Дисперсионен анализ

1. Концепция за дисперсионен анализ

Дисперсионен анализе анализ на изменчивостта на даден признак под въздействието на всякакви контролирани променливи фактори. В чуждестранната литература дисперсионният анализ често се нарича ANOVA, което се превежда като анализ на променливостта (Analysis of Variance).

ANOVA проблемсе състои в изолиране на променливост от различен вид от общата променливост на черта:

а) променливост, дължаща се на действието на всяка от изследваните независими променливи;

б) променливост, дължаща се на взаимодействието на изследваните независими променливи;

в) случайна променливост, дължаща се на всички други неизвестни променливи.

Променливостта, дължаща се на действието на изследваните променливи и тяхното взаимодействие, е свързана със случайната променливост. Индикатор за тази връзка е F тестът на Фишер.

Формулата за изчисляване на критерия F включва оценки на дисперсиите, т.е. параметрите на разпределението на атрибута, следователно критерият F е параметричен критерий.

Колкото повече променливостта на дадена черта се дължи на изследваните променливи (фактори) или тяхното взаимодействие, толкова по-висока е емпирични критериални стойности.

Нула хипотезата при анализа на дисперсията ще гласи, че средните стойности на изследваната ефективна характеристика са еднакви във всички градации.

алтернатива хипотезата ще твърди, че средните стойности на получената характеристика в различните градации на изследвания фактор са различни.

Анализът на дисперсията ни позволява да посочим промяна в характеристика, но не показва посокатези промени.

Нека започнем нашето разглеждане на дисперсионния анализ с най-простия случай, когато изучаваме действието само на единпроменлива (един фактор).

2. Еднопосочен дисперсионен анализ за несвързани проби

2.1. Цел на метода

Методът на еднофакторния дисперсионен анализ се използва в случаите, когато се изследват промени в ефективна характеристика под влияние на променящи се условия или градации на фактор. В тази версия на метода влиянието на всяка от градациите на фактора е различенпроби от предмети. Трябва да има поне три степени на фактора. (Може да има две градации, но в този случай няма да можем да установим нелинейни зависимости и изглежда по-разумно да използваме по-прости).

Непараметрична версия на този тип анализ е H тестът на Kruskal-Wallis.

Хипотези

H 0: Разликите между степени на фактор (различни условия) не са по-големи от случайни разлики във всяка група.

H 1: Разликите между факторните степени (различни условия) са по-големи от случайните разлики във всяка група.

2.2. Ограничения на еднопосочния дисперсионен анализ за несвързани проби

1. Еднопосочният анализ на дисперсията изисква най-малко три градации на фактора и поне два субекта във всяка градация.

2. Получената характеристика трябва да бъде нормално разпределена в изследваната проба.

Вярно е, че обикновено не се посочва дали говорим за разпределение на характеристиката в цялата изследвана извадка или в тази част от нея, която съставлява дисперсионния комплекс.

3. Пример за решаване на проблем с помощта на метода на еднопосочен дисперсионен анализ за несвързани проби, използвайки примера:

Три различни групи от шест субекта получиха списъци от десет думи. На първата група думите се представяха с ниска скорост - 1 дума за 5 секунди, на втората група със средна скорост - 1 дума на 2 секунди и на третата група с висока скорост - 1 дума в секунда. Беше предвидено, че ефективността на възпроизвеждане зависи от скоростта на представяне на думата. Резултатите са представени в табл. 1.

Брой възпроизведени думи маса 1

Предмет №	ниска скорост	Средната скорост	висока скорост
обща сума

H 0: Разлики в обхвата на производството на думи междугрупите не са по-изразени от случайните разлики вътревсяка група.

H1: Разлики в обема на производството на думи междугрупите са по-изразени от случайните разлики вътревсяка група. Използвайки експерименталните стойности, представени в табл. 1, ще установим някои стойности, които ще са необходими за изчисляване на критерия F.

Изчисляването на основните величини за еднопосочен дисперсионен анализ е представено в таблицата:

таблица 2

Таблица 3

Последователност от операции при еднопосочен дисперсионен анализ за несвързани проби

Често срещано в тази и следващите таблици обозначението SS е съкращение за „сума на квадрати“. Това съкращение се използва най-често в преводните източници.

СС фактозначава променливостта на характеристиката поради действието на изследвания фактор;

СС в общи линии- обща изменчивост на признака;

С C.A.-променливост поради неотчетени фактори, „случайна” или „остатъчна” променливост.

Г-ЦА- „среден квадрат“, или математическото очакване на сумата от квадрати, средната стойност на съответната SS.

df - броят на степените на свобода, които при разглеждане на непараметрични критерии обозначаваме с гръцка буква v.

Заключение: H 0 се отхвърля. H 1 се приема. Разликите в припомнянето на думи между групите са по-големи от случайните разлики във всяка група (α=0,05). И така, скоростта на представяне на думите влияе върху обема на тяхното възпроизвеждане.

Пример за решаване на проблема в Excel е представен по-долу:

Първоначални данни:

Използвайки командата: Инструменти->Анализ на данни->Еднопосочна ANOVA, получаваме следните резултати:

Както вече беше отбелязано, дисперсионният метод е тясно свързан със статистическите групировки и предполага, че изследваната съвкупност е разделена на групи според факторни характеристики, чието влияние трябва да се изследва.

Въз основа на дисперсионния анализ се получава следното:

1. оценка на достоверността на различията в груповите средни стойности за една или няколко факторни характеристики;

2. оценка на надеждността на факторните взаимодействия;

3. оценка на частични разлики между двойки средни.

Прилагането на дисперсионния анализ се основава на закона за разлагане на дисперсии (вариации) на характеристика на компоненти.

Общата вариация D o на получената характеристика по време на групирането може да се разложи на следните компоненти:

1. да се групират D m свързан с групова характеристика;

2. за остатъчни(вътрешногрупово) D B не е свързано с груповата характеристика.

Връзката между тези показатели се изразява по следния начин:

D o = D m + D в. (1,30)

Нека да разгледаме използването на дисперсионен анализ с пример.

Да приемем, че искате да докажете дали датите на сеитба влияят върху добивите на пшеница. Изходните експериментални данни за дисперсионен анализ са представени в табл. 8.

Таблица 8

В този пример N = 32, K = 4, l = 8.

Нека определим общата обща вариация в добива, която е сумата от квадратните отклонения на отделните стойности на даден признак от общата средна стойност:

където N е броят на единиците от съвкупността; Y i – индивидуални стойности на добива; Y o е общият среден добив за цялата популация.

За да се определи общата междугрупова вариация, която определя вариацията на ефективната характеристика поради изследвания фактор, е необходимо да се знаят средните стойности на ефективната характеристика за всяка група. Тази обща вариация е равна на сумата от квадратите на отклоненията на средните стойности на групата от общата средна стойност на признака, претеглена от броя единици на популацията във всяка група:

Общата вариация в рамките на групата е равна на сумата от квадратните отклонения на индивидуалните стойности на даден признак от груповите средни за всяка група, сумирани за всички групи в популацията.

Влиянието на даден фактор върху получената характеристика се проявява във връзката между Dm и Dv: колкото по-силно е влиянието на фактора върху стойността на изследваната характеристика, толкова по-голямо е Dm и по-малко Dv.

За да се извърши дисперсионен анализ, е необходимо да се установят източниците на вариация в даден признак, обемът на вариация по източник и да се определи броят на степените на свобода за всеки компонент на вариацията.

Степента на вариация вече е установена; сега е необходимо да се определи броят на степените на свобода на вариация. Брой степени на свобода е броят на независимите отклонения на отделните стойности на характеристика от нейната средна стойност. Общият брой степени на свобода, съответстващ на общата сума на квадратите на отклоненията в ANOVA, се разлага на компоненти на вариацията. По този начин общата сума на квадратните отклонения D o съответства на броя на степените на свобода на вариация, равна на N – 1 = 31. Груповата вариация D m ​​съответства на броя на степените на свобода на вариация, равна на K – 1 = 3. Вътрешногруповата остатъчна вариация съответства на броя на степените на свобода на вариация, равен на N – K = 28.

Сега, знаейки сумата на квадратите на отклоненията и броя на степените на свобода, можем да определим дисперсиите за всеки компонент. Нека означим тези вариации: d m - групови и d in - вътрешногрупови.

След като изчислим тези дисперсии, ще продължим да установяваме значимостта на влиянието на фактора върху резултантния атрибут. За да направим това, намираме съотношението: d M / d B = F f,

Величината F f, нар Критерий на Фишер , в сравнение с таблицата, F таблица. Както вече беше отбелязано, ако F f > F таблица, тогава влиянието на фактора върху ефективния атрибут е доказано. Ако F f< F табл то можно утверждать, что различие между дисперсиями находится в пределах возможных случайных колебаний и, следовательно, не доказывает с достаточной вероятностью влияние изучаемого фактора.

Теоретичната стойност е свързана с вероятността, а в таблицата нейната стойност е дадена при определено ниво на вероятност на преценката. Приложението съдържа таблица, която ви позволява да зададете възможната стойност F за вероятността от преценка, най-често използваната: нивото на вероятност на „нулевата хипотеза“ е 0,05. Вместо вероятностите на „нулевата хипотеза“, таблицата може да се нарече таблица за вероятността от 0,95 от значимостта на влиянието на фактора. Увеличаването на нивото на вероятност изисква по-висока F стойност на таблицата за сравнение.

Стойността на таблицата F също зависи от броя на степените на свобода на двете дисперсии, които се сравняват. Ако броят на степените на свобода клони към безкрайност, тогава таблицата F клони към единица.

Таблицата на стойностите на таблицата F е конструирана по следния начин: колоните на таблицата показват степените на свобода на вариация за по-голямата дисперсия, а редовете показват степените на свобода за по-малката (вътре в групата) дисперсия. Стойността на F се намира в пресечната точка на колоната и реда на съответните степени на свобода на вариация.

И така, в нашия пример F f = 21,3/3,8 = 5,6. Табличната стойност на F таблица за вероятност от 0,95 и степени на свобода, съответно равни на 3 и 28, F таблица = 2,95.

Стойността на F f, получена експериментално, надвишава теоретичната стойност дори за вероятност от 0,99. Следователно опитът с вероятност над 0,99 доказва влиянието на изследвания фактор върху добива, т.е. опитът може да се счита за надежден, доказан и следователно времето на сеитба оказва значително влияние върху добива на пшеница. Оптималният период на сеитба трябва да се счита за периода от 10 до 15 май, тъй като през този период на сеитба са получени най-добрите резултати за добив.

Разгледахме метода за анализ на дисперсията при групиране по една характеристика и произволно разпределяне на реплики в групата. Въпреки това, често се случва експерименталният участък да има някои разлики в почвеното плодородие и т.н. Следователно може да възникне ситуация, че по-голям брой участъци от един от вариантите ще попаднат в най-добрата част и неговите показатели ще бъдат надценени и на другия вариант - с най-лошата част, като резултатите в този случай естествено ще бъдат по-лоши, тоест подценени.

За да се изключи вариация, която е причинена от причини, които не са свързани с експеримента, е необходимо да се изолира дисперсията, изчислена от реплики (блокове), от вътрешногруповата (остатъчна) дисперсия.

Общата сума на квадратните отклонения в този случай се разделя на 3 компонента:

D o = D m + D повторение + D почивка. (1,33)

За нашия пример сумата от квадратните отклонения, причинени от повторения, ще бъде равна на:

Следователно действителната произволна сума на квадратните отклонения ще бъде равна на:

D почивка = D в – D повторение; D почивка = 106 – 44 = 62.

За остатъчната дисперсия броят на степените на свобода ще бъде равен на 28 – 7 = 21. Резултатите от дисперсионния анализ са представени в табл. 9.

Таблица 9

Тъй като действителните стойности на F-критерия за вероятност от 0,95 надвишават табличните, влиянието на датите на сеитба и повторенията върху добива на пшеница трябва да се счита за значително. Разглежданият метод за конструиране на експеримент, когато сайтът е предварително разделен на блокове с относително подравнени условия и тестваните опции са разпределени в блока в произволен ред, се нарича метод на случайни блокове.

Използвайки дисперсионен анализ, можете да изследвате влиянието не само на един фактор върху резултата, но на два или повече. В този случай ще се нарича дисперсионен анализ многовариантен дисперсионен анализ .

Двупосочна ANOVA се различава от две еднофакторни по това, че то може да отговори на следните въпроси:

1. 1 какъв е ефектът от двата фактора заедно?

2. Каква е ролята на комбинацията от тези фактори?

Нека разгледаме дисперсионния анализ на експеримента, при който е необходимо да се установи влиянието не само на датите на сеитба, но и на сортовете върху добива на пшеница (Таблица 10).

Таблица 10. Експериментални данни за влиянието на датите и сортовете на сеитба върху добива на пшеница

е сумата от квадратните отклонения на отделните стойности от общата средна стойност.

Вариации в съвместното влияние на времето за сеитба и сорта

е сумата от квадратните отклонения на средните стойности на подгрупата от общата средна стойност, претеглена с броя повторения, т.е. с 4.

Изчисляване на вариацията въз основа само на влиянието на времето на засяване:

Остатъчната вариация се определя като разликата между общата вариация и вариацията в съвместното влияние на изследваните фактори:

D почивка = D o – D ps = 170 – 96 = 74.

Всички изчисления могат да бъдат представени под формата на таблица (Таблица 11).

Таблица 11. Резултати от дисперсионния анализ

Резултатите от дисперсионния анализ показват, че влиянието на изследваните фактори, т.е. време на сеитба и сорт, върху добива на пшеница е значително, тъй като действителните F-критерии за всеки от факторите значително надвишават табличните, установени за съответните степени на свобода, и в същото време с доста висока вероятност (p = 0.99). Влиянието на комбинация от фактори в този случай отсъства, тъй като факторите са независими един от друг.

Анализът на влиянието на три фактора върху резултата се извършва по същия принцип като за два фактора, само в този случай ще има три варианта за факторите и четири варианта за комбинацията от фактори. С увеличаване на броя на факторите обемът на изчислителната работа рязко се увеличава и освен това става трудно да се подреди първоначалната информация в комбинирана таблица. Следователно, едва ли е препоръчително да се изследва влиянието на много фактори върху резултата с помощта на дисперсионен анализ; по-добре е да вземете по-малък брой, но да изберете най-значимите фактори от гледна точка на икономическия анализ.

Често изследователят трябва да се занимава с така наречените непропорционални дисперсионни комплекси, т.е. такива, при които не се спазва пропорционалността на броя на вариантите.

В такива комплекси промяната в общия ефект на факторите не е равна на сумата от промяната между факторите и промяната в комбинацията от фактори. Различава се в размер в зависимост от степента на връзки между отделните фактори, възникващи в резултат на нарушаване на пропорционалността.

В този случай възникват трудности при определяне на степента на влияние на всеки фактор, тъй като сумата от отделните влияния не е равна на общото влияние.

Един от начините да се сведе непропорционален комплекс до една структура е да се замени с пропорционален комплекс, в който честотите са осреднени по групи. При такава подмяна проблемът се решава на принципа на пропорционалните комплекси.

