Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Agar kerak bo'lsa - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasining davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
ANTRACT
"Funksiyani to'liq o'rganish va uning grafigini qurish."
KIRISH
Funksiyaning xossalarini o‘rganish va uning grafigini tuzish hosilalarning eng ajoyib qo‘llanilishidan biridir. Funktsiyani o'rganishning ushbu usuli bir necha bor sinchkovlik bilan tahlil qilingan. Buning asosiy sababi shundaki, matematikani qo'llashda yangi hodisalarni o'rganishda paydo bo'ladigan tobora murakkab funktsiyalar bilan shug'ullanish kerak edi. Matematika tomonidan ishlab chiqilgan qoidalardan istisnolar paydo bo'ldi, yaratilgan qoidalar umuman mos kelmagan holatlar paydo bo'ldi, hech qanday nuqtada hosilasi bo'lmagan funktsiyalar paydo bo'ldi.
10-11-sinflarda algebra va elementar analiz kursini o‘rganishdan maqsad funksiyalarni tizimli o‘rganish, funksiyalarni o‘rganish bilan bog‘liq bo‘lgan matematikaning umumiy usullarining amaliy ahamiyatini ochib berishdan iborat.
Ta'limning yuqori bosqichida algebra va tahlilning boshlanishini o'rganish jarayonida funktsional tushunchalarni ishlab chiqish o'rta maktab o'quvchilariga funktsiyalarning uzluksizligi va uzilishlari haqida vizual g'oyalarni olishga yordam beradi, har qanday elementar funktsiyaning uzluksizligi to'g'risida bilim olishga yordam beradi. uni qo'llash, ularning grafiklarini qurish va asosiy elementar funktsiyalar to'g'risidagi ma'lumotlarni umumlashtirish va ularning voqelik hodisalarini o'rganishdagi, inson amaliyotidagi rolini tushunishni o'rganish.
O'sish va kamaytirish funktsiyalari
Matematika, fizika va texnika sohalariga oid turli masalalarni yechish ushbu hodisaga jalb qilingan o‘zgaruvchilar o‘rtasida funksional bog‘liqlikni o‘rnatishga olib keladi.
Agar shunday funksional bog`liqlikni analitik yo`l bilan, ya`ni bir yoki bir necha formulalar ko`rinishida ifodalash mumkin bo`lsa, uni matematik analiz yordamida o`rganish imkoniyati paydo bo`ladi.
Bu u yoki bu o'zgaruvchi o'zgarganda (funksiya qayerda oshadi, qayerda kamayadi, maksimal darajaga etadi va hokazo) funksiyaning harakatini aniqlashtirish imkoniyatini bildiradi.
Funktsiyani o'rganish uchun differentsial hisobni qo'llash funktsiyaning xatti-harakati va uning hosilasi, birinchi navbatda, birinchi va ikkinchi hosilalari o'rtasida mavjud bo'lgan juda oddiy bog'lanishga asoslanadi.
Keling, funktsiyaning ortishi yoki kamayishi intervallarini, ya'ni uning monotonlik intervallarini qanday topish mumkinligini ko'rib chiqaylik. Monoton kamayuvchi va ortib boruvchi funksiya ta’rifiga asoslanib, berilgan funksiyaning birinchi hosilasi qiymatini uning monotonlik tabiati bilan bog’lash imkonini beruvchi teoremalarni shakllantirish mumkin.
1.1 teorema. Agar funktsiya y
=
f
(
x
)
, intervalda differensiallanadi(
a
,
b
)
, bu oraliqda, keyin istalgan nuqtada monoton ravishda ortadi
(
x
) >0;
agar u monoton ravishda kamayib ketsa, u holda intervalning istalgan nuqtasida (
x
)<0.
Isbot. Funktsiyaga ruxsat beringy = f ( x ) tomonidan monoton ravishda ortadi( a , b ) , Bu shuni anglatadiki, har bir kishi uchun etarlicha kichik > 0 bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi:
f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (1.1-rasm).
Guruch. 1.1
Cheklovni ko'rib chiqing
.
Agar > 0 bo'lsa, u holda 
> 0 agar< 0, то
< 0.
Ikkala holatda ham chegara belgisi ostidagi ifoda ijobiy bo'ladi, bu chegaraning ijobiy ekanligini anglatadi, ya'ni ( x )>0 , bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi. Funktsiyaning monoton kamayishi bilan bog'liq teoremaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday isbotlangan.
1.2 teorema. Agar funktsiya y = f ( x ) , segmentda uzluksiz[ a , b ] va uning barcha ichki nuqtalarida farqlanadi va bundan tashqari, ( x ) >0 har kim uchun x ϵ ( a , b ) , keyin bu funktsiya tomonidan monoton ravishda ortadi( a , b ) ; Agar
( x ) <0 har kim uchun xs ( a , b ), keyin bu funktsiya monoton ravishda kamayadi( a , b ) .
Isbot. Keling, olamiz ϵ ( a , b ) Va ϵ ( a , b ) , va< . Lagranj teoremasiga ko'ra
( c ) = .
Lekin ( c )>0 va > 0, ya'ni ( > 0, ya'ni
(. Olingan natija funktsiyaning monotonik o'sishini ko'rsatadi, bu isbotlanishi kerak edi. Teoremaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.
Funktsiyaning ekstremal qismi
Funksiyaning xatti-harakatini o'rganishda bir-biridan monotonik o'sish oraliqlarini uning monoton kamayish oraliqlaridan ajratib turuvchi nuqtalar alohida rol o'ynaydi.
Ta'rif 2.1. Nuqta funksiyaning maksimal nuqtasi deb ataladi
y
=
f
(
x
)
, agar mavjud bo'lsa, kichik bo'lsa ham ,
(
< 0
, а точка
agar minimal nuqta deyiladi (
> 0.
Minimal va maksimal ballar birgalikda ekstremum nuqtalar deb ataladi. Bunday nuqtalarning parcha-parcha monoton funksiyasi chekli oraliqda chekli songa ega (2.1-rasm).
Guruch. 2.1
2.1 teorema (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart). Agar intervalda differentsial bo'lsa( a , b ) funktsiya nuqtasiga ega bu oraliqdan maksimal, keyin uning bu nuqtadagi hosilasi nolga teng. Minimal nuqta haqida ham shunday deyish mumkin .
Ushbu teoremaning isboti Rol teoremasidan kelib chiqadi, unda minimal yoki maksimal nuqtalarda ekanligi ko'rsatilgan. = 0 va bu nuqtalarda funktsiya grafigiga chizilgan tangens o'qga parallelOX .
2.1 teoremadan kelib chiqadiki, agar funktsiyay = f ( x ) barcha nuqtalarda hosilaga ega bo'lsa, u o'sha nuqtalarda ekstremumga erisha oladi = 0.
Biroq, bu shart etarli emas, chunki belgilangan shart qondiriladigan funktsiyalar mavjud, ammo ekstremum yo'q. Masalan, funktsiyay= bir nuqtada x = 0 lotin nolga teng, lekin bu nuqtada ekstremum yo'q. Bundan tashqari, ekstremum hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiyay = | x | nuqtada minimal mavjudx = 0 , garchi lotin bu nuqtada mavjud emas.
Ta'rif 2.2. Funktsiyaning hosilasi yo'q bo'lib ketadigan yoki uzilishga ega bo'lgan nuqtalar bu funktsiyaning kritik nuqtalari deyiladi..
Binobarin, 2.1 teorema ekstremal nuqtalarni aniqlash uchun etarli emas.
Teorema 2.2 (ekstremum mavjudligi uchun etarli shart). Funktsiyaga ruxsat bering y = f ( x ) intervalda uzluksiz( a , b ) , bu uning muhim nuqtasini o'z ichiga oladi , va bu oraliqning barcha nuqtalarida differensiallanadi, nuqtaning o‘zi bundan mustasno . Keyin, agar bu nuqtani chapdan o'ngga siljitganda, hosilaning belgisi plyusdan minusga o'zgarsa, bu maksimal nuqta va aksincha, minusdan plyusga - minimal nuqta..
Isbot. Agar funktsiyaning hosilasi nuqtadan o'tganda o'z belgisini o'zgartirsa chapdan o'ngga plyusdan minusga o'tadi, keyin funktsiya ortishdan kamayishga o'tadi, ya'ni nuqtaga etadi. uning maksimal va aksincha.
Yuqoridagilardan ekstremumdagi funktsiyani o'rganish sxemasi quyidagicha:
1) funksiyaning aniqlanish sohasini toping;
2) hosilani hisoblash;
3) tanqidiy nuqtalarni toping;
4) birinchi hosilaning belgisini o'zgartirish orqali ularning xarakteri aniqlanadi.
Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish vazifasini segmentdagi funktsiyaning minimal va maksimal qiymatlarini aniqlash vazifasi bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Ikkinchi holda, faqat segmentdagi ekstremal nuqtalarni topish emas, balki ularni uning uchlaridagi funktsiya qiymati bilan taqqoslash kerak.
Qavariq va botiq funksiyalarning intervallari
Hosilasi yordamida aniqlash mumkin bo‘lgan funksiya grafigining yana bir xarakteristikasi uning qavariqligi yoki botiqligidir.
Ta'rif 3.1. Funktsiya y = f ( x ) oraliqda qavariq deyiladi( a , b ) , agar uning grafigi ma'lum oraliqda unga chizilgan har qanday tangens ostida joylashgan bo'lsa va aksincha, uning grafigi ma'lum oraliqda unga chizilgan har qanday tangensdan yuqori bo'lsa, u konkav deb ataladi..
Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini aniqlash imkonini beruvchi teoremani isbotlaylik.
3.1 teorema. Agar intervalning barcha nuqtalarida bo'lsa( a , b ) funksiyaning ikkinchi hosilasi ( x ) uzluksiz va manfiy, keyin funksiyay = f ( x ) qavariq va aksincha, agar ikkinchi hosila uzluksiz va musbat bo'lsa, funksiya botiq bo'ladi..
Funktsiyaning qavariqlik oralig'ini isbotlaymiz. Keling, o'zboshimchalik bilan bir nuqtani olaylikϵ ( a , b ) va shu nuqtada funksiya grafigiga tangens chizingy = f ( x ) (3.1-rasm).
Egri chiziqning barcha nuqtalari intervalda ekanligi ko'rsatilsa, teorema isbotlangan bo'ladi( a , b ) bu tangens ostida yoting. Boshqacha qilib aytganda, xuddi shu qiymatlar uchun buni isbotlash kerakx egri ordinatalary = f ( x ) nuqtada unga chizilgan tangensning ordinatasidan kichik .
Guruch. 3.1
Aniqlik uchun egri chiziq tenglamasini belgilaymiz: = f ( x ) , va nuqtadagi unga tegish tenglamasi :
- f ( ) = ( )( x - )
yoki
= f ( ) + ( )( x - ) .
Keling, farqni tuzamiz Va:
- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).
Farqga murojaat qilingf ( x ) – f ( ) Lagrangening o'rtacha qiymat teoremasi:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
Qayerda ϵ ( , x ).
Keling, kvadrat qavs ichidagi ifodaga Lagranj teoremasini qo'llaymiz:
- = ( )( - )( x - ) , Qayerda ϵ ( , ).
Rasmdan ko'rinib turibdiki,x > , Keyin x - > 0 Va - > 0 . Bundan tashqari, teoremaga ko'ra, ( )<0.
Ushbu uchta omilni ko'paytirsak, biz buni olamiz , bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
Ta'rif 3.2. Qavariq intervalni botiq oraliqdan ajratib turuvchi nuqtaga burilish nuqtasi deyiladi.
3.1 ta’rifdan kelib chiqadiki, berilgan nuqtada tangens egri chiziqni kesib o’tadi, ya’ni bir tomonda egri chiziq tangens ostida, ikkinchi tomondan esa yuqorida joylashgan.
3.2 teorema. Agar nuqtada funksiyaning ikkinchi hosilasi
y = f ( x ) nolga teng yoki mavjud emas va nuqtadan o'tayotganda ikkinchi hosilaning belgisi teskari tomonga o'zgaradi, u holda bu nuqta burilish nuqtasidir.
Bu teoremaning isboti belgilaridan kelib chiqadi ( x ) nuqtaning qarama-qarshi tomonlarida har xil. Demak, nuqtaning bir tomonida funksiya qavariq, ikkinchi tomonida esa botiq bo‘ladi. Bunday holda, 3.2 ta'rifiga ko'ra, nuqta burilish nuqtasi hisoblanadi.
Qavariqlik va konkavlik funksiyasini o'rganish ekstremumni o'rganish bilan bir xil sxema bo'yicha amalga oshiriladi.
4. Funksiyaning asimptotalari
Oldingi paragraflarda hosila yordamida funktsiyaning harakatini o'rganish usullari ko'rib chiqildi. Biroq, funktsiyani to'liq o'rganish bilan bog'liq savollar orasida hosila bilan bog'liq bo'lmaganlari ham bor.
Demak, masalan, grafigidagi nuqta koordinata boshidan cheksiz uzoqlashganda funksiya qanday harakat qilishini bilish kerak. Bu muammo ikki holatda paydo bo'lishi mumkin: funktsiya argumenti cheksizlikka o'tganda va oxirgi nuqtada ikkinchi turdagi uzilish paytida funktsiyaning o'zi cheksizlikka o'tganda. Bu ikkala holatda ham funktsiya asimptota deb ataladigan qandaydir to'g'ri chiziqqa moyil bo'lganda vaziyat yuzaga kelishi mumkin.
Ta'rif. Funksiya grafigining asimptotasiy = f ( x ) - bu to'g'ri chiziq bo'lib, u grafdan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa graf nuqtasi koordinata boshidan cheksiz harakat qilganda nolga intiladi..
Asimptotalarning ikki turi mavjud: vertikal va qiya.
Vertikal asimptotalarga to'g'ri chiziqlar kiradix
=
, ular yaqinidagi funksiya grafigini cheksizlikka borish xususiyatiga ega, ya'ni shart bajariladi: 
.
Shubhasiz, belgilangan ta'rifning talabi bu erda qondiriladi: egri chiziq grafigidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.x = nolga intiladi va egri chiziqning o'zi cheksizlikka boradi. Shunday qilib, ikkinchi turdagi uzilish nuqtalarida funktsiyalar vertikal asimptotalarga ega, masalan,y= bir nuqtada x = 0 . Binobarin, funksiyaning vertikal asimptotalarini aniqlash ikkinchi turdagi uzilish nuqtalarini topish bilan mos keladi.
Egri asimptotlar tekislikdagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan tasvirlanadi, ya'niy = kx + b . Bu shuni anglatadiki, vertikal asimptotalardan farqli o'laroq, bu erda raqamlarni aniqlash kerakk Va b .
Shunday qilib, egri chiziq bo'lsin = f ( x ) qiya asimptotaga ega, ya'ni atx egri chiziqning nuqtalari to'g'ri chiziqqa kerakli darajada yaqinlashadi = kx + b (4.1-rasm). Mayli M ( x , y ) - egri chiziqda joylashgan nuqta. Uning asimptotadan masofasi perpendikulyar uzunligi bilan tavsiflanadi| MN | .
Funktsiyani to'liq o'rganish va uning grafigini tuzish uchun quyidagi sxema tavsiya etiladi:
A) aniqlash sohasini, uzilish nuqtalarini toping; uzilish nuqtalari yaqinidagi funksiyaning harakatini o‘rganing (bu nuqtalarda chap va o‘ngdagi funksiya chegaralarini toping). Vertikal asimptotalarni ko'rsating.
B) funksiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlang va simmetriya bor degan xulosaga keling. Agar , u holda funksiya OY o'qiga nisbatan juft va simmetrik bo'ladi; funktsiya toq bo'lsa, kelib chiqishiga nisbatan simmetrik; if esa umumiy shaklning funksiyasi.
C) funksiyaning OY va OX koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping (agar iloji bo‘lsa), funksiyaning doimiy ishorali intervallarini aniqlang. Funksiyaning doimiy ishorali intervallari chegaralari funksiya nolga teng (funksiya nollari) yoki mavjud bo‘lmagan nuqtalar va bu funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralari bilan aniqlanadi. Funktsiya grafigi OX o'qi ustida joylashgan oraliqlarda va bu o'qdan pastda.
D) funksiyaning birinchi hosilasini toping, uning nollarini va doimiy ishorali intervallarni aniqlang. Funktsiya ortib borayotgan va kamaygan oraliqlarda. Ekstrema borligi haqida xulosa chiqaring (funksiya va hosila mavjud boʻlgan nuqtalar va u orqali oʻtganda u ishorani oʻzgartiradi. Agar belgi ortiqcha dan minusga oʻzgarmasa, bu nuqtada funksiya maksimalga, agar minusdan plyusga oʻtsa) , keyin minimal). Ekstremal nuqtalarda funksiya qiymatlarini toping.
D) ikkinchi hosilani, uning nollarini va doimiy ishorali intervallarni toping. Qaerda intervallarda< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) tenglamalari ko'rinishga ega bo'lgan moyil (gorizontal) asimptotalarni toping. 
; Qayerda 
.
Da 
funktsiya grafigi ikkita qiya asimptotaga ega bo'ladi va x ning har bir qiymati at va b ning ikkita qiymatiga ham mos kelishi mumkin.
G) grafikni aniqlashtirish uchun qo'shimcha nuqtalarni toping (agar kerak bo'lsa) va grafikni tuzing.
1-misol
Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing. Yechish: A) aniqlash sohasi 
; funktsiya o'zining aniqlanish sohasida uzluksiz; – uzilish nuqtasi, chunki 
;
. Keyin - vertikal asimptota.
B)
bular. y(x) umumiy shakldagi funksiyadir.
C) Grafikning OY o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping: x=0 to'plam; u holda y(0)=–1, ya'ni. funktsiya grafigi o'qni (0;-1) nuqtada kesib o'tadi. Funksiyaning nollari (grafikning OX o'qi bilan kesishish nuqtalari): y=0 o'rnating; Keyin 
.
Kvadrat tenglamaning diskriminanti noldan kichik, ya'ni nollar yo'q. U holda doimiy ishorali intervallar chegarasi funksiya mavjud bo'lmagan x=1 nuqtadir.
Funktsiyaning har bir oraliqdagi belgisi qisman qiymatlar usuli bilan aniqlanadi:
Diagrammadan ko'rinib turibdiki, intervalda funksiya grafigi OX o'qi ostida, intervalda esa OX o'qi ustida joylashgan.
D) Kritik nuqtalar mavjudligini aniqlaymiz.
.
Tengliklardan kritik nuqtalarni (qayerda yoki mavjud emas) topamiz.
Biz olamiz: x1=1, x2=0, x3=2. Keling, yordamchi jadval tuzamiz
1-jadval 
(Birinchi qatorda tanqidiy nuqtalar va bu nuqtalar OX o'qi bo'linadigan intervallar mavjud; ikkinchi qatorda kritik nuqtalardagi lotin qiymatlari va intervallardagi belgilar ko'rsatilgan. Belgilar qisman qiymat bilan belgilanadi. Uchinchi qator y(x) funktsiyasining kritik nuqtalardagi qiymatlarini ko'rsatadi va funktsiyaning harakatini ko'rsatadi - raqamli o'qning mos keladigan oraliqlarida o'sish yoki kamayish.Bundan tashqari, minimal yoki maksimalning mavjudligi ko'rsatilgan.
D) Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini toping.
; D bandidagi kabi jadval tuzing); Faqat ikkinchi qatorda biz belgilarni yozamiz, uchinchisida esa konveksiya turini ko'rsatamiz. Chunki ; u holda kritik nuqta bitta x=1 bo'ladi.
jadval 2 
x=1 nuqta burilish nuqtasidir.
E) Qiya va gorizontal asimptotalarni toping 
U holda y=x qiya asimptotadir.
G) Olingan ma’lumotlar asosida funksiya grafigini quramiz 
1). Funktsiya doirasi.
Ko'rinib turibdiki, bu funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan, "" va "" nuqtalardan tashqari, chunki bu nuqtalarda maxraj nolga teng va shuning uchun funktsiya mavjud emas va to'g'ri chiziqlar va vertikal asimptotlardir.
2). Argument sifatida funktsiyaning xatti-harakati cheksizlikka, uzilish nuqtalarining mavjudligiga va qiya asimptotalarning mavjudligini tekshirishga intiladi.
Avval funksiya cheksizlikka chapga va o‘ngga yaqinlashganda o‘zini qanday tutishini tekshirib ko‘raylik. 
Shunday qilib, funktsiya 1 ga moyil bo'lganda, ya'ni. - gorizontal asimptota.
Uzluksizlik nuqtalari yaqinida funktsiyaning harakati quyidagicha aniqlanadi: 
Bular. Chap tarafdagi uzilish nuqtalariga yaqinlashganda, funksiya cheksiz kamayadi, o'ngda esa cheksiz ortadi.
Tenglikni hisobga olgan holda qiya asimptota mavjudligini aniqlaymiz: 
Egri asimptotlar yo'q.
3). Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari.
Bu erda ikkita holatni ko'rib chiqish kerak: Ox o'qi va Oy o'qi bilan kesishish nuqtasini toping. Ox o'qi bilan kesishish belgisi funktsiyaning nol qiymati, ya'ni. tenglamani yechish kerak:
Bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun bu funksiya grafigida Ox o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q.
Oy o'qi bilan kesishish belgisi x = 0. Bu holda qiymat
,
bular. – funksiya grafigining Oy o‘qi bilan kesishish nuqtasi.
4).Ekstremum nuqtalarni va ortish va pasayish intervallarini aniqlash.
Ushbu masalani o'rganish uchun biz birinchi hosilani aniqlaymiz: 
.
Birinchi hosilaning qiymatini nolga tenglashtiramiz. 
.
Kasr, uning numeratori nolga teng bo'lsa, nolga teng, ya'ni. .
Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlaymiz.
Shunday qilib, funksiya bitta ekstremum nuqtasiga ega va ikkita nuqtada mavjud emas.
Shunday qilib, funktsiya oraliqlarda ortadi va va intervallarda kamayadi.
5). Burilish nuqtalari va konveks va botiqlik joylari.
Funktsiya harakatining bu xarakteristikasi ikkinchi hosila yordamida aniqlanadi. Avval burilish nuqtalarining mavjudligini aniqlaylik. Funktsiyaning ikkinchi hosilasi ga teng 
Qachon va funksiya konkav;
qachon va funksiya qavariq.
6). Funksiyaning grafigini tuzish.
Nuqtalardagi topilgan qiymatlardan foydalanib, biz funktsiyaning grafigini sxematik ravishda tuzamiz:
Misol 3
Funktsiyani o'rganish 
va uning grafigini tuzing. Yechim
Berilgan funksiya umumiy shakldagi davriy bo'lmagan funksiyadir. Uning grafigi koordinatalar boshidan o'tadi, chunki .
Berilgan funktsiyani aniqlash sohasi o'zgaruvchining barcha qiymatlaridir, bundan tashqari kasrning maxraji nolga aylanadi.
Binobarin, nuqtalar funksiyaning uzilish nuqtalari hisoblanadi.
Chunki 
, 
Chunki 
,
, keyin nuqta ikkinchi turdagi uzilish nuqtasidir.
To'g'ri chiziqlar funksiya grafigining vertikal asimptotalaridir.
Egri asimptotalar tenglamalari, bu erda, 
.
Da 
,
.
Shunday qilib, for va funksiya grafigi bitta asimptotaga ega.
Funksiya va ekstremal nuqtalarning ortish va kamayish intervallari topilsin.
.
Funktsiyaning birinchi hosilasi at va demak, at va funksiya ortadi.
Qachon , demak, qachon , funksiya kamayadi.
uchun mavjud emas. 
, shuning uchun, qachon 
Funktsiyaning grafigi botiq.
Da 
, shuning uchun, qachon 
Funktsiyaning grafigi qavariq. 
Nuqtalardan o'tayotganda , , belgisini o'zgartiradi. Qachon , funksiya aniqlanmagan, shuning uchun funktsiya grafigi bitta burilish nuqtasiga ega.
Funktsiyaning grafigini tuzamiz. 
Funksiyani oʻrganish aniq sxema boʻyicha amalga oshiriladi va talabadan taʼrif sohasi va qiymatlari, funksiyaning uzluksizligi, asimptota, ekstremum nuqtalari, paritet, davriylik va boshqalar kabi asosiy matematik tushunchalar boʻyicha mustahkam bilimga ega boʻlishini talab qiladi. . Talaba funktsiyalarni erkin farqlay olishi va ba'zan juda murakkab bo'lishi mumkin bo'lgan tenglamalarni yecha olishi kerak.
Ya'ni, bu vazifa bilimning muhim qatlamini sinab ko'radi, undagi har qanday bo'shliq to'g'ri echimni olish uchun to'siq bo'ladi. Ayniqsa, ko'pincha funktsiyalar grafiklarini tuzishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Bu xato o'qituvchiga darhol seziladi va hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa ham, sizning bahongizga katta zarar etkazishi mumkin. Bu yerda topishingiz mumkin Onlayn funktsiyani o'rganish muammolari: misollarni o'rganish, echimlarni yuklab olish, topshiriqlarni buyurtma qilish.
Funktsiyani o'rganing va grafik chizing: misollar va onlayn echimlar
Biz siz uchun yechimlar kitobida to'langan va Funktsiyalarni o'rganish misollari bo'limida bepul bo'lgan juda ko'p tayyor funktsiya tadqiqotlarini tayyorladik. Ushbu hal qilingan vazifalarga asoslanib, siz shunga o'xshash vazifalarni bajarish metodologiyasi bilan batafsil tanishishingiz va tadqiqotingizni analogiya bo'yicha amalga oshirishingiz mumkin.
Biz eng keng tarqalgan turdagi funktsiyalarni to'liq tadqiq qilish va chizmalarini tuzishning tayyor misollarini taklif qilamiz: ko'phadlar, kasr-ratsional, irratsional, ko'rsatkichli, logarifmik, trigonometrik funktsiyalar. Har bir echilgan masala ta'kidlangan asosiy nuqtalar, asimptotalar, maksimal va minimal bo'lgan tayyor grafik bilan birga keladi; yechim funktsiyani o'rganish algoritmi yordamida amalga oshiriladi.
Har qanday holatda, hal qilingan misollar sizga katta yordam beradi, chunki ular eng mashhur funktsiyalar turlarini qamrab oladi. Biz sizga allaqachon hal qilingan yuzlab muammolarni taklif qilamiz, lekin siz bilganingizdek, dunyoda cheksiz miqdordagi matematik funktsiyalar mavjud va o'qituvchilar kambag'al o'quvchilar uchun tobora qiyin vazifalarni ixtiro qilishda ajoyib mutaxassislardir. Shunday qilib, aziz talabalar, malakali yordam sizga zarar keltirmaydi.
Maxsus funktsiyani o'rganish muammolarini hal qilish
Bunday holda, bizning hamkorlarimiz sizga boshqa xizmatni taklif qilishadi - Internetda to'liq funktsiyali tadqiqot Buyurtmaga. Vazifa siz uchun bunday muammolarni hal qilish algoritmiga qo'yiladigan barcha talablarga muvofiq bajariladi, bu sizning o'qituvchingizni juda xursand qiladi.
Biz siz uchun funktsiyani to'liq o'rganamiz: ta'rif sohasini va qiymatlar sohasini topamiz, uzluksizlik va uzilishni tekshiramiz, paritetni o'rnatamiz, funksiyangizni davriyligini tekshiramiz va koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. . Va, albatta, differensial hisoblash yordamida: biz asimptotalarni topamiz, ekstremalarni, burilish nuqtalarini hisoblaymiz va grafikni o'zi quramiz.
Yagona nuqtalardan foydalangan holda funktsiya grafigini qurish funktsiyaning o'zini o'rganishni o'z ichiga oladi: argumentning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlash, funktsiyaning o'zgaruvchanlik diapazonini aniqlash, funktsiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlash, to'xtash nuqtalarini aniqlash funksiyaning doimiy ishorasi oraliqlarini topish, funksiya grafigining asimptotalarini topish. Birinchi hosiladan foydalanib, siz funktsiyaning ortishi (kamayishi) oraliqlarini va ekstremum nuqtalarning mavjudligini aniqlashingiz mumkin. Ikkinchi hosiladan foydalanib, siz funktsiya grafigining qavariqlik (qavariq) oraliqlarini, shuningdek, burilish nuqtalarini aniqlashingiz mumkin. Shu bilan birga, biz ishonamizki, agar bir nuqtada xo egri chiziq ustidagi funksiya grafigiga tangens, u holda bu nuqtadagi funksiya grafigi qavariqlikka ega; agar tangens egri chiziq ostida bo'lsa, u holda bu nuqtadagi funktsiya grafigi botiqlikka ega.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funktsiyani o'rganish.
a) Argumentning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni: (-∞,+∞).
b) Funktsiyaning o'zgarish sohasi: (-∞, +∞).
c) Funktsiya g'alati, chunki y(-x) = -y(x), bular. funktsiyaning grafigi koordinataga nisbatan simmetrikdir.
d) Funktsiya uzluksiz, uzilish nuqtalari yo'q, shuning uchun vertikal asimptotlar yo'q.
e) qiya asimptota tenglamasini topish y(x) = k∙x + b, Qayerda
k = /x Va b = 
Ushbu misolda asimptota parametrlari mos ravishda teng:
k =, chunki son va maxrajning eng yuqori darajasi bir xil, uchga teng va bu eng yuqori darajalardagi koeffitsientlarning nisbati birga teng. Qachon x→ + ∞ uchinchi ajoyib chegara chegarani hisoblash uchun ishlatilgan.
b = = = 0, x→ da chegarani hisoblashda + ∞ uchinchi ajoyib chegaradan foydalangan. Demak, bu funksiyaning grafigi qiya asimptotaga ega y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - hosila bo'limni farqlash formulasi yordamida hisoblanadi.
a) hosilaning nollarini va uzilish nuqtasini aniqlang, mos ravishda hosilaning numeratori va maxrajini nolga tenglashtiring: y´=0, Agar x=0. 1-chi hosilada uzilish nuqtalari yo'q.
b) hosilaning doimiy belgisi oraliqlarini aniqlaymiz, ya'ni. funksiyaning monotonlik intervallari: at -∞
3. 2-hosil yordamida funksiyani o‘rganish.
Ko'rsatkichlarni farqlash va algebraik o'zgarishlarni amalga oshirish uchun formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: y´´ = /(x²+3)³
a) 2-hosilning nollarini va doimiy ishorali intervallarni aniqlang: y´´ = 0, Agar x=0 Va x= + 3 . 2-chi hosilada uzilish nuqtalari yo'q.
b) 2-hosilning doimiylik intervallarini aniqlaymiz, ya'ni. funksiya grafigining qavariq yoki botiqlik intervallari. -∞ da
Misol: Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funktsiyani o'rganish.
a) Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Funktsiyaning o'zgarish sohasi: (-∞,+∞).
d) Bu funksiya at 2-turdagi uzilish nuqtasiga ega x=0.
e) asimptotalarni topish. Chunki funksiya 2-turdagi uzilish nuqtasiga ega x=0, natijada funktsiya vertikal asimptotaga ega bo'ladi x=0. Bu funksiya qiyshiq yoki gorizontal asimptotalarga ega emas.
2.1-hosil yordamida funksiyani o‘rganish.
Barcha algebraik amallarni bajarib, funksiyani o‘zgartiramiz. Natijada, funktsiya shakli sezilarli darajada soddalashtiriladi: y(x)=x²-x-1+(1/x). Shartlar yig'indisidan hosila olish juda oson va biz quyidagilarni olamiz: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) 1-hosilning nollarini va uzilish nuqtalarini aniqlang. Biz 1-hosil uchun iboralarni umumiy maxrajga keltiramiz va hisobni, keyin esa maxrajni nolga tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: y´=0 da x=1, y´ - qachon mavjud emas x=0.
b) funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz, ya'ni. hosilaning doimiy belgisi intervallari. -∞ da<x<0
Va 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. 2-chi hosiladan foydalanib, biz funktsiya grafigining qavariq yoki botiqlik intervallarini, shuningdek, agar mavjud bo'lsa, burilish nuqtalarini aniqlaymiz. Keling, umumiy maxrajga ikkinchi hosila ifodasini keltiramiz, so'ngra hisob va maxrajni navbatma-navbat nolga tenglashtirib, quyidagilarga erishamiz: y´´=0 da x=-1, y´´- qachon mavjud emas x=0.
-∞ da
guruch. 4 rasm. 5
Misol: Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Funktsiyani o'rganish.
a) Ruxsat etilgan argument qiymatlari diapazoni: logarifmik funktsiya faqat noldan qat'iy kattaroq argumentlar uchun mavjud, shuning uchun x²+4x+5>0 – bu shart argumentning barcha qiymatlari uchun qondiriladi, ya'ni. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Funktsiyaning o'zgarish sohasi: (0, +∞). Logarifm belgisi ostidagi ifodani o'zgartiramiz va funktsiyani nolga tenglashtiramiz: ln((x+2)²+1) =0. Bular. qachon funksiya nolga tushadi x=-2. Funktsiya grafigi to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo'ladi x=-2.
c) funksiya uzluksiz va uzilish nuqtalariga ega emas.
d) Funksiya grafigida asimptotlar yo'q.
2.1-hosil yordamida funksiyani o‘rganish.
Murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) hosilaning nollarini va uzilish nuqtalarini aniqlaymiz: y´=0, da x=-2. Birinchi hosilada uzilish nuqtalari yo'q.
b) Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz, ya'ni. birinchi hosilaning doimiy belgisi intervallari: -∞ da<x<-2
hosila y'<0,
shuning uchun funksiya kamayadi; qachon -2
3.Funksiyani 2-hosil bo‘yicha o‘rganish.
Birinchi hosilani quyidagi shaklda ifodalaymiz: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Ikkinchi hosilaning doimiy belgisi oraliqlarini aniqlaymiz. 2-hosilning maxraji har doim manfiy bo'lmagani uchun ikkinchi hosilaning belgisi faqat sanoq yordamida aniqlanadi. y´´=0 da x=-3 Va x=-1.
Da -∞
Misol: Funksiyani o'rganing va grafik chizing y(x) = x²/(x+2)²
1.Funktsiyani o'rganish.
a) Argumentning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Funktsiyaning o'zgarish sohasi².
a) Ikkinchi hosilaning doimiy belgisining nollari va intervallarini aniqlaymiz. Chunki Kasrning maxraji har doim musbat bo'lgani uchun ikkinchi hosilaning belgisi to'liq hisoblagich bilan aniqlanadi. -∞ da
