Դաս և ներկայացում «Թվային շրջան. սահմանում, ընդհանուր տեսք, երկարություն. Միավոր շրջան» թեմայով.

Այս հոդվածում մենք շատ մանրամասն կվերլուծենք թվային շրջանագծի սահմանումը, կպարզենք դրա հիմնական հատկությունը և կդասավորենք 1,2,3 թվերը և այլն։ Շրջանակի վրա այլ թվեր նշելու մասին (օրինակ՝ \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) հասկանում է.

Թվային շրջան կոչվում է միավորի շառավիղի շրջան, որի կետերը համապատասխանում են , կազմակերպվում են հետևյալ կանոններով.

1) Ծագումը գտնվում է շրջանագծի ծայրահեղ աջ կետում.

2) ժամացույցի հակառակ ուղղությամբ՝ դրական ուղղություն. ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - բացասական;

3) Եթե շրջանագծի վրա \(t\) հեռավորությունը գծենք դրական ուղղությամբ, ապա կհասնենք \(t\) արժեքով կետի;

4) Եթե շրջանագծի վրա \(t\) հեռավորությունը գծենք բացասական ուղղությամբ, ապա կհասնենք \(–t\) արժեքով կետի։

Ինչու՞ է շրջանագիծը կոչվում թվային շրջան:
Որովհետև դրա վրա թվեր կան: Այս կերպ շրջանագիծը նման է թվային առանցքին՝ շրջանագծի վրա, ինչպես առանցքի վրա, յուրաքանչյուր թվի համար կա կոնկրետ կետ։

Ինչու՞ իմանալ, թե ինչ է թվային շրջանակը:
Օգտագործելով թվային շրջանակը, որոշվում են սինուսների, կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների արժեքները: Հետևաբար, եռանկյունաչափություն իմանալու և միասնական պետական ​​քննությունը 60+ միավորով հանձնելու համար պետք է հասկանալ, թե ինչ է թվային շրջանագիծը և ինչպես դնել դրա վրա կետերը։

Ի՞նչ են նշանակում «...միավոր շառավղով...» բառերը սահմանման մեջ:
Սա նշանակում է, որ այս շրջանագծի շառավիղը հավասար է \(1\): Իսկ եթե սկզբնամասում կենտրոնով նման շրջան կառուցենք, ապա այն կհատվի \(1\) և \(-1\) կետերի առանցքների հետ։

Պարտադիր չէ, որ այն փոքր լինի, դուք կարող եք փոխել առանցքների երկայնքով բաժանումների «չափը», այնուհետև նկարը ավելի մեծ կլինի (տես ստորև):

Ինչու է շառավիղը ճիշտ մեկ: Սա ավելի հարմար է, քանի որ այս դեպքում շրջագիծը \(l=2πR\) բանաձևով հաշվարկելիս ստանում ենք.

Թվային շրջանագծի երկարությունը \(2π\) է կամ մոտավորապես \(6.28\):

Ի՞նչ է նշանակում «...որի կետերը համապատասխանում են իրական թվերին»:
Ինչպես վերևում ասացինք, ցանկացած իրական թվի թվային շրջանակի վրա անպայման կլինի նրա «տեղը»՝ այս թվին համապատասխան կետ:

Ինչու՞ որոշել սկզբնաղբյուրը և ուղղությունը թվերի շրջանակի վրա:
Թվային շրջանագծի հիմնական նպատակը յուրաքանչյուր թվի համար իր կետը եզակիորեն որոշելն է: Բայց ինչպե՞ս կարող եք որոշել, թե որտեղ պետք է դնել կետը, եթե չգիտեք, թե որտեղից հաշվել և որտեղ շարժվել:

Այստեղ կարևոր է չշփոթել ծագումը կոորդինատային գծի և թվային շրջանի վրա. սրանք երկու տարբեր տեղեկատու համակարգեր են: Եվ նաև մի շփոթեք \(1\) \(x\) առանցքի վրա և \(0\) շրջանագծի վրա. դրանք տարբեր օբյեկտների կետեր են:

Ո՞ր կետերն են համապատասխանում \(1\), \(2\) և այլն թվերին:

Հիշո՞ւմ եք, մենք ենթադրում էինք, որ թվային շրջանակն ունի \(1\) շառավիղ: Սա կլինի մեր միավորի հատվածը (համաձայն թվային առանցքի), որը մենք գծագրելու ենք շրջանագծի վրա:

1 թվին համապատասխանող թվային շրջանագծի վրա կետ նշելու համար անհրաժեշտ է 0-ից անցնել շառավղին հավասար հեռավորություն՝ դրական ուղղությամբ:

\(2\) թվին համապատասխան շրջանագծի վրա կետ նշելու համար անհրաժեշտ է սկզբից երկու շառավղով հավասար հեռավորություն անցնել, որպեսզի \(3\)-ը հավասար լինի երեք շառավիղների և այլն։

Այս նկարը դիտելիս կարող եք ունենալ 2 հարց.
1. Ի՞նչ է տեղի ունենում, երբ շրջանը «ավարտվում է» (այսինքն՝ մենք ամբողջական հեղափոխություն ենք անում):
Պատասխան՝ գնանք երկրորդ փուլ։ Եվ երբ երկրորդն ավարտվի, մենք կանցնենք երրորդին և այլն: Հետևաբար, շրջանագծի վրա կարելի է գծագրել անսահման թվով թվեր։

2. Որտե՞ղ կլինեն բացասական թվերը:
Պատասխան՝ հենց այնտեղ։ Դրանք կարելի է դասավորել նաև՝ զրոյից հաշվելով անհրաժեշտ թվով շառավիղներ, բայց հիմա բացասական ուղղությամբ։

Դժբախտաբար, դժվար է թվերի շրջանակի վրա նշել ամբողջ թվերը: Դա պայմանավորված է նրանով, որ թվի շրջանագծի երկարությունը հավասար չի լինի մի ամբողջ թվի՝ \(2π\): Իսկ ամենահարմար վայրերում (առանցքների հետ հատման կետերում) կլինեն նաև կոտորակներ, ոչ թե ամբողջ թվեր.

