توابع تحقیق ماشین حساب آنلاین مطالعه یک تابع با استفاده از روش های حساب دیفرانسیل

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

خلاصه

"مطالعه کامل یک تابع و ساخت نمودار آن."

معرفی

مطالعه خواص یک تابع و رسم نمودار آن یکی از شگفت انگیزترین کاربردهای مشتقات است. این روش مطالعه عملکرد بارها مورد تجزیه و تحلیل دقیق قرار گرفته است. دلیل اصلی این است که در کاربردهای ریاضیات لازم بود با توابع پیچیده‌تر و بیشتری که هنگام مطالعه پدیده‌های جدید ظاهر می‌شوند، سروکار داشته باشیم. استثناهایی از قوانین ایجاد شده توسط ریاضیات ظاهر شد، مواردی ظاهر شد که قوانین ایجاد شده اصلا مناسب نبودند، توابعی ظاهر شدند که در هیچ نقطه مشتقی نداشتند.

هدف از مطالعه درس جبر و تحلیل ابتدایی در پایه های 10-11 مطالعه سیستماتیک توابع، افشای ارزش کاربردی روش های عمومی ریاضیات مربوط به مطالعه توابع است.

توسعه مفاهیم کارکردی در درس جبر و آغاز تجزیه و تحلیل در مقطع ارشد به دانش آموزان دبیرستانی کمک می کند تا ایده های بصری در مورد تداوم و ناپیوستگی توابع به دست آورند، در مورد تداوم هر کارکرد ابتدایی در زمینه آموزش اطلاعات کسب کنند. کاربرد آن، ساختن نمودارهای آنها و تعمیم اطلاعات در مورد توابع اصلی اصلی و درک نقش آنها در مطالعه پدیده های واقعیت، در عمل انسان است.

عملکرد افزایش و کاهش

حل مسائل مختلف از رشته های ریاضی، فیزیک و فناوری منجر به برقراری رابطه عملکردی بین متغیرهای دخیل در این پدیده می شود.

اگر بتوان چنین وابستگی عملکردی را به صورت تحلیلی، یعنی در قالب یک یا چند فرمول بیان کرد، آنگاه می توان آن را با استفاده از تحلیل ریاضی مطالعه کرد.

این به امکان روشن شدن رفتار یک تابع در هنگام تغییر یک یا دیگری متغیر اشاره دارد (جایی که تابع افزایش می یابد، جایی که کاهش می یابد، جایی که به حداکثر می رسد و غیره).

استفاده از حساب دیفرانسیل برای مطالعه یک تابع مبتنی بر ارتباط بسیار ساده ای است که بین رفتار یک تابع و ویژگی های مشتق آن، در درجه اول مشتق اول و دوم آن وجود دارد.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه می توانیم فواصل عملکرد افزایش یا کاهش، یعنی فواصل یکنواختی آن را پیدا کنیم. بر اساس تعریف یک تابع یکنواخت کاهشی و افزایشی، می توان قضایایی را فرموله کرد که به ما امکان می دهد ارزش اولین مشتق یک تابع معین را با ماهیت یکنواختی آن مرتبط کنیم.

قضیه 1.1. اگر تابع y = f ( ایکس ) ، قابل تمایز در بازه( آ , ب ) ، به طور یکنواخت در این بازه و سپس در هر نقطه افزایش می یابد
( ایکس ) >0; اگر به طور یکنواخت کاهش یابد، در هر نقطه از بازه زمانی ( ایکس )<0.

اثبات اجازه دهید تابعy = f ( ایکس ) یکنواخت افزایش می یابد( آ , ب ) , این بدان معناست که برای هر کسی که به اندازه کافی کوچک است > 0 نابرابری زیر برقرار است:

f ( ایکس - ) < f ( ایکس ) < f ( ایکس + ) (شکل 1.1).

برنج. 1.1

حد را در نظر بگیرید

.

اگر > 0، پس > 0 اگر< 0, то

< 0.

در هر دو حالت، عبارت زیر علامت حد مثبت است، یعنی حد مثبت است، یعنی ( ایکس )>0 ، چیزی بود که باید ثابت می شد. قسمت دوم قضیه که مربوط به کاهش یکنواخت تابع است به روشی مشابه اثبات می شود.

قضیه 1.2. اگر تابع y = f ( ایکس ) ، پیوسته بر روی قطعه[ آ , ب ] و در تمام نقاط داخلی آن قابل تمایز است و علاوه بر این، ( ایکس ) >0 برای هرکس ایکس ϵ ( آ , ب ) ، سپس این تابع به صورت یکنواخت افزایش می یابد( آ , ب ) ; اگر

( ایکس ) <0 برای هرکس xϵ ( آ , ب ), سپس این تابع به صورت یکنواخت کاهش می یابد( آ , ب ) .

