابع: = POWER (مقدار، عدد). هر دو استدلال لازم است.

مقدار هر مقدار عددی واقعی است. یک عدد نشانگر قدرتی است که یک مقدار معین باید به آن افزایش یابد.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

در سلول C2 - نتیجه مربع کردن عدد 10.

تابع عدد 100 را به ¾ برگرداند.

توان با استفاده از عملگر

برای افزایش یک عدد به توان در اکسل، می توانید از عملگر ریاضی "^" استفاده کنید. برای ورود به آن، Shift + 6 (با چیدمان صفحه کلید انگلیسی) را فشار دهید.

برای اینکه اکسل اطلاعات وارد شده را به عنوان یک فرمول در نظر بگیرد، ابتدا علامت "=" قرار می گیرد. بعدی عددی است که باید به توان افزایش یابد. و بعد از علامت "^" مقدار درجه است.

به جای هر مقدار از این فرمول ریاضی، می توانید از ارجاع به سلول های دارای اعداد استفاده کنید.

اگر نیاز به ساخت چندین مقدار دارید، این کار راحت است.

با کپی کردن فرمول در کل ستون، به سرعت به نتایج افزایش اعداد ستون A به توان سوم رسیدیم.

استخراج ریشه های n

ROOT تابع ریشه مربع در اکسل است. چگونه ریشه درجه های 3، 4 و دیگر را استخراج کنیم؟

بیایید یکی از قوانین ریاضی را به خاطر بسپاریم: برای استخراج ریشه n، باید عدد را به توان 1/n برسانید.

مثلا برای استخراج ریشه مکعب عدد را به توان 1/3 می بریم.

بیایید از فرمول برای استخراج ریشه های درجات مختلف در اکسل استفاده کنیم.

این فرمول مقدار ریشه مکعب عدد 21 را برمی گرداند. برای افزایش به توان کسری، از عملگر "^" استفاده شد.

تبریک می گویم: امروز ما به ریشه ها نگاه خواهیم کرد - یکی از جالب ترین موضوعات در کلاس هشتم. :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (چه چیزی در آن پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین جنگلی تعریف می شوند که فقط نویسندگان کتاب های درسی خودشان می توانند این نوشته را درک کنند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)

بنابراین، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و سپس توضیح خواهم داد: چرا همه اینها مورد نیاز است و چگونه می توان آن را در عمل اعمال کرد.

اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که بسیاری از گردآورندگان کتاب‌های درسی به دلایلی آن را فراموش می‌کنند:

ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین انواع $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (همه انواع $\sqrt) (a)$، $\ sqrt(a)$، و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد تا حدودی با یک درجه زوج متفاوت است.

احتمالاً 95٪ از تمام خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" پنهان شده است. بنابراین بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفیعدد $b$ طوری است که $((b)^(n))=a$. و ریشه فرد همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:

\(آ)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر «مورد علاقه» خود را می گیریم (به هر حال، این یک ریشه درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعبی (درجه فرد) به دست می آوریم. همچنین اغلب در مسائل و معادلات یافت می شود.

مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است، زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - نیازی به ترس از آنها نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "مثال عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر تفاوت بین درجه زوج و فرد را متوجه نشدید، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!

در این بین یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به همین دلیل نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلاً چرا ریشه نیاز است؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: «ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری می‌کشیدند؟» و واقعاً: اصلاً چرا این همه ریشه لازم است؟

برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور، زمانی که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی شبیه "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین برای نوشتن ضرب ده پنج به این صورت مشکل داشتند:

به همین دلیل به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ چیزی شبیه به این:

خیلی راحته! همه محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، و شما مجبور نیستید یک دسته کاغذ پوستی و دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5183 هدر دهید. این رکورد را قوه عدد می نامیدند، یک دسته از خواص در آن یافت شد، اما معلوم شد که خوشبختی کوتاه مدت است.

پس از یک مهمانی بزرگ نوشیدنی، که فقط برای "کشف" درجه ها برگزار شد، یک ریاضیدان سرسخت ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد ناشناخته باشد، چه؟" اکنون، در واقع، اگر بدانیم که یک عدد معین $b$، مثلاً، به توان 5 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ با چه چیزی برابر است؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر قدرت های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3))=50$ چی؟ معلوم می شود که باید عدد خاصی را پیدا کنیم که وقتی در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما بدهد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است، زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما شما نمی‌دانید که برابر با چه چیزی است.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان به $n$th ریشه رسیدند. دقیقاً به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای تعیین همان عدد $b$، که به میزان مشخص شده مقداری از قبل شناخته شده را به ما می دهد

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی محاسبه می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر کنید و سپس سعی کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، با مشکل وحشتناکی روبرو خواهید شد.

چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را در یک ماشین حساب وارد کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. مثلا:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، کاملاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن باید در نمایه Unified State Examination آزمایش شود).

بنابراین، در ریاضیات جدی شما نمی توانید بدون ریشه انجام دهید - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، درست مانند کسری ها و اعداد صحیح که مدت ها برای ما آشنا بودند.

ناتوانی در نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم ها، توان ها، حدود و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً -1.2599... \\ \پایان (تراز کردن)\]

طبیعتاً از ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که چه اعدادی بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین نوشتن پاسخ ها به شکل $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

دقیقا به همین دلیل اختراع شدند. برای ضبط راحت پاسخ ها.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از ابتدا. اما ریشه های مکعب را می توان با آرامش از هر عددی - مثبت یا منفی - استخراج کرد.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ روی نمودار رسم می شود (با رنگ قرمز مشخص شده است) که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ مثل اینکه چهار به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین پست هایی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)

مشکل این است که اگر هیچ شرط اضافی را اعمال نکنید، آنگاه چهار ریشه دوم خواهد داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی را نمی پذیرد.

یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه حتی $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که در تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح شده است که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ نگاه کنیم:

سهمی مکعبی می تواند هر مقداری را بگیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار دو نتیجه می توان گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، بر خلاف یک سهمی معمولی، در هر دو جهت - بالا و پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین، مهم نیست که چه ارتفاعی یک خط افقی بکشیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. در نتیجه، ریشه مکعب را همیشه می توان از هر عددی مطلق استخراج کرد.
2. علاوه بر این، چنین تقاطعی همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین نیازی نیست به این فکر کنید که کدام عدد ریشه "درست" در نظر گرفته می شود و کدام یک را نادیده بگیرید. به همین دلیل است که تعیین ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک درجه زوج است (نیازی برای غیر منفی بودن وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: شما همچنین باید بدانید که ریشه حسابی چیست. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز ما نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن همه افکار در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه دادم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

تنها کاری که باید انجام دهید این است که تفاوت بین نشانگرهای زوج و فرد را درک کنید. بنابراین، بیایید یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری کنیم:

1. ریشه یک درجه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که سرپوش اشاره می کند، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. واضح است؟ بله، کاملا واضح است! پس حالا کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این در یک درس جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت. بنابراین ، اکنون ما فقط مهمترین "ترفند" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با شاخص زوج اعمال می شود. بیایید این ویژگی را به صورت فرمول بنویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان توان را استخراج کنیم، عدد اصلی را بدست نمی آوریم، بلکه مدول آن را بدست می آوریم. این یک قضیه ساده است که به راحتی قابل اثبات است (کافی است $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس منفی را جداگانه در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آورده شده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی یک علامت رادیکال) دانش آموزان به اتفاق آرا این فرمول را فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد را مستقیماً محاسبه کنیم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. اکثر مردم مثال اول را حل می کنند، اما بسیاری از مردم در مورد دوم گیر می کنند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید دریافت خواهید کرد که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه چهارم را استخراج کرد. آن ها هیچ "کاهش" ریشه ها و قدرت ها اتفاق نمی افتد - این اقدامات متوالی هستند.

بیایید به اولین عبارت نگاه کنیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که باید آن را در خود 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی های محصول 4 است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای برای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج می کنیم:

در اصل، این خط نمی‌توانست نوشته شود، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، معایب را «سوزاند»، و از این نظر، نتیجه از یک ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه دارای یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به رویه

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که همیشه یک عدد غیر منفی زیر علامت ریشه وجود دارد، زیرا $((a)^(2))\ge 0$ در هر صورت.
2. اما علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، برعکس، به این معنی است که ابتدا ریشه یک عدد معین $a$ را می گیریم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ به هیچ وجه نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف گنجانده شده است.

بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد، در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر ریشه یک عدد منفی داشته باشد و نمایش زوج باشد، یکسری مشکل به دست می آید.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً با زوج وجود ندارد. برای مثال:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه های درجه فرد حذف کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام معایب را "بیرون بیندازید":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه پنهان بود، اما درجه در ریشه یکنواخت بود، چه؟ فقط کافی است تمام منفی های خارج از ریشه را "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد، و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به سمت آن سوق دهد. یک خطا.

و در اینجا تعریف دیگری به صحنه می آید - همان تعریفی که در بیشتر مدارس مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که در زیر علامت ریشه فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر وجود دارد. بیایید شاخص های زوج/فرد را فراموش کنیم، بیایید تمام تعاریف ارائه شده در بالا را فراموش کنیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟

و سپس یک ریشه حسابی دریافت خواهیم کرد - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما همپوشانی دارد، اما هنوز با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینیم، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعبی که قبلاً با آنها آشنا هستیم نگاهی بیندازید:

منطقه جستجو ریشه حسابی - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این به بعد ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مند هستیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا حق داریم یک عدد منفی را زیر ریشه قرار دهیم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا به چنین تعریف خنثی شده ای نیاز داریم؟" یا: «چرا نمی‌توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شد کنار بیاییم؟»

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا نمونه هایی وجود دارد:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس مشکل اصلی چیه؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. بیایید یک عبارت ساده را در نظر بگیریم: $\sqrt(-2)$ - این عدد در درک کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال حذف کردیم (حق داریم، زیرا توان فرد است)، و در حالت دوم از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به ایجاد بدعت کامل می کند.

برای رهایی از چنین ابهامی بود که ریشه های حسابی اختراع شد. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن تمام خواص آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین ما اکنون روی آنها تمرکز نمی کنیم - درس قبلاً خیلی طولانی شده است.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

مدت ها فکر کردم که آیا این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه قرار دهم یا خیر. در نهایت تصمیم گرفتم آن را اینجا بگذارم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به سطح المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه $n$th یک عدد و تقسیم مربوط به آن به توانای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به هیچ وجه به برابری و سایر ظرافت ها بستگی ندارد. به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$th هر $a$ مجموعه تمام اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ عنوان مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین ما فقط یک خط تیره در بالای صفحه قرار می دهیم:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه تنها در سه نوع موجود است:

1. مجموعه تهی. زمانی اتفاق می‌افتد که باید از یک عدد منفی یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کنید.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. تمام ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در تابع درجه دوم نمودار بر این اساس، چنین ترتیبی فقط هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. عبارات را ارزیابی کنید:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. اولین عبارت ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا توان ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

یک مجموعه خالی دریافت کردیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) افزایش یابد، عدد منفی -16 را به ما بدهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ در آنجا کاملاً امکان پذیر است و بسیاری چیزهای عجیب دیگر.

با این حال، اعداد مختلط تقریباً هرگز در دروس ریاضیات مدارس مدرن ظاهر نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند، زیرا مقامات ما این موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی به تمام ویژگی های کلیدی ریشه ها نگاه می کنیم و در نهایت نحوه ساده سازی عبارات غیر منطقی را یاد می گیریم. :)

عملیات با قدرت و ریشه. مدرک با منفی ,

صفر و کسری نشانگر در مورد عباراتی که معنی ندارند.

عملیات با درجه.

1. هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، توان آنها جمع می شود:

صبح · a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کسر می شوند .

3. درجه حاصلضرب دو یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. درجه یک نسبت (کسری) برابر است با نسبت درجات تقسیم (حساب) و مقسوم علیه (مخرج):

(الف/ب ) n = a n / b n .

5. هنگام افزایش توان به توان، توان آنها ضرب می شود:

(صبح ) n = a m n .

تمامی فرمول های فوق در هر دو جهت از چپ به راست و بالعکس خوانده و اجرا می شوند.

مثال (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

عملیات با ریشه در تمام فرمول های زیر، نماد به معنای ریشه حسابی(بیان رادیکال مثبت است).

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر با حاصلضرب است ریشه های این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت ریشه های سود تقسیمی و تقسیم کننده:

3. زمانی که یک ریشه را به یک قدرت بالا می بریم، کافی است به این قدرت برسانیم عدد رادیکال:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهیممتر بالا بردن بهمتر توان دهم یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهیممتر ریشه را یکبار و همزمان استخراج کنیدمتر توان دهم یک عدد رادیکال، پس مقدار ریشه نیستتغییر خواهد کرد:

گسترش مفهوم درجه. تا کنون درجاتی را فقط با شارحهای طبیعی در نظر گرفته ایم.اما اقدامات با درجه و ریشه نیز می تواند منجر شود منفی, صفرو کسریشاخص ها. همه این نماها نیاز به تعریف بیشتری دارند.

