درس و ارائه با موضوع: "دایره عددی: تعریف، ظاهر کلی، طول. دایره واحد"

26.11.202327.05.2017

در این مقاله با جزئیات زیادی تعریف دایره اعداد را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، ویژگی اصلی آن را دریابیم و اعداد 1،2،3 و غیره را مرتب کنیم. درباره نحوه علامت گذاری اعداد دیگر روی دایره (به عنوان مثال، \(\frac(π)(2)، \frac(π)(3)، \frac(7π)(4)، 10π، -\frac(29π) (6)\)) می فهمد.

دایره اعداد دایره ای با شعاع واحد نامیده می شود که نقاط آن مطابقت دارند ، بر اساس قوانین زیر تنظیم شده است:

1) مبدأ در منتهی الیه سمت راست دایره است.

2) خلاف جهت عقربه های ساعت - جهت مثبت. جهت عقربه های ساعت - منفی؛

3) اگر فاصله \(t\) روی دایره را در جهت مثبت رسم کنیم، به نقطه ای با مقدار \(t\) می رسیم.

4) اگر فاصله \(t\) را روی دایره در جهت منفی رسم کنیم، به نقطه ای با مقدار \(–t\) خواهیم رسید.

چرا دایره را دایره عددی می نامند؟
چون اعداد روی آن است. به این ترتیب، دایره شبیه به محور اعداد است - روی دایره، مانند محور، یک نقطه خاص برای هر عدد وجود دارد.

چرا می دانیم دایره عددی چیست؟
با استفاده از دایره اعداد، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تعیین می شود. بنابراین، برای دانستن مثلثات و قبولی در آزمون یکپارچه دولتی با 60 امتیاز، باید بدانید که دایره اعداد چیست و چگونه روی آن نقطه قرار دهید.

کلمات "...از واحد شعاع..." در تعریف به چه معناست؟
یعنی شعاع این دایره برابر با \(1\) است. و اگر چنین دایره‌ای را با مرکز در مبدا بسازیم، آنگاه با محورهای نقاط \(1\) و \(-1\) تلاقی می‌کند.

لازم نیست کوچک ترسیم شود، می توانید "اندازه" تقسیمات را در امتداد محورها تغییر دهید، سپس تصویر بزرگتر می شود (پایین را ببینید).

چرا شعاع دقیقا یک است؟ این راحت تر است، زیرا در این مورد، هنگام محاسبه محیط با استفاده از فرمول \(l=2πR\)، به دست می آوریم:

طول دایره عددی \(2π\) یا تقریباً \(6.28\) است.

"...نقاط آن با اعداد واقعی مطابقت دارد" به چه معناست؟
همانطور که در بالا گفتیم، روی دایره اعداد برای هر عدد واقعی قطعا "مکان" آن وجود خواهد داشت - نقطه ای که با این عدد مطابقت دارد.

چرا مبدا و جهت را روی دایره اعداد تعیین کنیم؟
هدف اصلی دایره اعداد این است که به طور منحصر به فرد نقطه آن را برای هر عدد تعیین کند. اما اگر نمی دانید از کجا بشمارید و کجا حرکت کنید، چگونه می توانید تعیین کنید که نقطه را کجا قرار دهید؟

در اینجا مهم است که مبدا را در خط مختصات و دایره اعداد اشتباه نگیریم - اینها دو سیستم مرجع متفاوت هستند! و همچنین \(1\) را در محور \(x\) و \(0\) را در دایره اشتباه نگیرید - اینها نقاط روی اشیاء مختلف هستند.

کدام نقاط با اعداد \(1\)، \(2\) و غیره مطابقت دارند؟

به یاد داشته باشید، ما فرض کردیم که دایره عددی دارای شعاع \(1\) است؟ این قطعه واحد ما خواهد بود (بر اساس قیاس با محور عدد)، که ما آن را روی دایره رسم می کنیم.

برای علامت گذاری یک نقطه روی دایره عددی مربوط به عدد 1، باید از 0 به فاصله ای برابر با شعاع در جهت مثبت بروید.

برای علامت گذاری نقطه ای بر روی دایره مربوط به عدد \(2\) باید مسافتی معادل دو شعاع از مبدا طی کنید، به طوری که \(3\) فاصله ای برابر با سه شعاع و غیره باشد.

وقتی به این تصویر نگاه می کنید، ممکن است 2 سوال داشته باشید:
1. وقتی دایره «پایان می‌یابد» (یعنی یک انقلاب کامل انجام می‌دهیم) چه اتفاقی می‌افتد؟
پاسخ: بریم دور دوم! و وقتی دومی تمام شد، به سراغ سومی می رویم و به همین ترتیب. بنابراین، تعداد نامتناهی از اعداد را می توان بر روی یک دایره رسم کرد.

2. اعداد منفی کجا خواهند بود؟
پاسخ: همان جا! آنها همچنین می توانند مرتب شوند و تعداد شعاع های مورد نیاز را از صفر بشمارند، اما اکنون در جهت منفی هستند.

متأسفانه، نشان دادن اعداد صحیح روی دایره اعداد دشوار است. این به این دلیل است که طول دایره عددی برابر با یک عدد صحیح نخواهد بود: \(2π\). و در راحت ترین مکان ها (در نقاط تقاطع با محورها) کسری نیز وجود خواهد داشت نه اعداد صحیح

دروس تصویری از جمله مؤثرترین ابزارهای آموزشی به ویژه در دروس مدرسه مانند ریاضیات است. بنابراین، نویسنده این مطالب تنها اطلاعات مفید، مهم و شایسته را در یک مجموعه واحد جمع آوری کرده است.

این درس 11:52 دقیقه است. تقریباً به همان مقدار زمان نیاز است تا یک معلم مطالب جدید را در مورد یک موضوع معین در کلاس توضیح دهد. اگرچه مزیت اصلی درس ویدیویی این واقعیت است که دانش آموزان به دقت به آنچه نویسنده در مورد آن صحبت می کند گوش می دهند، بدون اینکه حواسشان به موضوعات و مکالمات اضافی منحرف شود. به هر حال، اگر دانش آموزان با دقت گوش ندهند، نکته مهمی از درس را از دست خواهند داد. و اگر معلم خود مطالب را توضیح دهد ، دانش آموزان او به راحتی می توانند با گفتگوهای خود در مورد موضوعات انتزاعی از موضوع اصلی منحرف شوند. و البته مشخص می شود که کدام روش منطقی تر خواهد بود.

نویسنده ابتدای درس را به تکرار آن دسته از کارکردهایی اختصاص می دهد که دانش آموزان قبلاً در دوره جبر با آنها آشنا بودند. و اولین چیزی که شروع به مطالعه کرد توابع مثلثاتی هستند. برای در نظر گرفتن و مطالعه آنها، یک مدل ریاضی جدید مورد نیاز است. و این مدل تبدیل به دایره اعداد می شود که دقیقا همان چیزی است که در مبحث درس بیان شده است. برای این کار مفهوم دایره واحد معرفی شده و تعریف آن ارائه شده است. در ادامه در شکل، نویسنده تمام اجزای چنین دایره ای را نشان می دهد و آنچه برای یادگیری بیشتر برای دانش آموزان مفید خواهد بود. کمان ها ربع ها را نشان می دهند.

سپس نویسنده پیشنهاد می کند که دایره اعداد را در نظر بگیرید. در اینجا او این نکته را بیان می کند که استفاده از دایره واحد راحت تر است. این دایره نشان می دهد که اگر t>0، t، نقطه M چگونه به دست می آید<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

در مرحله بعد، نویسنده به دانش آموزان یادآوری می کند که چگونه محیط دایره را پیدا کنند. و سپس طول دایره واحد را خروجی می دهد. استفاده از این داده های نظری در عمل پیشنهاد می شود. برای انجام این کار، مثالی را در نظر بگیرید که در آن باید نقطه ای را در یک دایره پیدا کنید که با مقادیر اعداد خاصی مطابقت دارد. راه حل مثال با یک تصویر در قالب یک تصویر و همچنین نمادهای ریاضی لازم همراه است.

با توجه به شرط مثال دوم، یافتن نقاط روی دایره عددی ضروری است. در اینجا نیز کل راه حل با نظرات، تصاویر و نمادهای ریاضی همراه است. این به توسعه و بهبود سواد ریاضی دانش آموزان کمک می کند. مثال سوم نیز به همین صورت ساخته شده است.

در مرحله بعد، نویسنده آن اعداد را روی دایره که بیشتر از دیگران رخ می دهند، یادداشت می کند. در اینجا او ساخت دو مدل از یک دایره اعداد را پیشنهاد می کند. هنگامی که هر دو طرح آماده هستند، مثال بعدی و چهارم در نظر گرفته می شود، که در آن باید نقطه ای از دایره اعداد مربوط به عدد 1 را پیدا کنید. پس از این مثال، یک عبارت فرموله می شود که بر اساس آن می توانید نقطه M مربوط به آن را پیدا کنید. عدد t

در مرحله بعد، نکته ای ارائه می شود که براساس آن دانش آموزان می آموزند که عدد "پی" مربوط به تمام اعدادی است که در یک نقطه معین هنگام عبور از کل دایره قرار می گیرند. این اطلاعات توسط مثال پنجم پشتیبانی می شود. راه حل او شامل استدلال منطقی صحیح و نقاشی هایی است که وضعیت را نشان می دهد.

رمزگشایی متن:

دایره عددی

قبلاً، توابع تعریف شده توسط عبارات تحلیلی را مطالعه کردیم. و این توابع را جبری می نامیدند. اما در درس ریاضی مدرسه، توابع کلاس های دیگر مطالعه می شود، نه جبری. بیایید شروع به یادگیری توابع مثلثاتی کنیم.

برای معرفی توابع مثلثاتی، به یک مدل ریاضی جدید - دایره عددی نیاز داریم. بیایید دایره واحد را در نظر بگیریم. دایره ای که شعاع آن برابر با قطعه مقیاس باشد، بدون اینکه واحدهای اندازه گیری خاصی را نشان دهد، واحد نامیده می شود. شعاع چنین دایره ای برابر با 1 در نظر گرفته می شود.

ما از یک دایره واحد استفاده خواهیم کرد که در آن قطرهای افقی و عمودی CA و DB (ce a و de be) ترسیم شده است (شکل 1 را ببینید).

arc AB را ربع اول، arc BC ربع دوم، arc CD را ربع سوم و arc DA را ربع چهارم می نامیم.

دایره عددی را در نظر بگیرید. به طور کلی، هر دایره ای را می توان به عنوان یک دایره عددی در نظر گرفت، اما استفاده از دایره واحد برای این منظور راحت تر است.

تعریف یک دایره واحد داده شده و نقطه شروع A روی آن مشخص شده است - انتهای سمت راست قطر افقی. بگذارید هر عدد واقعی t (te) را با یک نقطه از دایره مطابق قانون زیر مرتبط کنیم:

1) اگر t>0 (te بزرگتر از صفر باشد)، سپس، با حرکت از نقطه A در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت (جهت مثبت دایره)، مسیر AM (a em) به طول t را در امتداد دایره توصیف می کنیم. نقطه M نقطه مطلوب M(t) (em از te) خواهد بود.

2) اگر تی<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) نقطه A را به عدد t = 0 نسبت دهیم.

دایره واحد با تناظر ثابت (بین اعداد واقعی و نقاط روی دایره) دایره عددی نامیده می شود.

مشخص است که محیط L (el) با فرمول L = 2πR محاسبه می شود (el برابر است با دو پی er)، که در آن π≈3.14، R شعاع دایره است. برای یک دایره واحد R=1cm، این به معنای L=2π≈6.28 سانتی متر است (el برابر است با دو پی تقریباً 6.28).

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1. نقطه ای از دایره عددی را پیدا کنید که با عدد داده شده مطابقت دارد: ,.(پی در دو، پی، سه پی در دو، دو پی، یازده پی در دو، هفت پی، منهای پنج پی در دو)

راه حل. شش عدد اول مثبت هستند، بنابراین، برای پیدا کردن نقاط مربوطه روی دایره، باید مسیری به طول معین را در امتداد دایره طی کنید و از نقطه A در جهت مثبت حرکت کنید. طول هر ربع یک دایره برابر است. این به این معنی است که AB =، یعنی نقطه B مربوط به عدد است (شکل 1 را ببینید). AC = ، یعنی نقطه C مربوط به عدد است AD = ، یعنی نقطه D مربوط به عدد است و نقطه A دوباره با عدد مطابقت دارد ، زیرا پس از طی کردن مسیری در امتداد دایره به نقطه شروع رسیدیم. آ.

بیایید در نظر بگیریم که نقطه در کجا قرار خواهد گرفت.از آنجایی که از قبل می دانیم طول دایره چقدر است، آن را به شکل (چهار پی به اضافه سه پی در دو) کاهش می دهیم. یعنی حرکت از نقطه A در جهت مثبت، باید یک دایره کامل را دو بار توصیف کنید (مسیری به طول 4π) و همچنین یک مسیر به طول که به نقطه D ختم می شود.

چه اتفاقی افتاده است؟ این 3∙2π + π (سه برابر دو پی به اضافه پی) است. این بدان معنی است که حرکت از نقطه A در جهت مثبت، باید یک دایره کامل را سه بار و علاوه بر آن یک مسیر به طول π را توصیف کنید که به نقطه C ختم می شود.

برای پیدا کردن نقطه ای از دایره اعدادی که مربوط به یک عدد منفی است، باید از نقطه A در امتداد دایره در جهت منفی (در جهت عقربه های ساعت) مسیری به طول راه بروید و این معادل 2π + است. این مسیر به نقطه D ختم خواهد شد.

مثال 2. نقاط دایره عددی را بیابید (پی در شش، پی در چهار، پی در سه).

راه حل. با تقسیم قوس AB به نصف، نقطه E را بدست می آوریم که مطابقت دارد. و با تقسیم قوس AB به سه قسمت مساوی توسط نقاط F و O به این نتیجه میرسیم که نقطه F مطابقت دارد و نقطه T مطابقت دارد.

(شکل 2 را ببینید).

مثال 3. نقاط دایره عددی را بیابید (منهای سیزده پی در چهار، نوزده پی در شش).

راه حل. با قرار دادن قوس AE (a em) به طول (pi در چهار) از نقطه A سیزده بار در جهت منفی، نقطه H (خاکستر) - وسط قوس BC را به دست می آوریم.

با قرار دادن یک قوس AF به طول (pi در شش) از نقطه A نوزده بار در جهت مثبت، به نقطه N (en) می رسیم که متعلق به ربع سوم (قوس CD) است و CN برابر با قسمت سوم است. سی دی قوس (se de).

(شکل مثال 2 را ببینید).

اغلب شما باید به دنبال نقاطی در دایره اعداد بگردید که با اعداد (پی در شش، پی در چهار، پی در سه، پی در دو)، و همچنین مواردی که مضرب آنها هستند، یعنی (هفت) بگردید. پی در شش، پنج پی در چهار، چهار پی در سه، یازده پی در دو). بنابراین، برای پیمایش سریع، توصیه می شود دو طرح از دایره اعداد ایجاد کنید.

در طرح اول، هر یک از ربع های دایره اعداد به دو قسمت مساوی تقسیم می شود و در نزدیکی هر یک از نقاط حاصل، "نام" آنها را می نویسیم:

در طرح دوم، هر یک از ربع ها به سه قسمت مساوی تقسیم می شوند و در نزدیکی هر یک از دوازده نقطه به دست آمده، "نام" آنها را می نویسیم:

اگر در جهت عقربه‌های ساعت حرکت کنیم، همان "نام‌ها" را برای نقاط روی نقشه‌ها، فقط با مقدار منهای دریافت می‌کنیم. برای طرح اول:

به طور مشابه، اگر در امتداد طرح دوم در جهت عقربه های ساعت از نقطه O حرکت کنید.

مثال 4. نقاطی را در دایره اعداد پیدا کنید که با اعداد 1 (یک) مطابقت دارند.

راه حل. با دانستن اینکه π≈3.14 (pi تقریباً برابر با سه نقطه چهاردهم صدم است)، ≈ 1.05 (پی ضربدر سه تقریباً برابر با یک نقطه پنج صدم است)، ≈ 0.79 (پی ضربدر چهار تقریباً برابر با نقطه صفر هفتاد و نه صدم است). به معنای،< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

جمله زیر درست است: اگر نقطه M در دایره عددی با عدد t مطابقت داشته باشد، آنگاه با هر عددی از شکل t + 2π مطابقت دارد.ک(te به اضافه دو پی کا)، که در آن ka هر عدد صحیح و k استϵ ز(ka متعلق به Zet است).

با استفاده از این عبارت، می توانیم نتیجه بگیریم که نقطه مربوط به تمام نقاط شکل t =+ 2πk است (te برابر است با پی ضربدر سه به علاوه دو قله)، که در آن kεZ ( ka متعلق به zet است)، و به نقطه (پنج پی در چهار) - نقاطی به شکل t = + 2πk (te برابر است با پنج پی در چهار به علاوه دو پی کا)، که در آن kεZ ( ka متعلق به zet) و غیره است.

مثال 5. نقطه روی دایره عددی را پیدا کنید: a) ; ب) .

راه حل. الف) داریم: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(بیست پی ضربدر سه برابر بیست ضرب سه پی برابر شش به اضافه دو سوم، ضرب در پی برابر شش پی به اضافه دو پی ضربدر سه برابر است. دو پی ضربدر سه به علاوه سه برابر دو پی).

این به این معنی است که این عدد با همان نقطه روی دایره عدد مطابقت دارد (این ربع دوم است) (طرح دوم را در شکل 4 ببینید).

ب) داریم: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (منهای سی و پنج پی ضربدر چهار برابر منهای هشت به علاوه سه چهارم ضرب پی برابر است با منهای سه پی ضربدر چهار به علاوه دو پی ضربدر منهای چهار ). یعنی عدد مطابق با همان نقطه دایره عددی عدد است

در این درس تعریف خط عددی را یادآوری می کنیم و تعریف جدیدی از دایره عددی ارائه می دهیم. همچنین ویژگی مهم دایره اعداد و نقاط مهم دایره را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت. اجازه دهید مسایل مستقیم و معکوس دایره اعداد را تعریف کنیم و چندین مثال از این مسائل را حل کنیم.

موضوع: توابع مثلثاتی

درس: دایره اعداد

برای هر تابع، آرگومان مستقل به تعویق افتاده است خط شماره، یا روی یک دایره بیایید هر دو خط اعداد و دایره اعداد.

اگر مبدا مختصات مشخص شود و جهت و مقیاس انتخاب شود، خط مستقیم به یک خط عددی (مختصات) تبدیل می شود (شکل 1).

خط اعداد یک تناظر یک به یک بین تمام نقاط روی خط و همه اعداد واقعی برقرار می کند.

مثلا یک عدد می گیریم و روی محور مختصات می گذاریم، یک نقطه می گیریم، یک عدد می گیریم و روی محور می گذاریم، یک نقطه می گیریم (شکل 2).

و بالعکس، اگر هر نقطه از خط مختصات را بگیریم، یک عدد واقعی منحصر به فرد مربوط به آن وجود دارد (شکل 2).

مردم بلافاصله به چنین مکاتبه ای نرسیدند. برای درک این موضوع، بیایید مجموعه های عددی اولیه را به خاطر بسپاریم.

ابتدا مجموعه ای از اعداد طبیعی را معرفی کردیم

سپس مجموعه ای از اعداد صحیح

مجموعه اعداد گویا

فرض بر این بود که این مجموعه ها کافی خواهند بود و بین تمام اعداد گویا و نقاط یک خط مطابقت یک به یک وجود خواهد داشت. اما معلوم شد که نقاط بی شماری در خط اعداد وجود دارد که با اعداد فرم قابل توصیف نیستند

به عنوان مثال، فرضیه یک مثلث قائم الزاویه با پایه های 1 و 1 است. برابر است (شکل 3).

در میان مجموعه اعداد گویا، آیا عددی دقیقاً برابر با No وجود دارد، وجود ندارد. بیایید این واقعیت را ثابت کنیم.

بیایید با تناقض ثابت کنیم. فرض کنیم کسری برابر i.e وجود دارد.

سپس دو ضلع را مربع می کنیم، بدیهی است که سمت راست تساوی بر 2 بخش پذیر است. این یعنی و سپس اما سپس و A به معنای سپس معلوم می شود که کسر تقلیل پذیر است. این با شرط منافات دارد، یعنی

عدد غیرمنطقی است. مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل می دهند اگر نقطه ای از یک خط را بگیریم، مقداری عدد واقعی با آن مطابقت دارد. و اگر هر عدد واقعی را بگیریم، یک نقطه منفرد مربوط به آن در خط مختصات وجود خواهد داشت.

اجازه دهید روشن کنیم که دایره اعداد چیست و چه روابطی بین مجموعه نقاط دایره و مجموعه اعداد حقیقی وجود دارد.

مبدأ - نقطه آ. جهت شمارش - خلاف جهت عقربه های ساعت - مثبت، در جهت عقربه های ساعت - منفی. مقیاس - محیط (شکل 4).

با معرفی این سه ماده، داریم دایره اعداد. نحوه اختصاص دادن نقطه روی یک دایره به هر عدد و بالعکس را نشان خواهیم داد.

با تنظیم شماره یک نقطه روی دایره می گیریم

هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه از دایره است.برعکسش چطور؟

نقطه مربوط به عدد است. و اگر اعداد را بگیریم، همه این اعداد فقط یک نقطه در تصویر خود روی دایره دارند

به عنوان مثال، مربوط به نقطه است ب(شکل 4).

بیایید همه اعداد را در نظر بگیریم همه آنها با نقطه مطابقت دارند. ب.بین تمام اعداد واقعی و نقاط یک دایره مطابقت یک به یک وجود ندارد.

اگر یک عدد ثابت وجود داشته باشد، تنها یک نقطه از دایره با آن مطابقت دارد

اگر نقطه ای روی یک دایره وجود داشته باشد، مجموعه ای از اعداد مربوط به آن وجود دارد

بر خلاف خط مستقیم، دایره مختصات تناظر یک به یک بین نقاط و اعداد ندارد. هر عدد فقط مربوط به یک نقطه است، اما هر نقطه مربوط به تعداد نامتناهی از اعداد است و می توانیم آنها را یادداشت کنیم.

بیایید به نکات اصلی روی دایره نگاه کنیم.

با دادن یک عدد، پیدا کنید که با کدام نقطه از دایره مطابقت دارد.

با تقسیم قوس به نصف، یک نقطه به دست می آوریم (شکل 5).

مسئله معکوس: با توجه به نقطه ای در وسط یک کمان، تمام اعداد واقعی که با آن مطابقت دارند را پیدا کنید.

اجازه دهید همه کمان های چندگانه را روی دایره اعداد علامت گذاری کنیم (شکل 6).

کمان هایی که مضرب هستند

یک عدد داده شده است شما باید نقطه مربوطه را پیدا کنید.

مشکل معکوس - با توجه به یک نقطه، باید پیدا کنید که با کدام اعداد مطابقت دارد.

ما به دو وظیفه استاندارد در دو نقطه حساس نگاه کردیم.

الف) نقطه ای از دایره عددی با مختصات پیدا کنید

تاخیر از نقطه آاین دو چرخش کامل و نیم دیگر است و ما یک امتیاز می گیریم م- این اواسط سه ماهه سوم است (شکل 8).

پاسخ. نقطه م- اواسط سه ماهه سوم

ب) نقطه ای از دایره عددی با مختصات پیدا کنید

تاخیر از نقطه آیک چرخش کامل و ما هنوز یک امتیاز می گیریم ن(شکل 9).

جواب : نقطه ندر سه ماهه اول است.

ما به خط اعداد و دایره اعداد نگاه کردیم و ویژگی های آنها را به خاطر آوردیم. ویژگی خاص خط اعداد مطابقت یک به یک بین نقاط این خط با مجموعه اعداد حقیقی است. چنین مکاتبات یک به یک روی دایره وجود ندارد. هر عدد واقعی روی دایره مربوط به یک نقطه است، اما هر نقطه روی دایره اعداد مربوط به تعداد نامحدودی از اعداد واقعی است.

در درس بعدی به دایره اعداد در صفحه مختصات نگاه خواهیم کرد.

فهرست منابع با موضوع "دایره عددی"، "نقطه روی دایره"

1. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2009.

2. جبر و شروع تحلیل پایه 10 (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Shvartsburd S.I. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10 (کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی) - M.: Prosveshchenie، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. بررسی عمیق جبر و تحلیل ریاضی.-م.: آموزش و پرورش، 1376.

5. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان مؤسسات آموزش عالی (تدوین شده توسط M.I. Skanavi).- م.: دبیرستان، 1371.

6. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. شبیه ساز جبری.-K.: A.S.K.، 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. مسائل مربوط به جبر و اصول تجزیه و تحلیل (راهنمای برای دانش آموزان کلاس 10-11 موسسات آموزش عمومی). - M.: Prosveshchenie، 2003.

8. Karp A.P. مجموعه مسائل جبر و اصول تحلیل: کتاب درسی. کمک هزینه برای نمرات 10-11. با عمق مطالعه کرد ریاضیات.-م.: آموزش و پرورش، 1385.

مشق شب

جبر و شروع تحلیل پایه دهم (در دو قسمت). کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح مشخصات)، ویرایش. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne، 2007.

№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.

منابع وب اضافی

3. پورتال آموزشی آمادگی آزمون ().

نام آیتم جبر و شروع تحلیل ریاضی

کلاس 10

UMK جبر و آغاز آنالیز ریاضی پایه های 10-11. در ساعت 2 قسمت 1. کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح پایه) / A.G. موردکوویچ. - ویرایش دهم، استریم - M.: Mnemosyne، 2012. قسمت 2. کتاب مسائل موسسات آموزشی (سطح پایه) /[ A.G. موردکوویچ و همکاران]; ویرایش شده توسط A.G. موردکوویچ. - ویرایش دهم، استریم - M.: Mnemosyne، 2012.

سطح مطالعه. پایه

موضوع درس دایره شماره (ساعت 2)

درس شماره 1

هدف: مفهوم دایره عددی را به عنوان مدلی از سیستم مختصات منحنی معرفی کنید.

وظایف : برای ایجاد توانایی استفاده از دایره اعداد هنگام حل مسائل.

نتایج برنامه ریزی شده:

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

2. بررسی تکالیفی که برای دانش آموزان مشکل ایجاد کرده است

II. کار شفاهی.

1. هر بازه روی خط اعداد را با یک نامساوی و یک نماد تحلیلی برای فاصله مطابقت دهید. داده ها را در جدول وارد کنید.

آ (–  ; –5] D (–5; 5)

ب [–5; 5] E (–  ; –5)

که در [–5; +  ) و [–5; 5)

جی (–5; 5] ز (–5; +  )

1 –5 < ایکس < 5 5 –5  ایکس  5

2 ایکس -5 6 ایکس  –5

3 –5 < ایکس  5 7 5  ایکس < 5

4 ایکس < –5 8 ایکس > –5

1. برخلاف خط عددی مورد مطالعه، دایره عددی مدل پیچیده تری است. مفهوم کمان، که زیربنای آن است، در هندسه قابل اعتماد نیست.

2 . کار با کتاب درسی . بیایید به یک مثال عملی با. 23-24 کتاب درسی (پیست دویدن استادیوم). می توانید از دانش آموزان بخواهید که مثال های مشابهی (حرکت ماهواره در مدار، چرخش چرخ دنده و غیره) ارائه دهند.

3. ما راحتی استفاده از دایره واحد را به عنوان یک عددی توجیه می کنیم.

4. کار با کتاب درسی بیایید به نمونه هایی از ص نگاه کنیم. 25-31 کتاب درسی. نویسندگان تأکید می‌کنند که برای تسلط موفق بر مدل دایره اعداد، هم کتاب درسی و هم کتاب مسئله، سیستمی از «بازی‌های آموزشی» ویژه ارائه می‌کنند. شش مورد از آنها وجود دارد، در این درس ما از چهار مورد اول استفاده خواهیم کرد.

(Mordkovich A. G. M79 جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. کلاس های 10-11 (سطح پایه): کتابچه راهنمای روش شناختی برای معلمان / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna، 2010. - 202 ص. : بیمار.)

"بازی" اول - محاسبه طول قوس یک واحد دایره. دانش آموزان باید به این واقعیت عادت کنند که طول کل دایره 2 باشد ، نیم دایره - ربع دایره –و غیره.

"بازی" دوم - یافتن نقاط روی دایره اعداد مربوط به اعداد داده شده، بیان شده در کسری از یک عدد به عنوان مثال، نقاط و غیره (اعداد و امتیازهای "خوب").

سومین "بازی" - یافتن نقاطی در دایره اعدادی که با اعداد داده شده مطابقت دارند، که در کسری از یک عدد بیان نمی شوند برای مثال، نقاط م (1), م (-5) و غیره (اعداد و امتیازهای "بد").

"بازی" چهارم - ضبط اعداد مربوط به یک نقطه "خوب" داده شده در دایره اعداد، به عنوان مثال، وسط سه ماهه اول "خوب" است، اعداد مربوط به آن شکل دارند.

مکث پویا

تمرین های حل شده در این درس با چهار بازی آموزشی تعیین شده مطابقت دارد. دانش آموزان از طرح دایره اعداد با قطر استفاده می کنندAC (افقی) وBD(عمودی).

1. № 4.1, № 4.3.

راه حل:

№ 4.3.

2. № 4.5 (الف؛ ب) - 4.11 (الف؛ ب).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (الف؛ ب) № 4.14.

راه حل:

№ 4.13.

V. کار آزمایشی.

انتخاب 1

گزینه 2

1. نقطه مربوط به این عدد را روی دایره اعداد علامت بزنید:

2. تمام اعدادی را که با نقاط مشخص شده روی دایره اعداد مطابقت دارند پیدا کنید.

VI. خلاصه درس.

سوالات دانش آموزان:

– تعریف دایره عددی را بیان کنید.

– طول دایره واحد چقدر است؟ طول نیم واحد دایره؟ محله او؟

– چگونه می توان نقطه ای از دایره اعداد را پیدا کرد که با یک عدد مطابقت دارد؟شماره 5؟

مشق شب:، صفحه 23. شماره 4.2، شماره 4.4، شماره 4.5 (ج؛ د) - شماره 4.11 (ج؛ د)، شماره 4.13 (ج؛ د)، شماره 4.15.

درس 2

اهداف : مفهوم دایره عددی را به عنوان مدلی از یک سیستم مختصات منحنی ادغام کنید.

وظایف : به توسعه توانایی یافتن نقاط روی دایره اعدادی که با اعداد "خوب" و "بد" داده شده مطابقت دارد، ادامه دهید. عدد مربوط به یک نقطه از دایره اعداد را بنویسید. توانایی نوشتن یک نماد تحلیلی از قوس یک دایره عددی را به شکل یک نابرابری مضاعف ایجاد کنید.

توسعه مهارت های محاسباتی، گفتار صحیح ریاضی و تفکر منطقی دانش آموزان.

القای استقلال، توجه و دقت. پرورش نگرش مسئولانه نسبت به یادگیری

نتایج برنامه ریزی شده:

بدانید، درک کنید: - دایره اعداد.

قادر به: - یافتن نقاط روی یک دایره با توجه به مختصات داده شده. - مختصات یک نقطه واقع در یک دایره عددی را پیدا کنید.

قادر به استفاده از مطالب نظری مورد مطالعه در هنگام انجام کار کتبی باشد.

پشتیبانی فنی درس کامپیوتر، صفحه نمایش، پروژکتور، کتاب درسی، کتاب مسئله.

پشتیبانی روش شناختی و آموزشی اضافی برای درس: Mordkovich A. G. M79 جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. کلاس های 10-11 (سطح پایه): کتابچه راهنمای روش شناختی برای معلمان / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna، 2010. - 202 ص. : سیل

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

خلق و خوی روانی دانش آموزان.

بررسی تکالیفشماره 4.2، شماره 4.4، شماره 4.5 (ج؛ د) - شماره 4.11 (ج؛ د)، شماره 4.13 (ج؛ د)،

№ 4.15. تجزیه و تحلیل راه حل برای وظایفی که باعث مشکل شده است.

کار شفاهی.

(روی اسلاید)

1. نقاط روی دایره اعداد و اعداد داده شده را مطابقت دهید:

آ)

ب)

ز)

د)

ه)

و)

ح)

2. نقاط دایره اعداد را پیدا کنید.

–2; 4; –8; 13.

III. توضیح مطالب جدید

همانطور که قبلاً ذکر شد، دانش‌آموزان بر سیستمی متشکل از شش "بازی" آموزشی تسلط پیدا می‌کنند که توانایی حل مسائل چهار نوع اصلی مرتبط با دایره اعداد (از عددی به نقطه دیگر، از نقطه‌ای به عدد، از کمان به نابرابری مضاعف، از نابرابری مضاعف را فراهم می‌کند. قوس دادن).

(Mordkovich A. G. M79 جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی. کلاس های 10-11 (سطح پایه): کتابچه راهنمای روش شناختی برای معلمان / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 p. : بیمار.)

در این درس از دو بازی آخر استفاده خواهیم کرد:

"بازی" پنجم - گردآوری رکوردهای تحلیلی (نامعادلات مضاعف) برای کمان های دایره اعداد. به عنوان مثال، اگر یک قوس داده شود که وسط ربع اول (ابتدای کمان) و پایین ترین نقطه از دو را که ربع دوم را به سه قسمت مساوی تقسیم می کند (انتهای قوس) را به هم متصل می کند، سپس تحلیلی مربوطه علامت گذاری به شکل زیر است:

اگر ابتدا و انتهای یک قوس با هم عوض شوند، رکورد تحلیلی مربوط به کمان به شکل زیر خواهد بود:

نویسندگان کتاب درسی خاطرنشان می کنند که اصطلاحات "هسته نمادگذاری تحلیلی یک قوس"، "نشان گذاری تحلیلی یک قوس" به طور کلی شناخته شده نیستند، آنها به دلایل صرفا روش شناختی معرفی شده اند و استفاده از آنها یا عدم استفاده از آنها بستگی به این دارد. معلم.

"بازی" ششم - از این نماد تحلیلی کمان (نابرابری مضاعف) به سمت تصویر هندسی آن حرکت کنید.

توضیح باید با استفاده از تکنیک قیاس انجام شود. می توانید از یک مدل خط اعداد متحرک استفاده کنید که می تواند در یک دایره اعداد "جمع" شود.

کار با کتاب درسی .

بیایید به مثال 8 از صفحه نگاه کنیم. 33 کتاب درسی.

مکث پویا

IV. شکل گیری مهارت ها و توانایی ها.

هنگام تکمیل تکالیف، دانش آموزان باید اطمینان حاصل کنند که هنگام نوشتن یک قوس به صورت تحلیلی، سمت چپ نابرابری دوگانه کمتر از سمت راست باشد. برای انجام این کار، هنگام ضبط، باید در جهت مثبت حرکت کنید، یعنی خلاف جهت عقربه های ساعت.

گروه 1 . تمرین هایی برای یافتن نقاط "بد" روی دایره اعداد.

№ 4.16، شماره 4.17 (الف؛ ب).

گروه 2 . تمرینات ضبط تحلیلی یک قوس و ساخت یک قوس بر اساس ضبط تحلیلی آن.

№ 4.18 (a; b)، شماره 4.19 (a; b)، شماره 4.20 (a; b).

V. کار مستقل.

گزینه 1