Նկարում ներկայացված է ֆունկցիայի գրաֆիկը և կետերը նշված են 7 3. Ֆունկցիայի ածանցյալը

Նոր առաջադրանքներ են հայտնվել. Դիտարկենք դրանց լուծումը։

B8 առաջադրանքի նախատիպը (թիվ 317543)

Նկարում պատկերված է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և նշված են -2, -1, 1, 2 կետերը:Այս կետերից ո՞րն է ամենամեծ ածանցյալի արժեքը: Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Ինչպես գիտենք, այն կոչվում է

Ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, երբ փաստարկի աճը ձգտում է զրոյի.

Մի կետում ածանցյալը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունըայս պահին. Որքան արագ է փոխվում ֆունկցիան, այսինքն՝ որքան մեծ է ֆունկցիայի աճը, այնքան մեծ է շոշափողի թեքության անկյունը։ Քանի որ խնդիրը պահանջում է որոշել այն կետը, որտեղ ածանցյալի արժեքը ամենամեծն է, մենք դիտարկումից բացառում ենք աբսցիսներով -1 և 1 կետերը, այդ կետերում ֆունկցիան նվազում է, իսկ դրանցում ածանցյալը բացասական է:

Ֆունկցիան մեծանում է -2 և 2 կետերում: Այնուամենայնիվ, դրանցում այն ​​աճում է տարբեր ձևերով. -2 կետում ֆունկցիայի գրաֆիկը բարձրանում է ավելի կտրուկ, քան 2-րդ կետում, և հետևաբար ֆունկցիայի աճն այս կետում, և հետևաբար՝ ածանցյալ, ավելի մեծ է:

Պատասխան՝ -2

Եվ նմանատիպ առաջադրանք.

B8 առաջադրանքի նախատիպը (թիվ 317544)

Նկարում պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկը և նշված են -2, -1, 1, 4 կետերը:Այս կետերից ո՞րում է ածանցյալն ամենափոքրը: Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Այս խնդրի լուծումը նման է նախորդի լուծմանը՝ «ճիշտ հակառակը».

Մեզ հետաքրքրում է այն կետը, երբ ածանցյալը վերցնում է իր ամենափոքր արժեքը, այսինքն՝ մենք փնտրում ենք այն կետը, որտեղ ֆունկցիան ամենաարագ նվազում է. Սա աբսցիսայի 4-րդ կետն է:

Սիրելի բարեկամներ! Ածանցյալի հետ կապված առաջադրանքների խումբը ներառում է առաջադրանքներ. պայմանը տալիս է ֆունկցիայի գրաֆիկ, այս գրաֆիկի մի քանի կետեր և հարց է.

Ո՞ր կետում է ածանցյալը ամենամեծը (ամենափոքրը):

Համառոտ կրկնենք.

Մի կետում ածանցյալը հավասար է միջով անցնող շոշափողի թեքությանըայս կետը գրաֆիկի վրա:

UՇոշափողի գլոբալ գործակիցն իր հերթին հավասար է այս շոշափողի թեքության անկյան շոշափմանը։

*Սա վերաբերում է շոշափողի և x-առանցքի միջև եղած անկյունին:

1. Աճող ֆունկցիայի ընդմիջումներով ածանցյալն ունի դրական արժեք։

2. Իր նվազման ընդմիջումներով ածանցյալն ունի բացասական արժեք։

Դիտարկենք հետևյալ ուրվագիծը.

1,2,4 կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը բացասական արժեք ունի, քանի որ այդ կետերը պատկանում են նվազող միջակայքերի։

3,5,6 կետերում ֆունկցիայի ածանցյալը դրական արժեք ունի, քանի որ այդ կետերը պատկանում են աճող միջակայքերի։

Ինչպես տեսնում եք, ածանցյալի իմաստով ամեն ինչ պարզ է, այսինքն՝ գրաֆիկի որոշակի կետում ամենևին էլ դժվար չէ որոշել, թե ինչ նշան ունի (դրական, թե բացասական):

Ավելին, եթե այս կետերում մտովի կառուցենք շոշափողներ, կտեսնենք, որ 3, 5 և 6 կետերով անցնող ուղիղները անկյուններ են կազմում oX առանցքով 0-ից 90 o, իսկ 1, 2 և 4 կետերով անցնող ուղիղները: oX առանցքի դեպքում անկյունները տատանվում են 90 o-ից մինչև 180 o:

Հարաբերությունները պարզ են. աճող ֆունկցիաների ընդմիջումներին պատկանող կետերով անցնող շոշափողները oX առանցքի հետ կազմում են սուր անկյուններ, նվազող ֆունկցիաների ընդմիջումներին պատկանող կետերով անցնող շոշափողները oX առանցքի հետ բութ անկյուններ են կազմում:

Հիմա կարևոր հարցը.

Ինչպե՞ս է փոխվում ածանցյալի արժեքը: Ի վերջո, շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկի տարբեր կետերում շոշափողը տարբեր անկյուններ է կազմում՝ կախված նրանից, թե գրաֆիկի որ կետով է այն անցնում։

*Կամ, պարզ ասած, շոշափողը գտնվում է ավելի «հորիզոնական» կամ «ուղղահայաց»: Նայել:

Ուղիղ գծերը կազմում են անկյուններ oX առանցքով, որոնք տատանվում են 0-ից 90 o

Ուղիղ գծերը կազմում են անկյուններ oX առանցքով, որոնք տատանվում են 90°-ից մինչև 180°

Հետևաբար, եթե ունեք հարցեր.

— Գրաֆիկի տրված կետերից ո՞ր կետում է ածանցյալը ամենափոքր արժեքը:

- Գրաֆիկի տրված կետերից ո՞ր կետում է ածանցյալն ամենամեծ արժեքը:

ապա պատասխանելու համար անհրաժեշտ է հասկանալ, թե ինչպես է փոխվում շոշափողի անկյան շոշափողի արժեքը 0-ից 180 o միջակայքում:

*Ինչպես արդեն նշվեց, մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը հավասար է oX առանցքին շոշափողի թեքության անկյան շոշափմանը:

Շոշափող արժեքը փոխվում է հետևյալ կերպ.

Երբ ուղիղ գծի թեքության անկյունը փոխվում է 0°-ից մինչև 90°, շոշափողի արժեքը և հետևաբար ածանցյալը համապատասխանաբար փոխվում է 0-ից մինչև +∞;

Երբ ուղիղ գծի թեքության անկյունը փոխվում է 90°-ից մինչև 180°, շոշափողի արժեքը, հետևաբար և ածանցյալը, համապատասխանաբար փոխվում է –∞-ի:

Սա հստակ երևում է շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկից.

Պարզ բառերով.

0°-ից 90° շոշափող թեքության անկյան տակ

Որքան այն մոտ լինի 0 o-ին, այնքան ածանցյալի արժեքը մոտ կլինի զրոյին (դրական կողմում):

Որքան մոտ լինի անկյունը 90°-ին, այնքան ածանցյալ արժեքը կաճի դեպի +∞:

90°-ից մինչև 180° շոշափող թեքության անկյունով

Որքան մոտ է այն 90 o-ին, այնքան ածանցյալ արժեքը կնվազի դեպի –∞:

Որքան մոտ լինի անկյունը 180°-ին, այնքան ածանցյալի արժեքը մոտ կլինի զրոյին (բացասական կողմում):

317543. Նկարում ներկայացված է y = ֆունկցիայի գրաֆիկը զ(x) և կետերը նշված են–2, –1, 1, 2. Այս կետերից ո՞րն է ամենամեծ ածանցյալը: Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Մենք ունենք չորս կետ. դրանցից երկուսը պատկանում են այն ինտերվալներին, որոնց վրա ֆունկցիան նվազում է (սրանք –1 և 1 կետերն են) և երկուսը՝ այն միջակայքերին, որոնց վրա ֆունկցիան մեծանում է (սրանք –2 և 2 կետերն են):

Անմիջապես կարող ենք եզրակացնել, որ –1 և 1 կետերում ածանցյալն ունի բացասական արժեք, իսկ –2 և 2 կետերում՝ դրական արժեք: Հետևաբար, այս դեպքում անհրաժեշտ է վերլուծել –2 և 2 կետերը և որոշել, թե դրանցից որն է ամենամեծ արժեքը: Կառուցենք նշված կետերով անցնող շոշափողներ.

Ուղղակի a-ի և աբսցիսային առանցքի միջև անկյան շոշափողի արժեքը ավելի մեծ կլինի, քան b ուղիղ գծի և այս առանցքի միջև ընկած անկյան շոշափողի արժեքը: Սա նշանակում է, որ ածանցյալի արժեքը –2 կետում կլինի ամենամեծը:

Պատասխանենք հետևյալ հարցին. ո՞ր կետում է –2, –1, 1 կամ 2 ածանցյալի արժեքն ամենաբացասականը։ Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Ածանցյալը բացասական արժեք կունենա նվազող միջակայքերին պատկանող կետերում, ուստի դիտարկենք –2 և 1 կետերը: Կառուցենք դրանց միջով անցնող շոշափողներ.

Մենք տեսնում ենք, որ b ուղիղ գծի և oX առանցքի միջև բութ անկյունը «մոտ է» 180-ին։Օ , հետևաբար նրա շոշափողն ավելի մեծ կլինի a ուղիղ գծով և oX առանցքով ձևավորված անկյան շոշափումից։

Այսպիսով, x = 1 կետում ածանցյալի արժեքը կլինի ամենամեծ բացասական:

317544. Նկարում ներկայացված է y = ֆունկցիայի գրաֆիկը զ(x) և կետերը նշված են–2, –1, 1, 4. Այս կետերից ո՞րն է ածանցյալը ամենափոքրը: Խնդրում ենք ձեր պատասխանում նշել այս կետը:

Մենք ունենք չորս կետ. դրանցից երկուսը պատկանում են այն ինտերվալներին, որոնց դեպքում ֆունկցիան նվազում է (սրանք –1 և 4 կետերն են), և երկուսը՝ այն միջակայքերին, որոնցում ֆունկցիան մեծանում է (սրանք –2 և 1 կետերն են):

Անմիջապես կարող ենք եզրակացնել, որ –1 և 4 կետերում ածանցյալն ունի բացասական արժեք, իսկ –2 և 1 կետերում՝ դրական արժեք: Հետևաբար, այս դեպքում անհրաժեշտ է վերլուծել –1 և 4 կետերը և որոշել, թե դրանցից որն է ունենալու ամենափոքր արժեքը։ Կառուցենք նշված կետերով անցնող շոշափողներ.

Ուղղակի a-ի և աբսցիսայի առանցքի միջև անկյան շոշափողի արժեքը ավելի մեծ կլինի, քան b ուղիղ գծի և այս առանցքի միջև ընկած անկյան շոշափողի արժեքը: Սա նշանակում է, որ x = 4 կետում ածանցյալի արժեքը կլինի ամենափոքրը:

Պատասխան՝ 4

Հուսով եմ, որ ձեզ չեմ «ծանրաբեռնել» գրածների քանակով: Իրականում ամեն ինչ շատ պարզ է, պարզապես պետք է հասկանալ ածանցյալի հատկությունները, նրա երկրաչափական նշանակությունը և ինչպես է փոխվում անկյան շոշափողի արժեքը 0-ից մինչև 180 o:

1. Նախ որոշեք ածանցյալի նշաններն այս կետերում (+ կամ -) և ընտրեք անհրաժեշտ կետերը (կախված առաջադրված հարցից):

2. Կառուցեք շոշափողներ այս կետերում:

3. Օգտագործելով տանգեզոիդ գրաֆիկը, սխեմատիկորեն նշեք անկյունները և ցուցադրեքԱլեքսանդր.

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

B9 խնդիրը տալիս է ֆունկցիայի կամ ածանցյալի գրաֆիկ, որից դուք պետք է որոշեք հետևյալ մեծություններից մեկը.

1. Ածանցյալի արժեքը ինչ-որ կետում x 0,
2. Առավելագույն կամ նվազագույն միավորներ (ծայրահեղ միավորներ),
3. Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալներ (միապաղաղության ինտերվալներ):

Այս խնդրի մեջ ներկայացված գործառույթներն ու ածանցյալները միշտ շարունակական են՝ շատ ավելի հեշտացնելով լուծումը։ Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջադրանքը պատկանում է մաթեմատիկական վերլուծության բաժնին, նույնիսկ ամենաթույլ ուսանողները կարող են դա անել, քանի որ այստեղ խորը տեսական գիտելիքներ չեն պահանջվում։

Ածանցյալի, ծայրահեղ կետերի և միապաղաղության ինտերվալների արժեքը գտնելու համար կան պարզ և ունիվերսալ ալգորիթմներ. դրանք բոլորը կքննարկվեն ստորև:

Ուշադիր կարդացեք B9 խնդրի պայմանները՝ հիմար սխալներ թույլ չտալու համար. երբեմն հանդիպում եք բավականին երկար տեքստերի, բայց կան մի քանի կարևոր պայմաններ, որոնք ազդում են լուծման ընթացքի վրա:

Ածանցյալ արժեքի հաշվարկ. Երկու կետի մեթոդ

Եթե ​​խնդրին տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը շոշափում է այս գրաֆիկին ինչ-որ կետում x 0, և պահանջվում է գտնել ածանցյալի արժեքը այս կետում, ապա կիրառվում է հետևյալ ալգորիթմը.

1. Գտեք շոշափող գրաֆիկի երկու «համարժեք» կետ. դրանց կոորդինատները պետք է լինեն ամբողջ թվեր: Նշենք այս կետերը որպես A (x 1 ; y 1) և B (x 2 ; y 2): Գրեք կոորդինատները ճիշտ. սա լուծման առանցքային կետն է, և այստեղ ցանկացած սխալ կհանգեցնի սխալ պատասխանի:
2. Իմանալով կոորդինատները՝ հեշտ է հաշվարկել Δx = x 2 − x 1 փաստարկի աճը և Δy = y 2 − y 1 ֆունկցիայի աճը։
3. Ի վերջո, մենք գտնում ենք D = Δy/Δx ածանցյալի արժեքը: Այլ կերպ ասած, դուք պետք է բաժանեք ֆունկցիայի աճը փաստարկի աճի վրա, և սա կլինի պատասխանը:

Եվս մեկ անգամ նշենք. A և B կետերը պետք է փնտրել հենց շոշափողի վրա, այլ ոչ թե f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա, ինչպես հաճախ է պատահում։ Շոշափող գիծը անպայման կպարունակի առնվազն երկու այդպիսի կետ, հակառակ դեպքում խնդիրը ճիշտ չի ձևակերպվի:

Դիտարկենք A (−3; 2) և B (−1; 6) կետերը և գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4:

Գտնենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 4/2 = 2։

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսա ունեցող կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 3) և B (3; 0) կետերը, գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3:

Այժմ գտնում ենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = −3/3 = −1:

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսա ունեցող կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 2) և B (5; 2) կետերը և գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0:

Մնում է գտնել ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 0/5 = 0։

Վերջին օրինակից կարող ենք կանոն ձևակերպել՝ եթե շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին, ապա շոշափման կետում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է։ Այս դեպքում դուք նույնիսկ կարիք չունեք որևէ բան հաշվել, պարզապես նայեք գրաֆիկին:

Առավելագույն և նվազագույն միավորների հաշվարկ

Երբեմն, ֆունկցիայի գրաֆիկի փոխարեն, B9 խնդիրը տալիս է ածանցյալի գրաֆիկը և պահանջում է գտնել ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն կետը: Այս իրավիճակում երկու կետանոց մեթոդն անօգուտ է, բայց կա մեկ այլ, նույնիսկ ավելի պարզ ալգորիթմ։ Նախ, եկեք սահմանենք տերմինաբանությունը.

1. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետ, եթե այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≥ f(x):
2. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետ, եթե այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≤ f(x):

Ածանցյալ գրաֆիկից առավելագույն և նվազագույն միավորները գտնելու համար պարզապես հետևեք հետևյալ քայլերին.

1. Վերագծեք ածանցյալ գրաֆիկը՝ հեռացնելով բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, անհարկի տվյալները միայն խանգարում են որոշմանը: Հետևաբար, մենք նշում ենք ածանցյալի զրոները կոորդինատային առանցքի վրա, և վերջ:
2. Գտի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքերի վրա: Եթե ​​x 0 կետի համար հայտնի է, որ f'(x 0) ≠ 0, ապա հնարավոր է միայն երկու տարբերակ. f'(x 0) ≥ 0 կամ f'(x 0) ≤ 0: Ածանցյալի նշանն է. հեշտ է որոշել սկզբնական գծագրից. եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքից վեր, ապա f'(x) ≥ 0: Եվ հակառակը, եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի տակ, ապա f'(x) ≤ 0:
3. Կրկին ստուգում ենք ածանցյալի զրոներն ու նշանները։ Այնտեղ, որտեղ նշանը փոխվում է մինուսից դեպի գումարած, նվազագույն կետն է: Եվ հակառակը, եթե ածանցյալի նշանը գումարածից մինուս է փոխվում, սա առավելագույն կետն է: Հաշվելը միշտ կատարվում է ձախից աջ:

Այս սխեման աշխատում է միայն շարունակական գործառույթների համար. B9-ում ուրիշներ չկան:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−5; 5]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Ազատվենք ավելորդ տեղեկատվությունից և թողնենք միայն սահմանները [−5; 5] և x = −3 և x = 2,5 ածանցյալի զրոները։ Մենք նաև նշում ենք նշանները.

Ակնհայտորեն, x = −3 կետում ածանցյալի նշանը մինուսից փոխվում է գումարածի։ Սա նվազագույն կետն է։

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետը:

Եկեք վերագծենք գրաֆիկը՝ թողնելով միայն սահմանները [−3; 7] և x = −1.7 ածանցյալի զրոները և x = 5. Ստացված գրաֆիկի վրա նշենք ածանցյալի նշանները: Մենք ունենք:

Ակնհայտ է, որ x = 5 կետում ածանցյալի նշանը փոխվում է գումարածից մինուս - սա առավելագույն կետն է:

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−6; 4]։ Գտե՛ք [−4; հատվածին պատկանող f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետերի քանակը։ 3]։

Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ բավական է դիտարկել գրաֆիկի միայն հատվածով սահմանափակված մասը [−4; 3]։ Հետևաբար, մենք կառուցում ենք նոր գրաֆիկ, որի վրա նշում ենք միայն սահմանները [−4; 3] և դրա ներսում գտնվող ածանցյալի զրոները: Մասնավորապես, կետերը x = −3,5 և x = 2: Ստանում ենք.

Այս գրաֆիկի վրա կա միայն մեկ առավելագույն կետ x = 2: Հենց այս կետում է, որ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի:

Փոքր նշում ոչ ամբողջ թվային կոորդինատներով կետերի մասին: Օրինակ՝ վերջին խնդիրում դիտարկվել է x = −3,5 կետը, բայց նույն հաջողությամբ կարող ենք վերցնել x = −3,4։ Եթե ​​խնդիրը ճիշտ է կազմված, ապա նման փոփոխությունները չպետք է ազդեն պատասխանի վրա, քանի որ «առանց ֆիքսված բնակության վայրի» կետերն ուղղակիորեն չեն մասնակցում խնդրի լուծմանը։ Իհարկե, այս հնարքը չի աշխատի ամբողջ միավորներով:

Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալների հայտնաբերում

Նման խնդրի դեպքում, ինչպես առավելագույն և նվազագույն կետերը, առաջարկվում է օգտագործել ածանցյալ գրաֆիկը՝ գտնելու այն տարածքները, որտեղ ֆունկցիան ինքնին մեծանում կամ նվազում է։ Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է աճողն ու նվազումը.

1. f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Այլ կերպ ասած, որքան մեծ է արգումենտի արժեքը, այնքան մեծ է ֆունկցիայի արժեքը:
2. f(x) ֆունկցիան ասվում է, որ նվազող է հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Նրանք. Ավելի մեծ արգումենտի արժեքը համապատասխանում է ավելի փոքր ֆունկցիայի արժեքին:

Ձևակերպենք բավարար պայմաններ մեծացման և նվազման համար.

1. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան մեծանա հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի դրական, այսինքն. f'(x) ≥ 0.
2. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան նվազի հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի բացասական, այսինքն. f’(x) ≤ 0.

Եկեք այս հայտարարություններն ընդունենք առանց ապացույցների։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք աճման և նվազման միջակայքերը գտնելու սխեմա, որը շատ առումներով նման է ծայրահեղ կետերի հաշվարկման ալգորիթմին.

1. Հեռացրեք բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ածանցյալի սկզբնական գրաֆիկում մեզ հիմնականում հետաքրքրում են ֆունկցիայի զրոները, ուստի մենք կթողնենք միայն դրանք։
2. Նշի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքում: Այնտեղ, որտեղ f'(x) ≥ 0, ֆունկցիան մեծանում է, իսկ որտեղ f'(x) ≤ 0, այն նվազում է: Եթե ​​խնդիրը սահմանափակումներ է սահմանում x փոփոխականի վրա, մենք լրացուցիչ նշում ենք դրանք նոր գրաֆիկի վրա:
3. Այժմ, երբ մենք գիտենք ֆունկցիայի վարքագիծը և սահմանափակումները, մնում է հաշվարկել խնդրի մեջ պահանջվող քանակը:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7.5]: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի նվազման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք այս միջակայքում ներառված ամբողջ թվերի գումարը։

Ինչպես միշտ, եկեք վերագծենք գրաֆիկը և նշենք սահմանները [−3; 7.5], ինչպես նաև x = −1.5 և x = 5.3 ածանցյալի զրոները։ Այնուհետև մենք նշում ենք ածանցյալի նշանները. Մենք ունենք:

Քանի որ ածանցյալը (− 1.5) միջակայքի վրա բացասական է, սա նվազող ֆունկցիայի միջակայքն է։ Մնում է գումարել բոլոր այն ամբողջ թվերը, որոնք գտնվում են այս միջակայքում.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−10; 4]։ Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի մեծացման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք դրանցից ամենամեծի երկարությունը։

Ազատվենք ավելորդ տեղեկություններից. Թողնենք միայն սահմանները [−10; 4] և ածանցյալի զրոները, որոնցից այս անգամ չորսն էին. x = −8, x = −6, x = −3 և x = 2: Նշենք ածանցյալի նշանները և ստացենք հետևյալ պատկերը.

Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի աճի միջակայքերը, այսինքն. այնպիսին, որտեղ f’(x) ≥ 0: Գրաֆիկի վրա կա երկու այդպիսի միջակայք՝ (−8; −6) և (−3; 2): Հաշվենք դրանց երկարությունները.
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5:

Քանի որ մենք պետք է գտնենք միջակայքներից ամենամեծի երկարությունը, որպես պատասխան գրում ենք l 2 = 5 արժեքը:

Ֆունկցիայի ածանցյալը դպրոցական ուսումնական ծրագրի բարդ թեմաներից է։ Ամեն շրջանավարտ չէ, որ կպատասխանի այն հարցին, թե ինչ է ածանցյալը:

Այս հոդվածը պարզ և պարզ ձևով բացատրում է, թե ինչ է ածանցյալը և ինչու է այն անհրաժեշտ:. Այժմ մենք չենք ձգտի ներկայացման մեջ մաթեմատիկական խստության: Ամենակարևորը իմաստը հասկանալն է։

Հիշենք սահմանումը.

Ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։

Նկարում ներկայացված են երեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ձեր կարծիքով ո՞ր մեկն է ավելի արագ աճում:

Պատասխանն ակնհայտ է՝ երրորդը։ Այն ունի փոփոխության ամենաբարձր ցուցանիշը, այսինքն՝ ամենամեծ ածանցյալը։

Ահա ևս մեկ օրինակ.

Կոստյան, Գրիշան և Մատվեյը միաժամանակ աշխատանք գտան։ Տեսնենք, թե տարվա ընթացքում ինչպես են փոխվել նրանց եկամուտները.

Գրաֆիկը միանգամից ցույց է տալիս ամեն ինչ, այնպես չէ՞: Կոստյայի եկամուտը վեց ամսում ավելի քան կրկնապատկվել է. Եվ Գրիշայի եկամուտը նույնպես ավելացավ, բայց մի փոքր: Իսկ Մատվեյի եկամուտը նվազել է զրոյի։ Մեկնարկային պայմանները նույնն են, բայց ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, այսինքն ածանցյալ, - տարբեր. Ինչ վերաբերում է Մատվեյին, ապա նրա եկամուտների ածանցյալը ընդհանուր առմամբ բացասական է։

Ինտուիտիվ կերպով մենք հեշտությամբ գնահատում ենք ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Բայց ինչպես ենք մենք դա անում:

Այն, ինչ մենք իրականում նայում ենք, այն է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը որքան կտրուկ է բարձրանում (կամ իջնում): Այլ կերպ ասած, որքան արագ է փոխվում y-ը, երբ x-ը փոխվում է: Ակնհայտ է, որ տարբեր կետերում նույն գործառույթը կարող է ունենալ տարբեր ածանցյալ արժեքներ, այսինքն՝ այն կարող է փոխվել ավելի արագ կամ դանդաղ:

Նշվում է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել այն գրաֆիկի միջոցով:

Կազմվել է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ: Վերցնենք մի կետ, որի վրա կա աբսցիսա: Եկեք այս պահին գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Մենք ցանկանում ենք գնահատել, թե որքան կտրուկ է բարձրանում ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դրա համար հարմար արժեք է շոշափող անկյան շոշափող.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափող անկյան շոշափմանը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որպես շոշափողի թեքության անկյուն մենք վերցնում ենք շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը:

Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե ինչ է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ այս հատվածի գրաֆիկի հետ և ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում: Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին:

Եկեք գտնենք այն: Մենք հիշում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հավասար է հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությանը: Եռանկյունից.

