Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
РЕЗЮМЕ
„Пълно изучаване на функция и изграждане на нейната графика.“
ВЪВЕДЕНИЕ
Изучаването на свойствата на функция и начертаването на нейната графика е едно от най-прекрасните приложения на производните. Този метод за изследване на функцията многократно е бил подложен на внимателен анализ. Основната причина е, че в приложенията на математиката беше необходимо да се работи с все по-сложни функции, които се появяват при изучаването на нови явления. Появиха се изключения от правилата, разработени от математиката, появиха се случаи, когато създадените правила изобщо не бяха подходящи, появиха се функции, които нямат производна в нито един момент.
Целта на изучаването на курса по алгебра и елементарен анализ в 10-11 клас е систематичното изучаване на функциите, разкриването на приложната стойност на общите методи на математиката, свързани с изучаването на функциите.
Развитието на функционални концепции в хода на изучаване на алгебра и началото на анализа в горното ниво на образование помага на учениците в гимназията да получат визуални идеи за непрекъснатостта и прекъсванията на функциите, да научат за непрекъснатостта на всяка елементарна функция в областта на прилагането му, да се научат да конструират техните графики и да обобщават информация за основните елементарни функции и да разбират ролята им в изучаването на явленията от реалността, в човешката практика.
Нарастваща и намаляваща функция
Решаването на различни задачи от областта на математиката, физиката и технологиите води до установяване на функционална връзка между променливите, участващи в това явление.
Ако такава функционална зависимост може да бъде изразена аналитично, тоест под формата на една или повече формули, тогава става възможно да се изследва с помощта на математически анализ.
Това се отнася до възможността за изясняване на поведението на функция при промяна на една или друга променлива (къде функцията нараства, къде намалява, къде достига максимум и т.н.).
Прилагането на диференциалното смятане за изследване на функция се основава на много проста връзка, която съществува между поведението на функция и свойствата на нейната производна, предимно нейните първа и втора производни.
Нека да разгледаме как можем да намерим интервали на нарастваща или намаляваща функция, т.е. интервали на нейната монотонност. Въз основа на определението за монотонно намаляваща и нарастваща функция е възможно да се формулират теореми, които ни позволяват да свържем стойността на първата производна на дадена функция с естеството на нейната монотонност.
Теорема 1.1. Ако функцията г
=
f
(
х
)
, диференцируеми на интервала(
а
,
b
)
, нараства монотонно на този интервал, след това във всяка точка
(
х
) >0;
ако намалява монотонно, тогава във всяка точка от интервала (
х
)<0.
Доказателство. Нека функциятаг = f ( х ) монотонно нараства с( а , b ) , Това означава, че за всеки достатъчно малък > 0 важи следното неравенство:
f ( х - ) < f ( х ) < f ( х + ) (фиг. 1.1).
Ориз. 1.1
Помислете за лимита
.
Ако > 0, тогава 
> 0 ако< 0, то
< 0.
И в двата случая изразът под знака за граница е положителен, което означава, че границата е положителна, т.е ( х )>0 , което трябваше да се докаже. По подобен начин се доказва и втората част от теоремата, свързана с монотонния спад на функцията.
Теорема 1.2. Ако функцията г = f ( х ) , непрекъснат на сегмента[ а , b ] и е диференцируем във всички свои вътрешни точки, и в допълнение, ( х ) >0 за всеки х ϵ ( а , b ) , тогава тази функция нараства монотонно с( а , b ) ; Ако
( х ) <0 за всеки xϵ ( а , b ), тогава тази функция намалява монотонно с( а , b ) .
Доказателство. Да вземем ϵ ( а , b ) И ϵ ( а , b ) , и< . Според теоремата на Лагранж
( ° С ) = .
Но ( ° С )>0 и > 0, което означава ( > 0, т.е
(. Полученият резултат показва монотонно нарастване на функцията, което е необходимо да се докаже. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.