اثبات بگیریم ϵ ( آ , ب ) و ϵ ( آ , ب ) ، و< . طبق قضیه لاگرانژ

( ج ) = .

ولی ( ج )>0 و > 0، که به معنی (> 0، یعنی

(. نتیجه به‌دست‌آمده نشان‌دهنده افزایش یکنواخت در عملکرد است که باید ثابت شود. قسمت دوم قضیه نیز به روشی مشابه اثبات می شود.

افراطی عملکرد

هنگام مطالعه رفتار یک تابع، نقاطی که فواصل افزایش یکنواخت را از فواصل کاهش یکنواخت آن از یکدیگر جدا می کنند، نقش ویژه ای دارند.

تعریف 2.1. نقطه حداکثر نقطه تابع نامیده می شود

y = f ( ایکس ) ، در صورت وجود، هر چند کوچک , ( < 0 , а точка حداقل نقطه اگر نامیده می شود ( > 0.

حداقل و حداکثر نقاط در مجموع نقاط اکستریموم نامیده می شوند. تابع یکنواخت تکه ای چنین نقاطی دارای یک عدد محدود در یک بازه محدود است (شکل 2.1).

برنج. 2.1

قضیه 2.1 (شرط لازم برای وجود یک افراط). اگر در بازه متمایز باشد( آ , ب ) تابع در نقطه است از این فاصله حداکثر است، سپس مشتق آن در این نقطه برابر با صفر است. همین را می توان در مورد حداقل امتیاز نیز گفت .

اثبات این قضیه از قضیه رول حاصل می شود که در آن نشان داده شد که در نقاط حداقل یا حداکثر = 0، و مماس رسم شده به نمودار تابع در این نقاط موازی با محور است.گاو نر .

از قضیه 2.1 بر می آید که اگر تابعy = f ( ایکس ) در همه نقاط مشتق دارد، سپس در آن نقاطی که در آن به اکستریم می رسد = 0.

با این حال، این شرط کافی نیست، زیرا عملکردهایی وجود دارد که شرط مشخص شده برای آنها برآورده می شود، اما هیچ افراطی وجود ندارد. به عنوان مثال، تابعy= در یک نقطه ایکس = 0 مشتق صفر است، اما در این نقطه اکستریمی وجود ندارد. علاوه بر این، افراط ممکن است در نقاطی باشد که مشتق وجود ندارد. به عنوان مثال، تابعy = | ایکس | حداقل در نقطه وجود داردایکس = 0 ، اگرچه مشتق در این مرحله وجود ندارد.

تعریف 2.2. نقاطی که مشتق یک تابع در آن ناپدید می شود یا دارای ناپیوستگی است، نقاط بحرانی این تابع نامیده می شود..

در نتیجه، قضیه 2.1 برای تعیین نقاط افراطی کافی نیست.

قضیه 2.2 (شرط کافی برای وجود یک افراط). اجازه دهید تابع y = f ( ایکس ) پیوسته در بازه( آ , ب ) ، که حاوی نقطه بحرانی آن است و در تمام نقاط این بازه، به استثنای خود نقطه، قابل تمایز است . سپس، اگر هنگام حرکت این نقطه از چپ به راست، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این یک نقطه حداکثر است، و برعکس، از منفی به مثبت - یک نقطه حداقل..

اثبات اگر مشتق تابع هنگام عبور از نقطه علامت خود را تغییر دهد از چپ به راست از مثبت به منفی، سپس تابع از افزایش به کاهش حرکت می کند، یعنی به نقطه می رسد حداکثر آن و بالعکس.

از موارد فوق، طرحی برای مطالعه یک تابع در یک اکسترموم به شرح زیر است:

1) دامنه تعریف تابع را پیدا کنید.

2) مشتق را محاسبه کنید.

3) نقاط بحرانی را پیدا کنید.

4) با تغییر علامت مشتق اول، شخصیت آنها مشخص می شود.

وظیفه مطالعه یک تابع برای یک اکسترموم نباید با کار تعیین حداقل و حداکثر مقادیر یک تابع در یک قطعه اشتباه گرفته شود. در مورد دوم، لازم است نه تنها نقاط انتهایی قطعه را پیدا کنید، بلکه آنها را با مقدار تابع در انتهای آن مقایسه کنید.

فواصل توابع محدب و مقعر

یکی دیگر از ویژگی های نمودار یک تابع که می توان با استفاده از مشتق تعیین کرد، تحدب یا تقعر آن است.

تعریف 3.1. تابع y = f ( ایکس ) در بازه محدب نامیده می شود( آ , ب ) اگر نمودار آن زیر هر مماس کشیده شده بر روی آن در یک بازه معین قرار گیرد و بالعکس، اگر نمودار آن بالاتر از هر مماس کشیده شده به آن در یک بازه معین باشد، مقعر نامیده می شود..

اجازه دهید قضیه ای را ثابت کنیم که به ما امکان می دهد فواصل تحدب و تقعر یک تابع را تعیین کنیم.

قضیه 3.1. اگر در تمام نقاط فاصله( آ , ب ) مشتق دوم تابع ( ایکس ) پیوسته و منفی است، سپس تابعy = f ( ایکس ) محدب است و بالعکس، اگر مشتق دوم پیوسته و مثبت باشد، تابع مقعر است..

ما اثبات فاصله تحدب تابع را انجام می دهیم. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریمϵ ( آ , ب ) و یک مماس بر نمودار تابع در این نقطه رسم کنیدy = f ( ایکس ) (شکل 3.1).

اگر نشان داده شود که تمام نقاط منحنی روی بازه، قضیه ثابت می شود( آ , ب ) زیر این مماس قرار بگیرید. به عبارت دیگر، اثبات آن برای همان مقادیر ضروری استایکس مختصات منحنیy = f ( ایکس ) کمتر از مختصات مماس کشیده شده به آن در نقطه .

برنج. 3.1

برای قطعیت، معادله منحنی را نشان می دهیم: = f ( ایکس ) ، و معادله مماس بر آن در نقطه :

- f ( ) = ( )( ایکس - )

یا

= f ( ) + ( )( ایکس - ) .

بیایید تفاوت را جبران کنیمو:

- = f(x) – f( ) - ( )(ایکس- ).

به تفاوت اعمال شودf ( ایکس ) – f ( ) قضیه میانگین ارزش لاگرانژ:

- = ( )( ایکس - ) - ( )( ایکس - ) = ( ایکس - )[ ( ) - ( )] ,

جایی که ϵ ( , ایکس ).

حال اجازه دهید قضیه لاگرانژ را برای عبارت داخل پرانتز اعمال کنیم:

- = ( )( - )( ایکس - ) ، جایی که ϵ ( , ).

همانطور که از شکل مشخص است،ایکس > ، سپس ایکس - > 0 و - > 0 . علاوه بر این، با توجه به قضیه، ( )<0.

با ضرب این سه عامل به این نتیجه می رسیم ، چیزی بود که باید ثابت می شد.

تعریف 3.2. نقطه ای که فاصله محدب را از فاصله مقعر جدا می کند، نقطه عطف نامیده می شود.

از تعریف 3.1 چنین برمی‌آید که در یک نقطه مماس منحنی را قطع می‌کند، یعنی در یک طرف منحنی زیر مماس قرار دارد و از طرف دیگر، در بالا.

قضیه 3.2. اگر در نقطه مشتق دوم تابع

y = f ( ایکس ) برابر با صفر است یا وجود ندارد و هنگام عبور از یک نقطه علامت مشتق دوم به عکس تغییر می کند، سپس این نقطه یک نقطه عطف است.

اثبات این قضیه از آنجا ناشی می شود که علائم ( ایکس ) در طرف مقابل نقطه متفاوت هستند. این بدان معنی است که در یک طرف نقطه تابع محدب است و در طرف دیگر مقعر است. در این مورد، با توجه به تعریف 3.2، نقطه نقطه عطف است

مطالعه یک تابع برای تحدب و تقعر طبق همان طرحی که مطالعه برای یک انتها انجام می شود.

4. مجانب تابع

در پاراگراف های قبل روش هایی برای مطالعه رفتار یک تابع با استفاده از مشتق مورد بحث قرار گرفت. اما در بین سوالات مربوط به مطالعه کامل یک تابع، مواردی نیز وجود دارد که به مشتق مربوط نمی شوند.

بنابراین، برای مثال، لازم است بدانیم یک تابع چگونه رفتار می کند زمانی که یک نقطه در نمودار آن بی نهایت از مبدا دور می شود. این مشکل می تواند در دو حالت ایجاد شود: زمانی که آرگومان یک تابع به بی نهایت می رود و زمانی که در خلال یک ناپیوستگی نوع دوم در نقطه پایانی، خود تابع به بی نهایت می رود. در هر دوی این موارد، موقعیتی ممکن است ایجاد شود که تابع به یک خط مستقیم که مجانب آن نامیده می شود، تمایل پیدا کند.

تعریف . مجانبی از نمودار یک تابعy = f ( ایکس ) یک خط مستقیم است که این ویژگی را دارد که فاصله نمودار تا این خط مستقیم با حرکت نامحدود نقطه نمودار از مبدأ به صفر می‌رسد..

دو نوع مجانب وجود دارد: عمودی و مایل.

مجانب عمودی شامل خطوط مستقیم استایکس = که این خاصیت را دارند که نمودار تابع در مجاورت آنها به بی نهایت برود، یعنی شرط برقرار است: .

