ТЕОРЕМИ НА ЧЕВА И МЕНЕЛАЙ
Теорема на Чева
Повечето от забележителните триъгълни точки могат да бъдат получени чрез следната процедура. Нека има някакво правило, според което можем да изберем определена точка А 1 , на страната BC (или нейното продължение) на триъгълник ABC (например изберете средата на тази страна). След това ще построим подобни точки B 1, С 1 от другите две страни на триъгълника (в нашия пример има още две средни точки на страните). Ако правилото за избор е успешно, тогава направо АА 1, BB 1, CC 1 ще се пресичат в някаква точка Z (изборът на средите на страните в този смисъл, разбира се, е успешен, тъй като медианите на триъгълника се пресичат в една точка).
Бих искал да имам някакъв общ метод, който позволява да се определи от позицията на точките от страните на триъгълник дали съответната тройка прави се пресича в една точка или не.
Универсално условие, което "затваря" този проблем, е открито през 1678 г. от италиански инженерДжовани Чева .
Определение. Сегменти, свързващи върховете на триъгълник с точки от противоположните страни (или техните продължения), се наричат цевиани, ако се пресичат в една точка.
Има две възможни места за цевианите. В една версия точката
пресечните точки са вътрешни, а краищата на цевианите лежат на страните на триъгълника. При втория вариант пресечната точка е външна, краят на един севиан лежи отстрани, а краищата на другите два севиана лежат върху разширенията на страните (вижте чертежите).
Теорема 3. (директната теорема на Ceva) В произволен триъгълник ABC точки A са взети съответно на страни BC, CA, AB или техните продължения 1 , ИН 1 , СЪС 1 , така че прав AA 1 , BB 1 , SS 1 тогава се пресичат в някаква обща точка
.
Доказателство: Въпреки че са известни няколко оригинални доказателства на теоремата на Чева, ние ще разгледаме доказателство, базирано на двойно приложение на теоремата на Менелай. Нека запишем връзката на теоремата на Менелай за първи път за триъгълникABB 1 и секанс CC 1 (означаваме пресечната точка на цевианитеЗ):
,
и втори път за триъгълникб 1 пр.н.е.и секанс А.А. 1 :
.
Като умножим тези две съотношения и направим необходимите редукции, получаваме съотношението, съдържащо се в твърдението на теоремата.
Теорема 4. (Обратната теорема на Ceva) . Ако за избраните от страните на триъгълника ABC или техните разширения на точки А 1 , ИН 1 И ° С 1 Условието на Чева е удовлетворено:
,
след това направо А.А. 1 , BB 1 И CC 1 се пресичат в една точка .
Доказателството на тази теорема се извършва от противно, точно както доказателството на теоремата на Менелай.
Нека разгледаме примери за приложението на директните и обратните теореми на Ceva.
Пример 3. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.
Решение. Помислете за връзката
за върховете на триъгълник и средите на страните му. Очевидно във всяка дроб числителят и знаменателят имат равни сегменти, така че всички тези дроби са равни на едно. Следователно връзката на Чева е изпълнена, следователно, по обратната теорема, медианите се пресичат в една точка.
Теорема (теорема на Ceva) . Нека точките легнете на странии триъгълник съответно. Нека сегментитеИ се пресичат в една точка. Тогава
(обикаляме триъгълника по посока на часовниковата стрелка).
Доказателство.Нека означим с точка на пресичане на сегментиИ . Нека пропуснем от точкитеИ перпендикуляри на правапреди да го пресече в точкиИ съответно (виж фигурата).
Защото триъгълнициИ имат обща страна, тогава техните площи са свързани с височините, начертани от тази страна, т.е.И :
Последното равенство е вярно, тъй като правоъгълните триъгълнициИ подобни в остър ъгъл.
По същия начин получаваме
И 
Нека умножим тези три равенства:
Q.E.D.
Относно медианите:
1. Поставете единични маси във върховете на триъгълник ABC.
2. Центърът на масата на точките A и B е в средата на AB. Центърът на масата на цялата система трябва да е на медианата към страната AB, тъй като центърът на масата на триъгълник ABC е центърът на масата на центъра на масата на точките A и B и точката C.
(стана объркващо)
3. Аналогично - CM трябва да лежи върху медианата на страните AC и BC
4. Тъй като CM е една точка, тогава всички тези три медиани трябва да се пресичат в нея.
Между другото, веднага следва, че чрез пресичане те се разделят в съотношение 2:1. Тъй като масата на центъра на масата на точките A и B е 2, а масата на точка C е 1, следователно общият център на масата, съгласно теоремата за пропорцията, ще раздели медианата в съотношение 2/1 .
Благодаря много, представено е достъпно, мисля, че няма да е излишно да представим доказателството с методите на геометрията на масата, например:
Правите AA1 и CC1 се пресичат в точка O; AC1: C1B = p и BA1: A1C = q. Трябва да докажем, че правата BB1 минава през точка O, ако и само ако CB1: B1A = 1: pq.
Нека поставим маси 1, p и pq съответно в точки A, B и C. Тогава точка C1 е центърът на масата на точките A и B, а точката A1 е центърът на масата на точките B и C. Следователно центърът на масата на точките A, B и C с тези маси е пресечната точка O на линии CC1 и AA1. От друга страна, точка O лежи на отсечката, свързваща точка B с центъра на масата на точките A и C. Ако B1 е центърът на масата на точките A и C с маси 1 и pq, тогава AB1: B1C = pq: 1. Остава да отбележим, че на отсечката AC има една точка, която я дели в даденото отношение AB1: B1C.
2. Теорема на Чева
Отсечка, свързваща връх на триъгълник с точка от противоположната страна, се наричаceviana . Така, ако в триъгълникABC х , Y и З - точки, разположени отстранипр.н.е. , C.A. , AB съответно, тогава сегментитеБРАВИЛА , ОТ , CZ са чевианци. Терминът идва от италианския математик Джовани Чева, който през 1678 г. публикува следната много полезна теорема:
Теорема 1.21. Ако три севиана AX, BY, CZ (по един от всеки връх) на триъгълник ABC са конкурентни, тогава
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .
| Ориз. 3. |
Когато кажем, че три линии (или сегменти)конкурентен , тогава имаме предвид, че всички те преминават през една точка, която означаваме сП . За да докажете теоремата на Чева, припомнете си, че площите на триъгълници с равни височини са пропорционални на основите на триъгълниците. Позовавайки се на Фигура 3, имаме:
|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.
по същия начин,
|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.
Сега, ако ги умножим, получаваме
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .
Обратното на тази теорема също е вярно:
Теорема 1.22. Ако три севиана AX, BY, CZ отговарят на отношението
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,
тогава те са конкурентни .
За да покажем това, да предположим, че първите два цевиана се пресичат в точкатаП , както преди, и третият цевиан, минаващ през точкатаП , щеCZ' . Тогава, по теорема 1.21,
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .
Но по предположение
|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .
следователно
|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,
точкаZ′ съвпада с точкатаЗ , и доказахме, че сегментитеБРАВИЛА , ОТ ИCZ конкурентен (, стр. 54 и , стр. 48, 317).
клас: 9
Цели на урока:
- обобщават, разширяват и систематизират знанията и уменията на учениците; учат как да използват знанията при решаване на сложни проблеми;
- насърчават развитието на умения за самостоятелно прилагане на знания при решаване на проблеми;
- развиват логическото мислене и математическата реч на учениците, способността да анализират, сравняват и обобщават;
- внушават на учениците самочувствие и трудолюбие; способност за работа в екип.
Цели на урока:
- Образователни:повторете теоремите на Менелай и Чева; прилагайте ги при решаване на проблеми.
- Развитие:научете се да излагате хипотеза и умело да защитавате мнението си с доказателства; проверете способността си да обобщавате и систематизирате знанията си.
- Образователни:повишаване на интереса към предмета и подготовка за решаване на по-сложни проблеми.
Тип урок:урок за обобщаване и систематизиране на знанията.
Оборудване:карти за колективна работа в урок по тази тема, индивидуални карти за самостоятелна работа, компютър, мултимедиен проектор, екран.
По време на часовете
Етап I. Организационен момент (1 мин.)
Учителят съобщава темата и целта на урока.
Етап II. Актуализиране на основни знания и умения (10 мин.)
Учител:По време на урока ще си спомним теоремите на Менелай и Чева, за да преминем успешно към решаване на задачи. Нека да разгледаме екрана, където е представен. За коя теорема е дадена тази фигура? (теорема на Менелай). Опитайте се ясно да формулирате теоремата.
Снимка 1
Нека точка A 1 лежи на страната BC на триъгълника ABC, точка C 1 на страната AB, точка B 1 върху продължението на страната AC отвъд точка C. Точките A 1 , B 1 и C 1 лежат на една и съща права линия тогава и само ако равенството е в сила 
Учител:Нека разгледаме заедно следната снимка. Посочете теорема за този чертеж.
Фигура 2
Линията AD пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълника на IUD.
Според теоремата на Менелай 
Правата MB пресича двете страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.
Според теоремата на Менелай 
Учител:На коя теорема отговаря картината? (теорема на Ceva). Изложете теоремата.
Фигура 3
Нека точка A 1 в триъгълника ABC лежи на страната BC, точка B 1 на страната AC, точка C 1 на страната AB. Отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка тогава и само ако е изпълнено равенството 
Етап III. Разрешаване на проблем. (22 мин.)
Класът е разделен на 3 отбора, като всеки получава карта с две различни задачи. Дава се време за вземане на решение, след което на екрана се появява следното:<Рисунки 4-9>. Въз основа на готовите чертежи към задачите представители на екипа се редуват да обясняват своите решения. Всяко обяснение е последвано от дискусия, отговаряне на въпроси и проверка на верността на решението на екрана. В дискусията участват всички членове на екипа. Колкото по-активен е отборът, толкова по-високо се оценява при сумиране на резултатите.
Карта 1.
1. В триъгълник ABC точка N е взета от страната BC, така че NC = 3BN; в продължението на страната AC точка M се приема за точка A, така че MA = AC. Правата MN пресича страната AB в точка F. Намерете отношението
2. Докажете, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.
Решение 1
Фигура 4
Според условията на задачата MA = AC, NC = 3BN. Нека MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Правата MN пресича двете страни на триъгълник ABC и продължението на третата.
Според теоремата на Менелай 
Отговор:
Доказателство 2
Фигура 5
Нека AM 1, BM 2, CM 3 са медианите на триъгълник ABC. За да се докаже, че тези сегменти се пресичат в една точка, достатъчно е да се покаже това 
Тогава по (обратната) теорема на Чева отсечките AM 1, BM 2 и CM 3 се пресичат в една точка.
Ние имаме: 
И така, доказано е, че медианите на триъгълник се пресичат в една точка.
Карта 2.
1. Точка N е взета от страната PQ на триъгълника PQR, а точка L е взета от страната PR и NQ = LR. Пресечната точка на отсечките QL и NR разделя QL в отношение m:n, считано от точка Q. Намерете
2. Докажете, че ъглополовящите на триъгълник се пресичат в една точка.
Решение 1
Фигура 6
По условие NQ = LR, нека NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Правата NR пресича две страни на триъгълник PQL и продължението на третата.
Според теоремата на Менелай 
Отговор:
Доказателство 2
Фигура 7
Нека покажем това 
Тогава, по (обратната) теорема на Ceva, AL 1, BL 2, CL 3 се пресичат в една точка. По свойството на ъглополовящи триъгълници
Умножавайки получените равенства член по член, получаваме 
За ъглополовящите на триъгълник равенството на Чева е изпълнено, следователно те се пресичат в една точка.
Карта 3.
1. В триъгълник ABC AD е медианата, точка O е средата на медианата. Правата BO пресича страната AC в точка K. В какво отношение точка K дели AC, считано от точка A?
2. Докажете, че ако в триъгълник е вписана окръжност, то отсечките, свързващи върховете на триъгълника с допирните точки на противоположните страни, се пресичат в една точка.
Решение 1
Фигура 8
Нека BD = DC = a, AO = OD = m. Правата BK пресича две страни и продължението на третата страна на триъгълник ADC.
Според теоремата на Менелай 
Отговор:
Доказателство 2
Фигура 9
Нека A 1, B 1 и C 1 са допирателните точки на вписаната окръжност на триъгълник ABC. За да се докаже, че отсечките AA 1, BB 1 и CC 1 се пресичат в една точка, е достатъчно да се покаже, че е валидно равенството на Чева: 
Използвайки свойството на допирателните, начертани към окръжност от една точка, въвеждаме следното обозначение: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Равенството на Чева е изпълнено, което означава, че ъглополовящите на триъгълника се пресичат в една точка.
Етап IV. Решаване на проблеми (самостоятелна работа) (8 мин.)
Учител: Работата на екипите приключи и сега ще започнем самостоятелна работа върху индивидуални карти за 2 варианта.
Урочни материали за самостоятелна работа на учениците
Опция 1.В триъгълник ABC, чиято площ е 6, на страната AB има точка K, разделяща тази страна в съотношение AK:BK = 2:3, а на страната AC има точка L, разделяща AC в съотношение AL:LC = 5:3. Пресечната точка Q на правите СК и BL се отдалечава от правата AB на разстояние . Намерете дължината на страната AB. (Отговор: 4.)
Вариант 2.От страна AC в триъгълник ABC е взета точка K. AK = 1, KS = 3. От страна AB е взета точка L. AL:LB = 2:3, Q е пресечната точка на правите BK и CL. Намерете дължината на надморската височина на триъгълник ABC, пусната от върха B. (Отговор: 1.5.)
Работата се предава на учителя за проверка.
V етап. Обобщение на урока (2 мин.)
Допуснатите грешки се анализират, оригиналните отговори и коментари се отбелязват. Резултатите от работата на всеки екип се обобщават и се поставят оценки.
Етап VI. Домашна работа (1 мин.)
Домашната работа е съставена от задачи № 11, 12 стр. 289-290, № 10 стр. 301.
Последни думи на учителя (1 мин.).
Днес чухте математическата реч един на друг отвън и оценихте възможностите си. В бъдеще ще използваме подобни дискусии за по-добро разбиране на темата. Аргументите в урока бяха приятели с фактите, а теорията с практиката. Благодаря на всички ви.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика за кандидати. – М.: МЦНМО, 2005.
Курсът по геометрия съдържа теореми, които не се изучават достатъчно подробно в училище, но които могат да бъдат полезни за решаване на най-сложните задачи на Единния държавен изпит и Единния държавен изпит. Те включват например теоремата на Менелай. Традиционно се изучава в паралелки със задълбочено изучаване на математика в 8 клас, а в редовната програма (по учебника на Атанасян) теоремата на Менелай е включена в учебника за 10-11 клас.
Междувременно резултатът от изучаването на интернет ресурси, които споменават теоремата на Менелай, показва, че тя обикновено се формулира непълно и следователно неточно и всички случаи на нейното използване, както и доказателството на обратната теорема, не са дадени. Целта на тази статия е да разбере какво представлява теоремата на Менелай, как и защо се използва, както и да сподели методологията за преподаване на тази теорема в индивидуални уроци с преподаватели със студенти.
Нека разгледаме една типична задача (задача № 26, OGE), която се появява на изпитите в много варианти, различаващи се само по числата в условието.
Самото решение на проблема е просто - можете да го намерите по-долу. В тази статия се интересуваме главно от малко по-различен момент, който често се пропуска и приема за даденост, като очевидна. Но очевидното е това, което може да се докаже. И това може да се докаже по различни начини - обикновено те се доказват изключително чрез подобие - но може да се направи и чрез теоремата на Менелай.
От условието следва, че тъй като сумата на ъглите в долната основа на трапеца е 90°, тогава ако разширите страните, ще получите правоъгълен триъгълник. След това от получената пресечна точка на разширенията на страничните страни начертайте сегмент, който минава през средата на основите. Защо този сегмент минава през всички тези три точки? Обикновено решенията на проблема, намерени в Интернет, не казват нито дума за това. Няма дори препратка към теоремата за четириточковия трапец, да не говорим за доказателство за това твърдение. Междувременно може да се докаже с помощта на теоремата на Менелай, която е условието три точки да принадлежат на една линия.
Формулировки на теоремата на Менелай
Време е да формулираме теоремата. Трябва да се отбележи, че в различни учебници и ръководства има доста различни формулировки, въпреки че същността остава непроменена. В учебника на Атанасян и др., за 10-11 клас е дадена следната формулировка на теоремата на Менелай, нека я наречем „векторна“:
В учебника „Геометрия 10-11 клас” на Александров и др., както и в учебника на същите автори „Геометрия. 8 клас” дава малко по-различна формулировка на теоремата на Менелай и е една и съща както за 10-11 клас, така и за 8 клас:
Тук трябва да се направят три бележки.
Забележка 1. На изпитите няма задачи, които трябва да се решават само с помощта на вектори, за които се използва „минус едно“. Следователно за практическа употреба най-удобната формулировка е тази, която по същество е следствие от теоремата за сегментите (това е втората формулировка, подчертана с удебелени букви). Ще се ограничим до това за по-нататъшно изучаване на теоремата на Менелай, тъй като нашата цел е да се научим как да я прилагаме за решаване на проблеми.
Бележка 2. Въпреки факта, че всички учебници ясно определят случая, когато и трите точки A 1, B 1 и C 1 могат да лежат на разширенията на страните на триъгълника (или на прави линии, съдържащи страните на триъгълника), на няколко сайта за уроци в интернет се формулира само случаят, когато две точки лежат от двете страни, а третата лежи върху продължението на третата страна. Това едва ли може да се оправдае с факта, че на изпитите се срещат само задачи от първия тип и проблеми не могат да се срещнат, когато всички тези точки лежат на разширения от три страни.
Забележка 3. Обратната теорема, т.е. условието три точки да лежат на една права обикновено изобщо не се разглежда, а някои преподаватели дори съветват (???) да се изучава само пряката теорема и да не се разглежда обратната теорема. Междувременно доказателството на обратното твърдение е доста поучително и ви позволява да докажете твърдения, подобни на тези, дадени в решението на задача 1. Опитът от доказването на обратната теорема несъмнено ще осигури осезаеми ползи за ученика при решаването на проблеми.
Чертежи и модели
За да научите ученика да вижда теоремата на Менелай в проблемите и да я използва при вземане на решения, е важно да обърнете внимание на картините и моделите в писането на теоремата за конкретен случай. И тъй като самата теорема е в нейния “чист” вид, т.е. без ограждане от други сегменти, страни на различни фигури обикновено не се намират в проблемите, тогава е по-подходящо да се покаже теоремата върху конкретни проблеми. И ако показвате рисунки като обяснение, направете ги многовариантни. В този случай маркирайте в един цвят (например червено) правата линия, образувана от три точки, а в синьо - сегментите на триъгълника, участващи в писането на теоремата на Менелай. В този случай елементите, които не участват, остават черни:
На пръв поглед може да изглежда, че формулировката на теоремата е доста сложна и не винаги разбираема; в крайна сметка включва три фракции. Всъщност, ако ученикът няма достатъчно опит, той лесно може да направи грешка в писането и в резултат на това да реши проблема неправилно. И тук понякога започват проблемите. Работата е там, че учебниците обикновено не се фокусират върху това как да се „заобиколи“, когато се пише теорема. Нищо не се казва за законите на записване на самата теорема. Ето защо някои преподаватели дори рисуват различни стрелки, за да посочат реда, в който трябва да бъде написана формулата. И те молят учениците да следват стриктно тези указания. Това е отчасти правилно, но е много по-важно да разберете същността на теоремата, отколкото да я запишете чисто механично, като използвате „правилото за заобикаляне“ и стрелките.
Всъщност е важно само да се разбере логиката на „байпаса“ и тя е толкова точна, че е невъзможно да се направи грешка при писането на формулата. И в двата случая а) и б) записваме формулата за триъгълник AMC.
Първо, ние определяме за себе си три точки - върховете на триъгълника. За нас това са точки A, M, C. След това определяме точките, лежащи на пресечната линия (червена линия), това са B, P, K. Започваме „движението“ от върха на триъгълника, например от точка C. От тази точка отиваме "до точката, която се образува от пресечната точка, например, на страната AC и пресичащата се линия - за нас това е точка K. Пишем в числителя на първата дроб - SK . След това от точка K „отиваме” до останалата точка на правата AC - до точка A. В знаменателя на първата дроб записваме KA. Тъй като точка А също принадлежи на правата AM, правим същото с отсечките на правата AM. И тук отново започваме от върха, след което „отиваме“ до точка на пресечната права, след което се придвижваме до върха M. „След като се намерихме“ на правата BC, правим същото с отсечките на тази линия. От M „отиваме“, разбира се, до B, след което се връщаме към C. Това „заобикаляне“ може да бъде направено както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно. Важно е само да разберете правилото за обхождане - от връх към точка на права и от точка на права към друг връх. Приблизително така обикновено се обяснява правилото за записване на произведението на дробите. Резултатът е: 
Моля, имайте предвид, че целият „заобиколен път“ е отразен в записа и за удобство е показан със стрелки.
Полученият запис обаче може да бъде получен без извършване на каквото и да е „обхождане“. След изписването на точките - върховете на триъгълника (A, M, C) и точките - лежащи на пресечната права (B, P, K), запишете и тройки букви, обозначаващи точки, лежащи на всяка от трите линии. В нашите случаи това са I) B, M, C; II) A, P, M и III) A, C, K. След това правилната лява страна на формулата може да бъде написана, без дори да гледате чертежа и в произволен ред. Достатъчно е да напишем истински дроби от всеки три букви, които се подчиняват на правилото - условно "средните" букви са точките на пресичащата се линия (червена). Обикновено "външните" букви са точките на върховете на триъгълника (сини). Когато пишете формула по този начин, трябва само да се уверите, че всяка „синя“ буква (върхът на триъгълника) се появява веднъж както в числителя, така и в знаменателя. 
Този метод е особено полезен за случаи от тип b), както и за самопроверка.
Теорема на Менелай. Доказателство
Има няколко различни начина за доказване на теоремата на Менелай. Понякога го доказват с помощта на подобието на триъгълници, за които от точка M е изчертан сегмент, успореден на AC (както на този чертеж). Други чертаят допълнителна линия, която не е успоредна на пресечната линия, и след това, използвайки прави линии, успоредни на пресечната линия, те изглежда „проектират“ всички необходими сегменти върху тази права и, използвайки обобщение на теоремата на Талес (т.е. теоремата за пропорционалните отсечки), изведете формулата. Въпреки това, може би най-простият метод за доказателство се получава чрез начертаване на права линия от точка M, успоредна на пресичащата се. Нека докажем теоремата на Менелай по този начин.
Дадено е: Триъгълник ABC. Правата PK пресича страните на триъгълника и продължението на страната MC в точка B.
Докажете, че равенството е в сила: 
Доказателство. Нека начертаем лъча MM 1 успореден на BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В единия случай помислете за линии, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка С. 
Нека умножим лявата и дясната страна на тези уравнения: 
Теоремата е доказана.
Теоремата се доказва по подобен начин за случай b).
От точка C начертаваме отсечка CC 1, успоредна на права BK. Нека запишем връзките, в които участват сегментите, включени във формулата на теоремата на Менелай. В единия случай разгледайте линиите, пресичащи се в точка А, а в другия случай, пресичащи се в точка М. Тъй като теоремата на Талес не казва нищо за местоположението на сегментите на две пресичащи се прави, сегментите могат да бъдат разположени от противоположните страни на точка М . Следователно, 
Теоремата е доказана.
Сега нека докажем обратната теорема.
дадени: 
Докажете, че точки B, P, K лежат на една права. 
Доказателство. Нека правата BP пресича AC в някаква точка K 2, която не съвпада с точката K. Тъй като BP е права линия, съдържаща точката K 2 , то току-що доказаната теорема на Менелай е валидна за нея. Така че, нека го запишем за нея 
Ние обаче току що го доказахме 
От това следва, че точките K и K 2 съвпадат, тъй като разделят страната AC в същото отношение.
За случай b) теоремата се доказва по подобен начин.
Решаване на задачи с помощта на теоремата на Менелай
Първо, нека се върнем към проблем 1 и да го решим. Нека го прочетем отново. Да направим чертеж:
Даден е трапец ABCD. ST - средна линия на трапеца, т.е. едно от дадените разстояния. Ъгли A и D се събират до 90°. Продължаваме страните AB и CD и при пресичането им получаваме точка K. Свързваме точка K с точка N - средата на BC. Сега доказваме, че точка P, която е средата на основата AD, също принадлежи на правата KN. Нека разгледаме последователно триъгълниците ABD и ACD. Две страни на всеки триъгълник се пресичат с права KP. Да предположим, че правата KN пресича основата AD в някаква точка X. По теоремата на Менелай: 
Тъй като триъгълникът AKD е правоъгълен, точка P, която е средата на хипотенузата AD, е на еднакво разстояние от A, D и K. По същия начин точка N е на еднакво разстояние от точки B, C и K. 
Къде едната основа е равна на 36, а другата е равна на 2. 
Решение. Да разгледаме триъгълник BCD. Той се пресича от лъча AX, където X е пресечната точка на този лъч с продължението на страната BC. Според теоремата на Менелай: 
Замествайки (1) в (2), получаваме: 
Решение. Нека означим с буквите S 1 , S 2 , S 3 и S 4 площите съответно на триъгълниците AOB, AOM, BOK и четириъгълника MOKC. 
Тъй като BM е медианата, тогава S ABM = S BMC.
Това означава S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Тъй като трябва да намерим съотношението на площите S 1 и S 4, разделяме двете страни на уравнението на S 4: 
Нека заместим тези стойности във формула (1): 
От триъгълника BMC със секущата AK, според теоремата на Менелай, имаме: 
От триъгълник AKC със секуща BM, по теоремата на Менелай имаме: 
Всички необходими отношения са изразени чрез k и сега можете да ги заместите в израз (2): 
Решението на този проблем с помощта на теоремата на Менелай е обсъдено на страницата.
Бележка на учителя по математика.Прилагането на теоремата на Менелай в този проблем е самият случай, когато този метод ви позволява значително да спестите време на изпита. Тази задача се предлага в демо версията на приемния изпит в Лицея към Висшето училище по икономика за 9. клас (2019 г.).
© Учител по математика в Москва, Александър Анатолиевич, 8-968-423-9589.
Решете сами
1) Задачата е по-проста.
Върху медианата BD на триъгълник ABC е отбелязана точка M, така че BM: MD = m: n. Правата AM пресича страната BC в точка K.
Намерете отношението BK:KC.
2) Задачата е по-трудна.
Симетралата на ъгъл A на успоредника ABCD пресича страната BC в точка P, а диагонала BD в точка T. Известно е, че AB: AD = k (0 3) Задача № 26 OGE.
В триъгълник ABC ъглополовящата BE и медианата AD са перпендикулярни и имат еднаква дължина, равна на 36. Намерете страните на триъгълник ABC.
Съвет за учител по математика.В интернет може да се намери решение на такъв проблем, като се използва допълнителна конструкция и след това или подобие, или намиране на площите и едва след това страните на триъгълника. Тези. и двата метода изискват допълнителна конструкция. Въпреки това, решаването на такъв проблем с помощта на свойството на ъглополовящата и теоремата на Менелай не изисква никакви допълнителни конструкции. Това е много по-просто и по-рационално.
— Какво е общото между теоремата на Менелай и лекарствата?
"Всички знаят за тях, но никой не говори за тях."
Типичен разговор със студент
Това е страхотна теорема, която ще ви помогне в момент, когато изглежда, че нищо не може да помогне. В този урок ще формулираме самата теорема, ще разгледаме няколко варианта за нейното използване и като десерт ще имате трудна домашна работа. Отивам!
Първо, формулировката. Може би няма да дам най-„красивата“ версия на теоремата, но най-разбираемата и удобна.
Теорема на Менелай. Нека разгледаме произволен триъгълник $ABC$ и определена права $l$, която пресича две страни на нашия триъгълник вътрешно и една страна в продължението. Нека означим пресечните точки на $M$, $N$ и $K$:
Триъгълник $ABC$ и секанс $l$
Тогава е вярна следната връзка:
\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]
Бих искал да отбележа: няма нужда да натъпквате разположението на буквите в тази зла формула! Сега ще ви кажа алгоритъм, чрез който винаги можете да възстановите и трите фракции буквално в движение. Дори по време на изпит под стрес. Дори ако седите на геометрията в 3 сутринта и не разбирате абсолютно нищо. :)
Схемата е проста:
- Начертайте триъгълник и секанс. Например, както е показано в теоремата. Означаваме върхове и точки с някои букви. Може да бъде произволен триъгълник $ABC$ и права линия с точки $M$, $N$, $K$ или някаква друга - това не е важното.
- Поставете химикалка (молив, маркер, писалка) във всеки връх на триъгълника и започнете да пресичате страните на този триъгълник със задължително влизане в точките на пресичане с правата. Например, ако първо преминем от точка $A$ до точка $B$, ще получим отсечките: $AM$ и $MB$, след това $BN$ и $NC$ и след това (внимание!) $CK$ и $KA$. Тъй като точка $K$ лежи върху продължението на страна $AC$, при преместване от $C$ към $A$ ще трябва временно да напуснете триъгълника.
- И сега просто разделяме съседните сегменти един на друг точно в реда, в който сме ги получили при преминаване: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - получаваме три дроби, произведението на които ще ни даде един.
На чертежа ще изглежда така:
Проста схема, която ви позволява да възстановите формулата от Менелай И само няколко коментара. По-точно, това дори не са коментари, а отговори на типични въпроси:
- Какво се случва, ако права $l$ минава през върха на триъгълника? Отговор: нищо. Теоремата на Менелай не работи в този случай.
- Какво се случва, ако изберете друг връх за начало или отидете в другата посока? Отговор: ще бъде същото. Последователността на дробите просто ще се промени.
Мисля, че изяснихме формулировката. Нека да видим как всички тези неща се използват за решаване на сложни геометрични проблеми.
Защо е необходимо всичко това?
Внимание. Прекомерното използване на теоремата на Менелай за решаване на планиметрични проблеми може да причини непоправима вреда на вашата психика, тъй като тази теорема значително ускорява изчисленията и ви принуждава да запомните други важни факти от училищен курс по геометрия.
Доказателство
Няма да го доказвам. :)
Добре, ще го докажа:
Сега остава да сравним двете получени стойности за сегмента $CT$:
\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]
\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]
Добре, всичко свърши. Остава само да „срешете“ тази формула, като поставите правилно буквите вътре в сегментите - и формулата е готова. :)
