Kraadivalemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Number c on n-arvu aste a Millal:
Tehted kraadidega.
1. Kraadide korrutamisel sama alusega liidetakse nende näitajad:
olen·a n = a m + n .
2. Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid:
3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:
(a/b) n = a n/bn.
5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:
(a m) n = a m n .
Kõik ülaltoodud valemid kehtivad vasakult paremale ja vastupidi.
Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operatsioonid juurtega.
1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:
2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:
3. Juure tõstmisel astmele piisab radikaalarvu tõstmisest selle astmeni:
4. Kui suurendate juure astet n kord ja samal ajal sisse ehitada n aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:
5. Kui vähendate juure astet n eemaldage juur samal ajal n-radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei muutu:
Negatiivse astendajaga kraad. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:
Valem olen:a n =a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka koos m< n.
Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Valemile olen:a n =a m - n muutus õiglaseks, kui m = n, on vajalik null kraadi olemasolu.
Kraad nullindeksiga. Iga arvu, mis ei ole võrdne nulliga ja mille astendaja on null, aste on võrdne ühega.
Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu A kraadini m/n, peate juure ekstraheerima n aste m-selle arvu aste A.
Excel kasutab juure eraldamiseks ja arvu astmeks tõstmiseks sisseehitatud funktsioone ja matemaatilisi operaatoreid. Vaatame näiteid.
SQRT funktsiooni näited Excelis
Sisseehitatud SQRT-funktsioon tagastab positiivse ruutjuure väärtuse. Funktsioonide menüüs on see kategooria Matemaatika all.
Funktsiooni süntaks: =ROOT(arv).
Ainus ja nõutav argument on positiivne arv, mille jaoks funktsioon arvutab ruutjuure. Kui argument on negatiivne, tagastab Excel veateate #NUM!.
Saate määrata konkreetse väärtuse või viite lahtrile argumendina arvväärtusega.
Vaatame näiteid.
Funktsioon tagastas arvu 36 ruutjuure. Argumendiks on konkreetne väärtus.
Funktsioon ABS tagastab absoluutväärtuse -36. Selle kasutamine võimaldas meil negatiivse arvu ruutjuure eraldamisel vältida vigu.
Funktsioon võttis ruutjuure summast 13 ja lahtri C1 väärtusest.
Astendusfunktsioon Excelis
Funktsiooni süntaks: =POWER(väärtus, arv). Mõlemad argumendid on vajalikud.
Väärtus on mis tahes tegelik arvväärtus. Arv näitab võimsust, milleni antud väärtust tuleb tõsta.
Vaatame näiteid.
Lahtris C2 - arvu 10 ruudustamisel tulemus.
Funktsioon tagastas arvu 100 tõstetuna väärtusele ¾.
Astendamine operaatori abil
Arvu astmeliseks tõstmiseks Excelis saate kasutada matemaatilist operaatorit “^”. Selle sisestamiseks vajutage klahvikombinatsiooni Shift + 6 (ingliskeelse klaviatuuripaigutusega).
Selleks, et Excel käsitleks sisestatud teavet valemina, asetatakse kõigepealt märk “=”. Järgmine on number, mida tuleb astmeni tõsta. Ja pärast märgi “^” on kraadi väärtus.
Selle matemaatilise valemi mis tahes väärtuse asemel võite kasutada viiteid numbritega lahtritele.
See on mugav, kui peate koostama mitu väärtust.
Kopeerides valemi tervesse veergu, saime kiiresti A veerus olevate arvude kolmandasse astmesse tõstmise tulemused.
N-nda juurte ekstraheerimine
ROOT on Exceli ruutjuure funktsioon. Kuidas eraldada 3., 4. ja teiste astmete juur?
Meenutagem üht matemaatilist seadust: n-nda juure eraldamiseks peate arvu tõstma astmeni 1/n.
Näiteks kuupjuure eraldamiseks tõstame arvu astmeni 1/3.
Kasutame valemit Excelis erineva astme juurte eraldamiseks.
Valem tagastas arvu 21 kuupjuure väärtuse. Murdarvuni tõstmiseks kasutati operaatorit “^”.
Palju õnne: täna vaatleme juuri – üht 8. klassi kõige meeltmöödavamat teemat. :)
Paljud inimesed lähevad juurte osas segadusse mitte sellepärast, et need on keerulised (mis selles nii keerulist on - paar definitsiooni ja veel paar omadust), vaid seetõttu, et enamikus kooliõpikutes on juured määratletud läbi sellise džungli, et ainult õpikute autorid. ise saavad sellest kirjast aru. Ja ka siis ainult pudeli hea viskiga. :)
Seetõttu annan nüüd juure kõige õigema ja pädevama määratluse - ainsa, mida peaksite tõesti meeles pidama. Ja siis ma selgitan: miks seda kõike vaja on ja kuidas seda praktikas rakendada.
