محاسبه انتگرال های دوگانه: نظریه و مثال ها. انتگرال چندگانه انتگرال های چندگانه

اجازه دهید در مورد کار اوستروگرادسکی در مورد انتگرال های چندگانه با جزئیات صحبت کنیم.

فرمول استروگرادسکی برای تبدیل انتگرال سه گانه به دوتایی که معمولاً به شکل می نویسیم.

که در آن div A واگرایی میدان بردار A است،

Аn حاصل ضرب اسکالر بردار A و بردار واحد n نرمال خارجی سطح مرزی است؛ در ادبیات ریاضی اغلب قبلاً با نام‌های گاوس و گرین همراه بود.

در واقع، در کار گاوس در مورد جاذبه کروی ها، فقط موارد بسیار خاص فرمول (1) را می توان مشاهده کرد، به عنوان مثال، P=x، Q=R=0، و غیره. در مورد جی. گرین، در کار او. در مورد تئوری الکتریسیته و در فرمول (1) اصلاً مغناطیس وجود ندارد. رابطه دیگری بین انتگرال های سه گانه و دوگانه به دست می آید، یعنی فرمول گرین برای عملگر لاپلاس، که می تواند به شکل نوشته شود.

البته با فرض فرمول (1) از (2) می توانیم

و به همین ترتیب می توان فرمول (2) را از فرمول (1) به دست آورد، اما گرین به فکر انجام این کار نبود.

جایی که در سمت چپ انتگرال بر روی حجم، و در سمت راست انتگرال بر روی سطح مرزی است، و این ها کسینوس های جهت نرمال خارجی هستند.

دست نوشته های پاریس اوستروگرادسکی با اطمینان کامل گواهی می دهند که هم کشف و هم اولین پیام قضیه انتگرال (1) متعلق به اوست. اولین بار دقیقاً همانطور که اکنون انجام می دهند، در "اثبات قضیه حساب انتگرال" که در 13 فوریه 1826 به آکادمی علوم پاریس ارائه شد، بیان شد و ثابت شد، و پس از آن دوباره در آن بخش فرمول بندی شد. "خاطرات انتشار گرما در جامدات."، که اوستروگرادسکی در 6 اوت 1827 ارائه کرد. "خاطرات" برای بررسی به فوریه و پواسون داده شد، و دومی مطمئناً آن را خوانده است، همانطور که مدخل اول نشان می دهد. صفحات هر دو قسمت نسخه خطی. البته، ایده نسبت دادن قضیه به خود، که او دو سال قبل از ارائه کار خود در مورد نظریه کشش در کار اوستروگرادسکی با آن آشنا شد، حتی به ذهن پواسون هم خطور نکرد.

در مورد رابطه بین آثار چند انتگرال اوستروگرادسکی و گرین، به یاد می آوریم که در «یادداشت در مورد نظریه گرما» فرمولی استخراج شد که فرمول خود گرین را به عنوان یک مورد بسیار خاص در بر می گیرد. نماد کوشی که اکنون غیرمعمول است، توسط استروگرادسکی در "یادداشت" تا همین اواخر این کشف مهم را از محققان پنهان می کرد. البته، گرین افتخار کشف و اولین انتشار فرمول اپراتورهای لاپلاس را در سال 1828 که نام خود را بر خود دارد، حفظ کرد.

کشف فرمولی برای تبدیل یک انتگرال سه گانه به یک انتگرال دوتایی به اوستروگرادسکی کمک کرد تا مشکل تغییر یک انتگرال n برابر را حل کند، یعنی فرمول کلی برای تبدیل انتگرال را از بیانی از نوع واگرایی بر n- استخراج کند. دامنه بعدی و انتگرال بر روی سطح S که آن را با معادله L(x,y, z,…)=0 محدود می کند. اگر به نماد قبلی پایبند باشیم، فرمول دارای فرم است

با این حال، استروگرادسکی از تصاویر هندسی و اصطلاحاتی که ما استفاده می کنیم استفاده نکرد: هندسه فضاهای چند بعدی هنوز در آن زمان وجود نداشت.

در کتاب «یادداشت حساب تغییرات انتگرال های چندگانه» دو موضوع مهم دیگر در نظریه این انتگرال ها مورد توجه قرار گرفته است. اول، استروگرادسکی فرمولی برای تغییر متغیرها در یک انتگرال چند بعدی استخراج می کند. ثانیاً، برای اولین بار او شرح کامل و دقیقی از روش محاسبه انتگرال n برابر با استفاده از n انتگرال گیری متوالی بر روی هر یک از متغیرها در محدوده مناسب ارائه می دهد. در نهایت، از فرمول های موجود در این خاطره، قاعده کلی تمایز با توجه به پارامتر یک انتگرال چند بعدی به راحتی استخراج می شود، در صورتی که نه تنها تابع انتگرال، بلکه مرز دامنه یکپارچه سازی نیز به این پارامتر بستگی دارد. قاعده نامبرده از فرمول های موجود در خاطرات به گونه ای طبیعی ناشی می شود که ریاضی دانان بعدی حتی آن را با یکی از فرمول های این خاطره شناسایی کردند.

اوستروگرادسکی کار ویژه ای را به تغییر متغیرها در انتگرال های چندگانه اختصاص داد. برای انتگرال مضاعف، اویلر قاعده مربوطه را با استفاده از تبدیل های رسمی به دست آورد، برای انتگرال سه گانه، لاگرانژ آن را مشتق کرد. با این حال، اگرچه نتیجه لاگرانژ صحیح است، استدلال او دقیق نبود: به نظر می رسید او از این واقعیت است که عناصر احجام در متغیرهای قدیمی و جدید - مختصات - با یکدیگر برابر هستند. اوستروگرادسکی در ابتدا اشتباه مشابهی را در اشتقاق قانون جایگزینی متغیرها مرتکب شد. استروگرادسکی در مقاله "در مورد تبدیل متغیرها در انتگرال های چندگانه" خطای لاگرانژ را آشکار کرد و همچنین برای اولین بار روش هندسی بصری برای تبدیل متغیرها در یک انتگرال دوگانه را ترسیم کرد که به شکل کمی دقیق تر نیز ارائه شده است. در کتابچه های راهنمای ما یعنی، هنگام جایگزینی متغیرها در انتگرال با استفاده از فرمول ها، حوزه ادغام توسط خطوط مختصات دو سیستم u=const، v=const به چهارگوش های منحنی بی نهایت کوچک تقسیم می شود. سپس انتگرال را می توان با جمع کردن عناصر آن که مربوط به یک نوار منحنی بی نهایت باریک است، به دست آورد و سپس به جمع کردن عناصر به صورت راه راه ادامه داد تا همه آنها تمام شوند. یک محاسبه ساده برای مساحتی که تا اندازه های مرتبه بالاتر کوچک را می توان به عنوان متوازی الاضلاع در نظر گرفت، عبارت Where، طوری انتخاب می شود که مساحت مثبت باشد. نتیجه فرمول شناخته شده است

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

کار دوره

رشته: ریاضیات عالی

(مبانی برنامه ریزی خطی)

با موضوع: انتگرال های چندگانه

تکمیل شده توسط: ______________

معلم:___________

تاریخ ___________________

مقطع تحصیلی _________________

امضا ________________

ورونژ 2008

1 انتگرال چندگانه

1.1 انتگرال دوگانه

1.2 انتگرال سه گانه

1.3 انتگرال های چندگانه در مختصات منحنی

1.4 کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال های چندگانه

2 انتگرال منحنی و سطحی

2.1 انتگرال های منحنی

2.2 انتگرال های سطحی

2.3 کاربردهای هندسی و فیزیکی

کتابشناسی - فهرست کتب

1 انتگرال چندگانه

1.1 انتگرال دوگانه

اجازه دهید یک منطقه بسته D را در صفحه Oxy در نظر بگیریم که با خط L محدود شده است. اجازه دهید این منطقه را با چند خط به n قسمت تقسیم کنیم.

و بیشترین فواصل مربوطه بین نقاط در هر یک از این قسمت ها با d 1, d 2, ..., d n نشان داده می شود. اجازه دهید در هر قسمت یک نقطه P i انتخاب کنیم.

اجازه دهید یک تابع z = f(x, y) در دامنه D داده شود. اجازه دهید مقادیر این تابع را در نقاط انتخاب شده با f(P 1)، f(P 2)،…، f(P n) نشان دهیم و مجموع حاصل از فرم f(P i)ΔS i را بسازیم:

, (1)

مجموع انتگرال تابع f(x,y) در دامنه D نامیده می شود.

اگر همان حد از مجموع انتگرال (1) برای وجود دارد

و که نه به روش تقسیم ناحیه D به قطعات و نه به انتخاب نقاط Pi در آنها بستگی ندارد، آن را انتگرال دوگانه تابع f(x,y) روی ناحیه D می نامند و نشان می دهند. . (2)

محاسبه انتگرال دوگانه بر روی منطقه D محدود شده توسط خطوط

x = a، x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 انتگرال سه گانه

مفهوم انتگرال سه گانه با قیاس با انتگرال دوگانه معرفی می شود.

اجازه دهید یک ناحیه خاص V در فضا داده شود که توسط یک سطح بسته S محدود شده است. اجازه دهید یک تابع پیوسته f(x,y,z) را در این ناحیه بسته تعریف کنیم. سپس ناحیه V را با در نظر گرفتن حجم هر قسمت برابر با Δv i به قسمت های دلخواه Δv i تقسیم می کنیم و مجموع انتگرالی شکل را می سازیم.

, (4)

محدود در

مجموع انتگرال (11)، مستقل از روش پارتیشن بندی دامنه V و انتخاب نقاط Pi در هر زیر دامنه این دامنه، انتگرال سه گانه تابع f(x,y,z) روی دامنه V نامیده می شود: . (5)

انتگرال سه گانه تابع f(x,y,z) در ناحیه V برابر است با انتگرال سه گانه روی همان ناحیه:

. (6)

1.3 انتگرال های چندگانه در مختصات منحنی

اجازه دهید مختصات منحنی را در صفحه معرفی کنیم که قطبی نامیده می شود. اجازه دهید نقطه O (قطب) و پرتوهای ساطع شده از آن (محور قطبی) را انتخاب کنیم.

برنج. 2 شکل 3

مختصات نقطه M (شکل 2) طول قطعه MO خواهد بود - شعاع قطبی ρ و زاویه φ بین MO و محور قطبی: M(ρ,φ). توجه داشته باشید که برای تمام نقاط صفحه، به جز قطب، ρ > 0، و زاویه قطبی φ هنگام اندازه گیری در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت و زمانی که در جهت مخالف اندازه گیری می شوند، منفی در نظر گرفته می شوند.

رابطه بین مختصات قطبی و دکارتی نقطه M را می توان با تراز کردن مبدا سیستم مختصات دکارتی با قطب، و نیم محور مثبت Ox با محور قطبی تنظیم کرد (شکل 3). سپس x=ρcosφ، y=ρsinφ. از اینجا

، tg.

اجازه دهید در ناحیه D محدود شده توسط منحنی‌های ρ=Φ 1 (φ) و ρ=Φ 2 (φ) تعریف کنیم، جایی که φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

در فضای سه بعدی مختصات استوانه ای و کروی معرفی می شود.

مختصات استوانه ای نقطه P(ρ,φ,z) مختصات قطبی ρ، φ طرح این نقطه بر روی صفحه Oxy و کاربرد این نقطه z هستند (شکل 5).

Fig.5 Fig.6

فرمول های انتقال از مختصات استوانه ای به دکارتی را می توان به صورت زیر مشخص کرد:

x = ρcosφ، y = ρsinφ، z = z. (8)

در مختصات کروی، موقعیت یک نقطه در فضا با مختصات خطی r تعیین می شود - فاصله از نقطه تا مبدأ سیستم مختصات دکارتی (یا قطب سیستم کروی)، φ - زاویه قطبی بین مثبت نیم محور Ox و طرح نقطه بر روی صفحه Ox، و θ - زاویه بین نیمه محور مثبت محور Oz و قطعه OP (شکل 6). که در آن

اجازه دهید فرمول های انتقال از کروی به مختصات دکارتی را تنظیم کنیم:

x = rsinθcosφ، y = rsinθsinφ، z = rcosθ. (9)

سپس فرمول های انتقال به مختصات استوانه ای یا کروی در انتگرال سه گانه به شکل زیر خواهد بود:

, (10)

که در آن F 1 و F 2 توابعی هستند که با جایگزین کردن عبارات آنها از طریق مختصات استوانه ای (8) یا کروی (9) در تابع f به جای x، y، z به دست می آیند.

1.4 کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال های چندگانه

1) مساحت منطقه مسطح S:

(11)

مثال 1.

مساحت شکل D که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید

محاسبه این ناحیه با شمارش y به عنوان یک متغیر خارجی راحت است. سپس مرزهای منطقه توسط معادلات داده می شود

و
محاسبه شده با استفاده از ادغام توسط قطعات:

قبلاً، ما خواص یک انتگرال معین را با استفاده از تعریف آن به عنوان حد مجموع اثبات کردیم. ویژگی های اساسی انتگرال های چندگانه را می توان دقیقاً به همین روش اثبات کرد. برای سادگی، ما همه توابع را پیوسته در نظر می گیریم، بنابراین انتگرال آنها مطمئناً منطقی است.

I. ضریب ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد و انتگرال مجموع متناهی توابع برابر است با مجموع انتگرال های عبارت:

II. اگر یک منطقه به تعداد محدودی از قطعات تجزیه شود [به عنوان مثال، به دو بخش، آنگاه انتگرال در کل منطقه برابر است با مجموع انتگرال ها در تمام قسمت ها:

III. اگر در منطقه، پس

به خصوص :

IV. اگر علامت در ناحیه (a) حفظ شود، آنگاه قضیه مقدار میانگین برقرار است که با فرمول بیان می شود

جایی که نقطه ای در داخل منطقه قرار دارد (الف).

به ویژه، زمانی که ما دریافت می کنیم

مساحت منطقه کجاست

خواص مشابهی برای انتگرال سه گانه وجود دارد. توجه داشته باشید که هنگام تعریف یک انتگرال دوتایی و سه گانه به عنوان حد یک مجموع، همیشه فرض می شود که منطقه انتگرال محدود است و تابع انتگرال در هر صورت محدود است، یعنی یک عدد مثبت A وجود دارد که اصلا نقاط N منطقه ادغام اگر این شرایط برآورده نشود، انتگرال می تواند به عنوان یک انتگرال نامناسب به همان شکلی که برای یک انتگرال معین ساده وجود داشت وجود داشته باشد. در §8 با انتگرال های چندگانه نامناسب سروکار خواهیم داشت.

احتیاط: هنگام محاسبه انتگرال های نامناسب با نقاط منفرد در داخل بازه ادغام، نمی توانید فرمول نیوتن-لایب نیتس را به صورت مکانیکی اعمال کنید، زیرا ممکن است منجر به خطا شود.

قانون کلی:اگر ضد مشتق باشد، فرمول نیوتن-لایب نیتس صحیح است f(x)در نقطه مفرد دومی پیوسته است.

مثال 2.11.

اجازه دهید یک انتگرال نامناسب با نقطه مفرد x = 0 در نظر بگیریم.

با این حال، قاعده کلی در اینجا اعمال نمی شود; برای f(x) = 1/x ضد مشتق ln |x| در x = 0 تعریف نشده است و در این نقطه بی نهایت بزرگ است، یعنی. در این مرحله پیوسته نیست به راحتی می توان با تأیید مستقیم تأیید کرد که انتگرال واگرا می شود. واقعا،

عدم قطعیت حاصل را می توان به روش های مختلفی آشکار کرد زیرا e و d به طور مستقل به صفر تمایل دارند. به طور خاص، با تنظیم e = d، مقدار اصلی انتگرال نامناسب برابر با 0 را بدست می آوریم. اگر e = 1/n، و d =1/n 2، i.e. d سریعتر از e به 0 تمایل پیدا می کند، سپس دریافت می کنیم

چه زمانی و بالعکس،

آن ها انتگرال واگرا می شود.n

مثال 2.12.

اجازه دهید یک انتگرال نامناسب با نقطه مفرد x = 0 در نظر بگیریم. ضد مشتق تابع شکل است و در نقطه x = 0 پیوسته است. بنابراین، می‌توانیم فرمول نیوتن-لایب‌نیتس را اعمال کنیم:

تعمیم طبیعی مفهوم انتگرال ریمان معین به حالت تابعی از چندین متغیر، مفهوم انتگرال چندگانه است. برای دو متغیر، این انتگرال ها نامیده می شوند دو برابر.

در فضای دو بعدی اقلیدسی در نظر بگیرید R'R، یعنی در یک هواپیما با سیستم مختصات دکارتی، یک مجموعه Eمنطقه نهایی اس.

بگذارید با ( من = 1, …, ک) تنظیم پارتیشن E، یعنی چنین سیستمی از زیر مجموعه های آن E i, i = 1,. . .، ک، که Ø برای i 1 j و (شکل 2.5). در اینجا ما زیر مجموعه را نشان می دهیم Eمن بدون مرزش، i.e. نقاط داخلی زیرمجموعه E i، که همراه با مرز آن Gr Eمن یک زیر مجموعه بسته تشکیل می دهم Eمن، . مشخص است که منطقه اس(Eط) زیر مجموعه ها Eمن با مساحت داخلی آن منطبق است، زیرا منطقه مرز GRE i برابر با صفر است.

بگذارید d(E i) نشان دهد تنظیم قطرای من، یعنی حداکثر فاصله بین دو نقطه آن. کمیت l(t) = d(E i) فراخوانی خواهد شد ظرافت پارتیشنتی اگر تابع f(x),x = (x,y) روی E به عنوان تابعی از دو آرگومان تعریف شود، هر مجموع شکل

X i О E i , i = 1, . . . ، k، x i = (x i، y i)،

بسته به تابع f و پارتیشن t و انتخاب نقاط x i О E i М t، نامیده می شود مجموع انتگرال تابع f .

اگر برای تابع f مقداری وجود داشته باشد که به پارتیشن‌های t یا انتخاب نقاط (i = 1، ...، k) بستگی نداشته باشد، این حد نامیده می‌شود. انتگرال دوگانه ریماناز f(x,y) و نشان داده می شود

خود تابع f در این حالت فراخوانی می شود ریمان قابل ادغام.

به یاد بیاورید که در مورد یک تابع با یک آرگومان به عنوان یک مجموعه Eکه در آن ادغام انجام می شود، بخش معمولاً گرفته می شود ، و پارتیشن t آن پارتیشنی متشکل از بخش ها در نظر گرفته می شود. از جنبه های دیگر، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، تعریف انتگرال دوگانه ریمان، تعریف انتگرال ریمان معین را برای تابعی از یک آرگومان تکرار می کند.

انتگرال دوگانه ریمان از توابع محدود دو متغیر دارای خواص معمول یک انتگرال معین برای توابع یک آرگومان است - خطی بودن، افزودنی بودنبا توجه به مجموعه هایی که ادغام روی آنها انجام می شود، حفظهنگام ادغام نابرابری های غیر دقیق, یکپارچگی محصولتوابع یکپارچه و غیره

محاسبه انتگرال های چندگانه ریمان به محاسبه کاهش می یابد انتگرال های تکرار شده. اجازه دهید مورد انتگرال دوگانه ریمان را در نظر بگیریم. اجازه دهید تابع f(x,y)بر روی مجموعه E که در حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های X ´Y, E M X ´Y قرار دارد، تعریف می‌شود.

توسط انتگرال مکررتابع f(x,y) انتگرالی نامیده می شود که در آن یکپارچه سازی به صورت متوالی روی متغیرهای مختلف انجام می شود. انتگرال فرم

مجموعه E(y) = (x: О E) M X نامیده می شود سطح مقطعمجموعه E مربوط به y داده شده، y О E y ; مجموعه E y نامیده می شود - طرح ریزی E را روی محور Y تنظیم کنید.

برای انتگرال تکرار شده، از نماد زیر نیز استفاده می شود:

که مانند قبلی به این معنی است که اول، برای ثابت y، y О E y،تابع یکپارچه است f(x, y)توسط ایکسدر امتداد بخش E(y) که بخشی از مجموعه است Eمربوط به این yدر نتیجه، انتگرال داخلی تابعی از یک متغیر را تعریف می کند - yاین تابع سپس به عنوان تابعی از یک متغیر، همانطور که با نماد انتگرال بیرونی نشان داده می شود، ادغام می شود.

هنگام تغییر ترتیب ادغام، یک انتگرال مکرر از فرم به دست می آوریم

جایی که ادغام داخلی انجام می شود y،و خارجی - توسط ایکس.این انتگرال تکرار شده چگونه با انتگرال تکرار شده تعریف شده در بالا ارتباط دارد؟

اگر یک انتگرال دوگانه از تابع وجود داشته باشد f، یعنی

پس هر دو انتگرال مکرر وجود دارند و از نظر قدر یکسان و برابر با دو برابر هستند، یعنی.

تاکید می کنیم که شرط فرموله شده در این بیانیه برای امکان تغییر ترتیب یکپارچگی در انتگرال های تکراری فقط کافی، اما لازم نیست.

سایر شرایط کافیامکان تغییر ترتیب ادغام در انتگرال های تکراری به شرح زیر است:

اگر حداقل یکی از انتگرال ها وجود داشته باشد

سپس تابع f(x, y)ریمان قابل ادغام در مجموعه E، هر دو انتگرال مکرر آن وجود دارد و برابر با انتگرال دوگانه است. n

اجازه دهید نماد پیش بینی ها و مقاطع را در نمادگذاری انتگرال های تکرار شده مشخص کنیم.

اگر مجموعه E مستطیل باشد

که E x = (x: a £ x £ b)، E y = (y: c £ y £ d);که در آن E(y) = E x برای هر y، y О E y. ،آ E(x) = Eyبرای هر x , x О E x ..

ورود رسمی: " y y О E yÞ E(y) = مثالÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

اگر مجموعه E داشته باشد حاشیه منحنیو اجازه نمایندگی ها را می دهد

در این حالت انتگرال های تکرار شده به صورت زیر نوشته می شوند:

مثال 2.13.

انتگرال مضاعف را روی یک ناحیه مستطیلی محاسبه کنید و آن را به تکرار کاهش دهید.

از آنجایی که شرط sin 2 (x+y) =| sin 2 (x + y)|، سپس برآورده بودن شرایط کافی برای وجود انتگرال مضاعف I در قالب وجود هر یک از انتگرال های مکرر

نیازی به انجام این کار به طور خاص نیست و می توانید بلافاصله به محاسبه انتگرال مکرر اقدام کنید

اگر وجود داشته باشد، انتگرال دوگانه نیز وجود دارد، و I = I 1. از آنجا که

پس من = .n

مثال 2.14.

انتگرال دوگانه را در ناحیه مثلثی محاسبه کنید (شکل 2.6 را ببینید) و آن را به تکرار کاهش دهید

Gr(E) = ( : x = 0، y = 0، x + y = 2).

ابتدا اجازه دهید وجود انتگرال دوگانه I را تأیید کنیم. برای این کار کافی است وجود انتگرال مکرر را تأیید کنیم.

آن ها انتگرال ها در فواصل ادغام پیوسته هستند، زیرا همه آنها تابع قدرت هستند. بنابراین، انتگرال I 1 وجود دارد. در این حالت انتگرال مضاعف نیز وجود دارد و برابر است با هر انتگرال مکرر، یعنی.

مثال 2.15.

برای درک بهتر ارتباط بین مفاهیم انتگرال مضاعف و تکراری، به مثال زیر توجه کنید، که ممکن است در اولین خواندن حذف شود. تابعی از دو متغیر f(x,y) داده شده است

توجه داشته باشید که برای x ثابت این تابع در y فرد و برای y ثابت در x فرد است. به عنوان مجموعه E که این تابع روی آن یکپارچه شده است، مربع E = ( : -1 £ x £ 1، -1 £ y £ 1).

ابتدا انتگرال تکرار شده را در نظر می گیریم

انتگرال درونی

برای ثابت y، -1 £ y £ 1 گرفته می شود. از آنجایی که انتگرال برای ثابت y در x فرد است، و ادغام روی این متغیر بر روی بخش [-1، 1]، متقارن با توجه به نقطه 0 انجام می شود، پس انتگرال داخلی برابر با 0 است. بدیهی است که انتگرال بیرونی روی متغیر y تابع صفر نیز برابر با 0 است.

استدلال مشابه برای انتگرال تکرار شده دوم منجر به همان نتیجه می شود:

بنابراین، برای تابع f(x,y) مورد بررسی، انتگرال های مکرر وجود دارند و با یکدیگر برابر هستند. با این حال، هیچ انتگرال دوگانه ای از تابع f(x,y) وجود ندارد. برای مشاهده این موضوع، اجازه دهید به معنای هندسی محاسبه انتگرال های مکرر بپردازیم.

برای محاسبه انتگرال تکرار شده

نوع خاصی از پارتیشن مربع E و همچنین محاسبه خاصی از مجموع انتگرال استفاده می شود. یعنی مربع E به نوارهای افقی تقسیم می شود (شکل 2.7 را ببینید)، و هر نوار به مستطیل های کوچک تقسیم می شود. هر نوار مربوط به مقدار مشخصی از متغیر y است. به عنوان مثال، این می تواند مختصات محور افقی نوار باشد.

محاسبه مجموع انتگرال به شرح زیر انجام می شود: ابتدا، مبالغ برای هر باند به طور جداگانه محاسبه می شود، یعنی. در y ثابت برای x های مختلف، و سپس این مجموع میانی برای باندهای مختلف جمع می شوند، یعنی. برای y های مختلف اگر ظرافت پارتیشن به صفر میل کند، در حد انتگرال مکرر فوق الذکر را بدست می آوریم.

واضح است که برای دومین انتگرال تکرار شده

مجموعه E به نوارهای عمودی مربوط به x های مختلف تقسیم می شود. مبالغ میانی در هر نوار در مستطیل های کوچک محاسبه می شود، یعنی. در امتداد y، و سپس آنها برای باندهای مختلف جمع می شوند، i.e. توسط x. در حد، زمانی که ظرافت پارتیشن به صفر میل می کند، انتگرال تکرار شده مربوطه را به دست می آوریم.

برای اثبات اینکه انتگرال مضاعف وجود ندارد، کافی است یک مثال از پارتیشنی بیاوریم، که محاسبه مجموع انتگرال آن، در حدی که ظرافت پارتیشن به سمت صفر می‌رود، نتیجه‌ای متفاوت از مقدار به دست می‌دهد. از انتگرال های مکرر اجازه دهید مثالی از چنین پارتیشنی مربوط به سیستم مختصات قطبی (r, j) ارائه دهیم (شکل 2.8 را ببینید).

در سیستم مختصات قطبی، موقعیت هر نقطه در صفحه M 0 (x 0، y 0)، که در آن x 0، y 0 مختصات دکارتی نقطه M 0 است، با طول r 0 شعاع تعیین می شود. اتصال آن به مبدأ و زاویه j 0 تشکیل شده توسط این شعاع با جهت مثبت محور x (زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود). ارتباط بین مختصات دکارتی و قطبی آشکار است:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

پارتیشن به صورت زیر ساخته شده است. ابتدا مربع E به بخش هایی با شعاع هایی که از مرکز مختصات سرچشمه می گیرند، تقسیم می شود و سپس هر بخش با خطوط عمود بر محور بخش به ذوزنقه های کوچک تقسیم می شود. محاسبه مجموع انتگرال به شرح زیر انجام می شود: ابتدا در امتداد ذوزنقه های کوچک در داخل هر بخش در امتداد محور آن (در امتداد r) و سپس در تمام بخش ها (در امتداد j). موقعیت هر بخش با زاویه محور j مشخص می شود و طول محور r(j) آن به این زاویه بستگی دارد:

اگر یا، پس؛

اگر پس از آن ؛

اگر پس از آن

اگر پس از آن .

با عبور از حد مجموع انتگرال یک پارتیشن قطبی هنگامی که ظرافت پارتیشن به صفر میل می کند، نمایشی از انتگرال دوگانه در مختصات قطبی به دست می آوریم. چنین نمادی را می توان به روشی کاملاً رسمی به دست آورد و مختصات دکارتی (x, y) را با مختصات قطبی (r, j) جایگزین کرد.

با توجه به قوانین انتقال در انتگرال ها از مختصات دکارتی به قطبی، طبق تعریف باید نوشت:

در مختصات قطبی تابع f(x,y) به صورت زیر نوشته می شود:

بالاخره داریم

انتگرال داخلی (نادرست) در آخرین فرمول

در جایی که تابع r(j) در بالا نشان داده شده است، 0 £ j £ 2p، برابر است با +¥ برای هر j، زیرا

بنابراین، انتگرال در انتگرال بیرونی که روی j ارزیابی می شود برای هیچ j تعریف نشده است. اما پس از آن خود انتگرال خارجی تعریف نمی شود، یعنی. انتگرال دوگانه اصلی تعریف نشده است.

توجه داشته باشید که تابع f(x,y) شرط کافی برای وجود یک انتگرال دوگانه بر روی مجموعه E را برآورده نمی کند. اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال

وجود ندارد. واقعا،

به طور مشابه، همان نتیجه برای انتگرال ایجاد می شود

مفهوم انتگرال دوگانه

یک انتگرال دوگانه (DI) تعمیم یک انتگرال معین (DI) یک تابع از یک متغیر به حالت تابعی از دو متغیر است.

اجازه دهید یک تابع غیر منفی پیوسته $z=f\left(x,y\right)$ در دامنه بسته $D$ واقع در صفحه مختصات $xOy$ تعریف شود. تابع $z=f\left(x,y\right)$ سطح خاصی را توصیف می کند که در دامنه $D$ نمایش داده می شود. منطقه $D$ توسط یک خط بسته $L$ محدود می شود که نقاط مرزی آن نیز به منطقه $D$ تعلق دارد. ما فرض می کنیم که خط $L$ توسط تعداد محدودی از منحنی های پیوسته تشکیل شده است که توسط معادلات به شکل $y=\vartheta \left(x\right)$ یا $x=\psi \left(y\right)$ تعریف شده است. .

اجازه دهید منطقه $D$ را به $n$ بخش دلخواه منطقه $\Delta S_(i) $ تقسیم کنیم. در هر یک از بخش ها یک نقطه دلخواه را انتخاب می کنیم $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. در هر یک از این نقاط، مقدار تابع داده شده $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ را محاسبه می کنیم. بیایید حجم زیر آن قسمت از سطح $z=f\left(x,y\right)$ را در نظر بگیریم که در ناحیه $\Delta S_(i) $ پیش بینی می شود. از نظر هندسی، این حجم را می توان تقریباً به عنوان حجم یک استوانه با پایه $\Delta S_(i) $ و ارتفاع $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ نشان داد. ، یعنی برابر با حاصل ضرب $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. سپس حجم زیر کل سطح $z=f\left(x,y\right)$ در ناحیه $D$ را می توان تقریباً به عنوان مجموع حجم تمام استوانه ها محاسبه کرد $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. این مجموع، مجموع انتگرال تابع $f\left(x,y\right)$ در دامنه $D$ نامیده می شود.

اجازه دهید قطر $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ یک بخش $\Delta S_(i) $ را بزرگترین فاصله بین نقاط انتهایی این بخش بنامیم. اجازه دهید $\lambda $ بزرگترین قطر تمام بخش ها از منطقه $D$ را نشان دهد. اجازه دهید $\lambda \به 0$ به دلیل اصلاح نامحدود $n\to \infty $ در پارتیشن بندی دامنه $D$.

تعریف

اگر حدی از مجموع انتگرال $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ وجود داشته باشد، این عدد CI تابع $f\left(x,y\) نامیده می شود. سمت راست)$ روی دامنه $D $ و نشان دهنده $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ یا $I=\iint \limits _(D)f\ چپ (x,y\right) \cdot dx\cdot dy $.

در این حالت، منطقه $D$ منطقه ادغام نامیده می شود، $x$ و $y$ متغیرهای ادغام هستند و $dS=dx\cdot dy$ عنصر ناحیه است.

از تعریف، معنای هندسی DI آمده است: مقدار دقیق حجم یک استوانه منحنی خاص را نشان می دهد.

کاربرد انتگرال های دوگانه

حجم بدن

مطابق با معنای هندسی DI، حجم $V$ یک جسم محدود شده در بالا با سطح $z=f\left(x,y\right)\ge 0$، در زیر توسط ناحیه $D$ در صفحه محدود شده است. $xOy$، در طرفین توسط یک سطح استوانه‌ای، که مولدهای آن موازی با محور $Oz$ هستند و راهنما خطوط منطقه $D$ (خط $L$) است، با فرمول $ محاسبه می‌شود. V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

اجازه دهید بدن سطح $z=f_(2) \left(x,y\right)$ را از بالا و سطح $z=f_(1) \left(x,y\right)$ را از پایین محدود کند، و $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. برآمدگی هر دو سطح بر روی صفحه $xOy$ همان ناحیه $D$ است. سپس حجم چنین جسمی با استفاده از فرمول $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) محاسبه می شود. \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

فرض کنید در دامنه $D$ تابع $f\left(x,y\right)$ علامت تغییر می دهد. سپس، برای محاسبه حجم بدنه مربوطه، ناحیه $D$ باید به دو قسمت تقسیم شود: قسمت $D_(1) $، که در آن $f\left(x,y\right)\ge 0$ و قسمت $D_(2) $، که $f\left(x,y\right)\le 0$. در این حالت، انتگرال روی ناحیه $D_(1) $ مثبت و برابر با حجم بخشی از بدن است که بالای صفحه $xOy$ قرار دارد. انتگرال روی ناحیه $D_(2) $ منفی و در مقدار مطلق برابر با حجم قسمتی از بدن است که زیر صفحه $xOy$ قرار دارد.

مساحت یک شکل صاف

اگر $f\left(x,y\right)\equiv 1$ را در همه جای منطقه $D$ روی صفحه مختصات $xOy$ قرار دهیم، آنگاه CI از نظر عددی برابر با مساحت منطقه ادغام $D است. $، یعنی $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. در سیستم مختصات قطبی، همان فرمول به شکل $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $ است.

مساحت یک سطح دلخواه

اجازه دهید مقداری از سطح $Q$ که با معادله $z=f_(1) \left(x,y\right)$ به دست می‌آید، روی صفحه مختصات $xOy$ در دامنه $D_(1)$ پیش‌بینی شود. در این مورد، مساحت سطح $Q$ را می توان با استفاده از فرمول $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) محاسبه کرد. \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

مقدار ماده

فرض کنید در ناحیه $D$ مقداری ماده با چگالی سطح $\rho \left(x,y\right)$ روی صفحه $xOy$ توزیع شده است. این بدان معنی است که چگالی سطح $\rho \left(x,y\right)$ جرم ماده در هر ناحیه ابتدایی $dx\cdot dy$ ناحیه $D$ است. در این شرایط، جرم کل ماده را می توان با استفاده از فرمول $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ محاسبه کرد.

توجه داشته باشید که "ماده" می تواند یک بار الکتریکی، گرما و غیره باشد.

مختصات مرکز جرم یک شکل صاف

فرمول های محاسبه مقادیر مختصات مرکز جرم یک شکل صاف به شرح زیر است: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.

کمیت‌های موجود در شمارنده‌ها، لحظه‌های ثابت $M_(y) $ و $M_(x) $ شکل صفحه $D$ به ترتیب در مورد محورهای $Oy$ و $Ox$ نامیده می‌شوند.

اگر شکل مسطح همگن باشد، یعنی $\rho =const$، این فرمول ها ساده می شوند و نه از طریق جرم، بلکه از طریق مساحت شکل مسطح $S$ بیان می شوند: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D)x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) دلار.

لحظه های اینرسی مساحت یک شکل صفحه

اجازه دهید یک شکل مادی مسطح را در صفحه $xOy$ در نظر بگیریم. اجازه دهید آن را به عنوان یک منطقه معین $D$ تصور کنیم، که یک ماده با جرم کل $M$ با چگالی سطح متغیر $\rho \left(x,y\right)$ روی آن توزیع شده است.

مقدار ممان اینرسی مساحت یک شکل صاف نسبت به محور $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. مقدار ممان اینرسی در مورد محور $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. ممان اینرسی یک شکل صاف نسبت به مبدا برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی نسبت به محورهای مختصات، یعنی $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.

انتگرال های سه گانه برای توابع سه متغیر معرفی شده اند.

اجازه دهید فرض کنیم که ناحیه خاصی $V$ از فضای سه بعدی داده شده است که توسط یک سطح بسته $S$ محدود شده است. ما فرض می کنیم که نقاطی که روی سطح قرار دارند نیز به منطقه $V$ تعلق دارند. فرض کنید که مقداری تابع پیوسته $f\left(x,y,z\right)$ در دامنه $V$ داده شده است. به عنوان مثال، چنین تابعی با ارائه $f\left(x,y,z\right)\ge 0$، می تواند چگالی توزیع حجمی یک ماده، توزیع دما و غیره باشد.

اجازه دهید منطقه $V$ را به $n$ قسمت دلخواه تقسیم کنیم که حجم آن $\Delta V_(i) $ است. در هر قسمت یک نقطه دلخواه را انتخاب می کنیم $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. در هر یک از این نقاط، مقدار تابع داده شده $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ را محاسبه می کنیم.

اجازه دهید مجموع انتگرال $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot را تشکیل دهیم \Delta V_ (i) $ و ما به طور نامحدود $\left(n\to \infty \right)$ تقسیم ناحیه $V$ را اصلاح می کنیم تا بزرگترین قطر $\lambda $ همه قسمت ها $\Delta V_(i) $ به طور نامحدود $ \left(\lambda \به 0\right)$ کاهش می یابد.

تعریف

تحت شرایط فوق، حد $I$ این مجموع انتگرال وجود دارد، انتگرال سه گانه تابع $f\left(x,y,z\right)$ روی دامنه $V$ نامیده می شود و $I\ نشان داده می شود. ; =\; \iiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ یا $I\; =\; \iiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.