Περιεχόμενα 4
Από τον επιμελητή μετάφρασης 10
Πρόλογος στην τρίτη έκδοση 13
Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση 15
Πρόλογος στην πρώτη έκδοση 16
Ονομασίες 20
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή 22
§ 1. Ελαστικότητα 22
§ 2. Τάσεις 23
§ 3. Ονομασίες για δυνάμεις και τάσεις 24
§ 4. Συστατικά καταπόνησης 25
§ 5. Συνιστώσες παραμορφώσεων 26
§ 6. Νόμος του Χουκ 28
§ 7. Σημειογραφία ευρετηρίου 32
Προβλήματα 34
Κεφάλαιο 2. Κατάσταση επιπέδου τάσης και επίπεδο παραμόρφωση 35
§ 8. Επίπεδη τάση αποτελούνταν από 35
§ 9. Επίπεδη παραμόρφωση 35
§ 10. Άγχος στο σημείο 37
§ 11. Παραμορφώσεις στο σημείο 42
§ 12. Μέτρηση επιφανειακών παραμορφώσεων 44
§ 13. Κατασκευή του κύκλου παραμόρφωσης Mohr για τη ροζέτα 46
§ 14. Διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας 46
§ 15. Οριακές συνθήκες 47
§ 16. Εξισώσεις συμβατότητας 48
§ 17. Λειτουργία στρες 50
Προβλήματα 52
Κεφάλαιο 3. Δισδιάστατα προβλήματα σε ορθογώνιες συντεταγμένες 54
§ 18. Λύση σε πολυώνυμα 54
§ 19. Τελικά εφέ. Αρχή του Saint-Venant 58
§ 20. Προσδιορισμός μετατοπίσεων 59
§ 21. Κάμψη της κονσόλας φορτωμένης στο άκρο 60
§ 22. Κάμψη δοκού με ομοιόμορφο φορτίο 64
§ 23. Άλλες περιπτώσεις δοκών με συνεχή κατανομή φορτίου 69
§ 24. Επίλυση δισδιάστατου προβλήματος με χρήση της σειράς Fourier 71
§ 25. Άλλες εφαρμογές της σειράς Fourier. Φορτίο αυτο-βάρους 77
§ 26. Η επίδραση των προφυλακτικών. Δικές μου λειτουργίες 78
Προβλήματα 80
Κεφάλαιο 4. Δισδιάστατα προβλήματα σε πολικές συντεταγμένες 83
§ 27. Γενικές εξισώσεις σε πολικές συντεταγμένες 83
§ 28. Κατανομή πολικής-συμμετρικής τάσης 86
§ 29. Καθαρή κάμψη καμπυλωτών δοκών 89
§ 30. Συνιστώσες παραμορφώσεων σε πολικές συντεταγμένες 93
§ 31. Μετατοπίσεις σε συμμετρικά μηδενικά τάσης 94
§ 32. Περιστρεφόμενοι δίσκοι 97
§ 33. Κάμψη καμπύλης δοκού με δύναμη ασκούμενη στο τέλος του 100
§ 34. Εξαρθρήματα άκρων 105
§ 35. Η επίδραση μιας στρογγυλής οπής στην κατανομή της τάσης στην πλάκα 106
§ 36. Συγκεντρωμένη δύναμη που εφαρμόζεται σε κάποιο σημείο ενός ευθύγραμμου ορίου 113
§ 37. Αυθαίρετο κατακόρυφο φορτίο σε ευθύγραμμο όριο 119
§ 38. Δύναμη που ενεργεί στην άκρη της σφήνας 125
§ 39. Ροπή κάμψης που ενεργεί στην άκρη της σφήνας 127
§ 40. Δράση σε δέσμη συγκεντρωμένης δύναμης 128
§ 41. Καταπόνηση σε στρογγυλό δίσκο 137
§ 42. Δύναμη που ενεργεί σε σημείο σε άπειρη πλάκα 141
§ 43. Γενικευμένη λύση δισδιάστατου προβλήματος σε πολικές συντεταγμένες 146
§ 44. Εφαρμογές της γενικευμένης λύσης σε πολικές συντεταγμένες 150
§ 45. Σφήνα φορτωμένη κατά μήκος των άκρων 153
§ 46. Δικές σας λύσεις για σφήνες και εγκοπές 155
Προβλήματα 158
Κεφάλαιο 5. Πειραματικές μέθοδοι. Μέθοδος φωτοελαστικότητας και μέθοδος moiré 163
§ 47. Πειραματικές μέθοδοι και έλεγχος θεωρητικών λύσεων 163
§ 48. Μέτρηση τάσεων με τη φωτοελαστική μέθοδο 163
§ 49. Κυκλικό πολαρισκόπιο 169
§ 50. Παραδείγματα προσδιορισμού τάσεων με τη χρήση της φωτοελαστικής μεθόδου 171
§ 51. Προσδιορισμός των κύριων τάσεων 174
§ 52. Μέθοδοι φωτοελαστικότητας στην τρισδιάστατη περίπτωση 175
§ 53. Μέθοδος Moire 177
Κεφάλαιο 6. Δισδιάστατα προβλήματα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 180
§ 54. Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής 180
§ 55. Αναλυτικές συναρτήσεις και εξίσωση Laplace 182
§ 56. Συναρτήσεις τάσεων που εκφράζονται μέσω αρμονικών και μιγαδικών συναρτήσεων 184
§ 57. Μετατοπίσεις που αντιστοιχούν σε δεδομένη συνάρτηση τάσης 186
§ 58. Έκφραση τάσεων και μετατοπίσεων μέσω μιγαδικών δυναμικών 188
§ 59. Το αποτέλεσμα των τάσεων που δρουν κατά μήκος ορισμένης καμπύλης. Οριακές συνθήκες 190
§ 60. Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 193
§ 61. Συνιστώσες τάσης σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 196
Προβλήματα 198
§ 62. Λύσεις σε ελλειπτικές συντεταγμένες. Ελλειπτική οπή σε πλάκα με ομοιόμορφη κατάσταση τάσης 198
§ 63. Ελλειπτική οπή σε πλάκα που υποβάλλεται σε μονοαξονική τάση 202
§ 64. Υπερβολικά όρια. Αποκοπές 206
§ 65. Διπολικές συντεταγμένες 208
§ 66. Λύσεις σε διπολικές συντεταγμένες 209
§ 67. Προσδιορισμός μιγαδικών δυναμικών με βάση δεδομένες οριακές συνθήκες. Μέθοδοι του N. I. Muskhelishvili 214
§ 68 Τύποι για μιγαδικά δυναμικά 217
§ 69. Ιδιότητες τάσεων και παραμορφώσεων που αντιστοιχούν σε σύνθετα δυναμικά αναλυτικά στην περιοχή του υλικού που βρίσκεται γύρω από την οπή 219
§ 70. Θεωρήματα για συνοριακά ολοκληρώματα 221
§ 71. Συνάρτηση χαρτογράφησης ω(ξ) για ελλειπτική οπή. Δεύτερο ολοκλήρωμα ορίου 224
§ 72. Ελλειπτική τρύπα. Τύπος για ψ(ζ) 225
§ 73. Ελλειπτική τρύπα. Ειδικά προβλήματα 226
Προβλήματα 229
Κεφάλαιο 7. Ανάλυση τάσεων και παραμορφώσεων στη χωρική περίπτωση 230
§ 74. Εισαγωγή 230
§ 75. Κύρια έμφαση 232
§ 76. Ελλειψοειδές τάσεις και επιφάνεια οδηγού τάσεων 233
§ 77. Προσδιορισμός των κύριων τάσεων 234
§ 78. Αναλλοίωτα στρες 235
§ 79. Προσδιορισμός της μέγιστης διατμητικής τάσης 236
§ 80. Ομοιογενής παραμόρφωση 238
§ 81. Παραμορφώσεις σε σημείο του σώματος 239
§ 82. Κύριοι άξονες παραμορφώσεων 242
§ 83. Εναλλαγή 243
Προβλήματα 245
Κεφάλαιο 8. Γενικά θεωρήματα 246
§ 84. Διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας 246
§ 85. Προϋποθέσεις συμβατότητας 247
§ 86. Προσδιορισμός κινήσεων 250
§ 87. Εξισώσεις ισορροπίας σε μετατοπίσεις 251
§ 88. Γενική λύση για κινήσεις 252
§ 89. Αρχή υπέρθεσης 253
§ 90. Ενέργεια παραμόρφωσης 254
§ 91. Ενέργεια παραμόρφωσης για εξάρθρωση άκρου 259
§ 92. Η αρχή της εικονικής εργασίας 261
§ 93. Θεώρημα Castigliano 266
§ 94. Εφαρμογές της αρχής της ελάχιστης εργασίας. Ορθογώνιες πλάκες 270
§ 95. Αποτελεσματικό πλάτος φαρδιών φλαντζών δοκών 273
Προβλήματα 279
§ 96. Μοναδικότητα λύσης 280
§ 97. Θεώρημα αμοιβαιότητας 282
§ 98. Κατά προσέγγιση φύση των λύσεων για μια κατάσταση επιπέδου τάσης 285
Προβλήματα 287
Κεφάλαιο 9. Στοιχειώδη τρισδιάστατα προβλήματα της θεωρίας της ελαστικότητας 289
§ 99. Κατάσταση ομοιογενούς στρες 289
§ 100. Τάνυση πρισματικής ράβδου υπό την επίδραση του ίδιου του βάρους 290
§ 101. Στρέψη στρογγυλών αξόνων σταθερής διατομής 293
§ 102. Καθαρή κάμψη πρισματικών ράβδων 294
§ 103. Καθαρή κάμψη πλακών 298
Κεφάλαιο 10. Torsion 300
§ 104. Στρέψη ευθειών ράβδων 300
§ 105. Ελλειπτική διατομή 305
§ 106. Άλλες στοιχειώδεις λύσεις 307
§ 107. Αναλογία μεμβράνης 310
§ 108. Στρέψη ράβδου στενής ορθογώνιας διατομής 314.
§ 109. Στρέψη ορθογώνιων ράβδων 317
§ 110. Πρόσθετα αποτελέσματα 320
§ 111. Επίλυση προβλημάτων στρέψης με την ενεργειακή μέθοδο 323
§ 112. Στρέψη ράβδων κυλινδρικών προφίλ 329
§ 113. Πειραματικές αναλογίες 331
§ 114. Υδροδυναμικές αναλογίες 332
§ 115. Στρέψη κοίλων αξόνων 335
§ 116. Στρέψη σωλήνων με λεπτό τοίχωμα 339
§ 117. Εξαρθρήματα βιδών 343
§ 118. Στρέψη ράβδου, της οποίας η μία διατομή παραμένει επίπεδη 345.
§ 119. Στρέψη στρογγυλών αξόνων μεταβλητής διαμέτρου 347
Προβλήματα 355
Κεφάλαιο 11. Κάμψη δοκών 359
§ 120. Κάμψη της κονσόλας 359
§ 121. Συνάρτηση καταπόνησης 361
§ 122. Κυκλική διατομή 363
§ 123. Ελλειπτική διατομή 364
§ 124. Ορθογώνια διατομή 365
§ 125. Πρόσθετα αποτελέσματα 371
§ 126. Ασύμμετρες διατομές 373
§ 127. Κέντρο καμπής 375
§ 128. Επίλυση προβλημάτων κάμψης με τη μέθοδο της σαπουνάδας 378
§ 129. Κινήσεις 381
§ 130. Περαιτέρω μελέτες κάμψης δοκών 382
Κεφάλαιο 12. Αξονικές τάσεις και παραμορφώσεις σε σώματα περιστροφής 384
§ 131. Γενικές εξισώσεις 384
§ 132. Λύση σε πολυώνυμα 387
§ 133. Κάμψη στρογγυλής πλάκας 388
§ 134. Τρισδιάστατο πρόβλημα περιστρεφόμενου δίσκου 391
§ 135. Δύναμη που εφαρμόζεται σε κάποιο σημείο ενός άπειρου σώματος 393
§ 136. Σφαιρικό δοχείο υπό την επίδραση εσωτερικής ή εξωτερικής ομοιόμορφης πίεσης 396
§ 137. Τοπικές τάσεις γύρω από μια σφαιρική κοιλότητα 399
§ 138. Δύναμη που εφαρμόζεται στο όριο ενός ημι-άπειρου σώματος 401
§ 139. Φορτίο κατανεμημένο σε μέρος του ορίου ενός ημι-άπειρου σώματος 405
§ 140. Πίεση μεταξύ δύο σφαιρικών σωμάτων που εφάπτονται 412
§ 141. Πίεση μεταξύ δύο σωμάτων σε επαφή. Γενικότερη περίπτωση 417
§ 142. Σύγκρουση σφαιρών 422
§ 143. Συμμετρική παραμόρφωση στρογγυλού κυλίνδρου 424
§ 144. Στρογγυλός κύλινδρος υπό την επίδραση της περιβάλλουσας πίεσης 428
§ 145. Λύση Boussinesq με τη μορφή δύο αρμονικών συναρτήσεων 430
§ 146. Τάση ελικοειδούς ελατηρίου (εξαρθρήματα βιδών στον δακτύλιο) 431.
§ 147. Καθαρή κάμψη τμήματος κυκλικού δακτυλίου 434
Κεφάλαιο 13. Τάσεις θερμοκρασίας 436
§ 148. Οι απλούστερες περιπτώσεις κατανομής της τάσης θερμοκρασίας. Μέθοδος εξάλειψης παραμόρφωσης 436
Προβλήματα 442
§ 149. Διαμήκη μεταβολή θερμοκρασίας στη λωρίδα 442
§ 150. Λεπτός στρογγυλός δίσκος: κατανομή θερμοκρασίας συμμετρική ως προς το κέντρο 445
§ 151. Μακρύς στρογγυλός κύλινδρος 447
Προβλήματα 455
§ 152. Σφαίρα 455
§ 153. Γενικές εξισώσεις 459
§ 154. Θεώρημα αμοιβαιότητας στη θερμοελαστικότητα 463
§ 155. Ολικές θερμοελαστικές παραμορφώσεις. Αυθαίρετη κατανομή θερμοκρασίας 464
§ 156. Θερμοελαστικές μετατοπίσεις. Ολοκληρωμένη λύση του V. M. Maizel 466
Προβλήματα 469
§ 157. Αρχικές τάσεις 469
§ 158. Γενική αλλαγή όγκου που σχετίζεται με αρχικές τάσεις 472
§ 159. Επίπεδη παραμόρφωση και κατάσταση επίπεδης τάσης. Μέθοδος για την εξάλειψη των παραμορφώσεων 472
§ 160. Δισδιάστατα προβλήματα με σταθερή ροή θερμότητας 474
§ 161. Επίπεδη θερμικά καταπονημένη κατάσταση που προκαλείται από διαταραχή ομοιογενούς ροής θερμότητας από μονωμένη οπή 480
§ 162. Λύσεις γενικών εξισώσεων. Δυναμικό θερμοελαστικής μετατόπισης 481
§ 163. Γενικό δισδιάστατο πρόβλημα για κυκλικές περιοχές 485
§ 164. Γενικό δισδιάστατο πρόβλημα. Λύση σε μιγαδικά δυναμικά 487
Κεφάλαιο 14. Διάδοση κυμάτων σε ελαστικό συνεχές μέσο 490
§ 165. Εισαγωγή 490
§ 166. Κύματα διαστολής και κύματα παραμόρφωσης σε ισότροπο ελαστικό μέσο 491
§ 167. Επίπεδα κύματα 492
§ 168. Διαμήκη κύματα σε ράβδους σταθερής διατομής. Στοιχειώδης θεωρία 497
§ 169. Διαμήκης σύγκρουση ράβδων 502
§ 170. Επιφανειακά κύματα Rayleigh 510
§ 171. Κύματα με σφαιρική συμμετρία σε άπειρο μέσο 513
§ 172. Εκρηκτική πίεση σε σφαιρική κοιλότητα 514
Εφαρμογή. Εφαρμογή των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στη θεωρία της ελαστικότητας 518
§ 1. Παραγωγή εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών 518
§ 2. Μέθοδοι διαδοχικών προσεγγίσεων 522
§ 3. Μέθοδος χαλάρωσης 525
§ 4. Τριγωνικά και εξαγωνικά πλέγματα 530
§ 5. Αποκλεισμός και ομαδικές χαλαρώσεις 535
§ 6. Στρέψη ράβδων με πολλαπλά συνδεδεμένες διατομές 536
§ 7. Σημεία που βρίσκονται κοντά στα σύνορα 538
§ 8. Διαρμονική εξίσωση 540
§ 9. Στρέψη κυκλικών αξόνων μεταβλητής διαμέτρου 548
§ 10. Επίλυση προβλημάτων με χρήση υπολογιστή 551
Ευρετήριο ονόματος 553
Ευρετήριο θεμάτων 558

Στα Κεφάλαια 4-6 προέκυψαν οι βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας, καθιερώνοντας τους νόμους των μεταβολών των τάσεων και των παραμορφώσεων κοντά σε ένα αυθαίρετο σημείο του σώματος, καθώς και σχέσεις που συνδέουν τάσεις με παραμορφώσεις και παραμορφώσεις με μετατοπίσεις. Ας παρουσιάσουμε το πλήρες σύστημα εξισώσεων της θεωρίας της ελαστικότητας σε καρτεσιανές συντεταγμένες.

Εξισώσεις ισορροπίας Navier:

Σχέσεις Cauchy:

Ο νόμος του Χουκ (σε άμεση και αντίστροφη μορφή):

Να σας το υπενθυμίσουμε εδώ e = e x + e y + e z -σχετική ογκομετρική παραμόρφωση, και σύμφωνα με το νόμο του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων Xj. = Tj;και κατά συνέπεια y~ = ^ 7. Οι σταθερές Lame που περιλαμβάνονται στο (16.3a) προσδιορίζονται από τους τύπους (6.13).

Από το παραπάνω σύστημα είναι σαφές ότι περιλαμβάνει 15 διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιέχουν 15 άγνωστες συναρτήσεις (6 συνιστώσες τανυστή τάσης, 6 συνιστώσες τανυστή παραμόρφωσης και 3 συνιστώσες διανύσματος μετατόπισης).

Λόγω της πολυπλοκότητας του πλήρους συστήματος εξισώσεων, είναι αδύνατο να βρεθεί μια γενική λύση που να ισχύει για όλα τα προβλήματα της θεωρίας ελαστικότητας που αντιμετωπίζονται στην πράξη.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μείωσης του αριθμού των εξισώσεων εάν, για παράδειγμα, μόνο οι τάσεις ή οι μετατοπίσεις λαμβάνονται ως άγνωστες συναρτήσεις.

Εάν, κατά την επίλυση του προβλήματος της θεωρίας της ελαστικότητας, αποκλείσουμε τις μετατοπίσεις από την εξέταση, τότε αντί για τις σχέσεις Cauchy (16.2), μπορούμε να λάβουμε εξισώσεις που συνδέουν τις συνιστώσες του τανυστή τάσης. Ας διαφοροποιήσουμε την παραμόρφωση g x,που ορίζεται από την πρώτη ισότητα (16.2), δύο φορές y,παραμόρφωση g y -δύο φορές στο x και προσθέστε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Η έκφραση σε παρένθεση, σύμφωνα με το (16.2), καθορίζει τη γωνιακή παραμόρφωση y. Έτσι, η τελευταία ισότητα μπορεί να γραφτεί στη μορφή

Ομοίως, μπορούμε να λάβουμε δύο ακόμη ισότητες, οι οποίες μαζί με την τελευταία σχέση αποτελούν την πρώτη ομάδα Εξισώσεις συμβατότητας παραμόρφωσης Saint-Venant:

Κάθε μία από τις ισότητες (16.4) δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ παραμορφώσεων σε ένα επίπεδο. Από τις σχέσεις Cauchy, μπορούν επίσης να ληφθούν συνθήκες συμβατότητας που σχετίζονται με παραμορφώσεις σε διαφορετικά επίπεδα. Ας διαφοροποιήσουμε τις εκφράσεις (16.2) για γωνιακές παραμορφώσεις ως εξής: y - σύμφωνα με z y - από Χ;

Με y; Ας προσθέσουμε τις δύο πρώτες ισότητες και ας αφαιρέσουμε την τρίτη. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Διαφοροποιώντας αυτή την ισότητα ως προς το y και λαμβάνοντας υπόψη ότι,

φτάνουμε στην εξής σχέση:

Χρησιμοποιώντας κυκλική αντικατάσταση, λαμβάνουμε δύο ακόμη ισότητες, οι οποίες, μαζί με την τελευταία σχέση, αποτελούν τη δεύτερη ομάδα εξισώσεων για τη συμβατότητα των παραμορφώσεων Saint-Venant:

Οι εξισώσεις συμβατότητας παραμόρφωσης ονομάζονται επίσης συνθήκες συνέχειαή συνέχεια.Αυτοί οι όροι χαρακτηρίζουν το γεγονός ότι όταν παραμορφώνεται το σώμα παραμένει συμπαγές. Αν φανταστούμε ένα σώμα που αποτελείται από μεμονωμένα στοιχεία και πάρουμε τις παραμορφώσεις ex, y με τη μορφή αυθαίρετων συναρτήσεων, τότε σε παραμορφωμένη κατάσταση δεν θα είναι δυνατό να συναρμολογηθεί ένα στερεό σώμα από αυτά τα στοιχεία. Εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις (16.4), (16.5), οι μετατοπίσεις των ορίων των επιμέρους στοιχείων θα είναι τέτοιες που το σώμα θα παραμένει στερεό ακόμη και σε παραμορφωμένη κατάσταση.

Έτσι, ένας από τους τρόπους μείωσης του αριθμού των αγνώστων κατά την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία της ελαστικότητας είναι να αποκλειστούν οι μετατοπίσεις από την εξέταση. Στη συνέχεια, αντί για τις σχέσεις Cauchy, το πλήρες σύστημα εξισώσεων θα περιλαμβάνει τις εξισώσεις συμβατότητας για τις παραμορφώσεις Saint-Venant.

Λαμβάνοντας υπόψη το πλήρες σύστημα εξισώσεων της θεωρίας της ελαστικότητας, θα πρέπει να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι πρακτικά δεν περιέχει παράγοντες που καθορίζουν την κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης του σώματος. Τέτοιοι παράγοντες περιλαμβάνουν το σχήμα και το μέγεθος του σώματος, τις μεθόδους ασφάλισής του, τα φορτία που δρουν στο σώμα, με εξαίρεση τις ογκομετρικές δυνάμεις Χ, Υ, Ζ.

Έτσι, το πλήρες σύστημα εξισώσεων της θεωρίας της ελαστικότητας καθιερώνει μόνο γενικά πρότυπα μεταβολών στις τάσεις, τις παραμορφώσεις και τις μετατοπίσεις στα ελαστικά σώματα. Η λύση σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα μπορεί να επιτευχθεί εάν καθοριστούν οι συνθήκες φόρτωσης του αμαξώματος. Αυτό δίνεται στις οριακές συνθήκες, οι οποίες διακρίνουν ένα πρόβλημα στη θεωρία της ελαστικότητας από ένα άλλο.

Από μαθηματική άποψη, είναι επίσης σαφές ότι η γενική λύση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνει αυθαίρετες συναρτήσεις και σταθερές, οι οποίες πρέπει να προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες.

4. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΓΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΑ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Βασικές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας: τανυστής τάσης, τανυστής τάσης, νόμος του Hooke, συντελεστές ελαστικότητας, ομοιογενείς παραμορφώσεις, ελαστικά κύματα σε ισότροπο μέσο, ​​νόμοι Fermat, Huygens, Snell. Σεισμικά κύματα. Ανάπτυξη σεισμομετρικών παρατηρήσεων: σεισμικοί σταθμοί και τα δίκτυά τους, οδογράμματα, τροχιές κυμάτων στο εσωτερικό της Γης. Προσδιορισμός της ταχύτητας διάδοσης των σεισμικών κυμάτων με χρήση της εξίσωσης Hertlots-Wiechert. Ταχύτητες διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων σε συνάρτηση με την ακτίνα της Γης. Κατάσταση της γήινης ύλης σύμφωνα με σεισμολογικά δεδομένα. Φλοιός της γης. Λιθόσφαιρα και ασθενόσφαιρα. Σεισμολογία και παγκόσμια τεκτονική.

Βασικές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας[Landau, Lifshits, 2003, σελ. 9-25, 130-144]

Τενσετήρας παραμόρφωσης

Η μηχανική των στερεών, που θεωρούνται συνεχή μέσα, είναι το περιεχόμενο θεωρία ελαστικότητας. Οι βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας καθορίστηκαν από τον Ο.Λ. Koshy και S.D. Poisson στη δεκαετία του 20 του 19ου αιώνα (για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ. Κεφάλαιο 15).

Υπό την επίδραση των εφαρμοζόμενων δυνάμεων, τα στερεά σώματα παραμορφώνονται σε έναν ή τον άλλο βαθμό, δηλ. αλλάξουν το σχήμα και τον όγκο τους. Για να περιγράψετε μαθηματικά την παραμόρφωση ενός σώματος, προχωρήστε ως εξής. Η θέση κάθε σημείου του σώματος καθορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας r (με συνιστώσες x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Όταν ένα σώμα παραμορφώνεται, όλα τα σημεία του, γενικά μιλώντας, μετατοπίζονται. Ας εξετάσουμε κάποιο συγκεκριμένο σημείο του σώματος. αν το διάνυσμα ακτίνας του πριν από την παραμόρφωση ήταν r, τότε στο παραμορφωμένο σώμα θα έχει κάποιο άλλο

τιμή r / (με συνιστώσες x i / ). Η μετατόπιση ενός σημείου σώματος κατά τη διάρκεια της παραμόρφωσης θα αντιπροσωπεύεται τότε από το διάνυσμα r / - r, το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα u:

u = x/ − x .

Το διάνυσμα u ονομάζεται διάνυσμα παραμόρφωσης(ή διάνυσμα μετατόπισης). Γνώση του διανύσματος u

σε συνάρτηση με το x i καθορίζει πλήρως την παραμόρφωση του σώματος.

Όταν ένα σώμα παραμορφώνεται, οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων του αλλάζουν. Εάν το διάνυσμα ακτίνας μεταξύ τους πριν από την παραμόρφωση ήταν dx i , τότε στο παραμορφωμένο σώμα η ακτίνα

το διάνυσμα μεταξύ των ίδιων δύο σημείων θα είναι dx i / = dx i + du i. Η απόσταση μεταξύ των σημείων πριν από την παραμόρφωση ήταν ίση με:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

και μετά από παραμόρφωση:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Τελικά παίρνουμε:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x i

∂x i

Αυτές οι εκφράσεις καθορίζουν την αλλαγή στο στοιχείο μήκους όταν το σώμα παραμορφώνεται. Ο τανυστής u ik ονομάζεται τανυστήρα παραμόρφωσης; εξ ορισμού του είναι συμμετρικό:

u ik = u ki .

Όπως κάθε συμμετρικός τανυστής, ο τανυστής u ik σε κάθε σημείο μπορεί να μειωθεί σε

τους κύριους άξονες και βεβαιωθείτε ότι σε κάθε στοιχείο του όγκου του σώματος η παραμόρφωση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο τριών ανεξάρτητων παραμορφώσεων σε τρεις κάθετες κατευθύνσεις - τους κύριους άξονες του τανυστή παραμόρφωσης. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις παραμόρφωσης σωμάτων, οι παραμορφώσεις αποδεικνύονται μικρές. Αυτό σημαίνει ότι η αλλαγή σε οποιαδήποτε απόσταση στο σώμα αποδεικνύεται μικρή σε σύγκριση με την ίδια την απόσταση. Με άλλα λόγια, οι σχετικές επιμηκύνσεις είναι μικρές σε σύγκριση με τη μονάδα.

Με εξαίρεση κάποιες ειδικές περιπτώσεις, τις οποίες δεν θα θίξουμε, εάν το σώμα υποστεί μικρή παραμόρφωση, τότε όλα τα στοιχεία του τανυστή παραμόρφωσης είναι επίσης μικρά. Επομένως, στην έκφραση (4.3) μπορούμε να παραβλέψουμε τον τελευταίο όρο ως μια μικρή ποσότητα δεύτερης τάξης. Έτσι, στην περίπτωση μικρών παραμορφώσεων, ο τανυστής παραμόρφωσης προσδιορίζεται από την έκφραση:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ) .
			∂xk	∂x i

Έτσι, οι δυνάμεις είναι η αιτία των κινήσεων (κινήσεων) που συμβαίνουν στο σώμα και οι παραμορφώσεις είναι το αποτέλεσμα των κινήσεων [Khaikin, 1963, σελ. 176].

Η κύρια υπόθεση της κλασικής θεωρίας της ελαστικότητας

Σε ένα μη παραμορφωμένο σώμα, η διάταξη των μορίων αντιστοιχεί στην κατάσταση της θερμικής ισορροπίας του. Ταυτόχρονα, όλα τα μέρη του βρίσκονται σε μηχανική ισορροπία μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι εάν επιλέξετε κάποιο όγκο μέσα στο σώμα, τότε το αποτέλεσμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν τον όγκο από άλλα μέρη είναι ίσο με μηδέν.

Όταν παραμορφώνεται, η διάταξη των μορίων αλλάζει και το σώμα απομακρύνεται από την κατάσταση ισορροπίας στην οποία βρισκόταν αρχικά. Ως αποτέλεσμα, θα προκύψουν δυνάμεις σε αυτό, προσπαθώντας να επαναφέρουν το σώμα σε κατάσταση ισορροπίας. Αυτές οι εσωτερικές δυνάμεις που προκύπτουν κατά την παραμόρφωση ονομάζονται εσωτερικές πιέσεις. Εάν το σώμα δεν παραμορφώνεται, τότε δεν υπάρχουν εσωτερικές πιέσεις σε αυτό.

Οι εσωτερικές τάσεις προκαλούνται από μοριακούς δεσμούς, δηλ. οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης των μορίων του σώματος μεταξύ τους. Πολύ σημαντικό για τη θεωρία της ελαστικότητας είναι το γεγονός ότι οι μοριακές δυνάμεις έχουν πολύ μικρή ακτίνα δράσης. Η επιρροή τους εκτείνεται γύρω από το σωματίδιο που τα δημιουργεί μόνο σε απόσταση της τάξης των διαμοριακών. Όμως στη θεωρία της ελαστικότητας, όπως και στη μακροσκοπική θεωρία, λαμβάνονται υπόψη μόνο αποστάσεις που είναι μεγάλες σε σύγκριση με τις διαμοριακές. Επομένως, η «ακτίνα δράσης» των μοριακών δυνάμεων στη θεωρία της ελαστικότητας θα πρέπει να θεωρείται ίση με το μηδέν. Μπορούμε να πούμε ότι οι δυνάμεις που προκαλούν εσωτερικές τάσεις είναι δυνάμεις «μικρής εμβέλειας» στη θεωρία της ελαστικότητας, που μεταδίδονται από κάθε σημείο μόνο στα σημεία που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτό.

Έτσι, στην κλασική θεωρία της ελαστικότητας, δυνάμεις που δρουν σε οποιοδήποτε μέρος του σώματος από τα μέρη που το περιβάλλουν εκδηλώνουν αυτό το φαινόμενο μόνο απευθείας μέσω της επιφάνειαςαυτό το μέρος του σώματος.

Μάλιστα, ο συγγραφέας του θεμελιώδους έργου [Khaikin, 1963, σελ. 484].

Τενσετήρας πίεσης

Το συμπέρασμα ότι όλες οι δυνάμεις ασκούν τη δράση τους μόνο μέσω της επιφάνειας είναι το κλειδί για την κλασική θεωρία της ελαστικότητας. Επιτρέπει οποιονδήποτε όγκο του σώματος καθένα από τα τρία συστατικά του προκύπτοντος όλων των εσωτερικών τάσεων και δυνάμεων

∫ F i dV (όπου F i είναι η δύναμη που ασκείται σε ένα μοναδιαίο όγκο dV) μετασχηματίζονται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια αυτού του όγκου. Στην περίπτωση αυτή, όπως προκύπτει από τη διανυσματική ανάλυση, το διάνυσμα F i πρέπει να είναι η απόκλιση κάποιου τανυστή της δεύτερης τάξης, δηλ. μοιάζει:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

Τότε η δύναμη που επενεργεί σε έναν ορισμένο όγκο μπορεί να γραφτεί ως ολοκλήρωμα σε μια κλειστή επιφάνεια που καλύπτει αυτόν τον όγκο:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
όπου διάνυσμα d f = df 2			Df 2	σκηνοθετημένος	κατά μήκος της εξωτερικής κανονικής προς την επιφάνεια,

καλύπτοντας τον όγκο dV.

Ο τανυστής σ ik ονομάζεται τανυστή πίεσης. Όπως φαίνεται από το (4.7), το σ ik df k είναι το i

συνιστώσα της δύναμης που ασκεί το επιφανειακό στοιχείο d f. Επιλέγοντας επιφανειακά στοιχεία στα επίπεδα xy, yz, xz, βρίσκουμε ότι η συνιστώσα σ ik του τανυστή τάσης

είναι η i-η συνιστώσα της δύναμης που ασκείται σε μοναδιαία επιφάνεια κάθετη στον άξονα x k. Άρα, σε μια μονάδα επιφάνειας κάθετη στον άξονα x, κάθετη προς

της (κατευθυνόμενη κατά μήκος του άξονα x) δύναμη σ xx και εφαπτομενική (κατευθυνόμενη κατά μήκος των αξόνων y και z)

δυνάμεις σ yx και σ zx.

Σημειώστε ότι η δύναμη που ασκείται από τις εσωτερικές τάσεις σε ολόκληρη την επιφάνεια του σώματος, σε αντίθεση με το (4.7), είναι:

− ∫ σ ik df k .

Καταγράφοντας τη στιγμή των δυνάμεων M ik που δρουν σε έναν ορισμένο όγκο του σώματος, με τη μορφή:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

και απαιτώντας να εκφράζεται ως ολοκλήρωμα μόνο στην επιφάνεια, παίρνουμε ότι ο τανυστής τάσης είναι συμμετρικός:

σ ik = σ ki .

Ένα παρόμοιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί με απλούστερο τρόπο [Sivukhin, 1974, σελ. 383]. Και συγκεκριμένα. Η ροπή dM ik είναι ευθέως ανάλογη με τη ροπή αδράνειας του στοιχειώδους

όγκος dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 και, επομένως, λαμβάνουμε (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, που αυτόματα συνεπάγεται τη σχέση (4.8).

Η συμμετρία του τανυστή τάσης επιτρέπει να φέρεται στους κύριους άξονες σε κάθε σημείο, δηλ. σε κάθε σημείο ο τανυστής τάσης μπορεί να παριστάνεται ως:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

Σε κατάσταση ισορροπίας, οι εσωτερικές δυνάμεις καταπόνησης πρέπει να αντισταθμίζονται αμοιβαία σε κάθε στοιχείο του όγκου του σώματος, δηλ. θα πρέπει να είναι F i = 0 . Οι εξισώσεις λοιπόν

η ισορροπία ενός παραμορφωμένου σώματος έχει τη μορφή:

∂ σ ik = 0 .

∂xk

Εάν το σώμα βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας, τότε το άθροισμα F + ρ g των δυνάμεων εσωτερικής τάσης F και η δύναμη της βαρύτητας ρ g που δρα ανά μονάδα όγκου θα πρέπει να εξαφανιστούν, ρ -

πυκνότητα σώματος, g – διάνυσμα επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης. Οι εξισώσεις ισορροπίας σε αυτή την περίπτωση έχουν τη μορφή:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

Ενέργεια καταπόνησης

Ας εξετάσουμε κάποιο παραμορφωμένο σώμα και ας υποθέσουμε ότι η παραμόρφωσή του αλλάζει με τέτοιο τρόπο ώστε το διάνυσμα παραμόρφωσης u i να μεταβάλλεται κατά ένα μικρό ποσό δ u i .

Ας προσδιορίσουμε το έργο που παράγεται από τις εσωτερικές δυνάμεις πίεσης. Πολλαπλασιάζοντας τη δύναμη (4.6) με μετατόπιση δ u i και ολοκληρώνοντας σε όλο τον όγκο του σώματος, παίρνουμε:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σικ	δ ui dV .

Το σύμβολο δ R υποδηλώνει το έργο των εσωτερικών δυνάμεων τάσης ανά μονάδα όγκου του σώματος. Ολοκληρώνοντας ανά μέρη, θεωρώντας ένα απεριόριστο μέσο που δεν παραμορφώνεται στο άπειρο, κατευθύνοντας την επιφάνεια ολοκλήρωσης στο άπειρο, τότε σε αυτήν σ ik = 0, λαμβάνουμε:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Έτσι βρίσκουμε:

δ R = − σ ikδ u ik .

Ο προκύπτων τύπος καθορίζει το έργο της αλλαγής του τανυστή παραμόρφωσης, ο οποίος καθορίζει την αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια του σώματος.

Ρωσικό Κρατικό Πανεπιστήμιο

πετρέλαιο και φυσικό αέριο που πήρε το όνομά του. I.M.Gubkina

Τμήμα Τεχνικής Μηχανικής

ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ

«Θεωρία ελαστικότητας»

Συμπλήρωσε: Polyakov A. A.

Έλεγχος: Evdokimov A.P.

Μόσχα 2011

θεωρία εξίσωση ελαστικότητας

1. Εισαγωγή

Θεωρία καταστάσεων τάσης-παραμόρφωσης σε σημείο σώματος

2.1 Θεωρία του στρες

2 Θεωρία παραμόρφωσης

3 Σχέση τάσης και παραμόρφωσης για ελαστικά σώματα

Βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας. Τύποι προβλημάτων στη θεωρία ελαστικότητας

1 Βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας

2 Τύποι προβλημάτων στη θεωρία ελαστικότητας

4 Εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας στις μετατοπίσεις (Εξισώσεις Lame)

Μεταβλητές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας

1 Η αρχή των πιθανών κινήσεων (αρχή Lagrange)

2 Η αρχή των πιθανών καταστάσεων (αρχή του Castillano)

3 Σχέση μεταξύ της ακριβούς λύσης και των λύσεων που λαμβάνονται με βάση τις αρχές των Lagrange και Castigliano

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

1. Εισαγωγή

Οι θεωρίες του στρες και της καταπόνησης δημιουργήθηκαν από τον O. Cauchy. Εκτίθενται σε μια εργασία που παρουσιάστηκε στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού το 1822, μια περίληψη της οποίας δημοσιεύτηκε το 1823 και μια σειρά από μεταγενέστερα άρθρα. Ο O. Cauchy εξήγαγε τρεις εξισώσεις ισορροπίας για ένα στοιχειώδες τετράεδρο, απέδειξε τον νόμο του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων, εισήγαγε τις έννοιες των κύριων αξόνων και των κύριων τάσεων και εξήγαγε εξισώσεις διαφορικής ισορροπίας (συνήθως δεν παράγονται στην πορεία για την αντοχή των υλικών) . Εισήγαγε επίσης την επιφάνεια των κανονικών τάσεων (τετραγωνικό Cauchy), στην οποία βρίσκονται τα άκρα των διανυσμάτων ακτίνας, οι κατευθύνσεις των οποίων συμπίπτουν με την κατεύθυνση των κανονικών προς τις περιοχές και η τιμή είναι αντιστρόφως ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του την απόλυτη τιμή της κανονικής τάσης σε αυτή την περιοχή, και αποδεικνύεται ότι αυτή η επιφάνεια είναι μια επιφάνεια δεύτερης τάξης με κέντρο στην αρχή. Η δυνατότητα μετατροπής της επιφάνειας των κανονικών τάσεων στους κύριους άξονες υποδηλώνει την ύπαρξη σε κάθε σημείο τριών αμοιβαία κύριων κάθετων περιοχών.

Μια παρόμοια επιφάνεια εφαπτομενικών τάσεων εισήχθη από τον Ρώσο μηχανικό G.V. Kolosov το 1933

Μια γεωμετρική ερμηνεία της κατάστασης τάσης στο διάστημα με τη μορφή ελλειψοειδούς τάσης δόθηκε από τους G. Lame και B. Clapeyron στα απομνημονεύματά τους που υποβλήθηκαν στην Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού το 1828 και δημοσιεύθηκαν το 1833.

Μια γεωμετρική αναπαράσταση της κατάστασης τάσης σε ένα επίπεδο για μια σειρά περιοχών που διέρχονται από τον κύριο άξονα με τη μορφή κύκλου τάσης προτάθηκε από τον K. Kuhlmann στο βιβλίο του το 1866.

Για τη γενική περίπτωση μιας τονισμένης κατάστασης, μια πολύ σαφής γεωμετρική ερμηνεία της σε ένα επίπεδο δόθηκε από τον O. More (το λεγόμενο κυκλικό διάγραμμα του Mohr) το 1882. Από αυτήν, μπορούν να εξαχθούν ορισμένα σημαντικά συμπεράσματα για το άκρο των κύριων τάσεων, τη θέση των περιοχών στις οποίες οι εφαπτομενικές τάσεις είναι μέγιστες και περίπου τα μεγέθη αυτών των μέγιστων τάσεων.

Ο O. Cauchy έδωσε έναν ορισμό των παραμορφώσεων, εξήγαγε την εξάρτησή τους από μετατοπίσεις στη συγκεκριμένη περίπτωση μικρών παραμορφώσεων (αυτές οι εξαρτήσεις, κατά κανόνα, δεν προκύπτουν κατά τη διάρκεια της αντοχής των υλικών), όρισε τις έννοιες των κύριων τάσεων και των κύριων παραμορφώσεων , και ελήφθησαν οι εξαρτήσεις των συστατικών τάσεων από τα συστατικά παραμόρφωσης, όπως για το ισότροπο και το ανισότροπο ελαστικό σώμα. Στην αντοχή των υλικών, συνήθως καθορίζονται οι εξαρτήσεις των συστατικών της παραμόρφωσης από τις συνιστώσες τάσης για ένα ισότροπο σώμα. Ονομάζονται γενικευμένος νόμος του Χουκ, αν και, φυσικά, αυτό το όνομα είναι υπό όρους, αφού ο Ρ. Χουκ δεν γνώριζε την έννοια της έντασης.

Σε αυτές τις εξαρτήσεις, ο Cauchy εισήγαγε αρχικά δύο σταθερές και κατέγραψε τις εξαρτήσεις της τάσης από την παραμόρφωση στη μορφή

Μ, ,

Ωστόσο, αργότερα ο O. Cauchy αποδέχτηκε την έννοια του L. Navier. Σύμφωνα με αυτό, τα ελαστικά σώματα αποτελούνται από μόρια, μεταξύ των οποίων, όταν παραμορφώνονται, προκύπτουν δυνάμεις που δρουν προς τις κατευθύνσεις των ευθειών που συνδέουν τα μόρια και είναι ανάλογες με την αλλαγή των αποστάσεων μεταξύ των μορίων. Τότε ο αριθμός των ελαστικών σταθερών για τη γενική περίπτωση ενός ανισότροπου σώματος είναι 15 και για ένα ισότροπο σώμα παίρνουμε μία ελαστική σταθερά. Αυτή η υπόθεση τηρήθηκε από τον S. Poisson, και αρχικά από τους G. Lamé και B. Clapeyron. Με βάση αυτό, ο Poisson διαπίστωσε ότι ο συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης είναι 1/4.

Ο D. Green το 1839 εξήγαγε τη σχέση μεταξύ παραμορφώσεων και τάσεων χωρίς να χρησιμοποιήσει μια υπόθεση για τη μοριακή δομή των ελαστικών σωμάτων. Τα έλαβε με βάση την αρχή της διατήρησης της ενέργειας, εισάγοντας την έννοια του ελαστικού δυναμικού και έδειξε ότι όταν χρησιμοποιούνται γραμμικές εξαρτήσεις έξι συστατικών παραμόρφωσης σε έξι συνιστώσες τάσης, από τους 36 συντελεστές, οι 21 είναι ανεξάρτητοι, δηλ. στη γενική περίπτωση ένα ανισότροπο σώμα, ο αριθμός των ελαστικών σταθερών είναι 21 Για ένα ισότροπο σώμα, ο αριθμός των ελαστικών σταθερών μειώνεται σε δύο. Η θεωρία στην οποία ο αριθμός των ελαστικών σταθερών για ένα ανισότροπο σώμα είναι ίσος με 15, και για ένα ισότροπο σώμα 1, μερικές φορές ονομαζόταν «σπάνια σταθερά» ή «μονοσταθερή» και η θεωρία στην οποία ο αριθμός των ελαστικών σταθερών για ένα ανισότροπο σώμα είναι ίσο με 21, και για ένα ισότροπο σώμα 2 - "πολυσταθερό" .

Η διαμάχη μεταξύ των υποστηρικτών αυτών των θεωριών ώθησε τους φυσικούς να πραγματοποιήσουν πειραματική έρευνα.

Ο G. Wertheim, με βάση τις μετρήσεις των εσωτερικών όγκων γυάλινων και μεταλλικών σωλήνων υπό αξονική τάση, διαπίστωσε το 1848 ότι ο συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης δεν είναι ίσος με 1/4. Θεώρησε ότι είναι διαφορετικό για διαφορετικά υλικά, αλλά για πολλά υλικά κοντά στο 1/3.

ΚΑΙ ΕΓΩ. Ο Kupfer, δοκιμάζοντας μεταλλικές ράβδους σε τάση και στρέψη το 1853, διαπίστωσε επίσης ότι ο λόγος των συντελεστών διάτμησης και τάσης δεν αντιστοιχεί στην τιμή εγκάρσιας παραμόρφωσης, ίση με 1/4.

Το 1855, ο F. Neumann δοκίμασε δείγματα ορθογώνιας διατομής για κάμψη και μέτρησε τις γωνίες περιστροφής των δύο όψεων της δοκού (η διατομή παίρνει τραπεζοειδές σχήμα). Ως αποτέλεσμα, έδειξε ότι ο συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης δεν είναι ίσος με 1/4. Ο G. Kirchhoff, μαθητής του F. Neumann, κατέληξε στο ίδιο συμπέρασμα με βάση δοκιμές που έγιναν το 1859 σε συνδυασμένη κάμψη και στρέψη στρογγυλών ορειχάλκινων ράβδων, ενσωματωμένων στο ένα άκρο και φορτωμένων στο άλλο με συγκεντρωμένη δύναμη, μετρώντας η γωνία περιστροφής της ράβδου και η γωνία περιστροφής του τμήματος .

Μια μεγάλη πειραματική μελέτη συντελεστών εγκάρσιας παραμόρφωσης για διάφορους τύπους χάλυβα πραγματοποιήθηκε από έναν από τους μαθητές του G. Kirchhoff M.F. Okatov το 1865 - 1866 Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη διδακτορική του διατριβή Δοκιμές στρέψης και κάμψης λεπτών πρισμάτων κομμένων από μονοκρυστάλλους, καθώς και δοκιμές συμπιεστότητας κρυστάλλων υπό ομοιόμορφη συμπίεση πραγματοποιήθηκαν από τον W. Voigt και περιγράφηκαν στα πολυάριθμα άρθρα του, που συντάχθηκαν αργότερα στο ένα βιβλίο που εκδόθηκε το 1910 Επιβεβαίωσαν την ορθότητα της θεωρίας των πολλαπλών σταθερών.

Μια σε βάθος μελέτη της μαθηματικής δομής του νόμου του Χουκ για τα ανισότροπα σώματα πραγματοποιήθηκε από τον μηχανικό και μηχανικό Jan Rychlewski το 1984 με βάση την έννοια της ελαστικής κατάστασης που εισήγαγε. Συγκεκριμένα, έδειξε ότι οι 21 ελαστικές σταθερές αντιπροσωπεύουν έξι πραγματικούς συντελεστές ακαμψίας, 12 διανομείς ακαμψίας και τρεις γωνίες.

2. Θεωρία κατάστασης τάσης-παραμόρφωσης σε σημείο του σώματος

1 Θεωρία του στρες

Οι εσωτερικοί παράγοντες δύναμης που προκύπτουν όταν φορτώνεται ένα ελαστικό σώμα χαρακτηρίζουν την κατάσταση ενός συγκεκριμένου τμήματος του σώματος, αλλά δεν απαντούν στο ερώτημα ποιο σημείο της διατομής είναι το πιο φορτισμένο ή, όπως λένε, το επικίνδυνο σημείο. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη κάποια πρόσθετη ποσότητα που χαρακτηρίζει την κατάσταση του σώματος σε ένα δεδομένο σημείο.

Εάν ένα σώμα στο οποίο ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις βρίσκεται σε ισορροπία, τότε σε οποιοδήποτε τμήμα του προκύπτουν δυνάμεις εσωτερικής αντίστασης. Ας υποδηλώσουμε με την εσωτερική δύναμη που ενεργεί σε μια στοιχειώδη περιοχή και την κανονική σε αυτήν την περιοχή μέχρι τότε την ποσότητα

ονομάζεται συνολική τάση.

Στη γενική περίπτωση, η συνολική τάση δεν συμπίπτει προς την κατεύθυνση με την κανονική προς τη στοιχειώδη περιοχή, επομένως είναι πιο βολικό να λειτουργεί με τα στοιχεία της κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων -

Εάν η εξωτερική κανονική συμπίπτει με οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων, για παράδειγμα, με τον άξονα Χ, τότε οι συνιστώσες της τάσης θα λάβουν τη μορφή: η συνιστώσα αποδεικνύεται κάθετη στο τμήμα και ονομάζεται κανονική τάση και οι συνιστώσες θα βρίσκονται στο επίπεδο διατομής και ονομάζονται εφαπτομενικές τάσεις.

Για την εύκολη διάκριση μεταξύ κανονικών και εφαπτομενικών τάσεων, συνήθως χρησιμοποιούνται άλλοι χαρακτηρισμοί: - κανονική τάση, - εφαπτομενική τάση.

Ας επιλέξουμε από ένα σώμα υπό τη δράση εξωτερικών δυνάμεων ένα απειροελάχιστο παραλληλεπίπεδο, οι ακμές του οποίου είναι παράλληλες με τα επίπεδα συντεταγμένων και οι ακμές έχουν μήκος . Σε κάθε όψη ενός τέτοιου στοιχειώδους παραλληλεπίπεδου υπάρχουν τρεις συνιστώσες τάσης παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Συνολικά, έχουμε 18 στοιχεία πίεσης σε έξι όψεις.

Οι κανονικές τάσεις υποδηλώνονται με τη μορφή , όπου ο δείκτης υποδηλώνει την κανονική στην αντίστοιχη όψη (δηλαδή, μπορεί να πάρει τιμές). Οι εφαπτομενικές τάσεις έχουν τη μορφή ; Εδώ ο πρώτος δείκτης αντιστοιχεί στην κανονική στην περιοχή στην οποία δρα αυτή η διατμητική τάση και ο δεύτερος δείχνει τον παράλληλο άξονα στον οποίο κατευθύνεται αυτή η τάση (Εικ. 1).

Εικ.1. Κανονικές και διατμητικές τάσεις

Για αυτές τις τάσεις, υιοθετείται ο ακόλουθος κανόνας πρόσημου. Το κανονικό στρες θεωρείται θετικό στην τάση, ή, το ίδιο, όταν συμπίπτει με την κατεύθυνση του εξωτερικού κανονικού προς την περιοχή στην οποία δρα. Η διατμητική τάση θεωρείται θετική εάν, σε μια περιοχή της οποίας η κανονική συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων που είναι παράλληλη προς αυτήν, κατευθύνεται προς τον άξονα θετικών συντεταγμένων που αντιστοιχεί σε αυτήν την τάση.

Οι συνιστώσες τάσης είναι συναρτήσεις τριών συντεταγμένων. Για παράδειγμα, η κανονική τάση σε ένα σημείο με συντεταγμένες μπορεί να υποδηλωθεί

Σε ένα σημείο που βρίσκεται σε απειροελάχιστη απόσταση από το υπό εξέταση σημείο, η τάση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor με ακρίβεια μέχρι απειροελάχιστα πρώτης τάξης:

Για περιοχές που είναι παράλληλες στο επίπεδο, αλλάζει μόνο η συντεταγμένη x και οι προσαυξήσεις. Επομένως, στην όψη του παραλληλεπίπεδου που συμπίπτει με το επίπεδο, η κανονική τάση θα είναι , και στην παράλληλη όψη, που βρίσκεται σε απειροελάχιστη απόσταση, - Οι τάσεις στις υπόλοιπες παράλληλες όψεις του παραλληλεπίπεδου σχετίζονται με παρόμοιο τρόπο. Επομένως, από τα 18 εξαρτήματα τάσης, μόνο τα εννέα είναι άγνωστα.

Στη θεωρία της ελαστικότητας, αποδεικνύεται ο νόμος του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων, σύμφωνα με τον οποίο, σε δύο αμοιβαία κάθετες περιοχές, οι συνιστώσες των εφαπτομενικών τάσεων που είναι κάθετες στη γραμμή τομής αυτών των περιοχών είναι ίσες μεταξύ τους:

Οι ισότητες (2) οδηγούν στο γεγονός ότι από τα εννέα συστατικά στρες που χαρακτηρίζουν την καταπονημένη κατάσταση σε ένα σημείο του σώματος, παραμένουν μόνο έξι:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι το στρες (3) όχι μόνο χαρακτηρίζει την καταπονημένη κατάσταση του σώματος σε ένα δεδομένο σημείο, αλλά την ορίζει μοναδικά. Ο συνδυασμός αυτών των τάσεων σχηματίζει μια συμμετρική μήτρα, η οποία ονομάζεται τανυστής τάσης:

(4)

Όταν ένας τανυστής πολλαπλασιάζεται με μια κλιμακωτή ποσότητα, προκύπτει ένας νέος τανυστής, του οποίου όλα τα συστατικά είναι φορές μεγαλύτερα από τα συστατικά του αρχικού τανυστή.

2 Θεωρία παραμόρφωσης

Υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων, ένα ελαστικό σώμα αλλάζει σχήμα και παραμορφώνεται. Σε αυτή την περίπτωση, τα σημεία του σώματος παίρνουν κάποια νέα θέση. Για να προσδιορίσουμε την παραμόρφωση ενός ελαστικού σώματος, συγκρίνουμε τις θέσεις των σημείων του σώματος πριν και μετά την εφαρμογή του φορτίου.

Ας εξετάσουμε το σημείο του μη φορτωμένου σώματος και τη νέα του θέση μετά την εφαρμογή του φορτίου. Το διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα μετατόπισης σημείου (Εικ. 2).

Εικ.2. Διάνυσμα κίνησης σημείου

Δύο τύποι κινήσεων είναι δυνατοί: κίνηση ολόκληρου του σώματος ως ενιαίου συνόλου χωρίς παραμόρφωση - τέτοιες κινήσεις μελετώνται από τη θεωρητική μηχανική ως κινήσεις ενός απολύτως άκαμπτου σώματος και κίνηση που σχετίζεται με παραμόρφωση του σώματος - τέτοιες κινήσεις μελετώνται από τη θεωρία της ελαστικότητας.

Ας υποδηλώσουμε τις προβολές του διανύσματος μετατόπισης του σημείου στους άξονες συντεταγμένων με, αντίστοιχα. Είναι ίσα με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων και :

και είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων:

Η παραμόρφωση ενός σώματος προκαλείται από διαφορές στις κινήσεις των διαφόρων σημείων του. Ένας απειροελάχιστος παραλληλεπίπεδος με άκρες κομμένες από ελαστικό σώμα κοντά σε αυθαίρετο σημείο, λόγω διαφόρων κινήσεων των σημείων του, παραμορφώνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να αλλάζει το μήκος των άκρων του και να παραμορφώνονται οι αρχικά ορθές γωνίες μεταξύ των όψεων.

Το σχήμα 3.3 δείχνει δύο άκρες αυτού του παραλληλεπίπεδου: και το μήκος του άκρου είναι ίσο με και το μήκος του άκρου είναι

Μετά την παραμόρφωση, τα σημεία παίρνουν μια θέση.Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο θα λάβει μια μετατόπιση, τα στοιχεία του οποίου στο επίπεδο σχεδίασης είναι ίσα, και ένα σημείο που βρίσκεται σε απειροελάχιστη απόσταση από το σημείο θα λάβει μια μετατόπιση, τα συστατικά του που θα διαφέρει από τις συνιστώσες της μετατόπισης του σημείου κατά ένα απειροελάχιστο ποσό λόγω αλλαγής συντεταγμένων

Εικ.3. Γραμμικές και γωνιακές παραμορφώσεις

Οι συνιστώσες της κίνησης του σημείου θα διαφέρουν από τις συνιστώσες της κίνησης του σημείου κατά ένα απειροελάχιστο ποσό λόγω αλλαγής της συντεταγμένης

Μήκος προβολής νευρώσεων στον άξονα μετά από παραμόρφωση:

Προβολή της απόλυτης επιμήκυνσης της νεύρωσης στον άξονα

Σχετική επιμήκυνση κατά μήκος του άξονα

(6)

ονομάζεται γραμμική παραμόρφωση προς την κατεύθυνση του άξονα.

Γραμμικές παραμορφώσεις κατά τις κατευθύνσεις των αξόνων και

(7)

Ας εξετάσουμε τη μεταβολή των γωνιών μεταξύ των άκρων του παραλληλεπίπεδου (Εικ. 3). Εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής της νεύρωσης στο επίπεδο

Λόγω της μικρότητας των παραμορφώσεων a, η γραμμική παραμόρφωση μπορεί να αγνοηθεί λόγω της μικρότητάς της σε σύγκριση με τη μονάδα, και στη συνέχεια

Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να προσδιορίσετε τη γωνία περιστροφής της άκρης στο ίδιο επίπεδο:

Η παραμόρφωση μιας ορθής γωνίας ονομάζεται γωνιακή παραμόρφωση και ορίζεται ως το άθροισμα των γωνιών περιστροφής των νευρώσεων και:

(8)

Με τον ίδιο τρόπο, οι γωνιακές παραμορφώσεις προσδιορίζονται σε δύο άλλα επίπεδα συντεταγμένων:

(9)

Οι τύποι (6)-(9) δίνουν έξι κύριες εξαρτήσεις για γραμμικές και γωνιακές παραμορφώσεις στις συνιστώσες μετατόπισης. Αυτές οι εξαρτήσεις ονομάζονται εξισώσεις Cauchy:

(10)

Στο όριο, όταν τα μήκη των άκρων του παραλληλεπίπεδου τείνουν στο μηδέν, οι σχέσεις Cauchy καθορίζουν τις γραμμικές και γωνιακές παραμορφώσεις στην περιοχή του σημείου

Οι θετικές γραμμικές παραμορφώσεις αντιστοιχούν σε επιμηκύνσεις και οι αρνητικές γραμμικές παραμορφώσεις αντιστοιχούν σε βράχυνση. Η γωνία μετατόπισης θεωρείται θετική όταν η γωνία μεταξύ των θετικών κατευθύνσεων των αντίστοιχων αξόνων συντεταγμένων μειώνεται και αρνητική διαφορετικά.

Παρόμοια με τον τανυστή τάσης, η παραμορφωμένη κατάσταση ενός σώματος σε ένα δεδομένο σημείο περιγράφεται από τον τανυστή τάσης

(11)

Όπως ο τανυστής τάσης, ο τανυστής τάσης είναι ένας συμμετρικός πίνακας που περιέχει εννέα συστατικά, έξι από τα οποία είναι διαφορετικά.

2.3 Σχέση τάσης και παραμόρφωσης για ελαστικά σώματα

Οι σχέσεις μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων είναι φυσικής φύσης. Περιορίζοντας τον εαυτό του σε μικρές παραμορφώσεις, η σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης μπορεί να θεωρηθεί γραμμική.

Κατά τη δοκιμή μιας ράβδου για τάνυση (η μηχανική δοκιμή υλικών θα συζητηθεί λεπτομερώς στην επόμενη ενότητα), δημιουργείται μια αναλογική σχέση μεταξύ της κανονικής τάσης και της γραμμικής παραμόρφωσης προς μία κατεύθυνση, η οποία ονομάζεται νόμος του Hooke:

όπου η σταθερά ελαστικότητας ονομάζεται διαμήκης συντελεστής ελαστικότητας.

Χρησιμοποιώντας την ίδια πειραματική μέθοδο, δημιουργήθηκε μια σύνδεση μεταξύ γραμμικών παραμορφώσεων στη διαμήκη και εγκάρσια διεύθυνση:

όπου είναι η γραμμική παραμόρφωση στην εγκάρσια διεύθυνση, είναι η δεύτερη ελαστική σταθερά, που ονομάζεται λόγος Poisson.

Σε μηχανικές δοκιμές για καθαρή διάτμηση, καθιερώθηκε μια ευθέως ανάλογη σχέση μεταξύ της διατμητικής τάσης και της γωνιακής παραμόρφωσης στο επίπεδο δράσης αυτής της τάσης, η οποία ονομάστηκε νόμος του Hooke στη διάτμηση:

όπου η ποσότητα είναι η τρίτη σταθερά ελαστικότητας και ονομάζεται μέτρο διάτμησης. Ωστόσο, αυτή η ελαστική σταθερά δεν είναι ανεξάρτητη, γιατί που σχετίζονται με τις δύο πρώτες εξαρτήσεις

Για να καθορίσουμε τη σχέση μεταξύ παραμορφώσεων και τάσεων, επιλέγουμε ένα απειροελάχιστο παραλληλεπίπεδο από το σώμα (Εικ. 1) και εξετάζουμε την επίδραση μόνο των κανονικών τάσεων. οδηγεί σε παραμορφώσεις υψηλότερης τάξης μικρότητας.

Ας προσδιορίσουμε την επιμήκυνση της νεύρωσης παράλληλα με την τάση. Κάτω από τη δράση αυτής της τάσης, σύμφωνα με το νόμο του Hooke (3.12), θα προκύψει σχετική επιμήκυνση της νεύρωσης

Η τάση προκαλεί παρόμοια επιμήκυνση στην κατεύθυνση κάθετη προς τη νεύρωση

και προς την κατεύθυνση της άκρης - βράχυνση, που σύμφωνα με το (13) είναι

ή, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση παραμόρφωσης

Η σχετική βράχυνση της πλευράς υπό την επίδραση της τάσης προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο

Με βάση την αρχή της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων, η συνολική σχετική επιμήκυνση της νεύρωσης μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα των επιμηκύνσεων που οφείλονται στη δράση κάθε τάσης:

Ομοίως, γραμμικές παραμορφώσεις μπορούν να προσδιοριστούν στις κατευθύνσεις των άλλων δύο αξόνων:

Σύμφωνα με τον νόμο του Hooke στη διάτμηση (14), η σχέση μεταξύ γωνιακών παραμορφώσεων και τάσεων διάτμησης μπορεί να αναπαρασταθεί ανεξάρτητα για καθένα από τα τρία επίπεδα παράλληλα στα επίπεδα συντεταγμένων:

Έτσι, έχουν ληφθεί έξι τύποι που εκφράζουν τη γραμμική σχέση μεταξύ των συνιστωσών της παραμόρφωσης και της τάσης σε ένα ισότροπο ελαστικό σώμα και ονομάζονται γενικευμένος νόμος του Hooke:

(16)

3. Βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας. Τύποι προβλημάτων στη θεωρία ελαστικότητας

Το κύριο καθήκον της θεωρίας της ελαστικότητας είναι να προσδιορίσει την κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης σύμφωνα με τις δεδομένες συνθήκες φόρτισης και στερέωσης του σώματος.

Η κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης προσδιορίζεται εάν βρεθούν οι συνιστώσες του τανυστή (των) τάσης και του διανύσματος μετατόπισης, εννέα συναρτήσεις.

3.1 Βασικές εξισώσεις θεωρίας ελαστικότητας

Για να βρείτε αυτές τις εννέα συναρτήσεις, πρέπει να γράψετε τις βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας ή:

Διαφορικά Cauchies

(17)

πού βρίσκονται οι συνιστώσες του τανυστή του γραμμικού τμήματος των παραμορφώσεων Cauchy;

συνιστώσες του τανυστή της παραγώγου μετατόπισης κατά μήκος της ακτίνας.

Διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας

πού βρίσκονται τα στοιχεία του τανυστή τάσης; - προβολή της δύναμης του σώματος στον άξονα j.

Ο νόμος του Hooke για ένα γραμμικά ελαστικό ισότροπο σώμα

πού είναι οι σταθερές Lame; για ένα ισότροπο σώμα. Εδώ είναι κανονικές και διατμητικές τάσεις. παραμορφώσεις και γωνίες διάτμησης, αντίστοιχα.

Οι παραπάνω εξισώσεις πρέπει να ικανοποιούν τις εξαρτήσεις του Saint-Venant

Στη θεωρία της ελαστικότητας το πρόβλημα λύνεται αν ικανοποιηθούν όλες οι βασικές εξισώσεις.

2 Τύποι προβλημάτων στη θεωρία ελαστικότητας

Οι οριακές συνθήκες στην επιφάνεια του σώματος πρέπει να ικανοποιούνται και, ανάλογα με τον τύπο των οριακών συνθηκών, διακρίνονται τρία είδη προβλημάτων στη θεωρία της ελαστικότητας.

Πρώτος τύπος. Δίνονται δυνάμεις στην επιφάνεια του σώματος. Συνοριακές συνθήκες

Δεύτερος τύπος. Προβλήματα στα οποία η μετατόπιση καθορίζεται στην επιφάνεια του σώματος. Συνοριακές συνθήκες

Τρίτου τύπου. Μικτά προβλήματα θεωρίας ελαστικότητας. Οι δυνάμεις καθορίζονται σε μέρος της επιφάνειας του σώματος και η μετατόπιση καθορίζεται σε μέρος της επιφάνειας του σώματος. Συνοριακές συνθήκες

Τα προβλήματα στα οποία προσδιορίζονται δυνάμεις ή μετατοπίσεις στην επιφάνεια ενός σώματος και απαιτείται να βρεθεί η κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης μέσα στο σώμα και ό,τι δεν προσδιορίζεται στην επιφάνεια, ονομάζονται άμεσα προβλήματα. Εάν προσδιορίζονται τάσεις, παραμορφώσεις, μετατοπίσεις κ.λπ. μέσα στο σώμα, και πρέπει να προσδιορίσετε τι δεν καθορίζεται μέσα στο σώμα, καθώς και μετατοπίσεις και τάσεις στην επιφάνεια του σώματος (δηλαδή, βρείτε τους λόγους που προκάλεσαν τέτοια κατάσταση τάσης-παραμόρφωσης)), τότε τέτοια προβλήματα ονομάζονται αντίστροφα.

4 Εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας στις μετατοπίσεις (Εξισώσεις Lame)

Για να προσδιορίσουμε τις εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας στις μετατοπίσεις, γράφουμε: διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας (18) Ο νόμος του Hooke για ένα γραμμικά ελαστικό ισότροπο σώμα (19)

Αν λάβουμε υπόψη ότι οι παραμορφώσεις εκφράζονται μέσω μετατοπίσεων (17), γράφουμε:

Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε ότι η γωνία διάτμησης σχετίζεται με τις μετατοπίσεις με την ακόλουθη σχέση (17):

(23)

Αντικαθιστώντας την έκφραση (22) στην πρώτη εξίσωση των ισοτήτων (19), λαμβάνουμε ότι οι κανονικές τάσεις

(24)

Σημειώστε ότι η γραφή itz σε αυτή την περίπτωση δεν συνεπάγεται άθροιση πάνω από i.

Αντικαθιστώντας την έκφραση (23) στη δεύτερη εξίσωση των ισοτήτων (19), λαμβάνουμε ότι οι διατμητικές τάσεις

(25)

Ας γράψουμε τις εξισώσεις ισορροπίας (18) σε διευρυμένη μορφή για j = 1

(26)

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για κανονικές (24) και εφαπτομενικές (25) τάσεις στην εξίσωση (26), λαμβάνουμε

όπου λ είναι η σταθερά Lame, η οποία καθορίζεται από την έκφραση:

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση (28) στην εξίσωση (27) και γράψουμε,

όπου προσδιορίζεται από την έκφραση (22), ή σε διευρυμένη μορφή

Ας διαιρέσουμε την έκφραση (29) με το G και ας προσθέσουμε παρόμοιους όρους και πάρουμε την πρώτη εξίσωση Lame:

(30)

όπου είναι ο τελεστής Laplace (αρμονικός τελεστής), ο οποίος ορίζεται ως

(31)

Ομοίως μπορείτε να πάρετε:

(32)

Οι εξισώσεις (30) και (32) μπορούν να γραφούν ως εξής:

(33)

Οι εξισώσεις (33) ή (30) και (32) είναι εξισώσεις Lamé. Αν οι δυνάμεις όγκου είναι μηδενικές ή σταθερές, τότε

(34)

Επιπλέον, η σημείωση σε αυτή την περίπτωση δεν συνεπάγεται άθροιση πάνω από i. Εδώ

Μπορεί να αποδειχθεί ότι μια τέτοια αναπαράσταση μετατοπίσεων μέσω μιας αρμονικής συνάρτησης μετατρέπει την εξίσωση Lame (33) σε ταυτότητα. Συχνά ονομάζονται συνθήκες Popkovich-Grodsky. Τέσσερις αρμονικές συναρτήσεις δεν είναι απαραίτητες, γιατί το φ0 μπορεί να μηδενιστεί.

4. Μεταβλητές αρχές της Θεωρίας της Ελαστικότητας.

1 Η αρχή των πιθανών κινήσεων (αρχή Lagrange)

Αρχή Lagrange. Για ένα σώμα σε ισορροπία, το έργο των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων σε οποιεσδήποτε πιθανές απειροελάχιστες αυξήσεις μετατόπισης είναι μηδέν.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Clapeyron, το οποίο για ένα ελαστικά παραμορφωμένο σώμα μεταβάλλοντας τη μετατόπιση, λαμβάνουμε την αρχή Lagrange

Στη μηχανική των παραμορφώσιμων σωμάτων, πιθανές κινήσεις είναι αυτές που ικανοποιούν τους εξωτερικούς και εσωτερικούς περιορισμούς που επιβάλλονται στο σώμα.

Οι εξωτερικές συνδέσεις είναι οι συνθήκες στερέωσης, οι εσωτερικές συνδέσεις είναι η προϋπόθεση της συνέχειας.

Για να ικανοποιηθούν οι εσωτερικές συνδέσεις, είναι απαραίτητο οι αυξήσεις μετατόπισης να είναι συνεχείς συναρτήσεις μιας τιμής των συντεταγμένων.

Σε αυτή τη μορφή, η αρχή του Lagrange ισχύει για κάθε παραμορφώσιμο σώμα.

Για ελαστικά σώματα βρέθηκε ότι

(41)

Στη συνέχεια, το (40), λαμβάνοντας υπόψη το (41), θα γραφεί ως

(42)

όπου W είναι το συγκεκριμένο στέλεχος, και

Εδώ U είναι η διακύμανση της συνολικής δυναμικής ενέργειας του σώματος.

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση (43) με την (42) και επειδή οι δυνάμεις δεν μεταβάλλονται, γράφουμε ότι

(44)

Η εξίσωση (44) είναι η μεταβλητή εξίσωση του Lagrange.

Εάν οι δυνάμεις είναι συντηρητικές, τότε τα δύο πρώτα ολοκληρώματα αντιπροσωπεύουν τη μεταβολή του δυναμικού των εξωτερικών δυνάμεων κατά τη μετάβαση από μια απαραμόρφωτη κατάσταση σε μια παραμορφωμένη.

Δυνατότητα εξωτερικών δυνάμεων

(45)

όπου - το πιθανό έργο των εξωτερικών δυνάμεων κατά τη μετάβαση από μια μη παραμορφωμένη σε μια παραμορφωμένη κατάσταση υπολογίζεται με την υπόθεση ότι οι εξωτερικές δυνάμεις παραμένουν αμετάβλητες. Η συνολική ενέργεια του συστήματος

Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις (44) - (46), η αρχή Lagrange θα γραφεί:

δηλαδή η διακύμανση της συνολικής ενέργειας του συστήματος στη θέση ισορροπίας σε πιθανές μετατοπίσεις είναι μηδέν. Η έκφραση (47) είναι η μεταβλητή εξίσωση του Lagrange στην περίπτωση της δράσης μόνο συντηρητικών δυνάμεων.

Σε μια σταθερή θέση ισορροπίας, η συνολική ενέργεια P είναι ελάχιστη,

Η αρχή του Lagrange είναι η αρχή της ελάχιστης ενέργειας.

2 Η αρχή των πιθανών καταστάσεων (αρχή του Castillano)

Πιθανές καταστάσεις θα ονομάσουμε αυτές που είναι σύμφωνες με εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις, δηλαδή αυτές που ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας.

Η εξίσωση (57) γράφει την Αρχή του Καστιλιάνο. Με πιθανές αλλαγές στην καταπονημένη κατάσταση του σώματος, η διακύμανση είναι ίση με το ολοκλήρωμα σε εκείνο το τμήμα της επιφάνειας του σώματος στο οποίο προσδιορίζονται μετατοπίσεις από τα προϊόντα πιθανών επιφανειακών δυνάμεων και μετατοπίσεων.

3 Σχέση μεταξύ της ακριβούς λύσης και των λύσεων που λαμβάνονται με βάση τις αρχές των Lagrange και Castigliano

Με βάση την αρχή Lagrange, επιλέγοντας κάποιες λειτουργίες, ή ένα σύνολο από αυτές, και εφόσον το σύνολο των συναρτήσεων είναι περιορισμένο, λαμβάνουμε μικρότερο αριθμό βαθμών ελευθερίας του συστήματος, μειώνοντας έτσι τους βαθμούς ελευθερίας του σχεδίου. Δηλαδή, με την ενεργειακή έννοια, η λύση αποδεικνύεται πιο σκληρή από την ακριβή.

Αν πάρουμε ακέραια χαρακτηριστικά, τότε η κατά προσέγγιση λύση είναι πιο άκαμπτη.

Κατά την επίλυση του προβλήματος της φόρτισης μιας απλά υποστηριζόμενης δοκού με εγκάρσια δύναμη στο μέσο του ανοίγματος (Εικ. 1), η κατά προσέγγιση λύση θα δώσει λιγότερη μετατόπιση υπό τη δύναμη από ό,τι με την ακριβή λύση.

ακριβής λύση

Κατά την επίλυση του ίδιου προβλήματος χρησιμοποιώντας την αρχή της μεταβλητής του Castigliano, εφόσον δεν ικανοποιείται η συνθήκη συνέχειας, το σύστημα λαμβάνει μεγαλύτερη ελευθερία από ό,τι στην πραγματικότητα.

Η ακριβής λύση βρίσκεται ανάμεσα σε αυτές τις δύο κατά προσέγγιση μεθόδους (Lagrange και Castigliano). Μερικές φορές η διαφορά μεταξύ των λυμάτων που λαμβάνονται είναι μικρή.

5. Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Βασικές αρχές της θεωρίας ελαστικότητας και πλαστικότητας. 400 σελ. Ανώτατο σχολείο. 1990.

2. Veretimus D.K. Βασικές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας Μέρος Ι. Θεωρία τάσεων Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για το μάθημα «Βασικές αρχές της θεωρίας ελαστικότητας και πλαστικότητας». 2005.-37s.

Veretimus D.K. Βασικές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας Μέρος ΙΙ. Θεωρία παραμορφώσεων. Σχέση καταστάσεων καταπόνησης και παραμόρφωσης Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για το μάθημα «Βασικές αρχές της θεωρίας ελαστικότητας και πλαστικότητας», 2005.-53 σελ.

Veretimus D.K. Βασικές αρχές της θεωρίας της ελαστικότητας Μέρος ΙΙΙ Βασικές εξισώσεις της θεωρίας της ελαστικότητας Τύποι προβλημάτων στη θεωρία της ελαστικότητας Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για το μάθημα «Βασικές αρχές της θεωρίας ελαστικότητας και πλαστικότητας», 2005.-45 σελ.