03.07.202327.05.2017

اجازه دهید تابع واقعی شرایط دیریکله را در بازه برآورده کند - L, L. بسط آن را در سری فوریه مثلثاتی می نویسیم:

اگر در (10.1) و از طریق تابع نمایی آرگومان خیالی بیان کنیم:

سپس ما سریال را دریافت می کنیم

جایی که به دلیل (10.2)

سه فرمول آخر را می توان با هم ترکیب کرد:

سری (10.3) با ضرایب (10.4) سری فوریه مثلثاتی به صورت مختلط نامیده می شود.

مثال 1تابع را که یک عدد مختلط است به یک سری فوریه در بازه بسط دهید.

راه حل . ضرایب فوریه را پیدا کنید:

از آن به بعد

تجزیه مورد نیاز شکل خواهد داشت

جایی که در نظر گرفته شده است که

اعمال تساوی پارسوال در سری (10.5).

می توانید مجموع یک سری اعداد دیگر را پیدا کنید. در واقع، در مورد ما

سپس از (10.6) آمده است

تمرین 1. ثابت کنید

نشانه. قرار دادن (10.5) ایکس= 0 و ایکس = .

تمرین 2. ثابت کنید که برای

انتگرال فوریه

همگرایی انتگرال فوریه

اجازه دهید تابع در کل محور واقعی تعریف شود. با فرض اینکه در یک بازه محدود دلخواه - L, Lتابع داده شده شرایط دیریکله را برآورده می کند، ما آن را به عنوان یک سری فوریه مثلثاتی به شکل مختلط نشان می دهیم:

فرکانس کهارمونیک -ام .

با وارد کردن عبارات (11.2) در (11.1)، به دست می آوریم

زمانی که ارزش. سمت راست فرمول (11.3) مشابه مجموع انتگرال یک تابع با توجه به متغیری در بازه است. بنابراین، می‌توان انتظار داشت که پس از عبور از (11.3) به حد در، به جای سری، انتگرال را بدست آوریم.

فرمول (11.4) را فرمول انتگرال فوریه و سمت راست آن را انتگرال فوریه می نامند.

استدلالی که با آن فرمول (11.4) به دست می‌آید، دقیق نیست و فقط جنبه پیشنهادی دارد. شرایطی که در آن فرمول انتگرال فوریه معتبر است با این قضیه مشخص می شود که ما آن را بدون اثبات می پذیریم.

قضیه.اجازه دهید ابتدا تابع در بازه کاملاً یکپارچه شود، یعنی. انتگرال همگرا می شود، و ثانیا، شرایط دیریکله را در هر بازه محدود برآورده می کند (- L, L). سپس انتگرال فوریه (به معنای ارزش اصلی) در همه جا همگرا می شود، یعنی: برابری (11.4) برای همه صادق است ایکساز فاصله در اینجا، مانند قبل، فرض می شود که در نقطه ناپیوستگی، مقدار تابع برابر با نصف مجموع حدود یک طرفه آن در این نقطه است.

تبدیل فوریه

فرمول انتگرال فوریه (11.4) را به صورت زیر تبدیل می کنیم. بگذاریم

اگر تابعی پیوسته و کاملاً قابل ادغام در کل محور باشد، آن تابع در بازه پیوسته است. در واقع، از آن زمان

و از آنجایی که انتگرال سمت راست همگرا می شود، انتگرال سمت چپ همگرا می شود. از این رو انتگرال در (12.1) به طور مطلق همگرا می شود. برابری (12.2) به طور همزمان برای همه برقرار است، بنابراین انتگرال (12.1) به طور یکنواخت نسبت به همگرا می شود. از این رو نتیجه می شود که تابع پیوسته است (همانطور که همگرایی یکنواخت یک سری متشکل از توابع پیوسته دلالت بر تداوم مجموع آن دارد).

از (11.4) دریافت می کنیم

تابع مختلط تعریف شده با فرمول (12.1) تبدیل فوریه یا تبدیل فوریه تابع نامیده می شود. به نوبه خود، فرمول (12.3) به عنوان تبدیل فوریه معکوس یا تصویر معکوس تابع تعریف می شود. تساوی (12.3) برای یک تابع معین را می توان به عنوان یک معادله انتگرالی با توجه به تابع در نظر گرفت که حل آن با فرمول (12.1) به دست می آید. و برعکس، حل معادله انتگرال (12.1) با توجه به تابع برای یک داده شده با فرمول (12.3) به دست می آید.

در فرمول (12.3)، عبارت، به طور مشروط، بسته ای از هارمونیک های پیچیده با فرکانس هایی که به طور پیوسته بر روی شکاف توزیع می شوند و دامنه پیچیده کل را مشخص می کند. تابع چگالی طیفی نامیده می شود. فرمول (12.2)، نوشته شده به صورت

را می توان به عنوان بسط یک تابع به مجموع بسته های هارمونیک تفسیر کرد که فرکانس های آن یک طیف پیوسته توزیع شده در بازه را تشکیل می دهد.

برابری های پارسهوالتصاویر فوریه از توابع واقعی و به ترتیب باشد. سپس

آن ها محصولات درونی و هنجارهای توابع تغییر ناپذیر تبدیل فوریه هستند. بیایید این گفته را ثابت کنیم. با تعریف محصول اسکالر، داریم. با جایگزین کردن تابع با عبارت آن (12.3) برحسب تبدیل فوریه، به دست می آوریم

به دلیل (12.1)

بنابراین، یعنی فرمول (12.4) ثابت شده است. فرمول (12.5) از (12.4) در به دست می آید.

تبدیل فوریه کسینوس و سینوسی.اگر یک تابع واقعی زوج باشد، تبدیل فوریه آن، که در اینجا نشان می‌دهیم، نیز یک تابع زوج واقعی است. واقعا،

آخرین انتگرال، به دلیل عجیب بودن انتگرال، از بین می رود. بدین ترتیب،

در اینجا از ویژگی (7.1) توابع زوج استفاده شده است.

از (12.6) نتیجه می شود که تابع واقعی است و به طور مساوی به آن بستگی دارد، زیرا فقط از طریق کسینوس وارد (12.6) می شود.

فرمول (12.3) تبدیل فوریه معکوس در این مورد می دهد

از آنجایی که و به ترتیب توابع زوج و فرد یک متغیر هستند، پس

فرمول های (12.6) و (12.7) تبدیل کسینوس فوریه را تعریف می کنند.

به طور مشابه، اگر یک تابع واقعی فرد باشد، تبدیل فوریه آن، که در آن یک تابع فرد واقعی از است. که در آن

معادلات (12.8)، (12.9) تبدیل فوریه سینوسی را تعریف می کنند.

توجه داشته باشید که فرمول های (12.6) و (12.8) شامل مقادیر تابع فقط برای هستند. بنابراین، تبدیل فوریه کسینوس و سینوسی را می توان برای یک تابع تعریف شده در یک بازه نیمه نامتناهی نیز اعمال کرد. در این حالت، برای، انتگرال های فرمول (12.7) و (12.9) به ترتیب به تابع داده شده و برای، به پسوندهای زوج و فرد آن همگرا می شوند.

که در حال حاضر بسیار خسته شده اند. و من احساس می کنم که لحظه ای فرا رسیده است که زمان استخراج کنسروهای جدید از ذخایر استراتژیک تئوری فرا رسیده است. آیا می توان تابع را به روش دیگری به یک سری گسترش داد؟ مثلاً یک پاره خط مستقیم را بر حسب سینوس و کسینوس بیان کنیم؟ باورنکردنی به نظر می رسد، اما چنین عملکردهای به ظاهر دوری به خودی خود کمک می کنند
"تجدید دیدار". علاوه بر درجات آشنا در تئوری و عمل، رویکردهای دیگری برای گسترش یک تابع به یک سری وجود دارد.

در این درس با سری فوریه مثلثاتی آشنا می‌شویم، بحث همگرایی و مجموع آن را بررسی می‌کنیم و البته مثال‌های متعددی را برای بسط توابع به سری فوریه تحلیل می‌کنیم. من صمیمانه می‌خواستم مقاله را "سری فوریه برای آدمک‌ها" بنامم، اما این حیله‌گر خواهد بود، زیرا حل مسائل به دانش سایر بخش‌های تحلیل ریاضی و تجربه عملی نیاز دارد. بنابراین، مقدمه شبیه آموزش فضانوردان خواهد بود =)

اول، مطالعه مواد صفحه باید به شکل عالی باشد. خواب آلود، استراحت و هوشیار. بدون احساسات شدید در مورد پنجه شکسته یک همستر و افکار وسواسی در مورد سختی های زندگی ماهی های آکواریومی. سری فوریه از نظر درک دشوار نیست ، با این حال ، کارهای عملی به سادگی نیاز به تمرکز بیشتر دارند - در حالت ایده آل ، باید محرک های خارجی را کاملاً رها کرد. وضعیت با این واقعیت تشدید می شود که هیچ راه آسانی برای بررسی راه حل و پاسخ وجود ندارد. بنابراین، اگر سلامتی شما کمتر از حد متوسط است، بهتر است کار ساده‌تری انجام دهید. آیا حقیقت دارد.

در مرحله دوم، قبل از پرواز به فضا، لازم است صفحه ابزار فضاپیما را مطالعه کنید. بیایید با مقادیر توابعی که باید روی دستگاه کلیک کنید شروع کنیم:

برای هر ارزش طبیعی:

1) . و در واقع، سینوسی محور x را از طریق هر پی "چشمک می زند":
. در مورد مقادیر منفی آرگومان، البته نتیجه یکسان خواهد بود: .

2). اما همه این را نمی دانستند. کسینوس "pi en" معادل "چراغ چشمک زن" است:

استدلال منفی قضیه را تغییر نمی دهد: .

شاید به اندازه کافی

و ثالثاً، سپاه فضانوردان عزیز، باید بتوانید ... ادغام کردن.
به طور خاص، مطمئنا یک تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار دهید, ادغام توسط قطعاتو با آن رابطه خوبی داشته باشید فرمول نیوتن لایب نیتس. بیایید تمرینات مهم قبل از پرواز را شروع کنیم. من اکیداً توصیه نمی کنم از آن بگذرید، تا بعداً در گرانش صفر صاف نشوید:

مثال 1

انتگرال های معین را محاسبه کنید

جایی که ارزش های طبیعی را می گیرد.

راه حل: ادغام روی متغیر "x" انجام می شود و در این مرحله متغیر گسسته "en" ثابت در نظر گرفته می شود. در تمام انتگرال ها تابع را تحت علامت دیفرانسیل قرار دهید:

یک نسخه کوتاه از راه حل، که برای عکسبرداری خوب است، به این صورت است:

عادت کردن به:

چهار امتیاز باقی مانده به تنهایی هستند. سعی کنید با وظیفه با وجدان برخورد کنید و انتگرال ها را به صورت کوتاه مرتب کنید. نمونه راه حل در پایان درس.

بعد از یک تمرین با کیفیت، لباس فضایی به تن می کنیم
و آماده شدن برای شروع!

بسط یک تابع در یک سری فوریه در بازه

بیایید تابعی را در نظر بگیریم که تعریف شده استحداقل در بازه زمانی (و احتمالاً در فاصله زمانی بزرگتر). اگر این تابع روی قطعه قابل ادغام باشد، می توان آن را به یک مثلثات گسترش داد سری فوریه:
، به اصطلاح کجا هستند ضرایب فوریه.

در این حالت شماره تماس گرفته می شود دوره تجزیه، و شماره است تجزیه نیمه عمر.

بدیهی است که در حالت کلی، سری فوریه از سینوس و کسینوس تشکیل شده است:

در واقع، بیایید آن را با جزئیات بنویسیم:

عبارت صفر سری معمولا به صورت نوشته می شود.

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

من به خوبی درک می کنم که اصطلاحات جدید هنوز برای مبتدیان مبهم هستند تا این موضوع را مطالعه کنند: دوره تجزیه, نیم چرخه, ضرایب فوریهنترسید، این با هیجان قبل از پیاده روی فضایی قابل مقایسه نیست. بیایید همه چیز را در نزدیکترین مثال مشخص کنیم، قبل از اجرای آن، منطقی است که سوالات عملی فوری بپرسیم:

در کارهای زیر چه کاری باید انجام دهید؟

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید. علاوه بر این، اغلب لازم است که نمودار یک تابع، نمودار مجموع یک سری، مجموع جزئی ترسیم شود و در مورد فانتزی های استادانه پیچیده، کار دیگری انجام شود.

چگونه یک تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم؟

در اصل، شما باید پیدا کنید ضرایب فوریه، یعنی سه را بنویسید و محاسبه کنید انتگرال های معین.

لطفا فرم کلی سری فوریه و سه فرمول کاری را در دفترچه خود کپی کنید. من بسیار خوشحالم که برخی از بازدیدکنندگان سایت رویای کودکی خود را برای تبدیل شدن به یک فضانورد در مقابل چشمان من دارند =)

مثال 2

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید. یک نمودار، یک نمودار از مجموع یک سری و یک جمع جزئی بسازید.

راه حل: بخش اول کار، گسترش تابع به یک سری فوریه است.

شروع استاندارد است، حتما یادداشت کنید که:

در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره.

ما تابع را در یک سری فوریه در بازه گسترش می دهیم:

با استفاده از فرمول های مناسب می یابیم ضرایب فوریه. اکنون باید سه را بنویسیم و محاسبه کنیم انتگرال های معین. برای راحتی، نکات را شماره گذاری می کنم:

1) انتگرال اول ساده ترین است، با این حال، از قبل به یک چشم و یک چشم نیاز دارد:

2) از فرمول دوم استفاده می کنیم:

این انتگرال به خوبی شناخته شده است و او آن را تکه تکه می کند:

وقتی پیدا شد استفاده شده روش قرار دادن یک تابع تحت علامت دیفرانسیل.

در کار مورد بررسی، استفاده فوری راحت تر است فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین :

چند نکته فنی ابتدا پس از اعمال فرمول کل عبارت باید در پرانتزهای بزرگ محصور شود، زیرا در مقابل انتگرال اصلی یک ثابت وجود دارد. از دستش ندهیم! پرانتزها را می توان در هر مرحله بعدی باز کرد، من این کار را در آخرین پیچ انجام دادم. در اولین "قطعه" ما دقت فوق العاده ای را در جایگزینی نشان می دهیم، همانطور که می بینید، ثابت از کار افتاده است، و محدودیت های ادغام در محصول جایگزین می شوند. این عمل با براکت مربع مشخص شده است. خوب ، انتگرال "قطعه" دوم فرمول از کار آموزشی برای شما کاملاً شناخته شده است ;-)

و از همه مهمتر - تمرکز نهایی توجه!

3) ما به دنبال سومین ضریب فوریه هستیم:

نسبی از انتگرال قبلی به دست می آید که آن نیز می باشد یکپارچه شده توسط قطعات:

این مثال کمی پیچیده تر است، من مراحل بعدی را مرحله به مرحله توضیح خواهم داد:

(1) کل عبارت در پرانتزهای بزرگ محصور شده است.. من نمی خواستم خسته به نظر بیایم، آنها اغلب ثابت را از دست می دهند.

(2) در این مورد، من بلافاصله آن براکت های بزرگ را گسترش دادم. توجه ویژهما به اولین "قطعه" اختصاص می دهیم: ثابت در حاشیه دود می کند و در جایگزینی محدودیت های ادغام (و) در محصول شرکت نمی کند. با توجه به شلوغی رکورد، مجدداً توصیه می شود این عمل را در پرانتز مربع برجسته کنید. با "قطعه" دوم همه چیز ساده تر است: در اینجا کسری پس از باز کردن براکت های بزرگ ظاهر شد و ثابت - در نتیجه ادغام انتگرال آشنا ;-)

(3) در براکت‌های مربع، تبدیل‌ها را انجام می‌دهیم و در انتگرال سمت راست، حدود ادغام را جایگزین می‌کنیم.

(4) فلاشر را از براکت های مربع بیرون می آوریم: , پس از آن براکت های داخلی را باز می کنیم: .