Kuid kõigepealt pidage meeles ühte olulist punkti, mille paljud õpikute koostajad mingil põhjusel "unustavad":
Juured võivad olla paarisastmega (meie lemmik $\sqrt(a)$, aga ka kõikvõimalikud $\sqrt(a)$ ja paarisastmed $\sqrt(a)$) ja paaritu astmega (igasugused $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ jne). Ja paaritu astme juure määratlus erineb mõneti paarisastmest.
Tõenäoliselt on 95% kõigist juurtega seotud vigadest ja arusaamatustest peidus selles kuradi “mõnevõrra”. Teeme terminoloogia lõplikult selgeks:
Definitsioon. Isegi juur n numbrist $a$ on ükskõik milline mittenegatiivne arv $b$ on selline, et $((b)^(n))=a$. Ja sama arvu $a$ paaritu juur on üldiselt mis tahes arv $b$, mille puhul kehtib sama võrdsus: $((b)^(n))=a$.
Igal juhul on juur tähistatud järgmiselt:
\(a)\]
Sellises tähises olevat arvu $n$ nimetatakse juureksponendiks ja arvu $a$ radikaalavaldiseks. Täpsemalt, $n=2$ puhul saame oma “lemmik” ruutjuure (muide, see on paarisastme juur) ja $n=3$ puhul kuupjuure (paaritu aste), mis on leidub sageli ka ülesannetes ja võrrandites.
Näited. Ruutjuurte klassikalised näited:
\[\begin(joonda) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(joonda)\]
Muide, $\sqrt(0)=0$ ja $\sqrt(1)=1$. See on üsna loogiline, kuna $((0)^(2))=0$ ja $((1)^(2))=1$.
Levinud on ka kuubikujuured – neid pole vaja karta:
\[\begin(joonda) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(joonda)\]
Noh, paar "eksootilist näidet":
\[\begin(joonda) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(joonda)\]
Kui te ei saa aru, mis vahe on paaris ja paaritu astme vahel, lugege määratlus uuesti läbi. See on väga tähtis!
Vahepeal käsitleme juurte üht ebameeldivat omadust, mille tõttu oli meil vaja paaris- ja paaritute eksponentide jaoks eraldi definitsioon sisse viia.
Milleks üldse juuri vaja on?
Pärast määratluse lugemist küsivad paljud õpilased: "Mida matemaatikud suitsetasid, kui nad selle välja mõtlesid?" Ja tõesti: milleks kõiki neid juuri üldse vaja on?
Sellele küsimusele vastamiseks pöördume korraks tagasi põhikooli juurde. Pidage meeles: neil kaugetel aegadel, kui puud olid rohelisemad ja pelmeenid maitsvamad, oli meie peamine mure numbrite õige korrutamine. Noh, midagi sellist nagu "viis viis – kakskümmend viis", see on kõik. Kuid arve saate korrutada mitte paarikaupa, vaid kolmikute, neljakordsete ja üldiselt tervete komplektidena:
\[\begin(joonda) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(joonda)\]
See pole aga asja mõte. Nipp on erinev: matemaatikud on laisad inimesed, nii et neil oli raske kümne viie korrutist niimoodi kirja panna:
Sellepärast tulid välja kraadid. Miks mitte kirjutada tegurite arv pika stringi asemel ülaindeksina? Midagi sellist:
See on väga mugav! Kõik arvutused vähenevad märkimisväärselt ning umbes 5183 kirja panemiseks ei pea te raiskama hunnikut pärgamendilehti ja märkmikke. Seda rekordit nimetati arvu astmeks, sellest leiti hunnik omadusi, kuid õnn osutus lühiajaliseks.
Pärast suurejoonelist joomapidu, mis korraldati just kraadide “avastamiseks”, küsis mõni eriti kangekaelne matemaatik äkki: “Mis siis, kui me teame arvu astet, aga arv ise pole teada?” Tõepoolest, kui me teame, et teatud arv $b$, näiteks 5. astmeni, annab 243, siis kuidas saame arvata, millega arv $b$ ise võrdub?
See probleem osutus palju globaalsemaks, kui esmapilgul võib tunduda. Sest selgus, et enamiku "valmis" jõudude jaoks pole selliseid "algseid" numbreid. Otsustage ise:
\[\begin(joona) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Paremnool b=4\cdot 4\cdot 4\Paremnool b=4. \\ \end(joonda)\]
Mis siis, kui $((b)^(3))=50 $? Selgub, et me peame leidma teatud arvu, mis kolmekordsel endaga korrutamisel annab 50. Aga mis see arv on? See on selgelt suurem kui 3, kuna 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. See on see arv jääb kolme ja nelja vahele, kuid te ei saa aru, millega see võrdub.
Just seepärast tulid matemaatikud välja $n$-nda juurtega. Just seetõttu võeti kasutusele radikaalne sümbol $\sqrt(*)$. Määrata väga arv $b$, mis antud määral annab meile varem teadaoleva väärtuse
\[\sqrt[n](a)=b\Paremnool ((b)^(n))=a\]
Ma ei vaidle vastu: sageli on need juured kergesti arvutatavad - eespool nägime mitmeid selliseid näiteid. Kuid enamikul juhtudel, kui mõtlete suvalisele arvule ja proovite sellest siis suvalise astme juure välja tõmmata, on teil kohutav jama.
Mis seal on! Isegi kõige lihtsamat ja tuttavamat $\sqrt(2)$ ei saa esitada meie tavapärasel kujul – täisarvu või murdena. Ja kui sisestate selle numbri kalkulaatorisse, näete järgmist:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Nagu näete, on pärast koma lõputu arvujada, mis ei allu ühelegi loogikale. Muidugi saate selle arvu ümardada, et kiiresti võrrelda teiste numbritega. Näiteks:
\[\sqrt(2)=1,4142...\umbes 1,4 \lt 1,5\]
Või siin on veel üks näide:
\[\sqrt(3)=1,73205...\umbes 1,7 \gt 1,5\]
Kuid esiteks on kõik need ümardamised üsna karmid; ja teiseks peate suutma töötada ka ligikaudsete väärtustega, muidu võite tabada hunniku mitteilmseid vigu (muide, võrdlemise ja ümardamise oskust tuleb testida profiilil Unified State Examination).
Seetõttu ei saa tõsises matemaatikas ilma juurteta hakkama - need on kõigi reaalarvude hulga $\mathbb(R)$ võrdsed esindajad, nagu ka meile juba ammu tuttavad murd- ja täisarvud.
Suutmatus esitada juurt murdosa kujul $\frac(p)(q)$ tähendab, et see juur ei ole ratsionaalne arv. Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks ja neid ei saa täpselt esitada, kui ainult radikaali või muude spetsiaalselt selleks loodud konstruktsioonide (logaritmid, võimsused, piirid jne) abil. Aga sellest pikemalt teine kord.
Vaatleme mitut näidet, kus pärast kõiki arvutusi jäävad vastusesse ikkagi irratsionaalsed arvud.
\[\begin(joona) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\umbes 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\umbes -1,2599... \\ \end(joonda)\]
Loomulikult on juure välimuse järgi peaaegu võimatu arvata, millised arvud tulevad pärast koma. Siiski võite arvestada kalkulaatoriga, kuid isegi kõige arenenum kuupäevakalkulaator annab meile irratsionaalsest arvust vaid paar esimest numbrit. Seetõttu on palju õigem vastused kirjutada kujul $\sqrt(5)$ ja $\sqrt(-2)$.
Täpselt sellepärast need leiutati. Vastuste mugavaks salvestamiseks.
Miks on vaja kahte määratlust?
Tähelepanelik lugeja on ilmselt juba märganud, et kõik näidetes toodud ruutjuured on võetud positiivsetest arvudest. Noh, vähemalt nullist. Kuid kuupjuuri saab rahulikult välja tõmmata absoluutselt igast numbrist – olgu see siis positiivne või negatiivne.
Miks see juhtub? Vaadake funktsiooni $y=((x)^(2))$ graafikut:
Ruutfunktsiooni graafik annab kaks juurt: positiivse ja negatiivse Proovime selle graafiku abil arvutada $\sqrt(4)$. Selleks tõmmatakse graafikule (märgitud punasega) horisontaaljoon $y=4$, mis lõikub parabooliga kahes punktis: $((x)_(1))=2$ ja $((x) )_(2)) =-2 $. See on üsna loogiline, kuna
Esimese numbriga on kõik selge - see on positiivne, seega on see juur:
Aga mida siis teise punktiga peale hakata? Nagu neljal on kaks juurt korraga? Lõppude lõpuks, kui paneme arvu −2 ruutu, saame ka 4. Miks mitte kirjutada siis $\sqrt(4)=-2$? Ja miks vaatavad õpetajad selliseid postitusi nagu tahaksid sind ära süüa? :)
Probleem on selles, et kui te lisatingimusi ei sea, on nelikul kaks ruutjuurt - positiivne ja negatiivne. Ja igal positiivsel arvul on neid ka kaks. Kuid negatiivsetel arvudel pole juuri - seda on näha samast graafikust, kuna parabool ei lange kunagi teljest allapoole y, st. ei aktsepteeri negatiivseid väärtusi.
Sarnane probleem ilmneb kõigi ühtlase eksponendiga juurte puhul:
- Rangelt võttes on igal positiivsel arvul kaks juurt paaris eksponendiga $n$;
- Negatiivsetest arvudest ei eraldata juurt paaris $n$-ga üldse.
Sellepärast on paarisastme juure definitsioonis $n$ konkreetselt ette nähtud, et vastuseks peab olema mittenegatiivne arv. Nii vabaneme ebaselgusest.
Kuid paaritu $n$ puhul sellist probleemi pole. Selle nägemiseks vaatame funktsiooni $y=((x)^(3))$ graafikut:
Kuubiku parabool võib võtta mis tahes väärtuse, seega võib kuupjuure võtta mis tahes arvust Sellelt graafikult saab teha kaks järeldust:
- Kuubikujulise parabooli oksad, erinevalt tavalisest, lähevad lõpmatuseni mõlemas suunas – nii üles kui alla. Seetõttu, olenemata sellest, millisele kõrgusele me horisontaaljoone tõmbame, lõikub see joon kindlasti meie graafikuga. Järelikult saab kuupjuure alati välja võtta absoluutselt suvalisest arvust;
- Lisaks on selline ristmik alati ainulaadne, nii et te ei pea mõtlema, millist numbrit peetakse "õigeks" juureks ja millist ignoreerida. Seetõttu on paaritu astme juurte määramine lihtsam kui paarisastme jaoks (ei ole mittenegatiivsuse nõuet).
Kahju, et enamikes õpikutes neid lihtsaid asju ei seletata. Selle asemel hakkab meie aju hõljuma kõikvõimalike aritmeetiliste juurte ja nende omadustega.
Jah, ma ei vaidle vastu: peate ka teadma, mis on aritmeetiline juur. Ja ma räägin sellest üksikasjalikult eraldi õppetükis. Täna räägime ka sellest, sest ilma selleta oleks kõik mõtted $n$-nda paljususe juurtest poolik.
Kuid kõigepealt peate selgelt mõistma ülaltoodud määratlust. Muidu hakkab terminite rohkuse tõttu peas selline segadus, et lõpuks ei saa üldse millestki aru.
Kõik, mida pead tegema, on mõistma paaris- ja paaritute näitajate erinevust. Seetõttu kogume veel kord kõik, mida juurte kohta tegelikult vaja on:
- Paarisastme juur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust ja on ise alati mittenegatiivne arv. Negatiivsete arvude puhul on selline juur määramata.
- Kuid paaritu astme juur eksisteerib mis tahes arvust ja võib ise olla mis tahes arv: positiivsete arvude puhul on see positiivne ja negatiivsete arvude puhul, nagu ülem vihjab, negatiivne.
Kas see on raske? Ei, see pole raske. See on selge? Jah, see on täiesti ilmne! Nii et nüüd harjutame natuke arvutustega.
Põhiomadused ja piirangud
Juurtel on palju kummalisi omadusi ja piiranguid – sellest tuleb juttu eraldi õppetükis. Seetõttu käsitleme nüüd ainult kõige olulisemat "trikki", mis kehtib ainult ühtlase indeksiga juurte kohta. Kirjutame selle omaduse valemina:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Teisisõnu, kui tõstame arvu paarisastmeni ja seejärel eraldame sama astme juure, ei saa me algarvu, vaid selle moodulit. See on lihtne teoreem, mida saab kergesti tõestada (piisab, kui käsitleda eraldi mittenegatiivseid $x$ ja seejärel eraldi negatiivseid). Õpetajad räägivad sellest pidevalt, see on igas kooliõpikus ära toodud. Kuid niipea, kui on vaja lahendada irratsionaalseid võrrandeid (st radikaalmärki sisaldavad võrrandid), unustavad õpilased selle valemi üksmeelselt.
Probleemi üksikasjalikuks mõistmiseks unustame minutiks kõik valemid ja proovime välja arvutada kaks arvu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Need on väga lihtsad näited. Enamik inimesi lahendab esimese näite, kuid paljud inimesed jäävad teisega jänni. Sellise jama probleemideta lahendamiseks kaaluge alati protseduuri:
- Esiteks tõstetakse arv neljanda astmeni. Noh, see on omamoodi lihtne. Saate uue numbri, mille leiate isegi korrutustabelist;
- Ja nüüd on sellest uuest numbrist vaja välja võtta neljas juur. Need. juurte ja jõudude "vähendamine" ei toimu - need on järjestikused toimingud.
Vaatame esimest avaldist: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ilmselt peate kõigepealt arvutama juure all oleva avaldise:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Seejärel eraldame arvu 81 neljanda juure:
Nüüd teeme sama teise avaldisega. Esiteks tõstame arvu −3 neljanda astmeni, mis nõuab selle endaga korrutamist 4 korda:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vasak(-3 \parem)=81\]
Saime positiivse arvu, kuna toote miinuste koguarv on 4 ja need kõik tühistavad üksteist (miinus miinuse eest annab ju plussi). Seejärel ekstraheerime juure uuesti:
Põhimõtteliselt poleks seda rida saanud kirjutada, sest pole aimugi, et vastus oleks sama. Need. sama paarisvõimsuse paarisjuur “põletab” miinused ja selles mõttes on tulemus tavalisest moodulist eristamatu:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \parem|=3. \\ \end(joonda)\]
Need arvutused on hästi kooskõlas paarisastme juure definitsiooniga: tulemus on alati mittenegatiivne ja ka radikaalmärk sisaldab alati mittenegatiivset arvu. Vastasel juhul on juur määramata.
Märkus protseduuri kohta
- Märkus $\sqrt(((a)^(2)))$ tähendab, et esmalt me ruudustame arvu $a$ ja seejärel võtame saadud väärtuse ruutjuure. Seetõttu võime olla kindlad, et juurmärgi all on alati mittenegatiivne arv, kuna $((a)^(2))\ge 0$ igal juhul;
- Kuid märge $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, vastupidi, tähendab, et me võtame esmalt teatud arvu $a$ juure ja alles siis tulemuse ruut. Seetõttu ei saa arv $a$ mingil juhul olla negatiivne – see on definitsioonis sisalduv kohustuslik nõue.
Seega ei tohiks mingil juhul mõtlematult juuri ja astmeid vähendada, väidetavalt "lihtsustades" algset väljendit. Sest kui juurel on negatiivne arv ja selle astendaja on paaris, saame hunniku probleeme.
Kõik need probleemid on aga olulised ainult ühtlaste näitajate puhul.
Miinusmärgi eemaldamine juurmärgi alt
Loomulikult on paaritute astendajatega juurtel ka oma tunnus, mida paarisarvuga põhimõtteliselt ei eksisteeri. Nimelt:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ühesõnaga, paaritu astme juurte märgi alt saab miinuse eemaldada. See on väga kasulik omadus, mis võimaldab teil "välja visata" kõik puudused:
\[\begin(joonda) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(joonda)\]
See lihtne omadus lihtsustab paljusid arvutusi oluliselt. Nüüd ei pea te muretsema: mis siis, kui negatiivne väljend oli peidetud juure alla, kuid juure aste osutus ühtlaseks? Piisab sellest, kui kõik väljaspool juuri olevad miinused “välja visata”, misjärel saab neid omavahel korrutada, jagada ja üldiselt teha palju kahtlaseid asju, mis “klassikaliste” juurte puhul meid kindlasti viivad. viga.
Ja siin tuleb mängu veel üks määratlus – seesama, millega enamikus koolides alustatakse irratsionaalsete väljendite uurimist. Ja ilma milleta oleks meie arutluskäik puudulik. Saage tuttavaks!
Aritmeetiline juur
Oletame hetkeks, et juurmärgi all võivad olla ainult positiivsed arvud või äärmisel juhul null. Unustagem paaris/paaritud näitajad, unustagem kõik ülaltoodud definitsioonid – töötame ainult mittenegatiivsete arvudega. Mis siis?
Ja siis saame aritmeetilise juure - see kattub osaliselt meie “standardsete” määratlustega, kuid erineb neist siiski.
Definitsioon. Mittenegatiivse arvu $a$ $n$-nda astme aritmeetiline juur on mittenegatiivne arv $b$, nii et $((b)^(n))=a$.
Nagu näeme, ei huvita meid enam pariteet. Selle asemel ilmus uus piirang: radikaalne väljend on nüüd alati mittenegatiivne ja juur ise on samuti mittenegatiivne.
