تعیین شتاب حرکت مرکز جرم بار. قانون سوم نیوتن

با توافق ویژه با هیئت تحریریه و سردبیران مجله کوانت

هنگام حل مسائل مکانیکی، استفاده از مفهوم مرکز جرم یک سیستم از نقاط مادی می تواند کمک ارزشمندی ارائه دهد. برخی از مشکلات را نمی توان بدون توسل به این مفهوم حل کرد؛ حل برخی دیگر با کمک آن می تواند بسیار ساده تر و واضح تر شود.

قبل از بحث در مورد مسائل خاص، اجازه دهید ویژگی های اصلی مرکز جرم را یادآوری کنیم و آنها را با مثال هایی توضیح دهیم.

مرکز جرم (مرکز اینرسی) یک سیستم از نقاط مادی نقطه ای است که توزیع جرم ها را در سیستم مشخص می کند که مختصات آن با فرمول تعیین می شود.

اینجا m i- انبوه نقاط مادی تشکیل دهنده سیستم، x i, y من, z i- مختصات این نقاط. خوانندگانی که با مفهوم بردار شعاع آشنا هستند، نماد برداری را ترجیح می دهند:

(1)

مثال 1. بیایید موقعیت مرکز جرم را پیدا کنیم، ساده ترین سیستم متشکل از دو نقطه که جرم آنها متر 1 و متر 2 و فاصله بین آنها ل(عکس. 1).

جهت دادن به محور ایکساز نقطه اول تا نقطه دوم، متوجه می شویم که فاصله نقطه اول تا مرکز جرم (یعنی مختصات مرکز جرم) برابر است و فاصله مرکز جرم تا نقطه دوم برابر است. به یعنی نسبت فواصل معکوس به نسبت جرم است. این بدان معناست که در این حالت موقعیت مرکز جرم با مرکز ثقل منطبق است.

اجازه دهید برخی از ویژگی های مرکز جرم را مورد بحث قرار دهیم، که به نظر ما، تعریف رسمی این مفهوم را که در بالا ارائه شد با محتوای فیزیکی پر می کند.

1) اگر قسمتی از سیستم با یک نقطه با جرمی برابر با جرم این زیرسیستم جایگزین شود و در مرکز جرم آن قرار گیرد، موقعیت مرکز جرم تغییر نخواهد کرد.

مثال 2. بیایید یک مثلث همگن مسطح را در نظر بگیریم و موقعیت مرکز جرم آن را پیدا کنیم. مثلث را به نوارهای نازک موازی با یکی از اضلاع تقسیم کنید و هر نوار را با یک نقطه در وسط آن جایگزین کنید. از آنجایی که همه چنین نقاطی روی میانه مثلث قرار دارند، مرکز جرم نیز باید روی میانه قرار گیرد. با تکرار استدلال برای هر طرف، متوجه می‌شویم که مرکز جرم در تقاطع میانه‌ها قرار دارد.

2) سرعت مرکز جرم را می توان با گرفتن مشتق زمانی هر دو طرف برابری (1) پیدا کرد:

(2)

جایی که - تکانه سیستم، متر- جرم کل سیستم مشاهده می شود که سرعت مرکز جرم سیستم بسته ثابت است. این بدان معنی است که اگر یک قاب مرجع متحرک ترجمه را با مرکز جرم مرتبط کنیم، آنگاه اینرسی خواهد بود.

مثال 3. اجازه دهید یک میله یکنواخت به طول قرار دهیم لبه صورت عمودی روی یک صفحه صاف (شکل 2) و رها کنید. در طول سقوط، هم مؤلفه افقی تکانه آن و هم مؤلفه افقی سرعت مرکز جرم برابر با صفر خواهند بود. بنابراین، در لحظه سقوط، مرکز میله در محلی است که میله در ابتدا ایستاده است و انتهای میله به صورت افقی تغییر می کند. .

3) شتاب مرکز جرم برابر است با مشتق سرعت آن نسبت به زمان:

(3)

جایی که در سمت راست برابری فقط نیروهای خارجی وجود دارد، زیرا تمام نیروهای داخلی طبق قانون سوم نیوتن خنثی می شوند. ما متوجه شدیم که مرکز جرم به عنوان یک نقطه خیالی با جرمی برابر با جرم سیستم حرکت می کند که تحت تأثیر نیروی خارجی حاصل حرکت می کند. این احتمالاً فیزیکی ترین ویژگی مرکز جرم است.

مثال 4. اگر چوبی را پرتاب کنید و باعث چرخش آن شود، مرکز جرم چوب (وسط آن) با شتاب ثابت حرکت می کند. در امتداد سهمی (شکل 3).

4) سیستم نقاط را در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دهید. سپس کل گشتاور گرانش نسبت به هر محوری که از مرکز جرم می گذرد برابر با صفر است. این بدان معنی است که حاصل گرانش از مرکز جرم عبور می کند، یعنی. مرکز جرم نیز مرکز ثقل است.

5) انرژی پتانسیل یک سیستم از نقاط در یک میدان گرانشی یکنواخت با فرمول محاسبه می شود

جایی که ساعت ts - ارتفاع مرکز جرم سیستم

مثال 5. هنگام حفر یک سوراخ در یک پوند یکنواخت ساعتو پراکندگی خاک بر روی سطح، انرژی پتانسیل آن افزایش می یابد، که در آن متر- توده خاک حفاری شده

6) و یک ویژگی مفید دیگر مرکز جرم. انرژی جنبشی یک سیستم از نقاط را می توان به صورت مجموع دو جمله نشان داد: انرژی جنبشی حرکت انتقالی کلی سیستم برابر با و انرژی جنبشی Eنسبت به حرکت نسبت به سیستم مرجع مرتبط با مرکز جرم:

مثال 6. انرژی جنبشی حلقه غلتش بدون لغزش روی سطح افقی با سرعت υ برابر است با

از آنجایی که حرکت نسبی در این حالت چرخش خالص است که برای آن سرعت خطی نقاط حلقه برابر با υ است (سرعت کل نقطه پایین باید برابر با صفر باشد).

حالا بیایید شروع به تجزیه و تحلیل مسائل با استفاده از مرکز جرم کنیم.

مشکل 1. یک میله همگن روی یک سطح افقی صاف قرار دارد. دو نیروی افقی با قدر مساوی اما مخالف جهت به میله اعمال می شود: یک نیرو به وسط میله، دیگری به انتهای آن (شکل 4). نسبت به چه نقطه ای میله شروع به چرخش می کند؟

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که محور چرخش نقطه ای است که در وسط بین نقاط اعمال نیرو قرار دارد. با این حال، رابطه (3) نشان می دهد که از آنجایی که مجموع نیروهای خارجی صفر است، شتاب مرکز جرم نیز صفر است. این بدان معنی است که مرکز میله در حالت استراحت باقی می ماند، یعنی. به عنوان یک محور چرخش عمل می کند.

