شکل یک نمودار از تابع را نشان می دهد و نقاط با علامت 7 3. مشتق تابع

وظایف جدید ظاهر شده است. بیایید راه حل آنها را بررسی کنیم.

نمونه اولیه وظیفه B8 (شماره 317543)

در شکل نمودار تابع y=f(x) و نقاط -2، -1، 1، 2 مشخص شده است.مقدار مشتق در کدام یک از این نقاط بیشتر است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

همانطور که می دانیم به آن می گویند

حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند:

مشتق در یک نقطه نشان می دهد نرخ تغییر عملکرددر این نقطه هر چه تابع سریعتر تغییر کند، یعنی هر چه افزایش تابع بیشتر باشد، زاویه تمایل مماس بیشتر می شود. از آنجایی که مسئله مستلزم تعیین نقطه ای است که در آن مقدار مشتق بیشترین است، نقاط با ابسیساهای -1 و 1 را از بررسی حذف می کنیم - در این نقاط تابع کاهش می یابد و مشتق در آنها منفی است.

این تابع در نقاط -2 و 2 افزایش می یابد. با این حال، در آنها به روش های مختلف افزایش می یابد - در نقطه -2 نمودار تابع تندتر از نقطه 2 افزایش می یابد، و بنابراین افزایش تابع در این نقطه، و بنابراین، مشتق، بیشتر است.

پاسخ: -2

و یک کار مشابه:

نمونه اولیه وظیفه B8 (شماره 317544)

در شکل نموداری از تابع نشان داده شده و نقاط -2، -1، 1، 4 مشخص شده است. مشتق در کدام یک از این نقاط کوچکترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

راه حل این مشکل مشابه راه حل قبلی است "دقیقا برعکس"

ما علاقه مند به نقطه ای هستیم که مشتق کوچکترین مقدار خود را می گیرد، یعنی ما به دنبال نقطه ای هستیم که در آن تابع سریع ترین کاهش می یابد - در نمودار این نقطه ای است که شیب دارترین "نزول" در آن رخ می دهد. این نقطه ابسیسا 4 است.

دوستان عزیز! گروه وظایف مربوط به مشتق شامل وظایف است - شرط یک نمودار از یک تابع، چندین نقطه در این نمودار را نشان می دهد و سؤال این است:

مشتق بزرگترین (کوچکترین) در کدام نقطه است؟

به طور خلاصه تکرار می کنیم:

مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس عبور از آناین نقطه در نمودار

Uضریب سراسری مماس به نوبه خود برابر با مماس زاویه میل این مماس است.

*این به زاویه بین مماس و محور x اشاره دارد.

1. در فواصل افزایش تابع، مشتق دارای مقدار مثبت است.

2. در فواصل کاهش آن، مشتق ارزش منفی دارد.

طرح زیر را در نظر بگیرید:

در نقاط 1،2،4، مشتق تابع دارای مقدار منفی است، زیرا این نقاط به فواصل کاهشی تعلق دارند.

در نقاط 3،5،6، مشتق تابع دارای ارزش مثبت است، زیرا این نقاط به فواصل افزایشی تعلق دارند.

همانطور که می بینید، همه چیز با معنای مشتق مشخص است، یعنی تعیین اینکه چه علامتی (مثبت یا منفی) در نقطه خاصی از نمودار دارد اصلاً دشوار نیست.

علاوه بر این، اگر به صورت ذهنی در این نقاط مماس بسازیم، خواهیم دید که خطوط مستقیمی که از نقاط 3، 5 و 6 می گذرند، زاویه هایی با محور oX در محدوده 0 تا 90 o تشکیل می دهند و خطوط مستقیمی که از نقاط 1، 2 و 4 عبور می کنند، تشکیل می دهند. با محور oX زاویه ها از 90 o تا 180 درجه متغیر است.

*رابطه واضح است: مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع افزایشی می گذرند، زوایای حاد را با محور oX تشکیل می دهند، مماس هایی که از نقاطی که به فواصل توابع کاهشی می گذرند، زوایای مبهمی را با محور oX تشکیل می دهند.

حالا سوال مهم!

ارزش مشتق چگونه تغییر می کند؟ به هر حال، مماس در نقاط مختلف نمودار یک تابع پیوسته، بسته به اینکه از کدام نقطه نمودار عبور کند، زوایای مختلفی را تشکیل می دهد.

*یا به زبان ساده، مماس بیشتر به صورت «افقی» یا «عمودی» قرار دارد. نگاه کن:

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 0 تا 90 o تشکیل می دهند

خطوط مستقیم زاویه هایی را با محور oX از 90 درجه تا 180 درجه تشکیل می دهند.

بنابراین، اگر سوالی دارید:

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق کمترین مقدار را دارد؟

- در کدام یک از نقاط داده شده در نمودار، مشتق بیشترین مقدار را دارد؟

سپس برای پاسخ باید فهمید که چگونه مقدار مماس زاویه مماس در محدوده 0 تا 180 درجه تغییر می کند.

*همانطور که قبلا ذکر شد، مقدار مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه میل مماس بر محور oX.

مقدار مماس به صورت زیر تغییر می کند:

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 0 درجه به 90 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس از 0 به +∞ تغییر می کند.

هنگامی که زاویه شیب خط مستقیم از 90 درجه به 180 درجه تغییر می کند، مقدار مماس، و بنابراین مشتق، بر این اساس -∞ به 0 تغییر می کند.

این را می توان به وضوح از نمودار تابع مماس مشاهده کرد:

به زبان ساده:

در زاویه شیب مماس از 0 تا 90 درجه

هرچه به 0 o نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت مثبت) بیشتر خواهد بود.

هر چه زاویه به 90 درجه نزدیکتر باشد، مقدار مشتق بیشتر به سمت +∞ افزایش می یابد.

با زاویه شیب مماس از 90 درجه تا 180 درجه

هرچه به 90 o نزدیک‌تر باشد، مقدار مشتق به سمت –∞ کاهش می‌یابد.

هر چه زاویه به 180 درجه نزدیکتر باشد، مقدار مشتق نزدیک به صفر (در سمت منفی) بیشتر خواهد بود.

317543. شکل نموداری از تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 2. مشتق در کدام یک از این نقاط بیشترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به بازه هایی هستند که تابع در آنها کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 1 هستند) و دو تای آنها به بازه هایی که تابع در آنها افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 2 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 1 مشتق دارای ارزش منفی و در نقاط -2 و 2 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -2 و 2 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها بیشترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا بیشتر از مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم b و این محور خواهد بود. این به این معنی است که مقدار مشتق در نقطه -2 بزرگترین خواهد بود.

بیایید به سوال زیر پاسخ دهیم: در کدام نقطه -2، -1، 1 یا 2 مقدار مشتق منفی ترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

مشتق در نقاطی که به فواصل کاهشی تعلق دارند مقدار منفی خواهد داشت، بنابراین اجازه دهید نقاط -2 و 1 را در نظر بگیریم.

می بینیم که زاویه منفرد بین خط مستقیم b و محور oX "نزدیک تر" به 180 است. O بنابراین مماس آن بیشتر از مماس زاویه تشکیل شده توسط خط مستقیم a و محور oX خواهد بود.

بنابراین، در نقطه x = 1، مقدار مشتق بزرگترین منفی خواهد بود.

317544. شکل نمودار تابع y = را نشان می دهد f(ایکس) و نقاط مشخص شده اند–2، –1، 1، 4. مشتق در کدام یک از این نقاط کوچکترین است؟ لطفا این نکته را در پاسخ خود ذکر کنید.

ما چهار نقطه داریم: دو تای آنها مربوط به فواصل زمانی است که تابع کاهش می یابد (اینها نقاط -1 و 4 هستند) و دو نقطه به فواصل زمانی که تابع افزایش می یابد (اینها نقاط -2 و 1 هستند).

بلافاصله می توانیم نتیجه بگیریم که در نقاط -1 و 4 مشتق دارای ارزش منفی و در نقاط -2 و 1 دارای مقدار مثبت است. بنابراین، در این مورد، لازم است نقاط -1 و 4 را تجزیه و تحلیل کرد و مشخص کرد که کدام یک از آنها کمترین مقدار را خواهد داشت. بیایید مماس هایی بسازیم که از نقاط مشخص شده عبور می کنند:

مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم a و محور آبسیسا بیشتر از مقدار مماس زاویه بین خط مستقیم b و این محور خواهد بود. این بدان معنی است که مقدار مشتق در نقطه x = 4 کوچکترین خواهد بود.

پاسخ: 4

امیدوارم که شما را با حجم نوشته‌ها «سربار» نکرده باشم. در واقع، همه چیز بسیار ساده است، فقط باید ویژگی های مشتق، معنای هندسی آن و چگونگی تغییر مقدار مماس زاویه از 0 تا 180 درجه را درک کنید.

1. ابتدا نشانه های مشتق را در این نقاط (+ یا -) مشخص کنید و نقاط لازم را (بسته به سوال مطرح شده) انتخاب کنید.

2. در این نقاط مماس بسازید.

3. با استفاده از نمودار تانگزوئید، زوایا و نمایش را به صورت شماتیک علامت گذاری کنیداسکندر.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق می دهد که باید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. حداکثر یا حداقل امتیاز (امتیازهای افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فاصله های یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند و راه حل را بسیار آسان تر می کند. علیرغم اینکه این کار به بخش تجزیه و تحلیل ریاضی تعلق دارد، حتی ضعیف ترین دانش آموزان نیز می توانند آن را انجام دهند، زیرا در اینجا به دانش نظری عمیق نیاز نیست.

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مسئله B9 را با دقت بخوانید تا از اشتباهات احمقانه جلوگیری کنید: گاهی اوقات با متن های بسیار طولانی مواجه می شوید، اما چند شرط مهم وجود دارد که بر روند راه حل تأثیر می گذارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و برای یافتن مقدار مشتق در این نقطه لازم است، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "مناسب" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این یک نکته کلیدی در راه حل است و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ نادرست می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید افزایش تابع را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x)، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی فرموله نخواهد شد.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3 ؛ Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = −3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5 ؛ Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می‌توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع، مسئله B9 نموداری از مشتق را ارائه می دهد و نیاز به یافتن حداکثر یا حداقل نقطه تابع دارد. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. اول ، بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 حداقل نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در همسایگی این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل امتیاز از نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را دنبال کنید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، ما صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≤ 0 است.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل نقطه است. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - هیچ مورد دیگری در مشکل B9 وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم و فقط مرزها را رها کنیم [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. ما همچنین به علائم توجه می کنیم:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. اجازه دهید علائم مشتق را در نمودار حاصل یادداشت کنیم. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به بخش [-4; 3].

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که کافی است تنها بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار فقط یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی جمع آوری شده باشد، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" به طور مستقیم در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته، این ترفند با امتیازهای صحیح کار نمی کند.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، پیشنهاد می شود از نمودار مشتق برای یافتن مناطقی که خود تابع در آنها افزایش یا کاهش می یابد، استفاده شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که افزایش و کاهش چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه افزایش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک پاره کاهشی نامیده می شود که برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها مقدار آرگومان بزرگتر مربوط به مقدار تابع کوچکتر است.

اجازه دهید شرایط کافی برای افزایش و کاهش را فرموله کنیم:

1. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f’(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، ما طرحی را برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکستریموم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. علائم مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f’(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f’(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی را روی متغیر x ایجاد کند، آن‌ها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت ها را می دانیم، باقی مانده است که کمیت مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و مرزها را علامت گذاری کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس علائم مشتق را یادداشت می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. بگذارید فقط مرزها را رها کنیم [10 - ؛ 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار عدد از آنها وجود داشت: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. بیایید علائم مشتق را علامت‌گذاری کنیم و تصویر زیر را دریافت کنیم:

ما به فواصل افزایش تابع علاقه داریم، یعنی. مانند جایی که f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = - 6 - (−8) = 2 ؛
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که باید طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، مقدار l 2 = 5 را به عنوان پاسخ یادداشت می کنیم.

مشتق تابع یکی از موضوعات دشوار در برنامه درسی مدرسه است. هر فارغ التحصیل به این سؤال پاسخ نمی دهد که مشتق چیست.

این مقاله به روشی ساده و واضح توضیح می دهد که مشتق چیست و چرا به آن نیاز است.. ما اکنون برای دقت ریاضی در ارائه تلاش نخواهیم کرد. مهمترین چیز این است که معنی را درک کنید.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم:

مشتق نرخ تغییر یک تابع است.

شکل نمودارهای سه تابع را نشان می دهد. به نظر شما کدام یک سریعتر رشد می کند؟

پاسخ واضح است - سوم. بالاترین نرخ تغییر یعنی بزرگترین مشتق را دارد.

در اینجا یک مثال دیگر است.

کوستیا، گریشا و ماتوی در همان زمان شغل پیدا کردند. بیایید ببینیم درآمد آنها در طول سال چگونه تغییر کرده است:

نمودار همه چیز را به یکباره نشان می دهد، اینطور نیست؟ درآمد Kostya در شش ماه بیش از دو برابر شد. و درآمد گریشا نیز افزایش یافت، اما کمی. و درآمد Matvey به صفر کاهش یافت. شرایط شروع یکسان است، اما نرخ تغییر تابع، یعنی مشتق، - ناهمسان. در مورد ماتوی، مشتق درآمد او به طور کلی منفی است.

به طور شهودی، ما به راحتی نرخ تغییر یک تابع را تخمین می زنیم. اما چگونه این کار را انجام دهیم؟

چیزی که ما واقعاً به آن نگاه می کنیم این است که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا (یا پایین) می رود. به عبارت دیگر، با تغییر x چقدر سریع y تغییر می کند؟ بدیهی است که یک تابع در نقاط مختلف می تواند مقادیر مشتق متفاوتی داشته باشد - یعنی می تواند سریعتر یا کندتر تغییر کند.

مشتق یک تابع نشان داده می شود.

ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه آن را با استفاده از نمودار پیدا کنید.

نمودار برخی از تابع ها رسم شده است. بیایید یک نقطه را با یک آبسیسا روی آن بگیریم. اجازه دهید یک مماس بر نمودار تابع در این نقطه رسم کنیم. ما می خواهیم تخمین بزنیم که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا می رود. یک مقدار مناسب برای این است مماس زاویه مماس.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه مماس کشیده شده به نمودار تابع در این نقطه.

لطفاً توجه داشته باشید که به عنوان زاویه تمایل مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور را در نظر می گیریم.

گاهی اوقات دانش آموزان می پرسند مماس بر نمودار یک تابع چیست؟ این یک خط مستقیم است که یک نقطه مشترک با نمودار این بخش دارد و همانطور که در شکل ما نشان داده شده است. به نظر مماس بر دایره است.

بیا پیداش کنیم به یاد داریم که مماس یک زاویه تند در یک مثلث قائم الزاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور. از مثلث:

ما مشتق را با استفاده از یک نمودار بدون دانستن فرمول تابع پیدا کردیم. چنین مشکلاتی اغلب در امتحان دولتی واحد در ریاضیات زیر عدد یافت می شود.

رابطه مهم دیگری نیز وجود دارد. به یاد بیاورید که خط مستقیم با معادله داده می شود

کمیت در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور.

.

ما آن را دریافت می کنیم

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم. معنای هندسی مشتق را بیان می کند.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در آن نقطه.

به عبارت دیگر مشتق برابر با مماس زاویه مماس است.

قبلاً گفتیم که یک تابع می تواند مشتقات مختلفی در نقاط مختلف داشته باشد. بیایید ببینیم مشتق چگونه با رفتار تابع مرتبط است.

بیایید یک نمودار از یک تابع رسم کنیم. اجازه دهید این تابع در برخی مناطق افزایش و در برخی دیگر کاهش یابد و با نرخ های مختلف. و اجازه دهید این تابع حداکثر و حداقل امتیاز داشته باشد.

در یک نقطه عملکرد افزایش می یابد. یک مماس به نمودار کشیده شده در نقطه ، زاویه حاد را با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. این بدان معنی است که مشتق در نقطه مثبت است.

در نقطه ای که عملکرد ما کاهش می یابد. مماس در این نقطه یک زاویه چاق با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. از آنجایی که مماس یک زاویه منفی منفی است، مشتق در نقطه منفی است.

این چیزی است که اتفاق می افتد:

اگر تابعی در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است.

اگر کاهش یابد، مشتق آن منفی است.

در نقاط حداکثر و حداقل چه اتفاقی خواهد افتاد؟ می بینیم که در نقاط (حداکثر نقطه) و (نقطه حداقل) مماس افقی است. بنابراین مماس مماس در این نقاط صفر است و مشتق آن نیز صفر است.

نقطه - حداکثر امتیاز. در این مرحله، افزایش تابع با کاهش جایگزین می شود. در نتیجه، علامت مشتق در نقطه از "بعلاوه" به "منفی" تغییر می کند.

در نقطه - حداقل نقطه - مشتق نیز صفر است، اما علامت آن از "منهای" به "بعلاوه" تغییر می کند.

نتیجه‌گیری: با استفاده از مشتق می‌توانیم هر چیزی را که در مورد رفتار یک تابع مورد علاقه ماست، دریابیم.

اگر مشتق مثبت باشد، تابع افزایش می یابد.

اگر مشتق منفی باشد، تابع کاهش می یابد.

در حداکثر نقطه، مشتق صفر است و علامت "بعلاوه" را به "منفی" تغییر می دهد.

در حداقل نقطه ، مشتق نیز صفر است و از "منهای" به "به علاوه" تغییر می کند.

بیایید این نتیجه گیری ها را به صورت یک جدول بنویسیم:

	افزایش	حداکثر امتیاز	کاهش می دهد	حداقل امتیاز	افزایش
+	0	-	0	+

اجازه دهید دو توضیح کوچک ارائه دهیم. هنگام حل مشکلات استفاده به یکی از آنها نیاز خواهید داشت. دیگری - در سال اول ، با یک مطالعه جدی تر از کارکردها و مشتقات.

ممکن است مشتق یک تابع در نقطه ای برابر با صفر باشد، اما تابع در این نقطه نه ماکزیمم داشته باشد و نه حداقل. این به اصطلاح است :

در یک نقطه مماس بر نمودار افقی و مشتق آن صفر است. با این حال، قبل از نقطه، تابع افزایش یافته است - و بعد از نقطه به افزایش ادامه می دهد. علامت مشتق تغییر نمی کند - همانطور که بود مثبت می ماند.

همچنین اتفاق می افتد که در نقطه حداکثر یا حداقل مشتق وجود ندارد. در نمودار، این مربوط به یک شکست شدید است، زمانی که کشیدن مماس در یک نقطه مشخص غیرممکن است.

اگر تابع نه با نمودار، بلکه با فرمول داده شود، مشتق را چگونه می توان پیدا کرد؟ در این مورد اعمال می شود