Lekcja i prezentacja na temat: „Koło liczbowe: definicja, ogólny wygląd, długość. Okrąg jednostkowy”

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy definicję koła liczbowego, poznamy jego główną właściwość i uporządkujemy liczby 1,2,3 itd. O tym, jak zaznaczyć inne liczby na okręgu (na przykład \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) rozumie .

Koło liczbowe zwany kołem o promieniu jednostkowym, którego punkty odpowiadają , ułożone według następujących zasad:

1) Początek znajduje się w skrajnie prawym punkcie okręgu;

2) Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara - kierunek dodatni; zgodnie z ruchem wskazówek zegara – ujemny;

3) Jeśli nakreślimy odległość \(t\) na okręgu w kierunku dodatnim, to dotrzemy do punktu o wartości \(t\);

4) Jeśli wykreślimy odległość \(t\) na okręgu w kierunku ujemnym, to dotrzemy do punktu o wartości \(–t\).

Dlaczego okrąg nazywa się kołem liczbowym?
Ponieważ ma na sobie numery. W ten sposób okrąg przypomina oś liczbową – na okręgu, podobnie jak na osi, dla każdej liczby znajduje się konkretny punkt.

Dlaczego warto wiedzieć, czym jest okrąg liczbowy?
Za pomocą koła liczbowego określa się wartości sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów. Dlatego, aby poznać trygonometrię i zdać egzamin państwowy Unified State Exam z ponad 60 punktami, musisz zrozumieć, czym jest okrąg liczbowy i jak umieszczać na nim kropki.

Co w definicji oznaczają słowa „...o promieniu jednostkowym...”?
Oznacza to, że promień tego okręgu jest równy \(1\). A jeśli skonstruujemy taki okrąg ze środkiem w początku, to będzie on przecinał się z osiami w punktach \(1\) i \(-1\).

Nie musi być narysowany mały, możesz zmienić „wielkość” podziałów wzdłuż osi, wtedy obraz będzie większy (patrz poniżej).

Dlaczego promień wynosi dokładnie jeden? Jest to wygodniejsze, ponieważ w tym przypadku obliczając obwód za pomocą wzoru \(l=2πR\) otrzymujemy:

Długość koła liczbowego wynosi \(2π\) lub w przybliżeniu \(6,28\).

Co oznacza „...których punkty odpowiadają liczbom rzeczywistym”?
Jak powiedzieliśmy powyżej, na okręgu liczbowym dla dowolnej liczby rzeczywistej na pewno będzie jej „miejsce” - punkt odpowiadający tej liczbie.

Po co określać początek i kierunek na okręgu liczbowym?
Głównym celem koła liczbowego jest jednoznaczne określenie jego punktu dla każdej liczby. Ale jak określić, gdzie umieścić punkt, jeśli nie wiesz, od czego liczyć i gdzie się poruszać?

Ważne jest, aby nie mylić początku na linii współrzędnych i na okręgu liczbowym - są to dwa różne układy odniesienia! I nie należy mylić \(1\) na osi \(x\) i \(0\) na okręgu - są to punkty na różnych obiektach.

Które punkty odpowiadają liczbom \(1\), \(2\) itd.?

Pamiętasz, założyliśmy, że okrąg liczbowy ma promień \(1\)? Będzie to nasz segment jednostkowy (analogicznie do osi liczbowej), który naniesiemy na okrąg.

Aby zaznaczyć na okręgu punkt odpowiadający cyfrze 1, należy przejść od 0 na odległość równą promieniowi w kierunku dodatnim.

Aby zaznaczyć na okręgu punkt odpowiadający liczbie \(2\), należy przebyć odległość równą dwóm promieniom od początku układu współrzędnych, tak aby \(3\) było odległością równą trzem promieniom itd.

Patrząc na to zdjęcie, możesz mieć 2 pytania:
1. Co się stanie, gdy koło się „zakończy” (tzn. dokonamy pełnego obrotu)?
Odpowiedź: przejdźmy do drugiej tury! A kiedy skończy się drugie, przejdziemy do trzeciego i tak dalej. Dlatego na okręgu można narysować nieskończoną liczbę liczb.

2. Gdzie będą liczby ujemne?
Odpowiedź: właśnie tam! Można je również ułożyć, licząc od zera wymaganą liczbę promieni, ale teraz w kierunku ujemnym.

Niestety, trudno jest oznaczyć liczby całkowite na okręgu liczbowym. Wynika to z faktu, że długość koła liczbowego nie będzie równa liczbie całkowitej: \(2π\). A w najdogodniejszych miejscach (w punktach przecięcia z osiami) pojawią się również ułamki, a nie liczby całkowite

Lekcje wideo należą do najskuteczniejszych narzędzi nauczania, szczególnie w przypadku przedmiotów szkolnych, takich jak matematyka. Dlatego autor tego materiału zebrał w jedną całość jedynie przydatne, ważne i kompetentne informacje.

Ta lekcja trwa 11:52 minut. Prawie tyle samo czasu zajmuje nauczycielowi wyjaśnienie nowego materiału na dany temat na zajęciach. Chociaż główną zaletą lekcji wideo będzie fakt, że uczniowie będą uważnie słuchać tego, o czym mówi autor, nie rozpraszając się obcymi tematami i rozmowami. W końcu, jeśli uczniowie nie będą uważnie słuchać, przegapią ważny punkt lekcji. A jeśli nauczyciel sam wyjaśni materiał, jego uczniowie mogą łatwo odwrócić uwagę od najważniejszych rozmów na abstrakcyjne tematy. I oczywiście staje się jasne, która metoda będzie bardziej racjonalna.

Autor poświęca początek lekcji na powtórzenie funkcji, które uczniowie poznali wcześniej na kursie algebry. A pierwszymi, którzy zaczynają się uczyć, są funkcje trygonometryczne. Aby je rozważyć i zbadać, potrzebny jest nowy model matematyczny. I ten model staje się kołem liczbowym, co jest dokładnie tym, co zostało powiedziane w temacie lekcji. W tym celu wprowadzono pojęcie koła jednostkowego i podano jego definicję. W dalszej części rysunku autor pokazuje wszystkie elementy takiego koła oraz to, co będzie przydatne uczniom w dalszej nauce. Łuki wskazują ćwiartki.

Następnie autor sugeruje rozważenie koła liczbowego. W tym miejscu zauważa, że ​​wygodniej jest używać koła jednostkowego. Okrąg ten pokazuje, w jaki sposób uzyskuje się punkt M, jeśli t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Następnie autor przypomina uczniom, jak znaleźć obwód koła. Następnie podaje długość okręgu jednostkowego. Proponuje się zastosować te teoretyczne dane w praktyce. Aby to zrobić, rozważ przykład, w którym musisz znaleźć punkt na okręgu odpowiadający określonym wartościom liczbowym. Rozwiązanie przykładu uzupełniono ilustracją w formie obrazkowej oraz niezbędnymi zapisami matematycznymi.

Zgodnie z warunkiem drugiego przykładu konieczne jest znalezienie punktów na okręgu liczbowym. Również tutaj całe rozwiązanie opatrzone jest komentarzami, ilustracjami i zapisem matematycznym. Przyczynia się to do rozwoju i doskonalenia umiejętności matematycznych uczniów. Trzeci przykład jest skonstruowany podobnie.

Następnie autor zauważa na okręgu te liczby, które występują częściej niż inne. Tutaj sugeruje wykonanie dwóch modeli koła liczbowego. Kiedy oba układy są gotowe, rozważany jest kolejny, czwarty przykład, w którym należy znaleźć punkt na okręgu liczbowym odpowiadający liczbie 1. Po tym przykładzie formułowane jest stwierdzenie, zgodnie z którym można znaleźć punkt M odpowiadający liczba t.

Następnie wprowadzana jest uwaga, zgodnie z którą uczniowie dowiadują się, że liczba „pi” odpowiada wszystkim liczbom, które spadają na dany punkt przy przejściu przez cały okrąg. Tę informację potwierdza piąty przykład. Jego rozwiązanie zawiera logicznie poprawne rozumowanie i rysunki ilustrujące sytuację.

DEKODOWANIE TEKSTU:

KRĄG NUMERYCZNY

Wcześniej badaliśmy funkcje zdefiniowane za pomocą wyrażeń analitycznych. Funkcje te nazwano algebraicznymi. Ale na szkolnym kursie matematyki badane są funkcje innych klas, a nie algebraiczne. Zacznijmy uczyć się funkcji trygonometrycznych.

Aby wprowadzić funkcje trygonometryczne potrzebny jest nowy model matematyczny – okrąg liczbowy. Rozważmy okrąg jednostkowy. Okrąg, którego promień jest równy segmentowi skali, bez wskazania konkretnych jednostek miary, będzie nazywany jednostką. Promień takiego okręgu uważa się za równy 1.

Użyjemy okręgu jednostkowego, w którym narysowane są poziome i pionowe średnice CA i DB (ce a i de be) (patrz rysunek 1).

Łuk AB nazwiemy pierwszą ćwiartką, łuk BC drugą ćwiartką, łuk CD trzecią ćwiartką, a łuk DA czwartym kwartałem.

Rozważmy okrąg liczbowy. Ogólnie rzecz biorąc, każdy okrąg można uznać za okrąg numeryczny, ale wygodniej jest w tym celu użyć koła jednostkowego.

DEFINICJA Dany jest okrąg jednostkowy i zaznaczany jest na nim punkt początkowy A - prawy koniec średnicy poziomej. Powiążmy każdą liczbę rzeczywistą t (te) z punktem na okręgu według następującej reguły:

1) Jeżeli t>0 (te jest większe od zera), to poruszając się od punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (dodatni kierunek okręgu) opisujemy po okręgu drogę AM (aem) o długości t. Punkt M będzie pożądanym punktem M(t) (em od te).

2) Jeśli t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Przypiszmy punkt A liczbie t = 0.

Okrąg jednostkowy z ustaloną zgodnością (między liczbami rzeczywistymi a punktami na okręgu) będzie nazywany kołem liczbowym.

Wiadomo, że obwód L (el) oblicza się ze wzoru L = 2πR (el równa się dwa pi er), gdzie π≈3,14, R jest promieniem okręgu. Dla okręgu jednostkowego R=1cm oznacza to L=2π≈6,28 cm (el równa się dwa pi w przybliżeniu 6,28).

Spójrzmy na przykłady.

PRZYKŁAD 1. Znajdź na okręgu liczbowym punkt odpowiadający podanej liczbie: ,.(pi na dwa, pi, trzy pi na dwa, dwa pi, jedenaście pi na dwa, siedem pi, minus pięć pi na dwa)

Rozwiązanie. Pierwsze sześć liczb jest dodatnich, dlatego aby znaleźć odpowiednie punkty na okręgu, należy przejść po okręgu ścieżkę o określonej długości, poruszając się od punktu A w kierunku dodatnim. Długość każdej ćwiartki koła jednostkowego jest równa. Oznacza to AB =, czyli punkt B odpowiada liczbie (patrz rys. 1). AC = , czyli punkt C odpowiada liczbie AD = , czyli punkt D odpowiada liczbie A punkt A znowu odpowiada liczbie, bo po przejściu ścieżki po okręgu znaleźliśmy się w punkcie wyjścia A.

Zastanówmy się, gdzie będzie zlokalizowany punkt. Skoro wiemy już, jaka jest długość okręgu, sprowadzimy ją do postaci (cztery pi plus trzy pi przez dwa). Czyli jadąc od punktu A w kierunku dodatnim trzeba dwukrotnie opisać cały okrąg (ścieżkę o długości 4π) i dodatkowo ścieżkę o długości kończącą się w punkcie D.

Co się stało? To jest 3∙2π + π (trzy razy dwa pi plus pi). Oznacza to, że jadąc od punktu A w kierunku dodatnim należy trzykrotnie opisać cały okrąg i dodatkowo drogę o długości π, która zakończy się w punkcie C.

Aby znaleźć punkt na okręgu liczbowym odpowiadający liczbie ujemnej, należy przejść od punktu A wzdłuż okręgu w kierunku ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) ścieżkę o długości, która odpowiada 2π +. Ścieżka ta zakończy się w punkcie D.

PRZYKŁAD 2. Znajdź punkty na okręgu liczbowym (pi na sześć, pi na cztery, pi na trzy).

Rozwiązanie. Dzieląc łuk AB na pół, otrzymujemy punkt E, który odpowiada. I dzieląc łuk AB na trzy równe części przez punkty F i O, otrzymujemy, że punkt F odpowiada, a punkt T odpowiada

(patrz rysunek 2).

PRZYKŁAD 3. Znajdź punkty na okręgu liczbowym (minus trzynaście pi na cztery, dziewiętnaście pi na sześć).

Rozwiązanie. Odkładając łuk AE (aem) o długości (pi x cztery) z punktu A trzynaście razy w kierunku ujemnym, otrzymujemy punkt H (popiół) - środek łuku BC.

Deponując łuk AF o długości (pi x sześć) z punktu A dziewiętnaście razy w kierunku dodatnim, dochodzimy do punktu N (en), który należy do trzeciej ćwiartki (łuk CD), a CN jest równe trzeciej części arc CD (patrz de).

(patrz przykładowy rysunek 2).

Najczęściej trzeba szukać punktów na okręgu liczbowym, które odpowiadają liczbom (pi na sześć, pi na cztery, pi na trzy, pi na dwa), a także tych, które są ich wielokrotnościami, czyli (siedem pi na sześć, pięć pi na cztery, cztery pi na trzy, jedenaście pi na dwa). Dlatego, aby szybko nawigować, zaleca się wykonanie dwóch układów koła liczbowego.

Na pierwszym układzie każda z ćwiartek koła liczbowego zostanie podzielona na dwie równe części i przy każdym z powstałych punktów napiszemy ich „nazwy”:

Na drugim układzie każdą z ćwiartek dzielimy na trzy równe części i przy każdym z powstałych dwunastu punktów zapisujemy ich „nazwy”:

Jeśli będziemy poruszać się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymamy te same „nazwy” punktów na rysunkach, tylko z wartością ujemną. Dla pierwszego układu:

Podobnie, jeśli poruszasz się wzdłuż drugiego układu zgodnie z ruchem wskazówek zegara od punktu O.

PRZYKŁAD 4. Znajdź punkty na okręgu liczbowym odpowiadające cyfrom 1 (jeden).

Rozwiązanie. Wiedząc, że π≈3,14 (pi jest w przybliżeniu równe trzy przecinkowi czternaście setnych), ≈ 1,05 (pi razy trzy równa się w przybliżeniu jednemu przecinkowi pięćsetnych), ≈ 0,79 (pi razy cztery jest w przybliżeniu równe zero przecinek siedemdziesiąt dziewięć setnych) . Oznacza,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe: jeśli punkt M na okręgu liczbowym odpowiada liczbie t, to odpowiada dowolnej liczbie postaci t + 2πk(te plus dwa pi ka), gdzie ka jest dowolną liczbą całkowitą, a kϵ Z(ka należy do Zeta).

Korzystając z tego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że punkt odpowiada wszystkim punktom postaci t =+ 2πk (te jest równe pi razy trzy plus dwa piki), gdzie kϵZ ( ka należy do zet), a do punktu (pięć pi na cztery) - punkty postaci t = + 2πk (te równa się pięć pi na cztery plus dwa pi ka), gdzie kϵZ ( ka należy do zet) i tak dalej.

PRZYKŁAD 5. Znajdź punkt na okręgu liczbowym: a) ; B) .

Rozwiązanie. a) Mamy: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(dwadzieścia pi razy trzy równa się dwadzieścia razy trzy pi równa się sześć plus dwie trzecie, pomnożone przez pi równa się sześć pi plus dwa pi razy trzy równa się dwa pi razy trzy plus trzy razy dwa pi).

Oznacza to, że liczba odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym co liczba (jest to druga ćwiartka) (patrz drugi układ na ryc. 4).

b) Mamy: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (minus trzydzieści pięć pi razy cztery równa się minus osiem plus trzy czwarte razy pi równa się minus trzy pi razy cztery plus dwa pi razy minus cztery ). Oznacza to, że liczba odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba

W tej lekcji przypomnimy sobie definicję osi liczbowej i podamy nową definicję koła liczbowego. Rozważymy również szczegółowo ważną właściwość koła liczbowego i ważne punkty na okręgu. Zdefiniujmy problemy bezpośrednie i odwrotne dla koła liczbowego i rozwiążmy kilka przykładów takich problemów.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Koło liczbowe

W przypadku dowolnej funkcji niezależny argument jest odraczany przez Numer linii lub na okręgu. Scharakteryzujmy zarówno oś liczbową, jak i okrąg liczbowy.

Linia prosta staje się linią liczbową (współrzędną), jeśli zaznaczy się początek współrzędnych oraz wybierze kierunek i skalę (rys. 1).

Oś liczbowa ustanawia zgodność jeden do jednego między wszystkimi punktami na linii a wszystkimi liczbami rzeczywistymi.

Np. bierzemy liczbę i kładziemy ją na osi współrzędnych, otrzymujemy punkt.Bierzemy liczbę i kładziemy ją na osi, otrzymujemy punkt (ryc. 2).

I odwrotnie, jeśli weźmiemy dowolny punkt na linii współrzędnych, wówczas odpowiada mu unikalna liczba rzeczywista (ryc. 2).

Ludzie nie od razu przychodzili na taką korespondencję. Aby to zrozumieć, przypomnijmy sobie podstawowe zbiory liczbowe.

Najpierw wprowadziliśmy zbiór liczb naturalnych

Następnie zbiór liczb całkowitych

Zbiór liczb wymiernych

Zakładano, że te zbiory będą wystarczające i że pomiędzy wszystkimi liczbami wymiernymi i punktami na prostej będzie zgodność jeden do jednego. Okazało się jednak, że na osi liczbowej jest niezliczona ilość punktów, których nie da się opisać liczbami postaci

Przykładem jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o nogach 1 i 1. Jest równa (ryc. 3).

Czy wśród zbioru liczb wymiernych istnieje liczba dokładnie równa Nie, nie ma. Udowodnijmy ten fakt.

Udowodnijmy to przez sprzeczność. Załóżmy, że istnieje ułamek równy tj.

Następnie podnosimy obie strony do kwadratu.Oczywiście prawa strona równości jest podzielna przez 2, . To oznacza i Wtedy Ale wtedy i A oznacza Wtedy okazuje się, że ułamek jest redukowalny. Jest to sprzeczne z warunkiem, co oznacza

Liczba jest irracjonalna. Zbiór liczb wymiernych i niewymiernych tworzy zbiór liczb rzeczywistych Jeśli weźmiemy dowolny punkt na prostej, będzie mu odpowiadać jakaś liczba rzeczywista. A jeśli weźmiemy jakąkolwiek liczbę rzeczywistą, na linii współrzędnych będzie jej odpowiadał pojedynczy punkt.

Wyjaśnijmy, czym jest okrąg liczbowy i jakie są relacje pomiędzy zbiorem punktów na okręgu a zbiorem liczb rzeczywistych.

Pochodzenie - punkt A. Kierunek liczenia – przeciwnie do ruchu wskazówek zegara – dodatni, zgodnie z ruchem wskazówek zegara – ujemny. Skala - obwód (ryc. 4).

Przedstawiamy te trzy przepisy, mamy okrąg liczbowy. Wskażemy, jak przypisać punkt na okręgu do każdej liczby i odwrotnie.

Ustawiając numer otrzymujemy punkt na okręgu

Każda liczba rzeczywista odpowiada punktowi na okręgu. A co w drugą stronę?

Kropka odpowiada liczbie. A jeśli weźmiemy liczby, wszystkie te liczby mają tylko jeden punkt na swoim obrazie na okręgu

Na przykład odpowiada punktowi B(ryc. 4).

Weźmy wszystkie liczby, wszystkie odpowiadają punktowi. B. Nie ma związku jeden do jednego pomiędzy wszystkimi liczbami rzeczywistymi i punktami na okręgu.

Jeśli istnieje stała liczba, odpowiada jej tylko jeden punkt na okręgu

Jeśli na okręgu znajduje się punkt, to istnieje zbiór odpowiadających mu liczb

W przeciwieństwie do linii prostej, okrąg współrzędnych nie ma związku jeden do jednego pomiędzy punktami i liczbami. Każda liczba odpowiada tylko jednemu punktowi, ale każdy punkt odpowiada nieskończonej liczbie liczb i możemy je zapisać.

Spójrzmy na główne punkty na okręgu.

Mając daną liczbę, znajdź punkt na okręgu, któremu ona odpowiada.

Dzieląc łuk na pół, otrzymujemy punkt (ryc. 5).

Zadanie odwrotne: mając punkt w środku łuku, znajdź wszystkie liczby rzeczywiste, które mu odpowiadają.

Zaznaczmy wszystkie wielokrotne łuki na okręgu liczbowym (ryc. 6).

Łuki będące wielokrotnościami

Podana jest liczba. Musisz znaleźć odpowiedni punkt.

Zadanie odwrotne - biorąc pod uwagę punkt, musisz znaleźć liczby, którym on odpowiada.

Przyjrzeliśmy się dwóm standardowym zadaniom w dwóch krytycznych punktach.

a) Znajdź punkt na okręgu liczbowym ze współrzędnymi

Opóźnienie od punktu A to całe dwa obroty i kolejna połowa i zdobywamy punkt M- jest to połowa trzeciej ćwiartki (ryc. 8).

Odpowiedź. Kropka M– połowa trzeciego kwartału.

b) Znajdź punkt na okręgu liczbowym ze współrzędnymi

Opóźnienie od punktu A pełny obrót i wciąż zdobywamy punkt N(ryc. 9).

Odpowiedź: Punkt N jest w pierwszym kwartale.

Przyjrzeliśmy się osi liczbowej i okręgowi liczbowemu i przypomnieliśmy sobie ich cechy. Cechą szczególną osi liczbowej jest zgodność jeden do jednego między punktami tej linii a zbiorem liczb rzeczywistych. W kręgu nie ma takiej korespondencji jeden do jednego. Każda liczba rzeczywista na okręgu odpowiada pojedynczemu punktowi, ale każdy punkt na okręgu liczbowym odpowiada nieskończonej liczbie liczb rzeczywistych.

W następnej lekcji przyjrzymy się okręgowi liczbowemu w płaszczyźnie współrzędnych.

Lista odnośników na temat „Numer koła”, „Punkt na okręgu”

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

Nazwa przedmiotu Algebra i początki analizy matematycznej

Klasa 10

UMK Algebra i początki analizy matematycznej, klasy 10-11. O 2. Część 1. Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego (poziom podstawowy) / A.G. Mordkowicz. – wydanie 10, ster. – M.: Mnemosyne, 2012. Część 2. Książka problemów dla placówek oświatowych (poziom podstawowy) /[ A.G. Mordkovich i in.]; edytowany przez A.G. Mordkowicz. – wydanie 10, ster. – M.: Mnemosyne, 2012.

Poziom nauki. Baza

Temat lekcji Koło liczbowe (godzina druga)

Lekcja 1

Cel: wprowadzić koncepcję koła liczbowego jako modelu krzywoliniowego układu współrzędnych.

Zadania : rozwinięcie umiejętności korzystania z koła liczbowego przy rozwiązywaniu problemów.

Planowane wyniki:

Podczas zajęć

Organizowanie czasu.

2. Sprawdzanie zadań domowych, które sprawiały uczniom trudności

II. Praca ustna.

1. Połącz każdy przedział na osi liczbowej z nierównością i zapisem analitycznym tego przedziału. Wprowadź dane do tabeli.

A (–  ; –5] D (–5; 5)

B [–5; 5] mi (–  ; –5)

W [–5; +  ) I [–5; 5)

G (–5; 5] Z (–5; +  )

1 –5 < X < 5 5 –5  X  5

2 X –5 6 X  –5

3 –5 < X  5 7 5  X < 5

4 X < –5 8 X > –5

A

1. W przeciwieństwie do badanej osi liczbowej, okrąg liczbowy jest modelem bardziej złożonym. Pojęcie łuku, które leży u jego podstaw, nie jest wiarygodnie opracowane w geometrii.

2 . Praca z podręcznikiem . Spójrzmy na praktyczny przykład z. 23–24 podręczniki (bieżnia stadionowa). Możesz poprosić uczniów o podanie podobnych przykładów (ruch satelity na orbicie, obrót koła zębatego itp.).

3. Uzasadniamy wygodę stosowania koła jednostkowego jako koła numerycznego.

4. Praca z podręcznikiem. Spójrzmy na przykłady ze str. 25–31 podręczników. Autorzy podkreślają, że dla pomyślnego opanowania modelu koła liczbowego zarówno podręcznik, jak i zeszyt zadań zapewniają system specjalnych „gier dydaktycznych”. Jest ich sześć, w tej lekcji wykorzystamy pierwsze cztery.

(Mordkovich A.G. M79 Algebra i początki analizy matematycznej. Klasy 10-11 (poziom podstawowy): podręcznik metodyczny dla nauczycieli / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 s. : chory.)

Pierwsza „gra” – obliczenie długości łuku okręgu jednostkowego. Uczniowie powinni przyzwyczaić się do faktu, że długość całego koła wynosi 2 , pół koła – , ćwierćkole – itp.

druga „gra” – znajdowanie punktów na okręgu liczbowym odpowiadających danym liczbom, wyrażonym w ułamkach liczby na przykład punkty itp. („dobre” liczby i punkty).

Trzecia „gra” – znajdowanie punktów na okręgu liczbowym, które odpowiadają danym liczbom, nie wyrażonym w ułamkach liczby na przykład punkty M (1), M (–5) itd. („złe” liczby i punkty).

czwarta „gra” – zapis liczb odpowiadających danemu „dobremu” punktowi na okręgu liczbowym, np. środek pierwszej ćwiartki jest „dobry”, odpowiadające mu liczby mają postać

Dynamiczna pauza

Zadania rozwiązywane w tej lekcji odpowiadają czterem wyznaczonym zabawom dydaktycznym. Uczniowie korzystają z układu okręgu liczbowego ze średnicamiAC (poziomo) iBD(pionowy).

1. № 4.1, № 4.3.

Rozwiązanie:

№ 4.3.

2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (a; b), № 4.14.

Rozwiązanie:

№ 4.13.

V. Praca testowa.

opcja 1

Opcja 2

1. Zaznacz punkt na okręgu liczbowym, który odpowiada tej liczbie:

2. Znajdź wszystkie liczby odpowiadające punktom zaznaczonym na okręgu liczbowym.

VI. Podsumowanie lekcji.

Pytania do uczniów:

– Podaj definicję koła liczbowego.

– Jaka jest długość koła jednostkowego? Długość połowy okręgu jednostkowego? Jej kwatera?

– Jak znaleźć punkt na okręgu liczbowym odpowiadający danej liczbie? Numer 5?

Praca domowa:, strona 23. Nr 4.2, Nr 4.4, Nr 4.5 (c; d) – Nr 4.11 (c; d), Nr 4.13 (c; d), Nr 4.15.

Lekcja 2

Cele : utrwalić koncepcję koła liczbowego jako modelu krzywoliniowego układu współrzędnych.

Zadania : nadal rozwijaj umiejętność wyszukiwania punktów na okręgu liczbowym, które odpowiadają danym „dobrym” i „złym” liczbom; zapisz liczbę odpowiadającą punktowi na okręgu liczbowym; rozwinąć umiejętność ułożenia zapisu analitycznego łuku koła liczbowego w postaci podwójnej nierówności.

Kształcenie umiejętności obliczeniowych, poprawnej mowy matematycznej i logicznego myślenia uczniów.

Zaszczepiaj niezależność, uwagę i dokładność. Kształtuj odpowiedzialne podejście do nauki.

Planowane wyniki:

Wiedz, zrozum: - koło liczbowe.

Potrafić: - znajdować punkty na okręgu według podanych współrzędnych; - znajdź współrzędne punktu znajdującego się na okręgu liczbowym.

Potrafić zastosować przestudiowany materiał teoretyczny podczas wykonywania pracy pisemnej.

Wsparcie techniczne lekcji Komputer, ekran, projektor, podręcznik, książka problemowa.

Dodatkowe wsparcie metodyczne i dydaktyczne lekcji: Mordkovich A. G. M79 Algebra i początki analizy matematycznej. Klasy 10-11 (poziom podstawowy): podręcznik metodyczny dla nauczycieli / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 s. : muł

Podczas zajęć

Organizowanie czasu.

Nastroje psychiczne studentów.

Sprawdzanie pracy domowejnr 4.2, nr 4.4, nr 4.5 (c; d) – nr 4.11 (c; d), nr 4.13 (c; d),

№ 4.15. Przeanalizuj rozwiązania zadań, które spowodowały trudność.

Praca ustna.

(na slajdzie)

1. Połącz punkty na okręgu liczbowym z podanymi liczbami:

A)

B)

V)

G)

D)

mi)

I)

H)

2. Znajdź punkty na okręgu liczbowym.

–2; 4; –8; 13.

III. Wyjaśnienie nowego materiału.

Jak już wspomniano, uczniowie opanowują system sześciu „gier” dydaktycznych, które zapewniają możliwość rozwiązywania problemów czterech głównych typów związanych z kołem liczbowym (od liczby do punktu; od punktu do liczby; od łuku do podwójnej nierówności; od podwójnej nierówności do łuku).

(Mordkovich A.G. M79 Algebra i początki analizy matematycznej. Klasy 10-11 (poziom podstawowy): podręcznik metodyczny dla nauczycieli / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 s. : chory.)

W tej lekcji wykorzystamy dwie ostatnie gry:

Piąta „gra” – zestawienie zapisów analitycznych (podwójnych nierówności) dla łuków koła liczbowego. Na przykład, jeśli dany jest łuk łączący środek pierwszej ćwiartki (początek łuku) i najniższy punkt z dwóch dzielących drugą ćwiartkę na trzy równe części (koniec łuku), to odpowiadający mu notacja ma postać:

Jeśli początek i koniec tego samego łuku zostaną zamienione miejscami, odpowiedni zapis analityczny łuku będzie wyglądał następująco:

Autorzy podręcznika zauważają, że terminy „rdzeń analitycznego zapisu łuku”, „analityczny zapis łuku” nie są powszechnie znane, zostały wprowadzone ze względów czysto metodologicznych i ich użycie zależy od nauczyciel.

6. „gra” – z tego analitycznego zapisu łuku (podwójnej nierówności) przejdź do jego obrazu geometrycznego.

Wyjaśnienia należy dokonać stosując technikę analogii. Możesz użyć ruchomego modelu osi liczbowej, który można „zwinąć” w okrąg liczbowy.

Praca z podręcznikiem .

Spójrzmy na przykład 8 ze s. 33 podręczniki.

Dynamiczna pauza

IV. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

Wykonując zadania, uczniowie muszą upewnić się, że podczas analitycznego pisania łuku lewa strona podwójnej nierówności jest mniejsza niż prawa strona. Aby to zrobić, podczas nagrywania musisz poruszać się w kierunku dodatnim, czyli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

1. grupa . Ćwiczenia mające na celu znalezienie „złych” punktów na okręgu liczbowym.

№ 4.16, nr 4.17 (a; b).

2. grupa . Ćwiczenia z zapisu analitycznego łuku i konstrukcji łuku na podstawie jego zapisu analitycznego.

№ 4.18 (a; b), nr 4.19 (a; b), nr 4.20 (a; b).

V. Samodzielna praca.

Opcja 1

3. Zgodnie z modelem analitycznym zapisz oznaczenie łuku liczbowego i zbuduj jego model geometryczny.

Opcja 2

1. Na podstawie modelu geometrycznego łuku koła liczbowego zapisać model analityczny w postaci podwójnej nierówności.

2. Zgodnie z podanym oznaczeniem łuku koła liczbowego wskazać jego modele geometryczne i analityczne.

3. Zgodnie z modelem analitycznym zapisz oznaczenie łuku koła liczbowego i zbuduj jego model geometryczny.

VI. Podsumowanie lekcji.

Pytania do uczniów:

– W jaki sposób można analitycznie zapisać łuk koła liczbowego?

– Co nazywa się rdzeniem analitycznego zapisu łuku?

– Jakie warunki muszą spełniać liczby po lewej i prawej stronie podwójnej nierówności?

Praca domowa:

1. , strona 23. Nr 4.17 (c; d), Nr 4.18 (c; d), Nr 4.19 (c; d), Nr 4.20 (c; d).

2. Na podstawie modelu geometrycznego łuku koła liczbowego zapisz jego model analityczny w postaci podwójnej nierówności.

3. Zgodnie z podanym oznaczeniem łuku koła liczbowego wskazać jego modele geometryczne i analityczne.