Տեսադասերը դասավանդման ամենաարդյունավետ գործիքներից են, հատկապես դպրոցական առարկաներից, ինչպիսին է մաթեմատիկան: Հետևաբար, այս նյութի հեղինակը մեկ ամբողջության մեջ հավաքել է միայն օգտակար, կարևոր և իրավասու տեղեկատվություն:

Այս դասի տևողությունը 11։52 րոպե է։ Գրեթե նույնքան ժամանակ է պահանջվում, որպեսզի ուսուցիչը դասարանում բացատրի նոր նյութը տվյալ թեմայով: Թեև տեսադասի հիմնական առավելությունը լինելու է այն փաստը, որ ուսանողները ուշադիր կլսեն, թե ինչ է խոսում հեղինակը՝ չշեղվելով կողմնակի թեմաներից և զրույցներից: Ի վերջո, եթե ուսանողները ուշադիր չլսեն, դասի կարևոր կետը բաց կթողնեն: Եվ եթե ուսուցիչը ինքն է բացատրում նյութը, ապա նրա աշակերտները հեշտությամբ կարող են շեղել հիմնականից իրենց զրույցները վերացական թեմաներով: Եվ, իհարկե, պարզ է դառնում, թե որ մեթոդն ավելի ռացիոնալ կլինի։

Հեղինակը դասի սկիզբը նվիրում է այն գործառույթները կրկնելուն, որոնց սովորողներն ավելի վաղ ծանոթ էին հանրահաշվի դասընթացում: Եվ առաջինը, որ սկսում են ուսումնասիրել, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են։ Դրանք դիտարկելու և ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ է նոր մաթեմատիկական մոդել: Եվ այս մոդելը դառնում է թվային շրջան, որը հենց այն է, ինչ ասված է դասի թեմայում։ Դրա համար ներկայացվում է միավոր շրջանակ հասկացությունը և տրվում է դրա սահմանումը: Հետագայում նկարում հեղինակը ցույց է տալիս նման շրջանակի բոլոր բաղադրիչները և այն, ինչը օգտակար կլինի ուսանողներին հետագա ուսուցման համար: Աղեղները ցույց են տալիս քառորդներ:

Այնուհետև հեղինակն առաջարկում է դիտարկել թվային շրջանակը։ Այստեղ նա դիտողություն է անում, որ ավելի հարմար է օգտագործել միավորի շրջանակը։ Այս շրջանագիծը ցույց է տալիս, թե ինչպես է ստացվում M կետը, եթե t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Հաջորդը, հեղինակը հիշեցնում է ուսանողներին, թե ինչպես գտնել շրջանագծի շրջագիծը: Եվ հետո այն ցույց է տալիս միավորի շրջանակի երկարությունը: Առաջարկվում է այս տեսական տվյալները կիրառել գործնականում։ Դա անելու համար հաշվի առեք մի օրինակ, որտեղ դուք պետք է գտնեք շրջանագծի մի կետ, որը համապատասխանում է որոշակի թվային արժեքներին: Օրինակի լուծումը ուղեկցվում է նկարի տեսքով նկարազարդմամբ, ինչպես նաև անհրաժեշտ մաթեմատիկական նշումներով։

Երկրորդ օրինակի պայմանի համաձայն անհրաժեշտ է թվային շրջանագծի վրա կետեր գտնել։ Այստեղ նույնպես ամբողջ լուծումն ուղեկցվում է մեկնաբանություններով, նկարազարդումներով և մաթեմատիկական նշումներով։ Սա նպաստում է ուսանողների մաթեմատիկական գրագիտության զարգացմանն ու կատարելագործմանը: Երրորդ օրինակը կառուցված է նույն կերպ.

Հաջորդը, հեղինակը նշում է այն թվերը, որոնք տեղի են ունենում ավելի հաճախ, քան մյուսները: Այստեղ նա առաջարկում է թվային շրջանագծի երկու մոդել պատրաստել։ Երբ երկու դասավորությունները պատրաստ են, դիտարկվում է հաջորդ՝ չորրորդ օրինակը, որտեղ անհրաժեշտ է գտնել 1 թվին համապատասխանող թվային շրջանագծի վրա: Այս օրինակից հետո ձևակերպվում է հայտարարություն, ըստ որի կարելի է գտնել M կետին համապատասխան: t թիվը.

Այնուհետև ներկայացվում է դիտողություն, ըստ որի ուսանողները սովորում են, որ «pi» թիվը համապատասխանում է բոլոր թվերին, որոնք ընկնում են տվյալ կետի վրա, երբ այն անցնում է ամբողջ շրջանակը: Այս տեղեկատվությունը հաստատվում է հինգերորդ օրինակով. Նրա լուծումը պարունակում է տրամաբանորեն ճիշտ պատճառաբանություն և իրավիճակը պատկերող գծագրեր:

ՏԵՔՍՏԻ վերծանում.

ԹՎԱԿԱՆ ՇՐՋԱՆ

Նախկինում մենք ուսումնասիրել ենք վերլուծական արտահայտություններով սահմանված ֆունկցիաները։ Եվ այս ֆունկցիաները կոչվում էին հանրահաշվական։ Բայց դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում ուսումնասիրվում են այլ դասարանների ֆունկցիաներ, այլ ոչ թե հանրահաշվական։ Սկսենք սովորել եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ներմուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է նոր մաթեմատիկական մոդել՝ թվային շրջան։ Դիտարկենք միավորի շրջանակը: Շրջանակը, որի շառավիղը հավասար է մասշտաբի հատվածին, առանց չափման հատուկ միավորներ նշելու, կոչվելու է միավոր: Նման շրջանագծի շառավիղը հավասար է 1-ի։

Մենք կօգտագործենք միավոր շրջան, որում գծված են CA և DB (ce a և de be) հորիզոնական և ուղղահայաց տրամագծերը (տես նկար 1):

Մենք կկոչենք arc AB առաջին քառորդը, arc BC երկրորդ քառորդը, arc CD երրորդ քառորդը և arc DA չորրորդ քառորդը:

Դիտարկենք թվային շրջանակը: Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած շրջան կարելի է համարել որպես թվային շրջան, սակայն ավելի հարմար է այդ նպատակով օգտագործել միավորի շրջանակը։

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ Տրված է միավոր շրջան, և վրան նշվում է ելակետը՝ հորիզոնական տրամագծի աջ ծայրը։ Յուրաքանչյուր իրական թիվ t (te) կապենք շրջանագծի մի կետի հետ՝ համաձայն հետևյալ կանոնի.

1) Եթե t>0 (te-ն զրոյից մեծ է), ապա A կետից շարժվելով ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ (շրջանի դրական ուղղությունը) մենք նկարագրում ենք շրջանագծի երկայնքով t երկարությամբ AM (a em) ուղին: M կետը կլինի M(t) ցանկալի կետը (em te-ից):

2) Եթե տ<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) A կետը վերագրենք t = 0 թվին:

Հաստատված համապատասխանությամբ միավոր շրջանագիծը (իրական թվերի և շրջանագծի կետերի միջև) կկոչվի թվային շրջան:

Հայտնի է, որ L (el) շրջագիծը հաշվարկվում է L = 2πR բանաձևով (el-ը հավասար է երկու պիերի), որտեղ π≈3.14, R-ը շրջանագծի շառավիղն է։ R=1cm միավոր շրջանագծի համար դա նշանակում է L=2π≈6,28 սմ (el-ը հավասար է երկու pi-ի մոտավորապես 6,28):

Եկեք նայենք օրինակներին:

ՕՐԻՆԱԿ 1. Թվային շրջանագծի վրա գտե՛ք կետ, որը համապատասխանում է տվյալ թվին.

Լուծում. Առաջին վեց թվերը դրական են, հետևաբար, շրջանագծի վրա համապատասխան կետերը գտնելու համար անհրաժեշտ է շրջանագծի երկայնքով անցնել տրված երկարության ճանապարհ՝ Ա կետից շարժվելով դրական ուղղությամբ։ Միավոր շրջանագծի յուրաքանչյուր քառորդի երկարությունը հավասար է: Սա նշանակում է AB =, այսինքն, B կետը համապատասխանում է թվին (տե՛ս նկ. 1): AC = , այսինքն C կետը համապատասխանում է թվին, AD = , այսինքն D կետը համապատասխանում է թվին, իսկ A կետը կրկին համապատասխանում է թվին, քանի որ շրջանագծի երկայնքով ճանապարհ անցնելուց հետո մենք հայտնվեցինք սկզբնակետում: Ա.

Եկեք դիտարկենք, թե որտեղ է գտնվելու կետը:Քանի որ մենք արդեն գիտենք, թե որքան է շրջանագծի երկարությունը, մենք այն կնվազեցնենք ձևի (չորս պի գումարած երեք պի երկուսով): Այսինքն՝ շարժվելով Ա կետից դրական ուղղությամբ, անհրաժեշտ է երկու անգամ նկարագրել մի ամբողջ շրջան (4π երկարությամբ ուղի) և լրացուցիչ երկարության ուղի, որն ավարտվում է D կետով։

Ինչ է պատահել? Սա 3∙2π + π է (երեք անգամ երկու pi գումարած pi): Սա նշանակում է, որ շարժվելով A կետից դրական ուղղությամբ, անհրաժեշտ է երեք անգամ նկարագրել մի ամբողջ շրջան և լրացուցիչ π երկարությամբ ուղի, որը կավարտվի C կետում:

Թվային շրջանագծի վրա բացասական թվին համապատասխանող կետ գտնելու համար անհրաժեշտ է A կետից շրջանագծի երկայնքով քայլել բացասական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ) երկարությամբ ուղի, որը համապատասխանում է 2π +: Այս ճանապարհը կավարտվի Դ կետով:

ՕՐԻՆԱԿ 2. Թվային շրջանագծի վրա գտե՛ք կետերը (pi վեցով, պի չորսով, պի՝ երեքով):

Լուծում. Կիսով բաժանելով AB աղեղը՝ ստանում ենք E կետ, որը համապատասխանում է։ Իսկ AB աղեղը F և O կետերով բաժանելով երեք հավասար մասերի, ստանում ենք, որ F կետը համապատասխանում է, իսկ T կետը համապատասխանում է.

(տես նկար 2):

ՕՐԻՆԱԿ 3. Գտե՛ք թվային շրջանագծի կետերը (մինուս տասներեք պի չորսով, տասնինը պի վեցով):

Լուծում. A կետից AE (a em) երկարությամբ (pi չորսով) աղեղը տասներեք անգամ բացասական ուղղությամբ դնելով, մենք ստանում ենք H կետ (մոխիր)՝ BC աղեղի միջինը:

A կետից տասնինը անգամ դրական ուղղությամբ դնելով AF երկարությամբ աղեղ (pi վեց)՝ մենք հասնում ենք N (en) կետին, որը պատկանում է երրորդ քառորդին (arc CD) և CN հավասար է երրորդ մասի: աղեղ CD (se de).

(տե՛ս նկար 2-րդ օրինակը):

Ամենից հաճախ պետք է թվերի շրջանակի վրա կետեր փնտրել, որոնք համապատասխանում են թվերին (pi-ով վեց, պի-ով չորս, պի-ով երեքով, պի-ով երկու), ինչպես նաև դրանք, որոնք դրանց բազմապատիկն են, այսինքն, (յոթ): pi վեցով, հինգ պի չորսով, չորս պի երեքով, տասնմեկ պի երկուով): Հետևաբար, արագ նավարկելու համար նպատակահարմար է կատարել թվերի շրջանակի երկու դասավորություն:

Առաջին դասավորության վրա թվային շրջանագծի յուրաքանչյուր քառորդը կբաժանվի երկու հավասար մասերի և ստացված կետերից յուրաքանչյուրի մոտ կգրենք նրանց «անունները».

Երկրորդ դասավորության վրա քառորդներից յուրաքանչյուրը բաժանված է երեք հավասար մասերի և ստացված տասներկու կետերից յուրաքանչյուրի մոտ մենք գրում ենք նրանց «անունները».

Եթե ​​շարժվենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա կստանանք նույն «անվանումները» գծագրերի կետերի համար՝ միայն մինուս արժեքով: Առաջին դասավորության համար.

Նմանապես, եթե դուք շարժվեք երկրորդ դասավորության երկայնքով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ O կետից:

ՕՐԻՆԱԿ 4. Թվային շրջանագծի վրա գտե՛ք կետեր, որոնք համապատասխանում են 1 (մեկ) թվերին:

Լուծում. Իմանալով, որ π≈3.14 (pi-ն մոտավորապես հավասար է երեք կետի տասնչորս հարյուրերորդականի), ≈ 1.05 (pi-ի երեք անգամ մոտավորապես հավասար է մեկ կետի հինգ հարյուրերորդականի), ≈ 0.79 (pi-ն չորս անգամ մոտավորապես հավասար է զրոյական կետի յոթանասունինը հարյուրերորդականի): Նշանակում է,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Հետևյալ պնդումը ճիշտ է. եթե թվային շրջանագծի վրա M կետը համապատասխանում է t թվին, ապա այն համապատասխանում է t + 2π ձևի ցանկացած թվի.կ(te գումարած երկու pi ka), որտեղ ka-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է և kϵ Զ(ka-ն պատկանում է Զեթին):

Օգտագործելով այս պնդումը, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ կետը համապատասխանում է t =+ 2πk ձևի բոլոր կետերին (te հավասար է pi-ի՝ երեք գումարած երկու գագաթների), որտեղ kϵZ ( ka-ն պատկանում է zet-ին), իսկ կետին (հինգ pi չորսով) - t = + 2πk ձևի կետեր (te-ն հավասար է հինգ pi-ի չորսով գումարած երկու pi ka), որտեղ kϵZ. ( ka-ն պատկանում է զեթին) և այլն։

ՕՐԻՆԱԿ 5. Գտե՛ք թվային շրջանագծի կետը՝ ա) ; բ) .

Լուծում. ա) Ունենք՝ = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π. (քսան պի, երեքը հավասար է քսանապատիկ երեք պի, հավասար է վեց գումարած երկու երրորդի, բազմապատկված պի-ով հավասար է վեց պի գումարած երկու պի, երեքը հավասար է. երկու պի երեք անգամ գումարած երեք անգամ երկու պի):

Սա նշանակում է, որ թիվը համապատասխանում է թվի շրջանագծի նույն կետին, ինչ թիվը (սա երկրորդ քառորդն է) (տես երկրորդ դասավորությունը նկ. 4-ում):

բ) Մենք ունենք՝ = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (մինուս երեսունհինգ pi, չորսը հավասար է մինուս ութին գումարած երեք չորրորդ անգամ pi հավասար է մինուս երեք pi, չորս գումարած երկու pi անգամ հանած չորս. ) Այսինքն՝ թիվը համապատասխանում է թվային շրջանագծի նույն կետին, ինչ թիվը

Այս դասում մենք կհիշենք թվային ուղիղի սահմանումը և կտանք թվային շրջանագծի նոր սահմանումը: Մենք մանրամասնորեն կքննարկենք նաև թվային շրջանագծի և շրջանի կարևոր կետերի կարևոր հատկությունը: Սահմանենք թվերի շրջանակի ուղիղ և հակադարձ խնդիրները և լուծենք նման խնդիրների մի քանի օրինակ:

Թեմա՝ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Դաս. Թվերի շրջան

Ցանկացած ֆունկցիայի համար անկախ արգումենտը հետաձգվում է կամ թվային գիծ, կամ շրջանագծի վրա։ Եկեք բնութագրենք և՛ թվային տողը, և՛ թվային շրջան.

Ուղիղ գիծը դառնում է թվային (կոորդինատ) գիծ, ​​եթե նշվում է կոորդինատների սկզբնաղբյուրը և ընտրվում են ուղղությունն ու մասշտաբը (նկ. 1):

Թվային տողը հաստատում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն գծի բոլոր կետերի և բոլոր իրական թվերի միջև:

Օրինակ՝ վերցնում ենք թիվ և դնում կոորդինատային առանցքի վրա, ստանում ենք կետ, վերցնում ենք թիվ և դնում առանցքի վրա, ստանում ենք կետ (նկ. 2):

Եվ հակառակը, եթե կոորդինատային ուղղի ցանկացած կետ վերցնենք, ապա դրան համապատասխան եզակի իրական թիվ կա (նկ. 2):

Մարդիկ անմիջապես չեն եկել նման նամակագրության։ Սա հասկանալու համար եկեք հիշենք հիմնական թվային բազմությունները:

Նախ ներկայացրինք բնական թվերի մի շարք

Այնուհետև մի ամբողջ թվեր

Ռացիոնալ թվերի հավաքածու

Ենթադրվում էր, որ այդ բազմությունները բավարար կլինեն, և որ բոլոր ռացիոնալ թվերի և մի ուղիղի կետերի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն կլինի: Բայց պարզվեց, որ թվային տողի վրա կան անթիվ կետեր, որոնք հնարավոր չէ նկարագրել ձևի թվերով

Օրինակ՝ 1 և 1 ոտքեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուզան: Այն հավասար է (նկ. 3):

Ռացիոնալ թվերի բազմության մեջ կա՞ ոչին ճիշտ թիվ, չկա՞: Փաստենք այս փաստը.

Հակասությամբ ապացուցենք. Ենթադրենք, որ կա կոտորակ, որը հավասար է i.e.

Այնուհետև մենք երկու կողմերն էլ քառակուսի ենք տալիս: Ակնհայտորեն, հավասարության աջ կողմը բաժանվում է 2-ի, . Սա նշանակում է և Հետո Բայց հետո և Ա նշանակում է Հետո պարզվում է, որ կոտորակը կրճատելի է: Սա հակասում է պայմանին, ինչը նշանակում է

Թիվն իռացիոնալ է։ Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի բազմությունը կազմում է իրական թվերի բազմությունը Եթե ​​վերցնենք ուղիղի ցանկացած կետ, ապա դրան կհամապատասխանի ինչ-որ իրական թիվ։ Իսկ եթե վերցնենք ցանկացած իրական թիվ, կոորդինատային գծի վրա կլինի դրան համապատասխան մեկ կետ։

Եկեք պարզաբանենք, թե ինչ է թվային շրջանագիծը և ինչպիսի հարաբերություններ կան շրջանագծի կետերի բազմության և իրական թվերի բազմության միջև:

Ծագում - կետ Ա. Հաշվիչ ուղղություն - ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ - դրական, ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - բացասական: Կշեռք - շրջագիծ (նկ. 4):

Ներկայացնելով այս երեք դրույթները՝ ունենք թվային շրջան. Մենք կնշենք, թե ինչպես կարելի է շրջանագծի վրա կետ հատկացնել յուրաքանչյուր թվին և հակառակը:

Համարը սահմանելով մենք ստանում ենք մի կետ շրջանագծի վրա

Յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է շրջանագծի մի կետի:Իսկ հակառակը:

Կետը համապատասխանում է թվին։ Իսկ եթե վերցնենք թվեր, ապա այս բոլոր թվերն իրենց պատկերում ունեն միայն մեկ կետ շրջանագծի վրա

Օրինակ, համապատասխանում է կետին Բ(նկ. 4):

Վերցնենք բոլոր թվերը, դրանք բոլորը համապատասխանում են կետին: Բ.Շրջանակի բոլոր իրական թվերի և կետերի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն չկա:

Եթե ​​կա ֆիքսված թիվ, ապա շրջանագծի վրա միայն մեկ կետ է համապատասխանում դրան

Եթե ​​շրջանագծի վրա կա կետ, ապա դրան համապատասխան թվերի բազմություն կա

Ի տարբերություն ուղիղ գծի, կոորդինատային շրջանագիծը չունի մեկ առ մեկ համապատասխանություն կետերի և թվերի միջև: Յուրաքանչյուր թիվը համապատասխանում է միայն մեկ կետի, բայց յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է անսահման թվով թվերի, և մենք կարող ենք դրանք գրել:

Դիտարկենք շրջանագծի հիմնական կետերը:

Տրված թվով գտե՛ք շրջանագծի որ կետին է այն համապատասխանում:

Աղեղը կիսով չափ բաժանելով՝ ստանում ենք կետ (նկ. 5):

Հակադարձ խնդիր. տրված է աղեղի մեջտեղում գտնվող կետը, գտե՛ք դրան համապատասխանող բոլոր իրական թվերը:

Եկեք նշենք բոլոր բազմաթիվ աղեղները թվային շրջանակի վրա (նկ. 6):

Աղեղներ, որոնք բազմապատիկ են

Տրված է թիվ, անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան կետը։

Հակադարձ խնդիր. տրվելով կետին, դուք պետք է գտնեք, թե որ թվերին է այն համապատասխանում:

Մենք նայեցինք երկու ստանդարտ առաջադրանքներ երկու կրիտիկական կետերում:

ա) Գտեք կոորդինատով թվային շրջանագծի վրա կետ

Հետաձգում կետից Ասա երկու ամբողջ պտույտ է և ևս մեկ կես, և մենք միավոր ենք ստանում Մ- սա երրորդ եռամսյակի կեսն է (նկ. 8):

Պատասխանել. Կետ Մ- երրորդ եռամսյակի կեսեր:

բ) Գտեք կոորդինատով թվային շրջանագծի վրա կետ

Հետաձգում կետից Աամբողջական շրջադարձ, և մենք դեռ միավոր ենք ստանում Ն(նկ. 9):

Պատասխան՝ կետ Նառաջին եռամսյակում է։

Մենք նայեցինք թվային տողին և թվային շրջանին և հիշեցինք դրանց առանձնահատկությունները: Թվային տողի առանձնահատուկ առանձնահատկությունն այս ուղղի կետերի և իրական թվերի բազմության միջև մեկ առ մեկ համապատասխանությունն է։ Շրջանակի վրա նման մեկ առ մեկ համապատասխանություն չկա։ Շրջանակի յուրաքանչյուր իրական թիվ համապատասխանում է մեկ կետի, բայց թվային շրջանագծի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է իրական թվերի անսահման թվին:

Հաջորդ դասին մենք կանդրադառնանք կոորդինատային հարթության թվային շրջանակին:

«Թիվ շրջան», «Կետ շրջանագծի վրա» թեմայով հղումների ցանկ

1. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), հրատ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2009 թ.

2. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), խմբ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2007 թ.

3. Վիլենկին Ն.Յա., Իվաշև-Մուսատով Օ.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծություն 10-րդ դասարանի համար (դասագիրք դպրոցների և դասարանների ուսանողների համար մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 1996 թ.

4. Գալիցկի Մ.Լ., Մոշկովիչ Մ.Մ., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության խորը ուսումնասիրություն:-Մ.: Կրթություն, 1997 թ.

5. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների դիմորդների համար (խմբ.՝ Մ.Ի. Սկանավի) - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 1992 թ.

6. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշվական սիմուլյատոր.-K.: A.S.K., 1997 թ.

7. Սահակյան Ս.Մ., Գոլդման Ա.Մ., Դենիսով Դ.Վ. Խնդիրներ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ (ձեռնարկ հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների ուսանողների համար): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 2003 թ.

8. Կարպ Ա.Պ. Հանրահաշվի խնդիրների և վերլուծության սկզբունքների ժողովածու. Դասագիրք. նպաստ 10-11 դասարանների համար. խորությամբ ուսումնասիրված Մաթեմատիկա.-Մ.՝ Կրթություն, 2006 թ.

Տնային աշխատանք

Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից). Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), խմբ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2007 թ.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

Լրացուցիչ վեբ ռեսուրսներ

3. Ուսումնական պորտալ քննությունների նախապատրաստման համար ().

Նյութի անվանումը Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ

Դասարան 10

UMK Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ, 10-11 դասարաններ. 2-ում. Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար (հիմնական մակարդակ) / Ա.Գ. Մորդկովիչ. – 10-րդ հրատարակություն, ստեր.- Մ.: Mnemosyne, 2012: Մաս 2. Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (հիմնական մակարդակ) /[ Ա.Գ. Մորդկովիչը և այլն:]; խմբագրել է Ա.Գ. Մորդկովիչ. – 10-րդ հրատարակություն, ստեր.- Մ.: Mnemosyne, 2012:

Ուսումնասիրության մակարդակը. Հիմք

Դասի թեմա Համարի շրջան (ժամը 2)

Դաս թիվ 1

Թիրախ: ներկայացնել թվային շրջանի հայեցակարգը որպես կորագիծ կոորդինատային համակարգի մոդել:

Առաջադրանքներ Խնդիրներ լուծելիս թվերի շրջանակն օգտագործելու կարողություն զարգացնել:

Պլանավորված արդյունքներ.

Դասերի ժամանակ

Կազմակերպման ժամանակ.

2. Աշակերտների համար դժվարություններ առաջացրած տնային աշխատանքների ստուգում

II. Բանավոր աշխատանք.

1. Համապատասխանեցրե՛ք թվային տողի յուրաքանչյուր ինտերվալ անհավասարությամբ և միջակայքի վերլուծական նշումով: Մուտքագրեք տվյալները աղյուսակում:

Ա (–  ; –5] Դ (–5; 5)

Բ [–5; 5] Ե (–  ; –5)

IN [–5; +  ) ԵՎ [–5; 5)

Գ (–5; 5] Զ (–5; +  )

1 –5 < X < 5 5 –5  X  5

2 X –5 6 X  –5

3 –5 < X  5 7 5  X < 5

4 X < –5 8 X > –5

Ա

1. Ի տարբերություն ուսումնասիրված թվային ուղղի՝ թվային շրջանագիծն ավելի բարդ մոդել է։ Աղեղի հասկացությունը, որի հիմքում ընկած է, երկրաչափության մեջ հուսալիորեն մշակված չէ։

2 . Աշխատանք դասագրքի հետ . Եկեք նայենք գործնական օրինակի հետ. 23–24 դասագիրք (մարզադաշտի վազքուղի). Կարող եք խնդրել ուսանողներին բերել նմանատիպ օրինակներ (արբանյակի շարժում ուղեծրում, հանդերձանքի պտույտ և այլն):

3. Մենք հիմնավորում ենք միավորի շրջանագծի օգտագործման հարմարավետությունը որպես թվային:

4. Աշխատանք դասագրքի հետ. Դիտարկենք օրինակներ p. 25–31 դասագիրք։ Հեղինակները շեշտում են, որ թվային շրջանակի մոդելի հաջող յուրացման համար և՛ դասագիրքը, և՛ խնդրագիրքը ապահովում են հատուկ «դիդակտիկ խաղերի» համակարգ։ Դրանք վեցն են, այս դասում մենք կօգտագործենք առաջին չորսը:

(Մորդկովիչ Ա.Գ. M79 Հանրահաշիվը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ (հիմնական մակարդակ). մեթոդական ձեռնարկ ուսուցիչների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով: - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 p. : վատ)

1-ին «խաղ». - միավոր շրջանագծի աղեղի երկարության հաշվարկը: Աշակերտները պետք է սովորեն, որ ամբողջ շրջանի երկարությունը 2 է , կես շրջան – , քառորդ շրջան –և այլն:

2-րդ «խաղ». – թվերի կոտորակներով արտահայտված տրված թվերին համապատասխան թվային շրջանագծի վրա կետեր գտնել օրինակ՝ միավորներ և այլն («լավ» թվեր և միավորներ):

3-րդ «խաղ». – թվային շրջանագծի վրա գտնել կետեր, որոնք համապատասխանում են տրված թվերին, որոնք արտահայտված չեն թվի կոտորակներով օրինակ՝ միավորներ Մ (1), Մ (–5) և այլն («վատ» թվեր և միավորներ):

4-րդ «խաղ». – թվերի շրջանագծի վրա տրված «լավ» կետին համապատասխան թվերի գրանցում, օրինակ՝ առաջին եռամսյակի կեսը «լավ» է, դրան համապատասխանող թվերն ունեն ձև.

Դինամիկ դադար

Այս դասում լուծված վարժությունները համապատասխանում են չորս դիդակտիկ խաղերին: Ուսանողները օգտագործում են տրամագծերով թվային շրջանագծի դասավորությունAC (հորիզոնական) ևԲԴ(ուղղահայաց):

1. № 4.1, № 4.3.

Լուծում:

№ 4.3.

2. № 4.5 (ա; բ) - 4.11 (ա; բ).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (ա; բ), № 4.14.

Լուծում:

№ 4.13.

V. Փորձնական աշխատանք.

Տարբերակ 1

Տարբերակ 2

1. Թվային շրջանագծի վրա նշի՛ր այն կետը, որը համապատասխանում է այս թվին.

2. Գտի՛ր բոլոր այն թվերը, որոնք համապատասխանում են թվային շրջանագծի վրա նշված կետերին:

VI. Դասի ամփոփում.

Հարցեր ուսանողներին.

– Տրե՛ք թվային շրջանագծի սահմանումը:

– Որքա՞ն է միավոր շրջանագծի երկարությունը: Կես միավոր շրջանագծի երկարությո՞ւնը: Նրա թաղա՞նը:

– Ինչպե՞ս կարելի է թվային շրջանագծի վրա գտնել մի կետ, որը համապատասխանում է թվին:Թիվ 5?

Տնային աշխատանք:, էջ 23։ Թիվ 4.2, թիվ 4.4, թիվ 4.5 (գ; դ) – թիվ 4.11 (գ; դ), թիվ 4.13 (գ; դ), թիվ 4.15:

Դաս թիվ 2

Նպատակներ Համախմբել թվային շրջանագծի հայեցակարգը որպես կորագիծ կոորդինատային համակարգի մոդել:

Առաջադրանքներ Շարունակել զարգացնել թվային շրջանակի վրա միավորներ գտնելու ունակությունը, որոնք համապատասխանում են տրված «լավ» և «վատ» թվերին. գրեք թվի շրջանագծի կետին համապատասխան թիվը. զարգացնել կրկնակի անհավասարության տեսքով թվային շրջանագծի աղեղի վերլուծական նշում կազմելու կարողություն.

Աշակերտների մոտ զարգացնել հաշվողական հմտությունները, ճիշտ մաթեմատիկական խոսքը և տրամաբանական մտածողությունը:

Սերմանել անկախություն, ուշադրություն և ճշգրտություն: Խթանել ուսուցման նկատմամբ պատասխանատու վերաբերմունք:

Պլանավորված արդյունքներ.

Իմանալ, հասկանալ. - թվերի շրջանակ:

Կարողանալ՝ - շրջանագծի վրա կետեր գտնել ըստ տրված կոորդինատների; - գտե՛ք թվային շրջանագծի վրա գտնվող կետի կոորդինատները.

Կարողանալ կիրառել ուսումնասիրված տեսական նյութը գրավոր աշխատանք կատարելիս.

Դասի տեխնիկական աջակցություն Համակարգիչ, էկրան, պրոյեկտոր, դասագիրք, խնդրագիրք։

Դասի լրացուցիչ մեթոդական և դիդակտիկ աջակցություն. Mordkovich A. G. M79 Հանրահաշիվը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ (հիմնական մակարդակ). մեթոդական ձեռնարկ ուսուցիչների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով: - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 p. ՝ տիղմ

Դասերի ժամանակ

Կազմակերպման ժամանակ.

Ուսանողների հոգեբանական տրամադրությունը.

Տնային առաջադրանքների ստուգումԹիվ 4.2, թիվ 4.4, թիվ 4.5 (գ; դ) – թիվ 4.11 (գ; դ), թիվ 4.13 (գ; դ)

№ 4.15. Վերլուծեք առաջադրանքների լուծումները, որոնք դժվարություն են առաջացրել:

Բանավոր աշխատանք.

(սլայդի վրա)

1. Համեմատի՛ր թվային շրջանագծի կետերը և տրված թվերը.

Ա)

բ)

V)

G)

դ)

ե)

և)

ը)

2. Գտի՛ր թվային շրջանագծի կետերը:

–2; 4; –8; 13.

III. Նոր նյութի բացատրություն.

Ինչպես արդեն նշվեց, ուսանողները տիրապետում են վեց դիդակտիկ «խաղերի» համակարգին, որոնք հնարավորություն են տալիս լուծել թվերի շրջանագծի հետ կապված չորս հիմնական տիպի խնդիրներ (թվից կետ; կետից թիվ; աղեղից կրկնակի անհավասարություն; կրկնակի անհավասարություն): դեպի աղեղ):

(Մորդկովիչ Ա.Գ. M79 Հանրահաշիվը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ (հիմնական մակարդակ). մեթոդական ձեռնարկ ուսուցիչների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով: - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 p. : վատ)

Այս դասում մենք կօգտագործենք վերջին երկու խաղերը.

5-րդ «խաղ». – թվերի շրջանագծի աղեղների համար անալիտիկ գրառումների (կրկնակի անհավասարություններ) կազմում։ Օրինակ, եթե տրված է աղեղ, որը կապում է առաջին քառորդի կեսը (աղեղի սկիզբը) և երկրորդ քառորդը երեք հավասար մասերի բաժանող երկուսի ամենացածր կետը (աղեղի վերջ), ապա համապատասխան վերլուծական. նշումը ունի ձև.

Եթե ​​նույն աղեղի սկիզբն ու վերջը փոխանակվեն, ապա աղեղի համապատասխան վերլուծական գրառումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Դասագրքի հեղինակները նշում են, որ «աղեղի վերլուծական նշագրման առանցք», «աղեղի վերլուծական նշում» տերմիններն ընդհանուր առմամբ ճանաչված չեն, դրանք ներդրվել են զուտ մեթոդաբանական նկատառումներից ելնելով, և դրանց կիրառումը, թե ոչ՝ կախված է. ուսուցիչ.

6-րդ «խաղ». – աղեղի այս վերլուծական նշումից (կրկնակի անհավասարություն) անցեք նրա երկրաչափական պատկերին:

Բացատրությունը պետք է իրականացվի անալոգիայի տեխնիկայի միջոցով: Դուք կարող եք օգտագործել շարժական թվային գծի մոդել, որը կարող է «փլուզվել» թվային շրջանակի մեջ:

Աշխատանք դասագրքի հետ .

Դիտարկենք օրինակ 8-ը p. 33 դասագիրք։

Դինամիկ դադար

IV. Հմտությունների և կարողությունների ձևավորում:

Առաջադրանքները կատարելիս ուսանողները պետք է ապահովեն, որ աղեղը վերլուծական կերպով գրելիս կրկնակի անհավասարության ձախ կողմը փոքր լինի աջից: Դա անելու համար ձայնագրելիս պետք է շարժվել դրական ուղղությամբ, այսինքն՝ հակառակ ուղղությամբ։

1-ին խումբ . Զորավարժություններ թվերի շրջանակի վրա «վատ» կետեր գտնելու համար:

№ 4.16, թիվ 4.17 (ա; բ).

2-րդ խումբ . Պարապմունքներ աղեղի վերլուծական գրանցման և դրա անալիտիկ ձայնագրության հիման վրա աղեղի կառուցման վերաբերյալ.

№ 4.18 (ա; բ), թիվ 4.19 (ա; բ), թիվ 4.20 (ա; բ):

V. Անկախ աշխատանք.

Տարբերակ 1

3. Ըստ վերլուծական մոդելի գրեք թվային աղեղի նշանակումը և կառուցեք դրա երկրաչափական մոդելը:

Տարբերակ 2

1. Թվային շրջանագծի աղեղի երկրաչափական մոդելի հիման վրա գրի՛ր վերլուծական մոդելը կրկնակի անհավասարության տեսքով։

2. Համաձայն թվային շրջանագծի աղեղի տրված նշանակման նշեք դրա երկրաչափական և անալիտիկ մոդելները:

3. Ըստ վերլուծական մոդելի գրի՛ր թվային շրջանագծի աղեղի նշանակումը և կառուցի՛ր դրա երկրաչափական մոդելը:

VI. Դասի ամփոփում.

Հարցեր ուսանողներին.

– Ի՞նչ եղանակներով կարելի է վերլուծական կերպով գրել թվերի շրջանագծի աղեղը:

– Ի՞նչ է կոչվում աղեղի վերլուծական գրանցման միջուկ:

– Ի՞նչ պայմանների պետք է համապատասխանեն կրկնակի անհավասարության ձախ և աջ թվերը:

Տնային աշխատանք:

1. , էջ 23։ Թիվ 4.17 (գ; դ), թիվ 4.18 (գ; դ), թիվ 4.19 (գ; դ), թիվ 4.20 (գ; դ):

2. Թվային շրջանագծի աղեղի երկրաչափական մոդելի հիման վրա գրի՛ր նրա վերլուծական մոդելը կրկնակի անհավասարության տեսքով։

3. Համաձայն թվային շրջանագծի աղեղի տրված նշանակման նշեք դրա երկրաչափական և անալիտիկ մոդելները: