Erikokkuleppel ajakirja “Kvant” toimetuse ja toimetajatega
Mehaaniliste probleemide lahendamisel võib materiaalsete punktide süsteemi massikeskme kontseptsiooni kasutamine anda hindamatut abi. Mõnda probleemi ei saa lihtsalt ilma selle kontseptsiooni kasutamata lahendada, teiste lahendamine selle abiga võib muutuda palju lihtsamaks ja selgemaks.
Enne konkreetsete probleemide käsitlemist tuletagem meelde massikeskme põhiomadusi ja illustreerigem neid näidetega.
Materiaalsete punktide süsteemi massikese (inertskese) on masside jaotust süsteemis iseloomustav punkt, mille koordinaadid määratakse valemitega.
Siin m i- süsteemi moodustavate materiaalsete punktide massid, x i, y i, z i- nende punktide koordinaadid. Raadiusvektori kontseptsiooniga tuttavad lugejad eelistavad vektori tähistust:
(1)
Näide 1. Leiame massikeskme asukoha, kõige lihtsama süsteemi, mis koosneb kahest punktist, mille massid m 1 ja m 2 ja nendevaheline kaugus l(Joonis 1).
Telje suunamine X esimesest punktist teise leiame, et kaugus esimesest punktist massikeskmesse (st massikeskme koordinaadini) on võrdne ja kaugus massikeskmest teise punktini on võrdne et st. kauguste suhe on pöördvõrdeline masside suhtega. See tähendab, et sel juhul langeb massikeskme asukoht kokku raskuskeskmega.
Arutleme mõningate massikeskme omaduste üle, mis meile näib, et täidavad selle mõiste eelpool toodud mõnevõrra formaalse definitsiooni füüsilise sisuga.
1) Massikeskme asukoht ei muutu, kui mõni süsteemi osa asendatakse ühe punktiga, mille mass on võrdne selle alamsüsteemi massiga ja asub selle massikeskmes.
Näide 2. Vaatleme tasast homogeenset kolmnurka ja leiame selle massikeskme asukoha. Jagage kolmnurk õhukesteks ribadeks, mis on paralleelsed ühe küljega, ja asendage iga riba selle keskel asuva punktiga. Kuna kõik sellised punktid asuvad kolmnurga mediaanil, peab massikese asuma ka mediaanil. Korrates mõlema poole arutluskäiku, leiame, et massikese on mediaanide ristumiskohas.
2) Massikeskme kiiruse saab leida, võttes võrdsuse (1) mõlema poole ajatuletise:
(2)
Kus - süsteemi impulss, m- süsteemi kogumass. On näha, et suletud süsteemi massikeskme kiirus on konstantne. See tähendab, et kui seostame translatsiooniliselt liikuva võrdlusraami massikeskmega, siis on see inertsiaalne.
Näide 3. Asetame ühtlase pikkusega varda l vertikaalselt tasasele tasapinnale (joonis 2) ja vabastage. Kukkumise ajal jäävad nii selle impulsi horisontaalkomponent kui ka massikeskme kiiruse horisontaalkomponent võrdseks nulliga. Seetõttu on varda keskpunkt kukkumise hetkel selles kohas, kus ritv algselt seisis ja ridva otsad nihkuvad horisontaalselt .
3) Massikeskme kiirendus võrdub selle kiiruse tuletisega aja suhtes:
(3)
kus võrdsuse paremal poolel on ainult välised jõud, kuna kõik sisejõud tühistavad Newtoni kolmanda seaduse järgi. Leiame, et massikese liigub kujuteldava punktina, mille mass on võrdne süsteemi massiga, liiguks tekkiva välisjõu mõjul. See on ilmselt massikeskme kõige füüsilisem omadus.
Näide 4. Kui viskad kepi, pannes selle pöörlema, liigub pulga massikese (selle keskosa) pideva kiirendusega mööda parabooli (joon. 3).
4) Olgu punktide süsteem ühtlases gravitatsiooniväljas. Siis on kogu raskusmoment mis tahes massikeskpunkti läbiva telje suhtes võrdne nulliga. See tähendab, et raskusjõu resultant läbib massikeskme, s.o. massikese on ka raskuskese.
5) Punktide süsteemi potentsiaalne energia ühtlases gravitatsiooniväljas arvutatakse valemiga
Kus h ts - süsteemi massikeskme kõrgus.
Näide 5. Ühtlase naela sügavusele augu kaevamisel h ja pinnase hajumine üle pinna, selle potentsiaalne energia suureneb , kus m- väljakaevatud pinnase mass.
6) Ja veel üks kasulik massikeskme omadus. Punktisüsteemi kineetilist energiat saab esitada kahe liikme summana: süsteemi üldise translatsioonilise liikumise kineetiline energia, mis on võrdne , ja kineetiline energia E massikeskmega seotud võrdlussüsteemi liikumise suhtes:
Näide 6. Ilma libisemiseta horisontaalsel pinnal kiirusega υ veereva rõnga kineetiline energia on võrdne
kuna suhteline liikumine on sel juhul puhas pöörlemine, mille korral rõnga punktide joonkiirus on võrdne υ (alumise punkti kogukiirus peab olema võrdne nulliga).
Nüüd alustame probleemide analüüsimist massikeskme abil.
Probleem 1. Siledal horisontaalsel pinnal asetseb homogeenne varras. Vardale rakendatakse kahte võrdse suurusega, kuid vastassuunalist horisontaalset jõudu: üks jõud mõjub varda keskele, teine selle otsa (joonis 4). Millises punktis varras hakkab pöörlema?
Esmapilgul võib tunduda, et pöörlemisteljeks saab punkt, mis asub jõudude rakenduspunktide vahel. Võrrand (3) aga näitab, et kuna välisjõudude summa on null, siis on ka massikeskme kiirendus null. See tähendab, et varda keskosa jääb puhkeasendisse, s.o. olla pöörlemisteljena.
Probleem 2. Õhuke ühtlane varda pikkus l ja mass m liikuma piki siledat horisontaalset pinda nii, et see liigub translatsiooniliselt ja pöörleb samaaegselt nurkkiirusega ω. Leidke varda pinge sõltuvalt kaugusest x selle keskmesse.
Liigume varda keskpunktiga seotud inertsiaalse võrdlussüsteemi juurde. Vaatleme varda tüki liikumist, mis jääb vaadeldava varda punkti vahele (asub kaugel x keskelt) ja selle otsast (joon. 5).
Selle detaili ainus väline jõud on vajalik pingutusjõud F n, mass on võrdne , ja selle massikese liigub raadiusega ringis 
kiirendusega. Kirjutades üles valitud tüki massikeskme liikumisvõrrandi, saame
Probleem 3. Kaksiktäht koosneb kahest massiga komponenttähest m 1 ja m 2, mille vaheline kaugus ei muutu ja jääb võrdseks L. Leia kaksiktähe pöörlemisperiood.
Vaatleme komponenttähtede liikumist inertsiaalses tugisüsteemis, mis on seotud kaksiktähe massikeskmega. Selles võrdlusraamis liiguvad tähed sama nurkkiirusega mööda erineva raadiusega ringe (joonis 6).
Tähe pöörlemisraadius massiga m 1 on võrdne (vt näide 1) ja selle tsentripetaalne kiirendus tekib teise tähe tõmbejõu toimel:
Näeme, et kaksiktähe pöörlemisperiood on võrdne
ja selle määrab kaksiktähe kogumass, olenemata sellest, kuidas see jaguneb komponenttähtede vahel.
Probleem 4. Kaks punkti massi m ja 2 m seotakse kaalutu niidipikkusega l ja liikuda mööda sujuvat horisontaaltasapinda. Mingil ajahetkel on massi kiirus 2 m on võrdne nulliga ja massi kiirusega m võrdne υ-ga ja suunatud keermega risti (joon. 7). Leidke keerme pinge ja süsteemi pöörlemisperiood.
Riis. 7
Süsteemi massikese on massist 2 kaugel m ja liigub kiirusega. Massikeskmega seotud võrdlussüsteemis on massipunkt 2 m liigub raadiusega ringis kiirusega . See tähendab, et pöörlemisperiood on võrdne (kontrollige, et sama vastus oleks saadud, kui arvestame massiga punkti m). Keerme pinge leiame mis tahes kahe punkti liikumisvõrrandist:
Probleem 5. Kaks identset massiplokki m igaüks on ühendatud kerge vedru jäikusega k(joonis 8). Esimesele vardale antakse kiirus υ 0 teisest ribast lähtuvas suunas. Kirjeldage süsteemi liikumist. Kui kaua võtab aega, et vedrudeformatsioon saavutaks esimest korda maksimaalse väärtuse?
Süsteemi massikese liigub ühtlase kiirusega. Massikeskme võrdlusraamis on iga ploki algkiirus ja seda statsionaarse massikeskmega ühendava poolvedru jäikus on 2 k(vedru jäikus on pöördvõrdeline selle pikkusega). Selliste võnkumiste periood on võrdne
ja iga varda vibratsiooni amplituud, mille võib leida energia jäävuse seadusest, on
Esimest korda muutub deformatsioon maksimaalseks veerandi perioodi möödudes, s.o. mõne aja pärast .
Probleem 6. Palli mass m põrkab kiirusega v vastu paigalseisvat kuuli massiga 2 m. Leidke mõlema kuuli kiirused pärast elastset kesklööki.
Massikeskmega seotud võrdlusraamis on kahe kuuli koguimpulss null nii enne kui ka pärast kokkupõrget. Lihtne on arvata, milline lõppkiiruste vastus vastab nii sellele tingimusele kui ka energia jäävuse seadusele: kiirused jäävad suurusjärgus samaks kui enne kokkupõrget, kuid muudavad oma suundi vastupidiseks. Süsteemi massikeskme kiirus on võrdne . Massisüsteemi keskmes liigub esimene pall kiirusega ja teine pall kiirusega esimese poole. Pärast kokkupõrget lendavad pallid minema sama kiirusega. Jääb üle naasta algse tugiraamistiku juurde. Kiiruste liitmise seadust rakendades leiame, et massiga kuuli lõppkiirus m võrdne ja tahapoole suunatud ning varem puhkeasendis olnud kuuli massiga 2 kiirus m võrdne ja edasi suunatud.
Pange tähele, et massisüsteemis on ilmne, et kokkupõrkel kuulide suhteline kiirus ei muutu suurusjärgus, vaid muutub suunas. Ja kuna kiiruste erinevus teisele inertsiaalsele tugisüsteemile üleminekul ei muutu, võime eeldada, et oleme tuletanud selle olulise seose algse referentssüsteemi jaoks:
υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,
kus tähte υ kasutatakse algkiiruste tähistamiseks ja u- viimaste jaoks. Seda võrrandit saab lahendada koos impulsi jäävuse seadusega, mitte energia jäävuse seadusega (kus kiirused tulevad teise astmeni).
Probleem 7. On teada, et kahe identse kuuli, millest üks oli enne kokkupõrget puhkeasendis, elastse tsentrist väljapoole löögi ajal on paisumisnurk 90°. Tõesta see väide.
Massikeskme süsteemi korral saab tsentrist väljas olevat kokkupõrget kirjeldada järgmiselt. Enne kokkupõrget lähenevad pallid võrdsete impulssidega, pärast kokkupõrget lendavad nad lahku sama suurusjärgu impulssidega, kuid vastassuundades ning paisumisjoon pöörleb lähenemisjoone suhtes teatud nurga all. Algse tugiraamistiku juurde naasmiseks tuleb iga lõppkiirus liita (vektoriliselt!) massikeskme kiirusega. Identsete kuulide korral on massikeskme kiirus võrdne , kus υ on langeva kuuli kiirus ja massikeskme võrdlusraamis lähenevad kuulid ja lendavad lahku samade kiirustega. Asjaolu, et pärast iga lõppkiiruse lisamist massikeskme kiirusele saadakse üksteisega risti asetsevad vektorid, on näha jooniselt 9. Või saate lihtsalt kontrollida, et vektorite ja skalaarkorrutis kaob, kuna moodulid vektorid on üksteisega võrdsed.
Harjutused
1. Massivarras m ja pikkus lühes otsas hingedega. Varras kaldus vertikaalasendist teatud nurga all kõrvale ja vabastati. Vertikaalse positsiooni läbimise hetkel on alumise punkti kiirus võrdne υ-ga. Leidke pinge sellel ajahetkel varda keskpunktis.
2. Massivarras m ja pikkus l pöörleb horisontaaltasandil nurkkiirusega ω ümber selle ühe otsa. Leia seos varda pinge ja kauguse vahel x pöörlemisteljele, kui teise otsa külge on kinnitatud väike massiraskus M.
3. Leidke artikli ülesandes 5 kirjeldatud süsteemi võnkeperiood, kuid erineva massiga varraste jaoks m 1 ja m 2 .
4. Tuletage teadaolevad üldvalemid kahe kuuli elastse kesklöögi kohta, kasutades üleminekut massikeskmele.
5. Massipall m 1 põrkub puhkeasendis väiksema massiga kuuliga m 2. Leidke sissetuleva kuuli maksimaalne võimalik läbipaindenurk elastse keskusevälise löögi ajal.
1. 
2. 
3. 
Massi keskpunkt Massikeskme liikumisvõrrand. Seadus ise: Kehad mõjuvad üksteisele sama laadi jõududega, mis on suunatud piki sama sirgjoont, suuruselt võrdsed ja vastassuunalised: Massikese on geomeetriline punkt, mis iseloomustab keha või osakeste süsteemi liikumist. tervik. Definitsioon Inertskeskme massikeskme asukohta defineeritakse klassikalises mehaanikas järgmiselt: kus massikeskme raadiusvektor on süsteemi i-nda punkti raadiusvektor ja i-nda punkti mass.
7.Newtoni kolmas seadus. Massi keskpunkt Massikeskme liikumisvõrrand.
Newtoni kolmas seadusväidab: mõjujõud on suuruselt võrdne ja vastupidine reaktsioonijõule.
Seadus ise:
Kehad mõjuvad üksteisele sama laadi jõududega, mis on suunatud piki sama sirgjoont, suuruselt võrdsed ja vastupidise suunaga:
Massi keskpunkt see on iseloomustav geomeetriline punkt liikumine osakeste keha või süsteem tervikuna.
Definitsioon
Massikeskme (inertskeskme) asukoht klassikalises mehaanikas määratakse järgmiselt:
kus massikeskme raadiuse vektor, raadiuse vektor i süsteemi punkt,
i-nda punkti mass.
.
See on kogu süsteemi massiga võrdse massiga materiaalsete punktide süsteemi massikeskme liikumisvõrrand, millele rakendatakse kõigi välisjõudude summa (välisjõudude põhivektor) või teoreem massikeskme liikumise kohta.
Nagu ka muid töid, mis võivad teile huvi pakkuda |
|||
| 22476. | ISIKLIKE RAADIOKÕNESÜSTEEMIDE, PEITERIDE, REPEATITE, PÕHITEABE EDASTUSPROTOKOLLIDE KLASSIFIKATSIOON. | 1,21 MB | |
| ISIKLIKU RAADIOKÕNESÜSTEEMIDE KLASSIFIKATSIOON PEALID KORDAJATE PÕHITEABE EDASTUSPROTOKOLLID. Töö eesmärk Uurida isiklike raadiokõnesüsteemide, piiparite, repiiterite, põhiliste infoedastusprotokollide klassifikatsiooni. Tutvuge SPRV-le teabe edastamise põhiprotokollidega. Sel juhul kasutati kõne edastamiseks abonendile aadressi järjestikust toonikodeerimist, mis võimaldas teenindada kuni mitukümmend tuhat kasutajat. | |||
| 22477. | KÕNESIGNAALIDE KODISEERIMISE MEETODITE UURIMINE TETRA TRUNING NETWORKS STANDARDIS | 961,5 KB | |
| Ülesanne: Tutvuge kõnesignaali kodeerimisalgoritmi üldise kirjeldusega. Uurige erinevate loogiliste kanalite kanalite kodeerimise funktsioone. CELP kõnesignaali kodeerimisalgoritmi üldkirjeldus Kõnesignaalide teabe multipleksimise kodeerimiseks kasutab TETRA standard CELP Code Code Excited Linear Pgediction'i lineaarse ennustamise ja mitme impulsi ergastusega kodeerijat. | |||
| 22478. | GSM-900 MOBILISIDE SÜSTEEM | 109,5 KB | |
| Töö eesmärk Uurida GSM-standardi digitaalses mobiilsidesüsteemis kasutusele võetud funktsionaalse struktuuri ja liideste peamisi tehnilisi omadusi. Ülesanne: Tutvuge GSM standardi üldiste omadustega. Lühiteooria GSM Global System for Mobile Communications standard on tihedalt seotud kõigi kaasaegsete digitaalvõrgu standarditega, eelkõige ISDN ja IN intelligentse võrguga. | |||
Dünaamika põhiseaduse saab kirjutada erineval kujul, teades süsteemi massikeskme mõistet:
See on seal süsteemi massikeskme liikumisvõrrand, mehaanika üks olulisemaid võrrandeid. See väidab, et mis tahes osakeste süsteemi massikese liigub nii, nagu kogu süsteemi mass oleks sellesse punkti koondunud ja sellele mõjuksid kõik välised jõud.
Süsteemi massikeskme kiirendus on välisjõudude rakenduspunktidest täiesti sõltumatu.
Kui , siis , siis ja on suletud süsteemi puhul inertsiaalses võrdlusraamis. Seega, kui süsteemi massikese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, tähendab see, et selle impulss säilib liikumise ajal.
Näide: massi ja raadiusega homogeenne silinder veereb mööda kaldtasapinda alla, moodustades horisontaaliga nurga ilma libisemiseta. Leida liikumisvõrrand?
| |
Ühenduslahendus annab parameetrite väärtused
Massikeskme liikumisvõrrand langeb kokku materiaalse punkti dünaamika põhivõrrandiga ja on selle üldistus osakeste süsteemiks: süsteemi kui terviku kiirendus on võrdeline kõigi välisjõudude resultandiga ja pöördvõrdeline. võrdeline süsteemi massiga.
Massikeskmega jäigalt ühendatud võrdlussüsteemi, mis liigub translatsiooniliselt ISO suhtes, nimetatakse massikesksüsteemiks. Selle eripära on see, et selles sisalduva osakeste süsteemi koguimpulss on alati võrdne nulliga, nagu .
Töö lõpp -
See teema kuulub jaotisesse:
Translatsioonilise liikumise kinemaatika
Mehaanika füüsikalised alused.. translatsioonilise liikumise kinemaatika.. mehaaniline liikumine on eksistentsi vorm..
Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:
Mida teeme saadud materjaliga:
Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:
| Säuts |
Kõik selle jaotise teemad:
Mehaaniline liikumine
Aine eksisteerib teatavasti kahel kujul: substantsi ja välja kujul. Esimene tüüp hõlmab aatomeid ja molekule, millest kõik kehad on ehitatud. Teine tüüp hõlmab igat tüüpi välju: gravitatsioon
Ruum ja aeg
Kõik kehad eksisteerivad ja liiguvad ruumis ja ajas. Need mõisted on kõigi loodusteaduste põhialused. Igal kehal on mõõtmed, st. selle ruumiline ulatus
Võrdlussüsteem
Keha asukoha ühemõtteliseks määramiseks suvalisel ajahetkel on vaja valida võrdlussüsteem - kellaga varustatud koordinaatsüsteem, mis on jäigalt ühendatud absoluutselt jäiga kehaga, vastavalt
Kinemaatilised liikumisvõrrandid
Kui t.M liigub, muutuvad selle koordinaadid ajas, seetõttu on liikumisseaduse täpsustamiseks vaja märkida funktsiooni tüüp
Liikumine, elementaarne liikumine
Punkt M liigub punktist A punkti B mööda kõverat rada AB. Algmomendil on selle raadiuse vektor võrdne
Kiirendus. Tavaline ja tangentsiaalne kiirendus
Punkti liikumist iseloomustab ka kiirendus – kiiruse muutumise kiirus. Kui punkti kiirus suvalise aja jooksul
Edasi liikumine
Lihtsaim jäiga keha mehaanilise liikumise liik on translatsiooniline liikumine, mille korral keha mis tahes kahte punkti ühendav sirgjoon liigub kehaga, jäädes paralleelseks | selle
Inertsi seadus
Klassikaline mehaanika põhineb Newtoni kolmel seadusel, mille ta sõnastas 1687. aastal avaldatud essees “Loodusfilosoofia matemaatilised põhimõtted”. Need seadused olid geeniuse tulemus
Inertsiaalne võrdlusraam
On teada, et mehaaniline liikumine on suhteline ja selle olemus sõltub tugisüsteemi valikust. Newtoni esimene seadus ei kehti kõigis võrdlusraamistikes. Näiteks siledal pinnal lebavad kehad
Kaal. Newtoni teine seadus
Dünaamika põhiülesanne on määrata kehade liikumise tunnused neile rakendatavate jõudude mõjul. Kogemusest on teada, et jõu mõjul
Materiaalse punkti dünaamika põhiseadus
Võrrand kirjeldab lõplike mõõtmetega keha liikumise muutumist jõu mõjul deformatsiooni puudumisel ja kui see
Newtoni kolmas seadus
Vaatlused ja katsed näitavad, et ühe keha mehaaniline mõju teisele on alati vastastikmõju. Kui keha 2 mõjub kehale 1, siis keha 1 mõjub neile tingimata vastu
Galilei teisendused
Need võimaldavad määrata kinemaatilisi suurusi üleminekul ühest inertsiaalsest võrdlussüsteemist teise. Võtame
Galilei relatiivsusprintsiip
Kõigi võrdlussüsteemide mis tahes punkti kiirendus, mis liigub üksteise suhtes sirgjooneliselt ja ühtlaselt samal viisil:
Säilituskogused
Iga keha või kehade süsteem on materiaalsete punktide või osakeste kogum. Sellise süsteemi olek mingil ajahetkel mehaanikas määratakse kindlaks koordinaatide ja kiiruste määramisega
Massi keskpunkt
Igas osakeste süsteemis võite leida punkti, mida nimetatakse massikeskmeks
Konservatiivsed jõud
Kui igas ruumipunktis mõjub jõud sinna asetatud osakesele, siis öeldakse, et osake asub jõudude väljas, näiteks gravitatsiooni-, gravitatsiooni-, Coulombi jt jõudude väljas. Väli
Kesksed jõud
Iga jõuväli on põhjustatud konkreetse keha või kehade süsteemi tegevusest. Selles väljas olevale osakesele mõjuv jõud on umbes
Osakese potentsiaalne energia jõuväljas
Asjaolu, et konservatiivse jõu töö (paigalseisva välja puhul) sõltub ainult osakese alg- ja lõppasendist väljas, võimaldab tutvustada olulist füüsikalist potentsiaali mõistet.
Potentsiaalse energia ja jõu suhe konservatiivse välja jaoks
Osakese vastasmõju ümbritsevate kehadega saab kirjeldada kahel viisil: kasutades jõu mõistet või kasutades potentsiaalse energia mõistet. Esimene meetod on üldisem, kuna see kehtib ka vägede kohta
Osakese kineetiline energia jõuväljas
Laske massiosakesel jõuliselt liikuda
Osakese mehaaniline koguenergia
On teada, et osakese kineetilise energia juurdekasv jõuväljas liikumisel on võrdne kõigi osakesele mõjuvate jõudude elementaartööga:
Osakeste mehaanilise energia jäävuse seadus
Avaldisest järeldub, et konservatiivsete jõudude statsionaarses väljas võib osakese mehaaniline koguenergia muutuda
Kinemaatika
Saate oma keha teatud nurga all pöörata
Osakese hoog. Võimu hetk
Lisaks energiale ja impulsile on veel üks füüsikaline suurus, millega jäävusseadus on seotud – see on nurkimment. Osakese nurkimpulss
Impulss- ja jõumoment telje ümber
Võtame suvalise fikseeritud telje meid huvitavas võrdlussüsteemis
Süsteemi impulsimomendi jäävuse seadus
Vaatleme süsteemi, mis koosneb kahest vastasmõjus olevast osakesest, millele mõjuvad samuti välised jõud ja
Seega jääb osakeste suletud süsteemi nurkimment konstantseks ega muutu ajas
See kehtib inertsiaalse võrdlussüsteemi mis tahes punkti kohta: . Süsteemi üksikute osade impulsi hetked m
Jäiga keha inertsimoment
Mõelge tugevale kehale, mis suudab
Jäiga keha pöörlemise dünaamika võrrand
Jäiga keha pöörlemise dünaamika võrrandi saab saada, kui kirjutades ümber suvalise telje pöörleva jäiga keha momentide võrrandi
Pöörleva keha kineetiline energia
Vaatleme absoluutselt jäika keha, mis pöörleb ümber seda läbiva fikseeritud telje. Jagame selle väikese mahu ja massiga osakesteks
Jäiga keha pöörlemistöö
Kui keha pööratakse jõuga
Tsentrifugaalne inertsjõud
Vaatleme kodarale pandud vedrul koos kuuliga pöörlevat ketast, joonis 5.3. Pall asub
Coriolise jõud
Kui keha liigub pöörleva CO suhtes, ilmneb lisaks veel üks jõud - Coriolise jõud või Coriolise jõud
Väikesed kõikumised
Mõelge mehaanilisele süsteemile, mille asukohta saab määrata ühe suuruse, näiteks x abil. Sel juhul öeldakse, et süsteemil on üks vabadusaste x väärtus võib olla
Harmoonilised vibratsioonid
Newtoni 2. seaduse võrrandil hõõrdejõudude puudumisel vormi kvaasielastse jõu jaoks on vorm:
Matemaatika pendel
See on materiaalne punkt, mis ripub pikendamatu pikkusega niidil ja võngub vertikaaltasandil
Füüsiline pendel
See on tahke keha, mis vibreerib ümber kehaga ühendatud fikseeritud telje. Telg on risti joonisega ja
Summutatud võnkumised
Reaalses võnkesüsteemis eksisteerivad vastupanujõud, mille toime toob kaasa süsteemi potentsiaalse energia vähenemise ja võnkumised sumbuvad Lihtsamal juhul
Isevõnkumised
Summutatud võnkumiste korral süsteemi energia järk-järgult väheneb ja võnkumised peatuvad. Nende summutamiseks on vaja teatud hetkedel süsteemi energiat väljastpoolt täiendada
Sunnitud vibratsioonid
Kui võnkesüsteem allub lisaks takistusjõududele ka välisele perioodilisele jõule, mis muutub harmoonilise seaduse järgi
Resonants
Sundvõnkumiste amplituudi sõltuvuse kõver viib selleni, et teatud süsteemi jaoks spetsiifilisel
Laine levik elastses keskkonnas
Kui võnkeallikas asetatakse elastses keskkonnas (tahkes, vedelas, gaasilises) suvalisse kohta, siis osakeste omavahelise vastasmõju tõttu levib võnkumine keskkonnas osakesest tunnisse.
Tasapinnaliste ja sfääriliste lainete võrrand
Lainevõrrand väljendab võnkuva osakese nihke sõltuvust selle koordinaatidest,
Laine võrrand
Lainevõrrand on lahendus diferentsiaalvõrrandile, mida nimetatakse lainevõrrandiks. Selle kehtestamiseks leiame võrrandist teised osatuletised aja ja koordinaatide suhtes
Süsteemi massikeskpunkt on raadiusevektoriga punkt
Massi pidevaks jaotamiseks tihedusega 
. Kui süsteemi igale osakesele rakenduvad gravitatsioonijõud on suunatud üks viis, siis langeb massikese kokku raskuskeskmega. Aga kui 
mitte paralleelne, siis massikese ja raskuskese ei lange kokku.
Võttes aja tuletise 
, saame:
need. süsteemi koguimpulss on võrdne selle massi ja massikeskme kiiruse korrutisega.
Asendades selle avaldise kogu impulsi muutumise seadusega, leiame:
Süsteemi massikese liigub nagu osake, millesse on koondunud kogu süsteemi mass ja millele kantakse saadud mass välised tugevus
Kell progressiivne Liikumisel liiguvad kõik jäiga keha punktid samamoodi nagu massikese (mööda samu trajektoore), seetõttu piisab translatsioonilise liikumise kirjeldamiseks massikeskme liikumisvõrrandi üleskirjutamisest ja lahendamisest. .
Sest 
, siis massikese suletud süsteem peab säilitama puhkeseisundi või ühtlase sirgjoonelise liikumise, s.t. 
=konst. Kuid samal ajal võib kogu süsteem pöörata, laiali lennata, plahvatada jne. tegevuse tulemusena sisemised jõud.
Reaktiivmootor. Meshchersky võrrand
Reaktiivne nimetatakse keha liikumiseks, milles see toimub ühinemine või äraviskamine massid. Liikumise käigus toimub keha massi muutumine: aja dt jooksul keha massiga m kinnitub (neelab) või tõrjub (väljastab) massi dm kiirusega. 
keha suhtes; esimesel juhul dm>0, teisel dm<0.
Vaatleme seda liikumist raketi näitel. Liigume inertsiaalsesse võrdlusraami K", mis antud ajahetkel t liigub sama kiirusega 
, sama mis rakett – seda nimetatakse ISO-ks kaasas– selles võrdlusraamistikus on rakett praegu t puhkab(raketi kiirus selles süsteemis 
=0). Kui raketile mõjuvate välisjõudude summa ei ole võrdne nulliga, siis K-süsteemis on raketi liikumisvõrrand, kuid kuna kõik ISO-d on samaväärsed, siis K-süsteemis on võrrand sama kujuga:
see - Meshchersky võrrand, mis kirjeldab liikumist mis tahes keha muutuva massiga).
Võrrandis on mass m muutuv suurus ja seda ei saa tuletismärgi alla lisada. Teist liiget võrrandi paremal küljel nimetatakse reaktiivjõud
Raketi puhul mängib reaktiivjõud tõmbejõu rolli, kuid massi dm/dt>0 liitmise korral on reaktiivjõud ka pidurdusjõud (näiteks kui rakett liigub pilves kosmiline tolm).
Osakeste süsteemi energia
Osakeste süsteemi energia koosneb kineetilisest ja potentsiaalsest. Süsteemi kineetiline energia on süsteemi kõigi osakeste kineetiliste energiate summa
ja on definitsiooni järgi kogus lisaaine(nagu impulss).
Süsteemi potentsiaalse energiaga on olukord erinev. Esiteks toimivad süsteemi osakeste vahel vastasmõjujõud 
. SeetõttuA ij =-dU ij, kus U ij on i-nda ja j-nda osakese vastasmõju potentsiaalne energia. Summeerides U ij süsteemi kõigi osakeste peale, leiame nn oma potentsiaalset energiat süsteemid:
On hädavajalik, et süsteemi enda potentsiaalne energia sõltub ainult selle konfiguratsioonist. Pealegi ei ole see kogus lisaaine.
Teiseks mõjutavad süsteemi igat osakest üldiselt ka välised jõud. Kui need jõud on konservatiivsed, on nende töö võrdne välise potentsiaalse energia vähenemisega A=-dU ext, kus
kus U i on i-nda osakese potentsiaalne energia välisväljas. See sõltub kõigi osakeste positsioonidest välisväljas ja on aditiivne.
Seega defineeritakse välises potentsiaalväljas paikneva osakeste süsteemi mehaaniline koguenergia kui
E syst =K syst +U int +U ext
Tund "Misakeskus"
Ajakava: 2 õppetundi
Sihtmärk: Tutvustage õpilastele mõistet "massikeskus" ja selle omadusi.
Varustus: papist või vineerist figuurid, trummel, sulenuga, pliiatsid.
Tunniplaan
Tunni etapid ajameetodid ja tehnikad
I Sissejuhatus õpilastele 10 frontaalküsitlus, õpilaste tööd tahvlil.
õppetunni probleemile
II. millegi uue õppimine 15-20 Õpetaja lugu, probleemide lahendamine,
materjal: 10 katseülesannet
III Uute 10 õpilassõnumite harjutamine
materjal: 10-15 probleemilahendust,
15 frontaalküsitlus
IV Järeldused. Kodutöö 5-10 Õpetaja suuline kokkuvõte materjalist.
ülesanne Tahvlile kirjutamine
Tundide ajal.
I Kordamine 1. Frontaalülevaade: jõu õlg, jõumoment, tasakaaluseisund, tasakaalu tüübid
Epigraaf: iga keha raskuskese on teatud punkt, mis asub selle sees – nii, et kui keha vaimselt selle külge riputada, jääb see paigale ja säilitab oma algse asendi.
II. Selgitusuus materjal
Olgu keha või kehade süsteem antud. Jagagem mõtteliselt keha meelevaldselt väikesteks osadeks massidega m1, m2, m3... Igaüht neist osadest võib vaadelda kui materiaalset punkti. Raadiusvektoriga määratakse i-nda ainepunkti asukoha ruumis massiga mi ri(joonis 1.1). Keha mass on selle üksikute osade masside summa: m = ∑ mi.
Keha (kehade süsteemi) massikeskpunkt on selline punkt C, mille raadiuse vektor määratakse valemiga
r= 1/m∙∑mi ri
Saab näidata, et massikeskme asend keha suhtes ei sõltu lähtepunkti O valikust, s.t. Eespool toodud massikeskme määratlus on üheselt mõistetav ja õige.
Homogeensete sümmeetriliste kehade massikese asub nende geomeetrilises keskpunktis või sümmeetriateljel, suvalise kolmnurga kujulise lameda keha massikese asub selle mediaanide ristumiskohas.
Probleemi lahendus
ÜLESANNE 1. Valgusvarda külge kinnitatakse homogeensed pallid massiga m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg ja m4 = 3 kg (joonis 1.2). Lähedal asuvate pallide keskpunktide vaheline kaugus
a = 10 cm.Leia konstruktsiooni raskuskeskme ja massikeskme asukoht.
LAHENDUS. Konstruktsiooni raskuskeskme asend kuulide suhtes ei sõltu varda orientatsioonist ruumis. Ülesande lahendamiseks on mugav asetada varras horisontaalselt, nagu on näidatud joonisel 2. Olgu raskuskese vardal vasaku kuuli keskpunktist L kaugusel, s.o. alates t. A. Raskuskeskmes rakendatakse kõigi gravitatsioonijõudude resultant ja selle moment telje A suhtes on võrdne kuulide raskusmomentide summaga. Meil on r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Seega L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
VASTUS. Raskuskese langeb kokku massikeskmega ja asub punktis C kaugusel L = 16,4 cm vasaku kuuli keskpunktist.
Selgub, et keha (või kehade süsteemi) massikeskmel on mitmeid tähelepanuväärseid omadusi. Dünaamikas on näidatud, et suvaliselt liikuva keha impulss on võrdne keha massi ja selle massikeskme kiiruse korrutisega ning et massikese liigub nii, nagu oleks rakendatud kõik kehale mõjuvad välisjõud. massikeskmesse ja temasse oli koondunud kogu keha mass.
Maa gravitatsiooniväljas asuva keha raskuskeset nimetatakse kõikide kehaosadele mõjuvate gravitatsioonijõudude resultandi rakenduspunktiks. Seda resultanti nimetatakse kehale mõjuvaks gravitatsioonijõuks. Keha raskuskeskmesse rakendatav raskusjõud avaldab kehale samasugust mõju kui üksikutele kehaosadele mõjuvad raskusjõud.
Huvitav juhtum on see, kui keha suurus on palju väiksem kui Maa suurus. Siis võime eeldada, et paralleelsed gravitatsioonijõud mõjuvad kõigile kehaosadele, s.t. keha on ühtlases gravitatsiooniväljas. Paralleelsetel ja identselt suunatud jõududel on alati resultantjõud, mida saab tõestada. Kuid keha teatud asendis ruumis on võimalik näidata ainult kõigi paralleelsete raskusjõudude resultandi toimejoont, selle rakenduspunkt jääb praegu määramata, sest tahke keha puhul saab mis tahes jõudu edasi kanda mööda selle toimejoont. Aga rakenduspunkt?
Võib näidata, et keha mis tahes asendi korral ühtlases gravitatsiooniväljas läbib kõigi kehaosadele mõjuvate gravitatsioonijõudude resultandi toimejoon sama punkti, keha suhtes liikumatult. Sel hetkel rakendatakse võrdset jõudu ja punkt ise on keha raskuskese.
Raskuskeskme asend keha suhtes sõltub ainult keha kujust ja massi jaotusest kehas ning ei sõltu keha asendist ühtlases raskusväljas. Raskuskese ei pruugi asuda kehas endas. Näiteks ühtlases raskusväljas oleva rõnga raskuskese on geomeetrilises keskpunktis.
Ühtlases raskusväljas langeb keha raskuskese kokku selle massikeskmega.
Enamikul juhtudel saab ühe termini valutult teisega asendada.
Kuid: keha massikese on olemas sõltumata gravitatsioonivälja olemasolust ja raskuskeskmest saame rääkida ainult gravitatsiooni olemasolul.
Keha raskuskeskme ja seega ka massikeskme asukohta on mugav leida, võttes arvesse keha sümmeetriat ja kasutades jõumomendi mõistet.
Kui jõu õlg on null, siis jõu moment on null ja selline jõud ei põhjusta keha pöörlevat liikumist.
Järelikult, kui jõu toimejoon läbib massikeskpunkti, siis see liigub translatsiooniliselt.
Seega saate määrata iga lameda kujundi massikeskme. Selleks peate selle ühel hetkel kinnitama, andes sellele võimaluse vabalt pöörata. See paigaldatakse nii, et seda pöörav raskusjõud läbib massikeskme. Figuuri kinnituspunktis riputage niit koormaga (mutter), tõmmake joon piki vedrustust (st gravitatsioonijoont). Kordame samme, kinnitades figuuri teises punktis. Raskusjõudude toimejoonte ristumiskoht on keha massikese
Eksperimentaalne ülesanne: määrata tasapinnalise figuuri raskuskese (õpilaste poolt varem papist või vineerist koostatud kujundite põhjal).
Juhend: kinnita figuur statiivile. Figuuri ühest nurgast riputame loodijoone. Joonistame raskusjõu toimejoone. Pöörake joonist ja korrake toimingut. Massikese asub raskusjõu toimejoonte lõikepunktis.
Kiirelt ülesande sooritanud õpilastele saab anda lisaülesande: kinnitada figuuri külge raskus (metallpolt) ja määrata massikeskme uus asend. Tehke järeldus.
Rohkem kui kaks tuhat aastat vanade "keskuste" tähelepanuväärsete omaduste uurimine osutus kasulikuks mitte ainult mehaanika jaoks - näiteks sõidukite ja sõjavarustuse projekteerimisel, konstruktsioonide stabiilsuse arvutamisel või tuletamisel. reaktiivsõidukite liikumisvõrrandid. On ebatõenäoline, et Archimedes võiks isegi ette kujutada, et massikeskme kontseptsioon oleks tuumafüüsika või elementaarosakeste füüsika uurimise jaoks väga mugav.
Õpilaste sõnumid:
Oma töös “Lamedate kehade tasakaalu kohta” kasutas Archimedes raskuskeskme mõistet seda tegelikult määratlemata. Ilmselt tutvustas seda esmalt tundmatu Archimedese eelkäija või tema ise, kuid varasemas teoses, mis meieni pole jõudnud.
Mööda pidi seitseteist pikka sajandit, enne kui teadus lisas Archimedese raskuskeskmete uurimisele uusi tulemusi. See juhtus siis, kui Leonardo da Vincil õnnestus leida tetraeedri raskuskese. Mõeldes Itaalia kaldus tornide, sealhulgas Pisa torni stabiilsusele, jõudis ta "teoreemini tugipolügooni kohta".
Archimedese avastatud ujukehade tasakaalutingimused tuli hiljem uuesti avastada. Seda tegi 16. sajandi lõpus Hollandi teadlane Simon Stevin, kes kasutas koos raskuskeskme mõistega ka mõistet “rõhukeskus” – vee survejõu rakenduspunkt. ümbritsev keha.
Selgub, et Torricelli printsiipi (ja ka massikeskme arvutamise valemid on tema järgi nimetatud), aimas ette tema õpetaja Galileo. See põhimõte oli omakorda aluseks Huygensi klassikalisele tööle pendelkellade kohta ja seda kasutati ka Pascali kuulsates hüdrostaatilistes uuringutes.
Meetod, mis võimaldas Euleril uurida jäiga keha liikumist mis tahes jõudude mõjul, oli selle liikumise jaotamine keha massikeskme nihkeks ja pöörlemiseks ümber seda läbivate telgede.
Objektide hoidmiseks nende toe liikumisel püsivas asendis on juba mitu sajandit kasutatud nn kardaanvedrustust – seadet, milles keha raskuskese asub allpool telgesid, mille ümber see saab pöörlema hakata. Näiteks on laeva petrooleumilamp.
Kuigi gravitatsioon Kuul on kuus korda väiksem kui Maal, oleks seal võimalik kõrgushüppe rekordit tõsta “vaid” neli korda. Sellele järeldusele viivad arvutused, mis põhinevad sportlase keha raskuskeskme kõrguse muutustel.
Lisaks igapäevasele pöörlemisele ümber oma telje ja iga-aastasele pöördele ümber Päikese osaleb Maa veel ühes ringliikumises. Koos Kuuga “tiirleb” see ümber ühise massikeskme, mis asub Maa keskpunktist ligikaudu 4700 kilomeetri kaugusel.
Mõned Maa tehissatelliidid on varustatud mitme või isegi kümne meetri pikkuse kokkupandava vardaga, mille otsas on raskus (nn gravitatsioonistabilisaator). Fakt on see, et piklik satelliit kipub orbiidil liikudes pöörlema ümber oma massikeskme, nii et selle pikitelg on vertikaalne. Siis on see, nagu Kuu, alati ühe küljega Maa poole.
Mõnede nähtavate tähtede liikumise vaatlused näitavad, et need on osa binaarsüsteemidest, milles "taevapartnerid" pöörlevad ümber ühise massikeskme. Üheks nähtamatuks kaaslaseks sellises süsteemis võib olla neutrontäht või võib-olla ka must auk.
Õpetaja selgitus
Massikeskme teoreem: keha massikese saab oma asukohta muuta ainult välisjõudude mõjul.
Massikeskme teoreemi järeldus: suletud kehade süsteemi massikese jääb süsteemi kehade vastasmõju ajal liikumatuks.
Probleemi lahendamine (lauas)
PROBLEEM 2. Paat seisab liikumatult seisvas vees. Paadis viibiv inimene liigub vöörist ahtrisse. Millisel kaugusel h paat liigub, kui inimese mass on m = 60 kg, paadi mass M = 120 kg ja paadi pikkus L = 3 m? Jäta tähelepanuta veekindlus.
LAHENDUS. Kasutame ülesande tingimust, et massikeskme algkiirus on null (paat ja mees olid algselt puhkeseisundis) ning veetakistus puudub (horisontaalsuunalised välisjõud ei mõju inimesele. paat” süsteem). Järelikult ei ole süsteemi massikeskme koordinaat horisontaalsuunas muutunud. Joonisel 3 on näidatud paadi ja inimese alg- ja lõppasend. Massikeskme algkoordinaat x0 x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Massikeskme x lõppkoordinaat x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Võrdledes x0 = x, leiame h= ml/(m+M) =1m
Lisaks: probleemide kogumik Stepanova G.N. nr 393
Õpetaja selgitus
Tasakaalutingimusi meenutades leidsime selle
Toepinnaga kehade puhul täheldatakse stabiilset tasakaalu, kui raskusjõu toimejoon läbib alust.
Tagajärg: mida suurem on tugipind ja mida madalam on raskuskese, seda stabiilsem on tasakaaluasend.
Demonstratsioon
Asetage laste mängukumm (Vanka - Vstanka) krobelisele lauale ja tõstke laua parem serv üles. Millises suunas liigub mänguasja “pea” tasakaalu säilitades?
Selgitus: trumli raskuskese C asub torso sfäärilise pinna geomeetrilisest keskpunktist O allpool. Tasakaaluasendis peaksid kaldtasandiga mänguasja punkt C ja kokkupuutepunkt A asuma samal vertikaalil; seetõttu kaldub trumli "pea" vasakule
Kuidas seletada tasakaalu säilimist joonisel näidatud juhul?
Selgitus: pliiatsi-noa süsteemi raskuskese asub tugipunkti all
IIIKonsolideerimine. Frontaalne uuring
Küsimused ja ülesanded
1. Kui keha liigub ekvaatorilt poolusele, muutub talle mõjuv gravitatsioonijõud. Kas see mõjutab keha raskuskeskme asendit?
Vastus: ei, sest kõigi kehaelementide raskusjõu suhtelised muutused on ühesugused.
2. Kas kaalutu vardaga ühendatud kahest massiivsest kuulist koosneva “hantli” raskuskeset on võimalik leida eeldusel, et “hantli” pikkus on võrreldav Maa läbimõõduga?
Vastus: ei. Raskuskeskme olemasolu tingimus on gravitatsioonivälja ühtlus. Ebaühtlases gravitatsiooniväljas põhjustavad "hantli" pöörlemised ümber selle massikeskme asjaolu, et pallidele rakendatavatel resultant-raskusjõul L1 ja L2 ei ole ühist punkti.
3. Miks auto esiosa järsult pidurdades alla langeb?
Vastus: pidurdamisel mõjub teepoolsetele ratastele hõõrdejõud, mis tekitab pöördemomendi ümber auto massikeskme.
4. Kus on sõõriku raskuskese?
Vastus: augus!
5. Vesi valatakse silindrikujulisse klaasi. Kuidas muutub klaasveesüsteemi raskuskeskme asend?
Vastus: Süsteemi raskuskese esmalt väheneb ja seejärel suureneb.
6. Millise pikkusega ots tuleb lõigata homogeensest vardast, et selle raskuskese nihkuks ∆ℓ võrra?
Vastus: pikkus 2∆ℓ.
7. Keskelt painutati täisnurga all homogeenne varras. Kus oli nüüd tema raskuskese?
Vastus: punktis O - varda lõikude AB ja BC keskpunkte ühendava segmendi O1O2 keskpunkt
9. Statsionaarne kosmosejaam on silinder. Astronaut alustab ringikujulist jalutuskäiku mööda jaama pinda. Mis saab jaamast?
Vastus: Koos jaam hakkab pöörlema vastupidises suunas ja selle kese kirjeldab astronaudiga sama massikeskme ümber olevat ringi.
11. Miks on vaiadel kõndimine raske?
Vastus: vaiadel oleva inimese raskuskese suureneb oluliselt ja tema toe pindala maapinnal väheneb.
12. Millal on köielkõndijal lihtsam tasakaalu hoida - normaalselt mööda köit liikudes või veeämbritega koormatud tugevalt kumerat tala kandes?
Vastus: Teisel juhul, kuna koppadega köielkõndija massikese asub madalamal, st. toele lähemale - köis.
IVKodutöö:(teostavad soovijad - ülesanded on rasked, lahendajad saavad hinde “5”).
*1. Leidke joonisel kujutatud võrdkülgse kaaluta kolmnurga tippudes asuvate kuulide süsteemi raskuskese
Vastus: raskuskese asub selle nurga poolitaja keskel, mille tipus on kuul massiga 2m
*2. Laua augu sügavus, millesse pall sisestatakse, on pool palli raadiusest. Millise laua kaldenurga all silmapiiri suhtes pall august välja hüppab?