Екстремуми на функцията
При изучаване на поведението на функцията специална роля играят точките, които разделят една от друга интервалите на монотонно нарастване от интервалите на нейното монотонно намаляване.
Определение 2.1. Точка наречена максимална точка на функцията
г
=
f
(
х
)
, ако има, колкото и малко да е ,
(
< 0
, а точка
се нарича минимална точка, ако (
> 0.
Минималните и максималните точки се наричат заедно точки на екстремум. Частично монотонната функция на такива точки има краен брой на краен интервал (фиг. 2.1).
Ориз. 2.1
Теорема 2.1 (необходимо условие за съществуване на екстремум). Ако е диференцируем на интервала( а , b ) функция има в точка от този интервал е максимумът, тогава неговата производна в тази точка е равна на нула. Същото може да се каже и за минималната точка .
Доказателството на тази теорема следва от теоремата на Рол, в която е показано, че в точките на минимум или максимум = 0 и допирателната, начертана към графиката на функцията в тези точки, е успоредна на остаОХ .
От теорема 2.1 следва, че ако функциятаг = f ( х ) има производна във всички точки, тогава може да достигне екстремум в тези точки, където = 0.
Това условие обаче не е достатъчно, тъй като има функции, за които определеното условие е изпълнено, но няма екстремум. Например функциятаг= в точка х = 0 производната е нула, но в тази точка няма екстремум. В допълнение, екстремумът може да бъде в тези точки, където производната не съществува. Например функциятаг = | х | има минимум в точкатах = 0 , въпреки че производното не съществува в този момент.
Определение 2.2. Точките, в които производната на дадена функция изчезва или има прекъсване, се наричат критични точки на тази функция.
Следователно теорема 2.1 не е достатъчна за определяне на екстремни точки.
Теорема 2.2 (достатъчно условие за съществуване на екстремум). Нека функцията г = f ( х ) непрекъснато на интервала( а , b ) , който съдържа неговата критична точка , и е диференцируем във всички точки от този интервал, с възможно изключение на самата точка . Тогава, ако при преместване на тази точка отляво надясно знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава това е максимална точка и, обратно, от минус на плюс - минимална точка.
Доказателство. Ако производната на функция променя знака си при преминаване през точка отляво надясно от плюс към минус, тогава функцията се движи от нарастваща към намаляваща, тоест достига до точката своя максимум и обратно.
От горното следва схема за изследване на функция при екстремум:
1) намерете областта на дефиниция на функцията;
2) изчисляване на производната;
3) намиране на критични точки;
4) чрез промяна на знака на първата производна се определя техният характер.
Задачата за изследване на функция за екстремум не трябва да се бърка със задачата за определяне на минималните и максималните стойности на функция на сегмент. Във втория случай е необходимо да се намерят не само екстремните точки на сегмента, но и да се сравнят със стойността на функцията в нейните краища.
Интервали на изпъкнали и вдлъбнати функции
Друга характеристика на графиката на функция, която може да се определи с помощта на производната, е нейната изпъкналост или вдлъбнатост.
Определение 3.1. функция г = f ( х ) се нарича изпъкнал на интервала( а , b ) , ако нейната графика е разположена под всяка допирателна, начертана към нея на даден интервал, и обратно, тя се нарича вдлъбната, ако нейната графика е над която и да е допирателна, начертана към нея на даден интервал.
Нека докажем теорема, която ни позволява да определим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функция.
Теорема 3.1. Ако във всички точки на интервала( а , b ) втора производна на функцията ( х ) е непрекъсната и отрицателна, тогава функциятаг = f ( х ) е изпъкнала и обратно, ако втората производна е непрекъсната и положителна, тогава функцията е вдлъбната.
Провеждаме доказателството за интервала на изпъкналост на функцията. Нека вземем произволна точкаϵ ( а , b ) и начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точкаг = f ( х ) (фиг. 3.1).
Теоремата ще бъде доказана, ако се покаже, че всички точки на кривата на интервала( а , b ) лежат под тази допирателна. С други думи, необходимо е да се докаже, че за същите стойностих ординати на криватаг = f ( х ) по-малко от ординатата на допирателната, прекарана към него в точката .
Ориз. 3.1
За определеност обозначаваме уравнението на кривата: = f ( х ) , и уравнението на допирателната към него в точката :
- f ( ) = ( )( х - )
или
= f ( ) + ( )( х - ) .
Нека компенсираме разликатаИ :
- = f(x) – f( ) - ( )(х- ).
Прилагане към разликатаf ( х ) – f ( ) Теорема на Лагранж за средната стойност:
- = ( )( х - ) - ( )( х - ) = ( х - )[ ( ) - ( )] ,
Където ϵ ( , х ).
Нека сега приложим теоремата на Лагранж към израза в квадратни скоби:
- = ( )( - )( х - ) , Където ϵ ( , ).
Както се вижда от фигурата,х > , Тогава х - > 0 И - > 0 . Освен това, според теоремата, ( )<0.
Като умножим тези три фактора, получаваме това , което трябваше да се докаже.
Определение 3.2. Точката, разделяща изпъкналия интервал от вдлъбнатия интервал, се нарича инфлексна точка.
От определение 3.1 следва, че в дадена точка допирателната пресича кривата, т.е. от едната страна кривата е разположена под допирателната, а от другата отгоре.
Теорема 3.2. Ако в точката втора производна на функцията
г = f ( х ) е равно на нула или не съществува, а при преминаване през точка знакът на втората производна се променя на противоположния, тогава тази точка е инфлексна точка.
Доказателството на тази теорема следва от факта, че знаците ( х ) от противоположните страни на точката са различни. Това означава, че от едната страна на точката функцията е изпъкнала, а от другата е вдлъбната. В този случай, съгласно дефиниция 3.2, точката е инфлексната точка.
Изследването на функция за изпъкналост и вдлъбнатост се извършва по същата схема, както изследването за екстремум.
4. Асимптоти на функцията
В предишните параграфи бяха обсъдени методи за изследване на поведението на функция с помощта на производната. Въпреки това, сред въпросите, свързани с пълното изучаване на функция, има и такива, които не са свързани с производната.
Така например е необходимо да се знае как се държи една функция, когато точка от нейната графика се отдалечава безкрайно от началото. Този проблем може да възникне в два случая: когато аргументът на функция отива в безкрайност и когато по време на прекъсване от втори вид в крайната точка самата функция отива в безкрайност. И в двата случая може да възникне ситуация, когато функцията се стреми към някаква права линия, наречена нейна асимптота.
Определение . Асимптота на графиката на функцияг = f ( х ) е права линия, която има свойството, че разстоянието от графиката до тази права линия клони към нула, когато точката на графиката се движи неограничено от началото.
Има два вида асимптоти: вертикални и наклонени.
Вертикалните асимптоти включват прави линиих
=
, които имат свойството, че графиката на функцията в тяхната близост отива в безкрайност, тоест условието е изпълнено: 
.
Очевидно тук е изпълнено изискването на посочената дефиниция: разстоянието от графиката на кривата до правата линиях = клони към нула, а самата крива отива към безкрайност. Така че, в точки на прекъсване от втори вид, функциите имат вертикални асимптоти, например,г= в точка х = 0 . Следователно определянето на вертикалните асимптоти на функция съвпада с намирането на точки на прекъсване от втори род.
Наклонените асимптоти се описват с общото уравнение на права линия в равнина, т.ег = kx + b . Това означава, че за разлика от вертикалните асимптоти тук е необходимо да се определят числатак И b .
Така че нека кривата = f ( х ) има наклонена асимптота, т.ех точките на кривата се доближават колкото желаете до правата линия = kx + b (фиг. 4.1). Позволявам М ( х , г ) - точка, разположена на крива. Неговото разстояние от асимптотата ще се характеризира с дължината на перпендикуляра| MN | .
За пълно изследване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва следната схема:
A) намерете областта на дефиниция, точки на прекъсване; изследвайте поведението на функция близо до точки на прекъсване (намерете границите на функцията отляво и отдясно в тези точки). Посочете вертикалните асимптоти.
Б) определи дали дадена функция е четна или нечетна и заключи, че има симетрия. Ако , тогава функцията е четна и симетрична спрямо оста OY; когато функцията е нечетна, симетрична спрямо началото; и if е функция от общ вид.
В) намерете пресечните точки на функцията с координатните оси OY и OX (ако е възможно), определете интервалите на постоянен знак на функцията. Границите на интервалите с постоянен знак на функция се определят от точките, в които функцията е равна на нула (функционални нули) или не съществува, и границите на областта на дефиниране на тази функция. В интервали, където графиката на функцията е разположена над оста OX и къде - под тази ос.
Г) намерете първата производна на функцията, определете нейните нули и интервали с постоянен знак. В интервали, където функцията расте и където намалява. Направете заключение за наличието на екстремуми (точки, в които съществува функция и производна и при преминаване през които тя променя знака. Ако знакът се промени от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум, а ако от минус на плюс , след това минимум). Намерете стойностите на функцията в екстремните точки.
Г) намерете втората производна, нейните нули и интервали с постоянен знак. В интервали, където< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Д) намерете наклонени (хоризонтални) асимптоти, уравненията на които имат формата 
; Където 
.
При 
графиката на функцията ще има две наклонени асимптоти и всяка стойност на x при и може също да съответства на две стойности на b.
G) намерете допълнителни точки за изясняване на графиката (ако е необходимо) и построете графика.
Пример 1
Разгледайте функцията и изградете нейната графика. Решение: А) област на дефиниция 
; функцията е непрекъсната в своята област на дефиниция; – точка на прекъсване, т.к 
;
. След това – вертикална асимптота.
б)
тези. y(x) е функция от общ вид.
В) Намерете пресечните точки на графиката с оста OY: задайте x=0; тогава y(0)=–1, т.е. графиката на функцията пресича оста в точка (0;-1). Нули на функцията (пресечни точки на графиката с оста OX): задайте y=0; Тогава 
.
Дискриминантът на квадратно уравнение е по-малък от нула, което означава, че няма нули. Тогава границата на интервалите с постоянен знак е точката x=1, където функцията не съществува.
Знакът на функцията във всеки от интервалите се определя по метода на частичните стойности:
От диаграмата става ясно, че в интервала графиката на функцията е разположена под оста OX, а в интервала – над оста OX.
Г) Откриваме наличието на критични точки.
.
Намираме критични точки (където или не съществува) от равенствата и .
Получаваме: x1=1, x2=0, x3=2. Нека създадем помощна таблица
маса 1 
(Първият ред съдържа критичните точки и интервалите, на които тези точки са разделени от оста OX; вторият ред показва стойностите на производната в критичните точки и знаците на интервалите. Знаците се определят от частичната стойност метод.Третият ред показва стойностите на функцията y(x) в критични точки и показва поведението на функцията - нарастване или намаляване на съответните интервали на цифровата ос.Освен това, наличието на минимум или максимум е посочено.
Г) Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функцията.
; изградете таблица, както в точка D); Само във втория ред записваме знаците, а в третия посочваме вида на изпъкналостта. защото ; тогава критичната точка е едно x=1.
таблица 2 
Точката x=1 е инфлексната точка.
Д) Намерете наклонени и хоризонтални асимптоти 
Тогава y=x е наклонена асимптота.
Ж) Въз основа на получените данни изграждаме графика на функцията 
1). Обхватът на функцията.
Очевидно е, че тази функция е дефинирана на цялата числова линия, с изключение на точките "" и "", защото в тези точки знаменателят е равен на нула и следователно функцията не съществува, а правите линии и са вертикални асимптоти.
2). Поведението на функция като аргумент клони към безкрайност, наличие на точки на прекъсване и проверка за наличие на наклонени асимптоти.
Нека първо проверим как се държи функцията, когато се доближава до безкрайността наляво и надясно. 
Така, когато функцията клони към 1, т.е. – хоризонтална асимптота.
В близост до точките на прекъсване поведението на функцията се определя, както следва: 
Тези. При приближаване до точки на прекъсване отляво функцията безкрайно намалява, а отдясно нараства безкрайно.
Определяме наличието на наклонена асимптота, като вземем предвид равенството: 
Няма наклонени асимптоти.
3). Пресечни точки с координатни оси.
Тук е необходимо да се разгледат две ситуации: намиране на пресечната точка с оста Ox и оста Oy. Знакът на пресичане с оста Ox е нулевата стойност на функцията, т.е. необходимо е да се реши уравнението:
Това уравнение няма корени, следователно графиката на тази функция няма пресечни точки с оста Ox.
Знакът на пресичане с оста Oy е стойността x = 0. В този случай
,
тези. – пресечната точка на графиката на функцията с оста Oy.
4).Определяне на екстремни точки и интервали на нарастване и намаляване.
За да проучим този проблем, ние дефинираме първата производна: 
.
Нека приравним стойността на първата производна на нула. 
.
Една дроб е равна на нула, когато нейният числител е равен на нула, т.е. .
Нека определим интервалите на нарастване и намаляване на функцията.
Така функцията има една точка на екстремум и не съществува в две точки.
По този начин функцията нараства на интервалите и и намалява на интервалите и .
5). Точки на инфлексия и области на изпъкналост и вдлъбнатост.
Тази характеристика на поведението на функция се определя с помощта на втората производна. Нека първо определим наличието на точки на инфлексия. Втората производна на функцията е равна на 
Когато и функцията е вдлъбната;
когато и функцията е изпъкнала.
6). Графика на функция.
Използвайки намерените стойности в точки, ще изградим схематично графика на функцията:
Пример3
Функция за изследване 
и изградете неговата графика. Решение
Дадената функция е непериодична функция от общ вид. Графиката му минава през началото на координатите, тъй като .
Областта на дефиниране на дадена функция е всички стойности на променливата, с изключение на и за които знаменателят на дробта става нула.
Следователно точките са точките на прекъсване на функцията.
защото 
, 
защото 
,
, тогава точката е точка на прекъсване от втори род.
Правите линии са вертикалните асимптоти на графиката на функцията.
Уравнения на наклонени асимптоти, където, 
.
При 
,
.
По този начин за и графиката на функцията има една асимптота.
Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване на функцията и екстремните точки.
.
Първата производна на функцията at и, следователно, at и функцията нараства.
Когато , следователно, когато , функцията намалява.
не съществува за , . 
, следователно, когато 
Графиката на функцията е вдлъбната.
При 
, следователно, когато 
Графиката на функцията е изпъкнала. 
При преминаване през точките , , сменя знака. Когато , функцията не е дефинирана, следователно графиката на функцията има една инфлексна точка.
Нека изградим графика на функцията. 
Изучаването на функция се извършва по ясна схема и изисква от студента да има солидни познания по основни математически понятия като област на дефиниция и стойности, непрекъснатост на функцията, асимптота, точки на екстремум, паритет, периодичност и др. . Ученикът трябва да може свободно да диференцира функции и да решава уравнения, които понякога могат да бъдат много сложни.
Тоест тази задача тества значителен слой знания, всяка празнина в която ще се превърне в пречка за получаване на правилното решение. Особено често възникват трудности при конструирането на графики на функции. Тази грешка веднага се забелязва от учителя и може значително да повреди оценката ви, дори ако всичко останало е направено правилно. Тук можете да намерите онлайн проблеми с изследване на функцията: учебни примери, изтегляне на решения, поръчване на задачи.
Разгледайте функция и начертайте графика: примери и решения онлайн
Подготвили сме за вас много готови функционални изследвания, както платени в книгата с решения, така и безплатни в раздела Примери за функционални изследвания. На базата на тези решени задачи ще можете да се запознаете подробно с методиката за изпълнение на подобни задачи и да извършите своето изследване по аналогия.
Предлагаме готови примери за цялостно изследване и начертаване на функции от най-често срещаните видове: полиноми, дробно-рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични функции. Всяка решена задача е придружена от готова графика с подчертани ключови точки, асимптоти, максимуми и минимуми, като решението се извършва чрез алгоритъм за изследване на функцията.
Във всеки случай решените примери ще ви бъдат от голяма полза, тъй като обхващат най-популярните видове функции. Предлагаме ви стотици вече решени задачи, но, както знаете, в света има безкраен брой математически функции, а учителите са страхотни експерти в измислянето на все по-сложни задачи за бедни ученици. Така че, скъпи ученици, квалифицираната помощ няма да ви навреди.
Решаване на проблеми с изследване на персонализирани функции
В този случай нашите партньори ще ви предложат друга услуга - пълнофункционално проучване онлайнда поръчам. Задачата ще бъде изпълнена за вас при спазване на всички изисквания за алгоритъм за решаване на подобни задачи, което много ще зарадва вашия учител.
Ние ще направим цялостно проучване на функцията вместо вас: ще намерим областта на дефиницията и областта на стойностите, ще проверим за непрекъснатост и прекъсване, ще установим паритет, ще проверим вашата функция за периодичност и ще намерим точките на пресичане с координатните оси . И, разбира се, допълнително използвайки диференциално смятане: ще намерим асимптоти, ще изчислим екстремуми, инфлексни точки и ще изградим самата графика.
Изграждането на графика на функция с помощта на особени точки включва изследване на самата функция: определяне на диапазона от допустими стойности на аргумента, определяне на диапазона на вариация на функцията, определяне дали функцията е четна или нечетна, определяне на точки на прекъсване на функцията, намиране на интервали с постоянен знак на функцията, намиране на асимптоти на графиката на функцията. Използвайки първата производна, можете да определите интервалите на нарастване (намаляване) на функцията и наличието на точки на екстремум. Използвайки втората производна, можете да определите интервалите на изпъкналост (вдлъбнатост) на графиката на функцията, както и точките на инфлексия. В същото време вярваме, че ако в даден момент xoдопирателна към графиката на функцията над кривата, тогава графиката на функцията в тази точка има изпъкналост; ако допирателната е под кривата, тогава графиката на функцията в тази точка има вдлъбнатина.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Функционално изследване.
а) Диапазон на допустимите стойности на аргумента: (-∞,+∞).
б) Област на промяна на функцията: (-∞, +∞).
в) Функцията е нечетна, т.к y(-x) = -y(x),тези. графиката на функцията е симетрична спрямо началото.
г) Функцията е непрекъсната, няма точки на прекъсване, следователно няма вертикални асимптоти.
д) Намиране на уравнението на наклонена асимптота y(x) = k∙x + b, Където
k = /хИ b = 
В този пример параметрите на асимптотата са съответно равни:
k = , защото най-високата степен на числителя и знаменателя са еднакви, равни на три, а отношението на коефициентите при тези най-високи степени е равно на едно. Когато x→ + ∞ третата забележителна граница беше използвана за изчисляване на границата.
b = = = 0, когато се изчислява границата при x→ + ∞ използва третата забележителна граница. И така, графиката на тази функция има наклонена асимптота y=x.
2.
y´= /(x²+3)² -производната се изчислява с помощта на формулата за частно диференциране.
а) Определете нулите на производната и точката на прекъсване, като приравните числителя и знаменателя на производната съответно на нула: y´=0,Ако х=0.Първата производна няма точки на прекъсване.
б) Определяме интервалите на постоянен знак на производната, т.е. интервали на монотонност на функцията: при -∞
3. Изучаване на функция с помощта на 2-ра производна.
Използвайки формулата за диференциране на коефициенти и извършване на алгебрични трансформации, получаваме: y´´ = /(x²+3)³
а) Определете нулите на 2-ра производна и интервали с постоянен знак: y´´ = 0,Ако х=0И x= + 3 . Втората производна няма точки на прекъсване.
б) Да определим интервалите на постоянство на 2-ра производна, т.е. интервали на изпъкналост или вдлъбнатост на графиката на функция. При -∞
Пример: Разгледайте функция и я начертайте на графика y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Функционално изследване.
а) Диапазон от допустими стойности: (-∞,0)U(0,+∞).
б) Област на промяна на функцията: (-∞,+∞).
г) Тази функция има точка на прекъсване от 2-ри род при х=0.
д) Намиране на асимптоти. защото функцията има точка на прекъсване от 2-ри род при х=0, тогава следователно функцията има вертикална асимптота х=0.Тази функция няма наклонени или хоризонтални асимптоти.
2.Изучаване на функция с помощта на 1-ва производна.
Нека трансформираме функцията, като изпълним всички алгебрични операции. В резултат на това формата на функцията ще бъде значително опростена: y(x)=x²-x-1+(1/x).Много е лесно да вземем производната от сумата на членовете и получаваме: y´ = 2x – 1 – (1/x²).
а) Определете нулите и точките на прекъсване на 1-вата производна. Привеждаме изразите за 1-ва производна към общ знаменател и, приравнявайки числителя и след това знаменателя към нула, получаваме: y´=0при x=1, y´ -не съществува кога х=0.
б) Да определим интервалите на монотонност на функцията, т.е. интервали с постоянен знак на производната. При -∞<х<0
И 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Използвайки 2-ра производна, ние определяме интервалите на изпъкналост или вдлъбнатост на графиката на функцията, както и инфлексните точки, ако има такива. Нека представим израза за втората производна към общия знаменател и след това, приравнявайки числителя и знаменателя към нула на свой ред, получаваме: y´´=0при x=-1, y´´-не съществува кога х=0.
При -∞
ориз. 4 фиг. 5
Пример: Разгледайте функция и я начертайте на графика y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Функционално изследване.
а) Диапазон от допустими стойности на аргумент: логаритмичната функция съществува само за аргументи, строго по-големи от нула, следователно, x²+4x+5>0 –това условие е изпълнено за всички стойности на аргумента, т.е. О.Д.З. – (-∞, +∞).
б) Област на промяна на функцията: (0, +∞). Нека трансформираме израза под знака логаритъм и приравняваме функцията на нула: ln((x+2)²+1) =0.Тези. функцията отива на нула, когато х=-2.Графиката на функцията ще бъде симетрична по отношение на правата линия х=-2.
в) Функцията е непрекъсната и няма точки на прекъсване.
г) Графиката на функцията няма асимптоти.
2.Изучаване на функция с помощта на 1-ва производна.
Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, получаваме: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
а) Нека определим нулите и точките на прекъсване на производната: y´=0,при х=-2.Първата производна няма точки на прекъсване.
б) Определяме интервалите на монотонност на функцията, т.е. интервали с постоянен знак на първата производна: при -∞<х<-2
производна y´<0,
следователно функцията намалява; когато -2
3.Изследване на функцията по отношение на 2-ра производна.
Нека представим първата производна в следната форма: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
а) Нека определим интервалите на постоянен знак на втората производна. Тъй като знаменателят на втората производна винаги е неотрицателен, знакът на втората производна се определя само от числителя. y´´=0при х=-3И х=-1.
При -∞
Пример: Разгледайте функция и изчертайте графика y(x) = x²/(x+2)²
1.Функционално изследване.
а) Диапазон на допустимите стойности на аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).
б) Област на промяна на функция².
а) Нека определим нулите и интервалите на постоянния знак на втората производна. защото Тъй като знаменателят на дробта винаги е положителен, знакът на втората производна се определя изцяло от числителя. При -∞