درجه ای با ضریب منفی. توان فلان عدد ج یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت یک تقسیم شده تعریف می شود با توانی به همان عدد با توانی برابر با قدر مطلقشاخص منفی:

تیحالا فرمول صبح: a n= صبح - n را می توان نه تنها برایمتر، بیشتر از n، بلکه با متر، کمتر از n .

مثال آ 4 :آ 7 =a 4 - 7 =a - 3 .

اگر فرمول را بخواهیمصبح : a n= صبح - nوقتی منصفانه بودm = n, ما نیاز به تعریف درجه صفر داریم.

مدرک با شاخص صفر. توان هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. برای بالا بردن یک عدد واقعیو به توان m/n ، باید ریشه را استخراج کنید n ام توان m -ام قدرت این عددآ :

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.هر عددی

در واقع اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با فلان عدد باشد ایکس، سپس با توجه به تعریف عملیات تقسیم داریم: 0 = 0 · ایکس. اما این برابری زمانی رخ می دهد که هر عدد x، چیزی بود که باید ثابت می شد.

مورد 3.

0 0 - هر عددی

واقعا،

راه حل بیایید سه مورد اصلی را در نظر بگیریم:

1) ایکس = 0 – این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

(چرا؟).

2) چه زمانی ایکس> 0 دریافت می کنیم: x/x = 1، یعنی 1 = 1 که به این معنی است

چی ایکس- هر تعداد؛ اما با در نظر گرفتن اینکه در

در مورد ما ایکس> 0، پاسخ این استایکس > 0 ;

3) چه زمانی ایکس < 0 получаем: – x/x= 1، یعنی e . -1 = 1، بنابراین،

در این مورد هیچ راه حلی وجود ندارد.

بدین ترتیب، ایکس > 0.

اغلب، تبدیل و ساده سازی عبارات ریاضی مستلزم حرکت از ریشه به قدرت و بالعکس است. این مقاله در مورد نحوه تبدیل ریشه به درجه و برگشت صحبت می کند. تئوری، مثال های عملی و رایج ترین اشتباهات مورد بحث قرار می گیرد.

انتقال از توان با توان کسری به ریشه

فرض کنید یک عدد با یک توان به شکل یک کسری معمولی داریم - a m n. چگونه چنین عبارتی را به عنوان ریشه بنویسیم؟

پاسخ از همان تعریف مدرک بدست می آید!

تعریف

عدد مثبت a به توان m n ریشه n عدد a m است.

در این صورت شرط زیر باید رعایت شود:

a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

توان کسری صفر نیز به طور مشابه تعریف می شود، اما در این مورد عدد m نه به عنوان یک عدد صحیح، بلکه به عنوان یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود، به طوری که تقسیم بر 0 رخ نمی دهد:

0 m n = 0 m n = 0 .

مطابق با تعریف، درجه a m n را می توان به عنوان ریشه a m n نشان داد.

به عنوان مثال: 3 2 5 = 3 2 5، 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

با این حال، همانطور که قبلا ذکر شد، ما نباید شرایط را فراموش کنیم: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

بنابراین، عبارت - 8 1 3 را نمی توان به شکل - 8 1 3 نشان داد، زیرا نماد - 8 1 3 به سادگی معنا ندارد - درجه اعداد منفی تعریف نشده است. علاوه بر این، خود ریشه - 8 1 3 معنا پیدا می کند.

انتقال از درجات با عبارات در مبنا و نماهای کسری به طور مشابه در کل محدوده مقادیر مجاز (از این پس به عنوان VA نامیده می شود) عبارات اصلی در پایه درجه انجام می شود.

به عنوان مثال، عبارت x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 را می توان به عنوان جذر x 2 + 2 x + 1 - 4 نوشت. عبارت به توان x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 عبارت x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 برای همه x، y، z از ODZ این عبارت می شود.

جایگزینی معکوس ریشه ها با قدرت ها، زمانی که به جای عبارت با ریشه، عبارات با قدرت نوشته می شود نیز امکان پذیر است. ما به سادگی برابری پاراگراف قبلی را برعکس می کنیم و به دست می آوریم:

باز هم، انتقال برای اعداد مثبت a واضح است. به عنوان مثال، 7 6 4 = 7 6 4، یا 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

برای a منفی، ریشه ها معنا دارند. به عنوان مثال - 4 2 6، - 2 3. با این حال، نمی توان این ریشه ها را در قالب قدرت ها - 4 2 6 و - 2 1 3 بازنمایی کرد.

آیا حتی می توان چنین عباراتی را با قدرت تبدیل کرد؟ بله، اگر تغییرات اولیه ایجاد کنید. بیایید در نظر بگیریم کدام یک.

با استفاده از ویژگی های قدرت ها، می توانید عبارت را تبدیل کنید - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

از 4 > 0 می توانیم بنویسیم:

در مورد ریشه فرد از یک عدد منفی می توانیم بنویسیم:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

سپس عبارت - 2 3 به شکل زیر در می آید:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

اکنون بیایید بفهمیم که چگونه ریشه هایی که عبارات در آنها قرار می گیرند با قدرت های حاوی این عبارات در پایه جایگزین می شوند.

اجازه دهید با حرف A چند عبارت را نشان دهیم. با این حال، ما برای نشان دادن A m n به شکل A m n عجله نخواهیم کرد. اجازه دهید توضیح دهیم که در اینجا منظور چیست. به عنوان مثال، عبارت x - 3 2 3، بر اساس برابری پاراگراف اول، می خواهم به شکل x - 3 2 3 ارائه کنم. چنین جایگزینی فقط برای x - 3 ≥ 0 امکان پذیر است و برای x باقی مانده از ODZ مناسب نیست، زیرا برای a منفی فرمول mn = a m n معنی ندارد.

بنابراین، در مثال مورد بررسی، تبدیل به شکل A m n = A m n تبدیلی است که ODZ را باریک می کند و به دلیل استفاده نادرست از فرمول A mn = A m n، اغلب خطاهایی رخ می دهد.

برای حرکت صحیح از ریشه A m n به توان A m n ، باید چندین نکته را رعایت کرد:

• اگر عدد m عدد صحیح و فرد باشد و n طبیعی و زوج باشد، فرمول A m n = A m n برای کل ODZ متغیرها معتبر است.
• اگر m یک عدد صحیح و فرد باشد و n یک عدد طبیعی و فرد باشد، عبارت A m n را می توان جایگزین کرد:
  - روی A m n برای همه مقادیر متغیرهایی که برای آنها A ≥ 0؛
  - on - - A m n برای تمام مقادیر متغیرهایی که برای آنها A< 0 ;
• اگر m یک عدد صحیح و زوج باشد و n هر عدد طبیعی باشد، A m n را می توان با A m n جایگزین کرد.

بیایید همه این قوانین را در یک جدول خلاصه کنیم و چندین مثال از کاربرد آنها ارائه دهیم.

بیایید به عبارت x - 3 2 3 برگردیم. در اینجا m = 2 یک عدد صحیح و زوج است و n = 3 یک عدد طبیعی است. این بدان معنی است که عبارت x - 3 2 3 به شکل صحیح نوشته می شود:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

بیایید مثال دیگری با ریشه و قدرت بزنیم.

مثال. تبدیل ریشه به قدرت

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5، x > - 5 - - x - 5 - 3 5، x< - 5

اجازه دهید نتایج ارائه شده در جدول را توجیه کنیم. اگر عدد m عدد صحیح و فرد باشد و n طبیعی و زوج باشد، برای همه متغیرهای ODZ در عبارت A m n مقدار A مثبت یا غیرمنفی است (برای m > 0). به همین دلیل است که A m n = A m n .

در گزینه دوم، وقتی m یک عدد صحیح، مثبت و فرد باشد و n طبیعی و فرد باشد، مقادیر A m n از هم جدا می شوند. برای متغیرهایی از ODZ که A برای آنها غیر منفی است، A m n = A m n = A m n . برای متغیرهایی که A منفی است، A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n به دست می آوریم.

اجازه دهید به طور مشابه مورد زیر را در نظر بگیریم، زمانی که m یک عدد صحیح و زوج است، و n هر عدد طبیعی است. اگر مقدار A مثبت یا غیرمنفی باشد، برای چنین مقادیری از متغیرهای ODZ A m n = A m n = A m n . برای A منفی A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n بدست می آوریم.

بنابراین، در مورد سوم، برای همه متغیرهای ODZ می‌توانیم A m n = A m n بنویسیم.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید