Κανόνες υπολογισμού παραγώγων. Παράγωγος συνάρτησης 1 ορισμός παραγώγου συνάρτησης

(\large\bf Παράγωγος συνάρτησης)

Εξετάστε τη συνάρτηση y=f(x), που καθορίζεται στο διάστημα (α, β). Αφήνω Χ- οποιοδήποτε σταθερό σημείο του διαστήματος (α, β), ΕΝΑ Δx- έναν αυθαίρετο αριθμό τέτοιο ώστε η τιμή x+Δxανήκει επίσης στο διάστημα (α, β). Αυτός ο αριθμός Δxπου ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος.

Ορισμός. Αύξηση συνάρτησης y=f(x)στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, ας καλέσουμε τον αριθμό

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Πιστεύουμε ότι Δx ≠ 0. Εξετάστε σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χο λόγος της αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο προς την αντίστοιχη αύξηση του ορίσματος Δx

Θα ονομάσουμε αυτή τη σχέση σχέση διαφοράς. Δεδομένου ότι η αξία Χθεωρούμε σταθερό, ο λόγος διαφοράς είναι συνάρτηση του επιχειρήματος Δx. Αυτή η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις τιμές ορίσματος Δx, που ανήκει σε κάποια αρκετά μικρή γειτονιά του σημείου Δx=0, εκτός από το ίδιο το σημείο Δx=0. Έτσι, έχουμε το δικαίωμα να εξετάσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ορίου της καθορισμένης συνάρτησης στο Δx → 0.

Ορισμός. Παράγωγος συνάρτησης y=f(x)σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο Χονομάζεται το όριο στο Δx → 0λόγος διαφοράς, δηλαδή

Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Ονομασία. y′(x)ή f′(x).

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: Παράγωγος συνάρτησης f(x)σε αυτό το σημείο Χίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα Βόδικαι μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο:

f′(x 0) = \tgα.

Μηχανική έννοια παραγώγου: Η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σημείου:

Εξίσωση εφαπτομένης σε ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)παίρνει τη μορφή

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Η κανονική σε μια καμπύλη σε κάποιο σημείο είναι η κάθετη στην εφαπτομένη στο ίδιο σημείο. Αν f′(x 0)≠ 0, τότε η εξίσωση του κανονικού στην ευθεία y=f(x)στο σημείο M 0 (x 0 ,y 0)γράφεται ως εξής:

Η έννοια της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης

Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)ορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β), Χ- κάποια σταθερή τιμή ορίσματος από αυτό το διάστημα, Δx- οποιαδήποτε αύξηση του ορίσματος έτσι ώστε η τιμή του ορίσματος x+Δx ∈ (a, b).

Ορισμός. Λειτουργία y=f(x)ονομάζεται διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, εάν αυξάνεται Δyαυτή η λειτουργία στο σημείο Χ, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

Δy = A Δx +αΔx,

Οπου ΕΝΑ- κάποιος αριθμός ανεξάρτητος από Δx, ΕΝΑ α - συνάρτηση ορίσματος Δx, το οποίο είναι απειροελάχιστο στο Δx→ 0.

Αφού το γινόμενο δύο απειροελάχιστων συναρτήσεων αΔxείναι απειροελάχιστο υψηλότερης τάξης από Δx(ιδιότητα 3 απειροελάχιστων συναρτήσεων), τότε μπορούμε να γράψουμε:

Δy = A Δx +o(Δx).

Θεώρημα. Για τη συνάρτηση y=f(x)ήταν διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, είναι απαραίτητο και αρκετό να έχει πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο. Εν A=f′(x), αυτό είναι

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου συνήθως ονομάζεται διαφοροποίηση.

Θεώρημα. Εάν η συνάρτηση y=f(x) Χ, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.

Σχόλιο. Από τη συνέχεια της λειτουργίας y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, γενικά μιλώντας, η διαφοροποίηση της συνάρτησης δεν ακολουθεί f(x)σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=|x|- συνεχής σε ένα σημείο x=0, αλλά δεν έχει παράγωγο.

Έννοια της διαφορικής συνάρτησης

Ορισμός. Διαφορικό λειτουργίας y=f(x)λέγεται το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης και της αύξησης της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Για λειτουργία y=xπαίρνουμε dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, αυτό είναι dx=Δx- το διαφορικό μιας ανεξάρτητης μεταβλητής είναι ίσο με την αύξηση αυτής της μεταβλητής.

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Διαφορικός dyκαι αύξηση Δyλειτουργίες y=f(x)σε αυτό το σημείο Χ, και τα δύο αντιστοιχούν στην ίδια αύξηση του ορίσματος Δx, γενικά μιλώντας, δεν είναι ίσοι μεταξύ τους.

Γεωμετρική έννοια του διαφορικού: Το διαφορικό μιας συνάρτησης ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης όταν το όρισμα αυξάνεται Δx.

Κανόνες διαφοροποίησης

Θεώρημα. Αν καθεμία από τις συναρτήσεις u(x)Και v(x)διαφοροποιήσιμο σε ένα δεδομένο σημείο Χ, τότε το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αυτών των συναρτήσεων (πηλίκο με την προϋπόθεση ότι v(x)≠ 0) είναι επίσης διαφοροποιήσιμα σε αυτό το σημείο και οι τύποι ισχύουν:

Εξετάστε τη σύνθετη συνάρτηση y=f(φ(x))≡ F(x), Οπου y=f(u), u=φ(x). Σε αυτήν την περίπτωση uπου ονομάζεται ενδιάμεσο επιχείρημα, Χ - ανεξάρτητη μεταβλητή.

Θεώρημα. Αν y=f(u)Και u=φ(x)είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους, τότε η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης y=f(φ(x))υπάρχει και ισούται με το γινόμενο αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλ.

Σχόλιο. Για μια σύνθετη συνάρτηση που είναι υπέρθεση τριών συναρτήσεων y=F(f(φ(x))), ο κανόνας διαφοροποίησης έχει τη μορφή

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

πού είναι οι λειτουργίες v=φ(x), u=f(v)Και y=F(u)- διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των ορισμάτων τους.

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)αυξάνεται (ή μειώνεται) και είναι συνεχής σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0. Ας είναι, επιπλέον, αυτή η συνάρτηση διαφοροποιήσιμη στο υποδεικνυόμενο σημείο x 0και το παράγωγό του σε αυτό το σημείο f′(x 0) ≠ 0. Μετά σε κάποια γειτονιά του αντίστοιχου σημείου y 0 =f(x 0)το αντίστροφο ορίζεται για y=f(x)λειτουργία x=f -1 (y), και η υποδεικνυόμενη αντίστροφη συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο αντίστοιχο σημείο y 0 =f(x 0)και για την παράγωγή της σε αυτό το σημείο yο τύπος ισχύει

Πίνακας παραγώγων

Αμετάβλητο της μορφής του πρώτου διαφορικού

Ας εξετάσουμε το διαφορικό μιας σύνθετης συνάρτησης. Αν y=f(x), x=φ(t)- οι συναρτήσεις των ορισμάτων τους είναι διαφοροποιήσιμες, τότε η παράγωγος της συνάρτησης y=f(φ(t))εκφράζεται με τον τύπο

y′ t = y′ x x′ t.

Α-πριό dy=y′ t dt, τότε παίρνουμε

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Άρα, έχουμε αποδείξει

Ιδιότητα αμετάβλητου της μορφής του πρώτου διαφορικού μιας συνάρτησης: όπως στην περίπτωση που το επιχείρημα Χείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή και στην περίπτωση που το όρισμα Χη ίδια είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση της νέας μεταβλητής, του διαφορικού dyλειτουργίες y=f(x)ισούται με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με το διαφορικό του ορίσματος dx.

Εφαρμογή διαφορικού σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Έχουμε δείξει ότι το διαφορικό dyλειτουργίες y=f(x), γενικά μιλώντας, δεν ισούται με την προσαύξηση Δyαυτή τη λειτουργία. Ωστόσο, μέχρι μια απειροελάχιστη συνάρτηση υψηλότερης τάξης μικρότητας από Δx, ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα

Δy ≈ dy.

Ο λόγος ονομάζεται σχετικό σφάλμα της ισότητας αυτής της ισότητας. Επειδή Δy-dy=o(Δx), τότε το σχετικό σφάλμα αυτής της ισότητας γίνεται όσο μικρότερο επιθυμείται με μείωση |Δχ|.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, παίρνουμε f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxή

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα επιτρέπει με λάθος o(Δx)λειτουργία αντικατάστασης f(x)σε μια μικρή γειτονιά του σημείου Χ(δηλαδή για μικρές αξίες Δx) γραμμική συνάρτηση του ορίσματος Δx, στέκεται στη δεξιά πλευρά.

Παράγωγα υψηλότερης τάξης

Ορισμός. Δεύτερη παράγωγος (ή παράγωγος δεύτερης τάξης) μιας συνάρτησης y=f(x)λέγεται παράγωγος της πρώτης του παραγώγου.

Σημείωση για τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης y=f(x):

Μηχανική σημασία της δεύτερης παραγώγου. Εάν η συνάρτηση y=f(x)περιγράφει τον νόμο της κίνησης ενός υλικού σημείου σε ευθεία γραμμή και στη συνέχεια τη δεύτερη παράγωγο f″(x)ίση με την επιτάχυνση ενός κινούμενου σημείου τη χρονική στιγμή Χ.

Η τρίτη και η τέταρτη παράγωγος προσδιορίζονται παρόμοια.

Ορισμός. nου παράγωγο (ή παράγωγο n-η τάξη) συναρτήσεις y=f(x)λέγεται παράγωγός του n-1η παράγωγος:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Ονομασίες: y″′, y IV, y Vκαι τα λοιπά.

Βρείτε μια παράσταση για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης \(y = (e^x)\), χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου.

Λύση.

Τα αρχικά βήματα είναι τυπικά: πρώτα σημειώνουμε την αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y\), που αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Δέλτα x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Η παράγωγος υπολογίζεται ως το όριο του ο λόγος των αυξήσεων: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left((e^(\Delta x)) - 1) \δεξιά)))((\Delta x)).) \] Η συνάρτηση \(y = (e^x)\) στον αριθμητή δεν εξαρτάται από το Δ Χκαι μπορεί να ληφθεί πέρα ​​από το σύμβολο ορίου. Τότε η παράγωγος παίρνει την ακόλουθη μορφή: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Ας υποδηλώσουμε το όριο που προκύπτει με \(L\) και Υπολογίστε το ξεχωριστά. Σημειώστε παρεμπιπτόντως ότι \((e^0) = 1\) και, επομένως, μπορούμε να γράψουμε \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^ (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 )))((\ Δέλτα x)) = e"\left(0 \right),) \] δηλαδή, αυτό το όριο αντιπροσωπεύει την τιμή της παραγώγου της εκθετικής συνάρτησης στο μηδέν. Κατά συνέπεια, \ Έχουμε μια σχέση στην οποία η επιθυμητή παράγωγος εκφράζεται μέσω της ίδιας της συνάρτησης \(y = (e^x)\) και της παραγώγου της στο σημείο \(x = 0\). Ας αποδείξουμε ότι \ Για να γίνει αυτό, θυμηθείτε ότι ο αριθμός \(e\) ορίζεται με τη μορφή ενός άπειρου ορίου ως \ και ο αριθμός \(e\) στην ισχύ \(\Δέλτα x\) θα , να είναι ίσο με \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον περίφημο τύπο Διώνυμο του Νεύτωνα και αναπτύξτε την έκφραση κάτω από το limit sign in διωνυμική σειρά: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Εδώ το \((C_n^k)\) υποδηλώνει τον αριθμό των συνδυασμών των \(n\) στοιχείων με \( k\ ). Στα ευρωπαϊκά και αμερικανικά εγχειρίδια, ο αριθμός των συνδυασμών συμβολίζεται ως \ Ας επιστρέψουμε στο όριο μας \(L\), το οποίο μπορεί τώρα να γραφτεί με αυτή τη μορφή: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0 ) \frac((( e^(\Δέλτα x)) - 1))((\Δέλτα x)) ) = (\lim\limits_(\Δέλτα x \έως 0) \frac((\lim\limits_(n \ to \infty ) \ αριστερά[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \δεξιά] - 1))((\Δέλτα x)).) \] Είναι βολικό για εμάς να απομονώσουμε τους δύο πρώτους όρους στη διωνυμική σειρά: για \(k = 0\) και \(k = 1 \). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0 )^n (C_n^k((\αριστερά((\frac((\Δέλτα x))(n)) \δεξιά))^k)) ) \δεξιά] - 1))((\Δέλτα x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x)) )(n )) \δεξιά))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\αριστερά((\frac((\Δέλτα x))(n)) \δεξιά))^k)) ) \δεξιά] - 1))((\Δέλτα x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k))))((\Delta x)) ) = (\lim\ limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \ δεξιά)) ^(k - 1)))) (((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Προφανώς, το άθροισμα της σειράς τείνει στο μηδέν ως \(\Δέλτα x \έως 0\) . Επομένως, \(L = 1\). Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης \(y = (e^x)\) είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση: \

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων γεωμετρίας, μηχανικής, φυσικής και άλλων κλάδων γνώσης, προέκυψε η ανάγκη χρήσης της ίδιας αναλυτικής διαδικασίας από αυτή τη συνάρτηση y=f(x)λάβετε μια νέα συνάρτηση που ονομάζεται παράγωγη συνάρτηση(ή απλά παράγωγος) μιας δεδομένης συνάρτησης f(x)και δηλώνεται με το σύμβολο

Η διαδικασία με την οποία από μια δεδομένη συνάρτηση f(x)αποκτήστε μια νέα δυνατότητα f" (x), που ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηκαι αποτελείται από τα ακόλουθα τρία βήματα: 1) δώστε το επιχείρημα Χαύξηση  Χκαι να προσδιορίσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης  y = f(x+ x) -f(x); 2) συνθέτουν μια σχέση

3) καταμέτρηση Χσταθερό και  Χ0, βρίσκουμε
, το οποίο συμβολίζουμε με f" (x), σαν να τονίζει ότι η συνάρτηση που προκύπτει εξαρτάται μόνο από την τιμή Χ, στο οποίο φτάνουμε στο όριο. Ορισμός: Παράγωγο y " =f " (x) δεδομένη συνάρτηση y=f(x) για ένα δεδομένο xονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, με την προϋπόθεση ότι η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν, αν φυσικά υπάρχει αυτό το όριο, δηλ. πεπερασμένος. Ετσι,
, ή

Σημειώστε ότι εάν για κάποια τιμή Χ, για παράδειγμα όταν x=a, στάση
στο  Χ Το 0 δεν τείνει στο πεπερασμένο όριο, τότε σε αυτή την περίπτωση λένε ότι η συνάρτηση f(x)στο x=a(ή στο σημείο x=a) δεν έχει παράγωγο ή δεν είναι διαφοροποιήσιμο στο σημείο x=a.

2. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Θεωρήστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή του σημείου x 0

f(x)

Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης - σημείο A(x 0, f (x 0)) και τέμνει τη γραφική παράσταση σε κάποιο σημείο B(x;f(x)). Μια τέτοια γραμμή (ΑΒ) ονομάζεται διατομή. Από το ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Αφού AC || Ox, τότε ALO = BAC = β (όπως αντιστοιχεί για παράλληλο). Όμως ALO είναι η γωνία κλίσης της τεμμένης ΑΒ προς τη θετική φορά του άξονα Ox. Αυτό σημαίνει ότι tanβ = k είναι η κλίση της ευθείας ΑΒ.

Τώρα θα μειώσουμε το Δx, δηλ. ∆х→ 0. Σε αυτή την περίπτωση, το σηµείο Β θα πλησιάσει το σηµείο Α σύµφωνα µε το γράφηµα και η τοµή ΑΒ θα περιστραφεί. Η οριακή θέση της τομής ΑΒ στο Δx→ 0 θα είναι μια ευθεία γραμμή (a), που ονομάζεται εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο Α.

Αν πάμε στο όριο ως Δx → 0 στην ισότητα tgβ =Δy/Δx, παίρνουμε
ortg =f "(x 0), αφού
-γωνία κλίσης της εφαπτομένης στη θετική φορά του άξονα Ox
, εξ ορισμού παραγώγου. Αλλά tg = k είναι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης, που σημαίνει k = tg = f "(x 0).

Άρα, η γεωμετρική σημασία της παραγώγου είναι η εξής:

Παράγωγος συνάρτησης στο σημείο x 0 ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης που σχεδιάζεται στο σημείο με την τετμημένη x 0 .

3. Φυσική έννοια του παραγώγου.

Εξετάστε την κίνηση ενός σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Έστω η συντεταγμένη ενός σημείου ανά πάσα στιγμή x(t). Είναι γνωστό (από ένα μάθημα φυσικής) ότι η μέση ταχύτητα σε μια χρονική περίοδο είναι ίση με την αναλογία της απόστασης που διανύθηκε κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου προς το χρόνο, δηλ.

Vav = ∆x/∆t. Ας πάμε στο όριο στην τελευταία ισότητα ως Δt → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t 0, ∆t → 0.

και lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (εξ ορισμού της παραγώγου).

Άρα, (t) =x"(t).

Η φυσική σημασία της παραγώγου είναι η εξής: παράγωγος της συνάρτησηςy = φά(Χ) στο σημείοΧ 0 είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησηςφά(x) στο σημείοΧ 0

Η παράγωγος χρησιμοποιείται στη φυσική για την εύρεση της ταχύτητας από μια γνωστή συνάρτηση συντεταγμένων έναντι του χρόνου, επιτάχυνση από μια γνωστή συνάρτηση της ταχύτητας έναντι του χρόνου.

(t) = x"(t) - ταχύτητα,

a(f) = "(t) - επιτάχυνση, ή

Εάν είναι γνωστός ο νόμος της κίνησης ενός υλικού σημείου σε έναν κύκλο, τότε μπορεί κανείς να βρει τη γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή επιτάχυνση κατά την περιστροφική κίνηση:

φ = φ(t) - αλλαγή στη γωνία με την πάροδο του χρόνου,

ω = φ"(t) - γωνιακή ταχύτητα,

ε = φ"(t) - γωνιακή επιτάχυνση, ή ε = φ"(t).

Εάν είναι γνωστός ο νόμος της κατανομής μάζας μιας ανομοιογενούς ράβδου, τότε μπορεί να βρεθεί η γραμμική πυκνότητα της ανομοιογενούς ράβδου:

m = m(x) - μάζα,

x , l - μήκος της ράβδου,

p = m"(x) - γραμμική πυκνότητα.

Χρησιμοποιώντας την παράγωγο λύνονται προβλήματα από τη θεωρία της ελαστικότητας και των αρμονικών δονήσεων. Έτσι, σύμφωνα με το νόμο του Χουκ

F = -kx, x – μεταβλητή συντεταγμένη, k – συντελεστής ελαστικότητας ελατηρίου. Βάζοντας ω 2 =k/m, λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση του εκκρεμούς ελατηρίου x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

όπου ω = √k/√m συχνότητα ταλάντωσης (l/c), k - ακαμψία ελατηρίου (H/m).

Μια εξίσωση της μορφής y" + ω 2 y = 0 ονομάζεται η εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων (μηχανικών, ηλεκτρικών, ηλεκτρομαγνητικών). Η λύση σε τέτοιες εξισώσεις είναι η συνάρτηση

y = Asin(ωt + φ 0) ή y = Acos(ωt + φ 0), όπου

Α - πλάτος ταλαντώσεων, ω - κυκλική συχνότητα,

φ 0 - αρχική φάση.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία σπουδαστών. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.

Πολύ εύκολο να θυμάστε.

Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.

Με τι ισούται; Φυσικά, .

Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Κανόνες τι; Πάλι νέος όρος, πάλι;!...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.

Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.

Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .

Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.

Παραδείγματα.

Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. σε ένα σημείο?
2. σε ένα σημείο?
3. σε ένα σημείο?
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;);

Παράγωγο του προϊόντος

Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).

Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να μειώσουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:

Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε έναν απλό κανόνα: . Επειτα:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.

Συνέβη;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί σε απλούστερη μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:

Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:

Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:

Οι παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα είναι περιττό να τις γνωρίζουμε.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Τι είναι μια "σύνθετη συνάρτηση"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.

Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας, .

Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.

Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .

Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση

1. Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: .
2. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
3. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
4. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .
5. Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
   Εξέταση: .

Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Φαίνεται απλό, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό: ;

Εξωτερικό: ;

2) Εσωτερικό: ;

(Μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερική: ;

Εξωτερικό: ;

Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:

Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.

1. Ριζοσπαστική έκφραση. .

2. Ρίζα. .

3. Ημιτόνου. .

4. Τετράγωνο. .

5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:

Παράγωγο του αθροίσματος:

Παράγωγο του προϊόντος:

Παράγωγος του πηλίκου:

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:

Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.