Yeni görevler ortaya çıktı. Çözümlerine bakalım.
B8 görevinin prototipi (No. 317543)
Şekilde y=f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir ve -2, -1, 1, 2 noktaları işaretlenmiştir.Bu noktalardan hangisinde türevin değeri en büyüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Bildiğimiz gibi buna denir
Argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının sınırı:
Bir noktadaki türev şunu gösterir: fonksiyonun değişim hızı Bu noktada. Fonksiyon ne kadar hızlı değişirse, yani fonksiyonun artışı ne kadar büyük olursa, teğetin eğim açısı da o kadar büyük olur. Sorun, türevin değerinin en büyük olduğu noktayı belirlemeyi gerektirdiğinden, apsisleri -1 ve 1 olan noktaları dikkate almayız - bu noktalarda fonksiyon azalır ve buradaki türev negatiftir.
Fonksiyon -2 ve 2 noktalarında artar. Ancak bu noktalarda farklı şekillerde artar - -2 noktasında fonksiyonun grafiği 2 noktasından daha dik yükselir ve dolayısıyla fonksiyonun bu noktadaki artışı ve dolayısıyla türevi daha büyüktür.
Cevap: -2
Ve benzer bir görev:
B8 görevinin prototipi (No. 317544)
Şekilde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir ve -2, -1, 1, 4 noktaları işaretlenmiştir.Bu noktalardan hangisinde türev en küçüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Bu sorunun çözümü bir önceki sorunun çözümüne benzer “tam tersi”
Türevin en küçük değerini aldığı noktayla ilgileniyoruz, yani fonksiyonun en hızlı azaldığı noktayı arıyoruz - grafikte bu, en dik "inişin" meydana geldiği noktadır. Bu apsis noktası 4'tür.
Sevgili arkadaşlar! Türevle ilgili görev grubu görevleri içerir - koşul bir fonksiyonun grafiğini verir, bu grafikte birkaç nokta vardır ve soru şudur:
Türev hangi noktada en büyük (en küçük) olur?
Kısaca tekrarlayalım:
Bir noktadaki türev, oradan geçen tanjantın eğimine eşittirGrafikteki bu nokta.
senTeğetin küresel katsayısı ise bu teğetin eğim açısının tanjantına eşittir.
*Bu, teğet ile x ekseni arasındaki açıyı ifade eder.
1. Artan fonksiyon aralıklarında türev pozitif bir değere sahiptir.
2. Azalma aralıklarında türev negatif bir değere sahiptir.
Aşağıdaki taslağı göz önünde bulundurun:
1,2,4 noktalarında, bu noktalar azalan aralıklara ait olduğundan fonksiyonun türevi negatif bir değere sahiptir.
3,5,6 noktalarında fonksiyonun türevi pozitif bir değere sahiptir çünkü bu noktalar artan aralıklara aittir.
Gördüğünüz gibi türevin anlamı ile ilgili her şey açık, yani grafiğin belirli bir noktasında hangi işarete sahip olduğunu (pozitif veya negatif) belirlemek hiç de zor değil.
Üstelik bu noktalarda zihinsel olarak teğetler oluşturursak, 3, 5 ve 6 numaralı noktalardan geçen düz çizgilerin oX ekseni 0 ila 90 o arasında değişen açılar oluşturduğunu, 1, 2 ve 4 numaralı noktalardan geçen düz çizgilerin de oluştuğunu görürüz. oX ekseninde açılar 90 o ile 180 o arasında değişir.
*İlişki açıktır: Artan fonksiyonların aralıklarına ait noktalardan geçen teğetler oX ekseni ile dar açı oluşturur, azalan fonksiyonların aralıklarına ait noktalardan geçen teğetler oX ekseni ile geniş açı oluşturur.
Şimdi önemli soru!
Türevin değeri nasıl değişir? Sonuçta sürekli bir fonksiyonun grafiğindeki farklı noktalardaki teğet, grafiğin hangi noktasından geçtiğine bağlı olarak farklı açılar oluşturur.
*Ya da basit bir ifadeyle teğet daha “yatay” veya “dikey” konumdadır. Bakmak:
Düz çizgiler, oX ekseni ile 0 ila 90 o arasında değişen açılar oluşturur
Düz çizgiler, oX ekseni ile 90° ile 180° arasında değişen açılar oluşturur
Bu nedenle herhangi bir sorunuz varsa:
— grafikte verilen noktalardan hangisinde türev en küçük değere sahiptir?
- Grafikte verilen noktalardan hangisinde türev en büyük değere sahiptir?
o zaman cevap vermek için teğet açısının tanjantının değerinin 0 ila 180 o aralığında nasıl değiştiğini anlamak gerekir.
*Daha önce de belirtildiği gibi, fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri, teğetin oX eksenine olan eğim açısının tanjantına eşittir.
Teğet değeri aşağıdaki gibi değişir:
Düz çizginin eğim açısı 0°'den 90°'ye değiştiğinde, tanjantın ve dolayısıyla türevinin değeri de buna göre 0'dan +∞'a değişir;
Düz çizginin eğim açısı 90°'den 180°'ye değiştiğinde, tanjantın ve dolayısıyla türevinin değeri buna göre -∞'dan 0'a değişir.
Bu, teğet fonksiyonun grafiğinden açıkça görülebilir:
Basit bir ifadeyle:
0° ila 90° arası teğet eğim açısında
0 o'ya ne kadar yakın olursa, türevin değeri de o kadar büyük olur ve sıfıra yakın olur (pozitif tarafta).
Açı 90°'ye ne kadar yakınsa türev değeri +∞'a doğru o kadar artacaktır.
90°'den 180°'ye kadar teğet eğim açısı ile
90o'ya yaklaştıkça türev değeri –∞'a doğru azalacaktır.
Açı 180°'ye ne kadar yakın olursa türevin değeri de o kadar büyük olur ve sıfıra yakın olur (negatif tarafta).
317543. Şekilde y = fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. F(X) ve noktalar işaretlendi–2, –1, 1, 2. Bu noktalardan hangisinde türev en büyüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Dört noktamız var: bunlardan ikisi fonksiyonun azaldığı aralıklara (bunlar –1 ve 1 noktalarıdır) ve ikisi fonksiyonun arttığı aralıklara (bunlar –2 ve 2 noktalarıdır) aittir.
Hemen -1 ve 1 noktalarında türevin negatif bir değere sahip olduğu ve -2 ve 2 noktalarında pozitif bir değere sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla bu durumda –2 ve 2 noktalarını analiz ederek bunlardan hangisinin en büyük değere sahip olacağını belirlemek gerekir. Belirtilen noktalardan geçen teğetleri oluşturalım:
A düz çizgisi ile apsis ekseni arasındaki açının tanjantının değeri, b düz çizgisi ile bu eksen arasındaki açının tanjantının değerinden büyük olacaktır. Bu, türevin –2 noktasındaki değerinin en büyük olacağı anlamına gelir.
Şu soruya cevap verelim: Hangi noktada –2, –1, 1 veya 2 türevin değeri en negatiftir? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Türev, azalan aralıklara ait noktalarda negatif değere sahip olacağından -2 ve 1 noktalarını ele alalım. Bunlardan geçen teğetleri oluşturalım:
B düz çizgisi ile oX ekseni arasındaki geniş açının 180'e "daha yakın" olduğunu görüyoruz.Ö dolayısıyla tanjantı, a düz çizgisi ile OX ekseninin oluşturduğu açının tanjantından büyük olacaktır.
Böylece x = 1 noktasında türevin değeri en büyük negatif olacaktır.
317544. Şekil y = fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. F(X) ve noktalar işaretlendi–2, –1, 1, 4. Bu noktalardan hangisinde türev en küçüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Dört noktamız var: bunlardan ikisi fonksiyonun azaldığı aralıklara (bunlar -1 ve 4 noktalarıdır) ve ikisi fonksiyonun arttığı aralıklara (bunlar -2 ve 1 noktalarıdır) aittir.
Hemen -1 ve 4 noktalarında türevin negatif bir değere sahip olduğu ve -2 ve 1 noktalarında pozitif bir değere sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla bu durumda –1 ve 4 numaralı noktaları analiz ederek bunlardan hangisinin en küçük değere sahip olacağını belirlemek gerekir. Belirtilen noktalardan geçen teğetleri oluşturalım:
A düz çizgisi ile apsis ekseni arasındaki açının tanjantının değeri, b düz çizgisi ile bu eksen arasındaki açının tanjantının değerinden büyük olacaktır. Bu, türevin x = 4 noktasındaki değerinin en küçük olacağı anlamına gelir.
Cevap: 4
Umarım size yazı miktarıyla "aşırı yükleme" yapmamışımdır. Aslında her şey çok basit, sadece türevin özelliklerini, geometrik anlamını ve açının tanjantının değerinin 0'dan 180 o'ya nasıl değiştiğini anlamanız gerekiyor.
1. Öncelikle bu noktalardaki (+ veya -) türevin işaretlerini belirleyin ve gerekli noktaları seçin (sorulan soruya göre).
2. Bu noktalarda teğetler oluşturun.
3. Tangesoid grafiğini kullanarak açıları şematik olarak işaretleyin veİskender.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Problem B9, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemeniz gereken bir fonksiyonun veya türevin grafiğini verir:
- Türevin değeri x 0 noktasında,
- Maksimum veya minimum noktalar (ekstrem noktalar),
- Artan ve azalan fonksiyonların aralıkları (monotonluk aralıkları).
Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü çok daha kolaylaştırır. Görev matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen burada derin bir teorik bilgi gerekmediğinden en zayıf öğrenciler bile bunu yapabilir.
Türevin, ekstrem noktaların ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.
Aptalca hatalar yapmaktan kaçınmak için B9 probleminin koşullarını dikkatlice okuyun: Bazen oldukça uzun metinlerle karşılaşırsınız, ancak çözümün gidişatını etkileyen birkaç önemli koşul vardır.
Türev değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi
Probleme bir f(x) fonksiyonunun bu grafiğe x 0 noktasında teğet olan bir grafiği verilirse ve bu noktada türevinin değerinin bulunması gerekiyorsa aşağıdaki algoritma uygulanır:
- Teğet grafikte iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1 ; y 1) ve B (x 2 ; y 2) olarak gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu, çözümdeki kilit noktadır ve buradaki herhangi bir hata, yanlış cevaba yol açacaktır.
- Koordinatları bilerek, Δx = x 2 − x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 − y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
- Son olarak D = Δy/Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyonun artışını argümanın artışına bölmeniz gerekir - cevap bu olacaktır.
Bir kez daha belirtelim: A ve B noktaları sıklıkla olduğu gibi f(x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet üzerinde aranmalıdır. Teğet çizgisi mutlaka bu türden en az iki nokta içerecektir - aksi takdirde sorun doğru şekilde formüle edilmeyecektir.
A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = −1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.
Türevin değerini bulalım: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.
A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Görev. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.
A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını düşünün ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Son örnekten bir kural formüle edebiliriz: eğer teğet OX eksenine paralelse, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfırdır. Bu durumda hiçbir şeyi saymanıza bile gerek yok; sadece grafiğe bakın.
Maksimum ve minimum puanların hesaplanması
Bazen Problem B9, bir fonksiyonun grafiği yerine türevin bir grafiğini verir ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunmasını gerektirir. Bu durumda iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha da basit başka bir algoritma daha vardır. Öncelikle terminolojiyi tanımlayalım:
- Eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir: f(x 0) ≥ f(x).
- Eğer bu noktanın komşuluğunda aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f(x 0) ≤ f(x).
Türev grafiğinden maksimum ve minimum noktaları bulmak için şu adımları uygulamanız yeterlidir:
- Gereksiz tüm bilgileri kaldırarak türev grafiğini yeniden çizin. Uygulamada görüldüğü gibi, gereksiz veriler yalnızca karara müdahale eder. Bu nedenle türevin sıfırlarını koordinat ekseninde işaretliyoruz - işte bu kadar.
- Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Eğer bir x 0 noktası için f'(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, bu durumda yalnızca iki seçenek mümkündür: f'(x 0) ≥ 0 veya f'(x 0) ≤ 0. Türevin işareti şöyledir: orijinal çizimden bunu belirlemek kolaydır: eğer türev grafiği OX ekseninin üzerinde yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≥ 0. Ve bunun tersi, eğer türev grafiği OX ekseninin altında yer alıyorsa, o zaman f'(x) ≤ 0.
- Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol ediyoruz. İşaretin eksiden artıya değiştiği nokta minimum noktadır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa doğru yapılır.
Bu şema yalnızca sürekli fonksiyonlar için çalışır - B9 probleminde başka şema yoktur.
Görev. Şekilde [−5; 5]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.
Gereksiz bilgilerden kurtulalım ve sadece sınırları bırakalım [−5; 5] ve türevinin sıfırları x = −3 ve x = 2,5. Ayrıca işaretleri de not ediyoruz:
Açıkçası, x = −3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.
Görev. Şekil, [−3; 7]. Bu doğru parçası üzerinde f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.
Grafiği yeniden çizelim, yalnızca [−3; 7] ve türevinin sıfırları x = −1,7 ve x = 5. Ortaya çıkan grafikte türevin işaretlerini not edelim. Sahibiz:
Açıkçası, x = 5 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.
Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−6; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; parçasına ait maksimum nokta sayısını bulun; 3].
Sorunun koşullarından, grafiğin yalnızca [−4; 3]. Bu nedenle, yalnızca [−4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları. Şunu elde ederiz:
Bu grafikte yalnızca bir x = 2 maksimum noktası vardır. Bu noktada türevin işareti artıdan eksiye değişir.
Koordinatları tam sayı olmayan noktalar hakkında küçük bir not. Örneğin, son problemde x = −3,5 noktası dikkate alındı, ancak aynı başarıyla x = −3,4'ü de alabiliriz. Sorun doğru bir şekilde derlenirse, "sabit bir ikamet yeri olmayan" noktalar sorunun çözümüne doğrudan katılmadığından bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. Elbette bu numara tam sayı noktalarda işe yaramayacaktır.
Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma
Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktalar gibi, fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı alanları bulmak için türev grafiğinin kullanılması önerilmektedir. Öncelikle artan ve azalan şeyin ne olduğunu tanımlayalım:
- Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde artan olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Başka bir deyişle, argüman değeri ne kadar büyük olursa, fonksiyon değeri de o kadar büyük olur.
- Bu parçadaki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, f(x) fonksiyonunun bir parça üzerinde azalan olduğu söylenir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Onlar. Daha büyük bir bağımsız değişken değeri daha küçük bir işlev değerine karşılık gelir.
Artma ve azalma için yeterli koşulları formüle edelim:
- Sürekli bir f(x) fonksiyonunun doğru parçası üzerinde artması için parça içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir. f’(x) ≥ 0.
- Sürekli bir f(x) fonksiyonunun doğru parçası üzerinde azalması için parça içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f’(x) ≤ 0.
Bu açıklamaları delilsiz kabul edelim. Böylece, birçok yönden ekstrem noktaları hesaplama algoritmasına benzeyen, artan ve azalan aralıkları bulmak için bir şema elde ederiz:
- Gereksiz tüm bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde öncelikle fonksiyonun sıfırlarıyla ilgilendiğimiz için yalnızca onları bırakacağız.
- Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini işaretleyin. f'(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar, f'(x) ≤ 0 olduğunda ise azalır. Eğer problem x değişkenine kısıtlamalar getiriyorsa, bunları ek olarak yeni bir grafikte işaretliyoruz.
- Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamaları bildiğimize göre, problemde gerekli miktarı hesaplamak kalıyor.
Görev. Şekil, [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda bu aralıklarda yer alan tam sayıların toplamını belirtiniz.
Her zamanki gibi grafiği yeniden çizelim ve sınırları işaretleyelim [−3; 7,5] ve ayrıca x = −1,5 ve x = 5,3 türevinin sıfırları. Daha sonra türevin işaretlerini not ediyoruz. Sahibiz:
Türev (− 1,5) aralığında negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Bu aralığın içindeki tüm tam sayıları toplamaya devam ediyor:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Görev. Şekilde f(x) fonksiyonunun [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artış aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin.
Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Yalnızca [−10; 4] ve türevin sıfırları, ki bu sefer dört tane vardı: x = −8, x = −6, x = −3 ve x = 2. Türevin işaretlerini işaretleyelim ve aşağıdaki resmi elde edelim:
Artan fonksiyonun aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. f'(x) ≥ 0 olacak şekilde. Grafikte böyle iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). Uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
ben 2 = 2 - (−3) = 5.
Aralıklardan en büyüğünün uzunluğunu bulmamız gerektiğinden cevap olarak l 2 = 5 değerini yazıyoruz.
Bir fonksiyonun türevi okul müfredatındaki zor konulardan biridir. Türevin ne olduğu sorusuna her mezun cevap vermeyecektir.
Bu makalede türevin ne olduğu ve neden gerekli olduğu basit ve anlaşılır bir şekilde açıklanmaktadır.. Artık sunumda matematiksel titizlik için çabalamayacağız. En önemli şey anlamını anlamaktır.
Tanımı hatırlayalım:
Türev, bir fonksiyonun değişim oranıdır.
Şekilde üç fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyüyor?
Cevap açık; üçüncüsü. En yüksek değişim oranına, yani en büyük türeve sahiptir.
İşte başka bir örnek.
Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldular. Gelirlerinin yıl içinde nasıl değiştiğini görelim:
Grafik her şeyi bir anda gösteriyor değil mi? Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Grisha'nın geliri de arttı ama çok az. Ve Matvey'in geliri sıfıra düştü. Başlangıç koşulları aynıdır ancak fonksiyonun değişim hızı yani türev, - farklı. Matvey'e gelince, gelir türevi genellikle negatiftir.
Sezgisel olarak bir fonksiyonun değişim hızını kolayca tahmin ederiz. Peki bunu nasıl yapacağız?
Aslında baktığımız şey, bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik bir şekilde yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, x değiştikçe y ne kadar hızlı değişir? Açıkçası, aynı fonksiyon farklı noktalarda farklı türev değerlerine sahip olabilir - yani daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.
Bir fonksiyonun türevi gösterilir.
Bir grafik kullanarak onu nasıl bulacağınızı göstereceğiz.
Bazı fonksiyonların grafiği çizildi. Üzerinde apsis bulunan bir noktayı ele alalım. Bu noktada fonksiyonun grafiğine teğet çizelim. Bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yükseleceğini tahmin etmek istiyoruz. Bunun için uygun bir değer teğet açının tanjantı.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada çizilen teğet açının tanjantına eşittir.
Teğetin eğim açısı olarak teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açıyı aldığımızı lütfen unutmayın.
Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğine teğetin ne olduğunu sorarlar. Bu bölümdeki grafikle tek ortak noktası olan ve şeklimizde görüldüğü gibi düz bir çizgidir. Bir daireye teğet gibi görünüyor.
Hadi bulalım. Bir dik üçgende dar açının tanjantının karşı kenarın komşu kenara oranına eşit olduğunu hatırlıyoruz. Üçgenden:
Fonksiyonun formülünü bile bilmeden grafiği kullanarak türevi bulduk. Bu tür problemler genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavında numara altında bulunur.
Önemli bir ilişki daha var. Düz çizginin denklem tarafından verildiğini hatırlayın
Bu denklemdeki miktara denir düz bir çizginin eğimi. Düz çizginin eksene olan eğim açısının tanjantına eşittir.
.
Bunu anlıyoruz
Bu formülü hatırlayalım. Türevin geometrik anlamını ifade eder.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.
Başka bir deyişle türev, teğet açının tanjantına eşittir.
Aynı fonksiyonun farklı noktalarda farklı türevlerinin olabileceğini daha önce söylemiştik. Türevin fonksiyonun davranışıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim.
Bir fonksiyonun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon bazı bölgelerde artsın, bazı yerlerde azalsın, farklı oranlarda. Ve bu fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları olsun.
Bir noktada fonksiyon artar. Bir noktada çizilen grafiğe teğet, eksenin pozitif yönü ile dar bir açı oluşturur. Bu, noktadaki türevin pozitif olduğu anlamına gelir.
Bu noktada fonksiyonumuz azalıyor. Bu noktadaki teğet, eksenin pozitif yönü ile geniş bir açı oluşturur. Geniş açının tanjantı negatif olduğundan bu noktadaki türevi de negatiftir.
İşte olanlar:
Bir fonksiyon artıyorsa türevi pozitiftir.
Azalırsa türevi negatif olur.
Maksimum ve minimum noktalarda ne olacak? (Maksimum nokta) ve (minimum nokta) noktalarında teğetin yatay olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla teğetin bu noktalardaki tanjantı sıfırdır ve türevi de sıfırdır.
Nokta - maksimum nokta. Bu noktada fonksiyondaki artışın yerini azalma alır. Sonuç olarak türevin işareti “artı”dan “eksi”ye doğru değişir.
Bu noktada - minimum nokta - türev de sıfırdır, ancak işareti "eksi" den "artı" ya değişir.
Sonuç: Türevi kullanarak bir fonksiyonun davranışı hakkında bizi ilgilendiren her şeyi bulabiliriz.
Türev pozitifse fonksiyon artar.
Türev negatifse fonksiyon azalır.
Maksimum noktada türev sıfırdır ve işareti “artı”dan “eksi”ye değişir.
Minimum noktada türev de sıfırdır ve işareti “eksi”den “artı”ya değişir.
Bu sonuçları bir tablo şeklinde yazalım:
| artışlar | maksimum nokta | azalır | minimum puan | artışlar | |
| + | 0 | - | 0 | + |
İki küçük açıklama yapalım. USE problemlerini çözerken bunlardan birine ihtiyacınız olacak. Bir diğeri - ilk yılda, fonksiyonlar ve türevler üzerine daha ciddi bir çalışma ile.
Bir fonksiyonun bir noktada türevinin sıfıra eşit olması mümkündür ancak fonksiyonun bu noktada ne maksimumu ne de minimumu vardır. Bu sözde :
Bir noktada grafiğin teğeti yatay, türevi ise sıfırdır. Ancak bu noktadan önce fonksiyon arttı, noktadan sonra ise artmaya devam ediyor. Türevin işareti değişmez, olduğu gibi pozitif kalır.
Aynı zamanda maksimum veya minimum noktasında türevin mevcut olmadığı da olur. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir.
Fonksiyon bir grafikle değil formülle veriliyorsa türev nasıl bulunur? Bu durumda geçerlidir