Дисперсионният анализ е набор от статистически методи, предназначени да тестват хипотези за връзката между определени характеристики и изследваните фактори, които нямат количествено описание, както и да установят степента на влияние на факторите и тяхното взаимодействие. В специализираната литература често се нарича ANOVA (от английското наименование Analysis of Variations). Този метод е разработен за първи път от Р. Фишер през 1925 г.

Видове и критерии за дисперсионен анализ

Този метод се използва за изследване на връзката между качествени (номинални) характеристики и количествена (непрекъсната) променлива. По същество тества хипотезата за равенството на средните аритметични на няколко извадки. По този начин може да се разглежда като параметричен критерий за сравняване на центровете на няколко проби наведнъж. Ако този метод се използва за две проби, резултатите от дисперсионния анализ ще бъдат идентични с резултатите от t-теста на Student. Въпреки това, за разлика от други критерии, това изследване ни позволява да проучим проблема по-подробно.

Анализът на дисперсията в статистиката се основава на закона: сумата от квадратите на отклоненията на комбинираната извадка е равна на сумата от квадратите на вътрешногруповите отклонения и сумата от квадратите на междугруповите отклонения. Проучването използва теста на Fisher, за да установи значимостта на разликата между междугруповите и вътрешногруповите дисперсии. Необходимите предпоставки за това обаче са нормалност на разпределението и хомоскедастичност (равенство на дисперсии) на извадките. Различават се едномерен (еднофакторен) дисперсионен анализ и многомерен (многофакторен). Първият разглежда зависимостта на изследваната стойност от една характеристика, вторият - от много наведнъж, а също така ни позволява да идентифицираме връзката между тях.

Фактори

Факторите са контролирани обстоятелства, които влияят върху крайния резултат. Неговото ниво или метод на обработка е стойност, която характеризира конкретно проявление на това състояние. Тези числа обикновено се представят в номинална или ординална измервателна скала. Често изходните стойности се измерват в количествени или порядъчни скали. Тогава възниква проблемът с групирането на изходните данни в редица наблюдения, които съответстват на приблизително еднакви числени стойности. Ако броят на групите се приеме за прекалено голям, тогава броят на наблюденията в тях може да се окаже недостатъчен за получаване на надеждни резултати. Ако вземете твърде малък брой, това може да доведе до загуба на значими характеристики на влияние върху системата. Конкретният начин за групиране на данни зависи от количеството и характера на вариацията в стойностите. Броят и размерът на интервалите при едномерния анализ най-често се определят от принципа на равните интервали или принципа на равните честоти.

Анализ на дисперсионни проблеми

Така че има случаи, когато трябва да сравните две или повече проби. Тогава е препоръчително да се използва дисперсионен анализ. Името на метода показва, че изводите се правят въз основа на изследването на компонентите на дисперсията. Същността на изследването е, че общото изменение на показателя се разделя на съставни части, които съответстват на действието на всеки отделен фактор. Нека разгледаме редица проблеми, които се решават чрез типичен дисперсионен анализ.

Пример 1

Цехът разполага с множество автоматични машини, които произвеждат определен детайл. Размерът на всяка част е случайна променлива, която зависи от настройката на всяка машина и случайните отклонения, които възникват по време на производствения процес на частите. Необходимо е въз основа на данните от измерванията на размерите на частите да се определи дали машините са конфигурирани по същия начин.

Пример 2

По време на производството на електрическо устройство се използват различни видове изолационна хартия: кондензаторна, електрическа и др. Устройството може да бъде импрегнирано с различни вещества: епоксидна смола, лак, смола ML-2 и др. Течовете могат да бъдат отстранени под вакуум при повишено налягане, с нагряване. Импрегнирането може да се извърши чрез потапяне във лак, под непрекъсната струя лак и т.н. Електрическият апарат като цяло се запълва с определено съединение, като има няколко варианта. Индикатори за качество са електрическата якост на изолацията, температурата на прегряване на намотката в работен режим и редица други. При разработването на технологичния процес на производство на устройства е необходимо да се определи как всеки от изброените фактори влияе върху работата на устройството.

Пример 3

Тролейбусното депо обслужва няколко тролейбусни маршрута. Те управляват различни видове тролейбуси, а 125 инспектори събират таксите. Ръководството на депото се интересува от въпроса: как да се сравнят икономическите показатели на работата на всеки контрольор (приход), като се вземат предвид различни маршрути и различни видове тролейбуси? Как да се определи икономическата целесъобразност на производството на тролейбуси от определен тип по определен маршрут? Как да установим разумни изисквания за размера на приходите, които кондукторът носи по всеки маршрут в различните видове тролейбуси?

Задачата при избора на метод е как да се получи максимална информация относно влиянието на всеки фактор върху крайния резултат, да се определят числените характеристики на такова влияние, тяхната надеждност при минимални разходи и във възможно най-кратко време. Методите за дисперсионен анализ позволяват решаването на такива проблеми.

Едномерен анализ

Целта на изследването е да се оцени степента на влияние на конкретен случай върху анализирания преглед. Друга цел на едномерния анализ може да бъде да се сравнят две или повече обстоятелства едно с друго, за да се определи разликата в тяхното въздействие върху припомнянето. Ако нулевата хипотеза бъде отхвърлена, следващата стъпка е количествено определяне и конструиране на доверителни интервали за получените характеристики. В случаите, когато нулевата хипотеза не може да бъде отхвърлена, тя обикновено се приема и се прави заключение за естеството на влиянието.

Еднопосочният анализ на дисперсията може да се превърне в непараметричен аналог на ранговия метод на Kruskal-Wallis. Той е разработен от американския математик Уилям Крускал и икономиста Уилсън Уолис през 1952 г. Този критерий е предназначен да тества нулевата хипотеза за равенството на ефектите върху изследваните проби с неизвестни, но равни средни стойности. В този случай броят на пробите трябва да бъде повече от две.

Критерият Jonckheere-Terpstra е предложен независимо от холандския математик T. J. Terpstra през 1952 г. и британския психолог E. R. Jonckheere през 1954 г. Той се използва, когато е известно предварително, че съществуващите групи резултати са подредени според нарастването на влиянието на изследван фактор, който се измерва по ординална скала.

M - Тестът на Бартлет, предложен от британския статистик Морис Стивънсън Бартлет през 1937 г., се използва за проверка на нулевата хипотеза за равенството на дисперсиите на няколко нормални популации, от които са взети изследваните проби, обикновено с различни размери (броя на всяка пробата трябва да бъде най-малко четири).

G - Тест на Кокран, който е открит от американеца Уилям Гемел Кокран през 1941 г. Използва се за проверка на нулевата хипотеза за равенството на дисперсиите на нормалните популации в независими извадки с еднакъв размер.

Непараметричният тест на Левен, предложен от американския математик Хауърд Левен през 1960 г., е алтернатива на теста на Бартлет в условия, при които няма увереност, че изследваните проби са обект на нормално разпределение.

През 1974 г. американските статистици Мортън Б. Браун и Алън Б. Форсайт предлагат тест (тест на Браун-Форсайт), който е малко по-различен от теста на Ливен.

Двуфакторен анализ

Двупосочен анализ на дисперсията се използва за свързани нормално разпределени проби. На практика често се използват сложни таблици на този метод, по-специално тези, в които всяка клетка съдържа набор от данни (повтарящи се измервания), съответстващи на стойности на фиксирано ниво. Ако предположенията, необходими за прилагане на двупосочен анализ на дисперсията, не са изпълнени, тогава използвайте непараметричния рангов тест на Фридман (Фридман, Кендъл и Смит), разработен от американския икономист Милтън Фридман в края на 1930 г. Този тест не зависи от типа на разпространение.

