Lassen Sie uns näher auf Ostrogradskiis Arbeit zu mehreren Integralen eingehen.
Ostrogradskys Formel zur Umwandlung eines Dreifachintegrals in ein Doppelintegral, die wir normalerweise in der Form schreiben
wobei div A die Divergenz des Feldes von Vektor A ist,
An ist das Skalarprodukt des Vektors A und des Einheitsvektors der äußeren Normalen n der Grenzfläche und wurde in der mathematischen Literatur früher oft mit den Namen Gauß und Green in Verbindung gebracht.
Tatsächlich kann man in der Arbeit von Gauß über die Anziehung von Sphäroiden nur ganz bestimmte Fälle der Formel (1) sehen, zum Beispiel bei P=x, Q=R=0 usw. Was J. Green betrifft, in seine Arbeit zur Theorie der Elektrizität und es gibt überhaupt keinen Magnetismus der Formel (1); Es leitet eine weitere Beziehung zwischen Dreifach- und Doppelintegralen ab, nämlich die Greensche Formel für den Laplace-Operator, die wie folgt geschrieben werden kann
Natürlich kann Formel (1) auch aus (2) abgeleitet werden, vorausgesetzt
und Formel (2) kann auf genau die gleiche Weise aus Formel (1) erhalten werden, aber Green dachte nicht einmal daran, dies zu tun.
wobei links das Integral über das Volumen und rechts das Integral über die Grenzfläche ist, und das sind die Richtungskosinuswerte der äußeren Normalen.
Die Pariser Manuskripte von Ostrogradsky bezeugen mit absoluter Sicherheit, dass ihm sowohl die Entdeckung als auch die erste Mitteilung des Integralsatzes (1) zuzuschreiben sind. Es wurde erstmals dargelegt und bewiesen, genau wie es jetzt im „Beweis eines Satzes der Integralrechnung“ geschieht, der am 13. Februar 1826 der Pariser Akademie der Wissenschaften vorgelegt wurde, und anschließend in diesem Teil des Buches erneut formuliert „Memoir on the Propagation of Heat in Solids“, das Ostrogradsky am 6. August 1827 vorlegte. Die „Memoir“ wurde Fourier und Poisson zur Durchsicht übergeben, und letzterer las sie natürlich, wie der Eintrag auf den ersten Seiten der beiden Teile des Manuskripts bezeugt. Natürlich dachte Poisson nicht einmal daran, den Satz anzuerkennen, den er zwei Jahre vor der Vorlage seiner Arbeit zur Elastizitätstheorie in Ostrogradskiis Werk kennengelernt hatte.
Was die Beziehung zwischen den Arbeiten zu multiplen Integralen von Ostrogradsky und Green betrifft, erinnern wir uns daran, dass in der „Note on the Theory of Heat“ eine Formel abgeleitet wird, die Greens eigene Formel als einen ganz besonderen Fall umfasst. Die heute ungewohnte Symbolik von Cauchy, die Ostrogradsky in der Notiz verwendete, verbarg diese wichtige Entdeckung bis vor Kurzem vor den Forschern. Natürlich verbleibt die Ehre der Entdeckung und der ersten Veröffentlichung der Formel für Laplace-Operatoren, die seinen Namen trägt, im Jahr 1828 bei Green.
Die Entdeckung der Formel zur Umwandlung eines Dreifachintegrals in ein Doppelintegral half Ostrogradsky, das Problem der Variation des n-fachen Integrals zu lösen, nämlich die allgemeine Formel zur Umwandlung des Integrals aus einem Ausdruck vom Divergenztyp über einen n-dimensionalen Ausdruck abzuleiten Domäne und das Integral über der sie begrenzenden Superfläche S mit der Gleichung L(x, y, z,…)=0. Bleiben wir bei der bisherigen Notation, dann hat die Formel die Form
Ostrogradsky verwendete jedoch nicht die geometrischen Bilder und Begriffe, die wir verwenden: Die Geometrie mehrdimensionaler Räume existierte zu dieser Zeit noch nicht.
Im Memoir on the Calculus of Variations of Multiple Integrals werden zwei weitere wichtige Fragen der Theorie solcher Integrale behandelt. Zunächst leitet Ostrogradsky eine Formel für eine Änderung von Variablen in einem mehrdimensionalen Integral ab; Zweitens gibt er zum ersten Mal eine vollständige und genaue Beschreibung der Technik zur Berechnung des n-fachen Integrals unter Verwendung von n aufeinanderfolgenden Integrationen über jede der Variablen innerhalb der entsprechenden Grenzen. Schließlich lässt sich aus den in dieser Abhandlung enthaltenen Formeln leicht eine allgemeine Regel für die Differenzierung nach dem Parameter eines mehrdimensionalen Integrals ableiten, wenn nicht nur der Integrand, sondern auch die Grenze des Integrationsbereichs von diesem Parameter abhängt. Die besagte Regel folgt aus den in den Memoiren enthaltenen Formeln auf so natürliche Weise, dass spätere Mathematiker sie sogar mit einer der Formeln dieser Memoiren identifizierten.