بدیهی است که الزام تعریف مشخص شده در اینجا برآورده می شود: فاصله از نمودار منحنی تا خط مستقیم.ایکس = به سمت صفر میل می کند و خود منحنی به سمت بی نهایت می رود. بنابراین، در نقاط ناپیوستگی نوع دوم، توابع دارای مجانب عمودی هستند، برای مثال،y= در یک نقطه ایکس = 0 . در نتیجه، تعیین مجانب عمودی یک تابع با یافتن نقاط ناپیوستگی نوع دوم همزمان است.

مجانب مایل با معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه توصیف می شود، یعنیy = kx + ب . این بدان معنی است که بر خلاف مجانب عمودی، در اینجا لازم است اعداد را تعیین کنیدک و ب .

بنابراین اجازه دهید منحنی = f ( ایکس ) مجانبی مورب دارد، یعنی درایکس نقاط منحنی به اندازه دلخواه به خط مستقیم نزدیک می شوند = kx + ب (شکل 4.1). اجازه دهید م ( ایکس , y ) - نقطه ای که روی یک منحنی قرار دارد. فاصله آن از مجانب با طول عمود مشخص خواهد شد| MN | .

برای مطالعه کامل تابع و رسم نمودار آن، طرح زیر توصیه می شود:
الف) دامنه تعریف، نقاط شکست را پیدا کنید. رفتار یک تابع در نزدیکی نقاط ناپیوستگی را بررسی کنید (محدودیت تابع را در سمت چپ و راست در این نقاط پیدا کنید). مجانب عمودی را نشان دهید.
ب) زوج یا فرد بودن یک تابع را مشخص کنید و نتیجه بگیرید که تقارن وجود دارد. اگر، پس تابع نسبت به محور OY زوج و متقارن است. هنگامی که تابع فرد است، متقارن در مورد مبدا. و اگر تابع شکل کلی است.
ج) نقاط تلاقی تابع را با محورهای مختصات OY و OX پیدا کنید (در صورت امکان)، فواصل علامت ثابت تابع را تعیین کنید. مرزهای فواصل علامت ثابت یک تابع با نقاطی که تابع برابر با صفر است (تابع صفر) یا وجود ندارد و مرزهای دامنه تعریف این تابع تعیین می شود. در فواصل زمانی که نمودار تابع در بالای محور OX قرار دارد و کجا - زیر این محور.
د) اولین مشتق تابع را پیدا کنید، صفرها و فواصل علامت ثابت آن را تعیین کنید. در فواصل زمانی که تابع افزایش و جایی که کاهش می یابد. در مورد وجود اکسترم ها (نقاطی که تابع و مشتق وجود دارد و هنگام عبور از آن علامت تغییر می کند) نتیجه گیری کنید. اگر علامت از مثبت به منفی تغییر کند، در این مرحله تابع دارای حداکثر و اگر از منهای به مثبت است. ، سپس حداقل). مقادیر تابع را در نقاط انتهایی پیدا کنید.
د) مشتق دوم، صفرهای آن و فواصل علامت ثابت را بیابید. در فواصل زمانی که< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ه) مجانبی مایل (افقی) را پیدا کنید که معادلات آنها شکل دارند ; جایی که
.
در نمودار تابع دارای دو مجانب مایل است و هر مقدار x at و همچنین می تواند با دو مقدار b مطابقت داشته باشد.
ز) نکات اضافی را برای روشن کردن نمودار (در صورت لزوم) پیدا کنید و یک نمودار بسازید.

مثال 1 تابع را کاوش کرده و نمودار آن را بسازید. راه حل: الف) حوزه تعریف ; تابع در حوزه تعریف خود پیوسته است. - نقطه شکست، زیرا ;. سپس - مجانبی عمودی.
ب)
آن ها y(x) تابعی از فرم کلی است.
ج) نقاط تقاطع نمودار را با محور OY بیابید: مجموعه x=0; سپس y(0)=–1، یعنی. نمودار تابع محور را در نقطه (0;-1) قطع می کند. صفرهای تابع (نقاط تقاطع نمودار با محور OX): مجموعه y=0; سپس
.
ممیز یک معادله درجه دوم کمتر از صفر است، یعنی هیچ صفری وجود ندارد. سپس مرز فواصل علامت ثابت نقطه x=1 است که تابع وجود ندارد.
علامت تابع در هر یک از بازه ها با روش مقادیر جزئی تعیین می شود:

از نمودار مشخص است که در بازه نمودار تابع در زیر محور OX و در بازه - بالای محور OX قرار دارد.
د) به وجود نقاط بحرانی پی می بریم.
.
از برابری ها و .

دریافت می کنیم: x1=1، x2=0، x3=2. بیایید یک جدول کمکی ایجاد کنیم

میز 1

(خط اول شامل نقاط بحرانی و فواصلی است که این نقاط توسط محور OX به آنها تقسیم می شوند؛ خط دوم مقادیر مشتق را در نقاط بحرانی و علائم روی فواصل را نشان می دهد. علائم با مقدار جزئی تعیین می شوند. خط سوم مقادیر تابع y(x) را در نقاط بحرانی نشان می دهد و رفتار تابع را نشان می دهد - افزایش یا کاهش در فواصل مربوط به محور عددی. علاوه بر این، وجود حداقل یا حداکثر نیز وجود دارد. نشان داد.
د) فواصل تحدب و تقعر تابع را بیابید.
; یک جدول مانند نقطه D بسازید)؛ فقط در خط دوم علائم را یادداشت می کنیم و در سوم نوع تحدب را نشان می دهیم. زیرا ; آنگاه نقطه بحرانی یک x=1 است.
جدول 2

نقطه x=1 نقطه عطف است.
ه) مجانب مایل و افقی را بیابید

سپس y=x مجانبی مورب است.
ز) بر اساس داده های به دست آمده، نموداری از تابع می سازیم

مثال 2 یک مطالعه کامل از تابع انجام دهید و نمودار آن را بسازید. راه حل.

1). محدوده عملکرد.
بدیهی است که این تابع بر روی تمام خطوط عددی به جز نقاط "" و "" تعریف شده است زیرا در این نقاط مخرج برابر با صفر است و بنابراین تابع وجود ندارد و خطوط مستقیم و مجانب عمودی هستند.

2). رفتار یک تابع به عنوان آرگومان به بی نهایت، وجود نقاط ناپیوستگی و بررسی وجود مجانب مورب.
بیایید ابتدا بررسی کنیم که تابع با نزدیک شدن به بی نهایت به سمت چپ و راست چگونه رفتار می کند.

بنابراین، هنگامی که تابع به 1 تمایل دارد، یعنی. - مجانب افقی
در مجاورت نقاط ناپیوستگی، رفتار تابع به صورت زیر تعیین می شود:


آن ها هنگام نزدیک شدن به نقاط ناپیوستگی در سمت چپ، تابع بی نهایت کاهش می یابد و در سمت راست، بی نهایت افزایش می یابد.
وجود مجانب مایل را با در نظر گرفتن برابری تعیین می کنیم:

هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

3). نقاط تقاطع با محورهای مختصات.
در اینجا لازم است دو حالت در نظر گرفته شود: نقطه تقاطع با محور Ox و محور Oy را پیدا کنید. علامت تقاطع با محور Ox مقدار صفر تابع است، یعنی. حل معادله ضروری است:

این معادله ریشه ندارد، بنابراین نمودار این تابع هیچ نقطه تقاطعی با محور Ox ندارد.
علامت تقاطع با محور Oy مقدار x = 0 است. در این حالت
,
آن ها – نقطه تقاطع نمودار تابع با محور Oy.

4).تعیین نقاط افراطی و فواصل افزایش و کاهش.
برای بررسی این موضوع، مشتق اول را تعریف می کنیم:
.
اجازه دهید مقدار مشتق اول را با صفر برابر کنیم.
.
کسری برابر با صفر است که صورت آن برابر با صفر باشد، یعنی. .
اجازه دهید فواصل افزایش و کاهش تابع را تعیین کنیم.

بنابراین، تابع یک نقطه منتهی دارد و در دو نقطه وجود ندارد.
بنابراین، تابع در فواصل افزایش می یابد و در فواصل زمانی کاهش می یابد.

5). نقاط عطف و مناطق تحدب و تقعر.
این ویژگی رفتار یک تابع با استفاده از مشتق دوم تعیین می شود. اجازه دهید ابتدا وجود نقاط عطف را تعیین کنیم. مشتق دوم تابع برابر است با

وقتی و تابع مقعر است.

وقتی و تابع محدب است.

6). نمودار کردن یک تابع
با استفاده از مقادیر یافت شده در نقاط، نموداری از تابع را به صورت شماتیک می سازیم:

مثال 3 عملکرد کاوش و نمودار آن را بسازید.

راه حل
تابع داده شده یک تابع غیر تناوبی از فرم کلی است. نمودار آن از مبدا مختصات عبور می کند، زیرا .
دامنه تعریف یک تابع معین، همه مقادیر متغیر است به جز و برای آنها که مخرج کسری صفر می شود.
در نتیجه، نقاط، نقاط ناپیوستگی تابع هستند.
زیرا ,

زیرا ,
، سپس نقطه یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم است.
خطوط مستقیم مجانب عمودی نمودار تابع هستند.
معادلات مجانب مایل، که در آن، .
در ,
.
بنابراین، برای و نمودار تابع یک مجانب دارد.
بیایید فواصل افزایش و کاهش تابع و نقاط انتهایی را پیدا کنیم.
.
اولین مشتق تابع at و بنابراین تابع at و افزایش می یابد.
وقتی، بنابراین، وقتی، تابع کاهش می یابد.
وجود ندارد برای , .
بنابراین، زمانی که نمودار تابع مقعر است.
در بنابراین، زمانی که نمودار تابع محدب است.