Et paremini mõista, kuidas aritmeetiline juur erineb tavalisest, vaadake meile juba tuttavaid ruut- ja kuupparabooli graafikuid:
Aritmeetilise juureotsingu ala – mittenegatiivsed arvud Nagu näha, huvitavad meid edaspidi vaid need graafikutükid, mis asuvad esimeses koordinaatide kvartalis – kus koordinaadid $x$ ja $y$ on positiivsed (või vähemalt null). Enam pole vaja indikaatorit vaadata, et mõista, kas meil on õigus panna negatiivne arv juure alla või mitte. Sest negatiivseid numbreid põhimõtteliselt enam ei arvestata.
Võite küsida: "Noh, miks me vajame sellist steriliseeritud määratlust?" Või: "Miks me ei saa ülaltoodud standardmääratlusega hakkama?"
Noh, ma annan ainult ühe omaduse, mille tõttu uus määratlus sobib. Näiteks astendamise reegel:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Pange tähele: saame radikaalavaldise tõsta mis tahes astmeni ja samal ajal korrutada juureksponenti sama astmega - ja tulemus on sama arv! Siin on näited.
\[\begin(joona) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(joonda)\]
Mis on siis suur asi? Miks me ei võiks seda varem teha? Siin on põhjus. Vaatleme lihtsat avaldist: $\sqrt(-2)$ - see arv on meie klassikalises arusaamas täiesti normaalne, kuid aritmeetilise juure seisukohalt absoluutselt vastuvõetamatu. Proovime seda teisendada:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(joonda)$
Nagu näete, eemaldasime esimesel juhul radikaali alt miinuse (meil on täielik õigus, kuna eksponent on paaritu) ja teisel juhul kasutasime ülaltoodud valemit. Need. Matemaatilisest küljest vaadatuna tehakse kõik reeglite järgi.
WTF?! Kuidas saab sama arv olla nii positiivne kui ka negatiivne? Pole võimalik. Lihtsalt astendamise valem, mis töötab suurepäraselt positiivsete arvude ja nulli puhul, hakkab negatiivsete arvude puhul tekitama täielikku ketserlust.
Just selleks, et sellisest ebaselgusest vabaneda, leiutati aritmeetilised juured. Neile on pühendatud eraldi suur õppetund, kus käsitleme üksikasjalikult kõiki nende omadusi. Nii et me ei peatu neil praegu - õppetund on juba liiga pikaks osutunud.
Algebraline juur: neile, kes tahavad rohkem teada
Mõtlesin kaua, kas panna see teema eraldi lõiku või mitte. Lõpuks otsustasin selle siia jätta. See materjal on mõeldud neile, kes soovivad juurtest veelgi paremini aru saada - mitte enam keskmisel koolitasemel, vaid olümpiaadilähedasel tasemel.
Niisiis: lisaks arvu $n$-nda juure “klassikalisele” definitsioonile ja sellega seotud jagamisele paaris- ja paarituteks eksponenditeks on olemas ka “täiskasvanulikum” definitsioon, mis ei sõltu sugugi paarsusest ja muudest peensustest. Seda nimetatakse algebraliseks juureks.
Definitsioon. Iga $a$ algebraline $n$. juur on kõikide arvude $b$ hulk, nii et $((b)^(n))=a$. Selliste juurte jaoks pole kehtestatud nimetust, seega paneme ülaosale kriipsu:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Põhiline erinevus tunni alguses antud standarddefinitsioonist seisneb selles, et algebraline juur ei ole konkreetne arv, vaid hulk. Ja kuna me töötame reaalarvudega, on seda komplekti ainult kolme tüüpi:
- Tühi komplekt. Tekib siis, kui on vaja leida negatiivsest arvust paarisastme algebraline juur;
- Komplekt, mis koosneb ühest elemendist. Sellesse kategooriasse kuuluvad kõik paaritute astmete juured, aga ka nulli paarisastmete juured;
- Lõpuks võib komplekt sisaldada kahte numbrit – sama $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))=-((x)_(1))$, mida nägime graafiku ruutfunktsioon. Järelikult on selline paigutus võimalik ainult siis, kui eraldatakse positiivsest arvust paarisastme juur.
Viimane juhtum väärib põhjalikumat käsitlemist. Erinevuse mõistmiseks loeme paar näidet.
Näide. Hinnake väljendeid:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Lahendus. Esimene väljend on lihtne:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Need on kaks numbrit, mis on komplekti osa. Sest igaüks neist ruudus annab nelja.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Siin näeme komplekti, mis koosneb ainult ühest numbrist. See on üsna loogiline, kuna juureksponent on paaritu.
Lõpuks viimane väljend:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Saime tühja komplekti. Sest pole ühtegi reaalarvu, mis neljanda (st paaris!) astmeni tõstes annaks meile negatiivse arvu −16.
Lõplik märkus. Pange tähele: mitte juhuslikult märkisin ma kõikjal, et töötame reaalarvudega. Sest on ka kompleksarvud - seal on täiesti võimalik arvutada $\sqrt(-16)$ ja palju muud imelikku.
Keerulisi numbreid aga tänapäeva koolimatemaatikakursustes peaaegu kunagi ei esine. Need on enamikust õpikutest eemaldatud, kuna meie ametnikud peavad teemat "liiga raskesti mõistetavaks".
See on kõik. Järgmises õppetükis vaatleme kõiki juurte põhiomadusi ja lõpuks õpime, kuidas irratsionaalseid väljendeid lihtsustada. :)
Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,
null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole tähendust.
Tehted kraadidega.
1. Sama baasiga astmete korrutamisel nende eksponendid liidetakse:
olen · a n = a m + n .
2. Kraadide jagamisel sama alusega nende eksponendid arvatakse maha .
3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Suhtarvu (murru) aste võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:
(a/b ) n = a n / b n .
5. Kui tõstetakse aste astmeks, korrutatakse nende eksponendid:
(olen ) n = a m n.
Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.
NÄIDE (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operatsioonid juurtega. Kõigis allolevates valemites sümbol tähendab aritmeetiline juur(radikaalne avaldis on positiivne).
1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne korrutisega Nende tegurite juured:
2. Suhtarvu juur on võrdne dividendi juurte ja jagaja suhtega:
3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni radikaalarv:
4. Kui suurendame juure astet m tõsta kuni m th aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:
5. Kui me vähendame juure astet m eemaldage juur üks kord ja samal ajal m th radikaalarvu astme, siis juure väärtus ei ole muutub:
Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade vaadelnud ainult naturaalastendajatega; aga toimingud koos kraadid ja juured võivad samuti kaasa tuua negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.
Negatiivse astendajaga kraad. Mõne arvu võimsus c negatiivne (täisarv) astendaja on defineeritud kui üks jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtuseganegatiivne näitaja:
T nüüd valem olen: a n= olen - n saab kasutada mitte ainultm, rohkem kui n, aga ka koos m, vähem kui n .
NÄIDE a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Kui tahame valemitolen : a n= olen - noli õiglane, kuim = n, vajame nullkraadi määratlust.
Kraad nullindeksiga. Iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, on 1.
NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu ja võimsusele m/n , peate juure ekstraheerima m n-s aste -selle arvu aste A:
Väljenditest, millel pole tähendust. Selliseid väljendeid on mitu. suvaline number.
Tegelikult, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 · x. Kuid see võrdsus tekib siis, kui mis tahes arv x, mida oli vaja tõestada.
Juhtum 3.
0 0 - suvaline number.
Tõesti,
Lahendus. Vaatleme kolme peamist juhtumit:
1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit
(Miks?).
2) millal x> 0 saame: x/x = 1, st. 1 = 1, mis tähendab
Mida x– mis tahes number; kuid võttes arvesse seda
Meie puhul x> 0, vastus onx > 0 ;
3) millal x < 0 получаем: – x/x= 1, st e . –1 = 1, seega
Sel juhul pole lahendust.
Seega x > 0.
Sageli eeldab matemaatiliste avaldiste teisendamine ja lihtsustamine juurtelt jõudu ja vastupidi. See artikkel räägib, kuidas teisendada juurt kraadiks ja tagasi. Käsitletakse teooriat, praktilisi näiteid ja levinumaid vigu.
Üleminek murdosaastendajatega astmetelt juurtele
Oletame, et meil on arv, mille astendaja on hariliku murru kujul – a m n. Kuidas kirjutada sellist väljendit juurteks?
Vastus tuleneb juba kraadi määratlusest!
Definitsioon
Positiivne arv a astmele m n on arvu a m n-juur.
Sel juhul peab olema täidetud järgmine tingimus:
a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Nulli murdarvu defineeritakse sarnaselt, kuid sel juhul ei võeta arvu m mitte täisarvuna, vaid naturaalarvuna, nii et 0-ga jagamist ei toimu:
0 m n = 0 m n = 0 .
Vastavalt definitsioonile võib kraadi a m n esitada juurena a m n .
Näiteks: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Kuid nagu juba mainitud, ei tohiks unustada tingimusi: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Seega ei saa avaldist - 8 1 3 esitada kujul - 8 1 3, kuna tähistusel - 8 1 3 pole lihtsalt mõtet - negatiivsete arvude aste pole defineeritud. Lisaks juur ise - 8 1 3 kõlab loogiliselt.
Üleminek kraadidelt avaldistega alus- ja murdosaeksponentides toimub sarnaselt kogu astme baasi algsete avaldiste lubatud väärtuste (edaspidi VA) vahemikus.
Näiteks avaldise x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 saab kirjutada ruutjuurena x 2 + 2 x + 1 - 4. Avaldis astmele x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 saab avaldiseks x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 kõigi x, y, z jaoks selle avaldise ODZ-st.
Võimalik on ka juurte tagurpidi asendamine astmetega, kui juurega avaldise asemel kirjutatakse astmega avaldised. Me lihtsalt pöörame eelmise lõigu võrdsuse ümber ja saame:
Jällegi on üleminek ilmne positiivsete arvude a puhul. Näiteks 7 6 4 = 7 6 4 või 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
Negatiivse a puhul on juurtel mõte. Näiteks - 4 2 6, - 2 3. Neid juuri on aga võimatu esindada jõudude kujul - 4 2 6 ja - 2 1 3.
Kas selliseid väljendeid on üldse võimalik jõududega teisendada? Jah, kui teete mõned esialgsed muudatused. Mõelgem, millised.
Kasutades astmete omadusi, saate teisendada avaldist - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Kuna 4 > 0, saame kirjutada:
Negatiivse arvu paaritu juure korral võime kirjutada:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Siis on avaldis - 2 3 kujul:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Nüüd mõistame, kuidas avaldiste all olevad juured asendatakse võimsustega, mis sisaldavad neid avaldisi baasis.
Tähistagem A-tähega mõnda väljendit. Kuid me ei torma esitama A m n kujul A m n . Selgitame, mida siin mõeldakse. Näiteks avaldise x - 3 2 3, lähtudes esimesest lõigust pärit võrdsusest, tahaksin esitada kujul x - 3 2 3. Selline asendamine on võimalik ainult x - 3 ≥ 0 korral ja ODZ-st ülejäänud x jaoks see ei sobi, kuna negatiivse a jaoks pole valemil a m n = a m n mõtet.
Seega on vaadeldavas näites teisendus kujul A m n = A m n ODZ-d kitsendav teisendus ja valemi A m n = A m n ebatäpse rakendamise tõttu esineb sageli vigu.
Et õigesti liikuda juurest A m n astmele A m n, tuleb järgida mitmeid punkte:
- Kui arv m on täisarv ja paaritu ning n on loomulik ja paaris, siis valem A m n = A m n kehtib kogu muutujate ODZ kohta.
- Kui m on täisarv ja paaritu ning n on loomulik ja paaritu, saab avaldise A m n asendada:
- A m n kõigi muutujate väärtuste puhul, mille puhul A ≥ 0;
- sees - - A m n kõigi muutujate väärtuste jaoks, mille jaoks A< 0 ; - Kui m on täisarv ja paarisarv ning n on mis tahes naturaalarv, saab A m n asendada arvuga A m n.
Võtame kõik need reeglid tabelisse kokku ja toome mitu näidet nende kasutamise kohta.
Pöördume tagasi avaldise x - 3 2 3 juurde. Siin on m = 2 täis- ja paarisarv ning n = 3 on naturaalarv. See tähendab, et avaldis x - 3 2 3 kirjutatakse õigesti kujul:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Toome veel ühe näite, millel on juured ja volitused.
Näide. Juure teisendamine astmeks
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Põhjendame tabelis toodud tulemusi. Kui arv m on täisarv ja paaritu ning n on loomulik ja paaris, on kõigi ODZ muutujate puhul avaldises A m n, on A väärtus positiivne või mittenegatiivne (m > 0 puhul). Sellepärast A m n = A m n .
Teises variandis, kui m on täisarv, positiivne ja paaritu ning n on loomulik ja paaritu, eraldatakse A m n väärtused. ODZ muutujate puhul, mille puhul A on mittenegatiivne, A m n = A m n = A m n . Muutujate puhul, mille puhul A on negatiivne, saame A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Vaatleme samamoodi järgmist juhtumit, kui m on täisarv ja paarisarv ning n on mis tahes naturaalarv. Kui A väärtus on positiivne või mittenegatiivne, siis selliste muutujate väärtuste puhul ODZ-st A m n = A m n = A m n. Negatiivse A korral saame A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Seega, kolmandal juhul saame kõigi ODZ muutujate jaoks kirjutada A m n = A m n .
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
