Ածանցյալ գործիքների հաշվարկման կանոններ. Գործառույթի ածանցյալ 1 ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանում

(\large\bf ֆունկցիայի ածանցյալ)

Հաշվի առեք գործառույթը y=f(x), տրված ընդմիջումով (ա, բ). Թող x- ցանկացած ֆիքսված կետի միջակայք (ա, բ), Ա Δx- կամայական թիվ, այնպիսին, որ արժեքը x+Δxնույնպես պատկանում է միջակայքին (ա, բ). Այս թիվը Δxկոչվում է արգումենտի ավելացում:

Սահմանում. Ֆունկցիայի ավելացում y=f(x)կետում x, փաստարկի աճին համապատասխան Δx, զանգենք համարով

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Մենք հավատում ենք դրան Δx ≠ 0. Դիտարկենք տվյալ ֆիքսված կետում xտվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի համապատասխան աճին Δx

Այս հարաբերությունը կկոչվի տարբերություն հարաբերություն: Քանի որ արժեքը xմենք համարում ենք ֆիքսված, տարբերության կապը փաստարկի ֆունկցիա է Δx. Այս ֆունկցիան սահմանված է բոլոր արգումենտների արժեքների համար Δx, որը պատկանում է կետի բավական փոքր թաղամասին ∆x=0, բացառությամբ կետի ∆x=0. Այսպիսով, մենք իրավունք ունենք դիտարկել նշված ֆունկցիայի սահմանաչափի առկայության հարցը ∆x → 0.

Սահմանում. Ածանցյալ ֆունկցիա y=f(x)տվյալ ֆիքսված կետում xկոչվում է սահման ∆x → 0դիֆերենցիալ հարաբերություն, այսինքն

Պայմանով, որ այս սահմանը գոյություն ունի:

Նշանակում. y (x)կամ f′(x).

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի ածանցյալ f(x)այս պահին xհավասար է առանցքի միջև անկյան շոշափմանը Եզև համապատասխան կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող.

f′(x 0) = \tgα.

Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունըՃանապարհի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է կետի ուղղագիծ շարժման արագությանը.

Գծային շոշափող հավասարում y=f(x)կետում M0 (x0,y0)վերցնում է ձևը

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Որոշ կետում կորի նորմալը նույն կետում շոշափողին ուղղահայացն է: Եթե f′(x 0)≠ 0, ապա նորմայի հավասարումը ուղիղին y=f(x)կետում M0 (x0,y0)գրված է այսպես.

Ֆունկցիայի տարբերակելիության հայեցակարգը

Թող գործառույթը y=f(x)սահմանվում է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ), x- փաստարկի որոշ ֆիքսված արժեք այս միջակայքից, Δx- արգումենտի ցանկացած ավելացում, որը հավասար է փաստարկի արժեքին x+Δx ∈ (a, b).

Սահմանում. Գործառույթ y=f(x)տրված կետում կոչվում է դիֆերենցիալ xեթե ավելացում Δyայս գործառույթը կետում x, փաստարկի աճին համապատասխան Δx, կարող է ներկայացվել որպես

Δy = A Δx +αΔx,

Որտեղ Աինչ-որ թիվ է անկախ Δx, Ա α - փաստարկի գործառույթ Δx, որը անսահման փոքր է ∆x → 0.

Քանի որ երկու անվերջ փոքր ֆունկցիաների արտադրյալը αΔxանսահման փոքր ավելի բարձր կարգ է, քան Δx(անվերջ փոքր ֆունկցիաների հատկություն 3), կարող ենք գրել.

∆y = A ∆x +o(∆x).

Թեորեմ. Գործառույթի համար y=f(x)տարբերվում էր տվյալ կետում x, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն այս կետում ունենա վերջավոր ածանցյալ։ Որտեղ A=f′(x), այն է

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Ածանցյալը գտնելու գործողությունը սովորաբար կոչվում է տարբերակում։

Թեորեմ. Եթե ​​ֆունկցիան y=f(x) x, ապա այն շարունակական է այդ կետում։

Մեկնաբանություն. Գործառույթի շարունակականությունից y=f(x)այս պահին x, ընդհանուր առմամբ, դրանից չի բխում, որ ֆունկցիան տարբերակելի է f(x)այս պահին: Օրինակ՝ ֆունկցիան y=|x|- շարունակական մի կետում x=0, բայց չունի ածանցյալ։

Ֆունկցիոնալ դիֆերենցիալ հասկացությունը

Սահմանում. ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y=f(x)կոչվում է այս ֆունկցիայի ածանցյալի և անկախ փոփոխականի աճի արտադրյալ x:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Գործառույթի համար y=xմենք ստանում ենք dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, այն է dx=Δx- անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը հավասար է այս փոփոխականի աճին:

Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Դիֆերենցիալ դիև ավելացում Δyգործառույթները y=f(x)այս պահին x, երկուսն էլ համապատասխանում են փաստարկի նույն աճին Δxընդհանուր առմամբ իրար հավասար չեն։

Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի օրդինատի աճին, երբ արգումենտն ավելանում է. Δx.