هنگام عبور از نقاط، علامت تغییر می کند. وقتی تابع تعریف نشده باشد، بنابراین نمودار تابع یک نقطه عطف دارد.
بیایید یک نمودار از تابع بسازیم.

مطالعه یک تابع بر اساس یک طرح واضح انجام می شود و دانش آموز را ملزم می کند که دانش کاملی از مفاهیم اساسی ریاضی مانند دامنه تعریف و مقادیر، تداوم تابع، مجانب، نقاط منتهی، برابری، تناوب و غیره داشته باشد. . دانش آموز باید بتواند آزادانه توابع را متمایز کند و معادلات را حل کند که گاهی اوقات می تواند بسیار پیچیده باشد.

یعنی این کار لایه قابل توجهی از دانش را آزمایش می کند، هر شکافی که در آن مانعی برای دستیابی به راه حل صحیح می شود. به ویژه اغلب، مشکلاتی در ساخت نمودارهای توابع به وجود می آید. این اشتباه بلافاصله برای معلم قابل توجه است و می تواند به نمره شما آسیب زیادی وارد کند، حتی اگر بقیه موارد به درستی انجام شده باشد. در اینجا می توانید پیدا کنید مشکلات تحقیق عملکرد آنلاین: نمونه های مطالعه، دانلود راه حل ها، سفارش تکالیف.

کاوش یک تابع و رسم نمودار: مثال ها و راه حل ها به صورت آنلاین

ما تعداد زیادی از مطالعات تابع آماده را برای شما آماده کرده ایم، هم در کتاب حل و هم رایگان در قسمت نمونه هایی از مطالعات تابع. بر اساس این تکالیف حل شده، می‌توانید با روش‌شناسی انجام کارهای مشابه با جزئیات آشنا شوید و تحقیقات خود را به صورت قیاسی انجام دهید.

ما نمونه های آماده ای از تحقیق کامل و رسم توابع از رایج ترین انواع را ارائه می دهیم: توابع چند جمله ای، کسری-گویا، غیر منطقی، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی. هر مسئله حل شده با یک نمودار آماده با نکات کلیدی برجسته، مجانب، حداکثر و حداقل همراه است؛ راه حل با استفاده از یک الگوریتم برای مطالعه تابع انجام می شود.

در هر صورت، مثال‌های حل‌شده به شما کمک بزرگی می‌کنند، زیرا محبوب‌ترین انواع توابع را پوشش می‌دهند. ما صدها مسئله از قبل حل شده را به شما پیشنهاد می کنیم، اما همانطور که می دانید تعداد بی نهایت توابع ریاضی در جهان وجود دارد و معلمان متخصصان خوبی در اختراع کارهای پیچیده تر و دشوارتر برای دانش آموزان فقیر هستند. بنابراین، دانش آموزان عزیز، کمک های واجد شرایط به شما آسیبی نمی رساند.

حل مسائل تحقیق تابع سفارشی

در این صورت، شرکای ما خدمات دیگری را به شما ارائه می دهند - تحقیق کامل عملکرد آنلاینبرای سفارش این کار با رعایت تمام الزامات یک الگوریتم برای حل چنین مشکلاتی برای شما تکمیل می شود که معلم شما را بسیار خوشحال می کند.

ما یک مطالعه کامل از تابع برای شما انجام خواهیم داد: دامنه تعریف و دامنه مقادیر را پیدا می کنیم، تداوم و ناپیوستگی را بررسی می کنیم، برابری را ایجاد می کنیم، تابع شما را برای تناوب بررسی می کنیم و نقاط تقاطع را با محورهای مختصات پیدا می کنیم. . و البته، بیشتر با استفاده از حساب دیفرانسیل: مجانبی را پیدا می کنیم، مادون ها، نقاط عطف را محاسبه می کنیم و خود نمودار را می سازیم.

ساختن نمودار یک تابع با استفاده از نقاط منفرد شامل مطالعه خود تابع است: تعیین محدوده مقادیر مجاز آرگومان، تعیین محدوده تغییرات تابع، تعیین زوج یا فرد بودن تابع، تعیین نقاط شکست. از تابع، یافتن فواصل علامت ثابت تابع، یافتن مجانبی از نمودار تابع. با استفاده از مشتق اول، می توانید فواصل افزایش (کاهش) تابع و وجود نقاط افراطی را تعیین کنید. با استفاده از مشتق دوم، می توانید فواصل تحدب (تقعر) نمودار تابع و همچنین نقاط عطف را تعیین کنید. در عین حال معتقدیم که اگر در مقطعی xoمماس بر نمودار تابع بالای منحنی، سپس نمودار تابع در این نقطه دارای تحدب است. اگر مماس زیر منحنی باشد، نمودار تابع در این نقطه دارای یک تقعر است.

y(x) = x³/(x²+3)

1. مطالعه عملکرد.

الف) محدوده مقادیر مجاز آرگومان: (-∞،+∞).

ب) ناحیه تغییر تابع: (-∞، +∞).

ج) تابع فرد است، زیرا y(-x) = -y(x)،آن ها نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است.

د) تابع پیوسته است، هیچ نقطه ناپیوستگی وجود ندارد، بنابراین، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد.

ه) یافتن معادله مجانب مایل y(x) = k∙x + b، جایی که

k = /ایکسو b =

در این مثال، پارامترهای مجانبی به ترتیب برابر هستند:

k =، زیرا بالاترین درجه صورت و مخرج یکسان است، برابر با سه، و نسبت ضرایب در این بالاترین درجات برابر با یک است. زمانی که x→ + ∞ سومین حد قابل توجه برای محاسبه حد استفاده شد.

b = = = 0، هنگام محاسبه حد در x → + ∞ از سومین حد قابل توجه استفاده کرد. بنابراین، نمودار این تابع یک مجانب مایل دارد y=x.

2.

y´= /(x²+3)² -مشتق با استفاده از فرمول تمایز ضریب محاسبه می شود.

الف) صفرهای مشتق و نقطه ناپیوستگی را تعیین کنید و صورت و مخرج مشتق را به ترتیب با صفر برابر کنید: y=0،اگر x=0.مشتق 1 نقطه ناپیوستگی ندارد.

ب) فواصل علامت ثابت مشتق را تعیین می کنیم، یعنی. فواصل یکنواختی تابع: در -∞مشتق مثبت است، بنابراین تابع افزایش می یابد. در 0≤x<+∞, مشتق همچنان مثبت باقی می ماند، یعنی. عملکرد نیز افزایش می یابد.

3. مطالعه یک تابع با استفاده از مشتق دوم.

با استفاده از فرمول افتراق ضریب ها و ایجاد تبدیل های جبری، به دست می آوریم: y´´ = /(x²+3)³

الف) صفرهای مشتق دوم و فواصل علامت ثابت را تعیین کنید: y = 0،اگر x=0و x= + 3 . مشتق 2 نقطه ناپیوستگی ندارد.

ب) اجازه دهید فواصل پایداری مشتق دوم را تعیین کنیم، یعنی. فواصل تحدب یا تقعر نمودار یک تابع. در -∞ و در 0مشتق دوم y´´>0، یعنی نمودار تابع مقعر است. در - 3و در 3مشتق دوم تو<0, آن ها نمودار تابع محدب است. از آنجایی که در نقاط x=0و x= + 3 مشتق دوم برابر با صفر است و علامت آن تغییر می کند، سپس این نقاط نقاط عطف نمودار تابع هستند (شکل 4).

مثال: یک تابع را کاوش کنید و آن را نمودار کنید y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.مطالعه عملکرد.

الف) محدوده مقادیر قابل قبول: (-∞,0)U(0,+∞).

ب) ناحیه تغییر تابع: (-∞،+∞).

د) این تابع یک نقطه ناپیوستگی از نوع 2 دارد x=0.

ه) یافتن مجانبی. زیرا تابع دارای یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم در x=0، در نتیجه تابع دارای مجانبی عمودی است x=0.این تابع مجانب مایل یا افقی ندارد.

2.مطالعه یک تابع با استفاده از مشتق 1.

اجازه دهید تابع را با انجام تمام عملیات جبری تبدیل کنیم. در نتیجه، شکل تابع به طور قابل توجهی ساده می شود: y(x)=x²-x-1+(1/x).گرفتن مشتق از مجموع عبارت ها بسیار آسان است و به دست می آوریم: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

الف) صفرها و نقاط ناپیوستگی مشتق 1 را تعیین کنید. عبارات مشتق اول را به مخرج مشترک می آوریم و با مساوی کردن صورت و سپس مخرج صفر، به دست می آوریم: y=0در x=1، y´ -زمانی وجود ندارد x=0.