Մենք գտանք ածանցյալը՝ օգտագործելով գրաֆիկ՝ առանց նույնիսկ ֆունկցիայի բանաձևի իմանալու: Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը թվի տակ։

Կա ևս մեկ կարևոր հարաբերություն. Հիշեցնենք, որ ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ

Այս հավասարման մեջ մեծությունը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն. Այն հավասար է առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։

.

Մենք դա հասկանում ենք

Հիշենք այս բանաձեւը. Այն արտահայտում է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը։

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը:

Այսինքն՝ ածանցյալը հավասար է շոշափողի անկյան շոշափմանը։

Մենք արդեն ասացինք, որ նույն ֆունկցիան կարող է տարբեր կետերում ունենալ տարբեր ածանցյալներ։ Տեսնենք, թե ինչպես է ածանցյալը կապված ֆունկցիայի վարքագծի հետ։

Եկեք գծենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Թող այս ֆունկցիան որոշ ոլորտներում մեծանա, իսկ որոշ հատվածներում՝ նվազի, և տարբեր տեմպերով: Եվ թող այս ֆունկցիան ունենա առավելագույն և նվազագույն միավորներ։

Մի կետում ֆունկցիան մեծանում է: Կետում գծված գրաֆիկին շոշափողը առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն: Սա նշանակում է, որ կետում ածանցյալը դրական է:

Այդ պահին մեր ֆունկցիան նվազում է։ Այս կետում շոշափողը բութ անկյուն է կազմում առանցքի դրական ուղղության հետ: Քանի որ բութ անկյան շոշափողը բացասական է, կետի ածանցյալը բացասական է:

Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Եթե ​​ֆունկցիան աճում է, ապա դրա ածանցյալը դրական է:

Եթե ​​այն նվազում է, նրա ածանցյալը բացասական է։

Ի՞նչ կլինի առավելագույն և նվազագույն կետերում: Մենք տեսնում ենք, որ կետերում (առավելագույն կետ) և (նվազագույն կետ) շոշափողը հորիզոնական է: Հետեւաբար, այս կետերում շոշափողի շոշափողը զրո է, իսկ ածանցյալը նույնպես զրո է։

Կետ - առավելագույն միավոր: Այս պահին ֆունկցիայի աճը փոխարինվում է նվազմամբ։ Հետևաբար, ածանցյալի նշանը «պլյուս»-ից «մինուս» կետում փոխվում է:

Կետում՝ նվազագույն կետում, ածանցյալը նույնպես զրո է, բայց դրա նշանը «մինուսից» փոխվում է «գումարած»:

Եզրակացություն. օգտագործելով ածանցյալը, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ:

Եթե ​​ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիան մեծանում է։

Եթե ​​ածանցյալը բացասական է, ապա ֆունկցիան նվազում է։

Առավելագույն կետում ածանցյալը զրո է և նշանը փոխում է «գումարածից» «մինուսի»:

Նվազագույն կետում ածանցյալը նույնպես զրոյական է և նշանը «մինուս»-ից փոխում է «գումարած»:

Այս եզրակացությունները գրենք աղյուսակի տեսքով.

	ավելանում է	առավելագույն միավոր	նվազում է	նվազագույն միավոր	ավելանում է
+	0	-	0	+

Երկու փոքր պարզաբանում անենք. Դրանցից մեկը ձեզ պետք կգա USE-ի խնդիրները լուծելիս: Մեկ այլ՝ առաջին տարում՝ ֆունկցիաների և ածանցյալների ավելի լուրջ ուսումնասիրությամբ։

Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, բայց ֆունկցիան այս պահին չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն: Սա այսպես կոչված :

Մի կետում գրաֆիկի շոշափողը հորիզոնական է, իսկ ածանցյալը` զրո: Այնուամենայնիվ, կետից առաջ ֆունկցիան աճել է, իսկ կետից հետո այն շարունակում է աճել: Ածանցյալի նշանը չի փոխվում. այն մնում է դրական, ինչպես եղել է:

Պատահում է նաև, որ առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում ածանցյալը գոյություն չունի։ Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել:

Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով: Այս դեպքում դա վերաբերում է