Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου. Θεώρημα για την αλλαγή της γωνιακής ορμής ενός σημείου Θεώρημα για την αλλαγή της γωνιακής ορμής ενός σημείου

Το σύστημα που συζητείται στο θεώρημα μπορεί να είναι οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα που αποτελείται από οποιαδήποτε σώματα.

Δήλωση του θεωρήματος

Η ποσότητα κίνησης (παλμική) ενός μηχανικού συστήματος είναι μια ποσότητα ίση με το άθροισμα των ποσοτήτων κίνησης (παλμών) όλων των σωμάτων που περιλαμβάνονται στο σύστημα. Η ώθηση των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στα σώματα του συστήματος είναι το άθροισμα των παλμών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στα σώματα του συστήματος.

( kg m/s)

Λέει το θεώρημα για την αλλαγή της ορμής ενός συστήματος

Η μεταβολή της ορμής του συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με την ώθηση των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα κατά την ίδια χρονική περίοδο.

Νόμος διατήρησης της ορμής ενός συστήματος

Αν το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι μηδέν, τότε το μέγεθος της κίνησης (ορμή) του συστήματος είναι σταθερό μέγεθος.

, λαμβάνουμε την έκφραση του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε διαφορική μορφή:

Έχοντας ενσωματώσει και τις δύο πλευρές της προκύπτουσας ισότητας σε μια αυθαίρετα χρονική περίοδο μεταξύ ορισμένων και , λαμβάνουμε την έκφραση του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε ολοκληρωμένη μορφή:

Νόμος διατήρησης της ορμής (Νόμος διατήρησης της ορμής) δηλώνει ότι το διανυσματικό άθροισμα των παλμών όλων των σωμάτων του συστήματος είναι σταθερή τιμή εάν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι ίσο με μηδέν.

(ροπή ορμής m 2 kg s −1)

Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής σε σχέση με το κέντρο

η χρονική παράγωγος της ροπής της ορμής (κινητική ροπή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με οποιοδήποτε σταθερό κέντρο είναι ίση με τη στιγμή της δύναμης που ασκείται στο σημείο σε σχέση με το ίδιο κέντρο.

dk 0 /dt = M 0 (φά ) .

Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής σε σχέση με έναν άξονα

η χρονική παράγωγος της ροπής της ορμής (κινητική ροπή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με οποιονδήποτε σταθερό άξονα είναι ίση με τη ροπή της δύναμης που ασκείται σε αυτό το σημείο σε σχέση με τον ίδιο άξονα.

dk Χ /dt = M Χ (φά ); dk y /dt = M y (φά ); dk z /dt = M z (φά ) .

Εξετάστε ένα σημαντικό σημείο Μ μάζα Μ , που κινείται υπό την επίδραση της δύναμης φά (Εικόνα 3.1). Ας γράψουμε και ας κατασκευάσουμε το διάνυσμα της γωνιακής ορμής (κινητική ορμή) Μ 0 υλικό σημείο σε σχέση με το κέντρο Ο :

Ας διαφοροποιήσουμε την έκφραση για τη γωνιακή ορμή (κινητική ροπή κ 0) κατά χρόνο:

Επειδή Δρ /dt = V , μετά το διανυσματικό γινόμενο V ⊗ Μ ⋅ V (συγγραμμικά διανύσματα V Και Μ ⋅ V ) ισούται με μηδέν. Ταυτοχρονα δ(μ ⋅ V) /dt = F σύμφωνα με το θεώρημα για την ορμή ενός υλικού σημείου. Επομένως το καταλαβαίνουμε

dk 0 /dt = r ⊗φά , (3.3)

Οπου r ⊗φά = Μ 0 (φά ) – διάνυσμα-ροπή δύναμης φά σε σχέση με ένα σταθερό κέντρο Ο . Διάνυσμα κ 0 ⊥ αεροπλάνο ( r , Μ ⊗V ), και το διάνυσμα Μ 0 (φά ) ⊥ αεροπλάνο ( r ,φά ), επιτέλους έχουμε

dk 0 /dt = M 0 (φά ) . (3.4)

Η εξίσωση (3.4) εκφράζει το θεώρημα σχετικά με τη μεταβολή της γωνιακής ορμής (γωνιακή ορμή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με το κέντρο: η χρονική παράγωγος της ροπής της ορμής (κινητική ροπή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με οποιοδήποτε σταθερό κέντρο είναι ίση με τη στιγμή της δύναμης που ασκείται στο σημείο σε σχέση με το ίδιο κέντρο.

Προβάλλοντας την ισότητα (3.4) στους άξονες των καρτεσιανών συντεταγμένων, λαμβάνουμε

dk Χ /dt = M Χ (φά ); dk y /dt = M y (φά ); dk z /dt = M z (φά ) . (3.5)

Οι ισότητες (3.5) εκφράζουν το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής (κινητική ορμή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με τον άξονα: η χρονική παράγωγος της ροπής της ορμής (κινητική ροπή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με οποιονδήποτε σταθερό άξονα είναι ίση με τη ροπή της δύναμης που ασκείται σε αυτό το σημείο σε σχέση με τον ίδιο άξονα.

Ας εξετάσουμε τις συνέπειες που ακολουθούν από τα θεωρήματα (3.4) και (3.5).

Συμπέρασμα 1.Εξετάστε την περίπτωση όταν η δύναμη φά καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης του σημείου διέρχεται από το ακίνητο κέντρο Ο (περίπτωση κεντρικής δύναμης), δηλ. Οταν Μ 0 (φά ) = 0. Τότε από το Θεώρημα (3.4) προκύπτει ότι κ 0 = συνθ ,

εκείνοι. στην περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης, η γωνιακή ορμή (κινητική ροπή) ενός υλικού σημείου σε σχέση με το κέντρο αυτής της δύναμης παραμένει σταθερή σε μέγεθος και κατεύθυνση (Εικόνα 3.2).

Εικόνα 3.2

Από την κατάσταση κ 0 = συνθ έπεται ότι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου είναι μια επίπεδη καμπύλη, το επίπεδο της οποίας διέρχεται από το κέντρο αυτής της δύναμης.

Συμπέρασμα 2.Αφήνω Μ z (φά ) = 0, δηλ. δύναμη διασχίζει τον άξονα z ή παράλληλα με αυτό. Στην περίπτωση αυτή, όπως φαίνεται από την τρίτη των εξισώσεων (3.5), κ z = συνθ ,

εκείνοι. αν η ροπή της δύναμης που ασκείται σε ένα σημείο σε σχέση με οποιονδήποτε σταθερό άξονα είναι πάντα μηδέν, τότε η γωνιακή ορμή (κινητική ροπή) του σημείου σε σχέση με αυτόν τον άξονα παραμένει σταθερή.

Απόδειξη του θεωρήματος της μεταβολής της ορμής

Αφήστε το σύστημα να αποτελείται από υλικά σημεία με μάζες και επιταχύνσεις. Διαιρούμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στα σώματα του συστήματος σε δύο τύπους:

Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι δυνάμεις που δρουν από σώματα που δεν περιλαμβάνονται στο υπό εξέταση σύστημα. Το αποτέλεσμα των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα υλικό σημείο με αριθμό Εγώας υποδηλώσουμε

Οι εσωτερικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις με τις οποίες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους τα σώματα του ίδιου του συστήματος. Η δύναμη με την οποία στο σημείο με τον αριθμό Εγώισχύει το σημείο με τον αριθμό κ, θα υποδηλώσουμε , και τη δύναμη της επιρροής Εγώτο σημείο στο κτο σημείο - . Προφανώς, πότε, τότε

Χρησιμοποιώντας την εισαγόμενη σημείωση, γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για κάθε ένα από τα υπό εξέταση υλικά σημεία στη μορφή

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι και αθροίζοντας όλες τις εξισώσεις του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα, παίρνουμε:

Η έκφραση αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, σε αυτό το άθροισμα, κάθε δύναμη αντιστοιχεί σε μια δύναμη τέτοια που, επομένως, ισχύει Εφόσον ολόκληρο το άθροισμα αποτελείται από τέτοια ζεύγη, το ίδιο το άθροισμα είναι μηδέν. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό για την ορμή του συστήματος, παίρνουμε

Εισάγοντας υπόψη τη μεταβολή της ορμής των εξωτερικών δυνάμεων , λαμβάνουμε την έκφραση του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε διαφορική μορφή:

Έτσι, καθεμία από τις τελευταίες εξισώσεις που ελήφθησαν μας επιτρέπει να δηλώσουμε: μια αλλαγή στην ορμή του συστήματος συμβαίνει μόνο ως αποτέλεσμα της δράσης εξωτερικών δυνάμεων και οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να επηρεάσουν αυτήν την τιμή.

Έχοντας ενσωματώσει και τις δύο πλευρές της προκύπτουσας ισότητας σε ένα αυθαίρετα λαμβανόμενο χρονικό διάστημα μεταξύ μερικών και , λαμβάνουμε την έκφραση του θεωρήματος για την αλλαγή της ορμής του συστήματος σε ακέραια μορφή:

όπου και είναι οι τιμές της ποσότητας κίνησης του συστήματος σε χρονικές στιγμές και, αντίστοιχα, και είναι η ώθηση εξωτερικών δυνάμεων σε μια χρονική περίοδο. Σύμφωνα με όσα ειπώθηκαν προηγουμένως και τις εισαγόμενες σημειώσεις,

Δεδομένου ότι η μάζα του σημείου είναι σταθερή και η επιτάχυνσή του, η εξίσωση (2), που εκφράζει τον βασικό νόμο της δυναμικής, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή

Η εξίσωση (32) εκφράζει ταυτόχρονα το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε διαφορική μορφή: η χρονική παράγωγος της ορμής ενός σημείου είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο σημείο

Ας έχει ένα κινούμενο σημείο ταχύτητα τη στιγμή του χρόνου και ταχύτητα τη στιγμή.Τότε πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (32) με και παίρνουμε οριστικά ολοκληρώματα από αυτές. Σε αυτήν την περίπτωση, στα δεξιά, όπου η ολοκλήρωση συμβαίνει με την πάροδο του χρόνου, θα είναι τα όρια του ολοκληρώματος και στα αριστερά, όπου είναι ενσωματωμένη η ταχύτητα, τα όρια του ολοκληρώματος θα είναι οι αντίστοιχες τιμές ταχύτητας

Εφόσον το ολοκλήρωμα του είναι ίσο, το αποτέλεσμα είναι

Τα ολοκληρώματα στα δεξιά, όπως προκύπτει από τον τύπο (30), αντιπροσωπεύουν τις παρορμήσεις των ενεργών δυνάμεων. Επομένως θα είναι τελικά

Η εξίσωση (33) εκφράζει το θεώρημα σχετικά με τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε τελική μορφή: η μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών όλων των δυνάμεων που δρουν στο σημείο πάνω την ίδια χρονική περίοδο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, αντί για τη διανυσματική εξίσωση (33), χρησιμοποιούνται συχνά εξισώσεις σε προβολές. Προβάλλοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (33) στους άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε

Στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης που συμβαίνει κατά μήκος του άξονα, το θεώρημα εκφράζεται με την πρώτη από αυτές τις εξισώσεις.

Επίλυση προβλήματος. Οι εξισώσεις (33) ή (34) επιτρέπουν, γνωρίζοντας πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός σημείου όταν ένα σημείο κινείται, να προσδιορίσουμε την ώθηση των ενεργών δυνάμεων (το πρώτο πρόβλημα της δυναμικής) ή, γνωρίζοντας τις ώσεις των ενεργών δυνάμεων, να προσδιορίσουμε πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός σημείου όταν κινείται (το δεύτερο πρόβλημα της δυναμικής). Κατά την επίλυση του δεύτερου προβλήματος, όταν δίνονται δυνάμεις, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι ωθήσεις τους.Όπως φαίνεται από τις ισότητες (30) ή (31), αυτό μπορεί να γίνει μόνο όταν οι δυνάμεις είναι σταθερές ή εξαρτώνται μόνο από το χρόνο.

Έτσι, οι εξισώσεις (33), (34) μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος της δυναμικής, όταν τα δεδομένα και οι απαιτούμενες ποσότητες στο πρόβλημα περιλαμβάνουν: δρώντες δυνάμεις, χρόνο κίνησης του σημείου και τις αρχικές και τελικές ταχύτητες του (δηλ. ποσότητες), και οι δυνάμεις πρέπει να είναι σταθερές ή να εξαρτώνται μόνο από το χρόνο.

Πρόβλημα 95. Σημείο με μάζα kg κινείται σε κύκλο με αριθμητικά σταθερή ταχύτητα Να προσδιορίσετε την ώθηση της δύναμης που ασκεί στο σημείο κατά τη διάρκεια του χρόνου κατά τον οποίο το σημείο διέρχεται το ένα τέταρτο του κύκλου

Λύση. Σύμφωνα με το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής, κατασκευάζοντας γεωμετρικά τη διαφορά μεταξύ αυτών των ποσοτήτων κίνησης (Εικ. 222), βρίσκουμε από το ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει

Σύμφωνα όμως με τις συνθήκες του προβλήματος,

Για αναλυτικό υπολογισμό, χρησιμοποιώντας τις δύο πρώτες εξισώσεις (34), μπορούμε να βρούμε

Πρόβλημα 96. Σε ένα φορτίο που έχει μάζα και βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο δίνεται (με ώθηση) μια αρχική ταχύτητα Η μεταγενέστερη κίνηση του φορτίου επιβραδύνεται από μια σταθερή δύναμη F. Προσδιορίστε πόσο χρόνο θα χρειαστεί για το φορτίο να σταματήσει,

Λύση. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, είναι σαφές ότι για να προσδιορίσετε τον χρόνο κίνησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποδεδειγμένο θεώρημα. Απεικονίζουμε το φορτίο σε αυθαίρετη θέση (Εικ. 223). Επιδρά πάνω του από τη δύναμη της βαρύτητας P, την αντίδραση του επιπέδου N και τη δύναμη πέδησης F. Κατευθύνοντας τον άξονα προς την κατεύθυνση της κίνησης, συνθέτουμε την πρώτη από τις εξισώσεις (34)

Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα τη στιγμή της στάσης), α. Από τις δυνάμεις, μόνο η δύναμη F δίνει την προβολή στον άξονα. Επειδή είναι σταθερή, πού είναι ο χρόνος πέδησης. Αντικαθιστώντας όλα αυτά τα δεδομένα στην εξίσωση (α), παίρνουμε τον απαιτούμενο χρόνο

Διαφορική εξίσωση κίνησης υλικού σημείου υπό την επίδραση δύναμης φάμπορεί να αναπαρασταθεί στην ακόλουθη διανυσματική μορφή:

Από τη μάζα ενός σημείου Μγίνεται αποδεκτή ως σταθερή, τότε μπορεί να εισαχθεί κάτω από το παράγωγο πρόσημο. Επειτα

Ο τύπος (1) εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε διαφορική μορφή: η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο της ορμής ενός σημείου είναι ίση με τη δύναμη που ασκεί στο σημείο.

Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων (1) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Αν και οι δύο πλευρές (1) πολλαπλασιαστούν επί dt, τότε παίρνουμε μια άλλη μορφή του ίδιου θεωρήματος - το θεώρημα της ορμής σε διαφορική μορφή:

εκείνοι. το διαφορικό της ορμής ενός σημείου είναι ίσο με τη στοιχειώδη ώθηση της δύναμης που ασκεί το σημείο.

Προβάλλοντας και τα δύο μέρη του (2) στους άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε

Ενσωματώνοντας και τα δύο μέρη του (2) από το μηδέν στο t (Εικ. 1), έχουμε

πού είναι η ταχύτητα του σημείου αυτή τη στιγμή t; - ταχύτητα σε t = 0;

μικρό- παρόρμηση δύναμης με την πάροδο του χρόνου t.

Μια έκφραση στη μορφή (3) ονομάζεται συχνά θεώρημα ορμής σε πεπερασμένη (ή ολοκληρωτική) μορφή: η μεταβολή της ορμής ενός σημείου σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο είναι ίση με την ώθηση της δύναμης για την ίδια χρονική περίοδο.

Σε προβολές σε άξονες συντεταγμένων, αυτό το θεώρημα μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:

Για ένα υλικό σημείο, το θεώρημα για την αλλαγή της ορμής σε οποιαδήποτε από τις μορφές ουσιαστικά δεν διαφέρει από τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός σημείου.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός συστήματος

Η ποσότητα κίνησης του συστήματος θα ονομάζεται διανυσματική ποσότητα Q, ίσο με το γεωμετρικό άθροισμα (κύριο διάνυσμα) των ποσοτήτων κίνησης όλων των σημείων του συστήματος.

Σκεφτείτε ένα σύστημα που αποτελείται από n υλικά σημεία. Ας συνθέσουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης για αυτό το σύστημα και ας τις προσθέσουμε ανά όρο. Τότε παίρνουμε:

Το τελευταίο άθροισμα, λόγω της ιδιότητας των εσωτερικών δυνάμεων, είναι ίσο με μηδέν. Εκτός,

Τελικά βρίσκουμε:

Η εξίσωση (4) εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε διαφορική μορφή: η χρονική παράγωγος της ορμής του συστήματος είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα.

Ας βρούμε μια άλλη έκφραση για το θεώρημα. Αφήστε τη στιγμή t= 0 το μέγεθος της κίνησης του συστήματος είναι Q 0, και τη στιγμή του χρόνου t 1γίνεται ίσος Ε 1.Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (4) επί dtκαι ενσωματώνοντας, παίρνουμε:

Ή πού:

(S- ώθηση δύναμης)

αφού τα ολοκληρώματα στα δεξιά δίνουν ωθήσεις εξωτερικών δυνάμεων,

Η εξίσωση (5) εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος σε ολοκληρωμένη μορφή: η μεταβολή της ορμής του συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το άθροισμα των παλμών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα κατά την ίδια χρονική περίοδο.

Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων θα έχουμε:

Νόμος διατήρησης της ορμής

Από το θεώρημα της μεταβολής της ορμής ενός συστήματος, μπορούν να προκύψουν τα ακόλουθα σημαντικά συμπεράσματα:

1. Έστω το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα ίσο με μηδέν:

Τότε από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι στην περίπτωση αυτή Q = συνεχ.

Ετσι, αν το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι ίσο με μηδέν, τότε το διάνυσμα της ορμής του συστήματος θα είναι σταθερό σε μέγεθος και κατεύθυνση.

2. 01 Έστω οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα τέτοιες ώστε το άθροισμα των προβολών τους σε κάποιον άξονα (για παράδειγμα Ox) να είναι ίσο με μηδέν:

Τότε από τις εξισώσεις (4`) προκύπτει ότι στην περίπτωση αυτή Q = συνεχ.

Ετσι, αν το άθροισμα των προβολών όλων των ενεργών εξωτερικών δυνάμεων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με μηδέν, τότε η προβολή της ποσότητας κίνησης του συστήματος σε αυτόν τον άξονα είναι σταθερή τιμή.

Αυτά τα αποτελέσματα εκφράζουν νόμος διατήρησης της ορμής ενός συστήματος.Από αυτά προκύπτει ότι οι εσωτερικές δυνάμεις δεν μπορούν να αλλάξουν τη συνολική ποσότητα κίνησης του συστήματος.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

· Φαινόμενο για την επιστροφή του ρολού. Αν θεωρήσουμε το τουφέκι και τη σφαίρα ως ένα σύστημα, τότε η πίεση των αερίων σκόνης κατά τη διάρκεια μιας βολής θα είναι μια εσωτερική δύναμη. Αυτή η δύναμη δεν μπορεί να αλλάξει τη συνολική ορμή του συστήματος. Αλλά δεδομένου ότι τα αέρια σκόνης, που δρουν στη σφαίρα, της προσδίδουν μια συγκεκριμένη ποσότητα κίνησης που κατευθύνεται προς τα εμπρός, πρέπει ταυτόχρονα να προσδώσουν στο τουφέκι την ίδια ποσότητα κίνησης προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό θα κάνει το τουφέκι να κινηθεί προς τα πίσω, δηλ. η λεγόμενη επιστροφή. Παρόμοιο φαινόμενο συμβαίνει κατά την πυροδότηση όπλου (rollback).

· Λειτουργία της προπέλας (προπέλα). Η προπέλα μεταδίδει κίνηση σε μια ορισμένη μάζα αέρα (ή νερού) κατά μήκος του άξονα της προπέλας, ρίχνοντας αυτή τη μάζα πίσω. Αν θεωρήσουμε την εκτοξευόμενη μάζα και το αεροσκάφος (ή το πλοίο) ως ένα σύστημα, τότε οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ της προπέλας και του περιβάλλοντος, ως εσωτερικές, δεν μπορούν να αλλάξουν τη συνολική ποσότητα κίνησης αυτού του συστήματος. Επομένως, όταν μια μάζα αέρα (νερού) εκτινάσσεται προς τα πίσω, το αεροσκάφος (ή το πλοίο) λαμβάνει μια αντίστοιχη ταχύτητα προς τα εμπρός τέτοια ώστε το συνολικό ποσό κίνησης του υπό εξέταση συστήματος παραμένει ίσο με μηδέν, αφού ήταν μηδέν πριν ξεκινήσει η κίνηση .

Παρόμοιο αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με τη δράση κουπιών ή τροχών με κουπιά.

· R e c t i v e Πρόωση Σε έναν πύραυλο (πύραυλο), τα αέρια προϊόντα της καύσης του καυσίμου εκτοξεύονται με μεγάλη ταχύτητα από την οπή στην ουρά του πυραύλου (από το ακροφύσιο του κινητήρα τζετ). Οι δυνάμεις πίεσης που δρουν σε αυτή την περίπτωση θα είναι εσωτερικές δυνάμεις και δεν μπορούν να αλλάξουν τη συνολική ορμή του συστήματος αερίων πυραύλων-σκόνης. Όμως, δεδομένου ότι τα αέρια που διαφεύγουν έχουν μια συγκεκριμένη ποσότητα κίνησης που κατευθύνεται προς τα πίσω, ο πύραυλος λαμβάνει μια αντίστοιχη ταχύτητα προς τα εμπρός.

Θεώρημα ροπών γύρω από άξονα.

Εξετάστε το υλικό σημείο μάζας Μ, που κινείται υπό την επίδραση της δύναμης φά. Ας βρούμε γι' αυτό τη σχέση μεταξύ της ροπής των διανυσμάτων mVΚαι φάσε σχέση με κάποιο σταθερό άξονα Ζ.

m z (F) = xF - yF (7)

Ομοίως για την αξία m(mV), εάν αφαιρεθεί Μθα είναι εκτός παρένθεσης

Μ z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Λαμβάνοντας τις παράγωγες ως προς το χρόνο και από τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας, βρίσκουμε

Στη δεξιά πλευρά της παράστασης που προκύπτει, η πρώτη αγκύλη είναι ίση με 0, αφού dx/dt=V και dу/dt = V, η δεύτερη αγκύλη σύμφωνα με τον τύπο (7) είναι ίση με

mz(F), αφού σύμφωνα με τον βασικό νόμο της δυναμικής:

Επιτέλους θα έχουμε (8)

Η εξίσωση που προκύπτει εκφράζει το θεώρημα των ροπών γύρω από τον άξονα: η χρονική παράγωγος της ροπής ορμής ενός σημείου σε σχέση με οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με τη ροπή της ενεργούσας δύναμης σε σχέση με τον ίδιο άξονα.Ένα παρόμοιο θεώρημα ισχύει για στιγμές για οποιοδήποτε κέντρο Ο.

Που αποτελείται από nυλικά σημεία. Ας επιλέξουμε ένα συγκεκριμένο σημείο από αυτό το σύστημα M jμε μάζα m j. Όπως είναι γνωστό, σε αυτό το σημείο δρουν εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις.

Ας το εφαρμόσουμε στην ουσία M jαποτέλεσμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων F j iκαι το αποτέλεσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων F j e(Εικόνα 2.2). Για επιλεγμένο υλικό σημείο M j(όπως για ένα ελεύθερο σημείο) γράφουμε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε διαφορική μορφή (2.3):

Ας γράψουμε παρόμοιες εξισώσεις για όλα τα σημεία του μηχανικού συστήματος (j=1,2,3,…,n).

Εικόνα 2.2

Ας τα προσθέσουμε όλα κομμάτι-κομμάτι nεξισώσεις:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Εδώ ∑m j ×V j =Q– το μέγεθος της κίνησης του μηχανικού συστήματος.
∑F j e = R e– το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο μηχανικό σύστημα.
∑F j i = R i =0– το κύριο διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος (σύμφωνα με την ιδιότητα των εσωτερικών δυνάμεων, είναι ίσο με μηδέν).

Τέλος, για το μηχανικό σύστημα λαμβάνουμε

dQ/dt = R e. (2.11)

Η έκφραση (2.11) είναι ένα θεώρημα σχετικά με την αλλαγή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε διαφορική μορφή (σε διανυσματική έκφραση): η χρονική παράγωγος του διανύσματος της ορμής ενός μηχανικού συστήματος είναι ίση με το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα.

Προβάλλοντας τη διανυσματική ισότητα (2.11) στους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε εκφράσεις για το θεώρημα σχετικά με τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος στην έκφραση συντεταγμένων (βαθμωτών):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

εκείνοι. η χρονική παράγωγος της προβολής της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με την προβολή σε αυτόν τον άξονα του κύριου διανύσματος όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε αυτό το μηχανικό σύστημα.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (2.12) επί dt, λαμβάνουμε το θεώρημα σε άλλη διαφορική μορφή:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

εκείνοι. η διαφορική ορμή ενός μηχανικού συστήματος είναι ίση με τη στοιχειώδη ώθηση του κύριου διανύσματος (το άθροισμα των στοιχειωδών παλμών) όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα.

Ενσωμάτωση της ισότητας (2.13) εντός της χρονικής αλλαγής από 0 σε t, λαμβάνουμε ένα θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε τελική (ολοκληρωμένη) μορφή (σε διανυσματική έκφραση):

Q - Q 0 = S e,

εκείνοι. η μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε μια πεπερασμένη χρονική περίοδο είναι ίση με τη συνολική ώθηση του κύριου διανύσματος (το άθροισμα των συνολικών παλμών) όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα κατά την ίδια χρονική περίοδο.

Προβάλλοντας τη διανυσματική ισότητα (2.14) στους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε εκφράσεις για το θεώρημα σε προβολές (σε μια βαθμωτή έκφραση):

εκείνοι. η αλλαγή στην προβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε οποιονδήποτε άξονα για μια πεπερασμένη χρονική περίοδο είναι ίση με την προβολή στον ίδιο άξονα της συνολικής ώθησης του κύριου διανύσματος (το άθροισμα των συνολικών παλμών) όλων των εξωτερικών δυνάμεων ενεργώντας στο μηχανικό σύστημα κατά την ίδια χρονική περίοδο.

Από το εξεταζόμενο θεώρημα (2.11) – (2.15) προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Αν R e = ∑F j e = 0, Οτι Q = συνεχ– έχουμε το νόμο διατήρησης του διανύσματος ορμής ενός μηχανικού συστήματος: αν το κύριο διάνυσμα R eόλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα μηχανικό σύστημα είναι ίσο με μηδέν, τότε το διάνυσμα της ορμής αυτού του συστήματος παραμένει σταθερό σε μέγεθος και κατεύθυνση και ίσο με την αρχική του τιμή Q 0, δηλ. Q = Q 0.
2. Αν R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Οτι Q x = συνεχ– έχουμε το νόμο της διατήρησης της προβολής στον άξονα της ορμής ενός μηχανικού συστήματος: αν η προβολή του κύριου διανύσματος όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα μηχανικό σύστημα σε οποιονδήποτε άξονα είναι μηδέν, τότε η προβολή στον ίδιο άξονα το διάνυσμα της ορμής αυτού του συστήματος θα είναι σταθερή τιμή και ίσο με την προβολή σε αυτόν τον άξονα αρχικό διάνυσμα ορμής, δηλ. Q x = Q 0x.

Η διαφορική μορφή του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής ενός συστήματος υλικού έχει σημαντικές και ενδιαφέρουσες εφαρμογές στη μηχανική του συνεχούς. Από το (2.11) μπορούμε να λάβουμε το θεώρημα του Euler.

Αφήστε ένα υλικό σημείο να κινηθεί υπό την επίδραση δύναμης φά. Απαιτείται ο προσδιορισμός της κίνησης αυτού του σημείου σε σχέση με το κινούμενο σύστημα Oxyz(βλ. σύνθετη κίνηση υλικού σημείου), που κινείται με γνωστό τρόπο σε σχέση με ακίνητο σύστημα Ο 1 Χ 1 y 1 z 1 .

Βασική εξίσωση δυναμικής σε ακίνητο σύστημα

Ας γράψουμε την απόλυτη επιτάχυνση ενός σημείου χρησιμοποιώντας το θεώρημα Coriolis

Οπου ένα κοιλιακούς– απόλυτη επιτάχυνση.

ένα σχετ– σχετική επιτάχυνση.

ένα λωρίδα– φορητή επιτάχυνση.

ένα πυρήνας– Επιτάχυνση Coriolis.

Ας ξαναγράψουμε το (25) λαμβάνοντας υπόψη το (26)

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία
- φορητή δύναμη αδράνειας,
- Αδρανειακή δύναμη Coriolis. Τότε η εξίσωση (27) παίρνει τη μορφή

Η βασική εξίσωση της δυναμικής για τη μελέτη της σχετικής κίνησης (28) γράφεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για την απόλυτη κίνηση, μόνο οι δυνάμεις αδράνειας μεταφοράς και Coriolis πρέπει να προστεθούν στις δυνάμεις που δρουν σε ένα σημείο.

Γενικά θεωρήματα για τη δυναμική ενός υλικού σημείου

Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε προκατασκευασμένα κενά που λαμβάνονται με βάση τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Τέτοιες μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων συνδυάζονται σε αυτήν την ενότητα.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός υλικού σημείου

Ας παρουσιάσουμε τα ακόλουθα δυναμικά χαρακτηριστικά:

1. Ορμή ενός υλικού σημείου– διανυσματική ποσότητα ίση με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και του διανύσματος της ταχύτητάς του

. (29)

2. Δύναμη παρόρμηση

Στοιχειώδης ώθηση δύναμης– διανυσματική ποσότητα ίση με το γινόμενο του διανύσματος δύναμης και ένα στοιχειώδες χρονικό διάστημα

(30).

Επειτα πλήρης παρόρμηση

. (31)

Στο φά=const που παίρνουμε μικρό=Ft.

Η συνολική ώθηση για μια πεπερασμένη χρονική περίοδο μπορεί να υπολογιστεί μόνο σε δύο περιπτώσεις, όταν η δύναμη που ασκεί σε ένα σημείο είναι σταθερή ή εξαρτάται από το χρόνο. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να εκφραστεί η δύναμη σε συνάρτηση με το χρόνο.

Η ισότητα των διαστάσεων της ώθησης (29) και της ορμής (30) μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια ποσοτική σχέση μεταξύ τους.

Ας εξετάσουμε την κίνηση ενός υλικού σημείου Μ υπό την δράση μιας αυθαίρετης δύναμης φάσε μια αυθαίρετη τροχιά.

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ UD:
. (32)

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές στην (32) και ολοκληρώνουμε

. (33)

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνοντας υπόψη το (31), λαμβάνουμε

. (34)

Η εξίσωση (34) εκφράζει το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα: Η μεταβολή της ορμής ενός υλικού σημείου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκεί το σημείο στο ίδιο χρονικό διάστημα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, η εξίσωση (34) πρέπει να προβάλλεται στους άξονες συντεταγμένων

Αυτό το θεώρημα είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί όταν μεταξύ των δεδομένων και άγνωστων μεγεθών υπάρχει η μάζα ενός σημείου, η αρχική και τελική του ταχύτητα, οι δυνάμεις και ο χρόνος κίνησης.

Θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής ενός υλικού σημείου

Μ
στιγμή της ορμής ενός υλικού σημείουσε σχέση με το κέντρο ισούται με το γινόμενο του συντελεστή ορμής του σημείου και του ώμου, δηλ. η μικρότερη απόσταση (κάθετη) από το κέντρο προς τη γραμμή που συμπίπτει με το διάνυσμα της ταχύτητας

, (36)

. (37)

Η σχέση μεταξύ της ροπής της δύναμης (αιτία) και της ροπής της ορμής (αποτέλεσμα) καθορίζεται από το ακόλουθο θεώρημα.

Έστω σημείο Μ μιας δεδομένης μάζας Μκινείται υπό την επίδραση της δύναμης φά.

,
,

, (38)

. (39)

Ας υπολογίσουμε την παράγωγο του (39)

. (40)

Συνδυάζοντας (40) και (38), τελικά παίρνουμε

. (41)

Η εξίσωση (41) εκφράζει το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα: Η χρονική παράγωγος του διανύσματος γωνιακής ορμής ενός υλικού σημείου σε σχέση με κάποιο κέντρο είναι ίση με τη ροπή της δύναμης που ασκεί το σημείο σε σχέση με το ίδιο κέντρο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, η εξίσωση (41) πρέπει να προβάλλεται στους άξονες συντεταγμένων

Στις εξισώσεις (42), οι ροπές ορμής και δύναμης υπολογίζονται σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.

Από το (41) προκύπτει νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής (νόμος Κέπλερ).

Εάν η ροπή της δύναμης που ασκείται σε ένα υλικό σημείο σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο είναι μηδέν, τότε η γωνιακή ορμή του σημείου σε σχέση με αυτό το κέντρο διατηρεί το μέγεθος και την κατεύθυνσή της.

Αν
, Οτι
.

Το θεώρημα και ο νόμος διατήρησης χρησιμοποιούνται σε προβλήματα που περιλαμβάνουν καμπυλόγραμμη κίνηση, ειδικά υπό τη δράση κεντρικών δυνάμεων.