مشکل 2. طول میله یکنواخت نازک لو جرم متردر امتداد یک سطح افقی صاف حرکت می کند به طوری که به صورت انتقالی حرکت می کند و همزمان با سرعت زاویه ای ω می چرخد. کشش میله را بسته به فاصله پیدا کنید ایکسبه مرکز آن

اجازه دهید به سیستم مرجع اینرسی مرتبط با مرکز میله برویم. اجازه دهید حرکت یک تکه میله محصور در بین نقطه میله مورد نظر (واقع در فاصله) را در نظر بگیریم. ایکساز مرکز) و انتهای آن (شکل 5).

تنها نیروی خارجی برای این قطعه نیروی کششی مورد نیاز است اف n، جرم برابر است و مرکز جرم آن در دایره ای به شعاع حرکت می کند با شتاب با نوشتن معادله حرکت مرکز جرم قطعه انتخاب شده، به دست می آوریم

مشکل 3. یک ستاره دوتایی از دو ستاره با جرم تشکیل شده است متر 1 و متر 2 که فاصله بین آنها تغییر نمی کند و برابر می ماند L. دوره چرخش ستاره دوتایی را بیابید.

اجازه دهید حرکت ستارگان جزء را در چارچوب مرجع اینرسی مرتبط با مرکز جرم ستاره دوتایی در نظر بگیریم. در این قاب مرجع، ستارگان با سرعت زاویه ای یکسان در امتداد دایره هایی با شعاع های مختلف حرکت می کنند (شکل 6).

شعاع چرخش یک ستاره با جرم متر 1 برابر است (به مثال 1 مراجعه کنید)، و شتاب مرکز آن توسط نیروی جاذبه به سمت ستاره دیگر ایجاد می شود:

می بینیم که دوره چرخش یک ستاره دو برابر است

و با مجموع جرم ستاره دوتایی، بدون توجه به نحوه توزیع آن در بین ستارگان تعیین می شود.

مشکل 4. دو جرم نقطه ای مترو 2 متربا نخ بی وزن بسته شده است لو در امتداد یک صفحه افقی صاف حرکت کنید. در نقطه ای از زمان سرعت جرم 2 متربرابر با صفر و سرعت جرم است متربرابر با υ و عمود بر نخ هدایت می شود (شکل 7). کشش نخ و دوره چرخش سیستم را پیدا کنید.

برنج. 7

مرکز جرم سیستم از جرم 2 فاصله دارد مترو با سرعت حرکت می کند. در سیستم مرجع مرتبط با مرکز جرم، یک نقطه جرم 2 متردر یک دایره شعاع با سرعت حرکت می کند. این بدان معنی است که دوره چرخش برابر است با (بررسی کنید که اگر نقطه ای با جرم در نظر بگیریم همان پاسخ به دست می آید متر). کشش نخ را از معادله حرکت هر یک از دو نقطه بدست می آوریم:

مشکل 5. دو بلوک جرمی یکسان مترهر کدام توسط یک سفتی فنر سبک به هم متصل می شوند ک(شکل 8). به میله اول سرعت υ 0 در جهت از میله دوم داده می شود. حرکت سیستم را شرح دهید. چقدر طول می کشد تا تغییر شکل فنر برای اولین بار به حداکثر مقدار خود برسد؟

مرکز جرم سیستم با سرعت ثابتی حرکت خواهد کرد. در چارچوب مرجع مرکز جرم، سرعت اولیه هر بلوک برابر است و سفتی نیمه فنری که آن را به مرکز جرم ساکن متصل می کند، 2 است. ک(سفتی فنر با طول آن نسبت معکوس دارد). دوره چنین نوساناتی برابر است با

و دامنه ارتعاش هر میله که از قانون بقای انرژی بدست می آید برابر است با

برای اولین بار، تغییر شکل پس از یک چهارم دوره به حداکثر می رسد، یعنی. بعد از مدتی .

مشکل 6. جرم توپ متربا سرعت v به یک توپ ثابت با جرم 2 برخورد می کند متر. سرعت هر دو توپ را پس از ضربه مرکزی الاستیک پیدا کنید.

در چارچوب مرجع مرتبط با مرکز جرم، تکانه کل دو توپ قبل و بعد از برخورد صفر است. به راحتی می توان حدس زد که کدام پاسخ برای سرعت های نهایی هم این شرط و هم قانون بقای انرژی را برآورده می کند: سرعت ها از نظر قدر مانند قبل از ضربه باقی می مانند، اما جهت خود را به عکس تغییر می دهند. سرعت مرکز جرم سیستم برابر است با . در سیستم مرکز جرم، توپ اول با سرعت حرکت می کند و توپ دوم با سرعت به سمت توپ اول حرکت می کند. پس از ضربه، توپ ها با همان سرعت دور می شوند. باقی مانده است که به چارچوب مرجع اصلی برگردیم. با اعمال قانون جمع سرعت ها، در می یابیم که سرعت نهایی یک توپ با جرم است متربرابر و به سمت عقب هدایت شده و سرعت توپ با جرم 2 قبلاً در حالت استراحت است متربرابر و به جلو هدایت شده است.

توجه داشته باشید که در سیستم مرکز جرم واضح است که در هنگام برخورد سرعت نسبی توپ ها در بزرگی تغییر نمی کند، بلکه در جهت تغییر می کند. و از آنجایی که تفاوت سرعت هنگام حرکت به سیستم مرجع اینرسی دیگری تغییر نمی کند، می توانیم فرض کنیم که این رابطه مهم را برای سیستم مرجع اصلی به دست آورده ایم:

υ 1 – υ 2 = تو 1 – تو 2 ,

که در آن حرف υ برای نشان دادن سرعت های اولیه و تو- برای آخرین ها این معادله را می توان با قانون بقای تکانه به جای قانون بقای انرژی (که در آن سرعت ها به توان دوم می آیند) حل کرد.

مسئله 7. مشخص است که در هنگام برخورد الاستیک خارج از مرکز دو توپ یکسان، که یکی از آنها قبل از ضربه در حالت استراحت بود، زاویه انبساط 90 درجه است. این جمله را ثابت کنید.

در سیستم مرکز جرم، یک ضربه خارج از مرکز را می توان به شرح زیر توصیف کرد. قبل از برخورد، توپ‌ها با تکانه‌های مساوی نزدیک می‌شوند؛ پس از ضربه، با تکانه‌هایی به بزرگی یکسان، اما در جهت‌های مخالف، از هم جدا می‌شوند و خط انبساط با زاویه خاصی نسبت به خط نزدیک می‌چرخد. برای بازگشت به چارچوب مرجع اولیه، هر سرعت نهایی باید (به صورت برداری!) با سرعت مرکز جرم اضافه شود. در مورد توپ های یکسان، سرعت مرکز جرم برابر است، که در آن υ سرعت توپ برخوردی است، و در چارچوب مرجع مرکز جرم، توپ ها با همان سرعت از هم نزدیک می شوند و از هم دور می شوند. این واقعیت که پس از افزودن هر سرعت نهایی به سرعت مرکز جرم، بردارهای عمود بر یکدیگر به دست می آیند را می توان از شکل 9 مشاهده کرد. یا به سادگی می توانید بررسی کنید که حاصل ضرب اسکالر بردارها به دلیل این واقعیت که ماژول های بردارها با هم برابرند.

تمرینات

1. میله جرم مترو طول لدر یک انتها لولا شده است. میله با زاویه مشخصی از حالت عمودی منحرف شد و رها شد. در لحظه عبور از موقعیت عمودی، سرعت نقطه پایین برابر با υ است. کشش را در نقطه وسط میله در این نقطه از زمان پیدا کنید.

2. میله جرم مترو طول لدر یک صفحه افقی با سرعت زاویه ای ω به دور یکی از انتهای آن بچرخد. رابطه بین کشش میله و فاصله را پیدا کنید ایکسبه محور چرخش، اگر وزن کمی از جرم به انتهای دیگر متصل شود م.

3. دوره نوسان را برای سیستم توضیح داده شده در مسئله 5 مقاله، اما برای میله هایی با جرم های مختلف بیابید. متر 1 و متر 2 .

4. فرمول های عمومی شناخته شده برای ضربه مرکزی الاستیک دو توپ را با استفاده از انتقال به مرکز قاب مرجع جرم استخراج کنید.

5. توپ جرم متر 1 با یک توپ در حالت استراحت با جرم کمتر برخورد می کند متر 2. حداکثر زاویه ممکن انحراف توپ ورودی را در هنگام برخورد خارج از مرکز الاستیک پیدا کنید.

1.

2.

3.

مرکز جرم معادله حرکت مرکز جرم. خود قانون: اجسام با نیروهایی با ماهیت یکسان که در امتداد یک خط مستقیم هدایت می شوند، بر روی یکدیگر عمل می کنند، از نظر قدر مساوی و در جهت مخالف: مرکز جرم یک نقطه هندسی است که حرکت یک جسم یا سیستمی از ذرات را مشخص می کند. یک کل تعریف موقعیت مرکز جرم مرکز اینرسی در مکانیک کلاسیک به صورت زیر تعریف می شود: که در آن بردار شعاع مرکز جرم بردار شعاع نقطه ith سیستم و جرم نقطه ith است.

7. قانون سوم نیوتن. مرکز جرم معادله حرکت مرکز جرم.

قانون سوم نیوتنبیان می کند: نیروی عمل از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف نیروی واکنش است.

خود قانون:

اجسام با نیروهایی با ماهیت یکسان، در امتداد یک خط مستقیم، از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف، بر روی یکدیگر عمل می کنند:

مرکز جرم این یک نقطه هندسی است که مشخص می کندجنبش بدنه یا سیستمی از ذرات به عنوان یک کل.

تعریف

موقعیت مرکز جرم (مرکز اینرسی) در مکانیک کلاسیک به صورت زیر تعیین می شود:

که در آن شعاع بردار مرکز جرم، شعاع بردار i نقطه ام سیستم،

جرم نقطه i.

.

این معادله حرکت مرکز جرم یک سیستم از نقاط مادی با جرمی برابر با جرم کل سیستم است که مجموع تمام نیروهای خارجی (بردار اصلی نیروهای خارجی) یا قضیه به آن اعمال می شود. در حرکت مرکز جرم

و همچنین کارهای دیگری که ممکن است برای شما جالب باشد
22476.		طبقه بندی سیستم های تماس رادیویی شخصی، پیجرها، تکرار کننده ها، پروتکل های انتقال اطلاعات اولیه.	1.21 مگابایت
	طبقه بندی سیستم های تماس رادیویی شخصی پیجرهای تکرار کننده پروتکل های انتقال اطلاعات اولیه. هدف از کار مطالعه طبقه بندی سیستم های تماس رادیویی شخصی، پیجرها، تکرار کننده ها، پروتکل های انتقال اطلاعات اولیه. با پروتکل های اولیه برای انتقال اطلاعات به SPRV آشنا شوید. در این مورد، برای انتقال تماس به مشترک، از کدگذاری آهنگ پی در پی آدرس استفاده شد که امکان سرویس دهی به چند ده هزار کاربر را فراهم کرد.
22477.		مطالعه روش های کدگذاری سیگنال های گفتار در استاندارد شبکه های تترا ترانکینگ	961.5 کیلوبایت
	وظیفه: با توضیحات کلی الگوریتم کدگذاری سیگنال گفتار آشنا شوید. ویژگی های کدگذاری کانال برای کانال های منطقی مختلف را مطالعه کنید. شرح کلی الگوریتم کدگذاری سیگنال گفتار CELP برای رمزگذاری مالتی پلکس کردن اطلاعات سیگنال های گفتاری، استاندارد TETRA از یک رمزگذار با پیش بینی خطی و تحریک چند پالس از کد CELP Code Excited Linear Pgediction استفاده می کند.
22478.		سیستم ارتباط سلولی GSM-900	109.5 کیلوبایت
	هدف از کار مطالعه مشخصات فنی اصلی ساختار عملکردی و رابط های اتخاذ شده در سیستم ارتباطات رادیویی تلفن همراه دیجیتالی استاندارد GSM. وظیفه: با مشخصات کلی استاندارد GSM آشنا شوید. تئوری مختصر استاندارد سیستم جهانی GSM برای ارتباطات سیار ارتباط نزدیکی با تمام استانداردهای شبکه دیجیتال مدرن، در درجه اول ISDN و شبکه هوشمند IN دارد.

قانون اساسی دینامیک را می توان به شکل دیگری با دانستن مفهوم مرکز جرم سیستم نوشت:

آنجاست معادله حرکت مرکز جرم سیستم، یکی از مهمترین معادلات مکانیک. بیان می کند که مرکز جرم هر سیستم ذرات به گونه ای حرکت می کند که گویی کل جرم سیستم در آن نقطه متمرکز شده است و تمام نیروهای خارجی به آن اعمال می شود.

شتاب مرکز جرم سیستم کاملاً مستقل از نقاط اعمال نیروهای خارجی است.

اگر، پس، و در مورد یک سیستم بسته در یک قاب مرجع اینرسی است. بنابراین، اگر مرکز جرم یک سیستم به طور یکنواخت و در یک خط مستقیم حرکت کند، به این معنی است که تکانه آن در طول حرکت حفظ می شود.

مثال: یک استوانه همگن با جرم و شعاع به سمت پایین صفحه شیبدار می غلتد و بدون لغزش با افقی زاویه ایجاد می کند. معادله حرکت را پیدا کنید؟

راه حل مشترک مقادیر پارامترها را می دهد

معادله حرکت مرکز جرم با معادله اصلی دینامیک یک نقطه مادی منطبق است و تعمیم آن به سیستمی از ذرات است: شتاب سیستم به عنوان یک کل متناسب با برآیند تمام نیروهای خارجی و برعکس است. متناسب با جرم سیستم

یک سیستم مرجع که به طور صلب به مرکز جرم متصل است و به صورت ترجمه ای نسبت به ISO حرکت می کند، سیستم مرکز جرم نامیده می شود. ویژگی آن این است که تکانه کل سیستم ذرات در آن همیشه برابر با صفر است، به عنوان .

پایان کار -

این موضوع متعلق به بخش:

سینماتیک حرکت انتقالی

مبانی فیزیکی مکانیک.. سینماتیک حرکت انتقالی.. حرکت مکانیکی شکلی از وجود است..

اگر به مطالب اضافی در مورد این موضوع نیاز دارید یا آنچه را که به دنبال آن بودید پیدا نکردید، توصیه می کنیم از جستجو در پایگاه داده آثار ما استفاده کنید:

با مطالب دریافتی چه خواهیم کرد:

اگر این مطالب برای شما مفید بود، می توانید آن را در صفحه خود در شبکه های اجتماعی ذخیره کنید:

توییت

تمامی موضوعات این بخش:

حرکت مکانیکی
ماده چنانکه معلوم است به دو صورت جوهر و میدان وجود دارد. نوع اول شامل اتم ها و مولکول هایی است که تمام اجسام از آنها ساخته شده اند. نوع دوم شامل انواع میدان ها می شود: گرانش

فضا و زمان
همه اجسام وجود دارند و در مکان و زمان حرکت می کنند. این مفاهیم برای همه علوم طبیعی اساسی است. هر جسمی ابعادی دارد، یعنی. وسعت فضایی آن

سیستم مرجع
برای تعیین بدون ابهام موقعیت یک جسم در یک لحظه دلخواه در زمان، لازم است یک سیستم مرجع انتخاب شود - یک سیستم مختصات مجهز به یک ساعت و به طور صلب به یک بدنه کاملاً صلب متصل است.

معادلات حرکتی حرکتی
هنگامی که t.M حرکت می کند، مختصات آن با زمان تغییر می کند، بنابراین برای تعیین قانون حرکت، باید نوع تابع را مشخص کرد.

حرکت، حرکت ابتدایی
بگذارید نقطه M از A به B در طول مسیر منحنی AB حرکت کند. بردار شعاع آن در لحظه اولیه برابر است با

شتاب. شتاب نرمال و مماسی
حرکت یک نقطه نیز با شتاب - نرخ تغییر در سرعت مشخص می شود. اگر سرعت یک نقطه برای یک زمان دلخواه

حرکت رو به جلو
ساده ترین نوع حرکت مکانیکی یک جسم صلب حرکت انتقالی است که در آن یک خط مستقیم که هر دو نقطه از بدن را به هم متصل می کند با بدن حرکت می کند و موازی باقی می ماند | آن

قانون اینرسی
مکانیک کلاسیک مبتنی بر سه قانون نیوتن است که توسط او در مقاله خود "اصول ریاضی فلسفه طبیعی" منتشر شده در سال 1687 تدوین شده است. این قوانین نتیجه یک نابغه بود

قاب مرجع اینرسی
مشخص است که حرکت مکانیکی نسبی است و ماهیت آن به انتخاب سیستم مرجع بستگی دارد. قانون اول نیوتن در تمام چارچوب های مرجع صادق نیست. به عنوان مثال، اجسامی که روی یک سطح صاف قرار دارند

وزن. قانون دوم نیوتن
وظیفه اصلی دینامیک تعیین ویژگی های حرکت اجسام تحت تأثیر نیروهای اعمال شده به آنها است. از تجربه معلوم است که تحت تأثیر زور

قانون اساسی دینامیک یک نقطه مادی
معادله تغییر در حرکت جسمی با ابعاد محدود تحت تأثیر نیرو در غیاب تغییر شکل و اگر

قانون سوم نیوتن
مشاهدات و آزمایشات نشان می دهد که عمل مکانیکی یک جسم بر جسم دیگر همیشه یک برهمکنش است. اگر بدن 2 روی بدن 1 عمل کند، بدن 1 لزوماً با آنها مقابله می کند

تحولات گالیله
آنها تعیین کمیت های سینماتیکی را در حین انتقال از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم دیگر امکان پذیر می کنند. بگیریم

اصل نسبیت گالیله
شتاب هر نقطه در تمام سیستم های مرجع که نسبت به یکدیگر به طور مستقیم و یکنواخت به یک شکل حرکت می کنند:

مقادیر حفاظتی
هر جسم یا سیستم اجسام مجموعه ای از نقاط یا ذرات مادی است. وضعیت چنین سیستمی در نقطه ای از زمان در مکانیک با تعیین مختصات و سرعت ها در مکانیک تعیین می شود.

مرکز جرم
در هر سیستمی از ذرات می توانید نقطه ای به نام مرکز جرم پیدا کنید

نیروهای محافظه کار
اگر در هر نقطه از فضا نیرویی بر ذره ای که در آنجا قرار دارد وارد شود، گفته می شود که ذره در میدانی از نیروها قرار دارد، مثلاً در میدان گرانش، گرانش، کولن و نیروهای دیگر. رشته

نیروهای مرکزی
هر میدان نیرو در اثر عمل یک جسم یا سیستم خاصی از اجسام ایجاد می شود. نیروی وارد بر ذره در این میدان حدود است

انرژی بالقوه یک ذره در میدان نیرو
این واقعیت که کار یک نیروی محافظه کار (برای یک میدان ساکن) فقط به موقعیت های اولیه و نهایی ذره در میدان بستگی دارد به ما امکان می دهد مفهوم فیزیکی مهم پتانسیل را معرفی کنیم.

رابطه بین انرژی پتانسیل و نیرو برای یک میدان محافظه کار
برهم کنش یک ذره با اجسام اطراف را می توان به دو صورت توصیف کرد: استفاده از مفهوم نیرو یا استفاده از مفهوم انرژی پتانسیل. روش اول کلی تر است، زیرا در مورد نیروها نیز صدق می کند

انرژی جنبشی یک ذره در میدان نیرو
اجازه دهید یک ذره با جرم حرکت کند

کل انرژی مکانیکی یک ذره
مشخص است که افزایش انرژی جنبشی یک ذره هنگام حرکت در یک میدان نیرو برابر است با کار اولیه همه نیروهای وارد بر ذره:

قانون بقای انرژی مکانیکی ذرات
از این بیان به دست می آید که در یک میدان ثابت نیروهای محافظه کار، کل انرژی مکانیکی یک ذره می تواند تغییر کند.

سینماتیک
شما می توانید بدن خود را در یک زاویه خاص بچرخانید

تکانه یک ذره. لحظه قدرت
علاوه بر انرژی و تکانه، کمیت فیزیکی دیگری نیز وجود دارد که قانون بقای آن با آن مرتبط است - این حرکت زاویه ای است. تکانه زاویه ای ذره

لحظه ضربه و لحظه نیروی حول محور
اجازه دهید یک محور ثابت دلخواه در سیستم مرجع مورد علاقه خود در نظر بگیریم

قانون بقای تکانه زاویه ای یک سیستم
اجازه دهید سیستمی متشکل از دو ذره متقابل را در نظر بگیریم که توسط نیروهای خارجی نیز بر روی آنها اثر می گذارد

بنابراین، تکانه زاویه ای یک سیستم بسته از ذرات ثابت می ماند و با زمان تغییر نمی کند
این برای هر نقطه در سیستم مرجع اینرسی صادق است: . لحظه های ضربه تک تک قسمت های سیستم m

لحظه اینرسی جسم صلب
جسم جامدی را در نظر بگیرید که می تواند

معادله دینامیک چرخش جسم صلب
معادله دینامیک چرخش جسم صلب را می توان با نوشتن معادله گشتاورهای جسم صلب که حول یک محور دلخواه می چرخد ​​به دست آورد.

انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش
اجازه دهید یک جسم کاملاً صلب را در نظر بگیریم که حول محور ثابتی که از آن می گذرد می چرخد. بیایید آن را به ذرات با حجم و جرم کوچک تجزیه کنیم

کار چرخش یک جسم صلب
اگر جسمی با نیرو بچرخد

نیروی گریز از مرکز اینرسی
بیایید دیسکی را در نظر بگیریم که همراه با یک توپ روی فنری که روی یک پره قرار گرفته است می چرخد، شکل 5.3. توپ قرار گرفته است

نیروی کوریولیس
هنگامی که یک جسم نسبت به یک CO در حال چرخش حرکت می کند، علاوه بر این، نیروی دیگری ظاهر می شود - نیروی کوریولیس یا نیروی کوریولیس

نوسانات کوچک
یک سیستم مکانیکی را در نظر بگیرید که موقعیت آن را می توان با استفاده از یک کمیت واحد، مانند x تعیین کرد. در این حالت گفته می شود که سیستم یک درجه آزادی دارد مقدار x می تواند باشد

ارتعاشات هارمونیک
معادله قانون دوم نیوتن در غیاب نیروهای اصطکاک برای نیروی شبه الاستیک شکل به شکل زیر است:

آونگ ریاضی
این یک نقطه مادی است که بر روی نخی به طول غیر قابل امتداد معلق است و در یک صفحه عمودی در حال نوسان است.

آونگ فیزیکی
این یک جسم جامد است که حول یک محور ثابت متصل به بدنه می لرزد. محور عمود بر شکل و

نوسانات میرا شده
در یک سیستم نوسانی واقعی نیروهای مقاومتی وجود دارد که عمل آنها منجر به کاهش انرژی پتانسیل سیستم می شود و نوسانات میرا می شوند.در ساده ترین حالت

خود نوسانات
با نوسانات میرا، انرژی سیستم به تدریج کاهش می یابد و نوسانات متوقف می شود. برای اینکه آنها را میر نکنند، لازم است انرژی سیستم را در لحظات خاصی از بیرون دوباره پر کنیم.

ارتعاشات اجباری
اگر سیستم نوسانی علاوه بر نیروهای مقاومت، تحت تأثیر نیروی تناوبی خارجی باشد که طبق قانون هارمونیک تغییر می کند.

رزونانس
منحنی وابستگی دامنه نوسانات اجباری به این واقعیت منجر می شود که در برخی موارد خاص برای یک سیستم معین

انتشار موج در یک محیط الاستیک
اگر منبع نوسان در هر مکانی در یک محیط کشسان (جامد، مایع، گاز) قرار گیرد، به دلیل برهمکنش بین ذرات، نوسان از ذره ای به ساعت دیگر در محیط منتشر می شود.

معادله امواج صفحه و کروی
معادله موج وابستگی جابجایی یک ذره در حال نوسان را به مختصات آن بیان می کند.

معادله موج
معادله موج راه حلی برای معادله دیفرانسیل به نام معادله موج است. برای ایجاد آن، مشتقات جزئی دوم را با توجه به زمان و مختصات از معادله پیدا می کنیم

مرکز جرم سیستم نقطه با بردار شعاع است

برای توزیع پیوسته جرم با چگالی 
. اگر نیروهای گرانشی اعمال شده به هر ذره از سیستم جهت دار باشد یک طرفه، سپس مرکز جرم با مرکز ثقل منطبق است. اما اگر
موازی نیست، سپس مرکز جرم و مرکز ثقل بر هم منطبق نیستند.

گرفتن مشتق زمانی از ، ما گرفتیم:

آن ها تکانه کل سیستم برابر است با حاصل ضرب جرم آن و سرعت مرکز جرم.

با جایگزینی این عبارت با قانون تغییر در تکانه کل، متوجه می شویم:

مرکز جرم سیستم مانند ذره ای حرکت می کند که کل جرم سیستم در آن متمرکز شده و جرم حاصل به آن اعمال می شود. خارجیاستحکام - قدرت

در ترقی خواهدر حرکت، تمام نقاط یک جسم صلب مانند مرکز جرم حرکت می کنند (در طول مسیرهای مشابه)، بنابراین برای توصیف حرکت انتقالی، کافی است معادله حرکت مرکز جرم را یادداشت و حل کنیم. .

زیرا
، سپس مرکز جرم سیستم بستهباید حالت استراحت یا حرکت خطی یکنواخت را حفظ کند، یعنی. =const. اما در همان زمان، کل سیستم می تواند بچرخد، از هم جدا شود، منفجر شود و غیره. در نتیجه عمل نیروهای داخلی.

1. پیشرانه جت. معادله مشچرسکی

واکنش پذیربه حرکت جسمی که در آن رخ می دهد می گویند الحاقیا دور انداختنتوده ها در طی فرآیند حرکت، تغییری در جرم بدن اتفاق می‌افتد: در طول زمان dt، جسمی با جرم m با سرعت جرم dm را می‌چسبد (جذب می‌کند) یا پس می‌زند (ساطع می‌کند). نسبت به بدن; در مورد اول dm>0، در مورد دوم dm<0.

بیایید این حرکت را با استفاده از مثال موشک در نظر بگیریم. اجازه دهید به قاب مرجع اینرسی K برویم، که در یک لحظه معین از زمان t با همان سرعت حرکت می کند ، همان موشک - به این ISO می گویند مشایعت- در این چارچوب مرجع، موشک در حال حاضر t است استراحت می کند(سرعت موشک در این سیستم =0). اگر مجموع نیروهای خارجی وارد بر موشک برابر با صفر نباشد، معادله حرکت موشک در سیستم K است، اما از آنجایی که همه ISO ها معادل هستند، پس در سیستم K معادله به یک شکل خواهد بود:

این - معادله مشچرسکی، حرکت را توصیف می کند هر شخصیبا جرم متغیر).

در معادله، جرم m یک کمیت متغیر است و نمی توان آن را تحت علامت مشتق قرار داد. جمله دوم در سمت راست معادله نامیده می شود نیروی واکنشی

برای یک موشک، نیروی واکنشی نقش نیروی کشش را ایفا می کند، اما در صورت اضافه کردن جرم dm/dt>0، نیروی واکنشی نیز نیروی ترمز خواهد بود (مثلاً زمانی که موشک در حال حرکت در ابری است. غبار کیهانی).

1. انرژی یک سیستم ذرات

انرژی یک سیستم ذرات از جنبشی و پتانسیل تشکیل شده است. انرژی جنبشی یک سیستم مجموع انرژی جنبشی تمام ذرات سیستم است.

و طبق تعریف، کمیت است افزودنی(مانند تکانه).

وضعیت با انرژی پتانسیل سیستم متفاوت است. در مرحله اول، نیروهای برهمکنش بین ذرات سیستم عمل می کنند
. بنابراینA ij =-dU ij، که در آن U ij انرژی پتانسیل برهمکنش بین ذرات i ام و j ام است. با جمع U ij روی تمام ذرات سیستم، به اصطلاح می یابیم انرژی بالقوه خودسیستم های:

ضروری است که انرژی پتانسیل خود سیستم فقط به پیکربندی آن بستگی دارد.علاوه بر این، این مقدار افزودنی نیست.

ثانیاً، هر ذره از سیستم، به طور کلی، تحت تأثیر نیروهای خارجی نیز قرار می گیرد. اگر این نیروها محافظه کار باشند، کار آنها برابر است با کاهش انرژی پتانسیل خارجی A=-dU ext، جایی که

که در آن U i انرژی پتانسیل ذره i در یک میدان خارجی است. این بستگی به موقعیت همه ذرات در میدان خارجی دارد و افزودنی است.

بنابراین، کل انرژی مکانیکی یک سیستم ذره ای واقع در یک میدان پتانسیل خارجی به صورت تعریف می شود

E syst =K syst +U int +U ext

درس "مرکز توده"

برنامه زمانبندی: 2 درس

هدف:دانش آموزان را با مفهوم "مرکز جرم" و ویژگی های آن آشنا کنید.

تجهیزات:شکل های ساخته شده از مقوا یا تخته سه لا، لیوان، چاقو، مداد.

طرح درس

روش ها و تکنیک های زمانی مراحل درس

I مقدمه ای برای دانش آموزان 10 نظرسنجی پیشانی، کار دانش آموزان روی تخته سیاه.

به مشکل درس

II. یادگیری چیزی جدید 15-20 داستان معلم، حل مسئله،

مواد: 10 کار آزمایشی

III تمرین 10 پیام دانشجویی جدید

مواد: 10-15 حل مسئله،

15 نظرسنجی جبهه ای

IV. نتیجه گیری. تکلیف 5-10 خلاصه شفاهی مطالب توسط معلم.

وظیفه نوشتن روی تخته

در طول کلاس ها.

من تکرار 1. بررسی پیشانی: شانه نیرو، ممان نیرو، وضعیت تعادل، انواع تعادل

اپیگراف: مرکز ثقل هر بدن نقطه معینی است که در داخل آن قرار دارد - به طوری که اگر بدن را به طور ذهنی از آن آویزان کنید، در حالت استراحت می ماند و موقعیت اولیه خود را حفظ می کند.

II. توضیحمواد جدید

بگذارید بدن یا سیستمی از اجسام داده شود. اجازه دهید بدن را به طور ذهنی به قطعات کوچک دلخواه با جرم های m1، m2، m3 تقسیم کنیم... هر کدام از این قسمت ها را می توان یک نقطه مادی در نظر گرفت. موقعیت نقطه مادی i با جرم mi در فضا توسط بردار شعاع تعیین می شود rمن(شکل 1.1). جرم یک جسم مجموع جرم اجزای آن است: m = ∑ mi.

مرکز جرم یک جسم (سیستم اجسام) چنین نقطه ای C است که بردار شعاع آن با فرمول تعیین می شود.

r= 1/m∙∑mi rمن

می توان نشان داد که موقعیت مرکز جرم نسبت به بدن به انتخاب مبدا O بستگی ندارد، یعنی. تعریف مرکز جرمی که در بالا ارائه شد بدون ابهام و درست است.

مرکز جرم اجسام متقارن همگن در مرکز هندسی آنها یا روی محور تقارن قرار دارد؛ مرکز جرم یک جسم صاف به شکل مثلث دلخواه در محل تقاطع میانه های آن قرار دارد.

راه حل مشکل

مشکل 1. توپ های همگن با جرم m1 = 3 کیلوگرم، m2 = 2 کیلوگرم، m3 = 6 کیلوگرم، و m4 = 3 کیلوگرم به یک میله سبک متصل شده اند (شکل 1.2). فاصله بین مرکز هر توپ نزدیک

a = 10 سانتی متر موقعیت مرکز ثقل و مرکز جرم سازه را بیابید.

راه حل. موقعیت مرکز ثقل سازه نسبت به توپ ها به جهت گیری میله در فضا بستگی ندارد. برای حل مشکل، راحت است که میله را به صورت افقی قرار دهید، همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است. بگذارید مرکز ثقل روی میله در فاصله L از مرکز توپ سمت چپ باشد، یعنی. از t. A. در مرکز ثقل، حاصل تمام نیروهای گرانشی اعمال می شود و گشتاور آن نسبت به محور A برابر است با مجموع لحظات گرانش توپ ها. ما r = (m1 + m2 + m3 + m4) g داریم،

R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.

بنابراین L=α (m1 + 2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16.4 سانتی متر

پاسخ. مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است و در نقطه C در فاصله L = 16.4 سانتی متر از مرکز توپ سمت چپ قرار دارد.

معلوم می شود که مرکز جرم یک جسم (یا سیستم اجسام) دارای تعدادی ویژگی قابل توجه است. در دینامیک نشان داده می شود که تکانه یک جسم به طور دلخواه در حال حرکت برابر است با حاصل ضرب جرم جسم و سرعت مرکز جرم آن و مرکز جرم به گونه ای حرکت می کند که گویی تمام نیروهای خارجی وارد بر جسم اعمال می شوند. در مرکز جرم، و جرم کل بدن در او متمرکز شده بود.

مرکز ثقل جسمی که در میدان گرانشی زمین قرار دارد، نقطه اعمال حاصل از تمام نیروهای گرانشی وارد بر تمام قسمت های بدن نامیده می شود. این نتیجه را نیروی گرانش وارد بر جسم می نامند. نیروی گرانش اعمال شده در مرکز ثقل بدن همان تأثیری را بر بدن دارد که نیروهای گرانشی که بر روی قسمت‌های مختلف بدن وارد می‌شوند.

یک مورد جالب زمانی است که اندازه بدن بسیار کوچکتر از اندازه زمین است. سپس می‌توان فرض کرد که نیروهای گرانش موازی بر روی تمام قسمت‌های بدن اثر می‌گذارند، یعنی. بدن در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دارد. نیروهای موازی و یکسان همیشه دارای یک نیروی نتیجه هستند که می توان آن را ثابت کرد. اما در یک موقعیت خاص از بدن در فضا، می توان فقط خط عمل حاصل از تمام نیروهای موازی گرانش را نشان داد؛ نقطه اعمال آن در حال حاضر نامشخص باقی خواهد ماند، زیرا برای یک جسم جامد، هر نیرویی را می توان در امتداد خط عمل آن منتقل کرد. در مورد نقطه درخواست چطور؟

می توان نشان داد که برای هر موقعیتی از بدن در یک میدان گرانش یکنواخت، خط عمل حاصل از تمام نیروهای گرانشی که بر قسمت های جداگانه بدن وارد می شوند، از همان نقطه، بدون حرکت نسبت به بدن عبور می کند. در این نقطه نیروی مساوی اعمال می شود و خود نقطه مرکز ثقل جسم خواهد بود.

موقعیت مرکز ثقل نسبت به بدن فقط به شکل بدن و توزیع جرم در بدن بستگی دارد و به موقعیت جسم در یک میدان ثقل یکنواخت بستگی ندارد. مرکز ثقل لزوماً در خود بدن قرار ندارد. به عنوان مثال، حلقه ای در یک میدان گرانشی یکنواخت، مرکز ثقل خود را در مرکز هندسی خود دارد.

در یک میدان گرانش یکنواخت، مرکز ثقل جسم با مرکز جرم آن منطبق است.

در اکثریت قریب به اتفاق موارد، یک اصطلاح می تواند بدون درد با دیگری جایگزین شود.

اما: مرکز جرم یک جسم بدون توجه به وجود میدان گرانشی وجود دارد و فقط در حضور گرانش می توانیم از مرکز ثقل صحبت کنیم.

با در نظر گرفتن تقارن بدن و با استفاده از مفهوم لحظه نیرو، یافتن محل مرکز ثقل بدن و در نتیجه مرکز جرم راحت است.

اگر بازوی نیرو صفر باشد، ممان نیرو صفر است و چنین نیرویی باعث حرکت چرخشی جسم نمی شود.

در نتیجه، اگر خط عمل نیرو از مرکز جرم عبور کند، به صورت انتقالی حرکت می کند.

بنابراین، می توانید مرکز جرم هر شکل صاف را تعیین کنید. برای انجام این کار، شما باید آن را در یک نقطه ایمن کنید و به آن فرصت دهید تا آزادانه بچرخد. به گونه ای نصب می شود که نیروی گرانش با چرخش آن از مرکز جرم عبور کند. در نقطه ای که شکل محکم شده است، یک نخ را با بار (مهره) آویزان کنید، یک خط در امتداد تعلیق بکشید (یعنی خط گرانش). بیایید مراحل را تکرار کنیم و شکل را در نقطه دیگری ثابت کنیم. محل تلاقی خطوط عمل نیروهای گرانش مرکز جرم بدن است

کار آزمایشی:مرکز ثقل یک شکل صاف را تعیین کنید (بر اساس شکل هایی که قبلاً توسط دانش آموزان از مقوا یا تخته سه لا تهیه شده بود).

دستورالعمل: شکل را روی سه پایه ثابت کنید. از یکی از گوشه های شکل یک شاقول آویزان می کنیم. خط عمل گرانش را ترسیم می کنیم. شکل را بچرخانید و عمل را تکرار کنید. مرکز جرم در نقطه تلاقی خطوط عمل گرانش قرار دارد.

به دانش آموزانی که به سرعت این کار را انجام می دهند می توان یک کار اضافی انجام داد: یک وزنه (پیچ فلزی) را به شکل وصل کنید و موقعیت جدید مرکز جرم را تعیین کنید. نتیجه گیری کنید.

مطالعه خواص قابل توجه "مراکز" که بیش از دو هزار سال قدمت دارند، نه تنها برای مکانیک مفید است - به عنوان مثال، در طراحی وسایل نقلیه و تجهیزات نظامی، محاسبه پایداری سازه ها یا برای استخراج معادلات حرکت وسایل نقلیه جت بعید است که ارشمیدس حتی تصور کند که مفهوم مرکز جرم برای تحقیق در فیزیک هسته ای یا در فیزیک ذرات بنیادی بسیار راحت باشد.

پیام های دانشجویی:

ارشمیدس در کار خود "در مورد تعادل اجسام مسطح" از مفهوم مرکز ثقل بدون تعریف واقعی آن استفاده کرد. ظاهراً اولین بار توسط یک سلف ناشناخته ارشمیدس یا توسط خود او معرفی شده است، اما در اثر قبلی که به دست ما نرسیده است.

هفده قرن طولانی باید می گذشت تا اینکه علم نتایج جدیدی به تحقیقات ارشمیدس در مورد مراکز ثقل اضافه کرد. این زمانی اتفاق افتاد که لئوناردو داوینچی موفق شد مرکز ثقل چهار وجهی را پیدا کند. او که به پایداری برج‌های کج ایتالیایی، از جمله برج پیزا فکر می‌کرد، به «قضیه چندضلعی پشتیبانی» رسید.

شرایط تعادل اجسام شناور که توسط ارشمیدس کشف شد، متعاقباً باید دوباره کشف می شد. این کار در پایان قرن شانزدهم توسط دانشمند هلندی سیمون استوین انجام شد که همراه با مفهوم مرکز ثقل، از مفهوم "مرکز فشار" - نقطه اعمال نیروی فشار آب استفاده کرد. اطراف بدن

به نظر می رسد که اصل توریچلی (و فرمول های محاسبه مرکز جرم نیز به نام او نامگذاری شده است) توسط معلم او گالیله پیش بینی شده است. به نوبه خود، این اصل اساس کار کلاسیک هویگنز در مورد ساعت های آونگی را تشکیل داد و همچنین در مطالعات هیدرواستاتیک معروف پاسکال مورد استفاده قرار گرفت.

روشی که به اویلر اجازه داد تا حرکت یک جسم صلب را تحت تأثیر هر نیرو بررسی کند، تجزیه این حرکت به جابجایی مرکز جرم جسم و چرخش حول محورهای عبوری از آن بود.

برای نگه داشتن اجسام در یک موقعیت ثابت هنگام حرکت تکیه گاه آنها، به اصطلاح تعلیق کاردان برای چندین قرن استفاده می شود - دستگاهی که در آن مرکز ثقل جسم در زیر محورهایی قرار دارد که می تواند به دور آن بچرخد. یک نمونه لامپ نفت سفید کشتی است.

اگرچه گرانش روی ماه شش برابر کمتر از زمین است، اما می‌توان رکورد پرش از ارتفاع را «فقط» چهار برابر افزایش داد. محاسبات بر اساس تغییرات ارتفاع مرکز ثقل بدن ورزشکار به این نتیجه می رسد.

زمین علاوه بر چرخش روزانه حول محور خود و چرخش سالانه به دور خورشید، در حرکت دایره ای دیگری نیز شرکت می کند. همراه با ماه، به دور یک مرکز جرم مشترک که تقریباً در 4700 کیلومتری مرکز زمین قرار دارد، می چرخد.

برخی از ماهواره‌های مصنوعی زمین مجهز به میله‌ای تاشو به طول چندین یا حتی ده‌ها متر هستند که در انتها وزن دارند (به اصطلاح تثبیت‌کننده گرانشی). واقعیت این است که یک ماهواره دراز هنگام حرکت در مدار، تمایل دارد به دور مرکز جرم خود بچرخد تا محور طولی آن عمودی باشد. سپس مانند ماه همیشه یک طرف رو به زمین خواهد بود.

مشاهدات حرکت برخی از ستارگان مرئی نشان می دهد که آنها بخشی از سیستم های دوتایی هستند که در آنها "شریک های آسمانی" حول یک مرکز جرم مشترک می چرخند. یکی از همراهان نامرئی در چنین سیستمی می تواند یک ستاره نوترونی یا احتمالاً یک سیاهچاله باشد.

توضیح معلم

قضیه مرکز جرم: مرکز جرم یک جسم فقط تحت تأثیر نیروهای خارجی می تواند موقعیت خود را تغییر دهد.

نتیجه قضیه در مورد مرکز جرم: مرکز جرم یک سیستم بسته اجسام در طول هر گونه فعل و انفعالات اجسام سیستم بی حرکت می ماند.

حل مسئله (در هیئت مدیره)

مشکل 2. قایق بدون حرکت در آب ایستاده است. شخصی که در قایق است از کمان به سمت عقب حرکت می کند. اگر جرم یک نفر m = 60 کیلوگرم، جرم قایق M = 120 کیلوگرم و طول قایق L = 3 متر باشد، قایق در چه فاصله ای حرکت می کند؟ مقاومت در برابر آب را نادیده بگیرید.

راه حل. اجازه دهید از شرط مسئله استفاده کنیم که سرعت اولیه مرکز جرم صفر باشد (قایق و انسان در ابتدا در حالت استراحت بودند) و هیچ مقاومتی در برابر آب وجود نداشته باشد (هیچ نیروی خارجی در جهت افقی بر روی انسان وارد شود. سیستم قایق) در نتیجه، مختصات مرکز جرم سیستم در جهت افقی تغییر نکرده است. شکل 3 موقعیت اولیه و نهایی قایق و شخص را نشان می دهد. مختصات اولیه x0 مرکز جرم x0 = (mL+ML/2)/(m+M)

مختصات نهایی x مرکز جرم x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

معادل x0 = x، h= mL/(m+M) =1m را پیدا می کنیم

علاوه بر این:مجموعه مشکلات توسط Stepanova G.N. شماره 393

توضیح معلم

با یادآوری شرایط تعادل، متوجه شدیم که

برای اجسام با سطح تکیه گاه، تعادل پایدار زمانی مشاهده می شود که خط عمل گرانش از پایه عبور کند.

نتیجه: هرچه ناحیه حمایتی بزرگتر و مرکز ثقل کمتر باشد، موقعیت تعادل پایدارتر است.

تظاهرات

لیوان اسباب بازی کودکان (وانکا - وستانکا) را روی یک تخته خشن قرار دهید و لبه سمت راست تخته را بلند کنید. "سر" اسباب بازی با حفظ تعادل خود به چه سمتی منحرف می شود؟

توضیح: مرکز ثقل C لیوان در زیر مرکز هندسی O سطح کروی "ن تنه" قرار دارد. در موقعیت تعادل، نقطه C و نقطه تماس A یک اسباب بازی با یک صفحه شیبدار باید در یک عمود باشند. بنابراین، "سر" لیوان به سمت چپ منحرف می شود

چگونه می توان حفظ تعادل را در مورد نشان داده شده در شکل توضیح داد؟

توضیح: مرکز ثقل سیستم مداد-چاقوی زیر تکیه گاه قرار دارد

IIIتحکیم.بررسی از جلو

سوالات و وظایف

1. هنگامی که جسمی از استوا به قطب حرکت می کند، نیروی گرانش وارد بر آن تغییر می کند. آیا این روی موقعیت مرکز ثقل بدن تاثیر می گذارد؟

پاسخ: خیر، زیرا تغییرات نسبی نیروی گرانش تمام عناصر بدن یکسان است.

2. آیا می توان مرکز ثقل یک "دمبل" متشکل از دو توپ عظیم که توسط یک میله بی وزن به هم متصل شده اند را یافت، مشروط بر اینکه طول "دمبل" با قطر زمین قابل مقایسه باشد؟

پاسخ: خیر شرط وجود مرکز ثقل یکنواختی میدان گرانشی است. در یک میدان گرانشی غیریکنواخت، چرخش "دمبل" به دور مرکز جرم آن منجر به این واقعیت می شود که خطوط عمل L1 و L2، نیروهای گرانشی حاصل از اعمال شده به توپ ها، نقطه مشترکی ندارند.

3. چرا هنگام ترمز شدید، قسمت جلویی خودرو می افتد؟

پاسخ: هنگام ترمزگیری، نیروی اصطکاک بر روی چرخ های کنار جاده وارد می شود و گشتاوری در اطراف مرکز جرم خودرو ایجاد می کند.

4. مرکز ثقل دونات کجاست؟

پاسخ: در سوراخ!

5. آب در یک لیوان استوانه ای ریخته می شود. موقعیت مرکز ثقل سیستم آب - شیشه چگونه تغییر خواهد کرد؟

پاسخ: مرکز ثقل سیستم ابتدا کاهش و سپس افزایش می یابد.

6. چه طول انتهایی را باید از یک میله همگن جدا کرد تا مرکز ثقل آن به اندازه ∆ℓ جابجا شود؟

جواب: طول 2∆ℓ.

7. یک میله همگن در وسط با زاویه قائم خم شد. الان مرکز ثقلش کجا بود؟

پاسخ: در نقطه O - وسط قطعه O1O2 که نقاط میانی بخش های AB و BC میله را به هم وصل می کند.

9. ایستگاه فضایی ثابت یک استوانه است. فضانورد یک پیاده روی دایره ای را در اطراف ایستگاه در امتداد سطح آن آغاز می کند. چه اتفاقی برای ایستگاه خواهد افتاد؟

پاسخ: باایستگاه شروع به چرخش در جهت مخالف می کند و مرکز آن دایره ای را در اطراف همان مرکز جرم فضانورد توصیف می کند.

11. چرا راه رفتن روی رکاب سخت است؟

پاسخ: مرکز ثقل یک فرد روی پایه به طور قابل توجهی افزایش می یابد و مساحت تکیه گاه او روی زمین کاهش می یابد.

12. چه زمانی حفظ تعادل برای طناب‌باز آسان‌تر است - در حین حرکت عادی در امتداد طناب یا هنگام حمل یک پرتو منحنی قوی با سطل‌های آب؟

پاسخ: در مورد دوم، از آنجایی که مرکز جرم طناب واکر با سطل پایین تر است، یعنی. نزدیکتر به تکیه گاه - طناب.

IVمشق شب:(انجام شده توسط کسانی که مایل هستند - وظایف دشوار است، کسانی که آنها را حل می کنند "5" دریافت می کنند).

*1. مرکز ثقل سیستم توپ های واقع در راس مثلث متساوی الاضلاع بی وزن که در شکل نشان داده شده است را بیابید.

پاسخ: مرکز ثقل در وسط نیمساز زاویه ای قرار دارد که در راس آن توپی به جرم 2 متر قرار دارد.

*2. عمق سوراخ تخته ای که توپ در آن قرار می گیرد نصف شعاع توپ است. توپ در چه زاویه ای از تمایل تخته به افق از سوراخ بیرون می پرد؟