Pojawiły się nowe zadania. Przyjrzyjmy się ich rozwiązaniu.
Prototyp zadania B8 (nr 317543)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x) i zaznaczono punkty -2, -1, 1, 2. W którym z tych punktów wartość pochodnej jest największa? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Jak wiemy, nazywa się to
granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera:
Pochodna w punkcie pokazuje szybkość zmiany funkcji w tym momencie. Im szybciej zmienia się funkcja, czyli im większy przyrost funkcji, tym większy jest kąt nachylenia stycznej. Ponieważ zadanie wymaga określenia punktu, w którym wartość pochodnej jest największa, wykluczamy z rozważań punkty z odciętymi -1 i 1 - w tych punktach funkcja maleje, a pochodna w nich jest ujemna.
Funkcja wzrasta w punktach -2 i 2. Zwiększa się jednak w nich w różny sposób - w punkcie -2 wykres funkcji rośnie bardziej stromo niż w punkcie 2, dlatego przyrost funkcji w tym punkcie, a co za tym idzie, pochodna, jest większa.
Odpowiedź: -2
I podobne zadanie:
Prototyp zadania B8 (nr 317544)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji i zaznaczono punkty -2, -1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Rozwiązanie tego problemu jest podobne do rozwiązania poprzedniego „dokładnie odwrotnie”
Nas interesuje moment, w którym pochodna przyjmuje najmniejszą wartość, czyli szukamy punktu, w którym funkcja maleje najszybciej – na wykresie jest to punkt, w którym następuje najbardziej strome „zejście”. To jest punkt odciętej 4.
Drodzy przyjaciele! Do grupy zadań związanych z pochodną zaliczają się zadania - warunek daje wykres funkcji, kilka punktów na tym wykresie i pytanie brzmi:
W którym momencie pochodna jest największa (najmniejsza)?
Powtórzmy krótko:
Pochodna w punkcie jest równa nachyleniu przechodzącej przez nią stycznejten punkt na wykresie.
UZ kolei globalny współczynnik stycznej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej stycznej.
*Odnosi się do kąta pomiędzy styczną a osią x.
1. W przedziałach funkcji rosnącej pochodna ma wartość dodatnią.
2. W okresach jej zmniejszania się pochodna ma wartość ujemną.
Rozważ następujący szkic:
W punktach 1,2,4 pochodna funkcji ma wartość ujemną, gdyż punkty te należą do przedziałów malejących.
W punktach 3,5,6 pochodna funkcji ma wartość dodatnią, ponieważ punkty te należą do rosnących przedziałów.
Jak widać, znaczenie pochodnej jest jasne, to znaczy wcale nie jest trudno określić, jaki znak ma ona (dodatni lub ujemny) w określonym punkcie wykresu.
Co więcej, jeśli w myślach skonstruujemy styczne w tych punktach, zobaczymy, że proste przechodzące przez punkty 3, 5 i 6 tworzą kąty z osią oX w zakresie od 0 do 90 o, a proste przechodzące przez punkty 1, 2 i 4 tworzą z osią oX kąty mieszczą się w zakresie od 90 o do 180 o.
*Zależność jest jasna: styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji rosnących tworzą z osią oX kąty ostre, styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji malejących tworzą kąty rozwarte z osią oX.
Teraz ważne pytanie!
Jak zmienia się wartość instrumentu pochodnego? Przecież styczna w różnych punktach wykresu funkcji ciągłej tworzy różne kąty, w zależności od tego, przez który punkt wykresu przechodzi.
*Lub, mówiąc prościej, styczna jest usytuowana bardziej „poziomo” lub „pionowo”. Patrzeć:
Proste tworzą kąty, których oś oX mieści się w zakresie od 0 do 90 o
Linie proste tworzą kąty o osi oX w zakresie od 90° do 180°
Dlatego jeśli masz jakieś pytania:
— w którym z podanych punktów na wykresie pochodna ma najmniejszą wartość?
- w którym z podanych punktów na wykresie pochodna ma największą wartość?
następnie, aby odpowiedzieć, należy zrozumieć, jak zmienia się wartość tangensa kąta stycznego w zakresie od 0 do 180 o.
*Jak już wspomniano, wartość pochodnej funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi oX.
Wartość tangensa zmienia się w następujący sposób:
Gdy kąt nachylenia prostej zmienia się od 0° do 90°, wartość stycznej, a tym samym pochodnej, zmienia się odpowiednio od 0 do +∞;
Kiedy kąt nachylenia prostej zmienia się z 90° na 180°, wartość stycznej, a co za tym idzie pochodnej, zmienia się odpowiednio –∞ na 0.
Można to wyraźnie zobaczyć na wykresie funkcji stycznej:
W prostych słowach:
Przy stycznym kącie nachylenia od 0° do 90°
Im bliżej 0 o, tym większa wartość pochodnej będzie bliska zeru (po stronie dodatniej).
Im kąt jest bliższy 90°, tym bardziej wartość pochodnej będzie wzrastać w kierunku +∞.
O stycznym kącie nachylenia od 90° do 180°
Im bliżej będzie 90 o, tym bardziej wartość pochodnej będzie się zmniejszać w kierunku –∞.
Im kąt będzie bliższy 180°, tym większa będzie wartość pochodnej bliska zeru (po stronie ujemnej).
317543. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = F(X) i punkty są zaznaczone–2, –1, 1, 2. W którym z tych punktów pochodna jest największa? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, w których funkcja maleje (są to punkty –1 i 1), a dwa do przedziałów, w których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 2).
Od razu możemy stwierdzić, że w punktach –1 i 1 pochodna ma wartość ujemną, a w punktach –2 i 2 wartość dodatnią. Dlatego w tym przypadku należy przeanalizować punkty –2 i 2 i określić, który z nich będzie miał największą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:
Wartość tangensa kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość tangensa kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie –2 będzie największa.
Odpowiedzmy sobie na pytanie: w którym punkcie –2, –1, 1 czy 2 wartość pochodnej jest najbardziej ujemna? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Pochodna będzie miała wartość ujemną w punktach należących do malejących przedziałów, więc rozważmy punkty –2 i 1. Skonstruujmy przechodzące przez nie styczne:
Widzimy, że kąt rozwarty pomiędzy prostą b a osią oX jest „bliższy” 180 O , zatem jego tangens będzie większy niż tangens kąta utworzonego przez prostą a i oś oX.
Zatem w punkcie x = 1 wartość pochodnej będzie najbardziej ujemna.
317544. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = F(X) i punkty są zaznaczone–2, –1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.
Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, w których funkcja maleje (są to punkty –1 i 4), a dwa do przedziałów, w których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 1).
Od razu możemy stwierdzić, że w punktach –1 i 4 pochodna ma wartość ujemną, a w punktach –2 i 1 wartość dodatnią. Dlatego w tym przypadku należy przeanalizować punkty –1 i 4 i określić, który z nich będzie miał najmniejszą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:
Wartość tangensa kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość tangensa kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie x = 4 będzie najmniejsza.
Odpowiedź: 4
Mam nadzieję, że Was nie „przeciążyłem” ilością pisania. W rzeczywistości wszystko jest bardzo proste, wystarczy zrozumieć właściwości pochodnej, jej znaczenie geometryczne i to, jak wartość tangensa kąta zmienia się od 0 do 180 o.
1. Najpierw określ znaki pochodnej w tych punktach (+ lub -) i wybierz niezbędne punkty (w zależności od postawionego pytania).
2. Skonstruuj styczne w tych punktach.
3. Korzystając z wykresu tangesoidy, zaznacz schematycznie kąty i wyświetlAleksander.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Zadanie B9 daje wykres funkcji lub pochodnej, z której należy wyznaczyć jedną z następujących wielkości:
- Wartość pochodnej w pewnym punkcie x 0,
- Punkty maksymalne lub minimalne (punkty ekstremalne),
- Przedziały funkcji rosnących i malejących (przedziały monotoniczności).
Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie ułatwia rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do sekcji analizy matematycznej, poradzą sobie z nim nawet najsłabsi uczniowie, gdyż nie jest tu wymagana głęboka wiedza teoretyczna.
Aby znaleźć wartość pochodnej, punkty ekstremalne i przedziały monotoniczności, istnieją proste i uniwersalne algorytmy - wszystkie zostaną omówione poniżej.
Przeczytaj uważnie warunki zadania B9, aby uniknąć głupich błędów: czasami trafiasz na dość długie teksty, ale jest kilka ważnych warunków, które wpływają na przebieg rozwiązania.
Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa
Jeżeli zadaniu dany jest wykres funkcji f(x), stycznej do tego wykresu w pewnym punkcie x 0 i konieczne jest znalezienie w tym punkcie wartości pochodnej, stosuje się następujący algorytm:
- Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznym: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty jako A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapisz poprawnie współrzędne - jest to kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj doprowadzi do nieprawidłowej odpowiedzi.
- Znając współrzędne łatwo obliczyć przyrost argumentu Δx = x 2 − x 1 oraz przyrost funkcji Δy = y 2 − y 1 .
- Na koniec znajdujemy wartość pochodnej D = Δy/Δx. Inaczej mówiąc, trzeba podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu – i to będzie odpowiedź.
Jeszcze raz zauważmy: punktów A i B należy szukać właśnie na stycznej, a nie jak to często bywa na wykresie funkcji f(x). Linia styczna będzie koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty - w przeciwnym razie problem nie zostanie poprawnie sformułowany.
Rozważ punkty A (-3; 2) i B (-1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.
Znajdźmy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .
Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.
Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .
Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeżeli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w punkcie styczności wynosi zero. W tym przypadku nie trzeba nawet niczego liczyć – wystarczy spojrzeć na wykres.
Obliczanie punktów maksymalnych i minimalnych
Czasami zamiast wykresu funkcji Zadanie B9 podaje wykres pochodnej i wymaga znalezienia punktu maksymalnego lub minimalnego funkcji. W tej sytuacji metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:
- Punkt x 0 nazywany jest punktem maksymalnym funkcji f(x), jeżeli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≥ f(x).
- Punkt x 0 nazywany jest punktem minimalnym funkcji f(x), jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≤ f(x).
Aby znaleźć maksimum i minimum punktów z wykresu pochodnej, wykonaj następujące kroki:
- Narysuj ponownie wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Jak pokazuje praktyka, niepotrzebne dane jedynie zakłócają decyzję. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - i tyle.
- Znajdź znaki pochodnej na przedziałach między zerami. Jeżeli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f'(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f'(x 0) ≥ 0 lub f'(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej wynosi łatwo wyznaczyć z oryginalnego rysunku: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f'(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f'(x) ≤ 0.
- Ponownie sprawdzamy zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest to punkt minimalny. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.
Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - w zadaniu B9 nie ma innych.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−5; 5]. Znajdź punkt minimalny funkcji f(x) na tym odcinku.
Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji i zostawmy jedynie granice [−5; 5] i zera pochodnej x = −3 i x = 2,5. Zwracamy również uwagę na znaki:
Oczywiście w punkcie x = −3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest minimalny punkt.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.
Narysujmy wykres na nowo, pozostawiając jedynie granice [−3; 7] oraz zera pochodnej x = −1,7 i x = 5. Zwróćmy uwagę na znaki pochodnej na otrzymanym wykresie. Mamy:
Oczywiście w punkcie x = 5 znak pochodnej zmienia się z plusa na minus - jest to punkt maksymalny.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−6; 4]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do odcinka [−4; 3].
Z warunków zadania wynika, że wystarczy uwzględnić tylko część grafu ograniczoną odcinkiem [−4; 3]. Dlatego budujemy nowy graf, na którym zaznaczamy jedynie granice [−4; 3] i zera znajdującej się w nim pochodnej. Mianowicie punkty x = −3,5 i x = 2. Otrzymujemy:
Na tym wykresie jest tylko jeden punkt maksymalny x = 2. To w tym momencie znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.
Mała uwaga dotycząca punktów o współrzędnych niecałkowitych. Przykładowo w ostatnim zadaniu uwzględniono punkt x = −3,5, ale z takim samym sukcesem możemy przyjąć x = −3,4. Jeśli problem zostanie poprawnie skompilowany, takie zmiany nie powinny mieć wpływu na odpowiedź, ponieważ punkty „bez stałego miejsca zamieszkania” nie uczestniczą bezpośrednio w rozwiązaniu problemu. Oczywiście ta sztuczka nie będzie działać w przypadku punktów całkowitych.
Znajdowanie przedziałów funkcji rosnących i malejących
W takim problemie, podobnie jak punkty maksymalne i minimalne, proponuje się użycie wykresu pochodnej do znalezienia obszarów, w których sama funkcja rośnie lub maleje. Najpierw zdefiniujmy, czym jest wzrost i spadek:
- Mówimy, że funkcja f(x) na odcinku jest rosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
- Funkcję f(x) nazywamy malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Te. Większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.
Sformułujmy warunki wystarczające do zwiększania i zmniejszania:
- Aby funkcja ciągła f(x) wzrosła na odcinku , wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka będzie dodatnia, tj. f’(x) ≥ 0.
- Aby funkcja ciągła f(x) malała na odcinku , wystarczy, aby jej pochodna wewnątrz odcinka była ujemna, tj. f’(x) ≤ 0.
Przyjmijmy te twierdzenia bez dowodów. Otrzymujemy w ten sposób schemat znajdowania przedziałów rosnących i malejących, który pod wieloma względami jest podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremalnych:
- Usuń wszystkie niepotrzebne informacje. Na oryginalnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc tylko je pozostawimy.
- Zaznacz znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdzie f’(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdzie f’(x) ≤ 0, maleje. Jeśli problem nakłada ograniczenia na zmienną x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
- Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wielkość wymaganą w zadaniu.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7,5]. Znajdź przedziały zmniejszania się funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.
Jak zwykle przerysujmy wykres i zaznaczmy granice [−3; 7,5], a także zera pochodnych x = −1,5 i x = 5,3. Następnie zauważamy znaki pochodnej. Mamy:
Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (- 1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite znajdujące się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−10; 4]. Znajdź przedziały wzrostu funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.
Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji. Zostawmy tylko granice [−10; 4] i zera pochodnej, których tym razem było cztery: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zaznaczmy znaki pochodnej i otrzymamy następujący obraz:
Interesują nas przedziały funkcji rosnącej, tj. np. gdzie f’(x) ≥ 0. Na wykresie występują dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.
Ponieważ musimy znaleźć długość największego z przedziałów, jako odpowiedź zapisujemy wartość l 2 = 5.
Pochodna funkcji jest jednym z trudnych tematów w programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.
W tym artykule w prosty i jasny sposób wyjaśniono, czym jest instrument pochodny i dlaczego jest potrzebny.. Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.
Przypomnijmy definicję:
Pochodna jest szybkością zmiany funkcji.
Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który rośnie szybciej?
Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmian, czyli największą pochodną.
Oto kolejny przykład.
Kostya, Grisza i Matwiej dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:
Wykres pokazuje wszystko na raz, prawda? Dochody Kostyi wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Matveya spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale szybkość zmiany funkcji, tj pochodna, - różny. Jeśli chodzi o Matveya, jego instrument pochodny dochodowy jest generalnie ujemny.
Intuicyjnie łatwo szacujemy szybkość zmian funkcji. Ale jak to zrobić?
Tak naprawdę patrzymy na to, jak stromo wykres funkcji rośnie (lub maleje). Innymi słowy, jak szybko zmienia się y, gdy zmienia się x? Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różne wartości pochodnych – czyli może zmieniać się szybciej lub wolniej.
Oznacza się pochodną funkcji.
Pokażemy Ci, jak to znaleźć za pomocą wykresu.
Narysowano wykres pewnej funkcji. Weźmy punkt z odciętą. Narysujmy w tym punkcie styczną do wykresu funkcji. Chcemy oszacować, jak stromo rośnie wykres funkcji. Wygodną wartością jest to tangens kąta stycznego.
Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w tym punkcie.
Należy pamiętać, że za kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi.
Czasami uczniowie pytają, czym jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma jeden punkt wspólny z wykresem w tej sekcji, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.
Znajdźmy to. Pamiętamy, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Z trójkąta:
Pochodną znaleźliśmy za pomocą wykresu, nawet nie znając wzoru funkcji. Takie problemy często można znaleźć w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki pod numerem.
Jest jeszcze jedna ważna zależność. Przypomnijmy, że linię prostą wyznacza równanie
Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. Jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi.
.
Rozumiemy to
Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.
Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.
Inaczej mówiąc, pochodna jest równa tangensowi kąta stycznego.
Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja może mieć różne pochodne w różnych punktach. Zobaczmy, jak pochodna jest powiązana z zachowaniem funkcji.
Narysujmy wykres jakiejś funkcji. Niech ta funkcja rośnie w niektórych obszarach i maleje w innych, i to w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.
W pewnym momencie funkcja wzrasta. Styczna do wykresu narysowanego w punkcie tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi. Oznacza to, że pochodna w tym punkcie jest dodatnia.
W tym momencie nasza funkcja maleje. Styczna w tym punkcie tworzy kąt rozwarty z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w tym punkcie jest ujemna.
Oto, co się dzieje:
Jeśli funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia.
Jeśli maleje, jego pochodna jest ujemna.
Co stanie się w punktach maksymalnych i minimalnych? Widzimy, że w punktach (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. Zatem tangens stycznej w tych punktach wynosi zero i pochodna również wynosi zero.
Punkt - maksymalny punkt. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.
W punkcie - punkcie minimalnym - pochodna również wynosi zero, ale jej znak zmienia się z „minus” na „plus”.
Wniosek: korzystając z pochodnej, możemy dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje na temat zachowania funkcji.
Jeżeli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie.
Jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje.
W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z „plus” na „minus”.
W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z „minus” na „plus”.
Zapiszmy te wnioski w formie tabeli:
| wzrasta | maksymalny punkt | maleje | minimalny punkt | wzrasta | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Będziesz potrzebować jednego z nich przy rozwiązywaniu problemów związanych z USE. Kolejny - w pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.
Możliwe jest, że pochodna funkcji w pewnym punkcie jest równa zeru, ale funkcja nie ma w tym punkcie ani maksimum, ani minimum. Jest to tzw :
W pewnym momencie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna wynosi zero. Jednak przed punktem funkcja wzrosła - a po punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej się nie zmienia – pozostaje dodatni tak jak był.
Zdarza się również, że w punkcie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada to ostremu załamaniu, gdy w danym punkcie nie da się narysować stycznej.
Jak znaleźć pochodną, jeśli funkcję podaje nie wykres, ale wzór? W tym przypadku ma to zastosowanie