Предполага се само, че разпределението на стойностите е идентично и непрекъснато и че самите те са независими една от друга. При тестване на нулевата хипотеза изходните данни се представят под формата на правоъгълна матрица, в която редовете отговарят на нивата на фактор B, а колоните съответстват на нива на A. Всяка клетка от таблицата (блок) може да бъде резултат от измервания на параметри на един обект или на група обекти с постоянни стойности на нивата на двата фактора. В този случай съответните данни се представят като средни стойности на определен параметър за всички измерения или обекти на изследваната проба. За да се приложи изходният критерий, е необходимо да се премине от преките резултати от измерванията към техния ранг. Класирането се извършва за всеки ред поотделно, т.е. стойностите се подреждат за всяка фиксирана стойност.

Тестът на Пейдж (L-тест), предложен от американския статистик Е. Б. Пейдж през 1963 г., е предназначен да тества нулевата хипотеза. За големи проби се използва приближението на Page. Те, при спазване на реалността на съответните нулеви хипотези, се подчиняват на стандартното нормално разпределение. В случай, че редовете на изходната таблица имат еднакви стойности, е необходимо да се използват средни рангове. В този случай точността на заключенията ще бъде по-лоша, колкото по-голям е броят на такива съвпадения.

Q - критерий на Cochran, предложен от W. Cochran през 1937 г. Използва се в случаите, когато групи от еднородни субекти са изложени на въздействия, чийто брой надвишава две и за които са възможни два варианта на обратна връзка - условно отрицателна (0) и условно положителен (1) . Нулевата хипотеза се състои в равенство на ефектите от лечението. Двупосочният анализ на дисперсията дава възможност да се определи наличието на ефекти от лечението, но не дава възможност да се определи за кои конкретни колони съществува този ефект. За решаването на този проблем се използва методът на множество уравнения на Шефе за свързани проби.

Многовариантен анализ

Проблемът с многовариантния анализ на дисперсията възниква, когато трябва да определите ефекта на две или повече условия върху определена случайна променлива. Проучването включва наличието на една зависима случайна променлива, измерена по скала за разлика или съотношение, и няколко независими променливи, всяка от които е изразена по именна или рангова скала. Дисперсионният анализ на данните е доста развит раздел от математическата статистика, който има много възможности. Изследователската концепция е обща както за еднофакторни, така и за многофакторни. Същността му се състои в това, че общата дисперсия се разделя на компоненти, което съответства на определено групиране на данни. Всяко групиране на данни има свой собствен модел. Тук ще разгледаме само основните положения, необходими за разбирането и практическото използване на най-използваните му опции.

Вариационният анализ на факторите изисква доста внимателно отношение към събирането и представянето на входните данни и особено към интерпретацията на резултатите. За разлика от еднофакторния тест, резултатите от който могат условно да бъдат поставени в определена последователност, резултатите от двуфакторния тест изискват по-сложно представяне. Ситуацията става още по-сложна, когато има три, четири или повече обстоятелства. Поради това е доста рядко да се включат повече от три (четири) условия в модел. Пример може да бъде появата на резонанс при определена стойност на капацитета и индуктивността на електрически кръг; проявата на химическа реакция с определен набор от елементи, от които е изградена системата; появата на аномални ефекти в сложни системи при определено стечение на обстоятелствата. Наличието на взаимодействие може радикално да промени модела на системата и понякога да доведе до преосмисляне на природата на явленията, с които експериментаторът има работа.

Многовариантен дисперсионен анализ с повтарящи се експерименти

Данните от измерванията често могат да бъдат групирани не по два, а по по-голям брой фактори. По този начин, ако разгледаме дисперсионния анализ на експлоатационния живот на гумите на тролейбусните колела, като вземем предвид обстоятелствата (фабриката за производство и маршрута, по който се експлоатират гумите), тогава можем да отделим като отделно условие сезона, през който гумите са експлоатирани (а именно: зимна и лятна експлоатация). В резултат на това ще имаме проблем с трифакторния метод.

Ако има повече условия, подходът е същият като при двуфакторния анализ. Във всички случаи те се опитват да опростят модела. Феноменът на взаимодействие на два фактора не се появява толкова често, а тройното взаимодействие се среща само в изключителни случаи. Включете онези взаимодействия, за които има предишна информация и основателни причини да я вземете предвид в модела. Процесът на идентифициране на отделни фактори и тяхното отчитане е относително прост. Поради това често има желание да се подчертаят повече обстоятелства. Не бива да се увличате с това. Колкото повече условия, толкова по-малко надежден става моделът и толкова по-голяма е вероятността от грешка. Самият модел, който включва голям брой независими променливи, става доста сложен за интерпретация и неудобен за практическа употреба.

Обща идея за дисперсионен анализ

Анализът на дисперсията в статистиката е метод за получаване на резултати от наблюдение в зависимост от различни едновременно действащи обстоятелства и оценка на тяхното влияние. Контролирана променлива, която съответства на метода на въздействие върху обекта на изследване и придобива определена стойност за определен период от време, се нарича фактор. Те могат да бъдат качествени и количествени. Нивата на количествените условия придобиват определено значение в цифрова скала. Примери за това са температура, налягане при пресоване, количество вещество. Качествените фактори са различни вещества, различни технологични методи, устройства, пълнители. Нивата им съответстват на скала от имена.

Качеството може да включва и вида на опаковъчния материал и условията на съхранение на лекарствената форма. Също така е рационално да се включи степента на смилане на суровините, фракционният състав на гранулите, които имат количествено значение, но е трудно да се регулират, ако се използва количествена скала. Броят на качествените фактори зависи от вида на лекарствената форма, както и от физическите и технологичните свойства на лекарствените вещества. Например, таблетки могат да бъдат получени от кристални вещества чрез директно пресоване. В този случай е достатъчно да изберете плъзгащи и смазващи вещества.

Примери за качествени фактори за различни видове лекарствени форми

• Тинктури.Състав на екстрагента, тип екстрактор, метод за приготвяне на суровината, метод на производство, метод на филтриране.
• Екстракти (течни, гъсти, сухи).Състав на екстрагента, метод на екстракция, вид на инсталацията, начин на отстраняване на екстрагента и баластните вещества.
• Хапчета.Състав от ексципиенти, пълнители, дезинтегранти, свързващи вещества, лубриканти и лубриканти. Метод за получаване на таблетки, тип технологично оборудване. Тип обвивка и нейните компоненти, филмообразуватели, пигменти, багрила, пластификатори, разтворители.
• Инжекционни разтвори.Вид на разтворителя, метод на филтриране, естество на стабилизаторите и консервантите, условия на стерилизация, начин на пълнене на ампули.
• супозитории.Състав на основата на супозиториите, метод за производство на супозитории, пълнители, опаковка.
• Мехлеми.Състав на основата, структурни компоненти, метод за приготвяне на мехлема, вид оборудване, опаковка.
• Капсули.Вид материал на обвивката, метод за производство на капсули, вид пластификатор, консервант, багрило.
• Линименти.Начин на приготвяне, състав, вид оборудване, вид емулгатор.
• Суспензии.Вид разтворител, вид стабилизатор, дисперсионен метод.

Примери за качествени фактори и техните нива, изследвани по време на производствения процес на таблета

• Бакпулвер.Картофено нишесте, бяла глина, смес от натриев бикарбонат с лимонена киселина, основен магнезиев карбонат.
• Свързващ разтвор.Вода, нишестена паста, захарен сироп, разтвор на метилцелулоза, разтвор на хидроксипропилметилцелулоза, разтвор на поливинилпиролидон, разтвор на поливинил алкохол.
• Плъзгащо се вещество.Аеросил, нишесте, талк.
• Пълнител.Захар, глюкоза, лактоза, натриев хлорид, калциев фосфат.
• Лубрикант.Стеаринова киселина, полиетилен гликол, парафин.

Модели на дисперсионен анализ при изследване на нивото на държавна конкурентоспособност

Един от най-важните критерии за оценка на състоянието на държавата, чрез който се оценява нивото на нейното благосъстояние и социално-икономическо развитие, е конкурентоспособността, тоест набор от свойства, присъщи на националната икономика, които определят състоянието на държавата. способността да се конкурира с други страни. След като се определи мястото и ролята на държавата на световния пазар, е възможно да се установи ясна стратегия за осигуряване на икономическа сигурност в международен мащаб, тъй като това е ключът към положителните отношения между Русия и всички играчи на световния пазар: инвеститорите , кредитори и правителства.

За да се сравни нивото на конкурентоспособност на държавите, страните се класират с помощта на комплексни индекси, които включват различни претеглени показатели. Тези индекси се основават на ключови фактори, влияещи върху икономическата, политическата и др. ситуация. Набор от модели за изследване на конкурентоспособността на държавата включва използването на методи за многовариантен статистически анализ (по-специално анализ на дисперсията (статистика), иконометрично моделиране, вземане на решения) и включва следните основни етапи:

1. Формиране на система от показатели.
2. Оценка и прогнозиране на показателите за конкурентоспособност на държавата.
3. Сравнение на показателите за конкурентоспособност на държавите.

Сега нека разгледаме съдържанието на моделите на всеки от етапите на този комплекс.

На първия етапс помощта на експертни методи на изследване се формира добре обоснован набор от икономически показатели за оценка на конкурентоспособността на държавата, като се вземат предвид спецификите на нейното развитие въз основа на международни рейтинги и данни от статистически служби, отразяващи състоянието на системата като цяло и неговите процеси. Изборът на тези показатели е оправдан от необходимостта да се изберат тези, които най-пълно, от практическа гледна точка, ни позволяват да определим нивото на държавата, нейната инвестиционна привлекателност и възможността за относителна локализация на съществуващите потенциални и реални заплахи.

Основните показатели на международните рейтингови системи са индексите:

1. Глобална конкурентоспособност (GC).
2. Икономическа свобода (IES).
3. Човешко развитие (HDI).
4. Възприемане на корупцията (CPC).
5. Вътрешни и външни заплахи (IETH).
6. Международен потенциал за влияние (IPIP).

Втора фазаосигурява оценка и прогнозиране на показателите за конкурентоспособност на държавата според международните рейтинги за изследваните 139 страни по света.

Трети етапосигурява сравнение на условията на конкурентоспособност на държавите с помощта на методи на корелационен и регресионен анализ.

Използвайки резултатите от изследването, е възможно да се определи характерът на процесите като цяло и за отделните компоненти на конкурентоспособността на държавата; тествайте хипотезата за влиянието на факторите и техните връзки на подходящо ниво на значимост.

Прилагането на предложения набор от модели ще позволи не само да се оцени текущата ситуация на нивото на конкурентоспособност и инвестиционната привлекателност на държавите, но и да се анализират недостатъците в управлението, да се предотвратят грешки от грешни решения и да се предотврати развитието на криза в състояние.

Еднопосочен дисперсионен анализ.

Концепция и модели на дисперсионен анализ.

Тема 13. Дисперсионен анализ

Лекция 1. Въпроси:

Дисперсионният анализ, като изследователски метод, се появява в трудовете на Р. Фишер (1918-1935) във връзка с изследванията в селското стопанство за идентифициране на условията, при които изпитваният сорт земеделска култура дава максимален добив. Дисперсионният анализ е доразвит в трудовете на Йейтс. Анализът на дисперсията ни позволява да отговорим на въпроса дали определени фактори оказват значително влияние върху променливостта на даден фактор, чиито стойности могат да бъдат получени в резултат на опит. При тестване на статистически хипотези се допускат случайни вариации в изследваните фактори. При анализа на дисперсията един или повече фактори се променят по даден начин и тези промени могат да повлияят на резултатите от наблюденията. Изследването на такова влияние е целта на дисперсионния анализ.

В момента има все по-широко разпространено използване на дисперсионния анализ в икономиката, социологията, биологията и т.н., особено след появата на софтуер, който елиминира проблемите на тромавостта на статистическите изчисления.

В практическата дейност, в различни области на науката, често се сблъскваме с необходимостта да оценим влиянието на различни фактори върху определени показатели. Често тези фактори са от качествен характер (например качествен фактор, влияещ върху икономическия ефект, може да бъде въвеждането на нова система за управление на производството) и тогава дисперсионният анализ придобива особена стойност, тъй като той се превръща в единствения статистически метод на изследване, който дава такива оценка.

Анализът на дисперсията позволява да се определи дали един или друг от разглежданите фактори има значително влияние върху променливостта на даден признак, както и да се определи количествено „специфичното тегло“ на всеки източник на променливост в тяхната съвкупност. Но анализът на дисперсията ни позволява да дадем положителен отговор само за наличието на значително влияние, в противен случай въпросът остава отворен и изисква допълнителни изследвания (най-често увеличаване на броя на експериментите).

Следните термини се използват при анализа на дисперсията.

Фактор (X) е нещо, което според нас трябва да повлияе на резултата (резултативен атрибут) Y.

Ниво на фактор (или метод на обработка, понякога буквално, например - метод на обработка на почвата) - стойности (X, i = 1.2,...I), които факторът може да приеме.

Response – стойността на измерената характеристика (резултатна стойност Y).

Техниката ANOVA варира в зависимост от броя на изследваните независими фактори. Ако факторите, причиняващи променливост на средната стойност на дадена характеристика, принадлежат към един източник, тогава имаме просто групиране или еднофакторен анализ на дисперсията и след това съответно двойно групиране - двуфакторен анализ на дисперсията, трифакторен анализ дисперсионен анализ, ..., m-фактор. Факторите в многовариантния анализ обикновено се означават с латински букви: A, B, C и т.н.

Задачата на дисперсионния анализ е да изследва влиянието на определени фактори (или нива на фактори) върху променливостта на средните стойности на наблюдаваните случайни променливи.

Същността на дисперсионния анализ. Дисперсионният анализ се състои от изолиране и оценка на отделни фактори, които причиняват променливост. За тази цел общата дисперсия на наблюдаваната частична съвкупност (обща дисперсия на признака), причинена от всички източници на променливост, се разлага на компоненти на дисперсията, генерирани от независими фактори. Всеки от тези компоненти предоставя оценка на дисперсията , ,..., причинена от конкретен източник на променливост в общата популация. За да се тества значимостта на тези оценки на дисперсията на компонентите, те се сравняват с общата дисперсия в популацията (тест на Фишер).

Например при двуфакторен анализ получаваме декомпозиция на формата:

Обща дисперсия на изследвания признак С;

Делът на дисперсията, причинен от влиянието на фактор А;

Делът на дисперсията, причинен от влиянието на фактор В;

Пропорцията на дисперсията, причинена от взаимодействието на фактори A и B;

Делът на дисперсията, причинена от неотчетени случайни причини (случайна дисперсия);

При дисперсионния анализ се разглежда хипотезата: H 0 - нито един от разглежданите фактори не оказва влияние върху изменчивостта на признака. Значимостта на всяка оценка на дисперсията се проверява чрез стойността на съотношението й към оценката на случайната дисперсия и се сравнява със съответната критична стойност, при ниво на значимост a, като се използват таблици с критични стойности на разпределението на Fisher-Snedecor F (Приложение 4) . Хипотезата H 0 относно един или друг източник на променливост се отхвърля, ако се изчисли F. >F кр. (например за фактор B: S B 2 /S ε 2 >F кр.).

Дисперсионният анализ разглежда експерименти от 3 вида:

а) експерименти, при които всички фактори имат систематични (фиксирани) нива;

б) експерименти, в които всички фактори имат произволни нива;

в) експерименти, в които има фактори, които имат произволни нива, както и фактори, които имат фиксирани нива.

Случаи a), b), c) съответстват на три модела, които се разглеждат при дисперсионния анализ.

Входните данни за анализ на дисперсията обикновено се представят под формата на следната таблица:

Номер на наблюдение j	Факторни нива
A 1	А 2	…	A r
	X 11	X 21	…	X p1
	X 12	X 22	…	XP2
	X 13	X 23	…	X p3
.	.	.	…	…
.	.	.	…	…
.	.	.	…	…
н	X 1n	X2n	…	Xpn
РЕЗУЛТАТИ

Помислете за един фактор, който приема p различни нива и приемете, че на всяко ниво са направени n наблюдения, което дава N=np наблюдения. (Ще се ограничим до разглеждането на първия модел на дисперсионен анализ - всички фактори имат фиксирани нива.)

Нека резултатите се представят във формата X ij (i=1,2…,р; j=1,2,…,n).

Приема се, че за всяко ниво от n наблюдения има средна стойност, която е равна на сумата от общата средна стойност и нейната вариация в зависимост от избраното ниво:

където m е общата средна стойност;

A i - ефект, причинен от i – m нивото на фактора;

e ij – вариация на резултатите в рамките на отделно факторно ниво. Терминът e ij отчита всички неконтролируеми фактори.

Нека наблюденията на ниво на фиксиран фактор са нормално разпределени около средната стойност m + A i с обща дисперсия s 2 .

След това (точката вместо индекса означава осредняването на съответните наблюдения върху този индекс):

A.X ij – X.. = (X i . – X..) + (X ij – X i .). (12.3)

След повдигане на квадрат на двете страни на уравнението и сумиране върху i и j, получаваме:

тъй като, но

В противен случай сумата от квадрати може да бъде записана: S = S 1 + S 2. Стойността на S 1 се изчислява от отклоненията на p средните стойности от общата средна стойност X.., следователно S 1 има (p-1) степени на свобода. Стойността на S 2 се изчислява от отклоненията на N наблюдения от p извадкови средни стойности и следователно има N-р = np - p=p(n-1) степени на свобода. S има (N-1) степени на свобода. Въз основа на резултатите от изчислението се съставя таблица за дисперсионен анализ.

ANOVA таблица

Ако хипотезата, че влиянието на всички нива е еднакво е вярна, тогава и M 1, и M 2 (средните квадрати) ще бъдат безпристрастни оценки на s 2. Това означава, че хипотезата може да бъде тествана чрез изчисляване на съотношението (M 1 / M 2) и сравняването му с F cr. с ν 1 = (p-1) и ν 2 = (N-p) степени на свобода.

Ако F се изчисли >F кр. , тогава хипотезата за незначителното влияние на фактор А върху резултата от наблюденията не се приема.

За да се оцени значимостта на разликите при F изч. F маса изчисли:

а) експериментална грешка

б) грешка на разликата в средните стойности

в) най-малката значима разлика

Сравнявайки разликата в средните стойности за опциите с NSR, те заключават, че разликите в нивото на средните стойности са значителни.

Коментирайте. Използването на дисперсионен анализ предполага, че:

2) D(ε ij)=σ 2 = const,

3) ε ij → N (0, σ) или x ij → N (a, σ).

Аналитичен статистик

7.1 Дисперсионен анализ. 2

В тази версия на метода различни извадки от субекти са изложени на въздействието на всяка от градациите. Трябва да има поне градации на фактора три.

Пример 1.Три различни групи от шест субекта получиха списъци от десет думи. На първата група думите се представяха с ниска скорост - 1 дума за 5 секунди, на втората група със средна скорост - 1 дума на 2 секунди и на третата група с висока скорост - 1 дума в секунда. Беше предвидено, че ефективността на възпроизвеждане зависи от скоростта на представяне на думата. Резултатите са представени в табл. 1.

Таблица 1. Брой възпроизведени думи (отДж. Greene, M D "Olivera, 1989, стр. 99)

Предмет №	Група 1 ниска скорост	Група 2 средна скорост	Група 3 висока скорост
суми
средно аритметично	7,17	6,17	4,00
Обща сума

Едновариантният дисперсионен анализ ви позволява да тествате хипотезите:

H 0 : разлики в обема на производството на думи междугрупите не са по-изразени от случайните разлики вътревсяка група

H 1 : Разлики в обема на словесната продукция междугрупите са по-изразени от случайните разлики вътревсяка група.

Последователност от операции при еднопосочен дисперсионен анализ за несвързани проби:

1. да броим СС факт- изменчивост на признака, дължаща се на действието на изследвания фактор. Общо обозначениеСС - съкращение за "сума от квадрати" (сбор от квадрати ). Това съкращение се използва най-често в преводните източници (вижте например: Glass J., Stanley J., 1976).

,(1)

където T c е сумата от индивидуалните стойности за всяко условие. За нашия пример, 43, 37, 24 (вижте таблица 1);

с – брой условия (градации) на фактора (=3);

н – брой субекти във всяка група (=6);

н – общ брой индивидуални стойности (=18);

Квадрат на общата сума на отделните стойности (=104 2 =10816)

Обърнете внимание на разликата между , при която всички отделни стойности първо се повдигат на квадрат и след това се сумират, и , където отделните стойности първо се сумират, за да се получи обща сума, а след това тази сума се повдига на квадрат.

Използвайки формула (1), като изчислим действителната променливост на признака, получаваме:

2. да броим генерал от СС– обща изменчивост на признака:

(2)

3. изчисляване на случайната (остатъчна) стойностСС сл, причинени от неотчетени фактори:

(3)

4.брой степени на свободаравно на:

=3-1=2(4)

5."среден квадрат"или средната стойност на съответните суми от квадрати SS е равна на:

(5)

6.смисъл критериална статистика F emизчислете по формулата:

(6)

За нашия пример имаме : F em =15,72/2,11=7,45

7.дефинирам F критспоред статистическите таблици Приложения 3за df 1 =k 1 =2 и df 2 =k 2 =15 табличната стойност на статистиката е 3,68

8. ако F em< F критична, тогава се приема нулевата хипотеза, в противен случай се приема алтернативната хипотеза. За нашия пример F em> F критичен (7.45>3.68), следователно p

Заключение:разликите в припомнянето на думи между групите са по-изразени от случайните разлики във всяка група (стр<0,05). Т.о. скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.

7.1.2 Анализ на дисперсията за свързани проби

Методът на дисперсионния анализ за свързани проби се използва в случаите, когато влиянието на различни градации на фактор или различни условия върху същата извадка от субекти.Трябва да има поне градации на фактора три.

В този случай различията между субектите са възможен независим източник на различия. Еднопосочен ANOVA за свързани пробище ни позволи да определим какво надделява - тенденцията, изразена чрез кривата на промяна на фактора, или индивидуалните различия между субектите. Факторът на индивидуалните различия може да бъде по-значим от фактора на промените в експерименталните условия.

Пример 2.Група от 5 субекта беше изследвана с помощта на три експериментални задачи, насочени към изследване на интелектуалната постоянство (Sidorenko E.V., 1984). Всеки субект беше индивидуално представен с три идентични анаграми последователно: четирибуквена, петбуквена и шестбуквена. Възможно ли е да се предположи, че коефициентът на дължина на една анаграма влияе върху продължителността на опитите за нейното решаване?

Таблица 2. Продължителност на решаване на анаграми (сек)

Код на предмета	Условие 1. четирибуквена анаграма	Условие 2. Петбуквена анаграма	Условие 3. шестбуквена анаграма	Суми по предмети
суми		1244		1342

Да формулираме хипотези. В този случай има две групи хипотези.

Комплект А.

H 0 (A): Разликите в продължителността на опитите за решаване на анаграми с различна дължина не са по-изразени от разликите, дължащи се на случайни причини.

H 1 (A): Разликите в продължителността на опитите за решаване на анаграми с различна дължина са по-изразени от разликите, дължащи се на случайни причини.

Комплект B.

N относно (B): Индивидуалните различия между субектите не са по-изразени от разликите, дължащи се на случайни причини.

H 1 (B): Индивидуалните различия между субектите са по-изразени от разликите, дължащи се на случайни причини.

Последователност от операции при еднопосочен дисперсионен анализ за свързани проби:

1. да броим СС факт- изменчивост на признака, дължаща се на действието на изследвания фактор по формула (1).

където T c е сумата от отделните стойности за всяко от условията (колони). За нашия пример, 51, 1244, 47 (вижте таблица 2); с – брой условия (градации) на фактора (=3);н – брой субекти във всяка група (=5);н – общ брой индивидуални стойности (=15); - квадрат на общата сума на отделните стойности (=1342 2)

2. да броим СС исп- променливост на знака поради индивидуалните ценности на субектите.

Където T и е сумата от индивидуалните стойности за всеки субект. За нашия пример, 247, 631, 100, 181, 183 (вижте таблица 2); с – брой условия (градации) на фактора (=3);н – общ брой индивидуални стойности (=15);

3. да броим генерал от СС– обща изменчивост на признака по формула (2):

4. изчисляване на случайната (остатъчна) стойностСС сл, причинени от неотчетени фактори съгласно формула (3):

5. брой степени на свободае равно на (4):

; ; ;

6. "среден квадрат"или математическо очакване на сумата от квадрати,средната стойност на съответните суми от квадрати SS е равна на (5):

;

7. критерий статистическа стойност F emизчислете по формула (6):

;

8. Нека определим F crit от статистическите таблици в Приложение 3 за df 1 =k 1 =2 и df 2 =k 2 =8 таблична стойност на статистиката F crit_fact =4,46 и за df 3 =k 3 =4 и df 2 =k 2 = 8 F crit_exp =3,84

9. F em_факт> Fкритичен_факт (6.872>4.46), следователно p се приема алтернативна хипотеза.

10. F em_use < F крит_исп (1,054<3,84), следовательно пНулевата хипотеза се приема.

Заключение:разликите в обема на възпроизвеждане на думи при различни условия са по-изразени от разликите, дължащи се на случайни причини (p<0,05).Индивидуальные различия между испытуе­мыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

7.2 Корелационен анализ

7.2.1 Понятие за корелация

Изследователят често се интересува от това как две или повече променливи са свързани една с друга в една или повече проби, които се изследват. Например, могат ли учениците с високи нива на тревожност да демонстрират стабилни академични постижения или продължителността на работа на учителя в училище е свързана с размера на заплатата му, или което е по-свързано с нивото на умствено развитие на учениците - тяхното представяне по математика или литература и т.н. .?

Този вид зависимост между променливите се нарича корелация или корелация. Корелация Връзка- това е координирана промяна в две характеристики, отразяваща факта, че променливостта на една характеристика е в съответствие с променливостта на другата.

Известно е например, че средно има положителна връзка между ръста на хората и тяхното тегло и такава, че колкото по-голям е ръстът, толкова по-голямо е теглото на човека. Има обаче изключения от това правило, когато сравнително ниските хора са с наднормено тегло и, обратно, астеничните хора с висок ръст имат ниско тегло. Причината за подобни изключения е, че всеки биологичен, физиологичен или психологически признак се определя от влиянието на много фактори: екологични, генетични, социални, екологични и др.

Корелационните връзки са вероятностни промени, които могат да бъдат изследвани само върху представителни извадки с помощта на методите на математическата статистика. „И двата термина“, пише E.V. Сидоренко, - корелационна връзка и корелационна зависимост- често се използват като синоними. Зависимостта предполага влияние, връзка - всякакви координирани промени, които могат да бъдат обяснени със стотици причини. Корелационните връзки не могат да се считат за доказателство за причинно-следствена връзка; те само показват, че промените в една характеристика обикновено са придружени от определени промени в друга.

Корелационна зависимост - това са промени, които въвеждат стойностите на една характеристика във вероятността за поява на различни стойности на друга характеристика (E.V. Sidorenko, 2000).

Задачата на корелационния анализ се свежда до установяване на посоката (положителна или отрицателна) и формата (линейна, нелинейна) на връзката между различни характеристики, измерване на нейната близост и накрая проверка на нивото на значимост на получените коефициенти на корелация.

Корелациите варират по форма, посока и степен (сила).

По формакорелационната връзка може да бъде линейна или криволинейна. Например връзката между броя на тренировъчните сесии на симулатора и броя на правилно решените задачи в контролната сесия може да бъде ясна. Например връзката между нивото на мотивация и ефективността на дадена задача може да бъде криволинейна (виж фиг. 1). С нарастването на мотивацията ефективността от изпълнението на задача първо се увеличава, след това се постига оптималното ниво на мотивация, което съответства на максималната ефективност от изпълнение на задачата; По-нататъшното повишаване на мотивацията е придружено от намаляване на ефективността.

Фиг. 1. Връзката между ефективността на решаването на проблем

и силата на мотивационната тенденция (според J. W. A t k in son, 1974, стр. 200)

Къмкорелацията може да бъде положителна („директна“) и отрицателна („обратна“). При положителна линейна корелация по-високите стойности на една характеристика съответстват на по-високи стойности на друга, а по-ниските стойности на една характеристика съответстват на ниски стойности на друга. При отрицателна корелация връзките са обърнати. При положителна корелация коефициентът на корелация има положителен знак, напримерr =+0,207, с отрицателна корелация - отрицателен знак, напрr = -0,207.

Степен, сила или стегнатост корелационната връзка се определя от стойността на коефициента на корелация.

Силата на връзката не зависи от нейната посока и се определя от абсолютната стойност на коефициента на корелация.

Максимално възможна абсолютна стойност на корелационния коефициентr =1,00; минимум r =0,00.

Обща класификация на корелациите (според Ivanter E.V., Korosov A.V., 1992):

силен, или стегнатис коефициент на корелацияr >0,70;

средно аритметичнопри 0,50< r<0,69 ;

умеренопри 0,30< r<0,49 ;

слабпри 0,20< r<0,29 ;

много слабпри r<0,19 .

Променливите X и Y могат да бъдат измерени в различни скали, това е, което определя избора на подходящия корелационен коефициент (вижте Таблица 3):

Таблица 3. Използване на коефициента на корелация в зависимост от вида на променливите

Тип мащаб		Мярка за връзка
Променлива X	Променлива Y
Интервал или връзка	Интервал или връзка	Коефициент на Пиърсън
	Ранг, интервал или съотношение	Коефициент на Спирман
Класиран	Класиран	Коефициент на Кендъл
Дихотомичен	Дихотомичен	Коефициент "j"
Дихотомичен	Класиран	Ранг-бисериален
Дихотомичен	Интервал или връзка	Бисериален

7.2.2 Корелационен коефициент на Pearson

Терминът "корелация" е въведен в науката от изключителния английски натуралист Франсис Галтън през 1886 г. Но точната формула за изчисляване на коефициента на корелация е разработена от неговия ученик Карл Пиърсън.

Коефициентът характеризира наличието само на линейна връзка между характеристиките, обикновено обозначени със символите X и Y. Формулата за изчисляване на коефициента на корелация е конструирана по такъв начин, че ако връзката между характеристиките е линейна, коефициентът на Пиърсън точно установява близостта на тази връзка. Следователно той се нарича още коефициент на линейна корелация на Пиърсън. Ако връзката между променливите X и Y не е линеен, тогава Пиърсън предложи така наречената корелационна връзка, за да оцени близостта на тази връзка.

Стойността на коефициента на линейна корелация на Pearson не може да надвишава +1 и да бъде по-малка от -1. Тези две числа +1 и -1 са границите за коефициента на корелация. Когато изчислението доведе до стойност, по-голяма от +1 или по-малка от -1, следователно е възникнала грешка в изчисленията.

Знакът на корелационния коефициент е много важен за тълкуване на получената връзка. Нека подчертаем още веднъж, че ако знакът на коефициента на линейна корелация е плюс, тогава връзката между корелираните признаци е такава, че по-голяма стойност на един признак (променлива) съответства на по-голяма стойност на друг признак (друга променлива). С други думи, ако един индикатор (променлива) се увеличи, тогава другият индикатор (променлива) се увеличава съответно. Тази зависимост се нарича правопропорционална зависимост.

Ако се получи знак минус, тогава по-голяма стойност на една характеристика съответства на по-малка стойност на друга. С други думи, ако има знак минус, увеличението на една променлива (знак, стойност) съответства на намаляване на друга променлива. Тази зависимост се нарича обратно пропорционална зависимост.

Най-общо формулата за изчисляване на коефициента на корелация е:

(7)

Където х аз- стойности, взети в проба X,

y i- стойности, приети в проба Y;

Средно за X, - средно за Y.

Изчисляването на корелационния коефициент на Пиърсън предполага, че променливите X и Y са разпределени Глоба.

Формула (7) съдържа количеството когато се раздели нан (броят стойности на променливата X или Y) се нарича ковариация. Формула (7) също така предполага, че при изчисляване на коефициентите на корелация броят на стойностите на променливата X е равен на броя на стойностите на променливата Y.

Брой степени на свобода k = n -2.

Пример 3.На 10 ученици бяха проведени тестове за нагледно-образно и вербално мислене. Средното време за решаване на тестови задачи се измерва в секунди. Изследователят се интересува от въпроса: има ли връзка между времето, необходимо за решаване на тези проблеми? Променлива X означава средното време за решаване на визуално-образни задачи, а променлива Y означава средното време за решаване на вербални тестови задачи.

Решение. Нека представим първоначалните данни под формата на таблица 4, която съдържа допълнителни колони, необходими за изчисляване по формула (7).

Таблица 4

Брой теми	х		x i -	(x i - ) 2	y аз -	(y i -) 2
			16,7	278,89		51,84	120,24
				13,69	17,2	295,84	63,64
				7,29		51,84	19,44
				68,89		14,44	31,54
				59,29		7,84	21,56
				0,49		46,24	4,76
				10,89		17,64	13,86
				10,89		51,84	23,76
				68,89	10,8	116,64	89,64
				68,89	18,8	353,44	156,04
Сума	357	242		588,1		1007,6	416,6
Средно аритметично	35,7	24,2

Изчисляваме емпиричната стойност на коефициента на корелация, използвайки формула (7):

Определяме критичните стойности за получения коефициент на корелация съгласно таблицата в Приложение 3. При намиране на критичните стойности за изчисления коефициент на линейна корелация на Pearson, броят на степените на свобода се изчислява като k = n – 2 = 8.

k crit = 0,72 > 0,54, следователно хипотезата H 1 се отхвърля и хипотезата се приема H 0 , с други думи, не е доказана връзката между времето за решаване на нагледно-образни и вербални тестови задачи.

7.3 Регресионен анализ

Това е група от методи, насочени към идентифициране и математическо изразяване на тези промени и зависимости, които се извършват в система от случайни променливи. Ако такава система моделира педагогическа, то следователно чрез регресионен анализ се идентифицират и математически изразяват психологически и педагогически феномени и зависимостите между тях. Характеристиките на тези явления се измерват в различни скали, което налага ограничения върху начините за математическо изразяване на промените и зависимостите, които се изучават от учителя-изследовател.

Методите за регресионен анализ са предназначени предимно за случай на стабилно нормално разпределение, при което промените от опит към опит се появяват само под формата на независими опити.

Идентифицирани са различни формални проблеми на регресионния анализ. Те могат да бъдат прости и сложни по формулировка, математически средства и трудоемкост. Нека изброим и разгледаме с примери тези, които изглеждат основните.

Първата задача е идентифицирайте факта на променливостта явлението се изучава при определени, но не винаги ясно фиксирани условия. В предишната лекция вече решихме този проблем, използвайки параметрични и непараметрични критерии.

Втора задача - идентифицирайте тенденция като периодична промяна в характеристика. Самата тази характеристика може или не може да зависи от променливата на състоянието (може да зависи от неизвестни или неконтролируеми от изследователя условия). Но това не е важно за разглежданата задача, която се ограничава само до идентифициране на тенденцията и нейните характеристики.

Тестването на хипотези за липса или наличие на тенденция може да се извърши с помощта на критерия на Abbe . Критерий на Абепредназначени да тестват хипотези за равенството на средните стойности, установени за 4

Емпиричната стойност на критерия на Абе се изчислява по формулата:

(8)

където е средноаритметичната стойност на извадката;

П– брой стойности в извадката.

Според критерия хипотезата за равенство на средствата се отхвърля (приема се алтернативната хипотеза), ако стойността на статистиката е . Табличната (критична) стойност на статистиката се определя от таблицата за q-критерия на Abbe, която със съкращения е заимствана от книгата на L.N. Болишева и Н.В. Смирнова (виж Приложение 3).

Такива количества, за които е приложим критерият на Abbe, могат да бъдат извадкови дялове или проценти, средни аритметични стойности и други статистически данни на извадковите разпределения, ако са близки до нормалните (или предварително нормализирани). Следователно критерият на Абе може да намери широко приложение в психологическите и педагогическите изследвания. Нека разгледаме пример за идентифициране на тенденция с помощта на критерия Abbe.

Пример 4.В табл 5 е показана динамиката на процента ученици IV курс, които са положили изпити в зимни сесии с „отлични“ през 10 години работа в един от факултетите на университета.Изисква се да се установи дали има тенденция за повишаване на академичната ефективност.

Таблица 5. Динамика на процента на отличниците от четвърта година за 10 години работа на факултета

Академична година
1995-96	10,8
1996-97	16,4
1997-98	17,4
1998-99	22,0
1999-00	23,0
2000-01	21,5
2001-02	26,1
2002-03	17,2
2003-04	27,5
2004-05	33,0

Като нулаТестваме хипотезата за липсата на тенденция, т.е. за равенството на процентите.

Осредняваме процентите, дадени в табл. 5, намираме, че =21,5. Изчисляваме разликите между следващите и предишните стойности в извадката, квадратираме ги и ги сумираме:

По подобен начин изчислява знаменателя във формула (8), като сумира квадратите на разликите между всяко измерване и средното аритметично:

Сега използвайки формула (8), получаваме:

В таблицата на критериите на Абе от Приложение 3 намираме, че при n = 10 и ниво на значимост 0,05, критичната стойност е по-голяма от 0,41, която получихме, следователно хипотезата за равенството на процента на „отличните студенти“ трябва да бъде отхвърлени и можем да приемем алтернативната хипотеза за наличието на тенденция.

Третата задача е идентифициране на модел, изразен под формата на корелационно уравнение (регресия).

Пример 5.Естонският изследовател J. Mikk, изучавайки трудностите при разбирането на текст, установи „формула за четливост“, която е множествена линейна регресия:

Оценяване на трудността за разбиране на текста,

където x 1 е дължината на независимите изречения в броя на печатните знаци,

x 2 - процент на различни непознати думи,

x 3 - абстрактност на повтарящи се понятия, изразени със съществителни .

Сравнявайки коефициентите на регресия, изразяващи степента на влияние на факторите, може да се види, че трудността за разбиране на текст се определя преди всичко от неговата абстрактност. Трудността на разбирането на текста зависи наполовина (0,27) от броя на непознатите думи и на практика изобщо не зависи от дължината на изречението.