ب) اجازه دهید فواصل یکنواختی تابع را تعیین کنیم، یعنی. فواصل علامت ثابت مشتق. در -∞<ایکس<0 و 0مشتق اول y'<0, بنابراین، عملکرد کاهش می یابد. در 1≤ ایکس<∞ مشتق اول y'> 0،بنابراین عملکرد افزایش می یابد. در نقطه x=1اولین مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، در این نقطه تابع دارای حداقل است. حداقل مسطح است، زیرا در x=1مشتق y=0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. با استفاده از مشتق دوم، فواصل تحدب یا تقعر نمودار تابع و همچنین، در صورت وجود، نقاط عطف را تعیین می کنیم. بیایید عبارت مشتق دوم را به مخرج مشترک ارائه دهیم و سپس با برابر کردن صورت و مخرج به نوبه خود به صفر می رسیم: y = 0در x=-1، y''-زمانی وجود ندارد x=0.

در -∞ و در 00 – نمودار تابع مقعر است. در -1≤ ایکس<0 - نمودار تابع محدب است. زیرا در نقطه x=-1مشتق دوم علامت مثبت به منفی و سپس نقطه را تغییر می دهد x=-1 –نقطه عطف نمودار تابع (شکل 5).

برنج. 4 شکل 5

مثال: یک تابع را کاوش کنید و آن را نمودار کنید y(x) = ln (x²+4x+5)

1.مطالعه عملکرد.

الف) محدوده مقادیر آرگومان مجاز: تابع لگاریتمی فقط برای آرگومان هایی به شدت بزرگتر از صفر وجود دارد، بنابراین، x²+4x+5>0 -این شرط برای همه مقادیر آرگومان برآورده می شود، یعنی. O.D.Z. – (-∞، +∞).

ب) ناحیه تغییر تابع: (0, +∞). بیایید عبارت زیر علامت لگاریتم را تبدیل کنیم و تابع را با صفر برابر کنیم: لوگاریتم((x+2)²+1) =0.آن ها وقتی تابع به صفر می رسد x=-2.نمودار تابع نسبت به خط مستقیم متقارن خواهد بود x=-2.

ج) تابع پیوسته است و نقطه انفصال ندارد.

د) نمودار تابع هیچ مجانبی ندارد.

2.مطالعه یک تابع با استفاده از مشتق 1.

با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، به دست می آوریم: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

الف) صفرها و نقاط ناپیوستگی مشتق را تعیین می کنیم: y=0،در x=-2.مشتق اول نقطه ناپیوستگی ندارد.

ب) فواصل یکنواختی تابع را تعیین می کنیم، یعنی. فواصل علامت ثابت اولین مشتق: در -∞<ایکس<-2 مشتق y'<0, بنابراین، تابع کاهش می یابد؛ زمانی که -2مشتق y'> 0،بنابراین عملکرد افزایش می یابد. از آنجایی که مشتق در نقطه است x=-2علامت را از منفی به مثبت تغییر می دهد، سپس در این مرحله تابع یک حداقل (مسطح) دارد.

3.مطالعه تابع بر حسب مشتق 2.

بیایید اولین مشتق را به شکل زیر نشان دهیم: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

الف) فواصل علامت ثابت مشتق دوم را تعیین می کنیم. از آنجایی که مخرج مشتق دوم همیشه غیرمنفی است، علامت مشتق دوم فقط با عدد تعیین می شود. y = 0در x=-3و x=-1.

در -∞و در -1مشتق دوم تو<0, بنابراین، نمودار تابع در این فواصل محدب است. در -3مشتق دوم y´´>0،بنابراین، نمودار تابع در این بازه مقعر است. نکته ها x=-3و x=-1 –نقاط عطف نمودار تابع، زیرا در این نقاط نشانه های مشتق دوم تغییر می کند و خود مشتق دوم صفر می شود (شکل 6).

مثال: کاوش یک تابع و رسم نمودار y(x) = x²/(x+2)²

1.مطالعه عملکرد.

الف) محدوده مقادیر مجاز آرگومان (-∞، -2)U(-2، +∞).

ب) ناحیه تغییر تابع².

الف) صفرها و فواصل علامت ثابت مشتق دوم را تعیین می کنیم. زیرا از آنجایی که مخرج کسر همیشه مثبت است، علامت مشتق دوم کاملاً توسط صورت تعیین می شود. در -∞ و در -2مشتق دوم y´´>0بنابراین، نمودار تابع در این فواصل مقعر است. در 1≤x<+∞ مشتق دوم تو<0 بنابراین، نمودار تابع در این بازه محدب است. هنگام عبور از یک نقطه x=1، علامت مشتق دوم از مثبت به منفی تغییر می کند، i.e. این نقطه نقطه عطف نمودار تابع است. در x→+∞نمودار تابع به صورت مجانبی به مجانب افقی خود نزدیک می شود y=1زیر در x→ -∞، نمودار از بالا به مجانب افقی خود نزدیک می شود (شکل 7).