Ostrogradskii widmete der Änderung von Variablen in mehreren Integralen ein besonderes Werk. Für das Doppelintegral wurde die entsprechende Regel mithilfe formaler Transformationen von Euler abgeleitet, für das Dreifachintegral von Lagrange. Obwohl Lagranges Ergebnis korrekt ist, war seine Argumentation jedoch nicht korrekt: Er schien davon auszugehen, dass die Volumenelemente in der alten und neuen Variablen – Koordinaten – einander gleich sind. Einen ähnlichen Fehler machte Ostrogradsky anfangs bei der eben erwähnten Ableitung der Regel für die Änderung von Variablen. In dem Artikel „Über die Transformation von Variablen in mehreren Integralen“ deckte Ostrogradsky den Fehler von Lagrange auf und skizzierte erstmals auch die anschauliche geometrische Methode zur Transformation von Variablen in ein Doppelintegral, die auch in einem etwas strengeren Format vorgestellt wird in unseren Handbüchern. Bei der Änderung von Variablen im Integral durch Formeln wird nämlich der Integrationsbereich durch die Koordinatenlinien der beiden Systeme u=const, v=const in unendlich kleine krummlinige Vierecke unterteilt. Dann kann das Integral erhalten werden, indem zunächst diejenigen seiner Elemente addiert werden, die einem unendlich schmalen krummlinigen Streifen entsprechen, und dann die Elemente in Streifen weiter summiert werden, bis sie alle erschöpft sind. Eine einfache Rechnung ergibt für die Fläche, die bis auf kleine höhere Ordnungen als Parallelogramm betrachtet werden kann, den Ausdruck, wobei man so wählt, dass die Fläche positiv ist. Das Ergebnis ist die bekannte Formel
Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation
Kursarbeit
Nach Disziplin: Höhere Mathematik
(Grundlagen der linearen Programmierung)
Zum Thema: MEHRERE INTEGRALE
Gemacht von: ______________
Lehrer:___________
Datum ___________________
Grad _________________
Unterschrift ________________
VORONESCH 2008
1 Mehrere Integrale
1.1 Doppeltes Integral
1.2 Dreifaches Integral
1.3 Mehrere Integrale in krummlinigen Koordinaten
1.4 Geometrische und physikalische Anwendungen mehrerer Integrale
2 Krummlinige und Oberflächenintegrale
2.1 Krummlinige Integrale
2.2 Oberflächenintegrale
2.3 Geometrische und physikalische Anwendungen
Literaturverzeichnis
1 Mehrere Integrale
1.1 Doppeltes Integral
Betrachten wir einen geschlossenen Bereich D in der Oxy-Ebene, der durch die Linie L begrenzt wird. Teilen wir diesen Bereich durch einige Linien in n Teile
, und die entsprechenden größten Abstände zwischen Punkten in jedem dieser Teile werden mit d 1 , d 2 , ..., d n bezeichnet. Wählen wir in jedem Teil einen Punkt Р i.Gegeben sei eine Funktion z = f(x, y) im Definitionsbereich D. Bezeichnen Sie mit f(P 1), f(P 2),…, f(P n) die Werte dieser Funktion an den ausgewählten Punkten und bilden Sie die Summe der Produkte der Form f(P i)ΔS i:
, (1)
heißt die Integralsumme für die Funktion f(x, y) im Bereich D.
Wenn es den gleichen Grenzwert ganzzahliger Summen (1) für gibt
und , das weder von der Methode zur Aufteilung des Bereichs D in Teile noch von der Wahl der Punkte P i in ihnen abhängt, wird es als Doppelintegral der Funktion f(x, y) über den Bereich D bezeichnet und ist bezeichnet
. (2)
Berechnung des Doppelintegrals über die durch Linien begrenzte Fläche D
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Dreifaches Integral
Das Konzept eines Dreifachintegrals wird in Analogie zu einem Doppelintegral eingeführt.
Es sei ein durch eine geschlossene Fläche S begrenzter Bereich V im Raum gegeben. Definieren wir eine stetige Funktion f(x, y, z) in diesem geschlossenen Bereich. Dann teilen wir die Region V in beliebige Teile Δv i auf, wobei wir davon ausgehen, dass das Volumen jedes Teils gleich Δv i ist, und bilden eine Integralsumme der Form
, (4)Limit bei
Integralsummen (11), die nicht von der Methode der Partitionierung des Bereichs V und der Wahl der Punkte P i in jedem Unterbereich dieses Bereichs abhängen, werden als Dreifachintegral der Funktion f(x, y, z) über die bezeichnet Domäne V:
. (5)
Das Dreifachintegral der Funktion f(x,y,z) über den Bereich V ist gleich dem Dreifachintegral über denselben Bereich:
. (6)
1.3 Mehrere Integrale in krummlinigen Koordinaten
Wir führen krummlinige Koordinaten in der Ebene ein, die als Polar bezeichnet werden. Wir wählen einen Punkt O (Pol) und einen von ihm ausgehenden Strahl (Polarachse).
Reis. 2 Abb. 3
Die Koordinaten des Punktes M (Abb. 2) sind die Länge des MO-Segments – der Polarradius ρ und der Winkel φ zwischen dem MO und der Polarachse: М(ρ,φ). Beachten Sie, dass für alle Punkte der Ebene außer dem Pol ρ > 0 gilt und der Polarwinkel φ als positiv angesehen wird, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, und als negativ, wenn er in der entgegengesetzten Richtung gemessen wird.
Die Beziehung zwischen den polaren und kartesischen Koordinaten des Punktes M kann eingestellt werden, wenn der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems auf den Pol ausgerichtet ist und die positive Halbachse Ox auf die Polarachse ausgerichtet ist (Abb. 3). Dann ist x=ρcosφ, y=ρsinφ . Von hier
, tg. Stellen wir uns im Bereich D ein, der durch die Kurven ρ=Φ 1 (φ) und ρ=Φ 2 (φ) begrenzt wird, wobei φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
Im dreidimensionalen Raum werden Zylinder- und Kugelkoordinaten eingeführt.
Die Zylinderkoordinaten des Punktes P(ρ,φ,z) sind die Polarkoordinaten ρ, φ der Projektion dieses Punktes auf die Oxy-Ebene und das Applikat dieses Punktes z (Abb. 5).
Abb.5 Abb.6
Die Umrechnungsformeln von zylindrischen in kartesische Koordinaten können wie folgt angegeben werden:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
In sphärischen Koordinaten wird die Position eines Punktes im Raum durch die lineare Koordinate r bestimmt – den Abstand vom Punkt zum Ursprung des kartesischen Koordinatensystems (oder dem Pol des sphärischen Systems), φ – den Polarwinkel zwischen dem Positiven Ox-Halbachse und die Projektion des Punktes auf die Oxy-Ebene und θ – der Winkel zwischen der positiven Halbachse der Achse Oz und dem Segment OP (Abb. 6). Dabei
Legen wir die Formeln für den Übergang von sphärischen zu kartesischen Koordinaten fest:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Dann sehen die Formeln für den Übergang zu Zylinder- oder Kugelkoordinaten im Tripelintegral so aus:
, (10)
wobei F 1 und F 2 die Funktionen sind, die durch Einsetzen ihrer Ausdrücke in Form von Zylinder- (8) oder Kugelkoordinaten (9) in die Funktion f anstelle von x, y, z erhalten werden.
1.4 Geometrische und physikalische Anwendungen mehrerer Integrale
1) Flache Region Fläche S:
(11)Beispiel 1
Finden Sie den durch Linien begrenzten Bereich der Abbildung D
Es ist praktisch, diese Fläche zu berechnen, indem man y als externe Variable zählt. Dann sind die Grenzen der Region durch die Gleichungen gegeben
Und 
wird durch partielle Integration berechnet: 
Zuvor haben wir die Eigenschaften eines bestimmten Integrals bewiesen, indem wir seine Definition als Grenzwert von Summen verwendet haben. Die grundlegenden Eigenschaften mehrerer Integrale können auf genau die gleiche Weise bewiesen werden. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Funktionen stetig sind, sodass ihre Integrale durchaus Sinn ergeben.
I. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden, und das Integral der endlichen Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der Terme:
II. Zerlegt man die Fläche in endlich viele Teile [zum Beispiel in zwei Teile, dann ist das Integral über die gesamte Fläche gleich der Summe der Integrale über alle Teile:
III. Wenn in der Gegend, dann
Insbesondere :
IV. Wenn es im Bereich (a) vorzeichenerhaltend ist, dann gilt der Mittelwertsatz, der durch die Formel ausgedrückt wird
Wo liegt ein Punkt innerhalb der Region (a)?
Insbesondere, wenn wir bekommen
Wo ist die Fläche der Region?
Ähnliche Eigenschaften gelten für das Dreifachintegral. Beachten Sie, dass bei der Definition des Doppel- und Dreifachintegrals als Grenzwert der Summe immer davon ausgegangen wird, dass das Integrationsgebiet endlich ist und der Integrand in jedem Fall beschränkt ist, d. h. es gibt eine solche positive Zahl A, dass an allen Punkten N der Integrationsregion. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann das Integral ähnlich wie das einfache bestimmte Integral als uneigentliches Integral vorliegen. Mit uneigentlichen multiplen Integralen beschäftigen wir uns in § 8.
Achtung: Bei der Berechnung uneigentlicher Integrale mit singulären Punkten innerhalb des Integrationsintervalls können Sie die Newton-Leibniz-Formel nicht mechanisch anwenden, da dies zu Fehlern führen kann.
Allgemeine Regel: Die Newton-Leibniz-Formel ist korrekt, wenn die Stammfunktion von f(x) im singulären Punkt ist letzterer stetig.
Beispiel 2.11.
Betrachten Sie ein uneigentliches Integral mit einem singulären Punkt x = 0. Die formal angewendete Newton-Leibniz-Formel ergibt
Die allgemeine Regel gilt hier jedoch nicht; für f(x) = 1/x die Stammfunktion ln |x| ist bei x = 0 nicht definiert und an dieser Stelle unendlich groß, d.h. ist zu diesem Zeitpunkt nicht kontinuierlich. Es ist leicht, durch direkte Verifizierung zu überprüfen, ob das Integral divergiert. Wirklich,
Mit der daraus resultierenden Unsicherheit kann auf unterschiedliche Weise umgegangen werden, da e und d unabhängig voneinander gegen Null tendieren. Insbesondere unter der Annahme e = d erhalten wir den Hauptwert des unechten Integrals gleich 0. Wenn e = 1/n und d =1/n 2 , d. h. d geht schneller gegen 0 als e, erhalten wir
bei und , umgekehrt,
diese. das Integral divergiert.n
Beispiel 2.12.
Betrachten Sie ein uneigentliches Integral mit einem singulären Punkt x = 0. Die Stammfunktion einer Funktion hat die Form und ist im Punkt x = 0 stetig. Daher können wir die Newton-Leibniz-Formel anwenden:
Eine natürliche Verallgemeinerung des Konzepts eines bestimmten Riemann-Integrals auf den Fall einer Funktion mehrerer Variablen ist das Konzept eines multiplen Integrals. Für den Fall zweier Variablen nennt man solche Integrale doppelt.
Betrachten Sie im zweidimensionalen euklidischen Raum R´R, d.h. auf einer Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem die Menge E Endbereich S.
Bezeichnen Sie mit ( ich = 1, …, k) Partition festlegen E, d.h. ein solches System seiner Teilmengen E ich , ich = 1,. . ., k dass Ø für i ¹ j und (Abb. 2.5). Hier durch eine Teilmenge bezeichnet E i ohne seine Grenze, d.h. interne Punkte der Teilmenge E i , die zusammen mit ihrer Grenze Gr E Ich bilde eine geschlossene Teilmenge E ich, . Es ist klar, dass die Gegend S(E i) Teilmengen E ich fällt mit der Fläche seines Inneren zusammen, da die Fläche der Grenze GrE ich ist null.
Bezeichnen Sie mit d(E i) Durchmesser einstellen E i , d.h. der maximale Abstand zwischen seinen beiden Punkten. Die Größe l(t) = d(E i) heißt Feinheit der Teilung T. Wenn eine Funktion f(x),x = (x, y), auf E als Funktion zweier Argumente definiert ist, dann jede Summe der Form
X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
Abhängig sowohl von der Funktion f und der Partition t als auch von der Wahl der Punkte wird x i í E i þ t aufgerufen Integralsumme der Funktion f .
Wenn es für eine Funktion f eine gibt, die nicht von Partitionen t oder von der Wahl der Punkte abhängt (i = 1, …, k), dann heißt dieser Grenzwert Riemannsches Doppelintegral aus f(x,y) und wird bezeichnet
In diesem Fall wird die Funktion f selbst aufgerufen Riemann-integrierbar.
Denken Sie daran, dass im Fall einer Funktion ein Argument als Menge vorliegt E, über die die Integration durchgeführt wird, wird normalerweise das Segment genommen , und als seine Partition t betrachten wir eine Partition, die aus Segmenten besteht. Ansonsten wiederholt die Definition des Riemann-Doppelintegrals, wie leicht zu erkennen ist, die Definition des bestimmten Riemann-Integrals für eine Funktion eines Arguments.
Das Riemannsche Doppelintegral beschränkter Funktionen zweier Variablen hat die üblichen Eigenschaften eines bestimmten Integrals für Funktionen eines Arguments − Linearität, Additivität in Bezug auf die Mengen, über die die Integration durchgeführt wird, Erhaltung bei der Integration nichtstrikte Ungleichungen, Produktintegrierbarkeit integrierbare Funktionen usw.
Die Berechnung mehrerer Riemann-Integrale reduziert sich auf die Berechnung iterierte Integrale. Betrachten Sie den Fall des doppelten Riemann-Integrals. Lassen Sie die Funktion f(x,y) ist auf der Menge E definiert, die im kartesischen Produkt der Mengen X ´ Y, E Ì X ´ Y liegt.
Iteriertes Integral der Funktion f(x, y) wird als Integral bezeichnet, bei dem die Integration über verschiedene Variablen sequentiell durchgeführt wird, d. h. Integral der Form
Die Menge E(y) = (x:
Für das iterierte Integral wird außerdem folgende Notation verwendet:
was wie das vorherige bedeutet, dass es sich zunächst um einen festen handelt y, y О E y , Die Funktion ist integriert f(x, y) Von X entlang des Segments E(j), der ein Abschnitt der Menge ist E entsprechend j. Infolgedessen definiert das innere Integral eine Funktion einer Variablen − j. Diese Funktion wird dann als Funktion einer Variablen integriert, wie durch das äußere Integralsymbol angezeigt.
Eine Änderung der Integrationsreihenfolge führt zu einem iterierten Integral der Form
wo die interne Integration durchgeführt wird ja, und extern - X. Wie lässt sich dieses iterierte Integral mit dem oben definierten iterierten Integral vergleichen?
Wenn es ein Doppelintegral der Funktion gibt F, d.h.
dann existieren auch beide iterierten Integrale, und sie haben den gleichen Wert und sind gleich dem Doppelten, d.h.
Wir betonen, dass die in dieser Aussage formulierte Bedingung für die Möglichkeit der Änderung der Integrationsreihenfolge in iterierten Integralen nur ist ausreichend aber nicht notwendig.
Andere ausreichende Bedingungen Die Möglichkeiten zur Änderung der Integrationsreihenfolge in iterierten Integralen werden wie folgt formuliert:
wenn mindestens eines der Integrale existiert
dann die Funktion f(x, y) Riemann am Set integrierbar E, beide iterierten Integrale davon existieren und sind gleich dem Doppelintegral. N
Wir konkretisieren die Darstellungen von Projektionen und Schnitten in der Notation iterierter Integrale.
Wenn E ein Rechteck ist
Das E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); dabei E(y) = E x für jedes y, y í E y . , A E(x) = E y für jedes x , x О E x ..
Formale Notation: „ y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = E y
Wenn die Menge E hat krummlinige Grenze und ermöglicht Darstellungen
In diesem Fall werden iterierte Integrale wie folgt geschrieben:
Beispiel 2.13.
Berechnen Sie das Doppelintegral über die rechteckige Fläche und reduzieren Sie es auf das iterierte Integral.
Da die Bedingung sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, dann Prüfung der Machbarkeit ausreichender Bedingungen für die Existenz des Doppelintegrals I in Form der Existenz eines der iterierten Integrale
Hier ist keine besondere Durchführung erforderlich und Sie können sofort mit der Berechnung des iterierten Integrals fortfahren
Wenn es existiert, dann existiert auch das Doppelintegral und I = I 1 . Weil das
Also I = .n
Beispiel 2.14.
Berechnen Sie das Doppelintegral über den Dreiecksbereich (siehe Abb. 2.6) und reduzieren Sie es auf das Iterierte
Gr(E) = (
Zunächst überprüfen wir die Existenz des Doppelintegrals I. Dazu genügt es, die Existenz des iterierten Integrals zu überprüfen
diese. Die Integranden sind auf den Integrationsintervallen stetig, da sie alle Potenzfunktionen sind. Daher existiert das Integral I 1. In diesem Fall existiert auch das Doppelintegral und ist gleich jedem wiederholten Integral, d.h.
Beispiel 2.15.
Um den Zusammenhang zwischen den Konzepten von Doppelintegralen und iterierten Integralen besser zu verstehen, betrachten Sie das folgende Beispiel, das beim ersten Lesen weggelassen werden kann. Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen f(x, y)
Beachten Sie, dass diese Funktion für ein festes x ungerade in y und für ein festes y ungerade in x ist. Als Menge E, über die diese Funktion integriert wird, nehmen wir das Quadrat E = (
Betrachten wir zunächst das iterierte Integral
Inneres Integral
wird für ein festes y angenommen, -1 £ y £ 1. Da der Integrand für ein festes y in x ungerade ist, erfolgt die Integration über diese Variable über das Segment [-1, 1], das bezüglich dieser symmetrisch ist zum Punkt 0, dann ist das innere Integral gleich 0. Offensichtlich ist auch das äußere Integral über die Variable y der Nullfunktion gleich 0, d.h.
Eine ähnliche Argumentation für das zweite iterierte Integral führt zum gleichen Ergebnis:
Für die betrachtete Funktion f(x, y) existieren also die iterierten Integrale und sind einander gleich. Das Doppelintegral der Funktion f(x, y) existiert jedoch nicht. Um dies zu überprüfen, wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der Berechnung iterierter Integrale zu.
Um das iterierte Integral zu berechnen
Es wird eine Partitionierung des Quadrats E einer speziellen Form sowie eine spezielle Berechnung der Integralsummen verwendet. Das Quadrat E ist nämlich in horizontale Streifen unterteilt (siehe Abb. 2.7) und jeder Streifen ist in kleine Rechtecke unterteilt. Jeder Balken entspricht einem Wert der Variablen y; Beispielsweise könnte es sich um die Ordinate der horizontalen Achse des Streifens handeln.
Die Integralsummen werden wie folgt berechnet: Zunächst werden die Summen für jedes Band separat berechnet, d. h. bei einem festen y für verschiedene x, und dann werden diese Zwischensummen für verschiedene Bänder summiert, d. h. für verschiedene y. Wenn die Feinheit der Partition gegen Null geht, erhalten wir im Grenzfall das oben angegebene iterierte Integral.
Es ist klar, dass für das zweite iterierte Integral
Die Menge E wird durch vertikale Streifen unterteilt, die verschiedenen x entsprechen. Zwischensummen werden innerhalb jedes Bands durch kleine Rechtecke berechnet, d. h. über y, und dann werden sie für verschiedene Bänder summiert, d. h. X. Im Grenzfall, wenn die Feinheit der Partition gegen Null geht, erhalten wir das entsprechende iterierte Integral.
Um zu beweisen, dass das Doppelintegral nicht existiert, genügt es, ein Beispiel für eine Partition zu nennen, die Berechnung der Integralsummen, über die im Grenzfall, wenn die Feinheit der Partition gegen Null geht, ein vom Wert verschiedenes Ergebnis liefert der iterierten Integrale. Lassen Sie uns ein Beispiel für eine solche Partition geben, die dem Polarkoordinatensystem (r, j) entspricht (siehe Abb. 2.8).
Im Polarkoordinatensystem wird die Position eines beliebigen Punktes auf der Ebene M 0 (x 0, y 0), wobei x 0, y 0 die kartesischen Koordinaten des Punktes M 0 sind, durch die Länge r 0 des Radius bestimmt Verbinden Sie es mit dem Ursprung und dem Winkel j 0, der daraus einen Radius mit positiver x-Achsenrichtung bildet (der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn gezählt). Der Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten ist offensichtlich:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Die Partition ist wie folgt aufgebaut. Zuerst wird das Quadrat E durch Radien, die vom Koordinatenmittelpunkt ausgehen, in Sektoren unterteilt, und dann wird jeder Sektor durch Linien senkrecht zur Achse des Sektors in kleine Trapeze unterteilt. Die Berechnung der Integralsummen erfolgt wie folgt: zunächst entlang kleiner Trapeze innerhalb jedes Sektors entlang seiner Achse (entlang r) und dann – über alle Sektoren (entlang j). Die Position jedes Sektors wird durch den Winkel seiner Achse j charakterisiert, und die Länge seiner Achse r(j) hängt von diesem Winkel ab:
wenn oder , dann ;
wenn, dann ;
wenn, dann
wenn, dann .
Wenn wir zum Grenzwert der Integralsummen der polaren Partition gehen, wobei die Feinheit der Partition gegen Null geht, erhalten wir das Doppelintegral in Polarkoordinaten. Eine solche Notation kann auch auf rein formalem Weg erreicht werden, indem man die kartesischen Koordinaten (x, y) durch Polarkoordinaten (r, j) ersetzt.
Nach den Regeln für den Übergang in Integralen von kartesischen zu Polarkoordinaten sollte man per Definition schreiben:
In Polarkoordinaten lässt sich die Funktion f(x, y) wie folgt schreiben:
Endlich haben wir es
Inneres Integral (uneigentlich) in der letzten Formel
wobei die oben angegebene Funktion r(j), 0 £ j £ 2p , für jedes j gleich +¥ ist, weil
Daher ist der Integrand im über j ausgewerteten äußeren Integral für kein j definiert. Aber dann ist das äußere Integral selbst nicht definiert, d.h. Das ursprüngliche Doppelintegral ist nicht definiert.
Beachten Sie, dass die Funktion f(x, y) nicht die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Doppelintegrals über der Menge E erfüllt. Zeigen wir, dass das Integral
existiert nicht. Wirklich,
Ebenso ergibt sich das gleiche Ergebnis für das Integral
Das Konzept eines Doppelintegrals
Das Doppelintegral (DI) ist eine Verallgemeinerung des bestimmten Integrals (DI) einer Funktion einer Variablen auf den Fall einer Funktion zweier Variablen.
Es sei eine stetige nichtnegative Funktion $z=f\left(x,y\right)$ in einem geschlossenen Bereich $D$ definiert, der sich in der Koordinatenebene $xOy$ befindet. Die Funktion $z=f\left(x,y\right)$ beschreibt eine Fläche, die in die Region $D$ projiziert wird. Die Region $D$ wird durch eine geschlossene Linie $L$ begrenzt, deren Randpunkte ebenfalls zur Region $D$ gehören. Wir nehmen an, dass die Linie $L$ durch eine endliche Anzahl kontinuierlicher Kurven gebildet wird, die durch Gleichungen der Form $y=\vartheta \left(x\right)$ oder $x=\psi \left(y\right)$ gegeben sind .
Teilen wir den Bereich $D$ in $n$ beliebige Abschnitte mit der Fläche $\Delta S_(i) $. In jedem der Segmente wählen wir einen beliebigen Punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. An jedem dieser Punkte berechnen wir den Wert der gegebenen Funktion $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Betrachten wir das Volumen unter dem Teil der Oberfläche $z=f\left(x,y\right)$, der in das Segment $\Delta S_(i) $ projiziert wird. Geometrisch kann dieses Volumen näherungsweise als Volumen eines Zylinders mit der Basis $\Delta S_(i) $ und der Höhe $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ dargestellt werden, d.h. gleich dem Produkt von $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Dann kann das Volumen unter der gesamten Oberfläche $z=f\left(x,y\right)$ innerhalb der Region $D$ näherungsweise als Summe der Volumina aller Zylinder $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Diese Summe wird als Integralsumme für die Funktion $f\left(x,y\right)$ in $D$ bezeichnet.
Nennen wir den Durchmesser $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ des Segments $\Delta S_(i) $ den größten Abstand zwischen den Extrempunkten dieses Segments. Bezeichnen Sie mit $\lambda $ den größten Durchmesser aller Abschnitte aus der Region $D$. Sei $\lambda \to 0$ aufgrund der unbegrenzten $n\bis \infty $ Verfeinerung der Partition von $D$.
Definition
Wenn es einen Grenzwert der Integralsumme $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ gibt, dann heißt diese Zahl CI der Funktion $f\left(x,y\ right)$ über dem Definitionsbereich $D $ und bezeichnen $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ oder $I=\iint \limits _(D)f\ left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy$.
Die Region $D$ wird Integrationsregion genannt, $x$ und $y$ sind die Integrationsvariablen und $dS=dx\cdot dy$ ist das Flächenelement.
Aus der Definition ergibt sich die geometrische Bedeutung von CI: Es gibt den genauen Wert des Volumens eines krummlinigen Zylinders an.
Anwendung von Doppelintegralen
Körpervolumen
Gemäß der geometrischen Bedeutung von DI ist das Volumen $V$ eines Körpers, der von oben durch die Oberfläche $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, von unten durch die Region $D$ begrenzt wird Die Ebene $xOy$ auf den Seiten der Zylinderfläche, deren Erzeugende parallel zur Achse $Oz$ sind und deren Richtlinie die Kontur von $D$ (Linie $L$) ist, wird durch die Formel $V berechnet =\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Der Körper begrenze die Fläche $z=f_(2) \left(x,y\right)$ von oben und die Fläche $z=f_(1) \left(x,y\right)$ von unten und $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Die Projektion beider Flächen auf die Ebene $xOy$ ist der gleiche Bereich $D$. Dann wird das Volumen eines solchen Körpers durch die Formel $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) berechnet \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Angenommen, im Definitionsbereich $D$ ändert die Funktion $f\left(x,y\right)$ das Vorzeichen. Um dann das Volumen des entsprechenden Körpers zu berechnen, muss die Region $D$ in zwei Teile geteilt werden: den Teil $D_(1) $, wobei $f\left(x,y\right)\ge 0$, und der Teil $D_(2) $, wobei $f\left(x,y\right)\le 0$. In diesem Fall ist das Integral über den Bereich $D_(1) $ positiv und gleich dem Volumen des Körperteils, der über der Ebene $xOy$ liegt. Das Integral über $D_(2)$ ist negativ und entspricht im absoluten Wert dem Volumen des Körperteils, der unterhalb der $xOy$-Ebene liegt.
Fläche einer flachen Figur
Wenn wir überall im Bereich $D$ auf der Koordinatenebene $xOy$ $f\left(x,y\right)\equiv 1$ setzen, dann ist der DI numerisch gleich der Fläche des Integrationsbereichs $D $, also $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Im Polarkoordinatensystem lautet die gleiche Formel $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Freie Fläche
Lassen Sie eine durch die Gleichung $z=f_(1) \left(x,y\right)$ gegebene Fläche $Q$ auf die Koordinatenebene $xOy$ in den Bereich $D_(1) $ projizieren. In diesem Fall kann die Oberfläche $Q$ mit der Formel $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) berechnet werden. \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Menge der Substanz
Nehmen wir an, dass eine Substanz mit der Oberflächendichte $\rho \left(x,y\right)$ im Bereich $D$ auf der Ebene $xOy$ verteilt ist. Das bedeutet, dass die Oberflächendichte $\rho \left(x,y\right)$ die Masse der Materie pro Flächeneinheit $dx\cdot dy$ von $D$ ist. Unter diesen Bedingungen kann die Gesamtmasse der Materie mit der Formel $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ berechnet werden.
Beachten Sie, dass die „Substanz“ eine elektrische Ladung, Wärme usw. sein kann.
Koordinaten des Massenschwerpunkts einer ebenen Figur
Die Formeln zur Berechnung der Koordinaten des Massenschwerpunkts einer flachen Figur lauten: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy ) (M) $.
Die Werte in den Zählern werden als statische Momente $M_(y)$ und $M_(x)$ der flachen Figur $D$ in Bezug auf die Achsen $Oy$ bzw. $Ox$ bezeichnet.
Wenn die flache Figur homogen ist, also $\rho =const$, dann werden diese Formeln vereinfacht und nicht in Bezug auf die Masse, sondern in Bezug auf die Fläche der flachen Figur $S$ ausgedrückt: $x_(c) =\frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy ) (S) $.
Trägheitsmomente der Fläche einer ebenen Figur
Betrachten wir eine materielle ebene Figur auf der Ebene $xOy$. Stellen wir es uns als eine bestimmte Fläche $D$ vor, über die ein Stoff mit einer Gesamtmasse $M$ mit variabler Oberflächendichte $\rho \left(x,y\right)$ verteilt ist.
Der Wert des Trägheitsmoments der Fläche einer flachen Figur relativ zur Achse $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho(x,\;y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Der Wert des Trägheitsmoments um die Achse $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Das Trägheitsmoment einer flachen Figur um den Ursprung ist gleich der Summe der Trägheitsmomente um die Koordinatenachsen, d. h. $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Für Funktionen von drei Variablen werden Dreifachintegrale eingeführt.
Nehmen Sie an, dass ein Bereich $V$ des dreidimensionalen Raums gegeben ist, der durch eine geschlossene Oberfläche $S$ begrenzt ist. Wir gehen davon aus, dass die Punkte, die auf der Oberfläche liegen, ebenfalls zum Bereich $V$ gehören. Nehmen Sie an, dass eine stetige Funktion $f\left(x,y,z\right)$ in $V$ gegeben ist. Unter der Bedingung $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ kann eine solche Funktion beispielsweise die volumetrische Verteilungsdichte einer Substanz, die Temperaturverteilung usw. sein.
Teilen wir den Bereich $V$ in $n$ beliebige Teile, deren Volumina $\Delta V_(i) $ sind. In jedem der Teile wählen wir einen beliebigen Punkt $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. An jedem dieser Punkte berechnen wir den Wert der gegebenen Funktion $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Wir bilden die Integralsumme $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \ Delta V_ (i) $ und verfeinern $\left(n\to \infty \right)$ die Unterteilung von $V$ auf unbestimmte Zeit, so dass der größte Durchmesser $\lambda $ aller Teile $\Delta V_(i) $ auf unbestimmte Zeit abnimmt $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Definition
Unter den oben genannten Bedingungen existiert der Grenzwert $I$ dieser Integralsumme, wird als dreifaches Integral der Funktion $f\left(x,y,z\right)$ über den Definitionsbereich $V$ bezeichnet und mit $I bezeichnet \; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV$ oder $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz $.
