استخراج فرمول های جمع در مثلثات. فرمول های مثلثاتی

من سعی نمی کنم شما را متقاعد کنم که برگه های تقلب ننویسید. نوشتن! از جمله برگه های تقلب در مثلثات. بعداً قصد دارم توضیح دهم که چرا شیت های تقلب مورد نیاز است و چرا ورق های تقلب مفید هستند. و در اینجا اطلاعاتی در مورد چگونگی یادگیری نکردن، بلکه به خاطر سپردن برخی فرمول های مثلثاتی وجود دارد. بنابراین - مثلثات بدون برگه تقلب!ما برای حفظ کردن از انجمن ها استفاده می کنیم.

1. فرمول های جمع:

کسینوس‌ها همیشه "جفت می‌آیند": کسینوس-کسینوس، سینوسی-سینوس. و یک چیز دیگر: کسینوس ها "ناکافی" هستند. "همه چیز درست نیست" برای آنها، بنابراین آنها علائم: "-" را به "+" تغییر می دهند، و بالعکس.

سینوس ها - "مخلوط": سینوس کسینوس، کسینوس.

2. فرمول های حاصل جمع و تفاوت:

کسینوس ها همیشه "جفت می آیند". با اضافه کردن دو کسینوس - "koloboks"، یک جفت کسینوس - "koloboks" به دست می آوریم. و با تفریق، قطعاً هیچ کلوبوکی دریافت نخواهیم کرد. ما چند سینوس می گیریم. همچنین با یک منهای پیش رو.

سینوس ها - "مخلوط" :

3. فرمول های تبدیل یک محصول به جمع و تفاوت.

چه زمانی جفت کسینوس می گیریم؟ وقتی کسینوس را اضافه می کنیم. از همین رو

چه زمانی چند سینوس می گیریم؟ هنگام تفریق کسینوس. از اینجا:

"اختلاط" هم هنگام جمع و هم تفریق سینوس ها به دست می آید. چه چیز جالب تر است: اضافه یا تفریق؟ درست است، تا کنید. و برای فرمول اضافه می کنند:

در فرمول اول و سوم مجموع در پرانتز آمده است. تنظیم مجدد مکان عبارات، مجموع را تغییر نمی دهد. ترتیب فقط برای فرمول دوم مهم است. اما برای اینکه گیج نشویم، برای سهولت به خاطر سپردن، در هر سه فرمول در پرانتز اول تفاوت را در نظر می گیریم.

و ثانیا - مقدار

برگه های تقلب در جیب به شما آرامش می دهد: اگر فرمول را فراموش کردید، می توانید آن را کپی کنید. و آنها به شما اعتماد به نفس می دهند: اگر در استفاده از برگه تقلب شکست خوردید، می توانید به راحتی فرمول ها را به خاطر بسپارید.

از فرمول های جمع برای بیان مقادیر توابع cos(a+b)، cos(a-b)، sin(a+b)، sin(a-b) از طریق سینوس ها و کسینوس های زوایای a و b استفاده می شود.

فرمول های جمع برای سینوس ها و کسینوس ها

قضیه: برای هر a و b برابری زیر صادق است: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. شکل زیر را در نظر بگیرید:

روی آن، نقاط Ma، M-b، M(a+b) با چرخش نقطه Mo به ترتیب توسط زوایای a، -b، و a+b به دست می آیند. از تعاریف سینوس و کسینوس، مختصات این نقاط به صورت زیر خواهد بود: Ma(cos(a)؛ sin(a))، M-b (cos(-b)، sin(-b))، M(a+ ب) (cos(a+b)؛ sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa، بنابراین مثلث های MoOM(a+b) و M-bOMa برابر هستند و متساوی الساقین هستند. این بدان معنی است که پایه های MoM(a-b) و M-bMa برابر هستند. بنابراین، (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه، به دست می آوریم:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) و cos(-a) = cos(a). بیایید برابری خود را با در نظر گرفتن این فرمول ها و مجذور مجموع و تفاوت تبدیل کنیم، سپس:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

اکنون هویت مثلثاتی اصلی را اعمال می کنیم:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

بیایید موارد مشابه را بدهیم و آنها را 2- کاهش دهیم:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

فرمول های زیر نیز معتبر هستند:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

این فرمول ها را می توان از فرمول فوق با استفاده از فرمول های کاهش و جایگزینی b با -b به دست آورد. همچنین فرمول های جمع برای مماس ها و کوتانژانت ها وجود دارد، اما آنها برای همه آرگومان ها معتبر نخواهند بود.

فرمول هایی برای اضافه کردن مماس ها و کوتانژانت ها

برای هر زاویه a،b به جز a=pi/2+pi*k، b=pi/2 +pi*n و a+b =pi/2 +pi*m، برای هر عدد صحیح k,n,m زیر فرمول درست باشد:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

برای هر زاویه a،b به جز a=pi/2+pi*k، b=pi/2 +pi*n و a-b =pi/2 +pi*m، برای هر عدد صحیح k,n,m فرمول زیر خواهد بود. معتبر:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

برای هر زاویه a،b به جز a=pi*k، b=pi*n، a+b=pi*m و برای هر اعداد صحیح k,n,m فرمول زیر معتبر خواهد بود:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

ما به گفتگوی خود در مورد فرمول های پرکاربرد در مثلثات ادامه می دهیم. مهمترین آنها فرمول های جمع هستند.

تعریف 1

فرمول های جمع به شما این امکان را می دهند که توابع تفاضل یا مجموع دو زاویه را با استفاده از توابع مثلثاتی آن زوایا بیان کنید.

برای شروع، ما لیست کاملی از فرمول های جمع را ارائه می دهیم، سپس آنها را اثبات می کنیم و چندین مثال گویا را تجزیه و تحلیل می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول های اصلی جمع در مثلثات

هشت فرمول اساسی وجود دارد: سینوس مجموع و سینوس تفاضل دو زاویه، کسینوس مجموع و تفاضل، مماس ها و کوتانژانت های مجموع و تفاضل به ترتیب. در زیر فرمولاسیون و محاسبات استاندارد آنها آمده است.

1. سینوس مجموع دو زاویه را می توان به صورت زیر بدست آورد:

ما حاصل ضرب سینوس زاویه اول و کسینوس زاویه دوم را محاسبه می کنیم.

کسینوس زاویه اول را در سینوس اول ضرب کنید.

مقادیر به دست آمده را جمع کنید.

نگارش گرافیکی فرمول به این صورت است: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. سینوس تفاوت تقریباً به همین صورت محاسبه می شود، فقط محصولات حاصل نیازی به افزودن ندارند، بلکه از یکدیگر کم می شوند. بدین ترتیب حاصل ضرب سینوس زاویه اول را با کسینوس دوم و کسینوس زاویه اول را با سینوس دوم محاسبه می کنیم و تفاوت آنها را پیدا می کنیم. فرمول به این صورت نوشته شده است: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. کسینوس مجموع. برای آن، حاصلضرب کسینوس زاویه اول را به ترتیب با کسینوس دوم و سینوس زاویه اول با سینوس دوم پیدا می کنیم و تفاوت آنها را پیدا می کنیم: cos (α + β) = cos α. · cos β - sin α · گناه β

4. کسینوس تفاضل: حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس های این زوایا را مانند قبل محاسبه کرده و جمع کنید. فرمول: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. مماس جمع. این فرمول به صورت کسری بیان می شود که صورت آن حاصل مجموع مماس های زوایای مورد نیاز و مخرج واحدی است که حاصل ضرب مماس های زوایای مورد نظر از آن کم می شود. همه چیز از نماد گرافیکی آن مشخص است: tg (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. مماس تفاوت. مقادیر تفاضل و حاصل ضرب مماس‌های این زوایا را محاسبه می‌کنیم و به روشی مشابه پیش می‌رویم. در مخرج به یک اضافه می کنیم و نه برعکس: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. کتانژانت مقدار. برای محاسبه با استفاده از این فرمول، به حاصل ضرب و مجموع کتانژانت های این زوایا نیاز داریم که به صورت زیر عمل می کنیم: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. کتانژانت تفاوت . فرمول مشابه فرمول قبلی است، اما صورت و مخرج منهای هستند، نه به اضافه c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

احتمالاً متوجه شده اید که این فرمول ها به صورت جفت مشابه هستند. با استفاده از علامت های ± (بعلاوه-منهای) و ∓ (منهای-بعلاوه)، می توانیم آنها را برای سهولت در ضبط گروه بندی کنیم:

sin (α ± β) = گناه α · cos β ± cos α · گناه β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · گناه β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ tg α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

بر این اساس، ما یک فرمول ضبط برای مجموع و تفاوت هر مقدار داریم، فقط در یک مورد به علامت بالا توجه می کنیم، در دیگری به علامت پایین.

تعریف 2

ما می‌توانیم هر زاویه α و β را بگیریم و فرمول‌های جمع کسینوس و سینوس برای آن‌ها کار می‌کنند. اگر بتوانیم مقادیر مماس و کتانژانت این زوایا را به درستی تعیین کنیم، فرمول جمع مماس و کتانژانت نیز برای آنها معتبر خواهد بود.

مانند بسیاری از مفاهیم در جبر، فرمول های جمع را می توان اثبات کرد. اولین فرمولی که ثابت خواهیم کرد فرمول کسینوس تفاوت است. سپس بقیه شواهد را می توان به راحتی از آن استنباط کرد.

بیایید مفاهیم اساسی را روشن کنیم. ما به یک دایره واحد نیاز خواهیم داشت. اگر نقطه مشخصی A را بگیریم و زوایای α و β را حول مرکز (نقطه O) بچرخانیم، درست می شود. سپس زاویه بین بردارهای O A 1 → و O A → 2 برابر است با (α - β) + 2 π · z یا 2 π - (α - β) + 2 π · z (z هر عدد صحیحی است). بردارهای حاصل زاویه ای را تشکیل می دهند که برابر با α - β یا 2 π - (α - β) است، یا ممکن است با تعداد صحیح چرخش کامل با این مقادیر متفاوت باشد. به تصویر نگاه کنید:

ما از فرمول های کاهش استفاده کردیم و به نتایج زیر رسیدیم:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

نتیجه: کسینوس زاویه بین بردارهای O A 1 → و O A 2 → برابر با کسینوس زاویه α - β است، بنابراین، cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

بیایید تعاریف سینوس و کسینوس را به یاد بیاوریم: سینوس تابعی از زاویه است، برابر با نسبت پای زاویه مقابل به هیپوتانوس، کسینوس سینوس زاویه مکمل است. بنابراین، نکات الف 1و الف 2مختصات (cos α، sin α) و (cos β، sin β) دارند.

موارد زیر را دریافت می کنیم:

O A 1 → = (cos α، sin α) و O A 2 → = (cos β، sin β)

اگر مشخص نیست به مختصات نقاطی که در ابتدا و انتهای بردارها قرار دارند نگاه کنید.

طول بردارها برابر با 1 است، زیرا ما یک دایره واحد داریم.

اکنون حاصل ضرب اسکالر بردارهای O A 1 → و O A 2 → را تحلیل می کنیم. در مختصات به صورت زیر است:

(O A 1 → ، O A 2) → = cos α · cos β + گناه α · گناه β

از اینجا می توانیم برابری را بدست آوریم:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

بنابراین، فرمول کسینوس تفاوت ثابت می شود.

حالا ما فرمول زیر را ثابت می کنیم - کسینوس مجموع. این آسان تر است زیرا می توانیم از محاسبات قبلی استفاده کنیم. بیایید نمایش α + β = α - (- β) را در نظر بگیریم. ما داریم:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

این اثبات فرمول مجموع کسینوس است. خط آخر از خاصیت سینوس و کسینوس زوایای مخالف استفاده می کند.

فرمول سینوس یک مجموع را می توان از فرمول کسینوس اختلاف بدست آورد. بیایید فرمول کاهش را برای این در نظر بگیریم:

از شکل sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). بنابراین
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = گناه α cos β + cos α sin β

و در اینجا اثبات فرمول سینوس تفاوت است:

sin (α - β) = گناه (α + (- β)) = گناه α cos (- β) + cos α sin (- β) = = گناه α cos β - cos α sin β
به استفاده از خواص سینوس و کسینوس زوایای مقابل در آخرین محاسبه توجه کنید.

در مرحله بعد به اثبات فرمول های جمع برای مماس و کوتانژانت نیاز داریم. بیایید تعاریف اصلی را به خاطر بسپاریم (مماس نسبت سینوس به کسینوس است و کوتانژانت برعکس است) و فرمول هایی را که قبلاً از قبل مشتق شده اند را در نظر بگیریم. ما ساختیمش:

t g (α + β) = گناه (α + β) cos (α + β) = گناه α cos β + cos α sin β cos α cos β - گناه α sin β

ما یک کسر مختلط داریم. در مرحله بعد، باید صورت و مخرج آن را بر cos α · cos β تقسیم کنیم، با توجه به اینکه cos α ≠ 0 و cos β ≠ 0، به دست می آوریم:
گناه α · cos β + cos α · گناه β cos α · cos β cos α · cos β - گناه α · گناه β cos α · cos β = گناه α · cos β cos α · cos β + cos α · گناه β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - گناه α · گناه β cos α · cos β

اکنون کسرها را کاهش می دهیم و فرمول زیر را بدست می آوریم: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
ما t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β دریافت کردیم. این اثبات فرمول جمع مماس است.

فرمول بعدی که ثابت خواهیم کرد مماس فرمول تفاوت است. همه چیز به وضوح در محاسبات نشان داده شده است:

tg (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

فرمول های کوتانژانت به روشی مشابه ثابت می شوند:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · گناه β sin α · cos β + cos α · گناه β = = cos α · cos β - گناه α · گناه β گناه α · گناه β گناه α · cos β + cos α · گناه β گناه α · گناه β = cos α · cos β گناه α · گناه β - 1 گناه α · cos β گناه α · گناه β + cos α · گناه β گناه α · گناه β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
به علاوه:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β