Տարբերակման կանոններ

Թեորեմ. Եթե ​​ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրը u(x)Եվ v(x)տարբերվող տվյալ կետում x, ապա այս ֆունկցիաների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և քանորդը (քանակը պայմանով v(x)≠ 0) այս պահին նույնպես տարբերելի են, և գործում են հետևյալ բանաձևերը.

Դիտարկենք բարդ ֆունկցիա y=f(φ(x))≡ F(x), Որտեղ y=f(u), u=φ(x). Այս դեպքում uկանչեց միջանկյալ փաստարկ, x - անկախ փոփոխական.

Թեորեմ. Եթե y=f(u)Եվ u=φ(x)իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներն են, ապա բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը y=f(φ(x))գոյություն ունի և հավասար է այս ֆունկցիայի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ, այսինքն.

Մեկնաբանություն. Բարդ ֆունկցիայի համար, որը երեք ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա է y=F(f(φ(x))), տարբերակման կանոնն ունի ձևը

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

որտեղ գործում է v=φ(x), u=f(v)Եվ y=F(u)իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներն են։

Թեորեմ. Թող գործառույթը y=f(x)աճող (կամ նվազում) և շարունակական է կետի որոշ հարևանությամբ x0. Բացի այդ, թող այս ֆունկցիան դիֆերենցիալ լինի նշված կետում x0և դրա ածանցյալն այս պահին f′(x 0) ≠ 0. Հետո համապատասխան կետի ինչ-որ հարեւանությամբ y0=f(x0)հակադարձ համար y=f(x)ֆունկցիան x=f -1 (y), իսկ նշված հակադարձ ֆունկցիան համապատասխան կետում տարբերելի է y0=f(x0)և դրա ածանցյալի համար այս պահին yբանաձևը վավեր է

Ածանցյալ աղյուսակ

Առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխություն

Դիտարկենք բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը: Եթե y=f(x), x=φ(t)իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներն են, ապա ֆունկցիայի ածանցյալը y=f(φ(t))արտահայտվում է բանաձևով

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y't dt, ապա մենք ստանում ենք

dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք

Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության հատկությունըինչպես այն դեպքում, երբ փաստարկը xանկախ փոփոխական է, և այն դեպքում, երբ փաստարկը xինքնին նոր փոփոխականի՝ դիֆերենցիալի դիֆերենցիալ ֆունկցիան է դիգործառույթները y=f(x)հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալին, որը բազմապատկվում է փաստարկի դիֆերենցիալով dx.

Դիֆերենցիալի կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում

Մենք ցույց ենք տվել, որ դիֆերենցիալը դիգործառույթները y=f(x), ընդհանուր առմամբ, հավասար չէ աճին Δyայս գործառույթը: Այնուամենայնիվ, մինչև անսահման փոքր ֆունկցիան ավելի բարձր կարգի, քան Δx, մոտավոր հավասարությունը

∆y ≈ dy.

Հարաբերակցությունը կոչվում է այս հավասարության հավասարության հարաբերական սխալ։ Որովհետեւ ∆y-dy=o(∆x), ապա այս հավասարության հարաբերական սխալը դառնում է կամայականորեն փոքր, քանի որ |Դհ|.

Հաշվի առնելով, որ Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, ստանում ենք f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δxկամ

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Այս մոտավոր հավասարությունը թույլ է տալիս սխալմամբ o (Δx)փոխարինել գործառույթը f(x)մի կետի փոքրիկ հարեւանությամբ x(այսինքն փոքր արժեքների համար Δx) փաստարկի գծային ֆունկցիա Δxկանգնած աջ կողմում.

Բարձրագույն պատվերների ածանցյալներ

Սահմանում. Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը (կամ երկրորդ կարգի ածանցյալը): y=f(x)կոչվում է նրա առաջին ածանցյալի ածանցյալ։

Նշում ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի համար y=f(x):

Երկրորդ ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը. Եթե ​​ֆունկցիան y=f(x)նկարագրում է նյութական կետի շարժման օրենքը ուղիղ գծով, ապա երկրորդ ածանցյալը f″(x)հավասար է ժամանակի շարժման կետի արագացմանը x.

Երրորդ և չորրորդ ածանցյալները սահմանվում են նույն կերպ:

Սահմանում. n-րդ ածանցյալ (կամ ածանցյալ nրդ կարգ) ֆունկցիաները y=f(x)կոչվում է դրա ածանցյալ n-1-րդ ածանցյալ:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Նշումներ: y″′, y IV, y Վև այլն:

Գտեք արտահայտություն \(y = (e^x)\ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալի համար՝ օգտագործելով ածանցյալի սահմանումը:

Լուծում.

Սկզբնական քայլերը ստանդարտ են. նախ գրեք \(\Delta y\) ֆունկցիայի աճը, որը համապատասխանում է \(\Delta x\) արգումենտի ավելացմանը՝ \[ (\Delta y = y\left((x +): \Դելտա x) \աջ) - y\ ձախ (x \աջ) ) = ((e^(x + \Դելտա x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \աջ).) \] Ածանցյալը հաշվարկվում է որպես աճի սահման. հարաբերակցությունը՝ \[ (y"\ ձախ (x \աջ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x))) - 1) \աջ)))((\Delta x)).) \] The \(y = (e^x)\) ֆունկցիան համարիչում կախված չէ Δ-ից xև այն կարելի է հանել սահմանային նշանից։ Այնուհետև ածանցյալը ստանում է հետևյալ ձևը. \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \մինչև 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Նշեք ստացված սահմանը \(L\)-ով և հաշվարկեք այն առանձին: Ի դեպ, \((e^0) = 1\) և, հետևաբար, մենք կարող ենք գրել \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x )) - 1)) ((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \մինչև 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] այսինքն՝ այս սահմանը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքն է զրոյի վրա։ Հետևաբար, \ Մենք ստացել ենք հարաբերություն, որում ցանկալի ածանցյալն արտահայտվում է \(y = (e^x)\) ֆունկցիայի և նրա ածանցյալի մեջ \(x = 0\) կետում։ Եկեք ապացուցենք, որ \ Դա անելու համար հիշենք, որ \(e\) թիվը սահմանվում է որպես անվերջ սահման, քանի որ \(e\) թիվը \(\Delta x\) հզորությանը համապատասխանաբար հավասար կլինի: դեպի \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \աջ)^n) .\] Հաջորդը մենք կիրառում ենք հայտնի բանաձևը Նյուտոնի երկանդամը և ընդլայնել արտահայտությունը սահմանային նշանի տակ երկանդամ շարք: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \աջ)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ): Եվրոպական և ամերիկյան դասագրքերում համակցությունների թիվը նշվում է որպես \ Վերադառնանք մեր սահմանին \(L\), որն այժմ կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \մինչև 0) \frac((\lim\limits_(n \ մինչև \infty ) \ ձախ[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \աջ))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Մեզ համար հարմար է առանձնացնել երկանդամների շարքի առաջին երկու անդամները՝ \(k = 0\) և \(k = 1) համար։ \): Արդյունքը \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \աջ))^k)) ) \աջ] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \աջ))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \աջ))^1) + \գումար\սահմաններ_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \աջ))^k)) ) \աջ] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ գումար\սահմաններ_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \աջ))^k)) ) \աջ] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \մինչև 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \մինչև \infty) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k))))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\ Delta x \մինչև 0) \ձախ[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \մինչև \infty) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty) \ձախ[ (\lim\limits_(\Delta x \մինչև 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\ ձախ ((\Delta x) \աջ)) ^(k - 1)))) (((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Ակնհայտ է, որ շարքի գումարը ձգտում է զրոյի, քանի որ \(\Delta x \ դեպի 0: \) . Հետևաբար, \(L = 1\): Սա նշանակում է, որ \(y = (e^x)\) էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է բուն ֆունկցիային.

Երկրաչափության, մեխանիկայի, ֆիզիկայի և գիտելիքի այլ ճյուղերի տարբեր խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտություն է առաջացել տվյալ ֆունկցիայից օգտագործել նույն վերլուծական գործընթացը։ y=f(x)ստացեք նոր ֆունկցիա, որը կոչվում է ածանցյալ ֆունկցիա(կամ պարզապես ածանցյալ) այս ֆունկցիայի f(x)և խորհրդանշվում են

Գործընթացը, որով տրված գործառույթը f(x)ստանալ նոր գործառույթ f"(x), կանչեց տարբերակումև այն բաղկացած է հետևյալ երեք քայլերից. 1) տալիս ենք փաստարկը xավելացում  xև որոշել ֆունկցիայի համապատասխան աճը  y = f(x+ x)-f(x); 2) կազմել հարաբերությունը

3) հաշվում xմշտական, և  x0, գտնում ենք
, որը նշվում է f"(x), կարծես շեշտելով, որ ստացված ֆունկցիան կախված է միայն արժեքից x, որով անցնում ենք սահմանին։ Սահմանում: Ածանցյալ y «=f» (x) տրված ֆունկցիա y=f(x) տրված xկոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահման արգումենտի աճին, պայմանով, որ արգումենտի աճը հակված է զրոյի, եթե, իհարկե, այդ սահմանը գոյություն ունի, այսինքն. վերջավոր. Այսպիսով,
, կամ

Նկատի ունեցեք, որ եթե որոշ արժեքի համար x, օրինակ, երբ x=a, հարաբերություն
ժամը  x0-ը չի ձգտում դեպի վերջավոր սահման, ապա այս դեպքում ասում ենք, որ ֆունկցիան f(x)ժամը x=a(կամ կետում x=a) չունի ածանցյալ կամ տարբերվող չէ մի կետում x=a.

2. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Դիտարկենք y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը տարբերվում է x 0 կետի մոտակայքում

f(x)

Դիտարկենք կամայական ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է ֆունկցիայի գրաֆիկի կետով՝ A կետով (x 0, f (x 0)) և հատում է գրաֆիկը ինչ-որ B կետում (x; f (x)): Նման ուղիղ գիծը (AB) կոչվում է սեկանտ: ∆ABC-ից՝ AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Քանի որ AC || Ox, ապա ALO = BAC = β (որպես զուգահեռաբար համապատասխան): Բայց ALO-ն AB հատվածի թեքության անկյունն է Ox առանցքի դրական ուղղությամբ: Այսպիսով, tgβ = k-ը AB ուղիղ գծի թեքությունն է:

Այժմ մենք կնվազեցնենք ∆x, այսինքն. ∆x→ 0. Այս դեպքում B կետը ըստ գրաֆիկի կմոտենա A կետին, իսկ AB հատվածը կպտտվի։ AB հատվածի սահմանափակող դիրքը ∆x → 0-ում կլինի ուղիղ գիծը (a), որը կոչվում է շոշափող y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին A կետում:

Եթե ​​tgβ =∆y/∆x հավասարության մեջ անցնենք ∆х → 0 սահմանին, ապա կստանանք.
կամ tg \u003d f "(x 0), քանի որ
- Ox առանցքի դրական ուղղությանը շոշափողի թեքության անկյուն
, ըստ ածանցյալի սահմանման։ Բայց tg \u003d k շոշափողի թեքությունն է, ինչը նշանակում է, որ k \u003d tg \u003d f "(x 0):

Այսպիսով, ածանցյալի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է.

Ֆունկցիայի ածանցյալ x կետում 0 հավասար է x աբսցիսայով գծված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությանը 0 .

3. Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը.

Դիտարկենք կետի շարժումը ուղիղ գծով: Թող տրվի ցանկացած պահի x(t) կետի կոորդինատը: Հայտնի է (ֆիզիկայի կուրսից), որ միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում հավասար է այս ժամանակահատվածում անցած ճանապարհի և ժամանակի հարաբերակցությանը, այսինքն.

Vav = ∆x/∆t. Վերջին հավասարության սահմանին անցնենք ∆t → 0։

lim Vav (t) = (t 0) - ակնթարթային արագություն t 0, ∆t → 0 պահին:

և lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (ածանցյալի սահմանմամբ):

Այսպիսով, (t) = x"(t):

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը հետևյալն է՝ ֆունկցիայի ածանցյալy = զ(x) կետումx 0 ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն էզ(x) կետումx 0

Ածանցյալն օգտագործվում է ֆիզիկայում՝ ժամանակից կոորդինատների հայտնի ֆունկցիայից արագությունը գտնելու համար, ժամանակից արագության հայտնի ֆունկցիայից արագացումը։

 (t) \u003d x "(t) - արագություն,

a(f) = "(t) - արագացում, կամ

Եթե ​​հայտնի է շրջանագծի երկայնքով նյութական կետի շարժման օրենքը, ապա պտտվող շարժման ժամանակ հնարավոր է գտնել անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը.

φ = φ(t) - անկյան փոփոխություն ժամանակի հետ,

ω \u003d φ "(t) - անկյունային արագություն,

ε = φ"(t) - անկյունային արագացում, կամ ε = φ"(t):

Եթե ​​հայտնի է անհամասեռ ձողի զանգվածի բաշխման օրենքը, ապա կարելի է գտնել անհամասեռ ձողի գծային խտությունը.

m \u003d m (x) - զանգված,

x , l - ձողի երկարությունը,

p \u003d m "(x) - գծային խտություն:

Ածանցյալի օգնությամբ լուծվում են առաձգականության տեսությունից և ներդաշնակ թրթիռների խնդիրներ։ Այո, Հուկի օրենքի համաձայն

F = -kx, x – փոփոխական կոորդինատ, k – զսպանակի առաձգականության գործակից: Դնելով ω 2 \u003d k / m, մենք ստանում ենք զսպանակային ճոճանակի դիֆերենցիալ հավասարումը x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

որտեղ ω = √k/√m-ը տատանման հաճախականությունն է (l/c), k-ը զսպանակային արագությունն է (H/m):

Y «+ ω 2 y \u003d 0» ձևի հավասարումը կոչվում է ներդաշնակ տատանումների հավասարում (մեխանիկական, էլեկտրական, էլեկտրամագնիսական): Նման հավասարումների լուծումը ֆունկցիան է.

y = Ասին (ωt + φ 0) կամ y = Acos (ωt + φ 0), որտեղ

A - տատանումների ամպլիտուդ, ω - ցիկլային հաճախականություն,

φ 0 - նախնական փուլ.

Բացարձակապես անհնար է լուծել մաթեմատիկայի ֆիզիկական խնդիրներ կամ օրինակներ՝ առանց դրա ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության։ Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարևոր հասկացություններից է։ Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , տրված որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը։ Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն - դրա արժեքների տարբերություն x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ ավելացումը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալ սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Բայց ո՞ր մեկը.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափմանը:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ճանապարհի ժամանակային ածանցյալը հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը մասնավոր ճանապարհ է։ x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Միանգամից շարժման արագությունը պարզելու համար t0 դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. հանել հաստատունը

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի. Մաթեմատիկայի օրինակներ լուծելիս, որպես կանոն, վերցրեք. եթե դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, անպայման պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ կդիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում:

Այստեղ կարևոր է ասել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկի մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ ուժին: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ դիտարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք հենց միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն. Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք խոսել զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք դիմել ուսանողական ծառայությանը: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար վերահսկողությունը և զբաղվել առաջադրանքներով, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք զբաղվել ածանցյալների հաշվարկով:

Շատ հեշտ է հիշել:

Դե, մենք հեռու չենք գնա, անմիջապես կդիտարկենք հակադարձ ֆունկցիան։ Որքա՞ն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձը: Լոգարիթմ:

Մեր դեպքում հիմքը մի թիվ է.

Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։

Ինչի՞ն է հավասար. Իհարկե, .

Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.
2. Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Պատասխանները: Ցուցանիշը և բնական լոգարիթմը ֆունկցիաներ են, որոնք ածանցյալի առումով եզակի պարզ են: Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը կվերլուծենք ավելի ուշ՝ տարբերակման կանոնները անցնելուց հետո։

Տարբերակման կանոններ

Ի՞նչ կանոններ: Եվս մեկ նոր տերմին, էլի՞...

Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։

Միայն և ամեն ինչ: Ի՞նչ այլ բառ է այս գործընթացի համար: Ոչ proizvodnovanie... Մաթեմատիկայի դիֆերենցիալը կոչվում է ֆունկցիայի բուն աճ: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.

Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու գործառույթ, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.

Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.

հաստատունը հանվում է ածանցյալի նշանից։

Եթե ​​- ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.

Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.

Եկեք ապացուցենք դա։ Թողեք, կամ ավելի հեշտ:

Օրինակներ.

Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

1. կետում;
2. կետում;
3. կետում;
4. կետում։

Լուծումներ:

1. (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):

Արտադրանքի ածանցյալ

Այստեղ ամեն ինչ նման է. մենք ներկայացնում ենք նոր գործառույթ և գտնում ենք դրա աճը.

Ածանցյալ:

Օրինակներ.

1. Գտնել ֆունկցիաների ածանցյալները և;
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:

Լուծումներ:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչը (դուք դեռ մոռացե՞լ եք, թե որն է այն):

Այսպիսով, որտեղ է որոշ թվեր:

Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան բերել նոր հիմքի.

Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք մի պարզ կանոն. Ապա.

Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:

Տեղի է ունեցել?

Ահա, ստուգեք ինքներդ.

Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործակիցը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։

Օրինակներ.
Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Պատասխանները:

Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ չի կարելի գրել ավելի պարզ ձևով։ Հետեւաբար, պատասխանում այն ​​մնացել է այս տեսքով.

Նկատի ունեցեք, որ այստեղ երկու ֆունկցիաների գործակիցն է, ուստի մենք կիրառում ենք համապատասխան տարբերակման կանոնը.

Այս օրինակում երկու ֆունկցիաների արտադրյալը.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ

Այստեղ դա նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.

Հետևաբար, լոգարիթմից կամայական գտնել այլ հիմքով, օրինակ.

Մենք պետք է այս լոգարիթմը բերենք հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.

Միայն հիմա փոխարեն մենք կգրենք.

Հայտարարը պարզվեց, որ պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը շատ պարզ է.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալները գրեթե երբեք չեն գտնում քննության ժամանակ, բայց դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և աղեղային շոշափող չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ դժվար է թվում, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և ամեն ինչ կստացվի), բայց մաթեմատիկայի առումով «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»։

Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած և ինչ-որ գործողություններ են անում ինչ-որ առարկաներով: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Ստացվում է այսպիսի կոմպոզիտային առարկա՝ ժապավենով փաթաթված և կապած շոկոլադե սալիկ։ Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է հակառակ քայլերն անել հակառակ հերթականությամբ։

Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը կկտրենք։ Այսպիսով, նրանք մեզ տալիս են մի թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), և հետո դուք քառակուսի եք կազմում իմ ստացածը (կապում եք ժապավենով): Ինչ է պատահել? Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո ևս մեկ երկրորդ գործողություն՝ առաջինի արդյունքում տեղի ունեցածի հետ։

Այլ կերպ ասած, Կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .

Մեր օրինակի համար.

Մենք կարող ենք նույն գործողությունները կատարել հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը. Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր է լինելու։ Բարդ ֆունկցիաների կարևոր հատկանիշ. երբ փոխվում է գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է։

Երկրորդ օրինակը (նույնը): .

Վերջին գործողությունը, որը մենք անում ենք, կկոչվի «արտաքին» գործառույթը, և առաջինը կատարված գործողությունը, համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):

Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.

Պատասխանները:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխվող փոփոխականներին. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ

1. Ի՞նչ քայլեր ենք ձեռնարկելու առաջին հերթին: Սկզբում մենք հաշվարկում ենք սինուսը, և միայն դրանից հետո այն բարձրացնում ենք խորանարդի: Այսպիսով, դա ներքին գործառույթ է, ոչ թե արտաքին:
   Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է.
2. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
3. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
4. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
5. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.

փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։

Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադը - փնտրեք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, հետո արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի համար այն ունի հետևյալ տեսքը.

Մեկ այլ օրինակ.

Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

Թվում է, թե պարզ է, չէ՞:

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

Լուծումներ:

1) Ներքին՝ ;

Արտաքին:

2) ներքին՝ ;

(ուղղակի մի փորձեք նվազեցնել մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ չի հանվում, հիշո՞ւմ եք):

3) ներքին՝ ;

Արտաքին:

Միանգամից պարզ է դառնում, որ այստեղ եռաստիճան բարդ ֆունկցիա կա. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և մենք դեռ արմատը հանում ենք դրանից, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթայի մեջ։ և ժապավենով պայուսակի մեջ): Բայց վախենալու պատճառ չկա. ամեն դեպքում, մենք այս գործառույթը «կբացենք» սովորական հերթականությամբ՝ վերջից։

Այսինքն՝ սկզբում տարբերակում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:

Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք կատարելու գործողություններ այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.

Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը - ինչպես նախկինում.

Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.

1. Արմատական ​​արտահայտություն. .

2. Արմատ. .

3. Սինուս. .

4. Քառակուսի. .

5. Բոլորը միասին դնելով.

ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի ավելացմանը՝ փաստարկի անվերջ փոքր աճով.

Հիմնական ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոններ.

հաստատունը հանվում է ածանցյալի նշանից.

Գումարի ածանցյալը:

Ածանցյալ արտադրանք.

Գործակիցի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

1. Սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան, գտնում դրա ածանցյալը։
2. Սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան, գտնում դրա ածանցյալը։
3. Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները: