Janë shfaqur detyra të reja. Le të shohim zgjidhjen e tyre.
Prototipi i detyrës B8 (Nr. 317543)
Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y=f(x) dhe janë shënuar pikat -2, -1, 1, 2. Në cilën nga këto pika është më e madhe vlera e derivatit? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Siç e dimë, quhet
kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, kur rritja e argumentit tenton në zero:
Derivati në një pikë tregon shkalla e ndryshimit të funksionit në këtë pikë. Sa më shpejt të ndryshojë funksioni, domethënë sa më i madh të jetë rritja e funksionit, aq më i madh është këndi i prirjes së tangjentes. Meqenëse problemi kërkon përcaktimin e pikës në të cilën vlera e derivatit është më e madhe, ne përjashtojmë nga shqyrtimi pikat me abshisa -1 dhe 1 - në këto pika funksioni zvogëlohet, dhe derivati në to është negativ.
Funksioni rritet në pikat -2 dhe 2. Megjithatë, ai rritet në to në mënyra të ndryshme - në pikën -2 grafiku i funksionit ngrihet më pjerrët se në pikën 2, dhe për këtë arsye rritja e funksionit në këtë pikë, dhe për rrjedhojë derivati, është më i madh.
Përgjigje: -2
Dhe një detyrë e ngjashme:
Prototipi i detyrës B8 (Nr. 317544)
Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit dhe janë shënuar pikat -2, -1, 1, 4. Në cilën prej këtyre pikave derivati është më i vogli? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Zgjidhja e këtij problemi është e ngjashme me zgjidhjen e asaj të mëparshme "pikërisht e kundërta"
Ne jemi të interesuar për pikën në të cilën derivati merr vlerën e tij më të vogël, domethënë, ne po kërkojmë pikën në të cilën funksioni zvogëlohet më shpejt - në grafik kjo është pika në të cilën ndodh "zbritja" më e pjerrët. Kjo është pika 4 e abscisës.
Të dashur miq! Grupi i detyrave që lidhen me derivatin përfshin detyra - kushti jep një grafik të një funksioni, disa pika në këtë grafik dhe pyetja është:
Në cilën pikë derivati është më i madhi (më i vogli)?
Le të përsërisim shkurt:
Derivati në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes që kalonkëtë pikë në grafik.
UKoeficienti global i tangjentës, nga ana tjetër, është i barabartë me tangjentën e këndit të prirjes së kësaj tangjente.
*Kjo i referohet këndit ndërmjet tangjentes dhe boshtit x.
1. Në intervalet e funksionit në rritje, derivati ka një vlerë pozitive.
2. Në intervalet e uljes së tij, derivati ka vlerë negative.
Merrni parasysh skicën e mëposhtme:
Në pikat 1,2,4 derivati i funksionit ka vlerë negative, pasi këto pika i përkasin intervaleve në rënie.
Në pikat 3,5,6 derivati i funksionit ka vlerë pozitive, pasi këto pika i përkasin intervaleve në rritje.
Siç mund ta shihni, gjithçka është e qartë me kuptimin e derivatit, domethënë nuk është aspak e vështirë të përcaktohet se çfarë shenje ka (pozitive apo negative) në një pikë të caktuar të grafikut.
Për më tepër, nëse ndërtojmë mendërisht tangjentet në këto pika, do të shohim se drejtëzat që kalojnë nëpër pikat 3, 5 dhe 6 formojnë kënde me boshtin oX që varion nga 0 në 90 o, dhe drejtzat që kalojnë nëpër pikat 1, 2 dhe 4 formojnë me boshtin oX këndet variojnë nga 90 o deri në 180 o.
*Marrëdhënia është e qartë: tangjentet që kalojnë nëpër pika që i përkasin intervaleve të funksioneve në rritje formojnë kënde akute me boshtin oX, tangjentet që kalojnë nëpër pika që i përkasin intervaleve të funksioneve në rënie formojnë kënde të mpirë me boshtin oX.
Tani pyetja e rëndësishme!
Si ndryshon vlera e derivatit? Në fund të fundit, tangjentja në pika të ndryshme të grafikut të një funksioni të vazhdueshëm formon kënde të ndryshme, në varësi të cilës pikë të grafikut kalon.
*Ose, me fjalë të thjeshta, tangjentja ndodhet më shumë "horizontalisht" ose "vertikalisht". Shikoni:
Vijat e drejta formojnë kënde me boshtin oX që varion nga 0 në 90 o
Vijat e drejta formojnë kënde me boshtin oX që varion nga 90° deri në 180°
Prandaj, nëse keni ndonjë pyetje:
- në cilën nga pikat e dhëna të grafikut derivati ka vlerën më të vogël?
