ონლაინ კალკულატორის კვლევის ფუნქციები. ფუნქციის შესწავლა დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდების გამოყენებით

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ᲐᲑᲡᲢᲠᲐᲥᲢᲣᲚᲘ

"ფუნქციის სრული შესწავლა და მისი გრაფიკის აგება."

შესავალი

ფუნქციის თვისებების შესწავლა და მისი გრაფიკის გამოსახვა წარმოებულების ერთ-ერთი ყველაზე მშვენიერი გამოყენებაა. ფუნქციის შესწავლის ეს მეთოდი არაერთხელ დაექვემდებარა საგულდაგულო ​​ანალიზს. მთავარი მიზეზი ის არის, რომ მათემატიკის გამოყენებაში საჭირო იყო უფრო და უფრო რთული ფუნქციების გამკლავება, რომლებიც ჩნდებოდა ახალი ფენომენების შესწავლისას. გაჩნდა გამონაკლისები მათემატიკის მიერ შემუშავებული წესებიდან, გაჩნდა შემთხვევები, როცა შექმნილი წესები საერთოდ არ იყო შესაფერისი, გაჩნდა ფუნქციები, რომლებსაც წარმოებული არ ჰქონდათ არც ერთ წერტილში.

10-11 კლასებში ალგებრისა და ელემენტარული ანალიზის კურსის შესწავლის მიზანია ფუნქციების სისტემატური შესწავლა, ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებული მათემატიკის ზოგადი მეთოდების გამოყენებითი მნიშვნელობის გამოვლენა.

ფუნქციური ცნებების შემუშავება ალგებრის შესწავლის პროცესში და ანალიზის დასაწყისი განათლების უმაღლეს საფეხურზე ეხმარება საშუალო სკოლის მოსწავლეებს მიიღონ ვიზუალური იდეები ფუნქციების უწყვეტობისა და შეუწყვეტლობის შესახებ, გაეცნონ რაიმე ელემენტარული ფუნქციის უწყვეტობას. მისი გამოყენება, ისწავლეთ მათი გრაფიკების აგება და ინფორმაციის განზოგადება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების შესახებ და გაიგეთ მათი როლი რეალობის ფენომენების შესწავლაში, ადამიანის პრაქტიკაში.

ფუნქციების გაზრდა და შემცირება

მათემატიკის, ფიზიკისა და ტექნოლოგიების სფეროებიდან სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრა იწვევს ამ ფენომენში ჩართულ ცვლადებს შორის ფუნქციური ურთიერთობის დამყარებას.

თუ ასეთი ფუნქციური დამოკიდებულება შეიძლება გამოიხატოს ანალიტიკურად, ანუ ერთი ან რამდენიმე ფორმულის სახით, მაშინ შესაძლებელი ხდება მისი შესწავლა მათემატიკური ანალიზის საშუალებით.

ეს ეხება ფუნქციის ქცევის გარკვევის შესაძლებლობას, როდესაც იცვლება ერთი ან მეორე ცვლადი (სად ფუნქცია იზრდება, სად მცირდება, სად აღწევს მაქსიმუმს და ა.შ.).

დიფერენციალური გამოთვლების გამოყენება ფუნქციის შესასწავლად ემყარება ძალიან მარტივ კავშირს, რომელიც არსებობს ფუნქციის ქცევასა და მისი წარმოებულის თვისებებს შორის, პირველ რიგში, მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის.

მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ შეიძლება ვიპოვოთ გაზრდის ან კლების ფუნქციის ინტერვალები, ანუ მისი ერთფეროვნების ინტერვალები. მონოტონურად კლებადი და მზარდი ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია ჩამოვაყალიბოთ თეორემები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს დავაკავშიროთ მოცემული ფუნქციის პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა მისი მონოტონურობის ბუნებასთან.

თეორემა 1.1. თუ ფუნქცია წ = ვ ( x ) , დიფერენცირებადი ინტერვალზე( ა , ბ ) , იზრდება მონოტონურად ამ ინტერვალზე, შემდეგ ნებისმიერ წერტილში
( x ) >0; თუ ის მონოტონურად მცირდება, მაშინ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში ( x )<0.

მტკიცებულება. დაუშვით ფუნქციაწ = ვ ( x ) მონოტონურად იზრდება( ა , ბ ) , ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი საკმარისად პატარა > 0 მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ვ ( x - ) < ვ ( x ) < ვ ( x + ) (ნახ. 1.1).

ბრინჯი. 1.1

განიხილეთ ლიმიტი

.

თუ > 0, მაშინ > 0 თუ< 0, то

< 0.

ორივე შემთხვევაში ლიმიტის ნიშნის ქვეშ გამოთქმა დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ლიმიტი დადებითია, ანუ ( x )>0 რისი დამტკიცება იყო საჭირო. თეორემის მეორე ნაწილი, რომელიც დაკავშირებულია ფუნქციის მონოტონურ კლებასთან, ანალოგიურად არის დადასტურებული.

თეორემა 1.2. თუ ფუნქცია წ = ვ ( x ) , უწყვეტი სეგმენტზე[ ა , ბ ] და დიფერენცირებადია მის ყველა შიდა წერტილში და, გარდა ამისა, ( x ) >0 ვინმესთვის x ϵ ( ა , ბ ) , მაშინ ეს ფუნქცია მონოტონურად იზრდება( ა , ბ ) ; თუ

( x ) <0 ვინმესთვის xϵ ( ა , ბ ), მაშინ ეს ფუნქცია მონოტონურად მცირდება( ა , ბ ) .

მტკიცებულება. Მოდი ავიღოთ ϵ ( ა , ბ ) და ϵ ( ა , ბ ) , და< . ლაგრანჟის თეორემის მიხედვით

( გ ) = .

მაგრამ ( გ )>0 და > 0, რაც ნიშნავს (> 0, ანუ

(. მიღებული შედეგი მიუთითებს ფუნქციის მონოტონურ ზრდაზე, რაც დამტკიცებას საჭიროებდა. თეორემის მეორე ნაწილი ანალოგიურად არის დადასტურებული.

ფუნქციის უკიდურესობა

ფუნქციის ქცევის შესწავლისას განსაკუთრებულ როლს ასრულებენ ის წერტილები, რომლებიც ერთმანეთისგან გამოყოფენ მონოტონური ზრდის ინტერვალებს მისი მონოტონური კლების ინტერვალებიდან.

განმარტება 2.1. Წერტილი ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

წ = ვ ( x ) თუ რომელიმე, თუმცა მცირე , ( < 0 , а точка მინიმალური ქულა ეწოდება თუ ( > 0.

მინიმალურ და მაქსიმალურ ქულებს ერთობლივად უწოდებენ ექსტრემალურ წერტილებს. ასეთი წერტილების ნაწილებად მონოტონურ ფუნქციას აქვს სასრული რიცხვი სასრულ ინტერვალზე (ნახ. 2.1).

ბრინჯი. 2.1

თეორემა 2.1 (აუცილებელი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის). თუ დიფერენცირებადია ინტერვალზე( ა , ბ ) ფუნქცია აქვს წერტილს ამ ინტერვალიდან არის მაქსიმალური, მაშინ მისი წარმოებული ამ ეტაპზე ნულის ტოლია. იგივე შეიძლება ითქვას მინიმალურ ქულაზე .

ამ თეორემის დადასტურება გამომდინარეობს როლის თეორემადან, რომელშიც ნაჩვენებია, რომ მინიმალური ან მაქსიმალური წერტილებში = 0 და ამ წერტილებში ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი ღერძის პარალელურიაოქსი .

თეორემა 2.1-დან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქციაწ = ვ ( x ) აქვს წარმოებული ყველა წერტილში, მაშინ მას შეუძლია მიაღწიოს უკიდურესობას იმ წერტილებში, სადაც = 0.

თუმცა, ეს პირობა არ არის საკმარისი, რადგან არის ფუნქციები, რომლებისთვისაც მითითებული პირობა დაკმაყოფილებულია, მაგრამ არ არის ექსტრემუმი. მაგალითად, ფუნქციაწ= ერთ წერტილში x = 0 წარმოებული არის ნული, მაგრამ ამ ეტაპზე ექსტრემი არ არის. გარდა ამისა, ექსტრემუმი შეიძლება იყოს იმ წერტილებში, სადაც წარმოებული არ არსებობს. მაგალითად, ფუნქციაწ = | x | არის მინიმუმ ერთი წერტილიx = 0 , თუმცა წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს.

განმარტება 2.2. წერტილებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებულს ქრება ან აქვს წყვეტა, ამ ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ..

აქედან გამომდინარე, თეორემა 2.1 არ არის საკმარისი უკიდურესი წერტილების დასადგენად.

თეორემა 2.2 (საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის). დაუშვით ფუნქცია წ = ვ ( x ) უწყვეტი ინტერვალზე( ა , ბ ) , რომელიც შეიცავს მის კრიტიკულ წერტილს , და დიფერენცირებადია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში, თვით წერტილის შესაძლო გამონაკლისის გარდა . მაშინ, თუ ამ წერტილის მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებისას წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი და, პირიქით, მინუსიდან პლუსზე - მინიმალური წერტილი..

მტკიცებულება. თუ ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს წერტილის გავლისას მარცხნიდან მარჯვნივ პლუსიდან მინუსამდე, შემდეგ ფუნქცია გადადის გაზრდიდან კლებამდე, ანუ აღწევს წერტილს მისი მაქსიმუმი და პირიქით.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ექსტრემალური ფუნქციის შესწავლის სქემა შემდეგია:

1) იპოვნეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი;

2) წარმოებულის გამოთვლა;

3) კრიტიკული წერტილების პოვნა;

4) პირველი წარმოებულის ნიშნის შეცვლით განისაზღვრება მათი ხასიათი.

ექსტრემისთვის ფუნქციის შესწავლის ამოცანა არ უნდა აგვერიოს სეგმენტზე ფუნქციის მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობების განსაზღვრასთან. მეორე შემთხვევაში, აუცილებელია სეგმენტზე არა მხოლოდ უკიდურესი წერტილების პოვნა, არამედ მათი შედარება მის ბოლოებში ფუნქციის მნიშვნელობასთან.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი ფუნქციების ინტერვალები

ფუნქციის გრაფიკის კიდევ ერთი მახასიათებელი, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს წარმოებულის გამოყენებით, არის მისი ამოზნექილი ან ჩაზნექილი.

განმარტება 3.1. ფუნქცია წ = ვ ( x ) შუალედზე ამოზნექილი ეწოდება( ა , ბ ) , თუ მისი გრაფიკი მდებარეობს მოცემულ ინტერვალზე მასზე დახატული რომელიმე ტანგენტის ქვემოთ და პირიქით, მას ჩაზნექილი ეწოდება, თუ მისი გრაფიკი მაღლა დგას მასზე დახატული ტანგენტის ზემოთ მოცემულ ინტერვალზე..

დავამტკიცოთ თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფუნქციის ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალები.

თეორემა 3.1. თუ ინტერვალის ყველა წერტილში( ა , ბ ) ფუნქციის მეორე წარმოებული ( x ) არის უწყვეტი და უარყოფითი, შემდეგ ფუნქციაწ = ვ ( x ) არის ამოზნექილი და პირიქით, თუ მეორე წარმოებული უწყვეტი და დადებითია, მაშინ ფუნქცია ჩაზნექილია.

ჩვენ ვაწარმოებთ მტკიცებულებას ფუნქციის ამოზნექილობის ინტერვალისთვის. ავიღოთ თვითნებური წერტილიϵ ( ა , ბ ) და დახაზეთ ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზეწ = ვ ( x ) (ნახ. 3.1).

თეორემა დამტკიცდება, თუ ნაჩვენები იქნება, რომ მრუდის ყველა წერტილი ინტერვალზე( ა , ბ ) დაწექი ამ ტანგენტის ქვეშ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აუცილებელია ამის დამტკიცება იმავე ღირებულებებისთვისx მრუდის ორდინატებიწ = ვ ( x ) მასზე შედგენილი ტანგენსის ორდინატზე ნაკლები წერტილი .

ბრინჯი. 3.1

განსაზღვრულობისთვის ჩვენ აღვნიშნავთ მრუდის განტოლებას: = ვ ( x ) , და მასზე ტანგენსის განტოლება წერტილში :

- ვ ( ) = ( )( x - )

ან

= ვ ( ) + ( )( x - ) .

მოდით შევადგინოთ განსხვავებადა:

- = f(x) – f( ) - ( ) (x- ).

მიმართეთ განსხვავებასვ ( x ) – ვ ( ) ლაგრანჟის საშუალო მნიშვნელობის თეორემა:

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

სად ϵ ( , x ).

ახლა გამოვიყენოთ ლაგრანჟის თეორემა კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახულებაზე:

- = ( )( - )( x - ) , სად ϵ ( , ).

როგორც ნახატიდან ჩანს,x > , მაშინ x - > 0 და - > 0 . უფრო მეტიც, თეორემის მიხედვით, ( )<0.

ამ სამი ფაქტორის გამრავლებით მივიღებთ ამას რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

განმარტება 3.2. ამოზნექილი ინტერვალის ჩაზნექილი ინტერვალისგან გამიჯნულ წერტილს ეწოდება შეხრის წერტილი.

განმარტება 3.1-დან გამომდინარეობს, რომ მოცემულ წერტილში ტანგენსი კვეთს მრუდს, ანუ ერთ მხარეს მრუდი მდებარეობს ტანგენსის ქვემოთ, ხოლო მეორეზე, ზემოთ.

თეორემა 3.2. თუ წერტილში ფუნქციის მეორე წარმოებული

წ = ვ ( x ) ნულის ტოლია ან არ არსებობს და წერტილის გავლისას მეორე წარმოებულის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ, მაშინ ეს წერტილი არის გადახრის წერტილი.

ამ თეორემის დადასტურება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნიშნები ( x ) წერტილის მოპირდაპირე მხარეს განსხვავებულები არიან. ეს ნიშნავს, რომ წერტილის ერთ მხარეს ფუნქცია ამოზნექილია, ხოლო მეორე მხარეს არის ჩაზნექილი. ამ შემთხვევაში, განმარტებით 3.2, წერტილი არის დახრის წერტილი.

ამოზნექილობისა და ჩაზნექის ფუნქციის შესწავლა ტარდება იმავე სქემით, როგორც ექსტრემის შესწავლა.

4. ფუნქციის ასიმპტოტები

წინა აბზაცებში განხილული იყო წარმოებულის გამოყენებით ფუნქციის ქცევის შესწავლის მეთოდები. თუმცა, ფუნქციის სრულ შესწავლასთან დაკავშირებულ კითხვებს შორის არის ისეთებიც, რომლებიც არ არის დაკავშირებული წარმოებულთან.

ასე, მაგალითად, აუცილებელია ვიცოდეთ, როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც მის გრაფიკზე წერტილი უსასრულოდ შორდება საწყისს. ეს პრობლემა შეიძლება წარმოიშვას ორ შემთხვევაში: როდესაც ფუნქციის არგუმენტი მიდის უსასრულობამდე და როდესაც, მეორე სახის შეწყვეტის დროს ბოლო წერტილში, თავად ფუნქცია მიდის უსასრულობამდე. ორივე შემთხვევაში, შეიძლება შეიქმნას სიტუაცია, როდესაც ფუნქცია მიდრეკილია რაიმე სწორი ხაზისკენ, რომელსაც ეწოდება მისი ასიმპტოტი.

განმარტება . ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტაწ = ვ ( x ) არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ დიაგრამადან ამ სწორ ხაზამდე მანძილი ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან გრაფიკის წერტილი უსასრულოდ მოძრაობს საწყისიდან..

არსებობს ასიმპტოტების ორი ტიპი: ვერტიკალური და ირიბი.

ვერტიკალური ასიმპტოტები მოიცავს სწორ ხაზებსx = , რომლებსაც აქვთ თვისება, რომ მათ სიახლოვეს ფუნქციის გრაფიკი მიდის უსასრულობამდე, ანუ პირობა დაკმაყოფილებულია: .

ცხადია, აქ დაკმაყოფილებულია მითითებული განმარტების მოთხოვნა: მანძილი მრუდის გრაფიკიდან სწორ ხაზამდე.x = მიდრეკილია ნულისკენ, ხოლო მრუდი თავად მიდის უსასრულობამდე. ასე რომ, მეორე ტიპის შეწყვეტის წერტილებში ფუნქციებს აქვთ ვერტიკალური ასიმპტოტები, მაგალითად,წ= ერთ წერტილში x = 0 . შესაბამისად, ფუნქციის ვერტიკალური ასიმპტოტების განსაზღვრა ემთხვევა მეორე სახის შეწყვეტის წერტილების პოვნას.

ირიბი ასიმპტოტები აღწერილია სიბრტყეზე სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით, ანუწ = kx + ბ . ეს ნიშნავს, რომ ვერტიკალური ასიმპტოტებისგან განსხვავებით, აქ აუცილებელია რიცხვების დადგენაკ და ბ .

ასე რომ, ნება მრუდი = ვ ( x ) აქვს ირიბი ასიმპტოტი, ანუ ზეx მრუდის წერტილები ისე უახლოვდება სწორ ხაზს, როგორც სასურველია = kx + ბ (ნახ. 4.1). დაე მ ( x , წ ) - წერტილი, რომელიც მდებარეობს მრუდეზე. მისი მანძილი ასიმპტოტიდან დამახასიათებელი იქნება პერპენდიკულარულის სიგრძით| MN | .

ფუნქციის სრულად შესასწავლად და მისი გრაფიკის გამოსათვლელად რეკომენდებულია შემდეგი სქემა:
ა) იპოვნეთ განსაზღვრების დომენი, წყვეტის წერტილები; შეისწავლეთ ფუნქციის ქცევა შეწყვეტის წერტილებთან ახლოს (იპოვეთ ფუნქციის საზღვრები მარცხნივ და მარჯვნივ ამ წერტილებში). მიუთითეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები.
ბ) დაადგინეთ ფუნქცია ლუწია თუ კენტი და დაასკვნეთ, რომ არსებობს სიმეტრია. თუ , მაშინ ფუნქცია ლუწი და სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ; როდესაც ფუნქცია კენტია, სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ; ხოლო თუ ზოგადი ფორმის ფუნქციაა.
გ) იპოვეთ ფუნქციის გადაკვეთის წერტილები OY და OX კოორდინატთა ღერძებთან (თუ შესაძლებელია), განსაზღვრეთ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების საზღვრები განისაზღვრება იმ წერტილებით, რომლებშიც ფუნქცია ნულის ტოლია (ფუნქცია ნულები) ან არ არსებობს და ამ ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს საზღვრები. ინტერვალებში, სადაც ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ და სად - ამ ღერძის ქვემოთ.
დ) იპოვეთ ფუნქციის პირველი წარმოებული, განსაზღვრეთ მისი ნულები და მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. იმ ინტერვალებში, სადაც ფუნქცია იზრდება და სად მცირდება. გააკეთეთ დასკვნა ექსტრემის არსებობის შესახებ (წერტილები, სადაც ფუნქცია და წარმოებული არსებობს და გავლისას, რომლებშიც იგი ცვლის ნიშანს. თუ ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ამ დროს ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, ხოლო თუ მინუსიდან პლუსზე). , შემდეგ მინიმუმი). იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობები უკიდურეს წერტილებში.
დ) იპოვეთ მეორე წარმოებული, მისი ნულები და მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. ინტერვალებით სადაც< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ე) იპოვნეთ დახრილი (ჰორიზონტალური) ასიმპტოტები, რომელთა განტოლებებს აქვს ფორმა ; სად
.
ზე ფუნქციის გრაფიკს ექნება ორი დახრილი ასიმპტოტა და თითოეული მნიშვნელობა x at და ასევე შეიძლება შეესაბამებოდეს b-ის ორ მნიშვნელობას.
ზ) იპოვეთ დამატებითი პუნქტები გრაფიკის გასარკვევად (საჭიროების შემთხვევაში) და ააგეთ გრაფიკი.

მაგალითი 1 შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი. ამოხსნა: ა) განმარტების სფერო ; ფუნქცია უწყვეტია მისი განმარტების სფეროში; – შესვენების წერტილი, რადგან ;. შემდეგ – ვერტიკალური ასიმპტოტი.
ბ)
იმათ. y(x) ზოგადი ფორმის ფუნქციაა.
გ) იპოვეთ გრაფიკის OY ღერძთან გადაკვეთის წერტილები: სიმრავლე x=0; მაშინ y(0)=–1, ე.ი. ფუნქციის გრაფიკი კვეთს ღერძს (0;-1) წერტილში. ფუნქციის ნულები (გრაფიკის OX ღერძთან გადაკვეთის წერტილები): სიმრავლე y=0; მერე
.
კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის ნულზე ნაკლები, რაც ნიშნავს რომ არ არსებობს ნულები. მაშინ მუდმივი ნიშნის ინტერვალების საზღვარი არის წერტილი x=1, სადაც ფუნქცია არ არსებობს.
ფუნქციის ნიშანი თითოეულ ინტერვალში განისაზღვრება ნაწილობრივი მნიშვნელობების მეთოდით:

დიაგრამიდან ირკვევა, რომ ინტერვალში ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვეშ, ხოლო ინტერვალში – OX ღერძის ზემოთ.
დ) ვიგებთ კრიტიკული წერტილების არსებობას.
.
ჩვენ ვპოულობთ კრიტიკულ წერტილებს (სადაც არსებობს ან არ არსებობს) თანასწორობიდან და .

ვიღებთ: x1=1, x2=0, x3=2. შევქმნათ დამხმარე ცხრილი

ცხრილი 1

(პირველი ხაზი შეიცავს კრიტიკულ წერტილებს და ინტერვალებს, რომლებშიც ეს წერტილები იყოფა OX ღერძით; მეორე ხაზი მიუთითებს წარმოებულის მნიშვნელობებს კრიტიკულ წერტილებში და ნიშნებს ინტერვალებზე. ნიშნები განისაზღვრება ნაწილობრივი მნიშვნელობით. მეთოდი. მესამე ხაზი მიუთითებს y(x) ფუნქციის მნიშვნელობებზე კრიტიკულ წერტილებში და აჩვენებს ფუნქციის ქცევას - იზრდება ან მცირდება რიცხვითი ღერძის შესაბამისი ინტერვალებით. გარდა ამისა, მინიმალური ან მაქსიმუმის არსებობა არის მითითებულია.
დ) იპოვეთ ფუნქციის ამოზნექილობისა და ჩაზნექის ინტერვალები.
; ააგეთ ცხრილი, როგორც D პუნქტში); მხოლოდ მეორე სტრიქონში ვწერთ ნიშნებს, ხოლო მესამეში აღვნიშნავთ ამოზნექილობის ტიპს. იმიტომ რომ ; მაშინ კრიტიკული წერტილი არის ერთი x=1.
მაგიდა 2

წერტილი x=1 არის გადახრის წერტილი.
ე) იპოვეთ ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები

მაშინ y=x არის ირიბი ასიმპტოტი.
ზ) მიღებული მონაცემების საფუძველზე ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

მაგალითი 2 ფუნქციის სრული შესწავლა და მისი გრაფიკის აგება. გამოსავალი.

1). ფუნქციის ფარგლები.
აშკარაა, რომ ეს ფუნქცია განსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, გარდა წერტილებისა „“ და „“, რადგან ამ წერტილებში მნიშვნელი ნულის ტოლია და, შესაბამისად, ფუნქცია არ არსებობს და სწორი ხაზები და ვერტიკალური ასიმპტოტებია.

2). ფუნქციის ქცევა, როგორც არგუმენტი მიდრეკილია უსასრულობისკენ, უწყვეტი წერტილების არსებობა და ირიბი ასიმპტოტების არსებობის შემოწმება.
მოდით, ჯერ შევამოწმოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია, როცა უახლოვდება უსასრულობას მარცხნივ და მარჯვნივ.

ამრიგად, როდესაც ფუნქცია მიდრეკილია 1-ზე, ე.ი. - ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
შეწყვეტის წერტილების სიახლოვეს ფუნქციის ქცევა განისაზღვრება შემდეგნაირად:


იმათ. მარცხნივ შეწყვეტის წერტილებთან მიახლოებისას ფუნქცია უსასრულოდ მცირდება, მარჯვნივ კი უსასრულოდ იზრდება.
ჩვენ განვსაზღვრავთ ირიბი ასიმპტოტის არსებობას თანასწორობის გათვალისწინებით:

ირიბი ასიმპტოტები არ არსებობს.

3). გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით.
აქ აუცილებელია ორი სიტუაციის გათვალისწინება: იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი Ox ღერძთან და Oy ღერძთან. Ox ღერძთან გადაკვეთის ნიშანი არის ფუნქციის ნულოვანი მნიშვნელობა, ე.ი. აუცილებელია განტოლების ამოხსნა:

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, შესაბამისად, ამ ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს გადაკვეთის წერტილები Ox-ის ღერძთან.
Oy ღერძთან გადაკვეთის ნიშანი არის x = 0. ამ შემთხვევაში
,
იმათ. – ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი Oy ღერძთან.

4).ექსტრემალური წერტილების და მატებისა და შემცირების ინტერვალების განსაზღვრა.
ამ საკითხის შესასწავლად ჩვენ განვსაზღვრავთ პირველ წარმოებულს:
.
პირველი წარმოებულის მნიშვნელობა გავუტოლოთ ნულს.
.
წილადი ნულის ტოლია, როცა მისი მრიცხველი ნულის ტოლია, ე.ი. .
განვსაზღვროთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

ამრიგად, ფუნქციას აქვს ერთი უკიდურესი წერტილი და არ არსებობს ორ წერტილში.
ამრიგად, ფუნქცია იზრდება ინტერვალებზე და და მცირდება ინტერვალებზე და .

5). გადახრის წერტილები და ამოზნექილი და ჩაზნექილი უბნები.
ფუნქციის ქცევის ეს მახასიათებელი განისაზღვრება მეორე წარმოებულის გამოყენებით. ჯერ განვსაზღვროთ გადახრის წერტილების არსებობა. ფუნქციის მეორე წარმოებული ტოლია

როდის და ფუნქცია ჩაზნექილია;

როდესაც და ფუნქცია ამოზნექილია.

6). ფუნქციის გრაფიკის დახატვა.
წერტილებში ნაპოვნი მნიშვნელობების გამოყენებით, ჩვენ სქემატურად ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს:

მაგალითი 3 შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი.

გამოსავალი
მოცემული ფუნქცია ზოგადი ფორმის არაპერიოდული ფუნქციაა. მისი გრაფიკი გადის კოორდინატების საწყისში, ვინაიდან .
მოცემული ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ცვლადის ყველა მნიშვნელობა, გარდა და რომლისთვისაც წილადის მნიშვნელი ხდება ნული.
შესაბამისად, წერტილები ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებია.
იმიტომ რომ ,

იმიტომ რომ ,
, მაშინ წერტილი არის მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი.
სწორი ხაზები არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები.
ირიბი ასიმპტოტების განტოლებები, სადაც, .
ზე ,
.
ამრიგად, for და ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი ასიმპტოტი.
ვიპოვოთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები და უკიდურესი წერტილები.
.
ფუნქციის პირველი წარმოებული at და, შესაბამისად, at და ფუნქცია იზრდება.
როდესაც, შესაბამისად, როდის, ფუნქცია მცირდება.
არ არსებობს , .
მაშასადამე, როდესაც ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია.
ზე მაშასადამე, როდესაც ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია.

წერტილებში გავლისას , , იცვლის ნიშანს. როდესაც , ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, შესაბამისად, ფუნქციის გრაფიკს აქვს ერთი გადახრის წერტილი.
ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი.

ფუნქციის შესწავლა ხორციელდება მკაფიო სქემის მიხედვით და მოითხოვს სტუდენტს ჰქონდეს სოლიდური ცოდნა ძირითადი მათემატიკური ცნებების შესახებ, როგორიცაა განსაზღვრებისა და მნიშვნელობების სფერო, ფუნქციის უწყვეტობა, ასიმპტოტი, უკიდურესი წერტილები, პარიტეტი, პერიოდულობა და ა.შ. . მოსწავლეს უნდა შეეძლოს თავისუფლად განასხვავოს ფუნქციები და ამოხსნას განტოლებები, რომლებიც ზოგჯერ შეიძლება იყოს ძალიან რთული.

ანუ, ეს ამოცანა ამოწმებს ცოდნის მნიშვნელოვან ფენას, ნებისმიერი უფსკრული, რომელშიც დაბრკოლება გახდება სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად. განსაკუთრებით ხშირად, სირთულეები წარმოიქმნება ფუნქციების გრაფიკების აგებისას. ეს შეცდომა მასწავლებლისთვის მაშინვე შესამჩნევია და შეიძლება მნიშვნელოვნად დააზიანოს თქვენი შეფასება, მაშინაც კი, თუ დანარჩენი ყველაფერი სწორად გაკეთდა. აქ შეგიძლიათ იპოვოთ ონლაინ ფუნქციების კვლევის პრობლემები: მაგალითების შესწავლა, გადაწყვეტილებების ჩამოტვირთვა, დავალებების შეკვეთა.

შეისწავლეთ ფუნქცია და შეადგინეთ გრაფიკი: მაგალითები და გადაწყვეტილებები ონლაინ

ჩვენ მოვამზადეთ თქვენთვის ბევრი მზა ფუნქციის კვლევა, როგორც გადახდილი გადაწყვეტილებების წიგნში, ასევე უფასო სექციაში ფუნქციის შესწავლის მაგალითები. ამ ამოხსნილი ამოცანების საფუძველზე შეძლებთ დეტალურად გაეცნოთ მსგავსი ამოცანების შესრულების მეთოდოლოგიას და ანალოგიით განახორციელოთ კვლევა.

გთავაზობთ მზა მაგალითებს სრული კვლევისა და ყველაზე გავრცელებული ტიპების ფუნქციების გამოსახატავად: პოლინომები, წილად-რაციონალური, ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. თითოეულ ამოხსნილ პრობლემას ახლავს მზა გრაფიკი ხაზგასმული ძირითადი წერტილებით, ასიმპტოტებით, მაქსიმუმებით და მინიმუმებით; ამოხსნა ხორციელდება ფუნქციის შესწავლის ალგორითმის გამოყენებით.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ამოხსნილი მაგალითები დაგეხმარებათ, რადგან ისინი მოიცავს ყველაზე პოპულარულ ფუნქციებს. ჩვენ გთავაზობთ ასობით უკვე გადაჭრილ პრობლემას, მაგრამ, როგორც მოგეხსენებათ, მსოფლიოში მათემატიკური ფუნქციების უსასრულო რაოდენობაა და მასწავლებლები ღარიბი სტუდენტებისთვის უფრო და უფრო რთული ამოცანების გამოგონების შესანიშნავი ექსპერტები არიან. ასე რომ, ძვირფასო სტუდენტებო, კვალიფიციური დახმარება არ შეგაწუხებთ.

მორგებული ფუნქციის კვლევის პრობლემების გადაჭრა

ამ შემთხვევაში ჩვენი პარტნიორები შემოგთავაზებენ სხვა სერვისს - სრული ფუნქციის კვლევა ონლაინშეკვეთა. დავალება შესრულდება თქვენთვის ასეთი პრობლემების გადაჭრის ალგორითმის ყველა მოთხოვნის დაცვით, რაც დიდად მოეწონება თქვენს მასწავლებელს.

ჩვენ გავაკეთებთ ფუნქციის სრულ შესწავლას თქვენთვის: ჩვენ ვიპოვით განსაზღვრების და მნიშვნელობების დომენს, განვიხილავთ უწყვეტობასა და უწყვეტობას, დავადგენთ პარიტეტს, შეამოწმებთ თქვენს ფუნქციას პერიოდულობაზე და ვიპოვით გადაკვეთის წერტილებს კოორდინატთა ღერძებით. . და, რა თქმა უნდა, შემდგომი დიფერენციალური გამოთვლების გამოყენებით: ჩვენ ვიპოვით ასიმპტოტებს, გამოვთვლით უკიდურესობებს, გადახრის წერტილებს და თავად ავაშენებთ გრაფიკს.

ფუნქციის გრაფიკის აგება სინგულარული წერტილების გამოყენებით მოიცავს თავად ფუნქციის შესწავლას: არგუმენტის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა, ფუნქციის ცვალებადობის დიაპაზონის დადგენა, ფუნქციის ლუწი თუ კენტის დადგენა, წყვეტის წერტილების დადგენა. ფუნქციის, ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალების პოვნა, ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტების პოვნა. პირველი წარმოებულის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფუნქციის გაზრდის (შემცირების) ინტერვალები და ექსტრემალური წერტილების არსებობა. მეორე წარმოებულის გამოყენებით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის (ჩაზნექის) ინტერვალები, ასევე დახრის წერტილები. ამავე დროს, ჩვენ გვჯერა, რომ თუ რაღაც მომენტში xoმრუდის ზემოთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი, მაშინ ამ წერტილში ფუნქციის გრაფიკს აქვს ამოზნექილი; თუ ტანგენსი არის მრუდის ქვემოთ, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს ამ წერტილში აქვს ჩაზნექილი.

y(x) = x³/(x²+3)

1. ფუნქციის შესწავლა.

ა) არგუმენტის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი: (-∞,+∞).

ბ) ფუნქციის ცვლილების არე: (-∞, +∞).

გ) ფუნქცია კენტია, რადგან y(-x) = -y(x),იმათ. ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

დ) ფუნქცია უწყვეტია, არ არის შეწყვეტის წერტილები, შესაბამისად, არ არის ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ე) ირიბი ასიმპტოტის განტოლების პოვნა y(x) = k∙x + b, სად

k = /xდა ბ =

ამ მაგალითში, ასიმპტოტის პარამეტრები შესაბამისად ტოლია:

k = იმიტომ მრიცხველისა და მნიშვნელის უმაღლესი ხარისხი ერთი და იგივეა, უდრის სამს, ხოლო კოეფიციენტების თანაფარდობა ამ უმაღლეს ხარისხებზე უდრის ერთი. როცა x→ + ∞ ლიმიტის გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა მესამე ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

b = = = 0, x→-ზე ლიმიტის გაანგარიშებისას + ∞ გამოიყენა მესამე ღირსშესანიშნავი ზღვარი. ამრიგად, ამ ფუნქციის გრაფიკს აქვს დახრილი ასიმპტოტი y=x.

2.

y´= /(x²+3)² -წარმოებული გამოითვლება კოეფიციენტის დიფერენციაციის ფორმულით.

ა) დაადგინეთ წარმოებულის და უწყვეტობის წერტილის ნულები, წარმოებულის მრიცხველი და მნიშვნელი, შესაბამისად, ნულის ტოლფასი: y'=0,თუ x=0.პირველ წარმოებულს არ აქვს შეწყვეტის წერტილები.

ბ) განვსაზღვრავთ წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს, ე.ი. ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები: ზე -∞წარმოებული დადებითია, ამიტომ ფუნქცია იზრდება; ზე 0≤x<+∞, წარმოებული აგრძელებს პოზიტიურ დარჩენას, ე.ი. ფუნქციაც იზრდება.

3. ფუნქციის შესწავლა მე-2 წარმოებულის გამოყენებით.

კოეფიციენტების დიფერენცირებისა და ალგებრული გარდაქმნების ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ: y´´ = /(x²+3)³

ა) დაადგინეთ მე-2 წარმოებულის ნულები და მუდმივი ნიშნის ინტერვალები: y'' = 0,თუ x=0და x= + 3 . მე-2 წარმოებულს არ აქვს შეწყვეტის წერტილები.

ბ) განვსაზღვროთ მე-2 წარმოებულის მუდმივობის ინტერვალები, ე.ი. ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილი ან ჩაზნექილი ინტერვალები. -∞-ზე და ზე 0მეორე წარმოებული y''>0, ე.ი. ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია. ზე - 3და ზე 3მეორე წარმოებული შენ<0, იმათ. ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია. მას შემდეგ, რაც პუნქტებში x=0და x= + 3 მეორე წარმოებული ნულის ტოლია და მისი ნიშანი იცვლება, მაშინ ეს წერტილები არის ფუნქციის გრაფიკის გადახრის წერტილები (ნახ. 4).

მაგალითი: გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ იგი y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.ფუნქციის შესწავლა.

ა) მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი: (-∞,0)U(0,+∞).

ბ) ფუნქციის ცვლილების არე: (-∞,+∞).

დ) ამ ფუნქციას აქვს მე-2 სახის შეწყვეტის წერტილი ზე x=0.

ე) ასიმპტოტების მოძიება. იმიტომ რომ ფუნქციას აქვს მე-2 ტიპის შეწყვეტის წერტილი at x=0, შესაბამისად, ფუნქციას აქვს ვერტიკალური ასიმპტოტი x=0.ამ ფუნქციას არ აქვს ირიბი ან ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

2.ფუნქციის შესწავლა 1-ლი წარმოებულის გამოყენებით.

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია ყველა ალგებრული მოქმედების შესრულებით. შედეგად, ფუნქციის ფორმა მნიშვნელოვნად გამარტივდება: y(x)=x²-x-1+(1/x).ტერმინების ჯამიდან წარმოებულის აღება ძალიან ადვილია და მივიღებთ: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

ა) დაადგინეთ 1-ლი წარმოებულის ნულები და უწყვეტობის წერტილები. ჩვენ მივყავართ პირველი წარმოებულის გამონათქვამებს საერთო მნიშვნელთან და, მრიცხველის და შემდეგ მნიშვნელის ნულის ტოლფასი, მივიღებთ: y = 0ზე x=1, y' -არ არსებობს როცა x=0.