(5) 1 و -1 را در پرانتز لغو می کنیم، ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.

در نهایت هر سه ضریب فوریه را یافتیم:

آنها را در فرمول جایگزین کنید :

فراموش نکنید که نصف کنید. در مرحله آخر، ثابت ("منهای دو") که به "en" بستگی ندارد، از جمع خارج می شود.

بنابراین، ما بسط تابع را در یک سری فوریه در بازه به دست آورده ایم:

اجازه دهید سوال همگرایی سری فوریه را مطالعه کنیم. من به طور خاص نظریه را توضیح خواهم داد قضیه دیریکله، به معنای واقعی کلمه "روی انگشتان" است، بنابراین اگر به فرمول بندی دقیق نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مراجعه کنید. (مثلاً جلد دوم بوهان؛ یا جلد سوم فیشتنهولتز، اما در آن دشوارتر است).

در قسمت دوم کار، لازم است یک نمودار، یک نمودار مجموع سری و یک نمودار جمع جزئی رسم شود.

نمودار تابع معمول است خط مستقیم در هواپیما، که با یک خط نقطه سیاه ترسیم شده است:

ما با مجموع سریال سروکار داریم. همانطور که می دانید سری های تابعی به توابع همگرا می شوند. در مورد ما، سری فوریه ساخته شده است برای هر مقدار "x"به تابع نشان داده شده با رنگ قرمز همگرا می شود. این تابع تابع است استراحت از نوع 1در نقاط ، اما همچنین در آنها تعریف شده است (نقاط قرمز در نقاشی)

بدین ترتیب: . به راحتی می توان فهمید که تفاوت قابل توجهی با عملکرد اصلی دارد، به همین دلیل در نمادگذاری یک tilde به جای علامت تساوی استفاده می شود.

اجازه دهید الگوریتمی را مطالعه کنیم که با آن بتوان مجموع یک سری را ساخت.

در بازه مرکزی، سری فوریه به خود تابع همگرا می شود (قسمت قرمز مرکزی با خط نقطه چین سیاه تابع خطی منطبق است).

حال اجازه دهید کمی در مورد ماهیت بسط مثلثاتی در نظر گرفته شده صحبت کنیم. سری فوریه فقط شامل توابع تناوبی (ثابت، سینوس و کسینوس)، بنابراین مجموع سری همچنین تابع تناوبی است.

این در مثال خاص ما به چه معناست؟ و این یعنی مجموع سریال –لزوما دوره ایو قسمت قرمز فاصله باید بی نهایت در سمت چپ و راست تکرار شود.

فکر می کنم الان بالاخره معنای عبارت «دوره تجزیه» مشخص شده است. به عبارت ساده، هر بار که وضعیت دوباره و دوباره تکرار می شود.

در عمل، معمولاً به تصویر کشیدن سه دوره تجزیه کافی است، همانطور که در نقاشی انجام می شود. خوب، و بیشتر "شاخه" از دوره های همسایه - به روشن است که نمودار ادامه دارد.

مورد توجه خاص هستند نقاط ناپیوستگی از نوع 1. در چنین نقاطی، سری فوریه به مقادیر جدا شده همگرا می شود، که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی (نقاط قرمز در نقاشی) قرار دارند. ترتیب این نقاط را چگونه می توان پیدا کرد؟ ابتدا، ترتیب "طبقه بالا" را پیدا می کنیم: برای این، مقدار تابع را در سمت راست ترین نقطه دوره انبساط مرکزی محاسبه می کنیم: . برای محاسبه ترتیب "طبقه پایین"، ساده ترین راه این است که سمت چپ ترین مقدار همان دوره را بگیرید: . ترتیب مقدار میانگین، میانگین حسابی مجموع «بالا و پایین» است: . خوب این واقعیت است که هنگام ساخت یک نقاشی، بلافاصله خواهید دید که آیا وسط به درستی یا نادرست محاسبه شده است.

اجازه دهید یک مجموع جزئی از سری بسازیم و در همان زمان معنای اصطلاح "همگرایی" را تکرار کنیم. انگیزه از درس در مورد شناخته شده است مجموع سری اعداد. بیایید ثروت خود را با جزئیات توصیف کنیم:

برای جمع آوری جزئی، باید صفر + دو عبارت دیگر از سری را یادداشت کنید. به این معنا که،

در نقاشی، نمودار تابع به رنگ سبز نشان داده شده است، و همانطور که می بینید، به طور کاملاً محکم به دور مجموع کل می پیچد. اگر مجموع جزئی از پنج عبارت سری را در نظر بگیریم، نمودار این تابع خطوط قرمز را با دقت بیشتری تقریب می کند، اگر صد جمله وجود داشته باشد، "مار سبز" در واقع به طور کامل با بخش های قرمز ادغام می شود. و غیره. بنابراین، سری فوریه به مجموع آن همگرا می شود.

جالب است بدانید که هر مجموع جزئی است عملکرد پیوسته، اما مجموع کل سریال هنوز ناپیوسته است.

در عمل، ساختن نمودار مجموع جزئی غیر معمول نیست. چگونه انجامش بدهیم؟ در مورد ما، لازم است تابع را در بخش در نظر بگیریم، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقاط میانی محاسبه کنیم (هر چه نقاط بیشتری را در نظر بگیرید، نمودار دقیق تر خواهد بود). سپس باید این نقاط را روی نقاشی علامت بزنید و نموداری را با دقت روی نقطه بکشید و سپس آن را در فواصل مجاور "تکرار" کنید. دیگر چگونه؟ از این گذشته، تقریب نیز یک تابع تناوبی است ... ... نمودار آن به نوعی من را به یاد ریتم یکنواخت قلب در صفحه نمایش یک دستگاه پزشکی می اندازد.

البته، انجام ساخت و ساز خیلی راحت نیست، زیرا باید بسیار مراقب باشید و دقت کمتر از نیم میلی متر را حفظ کنید. با این حال، من از خوانندگانی که با ترسیم مخالف هستند خوشحال خواهم شد - در یک کار "واقعی"، انجام یک نقاشی همیشه ضروری نیست، در جایی در 50٪ موارد لازم است که عملکرد را به یک سری فوریه گسترش دهیم و این آی تی.

پس از اتمام نقاشی، کار را تکمیل می کنیم:

پاسخ:

در بسیاری از وظایف، عملکرد آسیب می بیند پارگی از نوع 1درست در دوره تجزیه:

مثال 3

در یک سری فوریه تابع داده شده در بازه را بسط دهید. نموداری از تابع و مجموع کل سری رسم کنید.

تابع پیشنهادی به صورت تکه ای داده می شود (و توجه داشته باشید، فقط در بخش)و تحمل کن پارگی از نوع 1در نقطه . آیا می توان ضرایب فوریه را محاسبه کرد؟ مشکلی نیست. هر دو بخش چپ و راست تابع در فواصل خود قابل انتگرال هستند، بنابراین انتگرال های هر یک از سه فرمول باید به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده شوند. برای مثال، بیایید ببینیم که چگونه این کار برای یک ضریب صفر انجام می شود:

انتگرال دوم برابر با صفر بود که کار را کاهش داد، اما همیشه اینطور نیست.

دو ضریب فوریه دیگر نیز به همین ترتیب نوشته شده اند.

چگونه مجموع یک سری را نمایش دهیم؟ در بازه سمت چپ یک پاره خط مستقیم و در بازه - یک پاره خط مستقیم ترسیم می کنیم (بخش محور را با پررنگ برجسته کنید). یعنی در بازه بسط، مجموع سری در همه جا با تابع منطبق است، به جز سه نقطه "بد". در نقطه ناپیوستگی تابع، سری فوریه به یک مقدار جدا شده همگرا می شود که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارد. دیدن شفاهی آن سخت نیست: حد چپ:، حد راست: و بدیهی است که ترتیب نقطه میانی 0.5 است.

به دلیل تناوب بودن مجموع، تصویر باید در دوره های مجاور "ضرب" شود، به ویژه، همان چیزی را در فواصل و . در این مورد، در نقاط، سری فوریه به مقادیر میانه همگرا می شود.

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد.

سعی کنید این مشکل را خودتان حل کنید. نمونه تقریبی طراحی و طراحی زیبا در پایان درس.

بسط یک تابع در یک سری فوریه در یک دوره دلخواه

برای یک دوره بسط دلخواه، که در آن "el" هر عدد مثبتی است، فرمول های سری فوریه و ضرایب فوریه در استدلال سینوس و کسینوس کمی پیچیده تر متفاوت است:

اگر , سپس فرمول های بازه ای را که با آن شروع کرده ایم به دست می آوریم.

الگوریتم و اصول حل مسئله کاملاً حفظ شده است، اما پیچیدگی فنی محاسبات افزایش می یابد:

مثال 4

تابع را به یک سری فوریه بسط دهید و مجموع آن را رسم کنید.

راه حل: در واقع آنالوگ مثال شماره 3 با پارگی از نوع 1در نقطه . در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره. تابع فقط در نیمه بازه تعریف می شود، اما این چیزها را تغییر نمی دهد - مهم است که هر دو بخش تابع قابل ادغام باشند.

بیایید تابع را به یک سری فوریه گسترش دهیم:

از آنجایی که تابع در مبدأ ناپیوسته است، هر ضریب فوریه باید به صورت مجموع دو انتگرال نوشته شود:

1) من اولین انتگرال را تا حد امکان با جزئیات می نویسم:

2) با دقت به سطح ماه نگاه کنید:

انتگرال دوم را در قطعات:

بعد از اینکه ادامه راه حل را با ستاره باز کردیم به چه نکاتی باید دقت کنید؟

اول اینکه ما انتگرال اول را از دست نمی دهیم ، جایی که بلافاصله اجرا می کنیم زیر علامت دیفرانسیل قرار دادن. ثانیا، ثابت بدبخت را قبل از براکت های بزرگ فراموش نکنید و با علائم گیج نشویدهنگام استفاده از فرمول پس از همه، براکت های بزرگ، راحت تر است که بلافاصله در مرحله بعدی باز شوند.

بقیه مسائل تکنیکی است، فقط تجربه ناکافی در حل انتگرال ها می تواند مشکلاتی ایجاد کند.

بله، بیهوده نبود که همکاران برجسته ریاضیدان فرانسوی فوریه خشمگین شدند - او چگونه جرات کرد توابع را به سری های مثلثاتی تجزیه کند؟! =) به هر حال، احتمالاً همه به معنای عملی کار مورد نظر علاقه مند هستند. فوریه خودش روی یک مدل ریاضی از رسانش گرما کار کرد و متعاقباً از سری به نام او برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای دوره ای استفاده شد که ظاهراً در جهان خارج نامرئی هستند. حالا اتفاقاً خودم را به این فکر انداختم که تصادفی نیست که نمودار مثال دوم را با یک ضربان قلب دوره ای مقایسه کردم. علاقه مندان می توانند با کاربرد عملی آن آشنا شوند تبدیل فوریهاز منابع شخص ثالث ... اگر چه بهتر است این کار را نکنید - به عنوان عشق اول به یاد می ماند =)

3) با توجه به پیوندهای ضعیف مکرر ذکر شده، به ضریب سوم می پردازیم:

یکپارچه سازی توسط قطعات:

ضرایب فوریه پیدا شده را در فرمول جایگزین می کنیم ، فراموش نکنید که ضریب صفر را به نصف تقسیم کنید:

بیایید مجموع سریال را ترسیم کنیم. اجازه دهید به طور خلاصه این روش را تکرار کنیم: در بازه یک خط ایجاد می کنیم و در فاصله - یک خط. با مقدار صفر "x"، نقطه ای را در وسط "پرش" شکاف قرار می دهیم و نمودار را برای دوره های مجاور "تکرار" می کنیم:

در "اتصالات" دوره ها، مجموع نیز برابر با نقاط میانی "پرش" شکاف خواهد بود.

آماده. به شما یادآوری می کنم که خود تابع به صورت مشروط فقط در نیمه بازه تعریف می شود و بدیهی است که با مجموع سری در فواصل منطبق است.

پاسخ:

گاهی اوقات یک تابع داده شده تکه تکه نیز در دوره بسط پیوسته است. ساده ترین مثال: . راه حل (رجوع کنید به Bohan جلد 2)مانند دو مثال قبلی است: با وجود تداوم عملکرددر نقطه، هر ضریب فوریه به صورت مجموع دو انتگرال بیان می شود.

در فاصله جدایی نقاط ناپیوستگی از نوع 1و/یا نقاط "اتصال" نمودار ممکن است بیشتر باشد (دو، سه و به طور کلی هر کدام نهاییتعداد). اگر یک تابع در هر قسمت قابل ادغام باشد، در سری فوریه نیز قابل گسترش است. اما از تجربه عملی، چنین قلع را به خاطر ندارم. با این وجود، کارهای دشوارتر از آنچه در نظر گرفته شده وجود دارد، و در پایان مقاله برای همه پیوندهایی به سری فوریه با پیچیدگی افزایش یافته وجود دارد.

در این میان، بیایید آرام بگیریم، به صندلی هایمان تکیه دهیم و به وسعت بی پایان ستاره ها فکر کنیم:

مثال 5

تابع را به یک سری فوریه در بازه گسترش دهید و مجموع سری را رسم کنید.

در این وظیفه، تابع مداومدر نیمه بازه تجزیه، که راه حل را ساده می کند. همه چیز بسیار شبیه به مثال شماره 2 است. شما نمی توانید از سفینه فضایی دور شوید - باید تصمیم بگیرید =) طراحی نمونه در پایان درس، برنامه پیوست شده است.

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد

با توابع زوج و فرد، روند حل مسئله به طور قابل توجهی ساده شده است. و به همین دلیل. اجازه دهید به بسط تابع در یک سری فوریه در یک دوره "دو پی" بازگردیم. و دوره دلخواه "دو آل" .

بیایید فرض کنیم که تابع ما زوج است. اصطلاح کلی سریال همانطور که می بینید شامل کسینوس های زوج و سینوس های فرد است. و اگر تابع زوج را تجزیه کنیم، پس چرا به سینوس های فرد نیاز داریم؟! بیایید ضریب غیر ضروری را تنظیم مجدد کنیم: .

بدین ترتیب، یک تابع زوج فقط در کسینوس به یک سری فوریه تبدیل می شود:

از آنجا که انتگرال توابع زوجبیش از یک بخش از ادغام متقارن با توجه به صفر را می توان دو برابر کرد، سپس بقیه ضرایب فوریه نیز ساده می شوند.

برای طول:

برای یک فاصله دلخواه:

نمونه های کتاب درسی که تقریباً در هر کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال یافت می شود شامل بسط توابع زوج است . علاوه بر این، آنها بارها و بارها در تمرین شخصی من ملاقات کرده اند:

مثال 6

یک تابع داده شده است. ضروری:

1) تابع را به یک سری فوریه با نقطه بسط دهید، جایی که یک عدد مثبت دلخواه است.

2) بسط را روی بازه یادداشت کنید، یک تابع بسازید و مجموع کل سری را نمودار کنید.

راه حل: در پاراگراف اول پیشنهاد شده است که مشکل به صورت کلی حل شود و این بسیار راحت است! نیازی وجود خواهد داشت - فقط ارزش خود را جایگزین کنید.

1) در این مشکل، دوره گسترش، نیم دوره. در جریان اقدامات بعدی، به ویژه در هنگام ادغام، "el" یک ثابت در نظر گرفته می شود

تابع زوج است، به این معنی که به یک سری فوریه فقط در کسینوس گسترش می یابد: .

ضرایب فوریه توسط فرمول ها جستجو می شود . به مزایای مطلق آنها توجه کنید. ابتدا، ادغام در بخش مثبت توسعه انجام می شود، به این معنی که ما با خیال راحت از شر ماژول خلاص می شویم. ، فقط "x" را از دو قطعه در نظر می گیریم. و در مرحله دوم، یکپارچگی به طور قابل توجهی ساده شده است.

دو:

یکپارچه سازی توسط قطعات:

بدین ترتیب:
، در حالی که ثابت، که به "en" بستگی ندارد، از جمع خارج می شود.

پاسخ:

2) بسط را روی بازه می نویسیم، برای این مقدار مورد نظر نیم دوره را به فرمول کلی جایگزین می کنیم:

سری فوریه مثلثاتی سریال نامیده می شود

آ0 /2 + آ 1 cos ایکس + ب 1 گناه ایکس + آ 2 cos2 ایکس + ب 2 گناه 2 ایکس + ... + آکارگزاران nx + ب n گناه nx + ...

اعداد کجا هستند آ0 , آ 1 , ب 1 , آ 2 , ب 2 , ..., آ n ب n،... - ضرایب فوریه.

نمادی مختصرتر از سری فوریه با نماد "سیگما":

همانطور که اخیراً بر خلاف سری قدرت، در سری فوریه به جای ساده ترین توابع ایجاد کردیم توابع مثلثاتی گرفته شده است

1/2 cos ایکس، گناه ایکس، cos2 ایکس، گناه2 ایکس، ...، cos nx، گناه nx, ... .

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

تمام توابع فوق در سری فوریه توابع تناوبی با دوره 2 هستند π . هر جمله از سری فوریه مثلثاتی یک تابع تناوبی است با دوره 2 π .

بنابراین، هر مجموع جزئی سری فوریه دارای دوره 2 است π . نتیجه می شود که اگر سری فوریه روی بخش [- π , π ]، سپس روی کل خط واقعی همگرا می شود و مجموع آن، که حد دنباله ای از مجموع جزئی تناوبی است، یک تابع تناوبی با دوره 2 است. π .

همگرایی سری فوریه و مجموع سری

اجازه دهید تابع اف(ایکس) روی کل خط اعداد و دوره ای با نقطه 2 تعریف شده است π ، ادامه دوره ای تابع است f(ایکس) ، اگر در بخش [- π , π ] رخ می دهد اف(ایکس) = f(ایکس)

اگر در بازه [- π , π ] سری فوریه به تابع همگرا می شود f(ایکس) ، سپس روی خط اعداد کامل به ادامه تناوبی خود همگرا می شود.

پاسخ به این سوال که در چه شرایطی سری فوریه تابع f(ایکس) به این تابع همگرا می شود، با قضیه زیر به دست می آید.

قضیه.اجازه دهید تابع f(ایکس) و مشتق آن f"(ایکس) - پیوسته در بخش [- π , π ] یا تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی از نوع اول روی آن باشد. سپس سری فوریه تابع f(ایکس) در کل خط اعداد و در هر نقطه همگرا می شود ایکسمتعلق به بازه [- π , π ] ، که در آن f(ایکس) پیوسته است، مجموع سری است f(ایکس) و در هر نقطه ایکس0 ناپیوستگی تابع، مجموع سری برابر است با میانگین حسابی حدود تابع f(ایکس) راست و چپ:

جایی که و .

در انتهای بخش [- π , π ] مجموع سری برابر است با میانگین حسابی مقادیر تابع در منتهی الیه سمت چپ و منتهی الیه سمت راست دوره بسط:

در هر نقطه ایکسمتعلق به بازه [- π , π ] ، مجموع سری فوریه برابر است با اف(ایکس) ، اگر ایکس- نقطه تداوم اف(ایکس) ، و برابر است با میانگین حسابی حدود اف(ایکس) چپ و راست:

اگر ایکس- نقطه شکست اف(ایکس) ، جایی که اف(ایکس) - ادامه دوره ای f(ایکس) .

مثال 1تابع دوره ای f(ایکس) با دوره 2 π به صورت زیر تعریف شده است:

نوشتن این تابع به صورت ساده تر است f(ایکس) = |ایکس| . تابع را به یک سری فوریه بسط دهید، همگرایی سری و مجموع سری را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید ضرایب فوریه این تابع را تعریف کنیم:

اکنون همه چیز برای دریافت سری فوریه این تابع داریم:

این سری در همه نقاط همگرا می شود و مجموع آن برابر تابع داده شده است.

مشکل سری فوریه را خودتان حل کنید و سپس راه حل را ببینید

سری فوریه برای توابع زوج و فرد

اجازه دهید تابع f(ایکس) در بخش [- تعریف شده است π , π ] و زوج است، i.e. f(- ایکس) = f(ایکس) . سپس ضرایب آن بnبرابر با صفر هستند. و برای ضرایب آnفرمول های زیر صحیح هستند:

حالا تابع را بگذارید f(ایکس) تعریف شده در بخش [- π , π ]، عجیب و غریب، یعنی. f(ایکس) = -ف(- ایکس) . سپس ضرایب فوریه آnبرابر با صفر هستند و ضرایب بnبا فرمول تعیین می شود

همانطور که از فرمول های بالا مشخص است، اگر تابع f(ایکس) زوج است، پس سری فوریه فقط دارای کسینوس و اگر فرد باشد، فقط سینوس دارد.

مثال 3

راه حل. این یک تابع فرد است، بنابراین ضرایب فوریه آن، و برای پیدا کردن، باید یک انتگرال معین را محاسبه کنید:

این برابری برای هر کسی صادق است. در نقاط، مجموع سری فوریه، طبق قضیه داده شده در پاراگراف دوم، با مقادیر تابع منطبق نیست، بلکه برابر است با . خارج از بخش، مجموع سری ادامه متناوب تابع است، نمودار آن در بالا به عنوان تصویری از مجموع سری ارائه شد.

مثال 4تابع را در یک سری فوریه بسط دهید.

راه حل. این یک تابع زوج است، بنابراین ضرایب فوریه آن، و برای پیدا کردن، باید انتگرال های خاصی را محاسبه کنید:

سری فوریه این تابع را دریافت می کنیم:

این برابری برای هر یک معتبر است، زیرا در نقاط مجموع سری فوریه در این مورد با مقادیر تابع منطبق است، زیرا .

سری فوریه با توجه به هر سیستم متعامد توابع

دنباله توابع پیوسته در بازه [ آ,ب]، نامیده میشود سیستم متعامد توابع در بازه[آ,ب]، اگر همه توابع دنباله به صورت زوجی متعامد در این بخش باشند، به عنوان مثال، اگر

این سیستم متعامد نامیده می شود و در بازه نرمال شده (متعامد)

در صورت تحقق شرط

بگذار حالا f(ایکس) - هر تابع پیوسته در بازه [ آ,ب]. نزدیک فوریهچنین عملکردی f(ایکس) در بخش [ آ,ب] توسط سیستم متعامدردیف نامیده می شود:

که ضرایب آن با برابری تعیین می شود:

N=1،2،...

اگر یک سیستم متعامد از توابع در بازه [ آ,ب] متعارف است، پس در این مورد

جایی که n=1,2,...

بگذار حالا f(ایکس) هر تابعی است که پیوسته است یا دارای تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی از نوع اول در قطعه [ آ,ب]. نزدیک فوریه چنین تابعی f(ایکس) در همان بخش

با توجه به سیستم متعامد، سری نامیده می شود:

اگر سری فوریه تابع f(ایکس) طبق سیستم (1) به تابع همگرا می شود f(ایکس) در هر یک از نقاط تداوم آن متعلق به بخش [ آ,ب]. در این مورد می گویند f(ایکس) در بخش [ آ,ب] از نظر سیستم متعامد به یک سری گسترش می یابد (1).

فرم پیچیده سری فوریه

این عبارت شکل پیچیده سری فوریه تابع نامیده می شود f(ایکس) اگر با برابری تعریف شود

،جایی که

انتقال از سری فوریه به شکل پیچیده به سری به صورت واقعی و بالعکس با استفاده از فرمول ها انجام می شود:

(n=1,2, . . .)

مشکل ارتعاش رشته

بگذارید یک رشته از طول در حالت تعادل کشیده شود لملاقات x= 0 و ایکس=ل. فرض کنید که رشته از حالت تعادل خارج شده و آزادانه نوسان می کند. ما ارتعاشات کوچک ریسمان را که در صفحه عمودی رخ می دهد در نظر خواهیم گرفت.

تحت فرضیات بالا، می توان نشان داد که تابع تو(x، t) مشخص کردن موقعیت رشته در هر لحظه از زمان تی،معادله را برآورده می کند

(1) که a یک عدد مثبت است.

وظیفه ما یافتن تابع است تو(x، t) که نمودار آن شکل رشته را در هر زمان مشخص می کند تی، به عنوان مثال، یک راه حل برای معادله (1) در مرز پیدا کنید:

و شرایط اولیه:

ابتدا، ما به دنبال راه حل هایی برای معادله (1) خواهیم بود که شرایط مرزی (2) را برآورده کند. دیدن آن آسان است تو(ایکس,تی) 0 راه حلی برای معادله (1) است که شرایط مرزی (2) را برآورده می کند. ما به دنبال راه‌حل‌هایی می‌گردیم که به طور یکسان برابر با 0 نیستند و به‌عنوان یک محصول قابل نمایش هستند تو(x، t)=ایکس(ایکس)تی(تی، (4) ، جایی که ، .

با جایگزینی عبارت (4) به معادله (1) به دست می آید:

که وظیفه ما به یافتن راه حل برای معادلات کاهش می یابد:

با استفاده از این شرایط ایکس(0)=0, ایکس(ل)=0 با بررسی همه موارد ثابت می کنیم که عددی منفی است.

الف) اجازه دهید سپس ایکس”=0 و جواب کلی آن به صورت زیر نوشته می شود:

از کجا و، که غیرممکن است، زیرا ما راه حل هایی را در نظر می گیریم که به طور یکسان ناپدید نمی شوند.

ب) اجازه دهید. سپس معادله را حل کنید

دریافت می کنیم، و با تابعیت، آن را می یابیم

ج) اگر پس

معادلات ریشه دارند:

جایی که - ثابت های دلخواه از شرایط اولیه در می یابیم:

از کجا، یعنی

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

با توجه به این، می توانیم بنویسیم:

(N=1،2،...).

و بنابراین

, (n=1,2,...),

اما از آنجایی که A و B برای مقادیر مختلف n متفاوت هستند، داریم

, (n=1,2,...),

که و هستند ثابت های دلخواه، که سعی خواهیم کرد به گونه ای تعیین کنیم که سری معادله (1)، شرایط مرزی (2) و شرایط اولیه (3) را برآورده کند.

بنابراین بیایید یک تابع اختصاص دهیم تو(x، t) به شرایط اولیه، یعنی انتخاب می کنیم و به طوری که شرایط

این برابری ها، به ترتیب، بسط توابع و به بخش هایی در یک سری فوریه بر حسب سینوس هستند. (به این معنی که ضرایب برای توابع فرد محاسبه می شود). بنابراین، راه حل ارتعاش یک ریسمان با شرایط مرزی و اولیه با فرمول داده شده است

(n=1,2,...)