Nuk do të përpiqem t'ju bind të mos shkruani fletë mashtrimi. Shkruaj! Përfshirë fletët e mashtrimit në trigonometri. Më vonë planifikoj të shpjegoj pse duhen fletët e mashtrimit dhe pse fletët e mashtrimit janë të dobishme. Dhe këtu ka informacion se si të mos mësoni, por të mbani mend disa formula trigonometrike. Pra - trigonometri pa një fletë mashtrimi! Ne përdorim asociacione për memorizimin.
1. Formulat e shtimit:
Kosinuset gjithmonë "vijnë në çift": kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Dhe një gjë tjetër: kosinuset janë "të papërshtatshëm". "Gjithçka nuk është në rregull" për ta, kështu që ata ndryshojnë shenjat: "-" në "+", dhe anasjelltas.
Sinuset - "përzierje": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Formulat e shumës dhe diferencës:
kosinuset gjithmonë "vijnë në çift". Duke shtuar dy kosinus - "koloboks", marrim një palë kosinus - "koloboks". Dhe duke zbritur, ne definitivisht nuk do të marrim asnjë koloboks. Ne marrim disa sinus. Gjithashtu me një minus përpara.
Sinuset - "përzierje" :
3. Formulat për shndërrimin e një produkti në shumë dhe diferencë.
Kur marrim një çift kosinus? Kur shtojmë kosinus. Kjo është arsyeja pse
Kur marrim disa sinus? Kur zbriten kosinuset. Nga këtu:
"Përzierja" fitohet si me mbledhjen ashtu edhe me zbritjen e sinuseve. Çfarë është më argëtuese: shtimi apo zbritja? Kjo është e drejtë, palos. Dhe për formulën ata marrin shtesë:
Në formulat e parë dhe të tretë, shuma është në kllapa. Rirregullimi i vendeve të termave nuk e ndryshon shumën. Rendi është i rëndësishëm vetëm për formulën e dytë. Por, për të mos u ngatërruar, për lehtësinë e kujtimit, në të tre formulat në kllapat e para marrim ndryshimin
dhe së dyti - shuma
Fletët e mashtrimit në xhepin tuaj ju japin paqe mendore: nëse harroni formulën, mund ta kopjoni atë. Dhe ato ju japin besim: nëse nuk arrini të përdorni fletën e mashtrimit, mund t'i mbani mend lehtësisht formulat.
Formulat e mbledhjes përdoren për të shprehur përmes sinuseve dhe kosinuseve të këndeve a dhe b, vlerat e funksioneve cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Formulat e mbledhjes për sinuset dhe kosinuset
Teorema: Për çdo a dhe b, barazia e mëposhtme është e vërtetë: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Le ta vërtetojmë këtë teoremë. Merrni parasysh figurën e mëposhtme:
Mbi të, pikat Ma, M-b, M(a+b) fitohen duke rrotulluar pikën Mo nga këndet a, -b dhe a+b përkatësisht. Nga përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, koordinatat e këtyre pikave do të jenë si më poshtë: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). KëndiMoOM(a+b) = këndM-bOMa, prandaj trekëndëshat MoOM(a+b) dhe M-bOMa janë të barabartë, dhe janë dykëndësh. Kjo do të thotë se bazat MoM(a-b) dhe M-bMa janë të barabarta. Prandaj, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, marrim:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) dhe cos(-a) = cos(a). Le të transformojmë barazinë tonë duke marrë parasysh këto formula dhe katrorin e shumës dhe ndryshimit, atëherë:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Tani ne aplikojmë identitetin bazë trigonometrik:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Le të japim të ngjashme dhe t'i zvogëlojmë me -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Formulat e mëposhtme janë gjithashtu të vlefshme:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Këto formula mund të merren nga ajo e provuar më sipër duke përdorur formulat e reduktimit dhe duke zëvendësuar b me -b. Ekzistojnë gjithashtu formula shtesë për tangjentet dhe kotangjentet, por ato nuk do të jenë të vlefshme për të gjitha argumentet.
Formulat për shtimin e tangjentëve dhe kotangjenteve
Për çdo kënd a,b përveç a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n dhe a+b =pi/2 +pi*m, për çdo numër të plotë k,n,m vijon të jetë formula e vërtetë:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Për çdo kënd a,b përveç a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n dhe a-b =pi/2 +pi*m, për çdo numër të plotë k,n,m formula e mëposhtme do të jetë e vlefshme:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Për çdo kënd a,b përveç a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m dhe për çdo numër të plotë k,n,m do të jetë e vlefshme formula e mëposhtme:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Vazhdojmë bisedën tonë për formulat më të përdorura në trigonometri. Më e rëndësishmja prej tyre janë formulat e mbledhjes.
Përkufizimi 1
Formulat e mbledhjes ju lejojnë të shprehni funksione të diferencës ose shumës së dy këndeve duke përdorur funksionet trigonometrike të atyre këndeve.
Për të filluar, ne do të japim një listë të plotë të formulave të shtimit, pastaj do t'i vërtetojmë ato dhe do të analizojmë disa shembuj ilustrues.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulat bazë të mbledhjes në trigonometri
Ekzistojnë tetë formula themelore: sinusi i shumës dhe sinusi i ndryshimit të dy këndeve, kosinuset e shumës dhe ndryshimit, përkatësisht tangjentet dhe kotangjentet e shumës dhe ndryshimit. Më poshtë janë formulimet dhe llogaritjet e tyre standarde.
1. Sinusi i shumës së dy këndeve mund të merret si më poshtë:
Njehsojmë prodhimin e sinusit të këndit të parë dhe të kosinusit të të dytit;
Shumëzoni kosinusin e këndit të parë me sinusin e të parit;
Shtoni vlerat që rezultojnë.
Shkrimi grafik i formulës duket kështu: sin (α + β) = mëkat α · cos β + cos α · sin β
2. Sinusi i diferencës llogaritet pothuajse në të njëjtën mënyrë, vetëm produktet që rezultojnë nuk duhet të shtohen, por të zbriten nga njëri-tjetri. Kështu, llogaritim prodhimet e sinusit të këndit të parë me kosinusin e të dytit dhe kosinusit të këndit të parë me sinusin e të dytit dhe gjejmë ndryshimin e tyre. Formula është shkruar kështu: sin (α - β) = mëkat α · cos β + sin α · mëkat β
3. Kosinusi i shumës. Për të, gjejmë prodhimet e kosinusit të këndit të parë me kosinusin e të dytit dhe sinusin e këndit të parë me sinusin e të dytit, përkatësisht dhe gjejmë ndryshimin e tyre: cos (α + β) = cos α. · cos β - sin α · sin β
4. Kosinusi i diferencës: njehsoni prodhimet e sinuseve dhe kosinuseve të këtyre këndeve, si më parë, dhe shtoni ato. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangjentja e shumës. Kjo formulë shprehet si fraksion, numëruesi i së cilës është shuma e tangjentave të këndeve të kërkuara, dhe emëruesi është një njësi nga e cila zbritet prodhimi i tangjentave të këndeve të dëshiruara. Gjithçka është e qartë nga shënimi i saj grafik: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangjentja e diferencës. Ne llogarisim vlerat e diferencës dhe produktit të tangjentave të këtyre këndeve dhe vazhdojmë me to në mënyrë të ngjashme. Në emërues shtojmë një, dhe jo anasjelltas: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangjente e shumës. Për të llogaritur duke përdorur këtë formulë, do të na duhet prodhimi dhe shuma e kotangjenteve të këtyre këndeve, të cilën e bëjmë si më poshtë: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangjentja e diferencës . Formula është e ngjashme me atë të mëparshme, por numëruesi dhe emëruesi janë minus, jo plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Ju ndoshta keni vënë re se këto formula janë të ngjashme në çifte. Duke përdorur shenjat ± (plus-minus) dhe ∓ (minus-plus), ne mund t'i grupojmë ato për lehtësinë e regjistrimit:
sin (α ± β) = mëkat α · cos β ± cos α · mëkat β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · mëkat β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Prandaj, ne kemi një formulë regjistrimi për shumën dhe diferencën e secilës vlerë, vetëm në një rast i kushtojmë vëmendje shenjës së sipërme, në tjetrën - asaj më të ulët.
Përkufizimi 2
Ne mund të marrim çdo kënd α dhe β, dhe formulat e mbledhjes për kosinusin dhe sinusin do të funksionojnë për to. Nëse mund të përcaktojmë saktë vlerat e tangjentave dhe kotangjentave të këtyre këndeve, atëherë formulat e mbledhjes për tangjentën dhe kotangjenten do të vlejnë edhe për to.
Ashtu si shumica e koncepteve në algjebër, formulat e mbledhjes mund të vërtetohen. Formula e parë që do të vërtetojmë është formula e kosinusit të ndryshimit. Pjesa tjetër e provave mund të nxirret lehtësisht prej saj.
Le të sqarojmë konceptet bazë. Do të na duhet një rreth njësi. Do të funksionojë nëse marrim një pikë të caktuar A dhe rrotullojmë këndet α dhe β rreth qendrës (pika O). Atëherë këndi ndërmjet vektorëve O A 1 → dhe O A → 2 do të jetë i barabartë me (α - β) + 2 π · z ose 2 π - (α - β) + 2 π · z (z është çdo numër i plotë). Vektorët që rezultojnë formojnë një kënd që është i barabartë me α - β ose 2 π - (α - β), ose mund të ndryshojë nga këto vlera me një numër të plotë rrotullimesh të plota. Hidhini një sy fotos:
Ne përdorëm formulat e reduktimit dhe morëm rezultatet e mëposhtme:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultati: kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve O A 1 → dhe O A 2 → është i barabartë me kosinusin e këndit α - β, pra, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Le të kujtojmë përkufizimet e sinusit dhe kosinusit: sinusi është një funksion i këndit, i barabartë me raportin e këmbës së këndit të kundërt me hipotenuzën, kosinusi është sinusi i këndit plotësues. Prandaj, pikat A 1 Dhe A 2 kanë koordinata (cos α, sin α) dhe (cos β, sin β).
Ne marrim sa vijon:
O A 1 → = (cos α, sin α) dhe O A 2 → = (cos β, sin β)
Nëse nuk është e qartë, shikoni koordinatat e pikave të vendosura në fillim dhe në fund të vektorëve.
Gjatësitë e vektorëve janë të barabartë me 1, sepse Ne kemi një rreth njësi.
Le të analizojmë tani produktin skalar të vektorëve O A 1 → dhe O A 2 → . Në koordinata duket kështu:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + mëkat α · mëkat β
Nga kjo mund të nxjerrim barazinë:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kështu, formula e kosinusit të diferencës vërtetohet.
Tani do të vërtetojmë formulën e mëposhtme - kosinusin e shumës. Kjo është më e lehtë sepse ne mund të përdorim llogaritjet e mëparshme. Le të marrim paraqitjen α + β = α - (- β) . Ne kemi:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Kjo është vërtetimi i formulës së shumës së kosinusit. Vija e fundit përdor vetinë e sinusit dhe kosinusit të këndeve të kundërta.
Formula për sinusin e një shume mund të rrjedh nga formula për kosinusin e një ndryshimi. Le të marrim formulën e reduktimit për këtë:
e trajtës sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Kështu që
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = mëkat α cos β + cos α sin β
Dhe këtu është prova e formulës së ndryshimit sinus:
sin (α - β) = mëkat (α + (- β)) = mëkat α cos (- β) + cos α sin (- β) = = mëkat α cos β - cos α sin β
Vini re përdorimin e vetive të sinusit dhe kosinusit të këndeve të kundërta në llogaritjen e fundit.
Më pas na duhen prova të formulave të mbledhjes për tangjenten dhe kotangjenten. Le të kujtojmë përkufizimet bazë (tangjentja është raporti i sinusit me kosinusin, dhe kotangjenti është anasjelltas) dhe të marrim formulat e nxjerra tashmë paraprakisht. Ne e bëmë atë:
t g (α + β) = mëkat (α + β) cos (α + β) = mëkat α cos β + cos α sin β cos α cos β - mëkat α sin β
Kemi një fraksion kompleks. Më pas, ne duhet të ndajmë numëruesin dhe emëruesin e tij me cos α · cos β, duke pasur parasysh se cos α ≠ 0 dhe cos β ≠ 0, marrim:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - mëkat α · mëkat β cos α · cos β = mëkat α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - mëkat α · mëkat β cos α · cos β
Tani i zvogëlojmë thyesat dhe marrim formulën e mëposhtme: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Morëm t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Kjo është prova e formulës së mbledhjes tangjente.
Formula tjetër që do të vërtetojmë është tangjentja e formulës së diferencës. Gjithçka tregohet qartë në llogaritjet:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formulat për kotangjent vërtetohen në mënyrë të ngjashme:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - mëkat α · mëkat β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - mëkat α · mëkat β mëkat α · mëkat β mëkat α · cos β + cos α · mëkat β mëkat α · mëkat β = cos α · cos β mëkat α · mëkat β - 1 mëkat α · cos β mëkat α · mëkat β + cos α · mëkat β sin α · mëkat β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Me tutje:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
