مطالب 4
از ویرایشگر ترجمه 10
پیشگفتار چاپ سوم 13
پیشگفتار چاپ دوم 15
پیشگفتار چاپ اول 16
تعیین 20
فصل 1 مقدمه 22
§ 1. خاصیت ارتجاعی 22
§ 2. استرس 23
§ 3. نماد نیروها و تنش ها 24
§ 4. اجزای استرس 25
§ 5. اجزای تغییر شکل 26
§ 6. قانون هوک 28
§ 7. نماد نمایه 32
وظایف 34
فصل 2 تنش صفحه و کرنش صفحه 35
§ 8. تنش صفحه شامل 35 بود
§ 9. تغییر شکل صفحه 35
§ 10. استرس در نقطه 37
§ 11. تغییر شکل ها در نقطه 42
§ 12. اندازه گیری تغییر شکل های سطح 44
§ 13. ساخت دایره تغییر شکل های Mohr برای روزت 46
§ 14. معادلات تعادل دیفرانسیل 46
§ 15. شرایط مرزی 47
§ 16. معادلات سازگاری 48
§ 17. تابع استرس 50
وظایف 52
فصل 3. مسائل دوبعدی دکارتی 54
§ 18. حل در چند جمله ای 54
§ 19. جلوه های پایانی. اصل سنت ونانت 58
§ 20. تعریف جابجایی ها 59
§ 21. خم شدن کنسول بارگذاری شده در انتهای 60
§ 22. خمش تیر با بار یکنواخت 64
§ 23. سایر موارد تیرهای با توزیع بار پیوسته 69
§ 24. حل یک مسئله دو بعدی با استفاده از سری فوریه 71
§ 25. سایر کاربردهای سری فوریه. بار خود وزن 77
§ 26. نفوذ کاندوها. توابع بومی 78
وظایف 80
فصل 4. مسائل دو بعدی در مختصات قطبی 83
§ 27. معادلات کلی در مختصات قطبی 83
§ 28. توزیع تنش متقارن قطبی 86
§ 29. خمش خالص میله های منحنی 89
§ 30. اجزای تغییر شکل در مختصات قطبی 93
§ 31. جابجایی با تنش متقارن صفر 94
§ 32. دیسک های چرخان 97
§ 33. خمش تیر منحنی با نیروی اعمال شده در انتهای 100
§ 34. دررفتگی لبه 105
§ 35. تأثیر سوراخ گرد در توزیع تنش ها در صفحه 106
§ 36. نیروی متمرکز اعمال شده در نقطه ای از یک مرز مستطیل 113
§ 37. بار عمودی دلخواه بر روی یک مرز مستقیم 119
§ 38. نیروی وارد بر نوک گوه 125
§ 39. لنگر خمشی اثر بر نوک گوه 127
§ 40. عمل بر روی تیری با نیروی متمرکز 128
§ 41. تنش ها در قرص گرد 137
§ 42. نیرویی که در نقطه ای از صفحه بی نهایت عمل می کند 141
§ 43. حل تعمیم یافته یک مسئله دو بعدی در مختصات قطبی 146
§ 44. کاربردهای راه حل تعمیم یافته در مختصات قطبی 150
§ 45. گوه بارگذاری شده در امتداد وجوه 153
§ 46. راه حل های خود برای گوه ها و برش ها 155
وظایف 158
فصل 5. روش های تجربی. فوتوالاستیسیته و روش موآر 163
§ 47. روش های تجربی و تأیید راه حل های نظری 163
§ 48. اندازه گیری تنش ها به روش فوتوالاستیک 163
§ 49. پلاریسکوپ دایره ای 169
§ 50. نمونه هایی از تعیین تنش ها به روش فوتوالاستیک 171
§ 51. تعیین تنش های اصلی 174
§ 52. روشهای فوتوالاستیسیته در مورد سه بعدی 175
§ 53. روش مور 177
فصل 6
§ 54. توابع یک متغیر مختلط 180
§ 55. توابع تحلیلی و معادله لاپلاس 182
§ 56. توابع تنش بیان شده بر حسب توابع هارمونیک و مختلط 184
§ 57. جابجایی های مربوط به تابع تنش معین 186
§ 58. بیان تنش ها و جابجایی ها از طریق پتانسیل های پیچیده 188
§ 59. تنش ناشی از اعمال بر روی یک منحنی خاص. شرایط مرزی 190
§ 60. مختصات منحنی 193
§ 61. اجزای تنش در مختصات منحنی 196
وظایف 198
§ 62. راه حل در مختصات بیضوی. سوراخ بیضوی در یک صفحه با حالت تنش یکنواخت 198
§ 63. سوراخ بیضوی در صفحه تحت کشش تک محوری 202
§ 64. مرزهای هذلولی. برش های 206
§ 65. مختصات دوقطبی 208
§ 66. راه حل در مختصات دوقطبی 209
§ 67. تعیین پتانسیل های پیچیده با شرایط مرزی داده شده. روش های N. I. Muskhelishvili 214
§ 68 فرمول های پتانسیل های پیچیده 217
§ 69. خواص تنش ها و کرنش های مربوط به پتانسیل های پیچیده، تحلیلی در ناحیه مواد واقع در اطراف سوراخ 219
§ 70. قضایای انتگرال های مرزی 221
§ 71. تابع نگاشت ω(ξ) برای یک سوراخ بیضوی. انتگرال مرزی دوم 224
§ 72. سوراخ بیضوی. فرمول ψ(ζ) 225
§ 73. سوراخ بیضوی. وظایف خاص 226
وظایف 229
فصل 7 تحلیل تنش و کرنش در مورد فضایی 230
§ 74 مقدمه 230
§ 75. فشارهای اصلی 232
§ 76. بیضی تنش ها و سطح هدایت تنش ها 233
§ 77. تعیین تنش های اصلی 234
§ 78. متغیرهای استرس 235
§ 79. تعیین حداکثر تنش برشی 236
§ 80. تغییر شکل همگن 238
§ 81. تغییر شکل در نقطه ای از جسم 239
§ 82. محورهای کرنش اصلی 242
§ 83. چرخش 243
وظایف 245
فصل هشتم قضایای عمومی ۲۴۶
§ 84. معادلات تعادل دیفرانسیل 246
§ 85. شرایط سازگاری 247
§ 86. تعریف جابجایی ها 250
§ 87. معادلات تعادل در جابجایی ها 251
§ 88. راه حل کلی برای جابجایی ها 252
§ 89. اصل انطباق 253
§ 90. انرژی تغییر شکل 254
§ 91. انرژی کرنش برای دررفتگی لبه 259
§ 92. اصل کار مجازی 261
§ 93. قضیه کاستیلیانو 266
§ 94. کاربردهای اصل حداقل کار. صفحات مستطیلی 270
§ 95. عرض مؤثر فلنج های پهن تیرها 273
وظایف 279
§ 96. یگانگی حلول 280
§ 97. قضیه متقابل 282
§ 98. ماهیت تقریبی راه حل ها برای حالت تنش صفحه 285
وظایف 287
فصل 9. مسائل سه بعدی ابتدایی تئوری کشسانی 289
§ 99. حالت تنش یکنواخت 289
§ 100. کشش میله منشوری به وزن خود 290
§ 101. پیچ خوردگی محورهای گرد مقطع ثابت 293
§ 102. خمش خالص میله های منشوری 294
§ 103. خمش خالص صفحات 298
فصل 10
§ 104. پیچ خوردگی میله های مستطیل 300
§ 105. مقطع بیضوی 305
§ 106. راه حل های ابتدایی دیگر 307
§ 107. قیاس غشایی 310
§ 108. پیچ خوردگی میله ای با مقطع مستطیل شکل باریک 314
§ 109. پیچ خوردگی میله های مستطیل شکل 317
§ 110. نتایج اضافی 320
§ 111. حل مسائل پیچشی به روش انرژی 323
§ 112. پیچ خوردگی میله های پروفیل های نورد شده 329
§ 113. تشبیهات تجربی 331
§ 114. قیاس های هیدرودینامیکی 332
§ 115. پیچ خوردگی میل های توخالی 335
§ 116. پیچ خوردگی لوله های جدار نازک 339
§ 117. دررفتگی های پیچ 343
§ 118. پیچ خوردگی میله ای که یکی از مقاطع آن صاف می ماند 345
§ 119. پیچ خوردگی میل های گرد با قطر متغیر 347
وظایف 355
فصل 11
§ 120. خم شدن کنسول 359
§ 121. تابع استرس 361
§ 122. مقطع گرد 363
§ 123. مقطع بیضوی 364
§ 124. مقطع مستطیل 365
§ 125. نتایج اضافی 371
§ 126. مقاطع نامتقارن 373
§ 127. مرکز خم 375
§ 128. حل مسائل خمشی با استفاده از روش فیلم صابونی 378
بند 129 نقل و انتقالات 381
§ 130. مطالعات بیشتر در مورد خمش میلگردها 382
فصل 12
§ 131. معادلات عمومی 384
§ 132. حل در چند جمله ای 387
§ 133. خم شدن صفحه گرد 388
§ 134. مسئله سه بعدی یک دیسک چرخان 391
§ 135. نیروی اعمال شده در نقطه ای از جسم نامتناهی 393
§ 136. ظرف کروی تحت تأثیر فشار یکنواخت داخلی یا خارجی 396
§ 137. تنش های موضعی اطراف یک حفره کروی 399
§ 138. نیروی اعمال شده بر مرز جسم نیمه نامتناهی 401
§ 139. بار توزیع شده بر روی بخشی از مرز یک جسم نیمه نامتناهی 405
§ 140. فشار بین دو جسم کروی در تماس 412
§ 141. فشار بین دو جسم در تماس. مورد کلی تر 417
§ 142. برخورد توپ 422
§ 143. تغییر شکل متقارن استوانه گرد 424
§ 144. استوانه گرد تحت عمل فشار کمربند 428
§ 145. حل Boussinesq به صورت دو تابع هارمونیک 430.
§ 146. کشش فنر مارپیچ (دررفتگی پیچ در یک حلقه) 431
§ 147. خمش خالص قسمتی از حلقه گرد 434
فصل 13 تنش های حرارتی 436
§ 148. ساده ترین موارد توزیع تنش های حرارتی. روش تغییر شکل 436
وظایف 442
§ 149. تغییر طولی دما در نوار 442
§ 150. دیسک گرد نازک: توزیع دما به صورت متقارن حول مرکز 445
§ 151. استوانه گرد بلند 447
وظایف 455
§ 152. محدوده 455
§ 153. معادلات کلی 459
§ 154. قضیه متقابل در ترموالاستیسیته 463
§ 155. کل تغییر شکل های ترموالاستیک. توزیع خودسرانه دما 464
§ 156. جابجایی های ترموالاستیک. حل انتگرال V. M. Maizel 466
وظایف 469
§ 157. تنش های اولیه 469
§ 158. تغییر کلی در حجم مرتبط با تنش های اولیه 472
§ 159. تغییر شکل صفحه و حالت تنش صفحه. روش تغییر شکل 472
§ 160. مسائل دو بعدی با جریان گرمای ثابت 474
§ 161. حالت تنش حرارتی سطحی ناشی از آشفتگی جریان گرمای همگن توسط یک سوراخ عایق شده 480
§ 162. حل معادلات عمومی. پتانسیل جابجایی ترموالاستیک 481
§ 163. مسئله دو بعدی عمومی برای مناطق دایره ای 485
§ 164. مسئله کلی دو بعدی. حل در پتانسیل های مختلط 487
فصل 14. انتشار امواج در محیط پیوسته الاستیک 490
§ 165 مقدمه 490
§ 166. امواج انبساط و امواج اعوجاج در یک محیط الاستیک همسانگرد 491
§ 167. امواج هواپیما 492
§ 168. امواج طولی در میله های مقطع ثابت. نظریه ابتدایی 497
§ 169. ضربه طولی میله ها 502
§ 170. امواج سطحی ریلی 510
§ 171. امواج با تقارن کروی در یک محیط بی نهایت 513
§ 172. فشار انفجاری در یک حفره کروی 514
کاربرد. کاربرد معادلات تفاضل محدود در نظریه کشش 518
§ 1. استخراج معادلات تفاضل محدود 518
§ 2. روشهای تقریب متوالی 522
§ 3. روش آرامش 525
§ 4. شبکه های مثلثی و شش ضلعی 530
§ 5. آرامش بلاک و گروهی 535
§ 6. پیچ خوردگی میله ها با مقاطع متقاطع متصل 536
§ 7. نقاط واقع در نزدیکی مرز 538
§ 8. معادله بی هارمونیک 540
§ 9. پیچ خوردگی شفت های دایره ای با قطر متغیر 548
§ 10. حل مسائل با کمک کامپیوتر 551
فهرست نام 553
شاخص 558

در فصول 4-6، معادلات اساسی تئوری الاستیسیته استخراج شد که قوانین تغییر تنش ها و کرنش ها را در مجاورت یک نقطه دلخواه از بدن، و همچنین روابط مربوط به تنش ها به کرنش ها و کرنش ها به جابجایی ها را تعیین می کند. . ما سیستم کامل معادلات کشش را در مختصات دکارتی ارائه می کنیم.

معادلات تعادل ناویر:

روابط کوشی:

قانون هوک (به صورت مستقیم و معکوس):

اینجا را به خاطر بیاور e = e x + e y + من-تغییر شکل حجمی نسبی و بر اساس قانون جفت شدن تنش های برشی Xj. = Tj;و بر این اساس y~ = ^ 7 . ثابت های Lame موجود در (16.3، a) با فرمول (6.13) تعیین می شوند.

از سیستم فوق می توان دریافت که شامل 15 معادله دیفرانسیل و جبری شامل 15 تابع مجهول (6 جزء تانسور تنش، 6 جزء تانسور کرنش و 3 جزء بردار جابجایی) است.

با توجه به پیچیدگی سیستم کامل معادلات، یافتن یک راه حل کلی که برای همه مسائل تئوری کشش در عمل معتبر باشد، غیرممکن است.

اگر مثلاً فقط تنش ها یا جابجایی ها به عنوان تابع مجهول در نظر گرفته شوند، راه های مختلفی برای کاهش تعداد معادلات وجود دارد.

اگر هنگام حل مسئله تئوری کشش، جابجایی ها را از در نظر گرفتن حذف کنیم، به جای روابط کوشی (16.2)، می توانیم معادلاتی را به دست آوریم که اجزای تانسور کرنش را به یکدیگر مرتبط می کند. تغییر شکل را متمایز کنید r xتعریف شده توسط برابری اول (16.2)، دو بار در y،تغییر شکل g y -دو بار برای x و عبارات حاصل را اضافه کنید. در نتیجه می گیریم

عبارت در پرانتز، مطابق (16.2)، تغییر شکل زاویه ای y را تعیین می کند. بنابراین، آخرین برابری را می توان به صورت نوشتاری نوشت

به همین ترتیب دو برابری دیگر نیز به دست می آید که به همراه آخرین رابطه، گروه اول را تشکیل می دهند معادلات سازگاری تغییر شکل های سنت ونانت:

هر یک از مساوات (16.4) بین تغییر شکل ها در یک صفحه ارتباط برقرار می کند. روابط کوشی همچنین می تواند برای به دست آوردن شرایط سازگاری مربوط به تغییر شکل ها در سطوح مختلف استفاده شود. ما عبارات (16.2) را برای تغییر شکل های زاویه ای به صورت زیر متمایز می کنیم: y - by z y - توسط ایکس؛

توسط y; دو برابر اول را جمع کرده و سومی را کم کنید. در نتیجه می گیریم

تمایز این برابری با توجه به y و در نظر گرفتن اینکه

به رابطه زیر می رسیم:

با کمک یک جایگزین دایره ای، دو برابری دیگر به دست می آوریم که به همراه آخرین رابطه، گروه دوم معادلات سازگاری تغییر شکل سنت ونانت را تشکیل می دهند:

معادلات سازگاری تغییر شکل را شرایط نیز می نامند تداومیا تداوماین اصطلاحات این واقعیت را مشخص می کند که بدن در طول تغییر شکل جامد باقی می ماند. اگر جسم را متشکل از عناصر منفرد نشان دهیم و تغییر شکل‌های ex، y را به‌عنوان توابع دلخواه بپذیریم، در حالت تغییر شکل، امکان جمع کردن جسم جامد از این عناصر وجود نخواهد داشت. هنگامی که شرایط (16.4)، (16.5) برآورده شود، جابجایی مرزهای عناصر منفرد به گونه ای خواهد بود که بدن حتی در حالت تغییر شکل جامد باقی می ماند.

بنابراین، یکی از راه‌های کاهش تعداد مجهولات در حل مسائل نظریه کشش، حذف جابجایی‌ها از بررسی است. سپس، به جای روابط کوشی، سیستم کامل معادلات شامل معادلات سازگاری برای تغییر شکل های سنت ونانت می شود.

با توجه به سیستم کامل معادلات نظریه کشش، باید به این نکته توجه داشت که عملاً دارای عوامل تعیین کننده وضعیت تنش-کرنش بدن نیست. این عوامل عبارتند از شکل و ابعاد بدن، روش های ثابت کردن آن، بارهای وارد بر بدن، به استثنای نیروهای بدن. X، Y، Z.

بنابراین، سیستم کامل معادلات تئوری الاستیسیته تنها الگوهای کلی تغییرات تنش‌ها، کرنش‌ها و جابجایی‌ها را در اجسام الاستیک ایجاد می‌کند. اگر شرایط بارگذاری بدنه داده شود، می توان راه حل یک مشکل خاص را به دست آورد. این در شرایط مرزی داده می شود، که یک مسئله نظریه کشش را از دیگری متمایز می کند.

از دیدگاه ریاضی نیز واضح است که حل کلی یک سیستم معادلات دیفرانسیل شامل توابع و ثابت های دلخواه است که باید از شرایط مرزی تعیین شوند.

4. ساختار زمین با توجه به داده های لرزه شناسی

مبانی تئوری الاستیسیته: تانسور کرنش، تانسور تنش، قانون هوک، مدول الاستیک، تغییر شکل‌های یکنواخت، امواج الاستیک در محیط همسانگرد، قوانین فرما، هویگنس، اسنل. امواج لرزه ای. توسعه مشاهدات لرزه نگاری: ایستگاه های لرزه نگاری و شبکه های آنها، هودوگراف، مسیر امواج در داخل زمین. تعیین سرعت انتشار امواج لرزه ای با استفاده از معادله گرتلوتز- ویچرت. سرعت موج P و S تابعی از شعاع زمین است. وضعیت ماده زمین بر اساس زلزله شناسی. پوسته زمین. لیتوسفر و استنوسفر. زلزله شناسی و زمین ساخت جهانی.

مبانی تئوری کشش[لاندو، لیفشیتز، 2003، ص. 9-25، 130-144]

تانسور کرنش

مکانیک جامدات که به عنوان رسانه پیوسته در نظر گرفته می شود، محتوا است نظریه کشش. معادلات اساسی تئوری کشش توسط O.L. کوشی و اس.دی. پواسون در دهه 1920 (برای جزئیات بیشتر به فصل 15 مراجعه کنید).

تحت تأثیر نیروهای اعمال شده، اجسام جامد به یک درجه تغییر شکل می دهند، یعنی. شکل و حجم آنها را تغییر دهید. برای توصیف ریاضی تغییر شکل بدن به صورت زیر عمل کنید. موقعیت هر نقطه از بدن توسط بردار شعاع r آن (با اجزای x 1 = x، x 2 = y، x 3 = z) در برخی از سیستم مختصات تعیین می شود. هنگامی که یک جسم تغییر شکل می دهد، به طور کلی تمام نقاط آن جابجا می شوند. اجازه دهید چند نقطه مشخص از بدن را در نظر بگیریم. اگر بردار شعاع آن قبل از تغییر شکل r باشد، در جسم تغییر شکل یافته مقدار دیگری خواهد داشت

مقدار r / (با x i / اجزا). سپس جابجایی نقطه بدن در هنگام تغییر شکل با بردار r / - r نشان داده می شود که آن را با حرف u نشان می دهیم:

u = x/ − x.

وکتور نام تو بردار کرنش(یا بردار جابجایی). دانش بردار u

به عنوان تابعی از x i به طور کامل تغییر شکل بدن را تعیین می کند.

وقتی جسمی تغییر شکل می‌دهد، فواصل بین نقاط آن تغییر می‌کند. اگر بردار شعاع بین آنها قبل از تغییر شکل dx i بود، در جسم تغییر شکل یافته شعاع

بردار بین همان دو نقطه dx i / = dx i + du i خواهد بود. فاصله بین نقاط قبل از تغییر شکل برابر بود با:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2،

و بعد از تغییر شکل:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

در نهایت می رسیم:

dl / 2 = dl 2 + 2u

∂u i

∂ انگلستان

∂u l

∂u l

∂x k

∂x k

∂x i

∂x i

این عبارات تغییر در عنصر طول را در هنگام تغییر شکل بدن تعیین می کنند. تانسور u ik نامیده می شود تانسور کرنش; طبق تعریف، متقارن است:

u ik = u ki .

مانند هر تانسور متقارن، تانسور u ik در هر نقطه را می توان به کاهش داد

محورهای اصلی و مطمئن شوید که در هر عنصر حجمی بدنه، تغییر شکل را می توان به عنوان مجموعه ای از سه تغییر شکل مستقل در سه جهت عمود بر هم در نظر گرفت - محورهای اصلی تانسور کرنش. تقریباً در همه موارد تغییر شکل اجسام، تغییر شکل ها کوچک هستند. این بدان معنی است که تغییر در هر فاصله در بدن در مقایسه با خود فاصله کم است. به عبارت دیگر، کشیدگی های نسبی در مقایسه با وحدت کوچک هستند.

به جز موارد خاصی که به آنها اشاره نمی کنیم، اگر بدنه دچار تغییر شکل کوچکی شود، تمام اجزای تانسور کرنش نیز کوچک هستند. بنابراین، در بیان (4.3)، عبارت آخر را می توان به عنوان کمیت کمی از مرتبه دوم نادیده گرفت. بنابراین، در مورد کرنش های کوچک، تانسور کرنش با عبارت:

u = 1			∂u i	+ ∂u k ) .
			∂x k	∂x i

بنابراین نیروها عامل ایجاد حرکات (جابجایی) در بدن هستند و تغییر شکل ها نتیجه حرکات هستند [Khaikin, 1963, p. 176].

فرض اصلی نظریه کلاسیک کشش

در یک جسم تغییر شکل نیافته، آرایش مولکول ها با حالت تعادل حرارتی آن مطابقت دارد. در عین حال، تمام قطعات آن با یکدیگر و در تعادل مکانیکی هستند. این بدان معنی است که اگر هر حجمی در داخل بدنه جدا شود، حاصل تمام نیروهای وارد بر این حجم از قسمت های دیگر برابر با صفر است.

هنگام تغییر شکل، آرایش مولکول ها تغییر می کند و بدن از حالت تعادلی که در ابتدا در آن بود خارج می شود. در نتیجه، نیروهایی در آن به وجود می آیند که تلاش می کنند بدن را به حالت تعادل برگردانند. این نیروهای داخلی ناشی از تغییر شکل نامیده می شوند استرس های داخلی. اگر بدن تغییر شکل ندهد، هیچ تنش داخلی در آن وجود ندارد.

تنش های داخلی توسط پیوندهای مولکولی ایجاد می شوند، به عنوان مثال. نیروهای برهمکنش مولکول های بدن با یکدیگر. برای تئوری الاستیسیته این واقعیت بسیار مهم است که نیروهای مولکولی شعاع عمل بسیار کمی دارند. تأثیر آنها در اطراف ذره ای گسترش می یابد که آنها را فقط در فاصله ای از مرتبه بین مولکولی ایجاد می کند. اما در تئوری الاستیسیته مانند نظریه ماکروسکوپی فقط فواصلی در نظر گرفته می شود که در مقایسه با بین مولکولی زیاد باشد. بنابراین، «محدوده عمل» نیروهای مولکولی در نظریه کشش باید برابر با صفر در نظر گرفته شود. می توان گفت نیروهایی که باعث ایجاد تنش های داخلی می شوند، نیروهای «کوتاه برد» در نظریه کشش هستند که از هر نقطه فقط به نزدیک ترین نقاط به آن منتقل می شوند.

بنابراین، در نظریه کلاسیک الاستیسیته، نیروهای وارد بر هر قسمت از بدن از قسمت های اطراف آن، این عمل را نشان می دهند. فقط به طور مستقیم از طریق سطحاین قسمت از بدن

در واقع نویسنده اثر بنیادی [Khaikin, 1963, p. 484].

تانسور استرس

این نتیجه که همه نیروها فقط از طریق سطح عمل می کنند، کلید تئوری کلاسیک الاستیسیته است. این اجازه می دهد تا برای هر حجم بدن هر یک از سه جزء حاصل از تمام نیروهای استرس داخلی

∫ F i dV (که در آن F i نیروی وارد بر واحد حجم dV است) به یک انتگرال روی سطح این حجم تبدیل می شود. در این مورد، همانطور که از تجزیه و تحلیل برداری به شرح زیر است، بردار F i باید واگرایی برخی از تانسورهای رتبه دوم باشد، یعنی. شبیه:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

سپس نیروی وارد بر یک حجم معین را می توان به صورت انتگرال بر روی سطح بسته ای که این حجم را می پوشاند نوشت:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= / σ ik df k،
که در آن بردار d f = df 2			Df 2	جهت دار	در امتداد نرمال بیرونی به سطح،

پوشش حجم dV .

تانسور σ ik نامیده می شود تانسور استرس. همانطور که از (4.7) مشاهده می شود، σ ik df k i -th است

جزء نیروی وارد بر عنصر سطح d f. با انتخاب عناصر سطح در صفحات xy، uz، xz، متوجه می شویم که جزء σ ik تانسور تنش

یکمین مؤلفه نیروی وارد بر واحد سطح عمود بر محور x k است. بنابراین، در واحد سطح عمود بر محور x، نرمال به

او (در امتداد محور x) نیروی σ xx و مماسی (در امتداد محورهای y و z)

نیروهای σ yx و σ zx .

توجه داشته باشید که نیروی وارده از سمت تنش های داخلی بر تمام سطح بدنه بر خلاف (4.7)، برابر است با:

− ∫ σ ik df k .

نوشتن لحظه نیروهای M ik که بر حجم معینی از جسم وارد می شوند به این صورت:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

و با الزام آن که فقط به صورت یک انتگرال بر روی سطح بیان شود، دریافت می کنیم که تانسور تنش متقارن است:

σ ik = σ ki .

به یک نتیجه مشابه می توان به روشی ساده تر رسید [Sivukhin, 1974, p. 383]. برای مثال. گشتاور dM ik مستقیماً با ممان اینرسی عنصر ابتدایی متناسب است

حجم dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 و بنابراین، (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 را به دست می آوریم، که از آنجا رابطه (4.8) به طور خودکار دنبال می شود.

تقارن تانسور تنش به آن اجازه می دهد تا در هر نقطه به محورهای اصلی آورده شود، یعنی. در هر نقطه، تانسور تنش را می توان به صورت زیر نشان داد:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

در حالت تعادل، نیروهای تنش های داخلی باید به طور متقابل در هر عنصر از حجم بدن جبران شود، یعنی. باید F i = 0 باشد. بنابراین معادلات

تعادل یک جسم تغییر شکل یافته به شکل زیر است:

∂σ ik = 0 .

∂x k

اگر جسم در میدان گرانش باشد، مجموع F + ρ g نیروهای تنش های داخلی F و نیروی گرانش ρ g وارد بر واحد حجم، ρ -

چگالی جسم، g بردار شتاب سقوط آزاد است. معادلات تعادل در این حالت به شکل زیر است:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂x k

انرژی تغییر شکل

جسم تغییر شکل یافته ای را در نظر بگیرید و فرض کنید که تغییر شکل آن طوری تغییر می کند که بردار تغییر شکل u i مقدار کمی δ u i تغییر می کند.

اجازه دهید کار انجام شده در این مورد را توسط نیروهای تنش های داخلی تعیین کنیم. با ضرب نیروی (4.6) در جابجایی δ u i و ادغام در کل حجم بدن، به دست می آید:

		∫ ∂ x k
	δRdV =		∂σik	δ ui dV .

نماد δ R بیانگر کار نیروهای تنش های داخلی در واحد حجم بدن است. ادغام با قطعات، با در نظر گرفتن یک محیط نامحدود که در بی نهایت تغییر شکل نداده، اجازه می دهیم سطح ادغام تا بی نهایت برود، سپس σ ik = 0 روی آن، به دست می آوریم:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

بنابراین، در می یابیم:

δ R = − σ ikδ u ik .

فرمول حاصل کار تغییر تانسور کرنش را تعیین می کند، که تغییر در انرژی داخلی بدن را تعیین می کند.

دانشگاه دولتی روسیه

نفت و گاز آنها. I.M. Gubkina

گروه مکانیک فنی

خلاصه

"نظریه ارتجاعی"

تکمیل شده توسط: Polyakov A. A.

بررسی شده توسط: Evdokimov A.P.

مسکو 2011

معادله تئوری کشش

1. معرفی

تئوری حالت تنش-کرنش در نقطه ای از بدن

2.1 نظریه استرس

2 نظریه تغییر شکل

3 رابطه بین حالت تنش و تغییر شکل برای اجسام الاستیک

معادلات اساسی تئوری کشش. انواع مسائل در نظریه کشش

1 معادلات پایه تئوری کشش

2 انواع مسائل در نظریه کشش

4 معادلات تئوری الاستیسیته در جابجایی ها (معادلات لم)

اصول تغییر نظریه کشش

1 اصل جابجایی های احتمالی (اصل لاگرانژ)

2 اصل حالت های ممکن (اصل کاستیانو)

3 رابطه بین راه حل دقیق و راه حل های به دست آمده بر اساس اصول لاگرانژ و کاستیلیانو

فهرست ادبیات استفاده شده

1. معرفی

تئوری های تنش ها و تغییر شکل ها توسط O. Cauchy ایجاد شد. آنها در اثری که در سال 1822 به آکادمی علوم پاریس ارسال شد، که خلاصه‌ای از آن در سال 1823 و تعدادی از مقالات بعدی منتشر شد، بیان شده‌اند. O. کوشی سه معادله تعادل یک چهار وجهی ابتدایی را استخراج کرد، قانون جفت شدن تنش های مماسی را اثبات کرد، مفاهیم محورهای اصلی و تنش های اصلی را معرفی کرد و معادلات تعادل دیفرانسیل را به دست آورد (معمولاً آنها در جریان استحکام به دست نمی آیند. مواد). او همچنین سطح تنش‌های نرمال (کوادریک کوشی) را معرفی کرد که انتهای بردارهای شعاع روی آن قرار دارند که جهت آن‌ها با جهت نرمال‌ها به نواحی منطبق است و مقدار آن با ریشه مربع نسبت معکوس دارد. قدر مطلق تنش نرمال در این ناحیه، و ثابت شد که این سطح سطحی درجه دوم است که در مبدا متمرکز شده است. امکان تبدیل سطح تنش های نرمال به محورهای اصلی نشان دهنده وجود سه ناحیه عمود بر یکدیگر در هر نقطه است.

سطح تنش برشی مشابهی توسط مکانیک روسی G.V معرفی شد. کولوسف در سال 1933

تفسیر هندسی حالت تنش در فضا به شکل بیضی از تنش ها توسط G. Lame و B. Clapeyron در خاطرات آنها ارائه شده است که در سال 1828 به آکادمی علوم پاریس ارائه شده و در سال 1833 منتشر شده است.

نمایش هندسی حالت تنش در یک صفحه برای یک سری سکوهای عبوری از محور اصلی، به شکل دایره ای از تنش ها، توسط K. Kuhlman در کتاب خود در سال 1866 ارائه شد.

برای حالت کلی حالت تنش، تفسیر هندسی بسیار واضحی از آن در صفحه توسط O. Mohr (به اصطلاح نمودار دایره ای Mohr) در سال 1882 ارائه شد. از آن، تعدادی نتیجه گیری مهم در مورد منتهی الیه تنش های اصلی، موقعیت مناطقی که تنش های مماسی در آنها حداکثر است و حدود مقادیر این حداکثر تنش های برشی.

O. کوشی تعریفی از کرنش ها ارائه کرد، وابستگی آنها به جابجایی ها را در مورد خاص کرنش های کوچک استخراج کرد (این وابستگی ها، به طور معمول، در جریان استحکام مواد به دست نمی آیند)، مفاهیم تنش های اصلی و تنش های اصلی را تعریف کرد. کرنش‌ها، و وابستگی اجزای تنش به اجزای کرنش، مانند همسانگرد، و برای یک جسم الاستیک ناهمسانگرد را به دست آوردند. در مقاومت مواد، معمولاً وابستگی اجزای کرنش به اجزای تنش برای یک جسم همسانگرد برقرار است. آنها را قانون هوک تعمیم یافته می نامند، البته این نام مشروط است، زیرا R. Hooke مفهوم استرس را نمی دانست.

در این وابستگی ها، کوشی ابتدا دو ثابت را معرفی کرد و وابستگی تنش ها به کرنش ها را به شکل یادداشت کرد.

متر ,

با این حال، بعداً O. Koshi مفهوم L. Navier را پذیرفت. طبق آن، اجسام الاستیک متشکل از مولکول‌هایی هستند که در هنگام تغییر شکل، نیروهایی ایجاد می‌شوند که در جهت خطوط مستقیم مولکول‌ها را به هم متصل می‌کنند و متناسب با تغییر فواصل بین مولکول‌ها هستند. سپس تعداد ثابت های الاستیک برای حالت کلی یک جسم ناهمسانگرد 15 است و برای جسم همسانگرد یک ثابت الاستیک به دست می آوریم. S. Poisson به این فرضیه پایبند بود و در ابتدا - G. Lame و B. Clapeyron. بر اساس آن پواسون دریافت که ضریب کرنش عرضی 1/4 است.

دی. گرین در سال 1839 رابطه بین کرنش ها و تنش ها را بدون استفاده از فرضیه ساختار مولکولی اجسام الاستیک استخراج کرد. او آنها را بر اساس اصل بقای انرژی با معرفی مفهوم پتانسیل الاستیک به دست آورد و نشان داد که هنگام استفاده از وابستگی های خطی شش مولفه کرنش به شش مولفه تنش، 21 ضریب از 36 ضریب مستقل هستند، یعنی در حالت کلی یک جسم ناهمسانگرد، تعداد ثابت های الاستیک 21 است برای یک جسم همسانگرد، تعداد ثابت های الاستیک به دو کاهش می یابد. نظریه ای که در آن تعداد ثابت های الاستیک برای یک جسم ناهمسانگرد 15 و برای یک جسم همسانگرد 1 است، گاهی اوقات "ثابت نادر" یا "یکثابت" نامیده می شود و نظریه ای که در آن تعداد ثابت های الاستیک برای یک جسم ناهمسانگرد برابر است با 21، و برای یک همسانگرد 2 - "چند ثابت" .

اختلاف بین طرفداران این نظریه ها فیزیکدانان را به تحقیقات تجربی سوق داد.

G. Wertheim، بر اساس اندازه گیری حجم داخلی لوله های شیشه ای و فلزی در کشش محوری، در سال 1848 ثابت کرد که ضریب تغییر شکل عرضی برابر با 1/4 نیست. او آن را برای مواد مختلف متفاوت دانست، اما برای بسیاری از مواد نزدیک به 1/3 بود.

و من. کوپفر، در سال 1853، با آزمایش میله های فلزی برای کشش و پیچش، همچنین دریافت که نسبت مدول ها در برش و کشش با کرنش عرضی برابر با 1/4 مطابقت ندارد.

در سال 1855، F. Neumann نمونه هایی از مقطع مستطیلی را برای خمش آزمایش کرد و زوایای چرخش دو وجه تیر را اندازه گرفت (مقطع شکل ذوزنقه ای به خود می گیرد). در نتیجه او نشان داد که ضریب تغییر شکل عرضی برابر با 1/4 نیست. G. Kirchhoff، شاگرد F. Neumann، بر اساس آزمایشات انجام شده در سال 1859 برای خمش مفصل و پیچش میله های برنجی گرد، که در یک انتها مهر و موم شده و در طرف دیگر با نیروی متمرکز بارگذاری شده بود، به همین نتیجه رسید. اندازه گیری زاویه پیچش میله و زاویه چرخش مقطع.

یک مطالعه تجربی بزرگ از ضرایب تغییر شکل عرضی برای درجات مختلف فولاد توسط یکی از دانش‌آموزان G. Kirchhoff، M.F انجام شد. اوکاتوف در 1865 - 1866 نتایج در پایان نامه دکترای وی آمده است.آزمایش پیچش و خمش منشورهای نازک برش خورده از تک بلورها و همچنین تست تراکم پذیری بلورها تحت فشار یکنواخت یکنواخت توسط V. Voigt انجام شد و در مقالات متعدد خود بعدا شرح داده شد. در کتابی که در سال 1910 منتشر شد، آنها صحت نظریه چندثابت را تأیید کردند.

یک مطالعه عمیق در مورد ساختار ریاضی قانون هوک برای اجسام ناهمسانگرد توسط مکانیک و مهندس یان ریچلوفسکی در سال 1984 بر اساس مفهوم حالت ویژه الاستیک که او معرفی کرد انجام شد. به طور خاص، او نشان داد که 21 ثابت الاستیک نشان دهنده شش مدول سختی واقعی، 12 توزیع کننده سختی و سه زاویه هستند.

2. نظریه حالت تنش-کرنش در نقطه ای از بدن

1 نظریه استرس

عوامل نیروی داخلی که هنگام بارگذاری یک جسم الاستیک به وجود می آیند، وضعیت یک بخش خاص از بدن را مشخص می کنند، اما به این سؤال پاسخ نمی دهند که کدام نقطه از مقطع بیشترین بارگذاری یا، همانطور که می گویند، نقطه خطرناک است. بنابراین، لازم است مقداری اضافی که وضعیت بدن را در یک نقطه مشخص می کند، در نظر گرفت.

اگر جسمی که نیروهای خارجی به آن وارد می شود در حالت تعادل باشد، در هر یک از بخش های آن نیروهای مقاومت داخلی ایجاد می شود. با نیروی داخلی وارد بر ناحیه ابتدایی و نرمال به این ناحیه از طریق آن مقدار را نشان دهید

ولتاژ کامل نامیده می شود.

در حالت کلی، تنش کل در جهت با ناحیه نرمال به ابتدایی منطبق نیست، بنابراین کار با اجزای آن در امتداد محورهای مختصات راحت تر است -

اگر نرمال خارجی با هر محور مختصاتی منطبق باشد، مثلاً با محور X، مولفه های تنش شکل می گیرند، در حالی که معلوم می شود مؤلفه عمود بر مقطع است و تنش نرمال نامیده می شود و مؤلفه ها در آن قرار می گیرند. صفحه مقطع است و تنش های برشی نامیده می شوند.

برای تشخیص آسان تنش های معمولی و برشی، معمولاً از عناوین دیگری استفاده می شود: - تنش معمولی، - برشی.

بیایید از بدن تحت تأثیر نیروهای خارجی یک متوازی الاضلاع بی نهایت کوچک را جدا کنیم که وجه های آن موازی با صفحات مختصات هستند و لبه های آن دارای طول هستند. در هر وجه از چنین متوازی الاضلاع ابتدایی، سه جزء تنش وجود دارد که با محورهای مختصات موازی هستند. در مجموع، ما 18 مولفه استرس را در شش صورت دریافت می کنیم.

تنش‌های نرمال به صورت نشان داده می‌شوند، جایی که این شاخص مقدار نرمال را به وجه مربوطه نشان می‌دهد (یعنی می‌تواند مقادیر را بگیرد). تنش های برشی به شکل ; در اینجا، شاخص اول مربوط به نرمال محلی است که تنش برشی داده شده روی آن اعمال می شود، و دومی محور موازی که این تنش به آن هدایت می شود را نشان می دهد (شکل 1).

عکس. 1. تنش های معمولی و برشی

برای این ولتاژها، قانون علامت زیر اتخاذ شده است. تنش نرمال در تنش مثبت در نظر گرفته می شود، یا به طور معادل، زمانی که با جهت نرمال بیرونی به محلی که روی آن عمل می کند، منطبق باشد. تنش مماسی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در محل، که نرمال آن با جهت محور مختصات موازی با آن منطبق است، به سمت محور مختصات مثبت مربوط به این ولتاژ هدایت شود.

مولفه های تنش تابعی از سه مختصات هستند. به عنوان مثال، تنش نرمال در یک نقطه با مختصات را می توان نشان داد

در نقطه ای که در فاصله بینهایت کوچکی از مورد مورد نظر قرار دارد، ولتاژ را تا بینهایت کوچک مرتبه اول می توان در سری تیلور گسترش داد:

برای سکوهایی که با صفحه موازی هستند، فقط مختصات x تغییر می کند و افزایش ها، بنابراین، در وجه متوازی الاضلاع، که با صفحه منطبق است، تنش نرمال خواهد بود. بنابراین، از 18 جزء ولتاژ، تنها 9 جزء ناشناخته هستند.

در تئوری الاستیسیته، قانون جفت شدن تنش‌های برشی ثابت می‌شود که بر اساس آن، در امتداد دو ناحیه عمود بر یکدیگر، اجزای تنش‌های برشی عمود بر خطوط تقاطع این نواحی با یکدیگر برابر هستند:

معادلات (2) منجر به این واقعیت می شود که از 9 مولفه استرس که وضعیت استرس را در نقطه ای از بدن مشخص می کند، تنها شش مولفه باقی می ماند:

می توان نشان داد که تنش (3) نه تنها وضعیت تنش بدن را در یک نقطه مشخص مشخص می کند، بلکه آن را به طور منحصر به فردی تعیین می کند. ترکیب این تنش ها یک ماتریس متقارن را تشکیل می دهد که به آن تانسور تنش می گویند:

(4)

هنگام ضرب یک تانسور در یک مقدار اسکالر، یک تانسور جدید به دست می آید که همه اجزای آن چند برابر بزرگتر از اجزای تانسور اصلی هستند.

2 نظریه تغییر شکل

تحت تأثیر بارهای خارجی، بدنه الاستیک شکل خود را تغییر می دهد و تغییر شکل می دهد. در این حالت نقاط بدن موقعیت جدیدی می گیرند. برای تعیین تغییر شکل یک جسم الاستیک، موقعیت نقاط بدنه قبل و بعد از اعمال بار را با هم مقایسه می کنیم.

یک نقطه از یک جسم خالی و موقعیت جدید آن را پس از اعمال بار در نظر بگیرید. بردار را بردار جابجایی نقطه می نامند (شکل 2).

شکل 2. بردار متحرک نقطه

دو نوع جابجایی امکان پذیر است: جابجایی کل بدن به عنوان یک کل بدون تغییر شکل - چنین جابجایی هایی توسط مکانیک نظری به عنوان جابجایی های یک جسم کاملاً صلب مطالعه می شود و جابجایی مرتبط با تغییر شکل بدن - چنین جابجایی هایی توسط تئوری مطالعه می شود. از خاصیت ارتجاعی

اجازه دهید پیش بینی های بردار جابجایی نقطه را به ترتیب روی محورهای مختصات مشخص کنیم. آنها برابر با تفاوت بین مختصات متناظر نقاط هستند و:

و توابع مختصات هستند:

تغییر شکل بدنه ناشی از تفاوت در جابجایی نقاط مختلف آن است. یک متوازی الاضلاع بی نهایت کوچک با لبه های بریده شده از یک جسم الاستیک در نزدیکی یک نقطه دلخواه، به دلیل جابجایی های مختلف نقاط آن، به گونه ای تغییر شکل می دهد که طول لبه های آن تغییر می کند و زوایای قائم اولیه بین وجه ها مخدوش می شود.

شکل 3.3 دو لبه این متوازی الاضلاع را نشان می دهد: و طول لبه برابر است و لبه برابر است.

پس از تغییر شکل، نقاط در موقعیتی قرار می گیرند، در این حالت، نقطه یک جابجایی دریافت می کند که اجزای آن در صفحه ترسیم برابر است و نقطه جدا شده از نقطه در فاصله بی نهایت کم، جابجایی دریافت می کند. که مولفه های آن به دلیل تغییر مختصات با مولفه های جابجایی نقطه به مقدار بی نهایت کوچک متفاوت خواهد بود.

شکل 3. تغییر شکل های خطی و زاویه ای

مولفه های جابجایی نقطه به دلیل تغییر مختصات، با مولفه های جابجایی نقطه تفاوت بینهایت کوچکی دارند.

طول برآمدگی دنده بر روی محور پس از تغییر شکل:

پیش بینی ازدیاد طول مطلق دنده بر روی محور

کشیدگی نسبی در امتداد محور

(6)

تغییر شکل خطی در جهت محور نامیده می شود.

به طور مشابه، تغییر شکل های خطی در امتداد جهت محورها و

(7)

تغییر زوایای بین لبه های متوازی الاضلاع را در نظر بگیرید (شکل 3). مماس زاویه چرخش دنده در صفحه

با توجه به کوچک بودن تغییر شکل های a می توان از تغییر شکل خطی به دلیل کوچک بودن نسبت به وحدت چشم پوشی کرد و سپس

به طور مشابه، می توانید زاویه چرخش دنده را در همان صفحه تعیین کنید:

اعوجاج یک زاویه قائمه را تغییر شکل زاویه ای می نامند و به عنوان مجموع زوایای چرخش دنده ها و:

(8)

به همین ترتیب، تغییر شکل‌های زاویه‌ای در دو صفحه مختصات دیگر تعیین می‌شوند:

(9)

فرمول های (6)-(9) شش وابستگی اساسی را برای تغییر شکل های خطی و زاویه ای بر روی اجزای جابجایی ارائه می دهند. این وابستگی ها معادلات کوشی نامیده می شوند:

(10)

در حدی که طول لبه های متوازی الاضلاع به صفر میل می کند، روابط کوشی تغییر شکل های خطی و زاویه ای در مجاورت نقطه را تعیین می کند.

تغییر شکل های خطی مثبت مربوط به ازدیاد طول ها و موارد منفی به کوتاه شدن ها است. زاویه تغییر زمانی مثبت در نظر گرفته می شود که زاویه بین جهت های مثبت محورهای مختصات مربوطه کاهش یابد و منفی - در غیر این صورت.

مشابه تانسور تنش، وضعیت تغییر شکل بدن در یک نقطه مشخص توسط تانسور کرنش توصیف می‌شود.

(11)

مانند تانسور تنش، تانسور کرنش یک ماتریس متقارن است که شامل نه جزء است که شش جزء آن متفاوت است.

2.3 رابطه بین تنش و کرنش برای اجسام الاستیک

روابط بین تنش ها و کرنش ها ماهیتی فیزیکی دارند. محدود به کرنش های کوچک، رابطه بین تنش ها و کرنش ها را می توان خطی در نظر گرفت.

هنگام آزمایش یک میله در کشش (آزمایش مکانیکی مواد در بخش بعدی به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت)، یک رابطه متناسب بین تنش معمولی و تغییر شکل خطی در یک جهت برقرار می شود که به آن قانون هوک می گویند:

که در آن ثابت الاستیک مدول الاستیسیته طولی نامیده می شود.

به همین روش تجربی، رابطه ای بین تغییر شکل های خطی در جهت طولی و عرضی برقرار شد:

که در آن - تغییر شکل خطی در جهت عرضی، - دومین ثابت الاستیک، به نام نسبت پواسون.

در آزمایش‌های مکانیکی برای برش خالص، رابطه مستقیمی بین تنش برشی و تغییر شکل زاویه‌ای در صفحه عمل این تنش برقرار شد که به آن قانون هوک در برش می‌گویند:

که در آن مقدار سومین ثابت الاستیک است و مدول برشی نامیده می شود. با این حال، این ثابت الاستیک مستقل نیست، زیرا مرتبط با دو مورد اول

برای ایجاد رابطه بین کرنش‌ها و تنش‌ها، یک موازی بینهایت کوچک از بدنه انتخاب می‌کنیم (شکل 1) و عمل تنش‌های معمولی را در نظر می‌گیریم. منجر به تغییر شکل های درجه بالاتری از کوچکی می شود.

بیایید ازدیاد طول دنده را به موازات تنش تعیین کنیم تحت تأثیر این تنش، طبق قانون هوک (3.12)، کشیدگی نسبی دنده رخ خواهد داد.

تنش باعث ایجاد کشیدگی مشابه در جهت عمود بر دنده می شود

و در جهت دنده - كوتاه كردن كه طبق (13) مي باشد

یا با در نظر گرفتن بیان تغییر شکل

به طور مشابه، کوتاه شدن نسبی دنده تحت عمل تنش تعیین می شود

بر اساس اصل استقلال عمل نیروها، ازدیاد طول نسبی کل دنده را می توان به عنوان مجموع کشیدگی های حاصل از عمل هر تنش تعریف کرد:

به طور مشابه، می توان تغییر شکل های خطی را در امتداد جهت دو محور دیگر تعریف کرد:

مطابق با قانون هوک در برش (14)، رابطه بین تغییر شکل های زاویه ای و تنش های برشی را می توان به طور مستقل برای هر یک از سه صفحه موازی با صفحات مختصات نشان داد:

بنابراین، شش فرمول به دست آمده است که بیانگر یک رابطه خطی بین اجزای کرنش و تنش در یک جسم الاستیک همسانگرد است و قانون هوک تعمیم یافته نامیده می شود:

(16)

3. معادلات اساسی تئوری کشش. انواع مسائل در نظریه کشش

وظیفه اصلی تئوری الاستیسیته، تعیین حالت تنش-کرنش با توجه به شرایط داده شده بارگذاری و تثبیت بدنه است.

حالت تنش-کرنش در صورتی تعیین می شود که اجزای تانسور تنش (ها) و بردار جابجایی، 9 تابع پیدا شوند.

3.1 معادلات اساسی نظریه کشش

برای یافتن این نه تابع، باید معادلات اصلی نظریه کشش را بنویسید یا:

کوشی های دیفرانسیل

(17)

اجزای تانسور قسمت خطی تغییر شکل‌های کوشی کجا هستند.

اجزای تانسور مشتق جابجایی در امتداد شعاع.

معادلات تعادل دیفرانسیل

اجزای تانسور تنش کجا هستند. برآمدگی نیروی بدن بر روی محور j است.

قانون هوک برای یک جسم همسانگرد الاستیک خطی

ثابت های Lame کجا هستند. برای یک جسم همسانگرد در اینجا تنش های معمولی و برشی وجود دارد. زوایای کرنش و برشی به ترتیب.

معادلات فوق باید وابستگی های Saint-Venant را برآورده کنند

در تئوری الاستیسیته، مشکل در صورتی حل می شود که تمام معادلات اساسی برآورده شوند.

2 انواع مسائل در نظریه کشش

شرایط مرزی در سطح بدن باید رعایت شود و بسته به نوع شرایط مرزی، سه نوع مشکل در تئوری کشسانی وجود دارد.

نوع اول نیروها روی سطح بدن وارد می شوند. شرایط مرزی

نوع دوم. مشکلاتی که در آن جابجایی روی سطح بدن مشخص می شود. شرایط مرزی

نوع سوم. مسائل مختلط نظریه کشش. نیروها بر روی بخشی از سطح بدن، جابجایی در بخشی از سطح بدن داده می شود. شرایط مرزی

مسائلی که در آنها نیروها یا جابجایی ها بر روی سطح جسم مشخص می شود، اما برای یافتن حالت تنش-کرنش در داخل بدن و آنچه در سطح مشخص نیست لازم است، مسائل مستقیم نامیده می شوند. اما اگر در داخل بدنه تنش‌ها، تغییر شکل‌ها، جابه‌جایی‌ها و غیره مشخص شده باشد و باید مشخص شود که چه چیزی در داخل بدنه مشخص نیست و همچنین جابجایی‌ها و تنش‌های سطح بدن (یعنی پیدا کردن عللی که باعث ایجاد چنین حالت تنش-کرنش شده است))، پس چنین مشکلاتی معکوس نامیده می شوند.

4 معادلات تئوری الاستیسیته در جابجایی ها (معادلات لم)

برای تعیین معادلات نظریه کشش در جابجایی ها می نویسیم: معادلات تعادل دیفرانسیل (18) قانون هوک برای یک جسم همسانگرد الاستیک خطی (19)

اگر در نظر بگیریم که تغییر شکل ها بر حسب جابجایی بیان می شوند (17)، می نویسیم:

همچنین لازم به یادآوری است که زاویه برشی با رابطه زیر با جابجایی ها مرتبط است (17):

(23)

با جایگزینی عبارت (22) به اولین معادله تساوی (19)، به دست می آوریم که تنش های نرمال

(24)

توجه داشته باشید که علامت u در این مورد به معنای جمع بر i نیست.

با جایگزینی عبارت (23) به معادله دوم تساوی (19)، به دست می آوریم که تنش های برشی

(25)

اجازه دهید معادلات تعادل (18) را به صورت بسط یافته برای j = 1 بنویسیم

(26)

با جایگزینی معادله (26) تنش های معمولی (24) و مماسی (25)، به دست می آوریم.

که در آن λ ثابت Lame است که با عبارت:

عبارت (28) را با معادله (27) جایگزین می کنیم و می نویسیم:

جایی که با عبارت (22)، یا به شکل بسط یافته تعیین می شود

عبارت (29) را بر G تقسیم می کنیم و عبارات مشابه را اضافه می کنیم و اولین معادله Lame را بدست می آوریم:

(30)

عملگر لاپلاس (عملگر هارمونیک) که به این صورت تعریف می شود، کجاست

(31)

به طور مشابه، می توانید دریافت کنید:

(32)

معادلات (30) و (32) را می توان به صورت زیر نوشت:

(33)

معادلات (33) یا (30) و (32) معادلات لم هستند. اگر نیروهای بدن صفر یا ثابت باشند، پس

(34)

علاوه بر این، نماد در این مورد به معنای جمع بر i نیست. اینجا

می توان نشان داد که چنین نمایشی از جابجایی ها بر حسب یک تابع هارمونیک، معادلات لم (33) را به یک هویت تبدیل می کند. اغلب آنها را شرایط Popkovich-Grodsky می نامند. چهار تابع هارمونیک ضروری نیستند، زیرا φ0 را می توان با صفر برابر کرد.

4. مبانی متغیر تئوری الاستیسیته.

1 اصل جابجایی های احتمالی (اصل لاگرانژ)

اصل لاگرانژ برای جسمی که در حالت تعادل قرار دارد، کار نیروهای خارجی و داخلی بر روی هر افزایش جابجایی نامتناهی ممکن صفر است.

با استفاده از قضیه کلاپیرون، که برای یک جسم تغییر شکل الاستیک با تغییر جابجایی، اصل لاگرانژ را به دست می آوریم.

در مکانیک اجسام تغییر شکل‌پذیر، جابه‌جایی‌هایی ممکن است که محدودیت‌های خارجی و درونی تحمیل‌شده بر بدنه را برآورده کند.

اتصالات خارجی شرط تثبیت است، اتصالات داخلی شرط تداوم است.

به منظور ارضای محدودیت های داخلی، لازم است که افزایش جابجایی، توابع تک مقداری پیوسته مختصات باشد.

در این شکل، اصل لاگرانژ برای هر جسم تغییر شکل پذیر معتبر است.

برای اجسام کشسان به دست آمد که

(41)

سپس (40) با در نظر گرفتن (41) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

(42)

که در آن W کرنش خاص است، و

در اینجا U تغییری از کل انرژی پتانسیل بدن است.

عبارت (43) را با (42) جایگزین می کنیم، و چون نیروها تغییر نمی کنند، آن را می نویسیم

(44)

معادله (44) یک معادله متغیر لاگرانژ است.

اگر نیروها محافظه کار باشند، دو انتگرال اول نشان دهنده تغییر در پتانسیل نیروهای خارجی در طول انتقال از حالت تغییر شکل نیافته به حالت تغییر شکل یافته است.

پتانسیل نیروهای خارجی

(45)

که در آن - کار احتمالی نیروهای خارجی در طول انتقال از حالت تغییر شکل نیافته به حالت تغییر شکل یافته با این فرض محاسبه می شود که نیروهای خارجی بدون تغییر باقی می مانند. انرژی کل سیستم

سپس با در نظر گرفتن عبارات (44) - (46) اصل لاگرانژ نوشته می شود:

یعنی تغییر انرژی کل سیستم در موقعیت تعادل در جابجایی های احتمالی برابر با صفر است. بیان (47) معادله متغیر لاگرانژ در مورد عمل فقط نیروهای محافظه کار است.

در موقعیت تعادل پایدار، انرژی کل P حداقل است،

اصل لاگرانژ اصل حداقل انرژی است.

2 اصل حالت های ممکن (اصل کاستیانو)

حالات ممکن را آنهایی می نامیم که مطابق با نیروهای بیرونی و درونی هستند، یعنی معادلات تعادل را برآورده می کنند.

معادله (57) اصل کاستیلیانو را می نویسد. با تغییرات احتمالی در وضعیت تنش بدن، این تغییرات برابر با انتگرال آن قسمت از سطح بدن است که در آن جابجایی ها از محصولات نیروهای سطحی و جابجایی های احتمالی داده می شود.

3 رابطه بین راه حل دقیق و راه حل های به دست آمده بر اساس اصول لاگرانژ و کاستیلیانو

بر اساس اصل لاگرانژ، برخی از توابع یا مجموعه ای از آنها را انتخاب می کنیم و از آنجایی که مجموعه توابع محدود است، تعداد کمتری از درجات آزادی سیستم به دست می آید و در نتیجه درجات آزادی سازه کاهش می یابد. یعنی در مفهوم انرژی، راه حل سفت تر از راه حل دقیق می شود.

اگر ویژگی های انتگرال را در نظر بگیریم، آنگاه راه حل تقریبی به طور صلب انتگرال است.

هنگام حل مشکل بارگذاری یک تیر لولایی با نیروی عرضی در وسط دهانه (شکل 1)، راه حل تقریبی جابجایی کمتری تحت نیرو نسبت به راه حل دقیق ایجاد می کند.

راه حل دقیق

هنگام حل مشکل مشابه با استفاده از اصل تغییرات کاستیلیانو، از آنجایی که شرط تداوم برآورده نمی شود، سیستم آزادی بیشتری نسبت به واقعیت پیدا می کند.

راه حل دقیق بین این دو روش تقریبی (لاگرانژ و کاستیلیانو) قرار دارد. گاهی اوقات تفاوت بین محلول های به دست آمده اندک است.

5. فهرست ادبیات استفاده شده

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. مبانی تئوری الاستیسیته و پلاستیسیته. 400 صفحه دبیرستان 1990.

2. Veretimus D.K. مبانی تئوری الاستیسیته قسمت اول نظریه تنش راهنمای روش شناسی درس "مبانی تئوری کشش و پلاستیسیته". 2005.-37s.

Veretimus D.K. مبانی تئوری الاستیسیته قسمت دوم تئوری تغییر شکل ها. رابطه بین حالت تحت فشار و تغییر شکل راهنمای روش شناسی درس "مبانی تئوری کشش و پلاستیسیته"، 1384.-53 ص.

Veretimus D.K. مبانی تئوری الاستیسیته قسمت سوم معادلات اساسی تئوری الاستیسیته انواع مسائل در تئوری الاستیسیته راهنمای روش شناسی درس "مبانی تئوری کشسانی و پلاستیسیته" 1384-45ص.