Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult arvuringi määratlust, selgitame välja selle peamise omaduse ja korraldame arvud 1,2,3 jne. Teave selle kohta, kuidas ringile teisi numbreid märkida (näiteks \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) mõistab .
Numbriring nimetatakse ühiku raadiusega ringiks, mille punktid vastavad , mis on korraldatud vastavalt järgmistele reeglitele:
1) alguspunkt on ringjoone äärmises parempoolses punktis;
2) vastupäeva - positiivne suund; päripäeva – negatiivne;
3) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) positiivses suunas, siis jõuame punkti, mille väärtus on \(t\);
4) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) negatiivses suunas, siis jõuame punkti, mille väärtus on \(–t\).
Miks nimetatakse ringi numbriringiks?
Sest sellel on numbrid peal. Sel moel on ring sarnane arvteljega - ringil, nagu teljel, on iga numbri jaoks kindel punkt.
Miks teada, mis on arvuring?
Numbriringi abil määratakse siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtused. Seetõttu peate trigonomeetria tundmiseks ja ühtse riigieksami sooritamiseks 60+ punktiga mõistma, mis on arvuring ja kuidas sellele punkte panna.
Mida tähendavad definitsioonis sõnad “...raadiuse ühiku...”?
See tähendab, et selle ringi raadius on võrdne \(1\). Ja kui konstrueerida selline ring, mille keskpunkt on lähtepunktis, siis lõikub see telgedega punktides \(1\) ja \(-1\).
See ei pea olema väikeseks joonistatud, jaotuste “suurust” saab muuta mööda telge, siis on pilt suurem (vt allpool).
Miks on raadius täpselt üks? See on mugavam, kuna sel juhul valemiga \(l=2πR\) ümbermõõdu arvutamisel saame:
Arvringi pikkus on \(2π\) või ligikaudu \(6,28\).
Mida tähendab “...mille punktid vastavad reaalarvudele”?
Nagu me eespool ütlesime, on iga reaalarvu numbriringil kindlasti selle "koht" - punkt, mis vastab sellele numbrile.
Miks määrata arvuringi alguspunkt ja suund?
Numbriringi põhieesmärk on määrata iga numbri jaoks üheselt selle punkt. Kuid kuidas saate määrata, kuhu punkti panna, kui te ei tea, kust lugeda ja kuhu liikuda?
Siinkohal on oluline mitte segi ajada koordinaatsirge ja arvuringi alguspunkti - need on kaks erinevat võrdlussüsteemi! Ja ärge ajage segamini \(1\) teljel \(x\) ja \(0\) ringil - need on punktid erinevatel objektidel.
Millised punktid vastavad numbritele \(1\), \(2\) jne?
Pea meeles, me eeldasime, et arvuringi raadius on \(1\)? See on meie ühikuline segment (analoogiliselt numbriteljega), mille joonistame ringile.
Numbrile 1 vastava numbriringi punkti märkimiseks peate minema 0-st raadiusega võrdsele kaugusele positiivses suunas.
Ringjoonel arvule \(2\) vastava punkti märkimiseks peate läbima lähtepunktist kahe raadiusega võrdse vahemaa, nii et \(3\) on vahemaa, mis võrdub kolme raadiusega jne.
Seda pilti vaadates võib teil tekkida 2 küsimust:
1. Mis juhtub, kui ring "lõpeb" (st teeme täispöörde)?
Vastus: lähme teisele ringile! Ja kui teine on läbi, läheme kolmanda juurde ja nii edasi. Seetõttu saab ringile joonistada lõpmatu arvu arve.
2. Kuhu jäävad negatiivsed arvud?
Vastus: just seal! Neid saab ka järjestada, lugedes nullist vajaliku arvu raadiusi, kuid nüüd negatiivses suunas.
Kahjuks on täisarvude tähistamine arvuringil keeruline. Selle põhjuseks on asjaolu, et arvuringi pikkus ei võrdu täisarvuga: \(2π\). Ja kõige mugavamates kohtades (telgede ristumispunktides) on ka murded, mitte täisarvud
Videotunnid on üks tõhusamaid õppevahendeid, eriti sellistes kooliainetes nagu matemaatika. Seetõttu on selle materjali autor ühtseks tervikuks kogunud ainult kasuliku, olulise ja pädeva teabe.
Selle õppetunni pikkus on 11:52 minutit. Peaaegu sama palju aega kulub õpetajal tunnis antud teemal uue materjali selgitamiseks. Kuigi videotunni peamiseks eeliseks on asjaolu, et õpilased kuulavad tähelepanelikult, millest autor räägib, ilma et neid segaks kõrvalised teemad ja vestlused. Lõppude lõpuks, kui õpilased ei kuula tähelepanelikult, jäävad nad tunni olulisest punktist ilma. Ja kui õpetaja selgitab materjali ise, saavad tema õpilased oma abstraktsete teemade vestlustega hõlpsalt peamisest asjast kõrvale juhtida. Ja loomulikult saab selgeks, milline meetod on ratsionaalsem.
Tunni alguses pühendab autor nende funktsioonide kordamisele, millega õpilased olid algebra kursusel varem tuttavad. Ja esimesena hakkavad õppima trigonomeetrilised funktsioonid. Nende kaalumiseks ja uurimiseks on vaja uut matemaatilist mudelit. Ja sellest mudelist saab numbriring, mis on täpselt see, mida tunni teemas öeldakse. Selleks tutvustatakse ühikringi mõistet ja antakse selle definitsioon. Joonisel edasi näitab autor kõiki sellise ringi komponente ja seda, mis on õpilastele edasiseks õppimiseks kasulik. Kaared näitavad neljandikku.
Seejärel soovitab autor kaaluda arvuringi. Siin teeb ta märkuse, et mugavam on kasutada ühikringi. See ring näitab, kuidas saadakse punkt M, kui t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Järgmisena tuletab autor õpilastele meelde, kuidas leida ringi ümbermõõt. Ja siis väljastab see ühikuringi pikkuse. Tehakse ettepanek neid teoreetilisi andmeid praktikas rakendada. Selleks vaadake näidet, kus peate leidma ringilt punkti, mis vastab teatud arvu väärtustele. Näite lahendusele on lisatud pildikujuline illustratsioon, samuti vajalikud matemaatilised tähistused.
Teise näite tingimuse kohaselt on vaja arvuringilt leida punkte. Ka siin on kogu lahendusega kaasas kommentaarid, illustratsioonid ja matemaatiline tähistus. See aitab kaasa õpilaste matemaatilise kirjaoskuse arendamisele ja parandamisele. Kolmas näide on üles ehitatud sarnaselt.
Järgmisena märgib autor ringile need numbrid, mis esinevad teistest sagedamini. Siin soovitab ta teha kaks numbriringi mudelit. Kui mõlemad küljendused on valmis, siis vaadeldakse järgmist, neljandat näidet, kus tuleb leida numbriringilt punkt, mis vastab arvule 1. Pärast seda näidet formuleeritakse väide, mille järgi saab leida punkti M, mis vastab numbrile 1. number t.
Järgmisena tutvustatakse märkust, mille kohaselt õpilased saavad teada, et arv "pi" vastab kõigile arvudele, mis langevad antud punkti, kui see läbib kogu ringi. Seda teavet toetab viies näide. Tema lahendus sisaldab loogiliselt õigeid põhjendusi ja olukorda illustreerivaid jooniseid.
TEKSTI DEKOODE:
ARVURING
Varem uurisime analüütiliste avaldistega määratletud funktsioone. Ja neid funktsioone nimetati algebralisteks. Kuid kooli matemaatikakursusel õpitakse teiste klasside funktsioone, mitte algebralisi. Alustame trigonomeetriliste funktsioonide õppimist.
Trigonomeetriliste funktsioonide juurutamiseks vajame uut matemaatilist mudelit - arvuringi. Vaatleme ühikuringi. Ringi, mille raadius on võrdne skaala segmendiga, ilma konkreetseid mõõtühikuid näitamata, nimetatakse ühikuks. Sellise ringi raadius loetakse võrdseks 1-ga.
Kasutame ühikringi, kuhu on joonistatud horisontaalsed ja vertikaalsed läbimõõdud CA ja DB (ce a ja de be) (vt joonis 1).
Me nimetame arc AB esimest kvartalit, arc BC teist kvartalit, arc CD kolmandat kvartalit ja arc DA neljandat kvartalit.
Mõelge numbriringile. Üldjuhul võib numbrilise ringina käsitleda suvalist ringi, kuid mugavam on selleks kasutada ühikringi.
MÄÄRATLUS Antakse ühikring, millele on märgitud alguspunkt A – horisontaaldiameetri parem ots. Seostame iga reaalarvu t (te) ringjoone punktiga järgmise reegli järgi:
1) Kui t>0 (te on suurem kui null), siis, liikudes punktist A vastupäeva (ringjoone positiivne suund), kirjeldame piki ringi rada AM (a em) pikkusega t. Punkt M on soovitud punkt M(t) (em alates te).
2) Kui t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Määrame arvule t = 0 punkt A.
Ühikringi, millel on väljakujunenud vastavus (reaalarvude ja ringi punktide vahel), nimetatakse arvuringiks.
On teada, et ümbermõõt L (el) arvutatakse valemiga L = 2πR (el võrdub kahe pi er), kus π≈3,14, R on ringi raadius. Ühikringi R = 1 cm korral tähendab see L = 2π≈6,28 cm (el võrdub kahe pi ligikaudu 6,28).
Vaatame näiteid.
NÄIDE 1. Leidke arvuringilt punkt, mis vastab antud arvule: ,.(pi kahega, pi, kolm pi kahega, kaks pi, üksteist pi kahega, seitse pi, miinus viis pi kahega)
Lahendus. Esimesed kuus arvu on positiivsed, seetõttu tuleb ringil vastavate punktide leidmiseks läbida etteantud pikkusega rada mööda ringi, liikudes punktist A positiivses suunas. Ühikringi iga veerandi pikkus on võrdne. See tähendab AB =, st punkt B vastab arvule (vt joonis 1). AC = ehk siis punkt C vastab arvule AD = ehk siis punkt D vastab arvule Ja punkt A jälle vastab arvule, sest peale ringraja läbimist sattusime alguspunkti A.
Mõelgem, kus punkt asub Kuna me juba teame, mis on ringi pikkus, siis taandame selle vormiks (neli pi pluss kolm pi kahe võrra). See tähendab, et liikudes punktist A positiivses suunas, peate kaks korda kirjeldama tervet ringi (tee pikkusega 4π) ja lisaks tee pikkust, mis lõpeb punktis D.
Mis on juhtunud? See on 3∙2π + π (kolm korda kaks pi pluss pi). See tähendab, et liikudes punktist A positiivses suunas, tuleb kolm korda kirjeldada tervet ringi ja lisaks veel π pikkusega rada, mis lõpeb punktis C.
Numbriringil negatiivsele arvule vastava punkti leidmiseks peate kõndima punktist A mööda ringjoont negatiivses suunas (päripäeva) pikkusega tee, mis vastab 2π +. See tee lõpeb punktis D.
NÄIDE 2. Leia arvuringilt punkte (pi kuue, pi nelja, pi kolme võrra).
Lahendus. Jagades kaare AB pooleks, saame punkti E, mis vastab. Ja jagades kaare AB kolmeks võrdseks osaks punktidega F ja O, saame, et punkt F vastab ja punkt T vastab
(vt joonis 2).
NÄIDE 3. Leidke arvuringi punktid (miinus kolmteist pi korda neli, üheksateist pi korda kuus).
Lahendus. Asetades punktist A kolmteist korda negatiivses suunas kaare AE (a em) pikkusega (pi korda neli) saame punkti H (tuhk) - kaare BC keskosa.
Asetades punktist A üheksateist korda positiivses suunas kaare AF pikkusega (pi korda kuus) jõuame punkti N (en), mis kuulub kolmandasse veerandisse (kaar CD) ja CN on võrdne punkti kolmanda osaga. kaare CD (vt. de).
(vt joonis näide 2).
Kõige sagedamini tuleb arvuringilt otsida punkte, mis vastavad arvudele (pi kuuega, pi neljaga, pi kolmega, pi kahega), aga ka neid, mis on nende kordsed ehk (seitse pi kuus, viis pi korda neli, neli pi korda kolm, üksteist pi korda kaks). Seetõttu on kiireks navigeerimiseks soovitatav teha kaks numbriringi paigutust.
Esimesel paigutusel jagatakse numbriringi kõik veerandid kaheks võrdseks osaks ja iga tulemuseks oleva punkti lähedale kirjutame nende "nimed":
Teisel paigutusel jagatakse kõik veerandid kolmeks võrdseks osaks ja iga saadud kaheteistkümne punkti lähedale kirjutame üles nende "nimed":
Kui liigume päripäeva, saame joonistel olevatele punktidele samad “nimed”, ainult miinusväärtusega. Esimese paigutuse jaoks:
Samamoodi, kui liigute mööda teist paigutust punktist O päripäeva.
NÄIDE 4. Leia arvuringilt punktid, mis vastavad arvudele 1 (üks).
Lahendus. Teades, et π≈3,14 (pi on ligikaudu võrdne kolme punktiga neliteist sajandikku), ≈ 1,05 (pi korda kolm on ligikaudu võrdne ühe koma viie sajandikuga), ≈ 0,79 (pi korda neli on ligikaudu võrdne nullpunktiga seitsekümmend üheksa sajandikku) . Tähendab,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Järgmine väide on tõsi: kui punkt M arvuringil vastab arvule t, siis vastab see mis tahes arvule kujul t + 2πk(te pluss kaks pi ka), kus ka on suvaline täisarv ja kϵ Z(ka kuulub Zetile).
Seda väidet kasutades võime järeldada, et punkt vastab kõikidele punktidele kujul t =+ 2πk (te võrdub pi korda kolm pluss kaks piiki), kus kϵZ ( ka kuulub zet-i) ja punktile (viis pi korda neli) - punktid kujul t = + 2πk (te võrdub viis pi korda nelja pluss kaks pi ka), kus kϵZ ( ka kuulub zet-le) ja nii edasi.
NÄIDE 5. Leia arvringi punkt: a) ; b) .
Lahendus. a) Meil on: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π. (kakskümmend pi korda kolm võrdub kakskümmend korda kolm pi võrdub kuus pluss kaks kolmandikku, korrutatuna pi-ga võrdub kuus pi pluss kaks pi korda kolm võrdub kaks pi korda kolm pluss kolm korda kaks pi).
See tähendab, et arv vastab numbriringi samale punktile, mis number (see on teine veerand) (vt teist paigutust joonisel 4).
b) Meil on: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (miinus kolmkümmend viis pi korda neli võrdub miinus kaheksa pluss kolm neljandikku korda pi võrdub miinus kolm pi korda neli pluss kaks pi korda miinus neli ). See tähendab, et arv vastab numbriringi samale punktile kui arv
Selles õppetükis tuletame meelde arvurea definitsiooni ja anname arvuringi uue definitsiooni. Samuti käsitleme üksikasjalikult numbriringi olulist omadust ja olulisi punkte ringil. Määratleme arvuringi otse- ja pöördülesanded ning lahendame mitu näidet sellistest ülesannetest.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Numbriring
Iga funktsiooni puhul lükatakse sõltumatu argument edasi kumbki numbririda või ringil. Iseloomustame nii arvurida kui numbriring.
Sirgest saab arv (koordinaat) sirge, kui on märgitud koordinaatide alguspunkt ning valitud suund ja skaala (joonis 1).
Arvrida loob üks-ühele vastavuse joone kõigi punktide ja kõigi reaalarvude vahel.
Näiteks võtame arvu ja paneme selle koordinaatide teljele, saame punkti.Võtame arvu ja paneme selle teljele, saame punkti (joonis 2).
Ja vastupidi, kui võtta mis tahes punkt koordinaatjoonel, siis on sellele vastav kordumatu reaalarv (joonis 2).
Sellise kirjavahetuse peale inimesed kohe ei tulnud. Selle mõistmiseks tuletagem meelde põhilisi arvulisi komplekte.
Kõigepealt tutvustasime naturaalarvude komplekti
Siis hulk täisarvusid 
Ratsionaalarvude hulk
Eeldati, et need hulgad on piisavad ning kõigi ratsionaalarvude ja sirge punktide vahel on üks-ühele vastavus. Kuid selgus, et arvureal on lugematu arv punkte, mida ei saa vormi numbritega kirjeldada
Näiteks on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus jalgadega 1 ja 1. See on võrdne (joonis 3).
Kas ratsionaalarvude hulgas on arv, mis on täpselt võrdne Ei, seda ei ole. Tõestame seda fakti.
Tõestame seda vastuoluga. Oletame, et seal on murd, mis on võrdne s.o.
Siis ruudustatakse mõlemad pooled Ilmselgelt jagub võrdsuse parem pool 2-ga, . See tähendab ja Siis Aga siis ja A tähendab Siis selgub, et murd on taandatav. See on vastuolus tingimusega, mis tähendab
Arv on irratsionaalne. Ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulk moodustab reaalarvude hulga 
Kui võtame joonel mõne punkti, vastab sellele mõni reaalarv. Ja kui me võtame suvalise reaalarvu, siis on koordinaatjoonel sellele vastav punkt.
Teeme selgeks, mis on arvuring ja millised on seosed ringi punktide hulga ja reaalarvude hulga vahel.
Päritolu - punkt A. Loendamise suund - vastupäeva - positiivne, päripäeva - negatiivne. Skaala - ümbermõõt (joon. 4).
Need kolm sätet on meil olemas numbriring. Näitame, kuidas määrata igale numbrile ringil punkt ja vastupidi.
Numbri määramisega saame punkti ringil
Iga reaalarv vastab ringi punktile. Aga vastupidi?
Punkt vastab numbrile. Ja kui me võtame arvud, on kõigil nendel numbritel ringil ainult üks punkt
Näiteks vastab punktile B(joonis 4).
Võtame kõik numbrid, need kõik vastavad punktile. B. Kõikide reaalarvude ja ringi punktide vahel ei ole üks-ühele vastavust.
Kui on kindel arv, siis vastab sellele ainult üks punkt ringil
Kui ringil on punkt, siis on sellele vastav arvude hulk
Erinevalt sirgjoonest ei ole koordinaatringil punktide ja arvude vahel üks-ühele vastavust. Iga arv vastab ainult ühele punktile, kuid igale punktile vastab lõpmatu arv numbreid ja me saame need üles kirjutada.
Vaatame ringi põhipunkte.
Kui on antud arv, leia, millisele ringi punktile see vastab.
Jagades kaare pooleks, saame punkti (joon. 5).
Pöördülesanne: antud punkt kaare keskel, leida kõik sellele vastavad reaalarvud.
Märgime arvringile kõik mitmekordsed kaared (joonis 6).
Kaared, mis on mitmekordsed
Antakse arv, peate leidma vastava punkti.
Pöördülesanne – antud punktile tuleb leida, millistele numbritele see vastab.
Vaatlesime kahte standardülesannet kahes kriitilises punktis.
a) Leia arvuringilt punkt koordinaadiga
Viivitus punktist A see on kaks tervet pööret ja teine pool ning saame punkti M- see on kolmanda veerandi keskpaik (joonis 8).
Vastus. Punkt M- kolmanda kvartali keskpaik.
b) Leidke arvuringil punkt koordinaadiga
Viivitus punktist A täispööre ja saame ikka punkti N(joonis 9).
Vastus: Punkt N on esimeses kvartalis.
Vaatasime numbririda ja numbriringi ning mäletasime nende tunnuseid. Arvrea eripäraks on üks-ühele vastavus selle sirge punktide ja reaalarvude hulga vahel. Sellist üks-ühele kirjavahetust ringil ei ole. Iga reaalarv ringil vastab ühele punktile, kuid arvuringi iga punkt vastab lõpmatule arvule reaalarvudele.
Järgmises tunnis vaatame arvuringi koordinaattasandil.
Viidete loetelu teemal "Numbriring", "Punkt ringil"
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele).- M.: Prosveštšenia, 1996.
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatikaülesannete kogumik kõrgkoolidesse kandideerijatele (toimetanud M.I. Skanavi).- M.: Kõrgkool, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Ülesanded algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10-11 klassi õpilastele) - M.: Prosveštšenia, 2003.
8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
Asja nimi Algebra ja matemaatilise analüüsi algus
Klass 10
UMK Algebra ja matemaatilise analüüsi algus, 10-11 klass. AT 2 . 1. osa. Õpik üldharidusasutustele (algtase) / A.G. Mordkovitš. – 10. trükk, ster. – M.: Mnemosyne, 2012. 2. osa. Probleemiraamat haridusasutustele (algtase) /[ A.G. Mordkovich et al.]; toimetanud A.G. Mordkovitš. – 10. trükk, ster. – M.: Mnemosyne, 2012.
Õppetase. Alus
Tunni teema Numbriring (kell 2)
1. tund
Sihtmärk: tutvustada arvuringi mõistet kõverjoonelise koordinaatsüsteemi mudelina.
Ülesanded : arendada numbriringi kasutamise oskust ülesannete lahendamisel.
Planeeritud tulemused:
Tundide ajal
Aja organiseerimine.
2. Õpilastele raskusi tekitanud kodutööde kontrollimine
II. Suuline töö.
1. Sobitage iga intervall arvureal ebavõrdsusega ja intervalli analüütilise tähisega. Sisestage andmed tabelisse.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
IN [–5; + ) JA [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Erinevalt uuritud arvujoonest on arvuring keerulisem mudel. Selle aluseks olev kaare kontseptsioon ei ole geomeetrias usaldusväärselt välja töötatud.
2 . Töö õpikuga . Vaatame praktilist näidet koos. 23–24 õpikut (staadioni jooksurada). Võite paluda õpilastel tuua sarnaseid näiteid (satelliidi liikumine orbiidil, hammasratta pöörlemine jne).
3. Põhjendame ühikringi numbrilisena kasutamise mugavust.
4. Töö õpikuga. Vaatame näiteid lk. 25–31 õpikut. Autorid rõhutavad, et numbriringi mudeli edukaks valdamiseks pakuvad nii õpik kui ka probleemraamat spetsiaalsete „didaktiliste mängude” süsteemi. Neid on kuus, selles tunnis kasutame nelja esimest.
(Mordkovich A. G. M79 Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10.-11. klass (algtase): metoodiline käsiraamat õpetajatele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 lk. : haige.)
1. "mäng" – ühikringi kaare pikkuse arvutamine. Õpilased peaksid harjuma sellega, et kogu ringi pikkus on 2 , pool ringi – , veerandring – jne.
2. "mäng" – numbriringilt punktide leidmine, mis vastavad antud arvudele, väljendatuna arvu murdosades
näiteks punktid 
jne (“head” numbrid ja punktid).
3. "mäng" – arvuringilt punktide leidmine, mis vastavad etteantud arvudele, mida ei väljendata arvu murdosades näiteks punktid M (1), M (–5) jne (“halvad” numbrid ja punktid).
4. "mäng" – antud “hea” punktile vastavate arvude salvestamine numbriringile, näiteks esimese veerandi keskpaik on “hea”, sellele vastavad numbrid on kujul 
Dünaamiline paus
Selles tunnis lahendatud harjutused vastavad neljale määratud didaktilisele mängule. Õpilased kasutavad läbimõõtudega numbriringide paigutustAC (horisontaalne) jaBD(vertikaalne).
1. № 4.1, № 4.3.
Lahendus:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Lahendus:
№ 4.13.
V. Proovitöö.
valik 1
2. võimalus
1. Märkige numbriringile punkt, mis sellele numbrile vastab:
2. Leia kõik numbrid, mis vastavad numbriringile märgitud punktidele.
VI. Tunni kokkuvõte.
Küsimused õpilastele:
– Andke arvuringi definitsioon.
– Mis on ühikringi pikkus? Poole ühikuringi pikkus? Tema eluruumid?
– Kuidas leida numbriringilt punkti, mis vastab numbrile? Number 5?
Kodutöö:, lk 23. Nr 4.2, nr 4.4, nr 4.5 (c; d) – nr 4.11 (c; d), nr 4.13 (c; d), nr 4.15.
Õppetund nr 2
Eesmärgid : kinnistada arvringi mõiste kõverjoonelise koordinaatsüsteemi mudelina.
Ülesanded : jätkuvalt arendada oskust leida numbriringilt punkte, mis vastavad etteantud “headele” ja “halbadele” numbritele; kirjuta üles arvuringi punktile vastav arv; arendada oskust koostada arvuringi kaare analüütilist tähistust topeltvõrratuse kujul.
Arendada õpilaste arvutusoskust, õiget matemaatilist kõnet ja loogilist mõtlemist.
Sisenda iseseisvust, tähelepanu ja täpsust. Edendada vastutustundlikku suhtumist õppimisse.
Planeeritud tulemused:
Tea, mõista: - numbriring.
Oskab: - leida ringjoonel punkte etteantud koordinaatide järgi; - leida arvuringil asuva punkti koordinaadid.
Oskama õpitud teoreetilist materjali rakendada kirjaliku töö tegemisel.
Tunni tehniline tugi Arvuti, ekraan, projektor, õpik, probleemraamat.
Täiendav metoodiline ja didaktiline tugi tunnile: Mordkovich A. G. M79 Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10.-11. klass (algtase): metoodiline käsiraamat õpetajatele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 lk. : muda
Tundide ajal
Aja organiseerimine.
Õpilaste psühholoogiline meeleolu.
Kodutööde kontrollimineNr 4.2, nr 4.4, nr 4.5 (c; d) – nr 4.11 (c; d), nr 4.13 (c; d),
№ 4.15. Analüüsige raskusi tekitanud ülesannete lahendust.
Suuline töö.
(slaidil)
1. Ühendage arvuringi punktid ja etteantud numbrid:
b)
V)
G)
d)
e)
ja)
h)
2. Leia arvuringi punktid.
–2; 4; –8;
13.
III. Uue materjali selgitus.
Nagu juba märgitud, valdavad õpilased kuue didaktilise "mängu" süsteemi, mis võimaldavad lahendada nelja põhitüübi ülesandeid, mis on seotud arvuringiga (arvust punktini; punktist numbrini; kaarest kahekordse ebavõrdsuseni; topeltvõrdsusest). kaarele).
(Mordkovich A. G. M79 Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10.-11. klass (algtase): metoodiline käsiraamat õpetajatele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 lk. : haige.)
Selles õppetükis kasutame kahte viimast mängu:
5. "mäng" – arvuringi kaare analüütiliste kirjete (topeltvõrratuste) koostamine. Näiteks kui on antud kaar, mis ühendab esimese veerandi keskpunkti (kaare algust) ja nende kahe madalaima punkti, mis jagavad teise veerandi kolmeks võrdseks osaks (kaare lõpp), siis vastav analüütiline märge on kujul:
Kui sama kaare algus ja lõpp on vahetatud, näeb kaare vastav analüütiline kirje välja selline:
Õpiku autorid märgivad, et mõisted “kaare analüütilise tähise tuum”, “kaare analüütiline tähistus” ei ole üldtunnustatud, need võeti kasutusele puhtmetoodilistel kaalutlustel ning kas neid kasutada või mitte, on otsustada. õpetaja.
6. "mäng" – sellest kaare analüütilisest tähistusest (topeltvõrratus) liikuge selle geomeetrilisele kujutisele.
Selgitamine tuleks läbi viia analoogia tehnikat kasutades. Võite kasutada teisaldatavat arvurea mudelit, mille saab arvuringiks "ahendada".
Töö õpikuga .
Vaatame näidet 8 alates lk. 33 õpikut.
Dünaamiline paus
IV. Oskuste ja vilumuste kujunemine.
Õpilased peavad ülesandeid täites jälgima, et kaare analüütiliselt kirjutamisel oleks topeltvõrratuse vasak pool väiksem kui parem pool. Selleks peate salvestamisel liikuma positiivses suunas, st vastupäeva.
1. rühm . Harjutused numbriringi “halbade” punktide leidmiseks.
№ 4.16, nr 4.17 (a; b).
2. rühm . Harjutused kaare analüütilisest salvestamisest ja kaare ehitamisest selle analüütilise salvestuse põhjal.
№ 4.18 (a; b), nr 4.19 (a; b), nr 4.20 (a; b).
V. Iseseisev töö.
Võimalus 1
3. Analüütilise mudeli järgi 
kirjutage üles arvukaare tähistus ja koostage selle geomeetriline mudel.
Võimalus 2
1. Arvringi kaare geomeetrilise mudeli alusel kirjutage analüütiline mudel topeltvõrratuse kujul.
2. Vastavalt arvuringi kaare etteantud tähistusele 
näidata selle geomeetrilisi ja analüütilisi mudeleid.
3. Analüütilise mudeli järgi 
kirjutage üles arvuringi kaare tähistus ja koostage selle geomeetriline mudel.
VI. Tunni kokkuvõte.
Küsimused õpilastele:
– Kuidas saab analüütiliselt kirjutada arvringi kaare?
– Mida nimetatakse kaare analüütilise salvestamise tuumaks?
– Millistele tingimustele peavad vastama topeltvõrratuse vasakul ja paremal olevad numbrid?
Kodutöö:
1. , lk 23. Nr 4.17 (c; d), nr 4.18 (c; d), nr 4.19 (c; d), nr 4.20 (c; d).
2. Arvringi kaare geomeetrilise mudeli alusel kirjutage üles selle analüütiline mudel topeltvõrratuse kujul.
3. Vastavalt arvuringi kaare etteantud tähistusele 
näidata selle geomeetrilisi ja analüütilisi mudeleid.