ბ) განვსაზღვროთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები, ე.ი. წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. -∞-ზე<x<0 და 0პირველი წარმოებული შენ<0, შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება. 1≤-ზე x<∞ პირველი წარმოებული y'>0,შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება. წერტილში x=1პირველი წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, შესაბამისად, ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს მინიმუმი. მინიმალური არის ბინა, რადგან ზე x=1წარმოებული y = 0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. მე-2 წარმოებულის გამოყენებით განვსაზღვრავთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექის ან ჩაზნექის ინტერვალებს, აგრეთვე, თუ არსებობს, გადახრის წერტილებს. მოდით წარმოვადგინოთ მეორე წარმოებულის გამოთქმა საერთო მნიშვნელთან და შემდეგ, მრიცხველისა და მნიშვნელის რიგრიგობით ნულის გათანაბრება, მივიღებთ: y''=0ზე x=-1, y''-არ არსებობს როცა x=0.

-∞-ზე და ზე 00 – ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია. -1≤-ზე x<0 – ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია. იმიტომ რომ წერტილში x=-1მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, შემდეგ წერტილი x=-1 -ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი (ნახ. 5).

ბრინჯი. 4 ნახ. 5

მაგალითი: გამოიკვლიეთ ფუნქცია და დახაზეთ იგი y(x) = ln (x²+4x+5)

1.ფუნქციის შესწავლა.

ა) დასაშვები არგუმენტების მნიშვნელობების დიაპაზონი: ლოგარითმული ფუნქცია არსებობს მხოლოდ ნულზე მკაცრად დიდი არგუმენტებისთვის, შესაბამისად, x²+4x+5>0 -ეს პირობა დაკმაყოფილებულია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, ე.ი. ო.დ.ზ. – (-∞, +∞).

ბ) ფუნქციის ცვლილების არე: (0, +∞). მოდით გარდავქმნათ გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და გავათანაბროთ ფუნქცია ნულამდე: ln((x+2)²+1) =0.იმათ. ფუნქცია ნულამდე მიდის, როდესაც x=-2.ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიული იქნება სწორი ხაზის მიმართ x=-2.

გ) ფუნქცია უწყვეტია და არ აქვს წყვეტის წერტილები.

დ) ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ასიმპტოტები.

2.ფუნქციის შესწავლა 1-ლი წარმოებულის გამოყენებით.

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით, მივიღებთ: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

ა) განვსაზღვროთ წარმოებულის ნულები და უწყვეტობის წერტილები: y'=0,ზე x=-2.პირველ წარმოებულს არ აქვს შეწყვეტის წერტილები.

ბ) განვსაზღვრავთ ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალებს, ე.ი. პირველი წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები: -∞-ზე<x<-2 წარმოებული შენ<0, ამიტომ ფუნქცია მცირდება; როცა -2წარმოებული y'>0,შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება. ვინაიდან წარმოებული წერტილი x=-2ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, მაშინ ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს მინიმუმი (ბინა).

3.ფუნქციის შესწავლა მე-2 წარმოებულის მიხედვით.

წარმოვიდგინოთ პირველი წარმოებული შემდეგი სახით: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

ა) განვსაზღვროთ მეორე წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. ვინაიდან მე-2 წარმოებულის მნიშვნელი ყოველთვის არაუარყოფითია, მეორე წარმოებულის ნიშანი განისაზღვრება მხოლოდ მრიცხველით. y''=0ზე x=-3და x=-1.

ზე -∞და ზე -1მეორე წარმოებული შენ<0, შესაბამისად, ამ ინტერვალებზე ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია. ზე -3მეორე წარმოებული y''>0,შესაბამისად, ფუნქციის გრაფიკი ამ ინტერვალზე არის ჩაზნექილი. ქულები x=-3და x=-1 -ფუნქციის გრაფიკის ფლექსიის წერტილები, რადგან ამ წერტილებში იცვლება მეორე წარმოებულის ნიშნები და თავად მეორე წარმოებული ხდება ნული (სურ. 6).

მაგალითი: შეისწავლეთ ფუნქცია და დახაზეთ გრაფიკი y(x) = x²/(x+2)²

1.ფუნქციის შესწავლა.

ა) არგუმენტის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი (-∞, -2)U(-2, +∞).

ბ) ფუნქციის ცვლილების არე².

ა) განვსაზღვროთ მეორე წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ნულები და ინტერვალები. იმიტომ რომ ვინაიდან წილადის მნიშვნელი ყოველთვის დადებითია, მეორე წარმოებულის ნიშანი მთლიანად განისაზღვრება მრიცხველით. -∞-ზე და ზე -2მეორე წარმოებული y''>0მაშასადამე, ფუნქციის გრაფიკი ამ ინტერვალებზე არის ჩაზნექილი; ზე 1≤x<+∞ მეორე წარმოებული შენ<0 მაშასადამე, ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია. წერტილის გავლისას x=1, მეორე წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ე.ი. ეს წერტილი არის ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი. ზე x→+∞ფუნქციის გრაფიკი ასიმპტომურად უახლოვდება მის ჰორიზონტალურ ასიმპტოტს y=1ქვევით. ზე x→ -∞, გრაფიკი ზემოდან უახლოვდება თავის ჰორიზონტალურ ასიმპტოტს (სურ. 7).