Եռանկյունաչափության մեջ գումարման բանաձևերի ստացում. Եռանկյունաչափության բանաձևեր

Չեմ փորձի ձեզ համոզել, որ խաբեության թերթիկներ չգրեք։ Գրի՛ր Ներառյալ եռանկյունաչափության խաբեության թերթիկները: Ավելի ուշ ես նախատեսում եմ բացատրել, թե ինչու են խաբեբա թերթիկներն անհրաժեշտ և ինչու են խաբեական թերթիկները օգտակար: Եվ ահա տեղեկատվություն այն մասին, թե ինչպես պետք է ոչ թե սովորել, այլ հիշել որոշ եռանկյունաչափական բանաձևեր: Այսպիսով, եռանկյունաչափություն առանց խաբեության թերթիկի: Մենք օգտագործում ենք ասոցիացիաներ անգիր անելու համար:

1. Հավելման բանաձևեր.

Կոսինուսները միշտ «զույգ են գալիս»՝ կոսինուս-կոսինուս, սինուս-սինուս: Եվ ևս մեկ բան. կոսինուսները «անադեկվատ» են։ Նրանց մոտ «ամեն ինչ ճիշտ չէ», ուստի նրանք փոխում են «-» նշանները «+» և հակառակը:

Սինուսներ - «խառնել»: սինուս-կոսինուս, կոսինուս-սինուս.

2. Գումարի և տարբերության բանաձևեր.

կոսինուսները միշտ «զույգ են գալիս»: Ավելացնելով երկու կոսինուս՝ «կոլոբոկներ», ստանում ենք զույգ կոսինուսներ՝ «կոլոբոկներ»: Եվ հանելով, մենք հաստատ ոչ մի կոլոբոկ չենք ստանա: Մենք ստանում ենք մի քանի սինուս: Նաև մինուսով առջևում:

Սինուսներ - «խառնել» :

3. Արտադրանքը գումարի և տարբերության վերածելու բանաձևեր.

Ե՞րբ ենք մենք ստանում կոսինուս զույգ: Երբ ավելացնում ենք կոսինուսներ. Ահա թե ինչու

Ե՞րբ ենք մենք ստանում մի քանի սինուս: Կոսինուսները հանելիս. Այստեղից.

«Խառնումը» ստացվում է ինչպես սինուսներ գումարելիս, այնպես էլ հանելիս։ Ի՞նչն է ավելի զվարճալի՝ գումարե՞լ, թե՞ հանել: Ճիշտ է, ծալիր: Իսկ բանաձևի համար նրանք գումարում են.

Առաջին և երրորդ բանաձևերում գումարը փակագծերում է: Ժամկետների տեղերի վերադասավորումը գումարը չի փոխում։ Պատվերը կարևոր է միայն երկրորդ բանաձևի համար. Բայց, որպեսզի չշփոթենք, հիշելու համար, առաջին փակագծերում բոլոր երեք բանաձևերում մենք վերցնում ենք տարբերությունը.

և երկրորդը` գումարը

Գրպանում խաբեբա թերթիկները ձեզ հանգիստ են տալիս. եթե մոռանաք բանաձևը, կարող եք պատճենել այն: Եվ նրանք ձեզ վստահություն են տալիս. եթե չօգտագործեք խաբեության թերթիկը, կարող եք հեշտությամբ հիշել բանաձևերը:

Հավելման բանաձևերը օգտագործվում են a և b անկյունների սինուսների և կոսինուսների միջոցով արտահայտելու cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) ֆունկցիաների արժեքները:

Սինուսների և կոսինուսների հավելման բանաձևեր

Թեորեմ. ցանկացած a-ի և b-ի համար ճշմարիտ է հետևյալ հավասարությունը՝ cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b):

Եկեք ապացուցենք այս թեորեմը։ Դիտարկենք հետևյալ պատկերը.

Դրա վրա Ma, M-b, M(a+b) կետերը ստացվում են Mo կետը համապատասխանաբար a, -b և a+b անկյուններով պտտելով։ Սինուսի և կոսինուսի սահմանումներից այս կետերի կոորդինատները կլինեն հետևյալը՝ Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+): բ) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, հետևաբար MoOM(a+b) և M-bOMa եռանկյունները հավասար են, և դրանք հավասարաչափ են: Սա նշանակում է, որ MoM(a-b) և M-bMa հիմքերը հավասար են: Հետևաբար, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2: Օգտագործելով երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) and cos(-a) = cos(a): Եկեք վերափոխենք մեր հավասարությունը՝ հաշվի առնելով այս բանաձևերը և գումարի ու տարբերության քառակուսին, ապա.

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (ա) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Այժմ մենք կիրառում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b):

Տանք նմանատիպերը և կրճատենք -2-ով.

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Ք.Ե.Դ.

Գործում են նաև հետևյալ բանաձևերը.

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Այս բանաձևերը կարելի է ստանալ վերևում ապացուցվածից՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը և b-ն փոխարինելով -b-ով: Կան նաև շոշափողների և կոտանգենսների գումարման բանաձևեր, բայց դրանք վավեր չեն լինի բոլոր փաստարկների համար:

Շոշափողներ և կոտանգենսներ ավելացնելու բանաձևեր

Ցանկացած a,b անկյունների համար, բացառությամբ a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n և a+b =pi/2 +pi*m, ցանկացած ամբողջ թվի համար k,n,m կլինի հետևյալը. լինել ճշմարիտ բանաձև.

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)):

Ցանկացած a,b անկյունների համար, բացառությամբ a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n և a-b =pi/2 +pi*m, ցանկացած ամբողջ թվի համար k,n,m հետևյալ բանաձևը կլինի. վավեր:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)):

Ցանկացած a,b անկյունների համար, բացառությամբ a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m և ցանկացած ամբողջ թվերի համար k,n,m կգործի հետևյալ բանաձևը.

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)):

Շարունակում ենք մեր զրույցը եռանկյունաչափության մեջ ամենաշատ օգտագործվող բանաձեւերի մասին։ Դրանցից ամենակարեւորը հավելման բանաձեւերն են։

Սահմանում 1

Հավելման բանաձևերը թույլ են տալիս արտահայտել երկու անկյունների տարբերության կամ գումարի ֆունկցիաներ՝ օգտագործելով այդ անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները:

Սկզբից մենք կտանք գումարման բանաձևերի ամբողջական ցանկը, այնուհետև մենք կապացուցենք դրանք և կվերլուծենք մի քանի պատկերավոր օրինակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Եռանկյունաչափության հիմնական գումարման բանաձևերը

Գոյություն ունեն ութ հիմնական բանաձևեր՝ երկու անկյունների գումարի և տարբերության սինուսներ, գումարի և տարբերության կոսինուսներ, համապատասխանաբար գումարի և տարբերության շոշափողներ և կոտանգենսներ: Ստորև ներկայացված են դրանց ստանդարտ ձևակերպումները և հաշվարկները:

1. Երկու անկյունների գումարի սինուսը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ.

Մենք հաշվարկում ենք առաջին անկյան սինուսի և երկրորդի կոսինուսի արտադրյալը.

Առաջին անկյան կոսինուսը բազմապատկեք առաջինի սինուսով;

Ավելացնել ստացված արժեքները:

Բանաձևի գրաֆիկական գրությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β.

2. Տարբերության սինուսը հաշվարկվում է գրեթե նույն կերպ, միայն անհրաժեշտ է ոչ թե ստացված արտադրյալները ավելացնել, այլ հանել միմյանցից։ Այսպիսով, մենք հաշվարկում ենք առաջին անկյան սինուսի արտադրյալները երկրորդի կոսինուսով, իսկ առաջին անկյան կոսինուսը երկրորդի սինուսով և գտնում դրանց տարբերությունը։ Բանաձեւը գրված է այսպես՝ sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Գումարի կոսինուս. Դրա համար մենք գտնում ենք առաջին անկյան կոսինուսի արտադրյալները երկրորդի կոսինուսով և առաջին անկյան սինուսի արտադրյալները համապատասխանաբար երկրորդի սինուսով և գտնում ենք դրանց տարբերությունը՝ cos (α + β) = cos α. · cos β - մեղք α · sin β

4. Տարբերության կոսինուս. հաշվել այս անկյունների սինուսների և կոսինուսների արտադրյալները, ինչպես նախկինում, և ավելացրու դրանք: Բանաձև՝ cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Գումարի շոշափող. Այս բանաձևը արտահայտվում է կոտորակի տեսքով, որի համարիչը պահանջվող անկյունների շոշափումների գումարն է, իսկ հայտարարը՝ միավոր, որից հանվում է ցանկալի անկյունների շոշափումների արտադրյալը։ Նրա գրաֆիկական նշումից ամեն ինչ պարզ է. t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Տարբերության շոշափող. Մենք հաշվարկում ենք այս անկյունների շոշափումների տարբերության և արտադրյալի արժեքները և նույն կերպ վարվում դրանց հետ։ Հայտարարում ավելացնում ենք մեկին, և ոչ հակառակը՝ t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β.

7. Գումարի կոտանգենս. Այս բանաձևով հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի այս անկյունների արտադրյալը և կոտանգենսների գումարը, որը մենք կատարում ենք հետևյալ կերպ. c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β.

8. Տարբերության կոտանգենս . Բանաձևը նման է նախորդին, բայց համարիչը և հայտարարը մինուս են, այլ ոչ թե գումարած c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β:

Դուք հավանաբար նկատել եք, որ այս բանաձեւերը զույգերով նման են: Օգտագործելով ± (plus-minus) և ∓ (minus-plus) նշանները, մենք կարող ենք դրանք խմբավորել ձայնագրման հեշտության համար.

sin (α ± β) = մեղք α · cos β ± cos α · մեղք β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Համապատասխանաբար, մենք ունենք յուրաքանչյուր արժեքի գումարի և տարբերության մեկ ձայնագրման բանաձև, պարզապես մի դեպքում ուշադրություն ենք դարձնում վերին նշանին, մյուս դեպքում՝ ստորինին։

Սահմանում 2

Մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած α և β անկյուններ, և կոսինուսի և սինուսի գումարման բանաձևերը կաշխատեն դրանց համար: Եթե ​​մենք կարողանանք ճիշտ որոշել այս անկյունների շոշափողների և կոտանգենսների արժեքները, ապա դրանց համար կգործեն նաև շոշափողի և կոտանգենսի գումարման բանաձևերը:

Հանրահաշվի հասկացությունների մեծ մասի նման, գումարման բանաձևերը կարող են ապացուցվել: Առաջին բանաձևը, որը մենք կապացուցենք, տարբերության կոսինուսի բանաձևն է: Մնացած ապացույցները դրանից հետո հեշտությամբ կարելի է եզրակացնել:

Եկեք պարզաբանենք հիմնական հասկացությունները. Մեզ անհրաժեշտ կլինի միավոր շրջանակ: Կստացվի, եթե վերցնենք որոշակի A կետ և α և β անկյունները պտտենք կենտրոնի շուրջ (O կետ): Այնուհետև O A 1 → և O A → 2 վեկտորների միջև անկյունը հավասար կլինի (α - β) + 2 π · z կամ 2 π - (α - β) + 2 π · z (z-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է): Ստացված վեկտորները կազմում են անկյուն, որը հավասար է α - β կամ 2 π - (α - β), կամ այն ​​կարող է տարբերվել այս արժեքներից ամբողջական պտույտների ամբողջ թվով: Նայեք նկարին.

Մենք օգտագործեցինք կրճատման բանաձևերը և ստացանք հետևյալ արդյունքները.

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Արդյունք. O A 1 → և O A 2 → վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը հավասար է α - β անկյան կոսինուսին, հետևաբար, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β):

Հիշենք սինուսի և կոսինուսի սահմանումները. սինուսը անկյան ֆունկցիա է, որը հավասար է հակառակ անկյան ոտքի հարաբերությանը հիպոթենուսին, կոսինուսը լրացնող անկյան սինուսն է։ Հետեւաբար, կետերը Ա 1Եվ Ա 2ունեն կոորդինատներ (cos α, sin α) և (cos β, sin β):

Մենք ստանում ենք հետևյալը.

O A 1 → = (cos α, sin α) և O A 2 → = (cos β, sin β)

Եթե ​​պարզ չէ, նայեք վեկտորների սկզբում և վերջում գտնվող կետերի կոորդինատներին:

Վեկտորների երկարությունները հավասար են 1-ի, քանի որ Մենք ունենք միավոր շրջանակ:

Այժմ վերլուծենք O A 1 → և O A 2 → վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Կոորդինատներում այն ​​ունի հետևյալ տեսքը.

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + մեղք α · մեղք β

Այստեղից մենք կարող ենք ստանալ հավասարությունը.

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Այսպիսով, տարբերության կոսինուսի բանաձևը ապացուցված է.

Այժմ մենք կապացուցենք հետևյալ բանաձևը՝ գումարի կոսինուսը։ Սա ավելի հեշտ է, քանի որ մենք կարող ենք օգտագործել նախորդ հաշվարկները: Վերցնենք α + β = α - (- β) պատկերը: Մենք ունենք:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β.

Սա կոսինուսի գումարի բանաձևի ապացույցն է։ Վերջին տողում օգտագործվում է հակադիր անկյունների սինուսի և կոսինուսի հատկությունը:

Գումարի սինուսի բանաձևը կարող է ստացվել տարբերության կոսինուսի բանաձևից: Վերցնենք դրա կրճատման բանաձևը.

sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) ձևի: Այսպիսով
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + մեղք (π 2 - α) sin β. = = մեղք α cos β + cos α sin β

Եվ ահա տարբերության սինուսի բանաձևի ապացույցը.

մեղք (α - β) = մեղք (α + (- β)) = մեղք α cos (- β) + cos α sin (- β) = = մեղք α cos β - cos α sin β.
Նկատի ունեցեք վերջին հաշվարկում հակառակ անկյունների սինուսի և կոսինուսի հատկությունների օգտագործումը:

Հաջորդը մեզ անհրաժեշտ են շոշափողի և կոտանգենսի գումարման բանաձևերի ապացույցներ: Հիշենք հիմնական սահմանումները (տանգենտը սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունն է, իսկ կոտանգենսը՝ հակառակը) և վերցնենք արդեն իսկ ստացված բանաձևերը։ Մենք արեցինք դա:

t g (α + β) = մեղք (α + β) cos (α + β) = մեղք α cos β + cos α sin β cos α cos β - մեղք α մեղք β.

Մենք ունենք բարդ կոտորակ. Հաջորդը, մենք պետք է բաժանենք նրա համարիչը և հայտարարը cos α · cos β-ի, հաշվի առնելով, որ cos α ≠ 0 և cos β ≠ 0, մենք ստանում ենք.
մեղք α · cos β + cos α · մեղք β cos α · cos β cos α · cos β - մեղք α · մեղք β cos α · cos β = մեղք α · cos β cos α · cos β + cos α · մեղք β cos. α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - մեղք α · մեղք β cos α · cos β

Այժմ կրճատում ենք կոտորակները և ստանում հետևյալ բանաձևը՝ sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β:
Ստացանք t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β: Սա շոշափող գումարման բանաձևի ապացույցն է։

Հաջորդ բանաձևը, որը մենք կապացուցենք, տարբերության բանաձևի շոշափումն է։ Հաշվարկներում ամեն ինչ հստակ ցույց է տրված.

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β.

Կոտանգենտի բանաձևերը ապացուցված են նմանատիպ ձևով.
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - մեղք α · մեղք β sin α · cos β + cos α · մեղք β = = cos α · cos β - մեղք α · մեղք β մեղք α · մեղք β մեղք α · cos β + cos α · մեղք β մեղք α · մեղք β = cos α · cos β մեղք α · մեղք β - 1 մեղք α · cos β մեղք α · մեղք β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Հետագա:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.