- në cilën nga pikat e dhëna të grafikut derivati ka vlerën më të madhe?
atëherë për t'u përgjigjur është e nevojshme të kuptohet se si ndryshon vlera e tangjentës së këndit tangjente në diapazonin nga 0 në 180 o.
*Siç është përmendur tashmë, vlera e derivatit të funksionit në një pikë është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së tangjentes me boshtin oX.
Vlera tangjente ndryshon si më poshtë:
Kur këndi i prirjes së drejtëzës ndryshon nga 0° në 90°, vlera e tangjentes, dhe rrjedhimisht e derivatit, ndryshon në përputhje me rrethanat nga 0 në +∞;
Kur këndi i prirjes së vijës së drejtë ndryshon nga 90° në 180°, vlera e tangjentes, dhe rrjedhimisht e derivatit, ndryshon në përputhje me rrethanat –∞ në 0.
Kjo mund të shihet qartë nga grafiku i funksionit tangjent:
Me fjalë të thjeshta:
Në një kënd prirje tangjente nga 0° deri në 90°
Sa më afër të jetë 0 o, aq më e madhe vlera e derivatit do të jetë afër zeros (në anën pozitive).
Sa më afër të jetë këndi me 90°, aq më shumë do të rritet vlera e derivatit drejt +∞.
Me një kënd prirje tangjente nga 90° deri në 180°
Sa më afër të jetë 90 o, aq më shumë vlera e derivatit do të ulet drejt –∞.
Sa më afër të jetë këndi me 180°, aq më e madhe do të jetë vlera e derivatit afër zeros (në anën negative).
317543. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe pikat janë të shënuara–2, –1, 1, 2. Në cilën nga këto pika derivati është më i madh? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Kemi katër pika: dy prej tyre i përkasin intervaleve në të cilat zvogëlohet funksioni (këto janë pikat –1 dhe 1) dhe dy janë intervalet në të cilat funksioni rritet (këto janë pikat –2 dhe 2).
Mund të konkludojmë menjëherë se në pikat –1 dhe 1 derivati ka vlerë negative dhe në pikat –2 dhe 2 ka vlerë pozitive. Prandaj, në këtë rast, është e nevojshme të analizohen pikat –2 dhe 2 dhe të përcaktohet se cila prej tyre do të ketë vlerën më të madhe. Le të ndërtojmë tangjente që kalojnë nëpër pikat e treguara:
Vlera e tangjentës së këndit ndërmjet drejtëzës a dhe boshtit të abshisës do të jetë më e madhe se vlera e tangjentës së këndit ndërmjet drejtëzës b dhe këtij boshti. Kjo do të thotë se vlera e derivatit në pikën –2 do të jetë më e madhja.
Le t'i përgjigjemi pyetjes së mëposhtme: në cilën pikë –2, –1, 1 ose 2 është më negative vlera e derivatit? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Derivati do të ketë një vlerë negative në pikat që i përkasin intervaleve zvogëluese, prandaj le të shqyrtojmë pikat –2 dhe 1. Le të ndërtojmë tangjentet që kalojnë nëpër to:
Ne shohim se këndi i mpirë midis drejtëzës b dhe boshtit oX është "më afër" me 180 O , prandaj tangjentja e saj do të jetë më e madhe se tangjentja e këndit të formuar nga drejtëza a dhe boshti oX.
Kështu, në pikën x = 1, vlera e derivatit do të jetë negative më e madhe.
317544. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe pikat janë të shënuara–2, –1, 1, 4. Në cilën prej këtyre pikave derivati është më i vogli? Ju lutemi, tregoni këtë pikë në përgjigjen tuaj.
Kemi katër pika: dy prej tyre i përkasin intervaleve në të cilat funksioni zvogëlohet (këto janë pikat –1 dhe 4) dhe dy intervaleve në të cilat funksioni rritet (këto janë pikat –2 dhe 1).
Mund të konkludojmë menjëherë se në pikat –1 dhe 4 derivati ka vlerë negative, dhe në pikat –2 dhe 1 ka vlerë pozitive. Prandaj, në këtë rast, është e nevojshme të analizohen pikat –1 dhe 4 dhe të përcaktohet se cila prej tyre do të ketë vlerën më të vogël. Le të ndërtojmë tangjente që kalojnë nëpër pikat e treguara:
Vlera e tangjentës së këndit ndërmjet drejtëzës a dhe boshtit të abshisës do të jetë më e madhe se vlera e tangjentës së këndit ndërmjet drejtëzës b dhe këtij boshti. Kjo do të thotë se vlera e derivatit në pikën x = 4 do të jetë më e vogla.
Përgjigje: 4
Shpresoj të mos ju "mbingarkoj" me sasinë e shkrimit. Në fakt, gjithçka është shumë e thjeshtë, thjesht duhet të kuptoni vetitë e derivatit, kuptimin e tij gjeometrik dhe si ndryshon vlera e tangjentës së këndit nga 0 në 180 o.
1. Së pari, përcaktoni shenjat e derivatit në këto pika (+ ose -) dhe zgjidhni pikat e nevojshme (në varësi të pyetjes së parashtruar).
2. Ndërtoni tangjente në këto pika.
3. Duke përdorur grafikun tangezoid, shënoni në mënyrë skematike këndet dhe afishoniAleksandër.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Problemi B9 jep një grafik të një funksioni ose derivati nga i cili duhet të përcaktoni një nga sasitë e mëposhtme:
- Vlera e derivatit në një pikë x 0,
- Pikat maksimale ose minimale (pikat ekstreme),
- Intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese (intervalet e monotonitetit).
Funksionet dhe derivatet e paraqitura në këtë problem janë gjithmonë të vazhdueshme, duke e bërë zgjidhjen shumë më të lehtë. Përkundër faktit se detyra i përket seksionit të analizës matematikore, edhe studentët më të dobët mund ta bëjnë atë, pasi këtu nuk kërkohet njohuri e thellë teorike.
Për të gjetur vlerën e derivatit, pikave ekstreme dhe intervaleve të monotonitetit, ekzistojnë algoritme të thjeshta dhe universale - të gjitha ato do të diskutohen më poshtë.
Lexoni me kujdes kushtet e problemit B9 për të mos bërë gabime budallaqe: ndonjëherë hasni tekste mjaft të gjata, por ka pak kushte të rëndësishme që ndikojnë në rrjedhën e zgjidhjes.
Llogaritja e vlerës së derivatit. Metoda me dy pika
Nëse problemit i jepet një grafik i një funksioni f(x), tangjent me këtë grafik në një pikë x 0, dhe kërkohet të gjendet vlera e derivatit në këtë pikë, zbatohet algoritmi i mëposhtëm:
- Gjeni dy pika "adekuate" në grafikun tangjentë: koordinatat e tyre duhet të jenë numër i plotë. Le t'i shënojmë këto pika si A (x 1 ; y 1) dhe B (x 2 ; y 2). Shkruani saktë koordinatat - kjo është një pikë kyçe në zgjidhje, dhe çdo gabim këtu do të çojë në një përgjigje të pasaktë.
- Duke ditur koordinatat, është e lehtë të llogaritet rritja e argumentit Δx = x 2 − x 1 dhe rritja e funksionit Δy = y 2 − y 1 .
- Së fundi, gjejmë vlerën e derivatit D = Δy/Δx. Me fjalë të tjera, ju duhet të ndani rritjen e funksionit me rritjen e argumentit - dhe kjo do të jetë përgjigja.
Le të theksojmë edhe një herë: pikat A dhe B duhet të kërkohen pikërisht në tangjenten, dhe jo në grafikun e funksionit f(x), siç ndodh shpesh. Linja tangjente do të përmbajë domosdoshmërisht të paktën dy pika të tilla - përndryshe problemi nuk do të formulohet saktë.
Merrni parasysh pikat A (−3; 2) dhe B (−1; 6) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Le të gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .
Merrni parasysh pikat A (0; 3) dhe B (3; 0), gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Tani gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .
Merrni parasysh pikat A (0; 2) dhe B (5; 2) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Mbetet për të gjetur vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Nga shembulli i fundit, mund të formulojmë një rregull: nëse tangjentja është paralele me boshtin OX, derivati i funksionit në pikën e tangjences është zero. Në këtë rast, as nuk keni nevojë të numëroni asgjë - thjesht shikoni grafikun.
Llogaritja e pikëve maksimale dhe minimale
Ndonjëherë, në vend të një grafiku të një funksioni, problemi B9 jep një grafik të derivatit dhe kërkon gjetjen e pikës maksimale ose minimale të funksionit. Në këtë situatë, metoda me dy pika është e padobishme, por ekziston një algoritëm tjetër, edhe më i thjeshtë. Së pari, le të përcaktojmë terminologjinë:
- Pika x 0 quhet pika maksimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≥ f(x).
- Pika x 0 quhet pika minimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≤ f(x).
Për të gjetur pikët maksimale dhe minimale nga grafiku derivat, thjesht ndiqni këto hapa:
- Rivizatoni grafikun e derivatit, duke hequr të gjitha informacionet e panevojshme. Siç tregon praktika, të dhënat e panevojshme ndërhyjnë vetëm në vendim. Prandaj, ne shënojmë zerot e derivatit në boshtin koordinativ - dhe kjo është ajo.
- Gjeni shenjat e derivatit në intervalet midis zerove. Nëse për një pikë x 0 dihet se f'(x 0) ≠ 0, atëherë janë të mundshme vetëm dy opsione: f'(x 0) ≥ 0 ose f'(x 0) ≤ 0. Shenja e derivatit është lehtë për t'u përcaktuar nga vizatimi origjinal: nëse grafiku i derivatit shtrihet mbi boshtin OX, atëherë f'(x) ≥ 0. Dhe anasjelltas, nëse grafiku i derivatit shtrihet nën boshtin OX, atëherë f'(x) ≤ 0.
- Ne kontrollojmë sërish zerat dhe shenjat e derivatit. Aty ku shenja ndryshon nga minus në plus është pika minimale. Në të kundërt, nëse shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, kjo është pika maksimale. Numërimi bëhet gjithmonë nga e majta në të djathtë.
Kjo skemë funksionon vetëm për funksione të vazhdueshme - nuk ka të tjerë në problemin B9.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−5; 5]. Gjeni pikën minimale të funksionit f(x) në këtë segment.
Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm dhe të lëmë vetëm kufijtë [−5; 5] dhe zero të derivatit x = −3 dhe x = 2,5. Ne gjithashtu vërejmë shenjat:
Natyrisht, në pikën x = −3, shenja e derivatit ndryshon nga minus në plus. Kjo është pika minimale.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7]. Gjeni pikën maksimale të funksionit f(x) në këtë segment.
Le të rivizatojmë grafikun, duke lënë vetëm kufijtë [−3; 7] dhe zero të derivatit x = −1,7 dhe x = 5. Le të vërejmë shenjat e derivatit në grafikun që rezulton. Ne kemi:
Natyrisht, në pikën x = 5, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus - kjo është pika maksimale.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−6; 4]. Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) që i përkasin segmentit [−4; 3].
Nga kushtet e problemit rezulton se mjafton të merret në konsideratë vetëm pjesa e grafikut e kufizuar nga segmenti [−4; 3]. Prandaj, ne ndërtojmë një grafik të ri në të cilin shënojmë vetëm kufijtë [−4; 3] dhe zero të derivatit brenda tij. Domethënë, pikat x = −3,5 dhe x = 2. Marrim:
Në këtë grafik ka vetëm një pikë maksimale x = 2. Pikërisht në këtë pikë, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus.
Një shënim i vogël për pikat me koordinata jo të plota. Për shembull, në problemin e fundit është marrë parasysh pika x = -3.5, por me të njëjtin sukses mund të marrim x = -3.4. Nëse problemi është përpiluar saktë, ndryshime të tilla nuk duhet të ndikojnë në përgjigjen, pasi pikat "pa një vendbanim të caktuar" nuk marrin pjesë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemit. Sigurisht, ky mashtrim nuk do të funksionojë me pikë të plota.
Gjetja e intervaleve të funksioneve rritëse dhe zvogëluese
Në një problem të tillë, si pikat maksimale dhe minimale, propozohet përdorimi i grafikut derivat për të gjetur zonat në të cilat funksioni vetë rritet ose zvogëlohet. Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë rritja dhe zvogëlimi:
- Një funksion f(x) thuhet se është në rritje në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Me fjalë të tjera, sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më e madhe është vlera e funksionit.
- Një funksion f(x) quhet zvogëlues në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ato. Një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
Le të formulojmë kushte të mjaftueshme për rritje dhe ulje:
- Në mënyrë që një funksion i vazhdueshëm f(x) të rritet në segmentin , mjafton që derivati i tij brenda segmentit të jetë pozitiv, d.m.th. f'(x) ≥ 0.
- Në mënyrë që një funksion i vazhdueshëm f(x) të zvogëlohet në segmentin , mjafton që derivati i tij brenda segmentit të jetë negativ, d.m.th. f'(x) ≤ 0.
Le t'i pranojmë këto deklarata pa prova. Kështu, marrim një skemë për gjetjen e intervaleve të rritjes dhe zvogëlimit, e cila në shumë mënyra është e ngjashme me algoritmin për llogaritjen e pikave ekstreme:
- Hiqni të gjitha informacionet e panevojshme. Në grafikun origjinal të derivatit, ne jemi të interesuar kryesisht për zerot e funksionit, kështu që do t'i lëmë vetëm ato.
- Shënoni shenjat e derivatit në intervalet ndërmjet zerove. Aty ku f'(x) ≥ 0, funksioni rritet, dhe ku f'(x) ≤ 0, zvogëlohet. Nëse problemi vendos kufizime në variablin x, ne i shënojmë ato në një grafik të ri.
- Tani që njohim sjelljen e funksionit dhe kufizimet, mbetet të llogarisim sasinë e kërkuar në problem.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7.5]. Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e numrave të plotë të përfshirë në këto intervale.
Si zakonisht, le të rivizatojmë grafikun dhe të shënojmë kufijtë [−3; 7.5], si dhe zero të derivatit x = −1.5 dhe x = 5.3. Pastaj shënojmë shenjat e derivatit. Ne kemi:
Meqenëse derivati është negativ në intervalin (− 1.5), ky është intervali i funksionit në rënie. Mbetet për të mbledhur të gjithë numrat e plotë që janë brenda këtij intervali:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [−10; 4]. Gjeni intervalet e rritjes së funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.
Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm. Le të lëmë vetëm kufijtë [−10; 4] dhe zero të derivatit, nga të cilat këtë herë ishin katër: x = −8, x = −6, x = −3 dhe x = 2. Të shënojmë shenjat e derivatit dhe të marrim figurën e mëposhtme:
Ne jemi të interesuar për intervalet e rritjes së funksionit, d.m.th. të tilla ku f’(x) ≥ 0. Ekzistojnë dy intervale të tilla në grafik: (−8; −6) dhe (−3; 2). Le të llogarisim gjatësinë e tyre:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Meqenëse duhet të gjejmë gjatësinë e intervalit më të madh, si përgjigje shkruajmë vlerën l 2 = 5.
Derivati i një funksioni është një nga temat e vështira në kurrikulën shkollore. Jo çdo i diplomuar do t'i përgjigjet pyetjes se çfarë është një derivat.
Ky artikull shpjegon në mënyrë të thjeshtë dhe të qartë se çfarë është një derivat dhe pse është i nevojshëm.. Tani nuk do të përpiqemi për rigorozitet matematikor në prezantim. Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni kuptimin.
Le të kujtojmë përkufizimin:
Derivati është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni.
Figura tregon grafikët e tre funksioneve. Cili mendoni se po rritet më shpejt?
Përgjigja është e qartë - e treta. Ka shkallën më të lartë të ndryshimit, domethënë derivatin më të madh.
Ja një shembull tjetër.
Kostya, Grisha dhe Matvey morën punë në të njëjtën kohë. Le të shohim se si ndryshuan të ardhurat e tyre gjatë vitit:
Grafiku tregon gjithçka menjëherë, apo jo? Të ardhurat e Kostya u dyfishuan në gjashtë muaj. Dhe të ardhurat e Grishës gjithashtu u rritën, por vetëm pak. Dhe të ardhurat e Matvey u ulën në zero. Kushtet e fillimit janë të njëjta, por shkalla e ndryshimit të funksionit, d.m.th derivatore, - të ndryshme. Sa i përket Matvey-t, derivati i tij i të ardhurave është përgjithësisht negativ.
Në mënyrë intuitive, ne vlerësojmë lehtësisht shkallën e ndryshimit të një funksioni. Por si ta bëjmë këtë?
Ajo që ne po shohim në të vërtetë është se sa pjerrësi rritet (ose poshtë) grafiku i një funksioni. Me fjalë të tjera, sa shpejt ndryshon y ndërsa x ndryshon? Natyrisht, i njëjti funksion në pika të ndryshme mund të ketë vlera të ndryshme derivative - domethënë mund të ndryshojë më shpejt ose më ngadalë.
Derivati i një funksioni shënohet .
Ne do t'ju tregojmë se si ta gjeni atë duke përdorur një grafik.
Është vizatuar një grafik i disa funksioneve. Le të marrim një pikë me një abscisë mbi të. Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikë. Ne duam të vlerësojmë se sa pjerrësi rritet grafiku i një funksioni. Një vlerë e përshtatshme për këtë është tangjente e këndit tangjent.
Derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në këtë pikë.
Ju lutemi vini re se si kënd i prirjes së tangjentës marrim këndin midis tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit.
Ndonjëherë studentët pyesin se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni. Kjo është një vijë e drejtë që ka një pikë të vetme të përbashkët me grafikun në këtë seksion, dhe siç tregohet në figurën tonë. Duket si një tangjente me një rreth.
Le ta gjejmë. Kujtojmë se tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është e barabartë me raportin e anës së kundërt me anën fqinje. Nga trekëndëshi:
Derivatin e gjetëm duke përdorur një grafik pa e ditur as formulën e funksionit. Probleme të tilla shpesh gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë nën numrin.
Ekziston një marrëdhënie tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se drejtëza jepet nga ekuacioni
Sasia në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.
.
Ne e kuptojmë atë
Le të kujtojmë këtë formulë. Ai shpreh kuptimin gjeometrik të derivatit.
Derivati i një funksioni në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në atë pikë.
Me fjalë të tjera, derivati është i barabartë me tangjenten e këndit tangjent.
Ne kemi thënë tashmë se i njëjti funksion mund të ketë derivate të ndryshëm në pika të ndryshme. Le të shohim se si derivati lidhet me sjelljen e funksionit.
Le të vizatojmë një grafik të disa funksioneve. Lëreni këtë funksion të rritet në disa zona dhe të ulet në të tjera, dhe me ritme të ndryshme. Dhe le që ky funksion të ketë pikë maksimale dhe minimale.
Në një moment funksioni rritet. Një tangjente me grafikun e vizatuar në pikë formon një kënd të mprehtë me drejtimin pozitiv të boshtit. Kjo do të thotë që derivati në pikë është pozitiv.
Në atë pikë funksioni ynë zvogëlohet. Tangjentja në këtë pikë formon një kënd të mpirë me drejtimin pozitiv të boshtit. Meqenëse tangjentja e një këndi të mpirë është negative, derivati në pikë është negativ.
Ja çfarë ndodh:
Nëse një funksion është në rritje, derivati i tij është pozitiv.
Nëse zvogëlohet, derivati i tij është negativ.
Çfarë do të ndodhë në pikët maksimale dhe minimale? Shohim që në pikat (pika maksimale) dhe (pika minimale) tangjentja është horizontale. Prandaj, tangjentja e tangjentes në këto pika është zero, dhe derivati është gjithashtu zero.
Pika - pikë maksimale. Në këtë pikë, rritja e funksionit zëvendësohet me një ulje. Rrjedhimisht, shenja e derivatit ndryshon në pikën nga "plus" në "minus".
Në pikën - pika minimale - derivati është gjithashtu zero, por shenja e tij ndryshon nga "minus" në "plus".
Përfundim: duke përdorur derivatin mund të zbulojmë gjithçka që na intereson për sjelljen e një funksioni.
Nëse derivati është pozitiv, atëherë funksioni rritet.
Nëse derivati është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet.
Në pikën maksimale, derivati është zero dhe ndryshon shenjën nga "plus" në "minus".
Në pikën minimale, derivati është gjithashtu zero dhe ndryshon shenjën nga "minus" në "plus".
Le t'i shkruajmë këto përfundime në formën e një tabele:
| rritet | pikë maksimale | zvogëlohet | pikë minimale | rritet | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Le të bëjmë dy sqarime të vogla. Do t'ju duhet një prej tyre kur zgjidhni problemet e PËRDORIMIT. Një tjetër - në vitin e parë, me një studim më serioz të funksioneve dhe derivateve.
Është e mundur që derivati i një funksioni në një moment të jetë i barabartë me zero, por funksioni nuk ka as një maksimum dhe as një minimum në këtë pikë. Ky është i ashtuquajturi :
Në një pikë, tangjentja me grafikun është horizontale dhe derivati është zero. Sidoqoftë, para pikës funksioni u rrit - dhe pas pikës ai vazhdon të rritet. Shenja e derivatit nuk ndryshon - ajo mbetet pozitive siç ishte.
Ndodh gjithashtu që në pikën maksimale ose minimale derivati të mos ekzistojë. Në grafik, kjo korrespondon me një thyerje të mprehtë, kur është e pamundur të vizatoni një tangjente në një pikë të caktuar.
Si të gjeni derivatin nëse funksioni nuk jepet nga një grafik, por nga një formulë? Në këtë rast zbatohet
