У цій статті ми дуже докладно розберемо визначення числового кола, дізнаємося про її головну властивість і розставимо числа 1,2,3 і т.д. Про те, як відзначати інші числа на колі (наприклад, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π)( 6)\)) розуміється на .
Числовим колом називають коло одиничного радіусу, точки якого відповідають , Розставленим за такими правилами:
1) Початок відліку знаходиться у крайній правій точці кола;
2) Проти годинникової стрілки – позитивний напрямок; за годинниковою – негативне;
3) Якщо в позитивному напрямку відкласти на колі відстань (t), то ми потрапимо в точку зі значенням (t);
4) Якщо у негативному напрямку відкласти на колі відстань \(t\), то ми потрапимо в точку зі значенням \(-t\).
Чому коло називається числовим?
Тому що на ній позначаються числа. У цьому колі схожа на числову вісь – на колі, як і на осі, для кожного числа є певна точка.
Навіщо знати, що таке числове коло?
За допомогою числового кола визначають значення синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Тому для знання тригонометрії та здачі ЄДІ на 60+ балів, обов'язково потрібно розуміти, що таке числове коло і як на ньому розставити крапки.
Що у визначенні означають слова "... одиничного радіусу ..."?
Це означає, що радіус цього кола дорівнює \(1\). І якщо ми побудуємо таку коло з центром на початку координат, то вона перетинатиметься з осями в точках \(1\) і \(-1\).
Її не обов'язково малювати маленькою, можна змінити «розмір» поділів по осях, тоді картинка буде більшою (див. нижче).
Чому радіус саме одиниця? Так зручніше, адже в цьому випадку при обчисленні довжини кола за допомогою формули (l = 2πR) ми отримаємо:
Довжина числового кола дорівнює \(2π\) або приблизно \(6,28\).
А що означає «…точки якої відповідають дійсним числам»?
Як говорили вище, на числовому колі для будь-якого дійсного числа обов'язково знайдеться його «місце» - точка, яка відповідає цій кількості.
Навіщо визначати на числовому колі початок відліку та напрямки?
Головна мета числового кола - кожному числу однозначно визначити свою точку. Але як можна визначити, де поставити крапку, якщо невідомо звідки рахувати і куди рухатися?
Тут важливо не плутати початок відліку на координатному прямому та на числовому колі – це дві різні системи відліку! А також не плутайте \(1\) на осі \(x\) і \(0\) на колі - це точки на різних об'єктах.
Які точки відповідають числам (1), (2) і т.д?
Пам'ятаєте, ми прийняли, що у числовому колі радіус дорівнює (1)? Це і буде нашим одиничним відрізком (за аналогією з числовою віссю), який ми відкладатимемо на колі.
Щоб відзначити на числовому колі точку відповідну числу 1, потрібно від 0 пройти відстань, що дорівнює радіусу в позитивному напрямку.
Щоб відзначити на колі точку відповідну числу \(2\), потрібно пройти відстань, що дорівнює двом радіусам від початку відліку, щоб \(3\) – відстань, що дорівнює трьом радіусам і т.д.
При погляді на цю картинку у вас можуть виникнути 2 питання:
1. Що буде, коли коло «закінчиться» (тобто ми зробимо повний оборот)?
Відповідь: ходімо на друге коло! А коли й другий закінчиться, підемо на третій і таке інше. Тому на коло можна завдати нескінченну кількість чисел.
2. Де будуть від'ємні числа?
Відповідь: там же! Їх можна також розставити, відраховуючи від нуля потрібну кількість радіусів, але тепер у негативному напрямку.
На жаль, позначати на числовому колі цілі труднощі. Це з тим, що довжина числової кола дорівнюватиме цілому числу: \(2π\). І на найзручніших місцях (у точках перетину з осями) теж будуть не цілі числа, а частки
Відеоуроки належать до найефективніших засобів навчання, особливо таких шкільних дисциплін, як математика. Тому автор цього матеріалу зібрав у єдине ціле лише корисну, важливу та грамотну інформацію.
Цей урок розрахований на 11:52 хвилин. Майже стільки часу потрібно вчителю під час уроку пояснення нового матеріалу з цієї теме. Хоча головною перевагою відеоуроку буде той факт, що учні уважно слухатимуть те, про що говорить автор, не відволікаючись на сторонні теми та розмови. Адже якщо учні слухатимуть не уважно, то прогавлять важливий момент уроку. А якщо матеріал пояснюватиме вчитель сам, то його учні зможуть легко відволікти від головного своїми розмовами на абстрактні теми. І, звичайно, стає зрозуміло, який спосіб буде раціональнішим.
Початок уроку автор присвячує повторення тих функцій, із якими учні знайомилися раніше у курсі алгебри. І першими пропонується почати вивчати – тригонометричні функції. Щоб їх розглядати та вивчати потрібна нова математична модель. І цією моделлю стає числове коло, яке, якраз, і заявлене в темі уроку. Для цього вводиться поняття одиничного кола, задається його визначення. Далі на малюнку автор показує всі компоненти такого кола, і що стане у нагоді учням для подальшого навчання. Дугами позначаються чверті.
Потім автор пропонує розглянути числове коло. Тут же він робить зауваження, що зручніше використовувати одиничне коло. На цьому колі показано, як виходить точка M, якщо t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Далі автор нагадує тим, хто навчається, як знаходиться довжина кола. А потім він виводить довжину одиничного кола. Ці теоретичні дані пропонується застосувати практично. Для цього розглядається приклад, де потрібно знайти на колі точку, що відповідає певним значенням чисел. Рішення прикладу супроводжується ілюстрацією як малюнка, і навіть необхідними математичними записами.
Згідно з умовою другого прикладу, необхідно знайти точки на числовому колі. Тут також все рішення супроводжується коментарями, ілюстраціями та математичним записом. Це сприяє розвитку та вдосконаленню математичної грамотності учнів. Аналогічно збудовано і третій приклад.
Далі автор зазначає ті числа на колі, які зустрічаються найчастіше. Тут же він пропонує зробити два макети числового кола. Коли обидва макети готові, розглядається наступний, четвертий приклад, де потрібно знайти точку на числовому колі, що відповідає числу 1. Після цього прикладу формулюється твердження, згідно з яким можна знайти точку M, що відповідає числу t.
Далі вводиться зауваження, згідно з яким учні дізнаються, що числу «пі» відповідають усі числа, які потрапляють у цю точку при проході нею все коло. Цю інформацію підкріплює п'ятий приклад. Його рішення містить логічно правильні міркування та малюнки, що ілюструють ситуацію.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
ЧИСЛОВА ОКРУЖНІСТЬ
Раніше вивчали функції, задані аналітичними висловлюваннями. І ці функції називали алгебраїчними. Але в шкільному курсі математики вивчаються функції та інших класів, які не алгебраїчні. Розпочнемо вивчення тригонометричних функцій.
Для того, щоб ввести тригонометричні функції, нам знадобиться нова математична модель - числове коло. Розглянемо одиничне коло. Коло, радіус якого дорівнює масштабному відрізку, без зазначення конкретних одиниць виміру, називатимемо одиничним. Радіус такого кола вважати рівним 1.
Будемо користуватися одиничним колом, у якому проведено горизонтальний і вертикальний діаметри СА і DВ(це а і де бе).(дивися рисунок1).
Дугу АВ називатимемо першою чвертю, дугу ВС - другою чвертю, дугу СD - третьою чвертю, а дугу DA - четвертою чвертю.
Розглянемо числове коло. Взагалі, будь-яке коло можна розглядати як числове, але зручніше для цієї мети користуватися одиничним колом.
ВИЗНАЧЕННЯ Дано одиничне коло, у ньому відзначено початкова точка А - правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у відповідність кожному дійсному числу t (те) точку кола за наступним правилом:
1) Якщо t>0(те більше за нуль), то, рухаючись з точки А в напрямку проти годинникової стрілки (позитивний напрямок обходу кола), опишемо по колу шлях АМ (а ем) довжини t. Точка М і буде точкою М(t) (ем від те).
2) Якщо t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Числа t = 0 поставимо у відповідність точку А.
Одиничне коло з встановленим відповідністю (між дійсними числами і точками кола) називатимемо числовим колом.
Відомо, що довжина кола L (ель) обчислюється за формулою L =2πR (ель дорівнює два піер), де π≈3,14 , R - радіус кола. Для одиничного кола R=1см, означає L =2π≈6,28 см (ель дорівнює два пі приблизно 6,28).
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1.Знайти на числовому колі точку, яка відповідає заданому числу: ,.(пі на два, пі, три пі на два, два пі, одинадцять пі на два, сім пі, мінус п'ять пі на два)
Рішення. Перші шість чисел позитивні, тому для відшукання відповідних їм точок кола потрібно пройти колом шлях заданої довжини, рухаючись з точки А в позитивному напрямку. Довжина кожної чверті одиничного кола дорівнює. Значить, АВ =, тобто числу відповідає точка (дивися рис. 1). АС = , тобто числу відповідає точка С. АD = , тобто числу відповідає точка D. А числу відповідає знову точка А, тому що пройшовши по колу шлях завдовжки ми потрапили в початкову точку А.
Розглянемо, де буде точка така Так як ми вже знаємо, що довжина кола, то приведемо до вигляду (чотири пі плюс три пі на два). Тобто, рухаючись із точки А в позитивному напрямку, потрібно описати двічі ціле коло (шлях довжиною 4π) і додатково шлях довжиною, який закінчиться у точці D.
Що таке? Це 3∙2π + π (три помножені на два пі плюс пі). Значить, рухаючись з точки А в позитивному напрямку, потрібно описати три рази ціле коло та додатково шлях довжиною π, який закінчиться у точці С.
Щоб знайти на числовому колі точку, яка відповідає негативному числу, потрібно з точки А пройти по колу в негативному напрямку (за годинниковою стрілкою) шлях завдовжки, а це відповідає 2π + . Цей шлях завершиться у точці D.
ПРИКЛАД 2. Знайти на числовому колі точки (пі на шість, пі на чотири, пі на три).
Рішення. Розділивши дугу АВ навпіл, ми отримаємо точку Е, що відповідає. А розділивши дугу АВ на три рівні частини точками F та О, отримаємо, що точка F відповідає, а точка T відповідає
(Диви рис 2).
ПРИКЛАД 3. Знайти на числовому колі точки (мінус тринадцять пі на чотири, дев'ятнадцять пі на шість).
Рішення. Відклавши дугу АЕ (а ем) довжиною (пі на чотири) від точки А тринадцять разів у негативному напрямку, отримаємо точку Н (аш) – середину дуги НД.
Відклавши дугу АF довжиною (пі на шість) від точки А дев'ятнадцять разів у позитивному напрямку, потрапимо до точки N (ен), яка належить третій чверті (дузі СD) і СN дорівнює третій частині дуги СD (се де).
(Дивись рис прикладу 2).
Найчастіше доводиться шукати на числовому колі точки, які відповідають числам (пі на шість, пі на чотири, пі на три, пі на два), а також ті, які кратні їм, тобто (сім на шість, п'ять пі на чотири, чотири пі на три, одинадцять пі на два). Тому для того, щоб швидко орієнтуватися доцільно зробити два макети числового кола.
На першому макеті кожна з чвертей числового кола буде розділена на дві рівні частини і біля кожної з отриманих точок запишемо їх «імена»:
На другому макеті кожна з чвертей розділена на три рівні частини і біля кожної з отриманих дванадцяти крапок те ж запишемо їх «імена»:
Якщо рухатися за годинниковою стрілкою, то отримаємо для точок, що є на кресленнях, ті ж «імена», тільки зі значенням мінус. Для першого макету:
Аналогічно, якщо рухатися по другому макету за годинниковою стрілкою точки О.
ПРИКЛАД 4. Знайти на числовому колі точки, що відповідають числам 1 (один).
Рішення. Знаючи, що ? . Значить,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Справедливе таке твердження: якщо точка М числового кола відповідають числу t, то вона відповідає і будь-якому числу виду t + 2πk(те плюс два піки), де ка - будь-яке ціле число і kϵ Z(належить сет).
Використовуючи це твердження, можна дійти невтішного висновку, що точці відповідають всі точки виду t =+ 2πk (те рівно пи на три плюс два пи ка), де kϵZ (ка належить сет), а точці (п'ять пі на чотири) - точки виду t = + 2πk (те дорівнює п'ять пі на чотири плюс два піку), де kϵZ (ка належить сет) і так далі.
ПРИКЛАД 5.Знайти на числовому колі точку: а) ; б).
Рішення. а) Маємо: = = (6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π. пі на три плюс три помножене на два пі).
Це означає, що числу відповідає на числовому колі та сама точка, що й числу (це друга чверть) (дивися другий макет на рис 4).
б) Маємо: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4). мінус чотири). Тобто числу відповідає на числовому колі та ж точка, що і числу
На цьому уроці ми згадаємо визначення числової прямої і дамо нове визначення числового кола. Також докладно розглянемо важливу властивість числового кола та важливі точки на кола. Дамо визначення прямої та зворотної задачі для числового кола і розв'яжемо кілька прикладів подібних завдань.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Числове коло
Для будь-якої функції незалежний аргумент відкладається або на числовий прямий, або на колі. Охарактеризуємо і числову пряму, і числове коло.
Пряма стає числовою (координатною) прямою, якщо зазначено початок координат, вибрано напрям та масштаб (рис. 1).
Числова пряма встановлює взаємно-однозначну відповідність між усіма точками прямої та всіма дійсними числами.
Наприклад, беремо число відкладаємо на координатній осі, отримуємо точку Візьмемо число відкладаємо на осі, отримуємо точку (рис. 2).
І навпаки, якщо ми взяли будь-яку точку на координатній прямій, знайдеться єдине відповідне їй дійсне число (рис. 2).
До такої відповідності люди дійшли не одразу. Щоб зрозуміти це, згадаємо основні числові множини.
Спочатку ввели безліч натуральних чисел
Потім безліч цілих чисел 
Безліч раціональних чисел
Передбачалося, що цих множин буде достатньо, і існує взаємно-однозначна відповідність між усіма раціональними числами та точками прямої. Але виявилося, що на числовій прямій є безліч точок, які не можна описати числами виду
Приклад - гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 1 та 1. Вона дорівнює (рис. 3).
Чи знайдеться серед безлічі раціональних чисел число, що дорівнює Ні, не знайдеться. Доведемо цей факт.
Доведемо методом протилежного. Припустимо, що є дріб, рівна тобто.
Тоді Зведемо обидві частини квадрат, Очевидно, що права частина рівності ділиться на 2, . Значить і Тоді Але тоді і А значить, Тоді виходить, що дріб скоротний. Це суперечить умові, отже
Число ірраціональне. Безліч раціональних та ірраціональних чисел утворюють безліч дійсних чисел 
Якщо ми візьмемо будь-яку точку на прямій, їй буде відповідати якесь дійсне число. І якщо ми візьмемо будь-яке дійсне число, йому відповідатиме єдина точка на координатній прямій.
Уточнимо, що таке числове коло і які взаємини між безліччю точок кола та безліччю дійсних чисел.
Початок відліку - точка A. Напрямок відліку – проти годинникової стрілки – позитивний, за годинниковою стрілкою – негативний. Масштаб – довжина кола (рис. 4).
Вводячи ці три положення, ми маємо числове коло. Вкажемо, яким чином кожному числу поставити у відповідність точку на колі і навпаки.
Задавши число отримуємо крапку на колі
Кожному дійсному числу відповідає точка на колі.А навпаки?
Крапка відповідає числу. А якщо взяти числа Усі ці числа своїм чином на колі мають лише одну точку
Наприклад, відповідає точці B(Рис. 4).
Візьмемо всі числа Усі вони відповідають точці B.Немає взаємно-однозначної відповідності між усіма дійсними числами та точками кола.
Якщо є фіксоване число, то йому відповідає лише одна точка кола
Якщо є точка кола, їй відповідає безліч чисел
На відміну від прямої, координатне коло не має взаємно-однозначної відповідності між точками та числами. Кожному числу відповідає лише одна точка, але кожній точці відповідає безліч чисел, і ми можемо їх записати.
Розглянемо основні точки на колі.
Вказано число Знайти, якій точці на коло воно відповідає.
Розділивши дугу навпіл, отримуємо крапку (рис. 5).
Зворотне завдання - дана точка середина дуги Знайти усі дійсні числа, які їй відповідають.
Зазначимо на числовому колі всі дуги, кратні (рис. 6).
Важливі також дуги, кратні
Дане число Потрібно знайти відповідну точку.
Зворотне завдання - дана точка, потрібно знайти яким числам вона відповідає.
Ми розглянули два стандартні завдання на двох найважливіших точках.
a) Знайти на числовому колі точку з координатою
Відкладаємо від крапки Aце два цілих обороти і ще половина, і Отримуємо точку M- Це середина третьої чверті (рис. 8).
Відповідь. Крапка M- середина третьої чверті.
b) Знайти на числовому колі точку з координатою
Відкладаємо від крапки Aповний оборот і ще отримуємо крапку N(Рис. 9).
Відповідь: Крапка Nзнаходиться у першій чверті.
Ми розглянули числове пряме і числове коло, згадали їх особливості. Особливістю числової прямої є взаємно-однозначна відповідність між точками цієї прямої та безліччю дійсних чисел. Такої взаємно-однозначної відповідності немає на колі. Кожному дійсному числу на колі відповідає єдина точка, але кожній точці числового кола відповідає безліч дійсних чисел.
На наступному уроці ми розглянемо числове коло координатної площині.
Список літератури на тему "Числове коло", "Точка на колі"
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного анализа.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().
Назва предмету Алгебра та початку математичного аналізу
Клас 10
УМК Алгебра та початку математичного аналізу, 10-11 класи. В 2 . Ч.1. Підручник для загальноосвітніх установ (базовий рівень)/А.Г. Мордкович. - 10-еїзд., стер. - М.: Мнемозіна,2012. Ч.2. Задачник для загальноосвітніх установ (базовий рівень) /[ А.Г. Мордкович та ін.]; за ред. А.Г. Мордковіча. - 10-еїзд., стер. - М.: Мнемозіна,2012.
Рівень навчання. Базовий
Тема урока Числове коло (2 години)
Урок №1
Ціль: запровадити поняття числового кола як моделі криволінійної системи координат.
Завдання : формувати вміння використовувати числове коло під час вирішення завдань.
Заплановані результати:
Хід уроку
Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання які викликали труднощі в учнів
ІІ. Усна робота.
1. Поставте кожному проміжку на числовій прямій у відповідність нерівність та аналітичний запис інтервалу. Дані занесіть у табличку.
А (– ; –5] Д (–5; 5)
Б [–5; 5] Е (– ; –5)
У [–5; + ) Ж [–5; 5)
Г (–5; 5] З (–5; + )
1 –5 < х < 5 5 –5 х 5
2 х –5 6 х –5
3 –5 < х 5 7 5 х < 5
4 х < –5 8 х > –5
а1. На відміну від вивченого числового прямого числове коло є більш складною моделлю. Поняття дуги, що лежить у її основі, не є надійно відпрацьованим у геометрії.
2 . Робота з підручником . Розглядаємо практичний приклад із с. 23–24 підручники (бігова доріжка стадіону). Можна попросити учнів навести схожі приклади (рух супутника по орбіті, обертання шестірні тощо).
3. Обґрунтовуємо зручність використання як числове саме одиничне коло.
4. Робота із підручником. Розглядаємо приклади із с. 25–31 підручник. Автори підкреслюють, що для успішного оволодіння моделлю числового кола і в підручнику, і в задачнику передбачено систему спеціальних «дидактичних ігор». Їх шість, на цьому уроці використовуємо перші чотири.
(Мордкович А. Г.) М79 Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи (базовий рівень): методичний посібник для вчителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозі-на, 2010. - 202 с. : іл.)
1-а «гра» - Обчислення довжини дуги одиничного кола. Учні повинні звикнути до того, що довжина всього кола дорівнює 2 , половини кола – , чверті кола –і т.д.
2-а «гра» - Відшукання на числовому колі точок, відповідних заданим числам, вираженим у частках числа
наприклад, точок 
і т. д. («хороші» числа та точки).
3-тя «гра» – відшукання на числовому колі точок, відповідних заданим числам, вираженим над частках числанаприклад, точок М (1), М (-5) і т. д. («погані» числа та точки).
4-та «гра» – запис чисел, що відповідають даній «хорошій» точці числового кола, наприклад, «хорошою» є середина першої чверті, відповідні їй числа мають вигляд 
Динамічна пауза
Вправи, що вирішуються на цьому занятті, відповідають чотирьом позначеним дидактичним іграм. Учні використовують макет числового кола з діаметрамиАС (горизонтальним) таBD(Вертикальним).
1. № 4.1, № 4.3.
Рішення:
№ 4.3.
2. № 4.5 (а; б) - 4.11 (А; б).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (а; б), № 4.14.
Рішення:
№ 4.13.
V. Перевірна робота.
Варіант 1
Варіант 2
1. Позначте на числовому колі точку, що відповідає даному числу:
2. Знайдіть усі числа, яким відповідають зазначені на числовому колі точки.
VI. Підсумки уроку.
Запитання учням:
– Дайте визначення числового кола.
– Чому дорівнює довжина одиничного кола? Довжини половини одиничного кола? Її чверті?
– Яким чином можна знайти на числовому колі точку, що відповідає числуЧисло 5?
Домашнє завдання:, стор 23. № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г), № 4.15.
Урок №2
Цілі : закріпити поняття числового кола як моделі криволінійної системи координат
Завдання : продовжити формування вміння знаходити на числовому колі точки, що відповідають заданим «хорошим» та «поганим» числам; записувати число, що відповідає точці на числовому колі; формувати вміння складати аналітичний запис дуги числового кола як подвійного нерівності.
Розвивати обчислювальні навички, правильне математичне мовлення, логічне мислення учнів.
Щеплювати самостійність, увагу та акуратність. Виховувати відповідальне ставлення до навчання.
Заплановані результати:
Знати, розуміти: - Чисельне коло.
Вміти: - знаходити на колі точки за заданими координатами; - Знаходити координати точки, розташованої на числовому колі.
Вміти застосовувати вивчений теоретичний матеріал у виконанні письмової роботи.
Технічне забезпечення уроку Комп'ютер екран, проектор, підручник, задачник.
Додаткове методичне та дидактичне забезпечення уроку: Мордкович А. Г. М79 Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи (базовий рівень): методичний посібник для вчителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозі-на, 2010. - 202 с. : мул
Хід уроку
Організаційний момент.
Психологічний настрій учнів.
Перевірка домашнього завдання№ 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г),
№ 4.15. Розібрати вирішення завдань, які викликали скруту.
Усна робота.
(На слайді)
1. Зіставте точки на числовому колі та задані числа:
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
2. Знайдіть на числовому колі точки.
–2; 4; –8;
13 .
ІІІ. Пояснення нового матеріалу.
Як зазначали, учні освоюють систему шести дидактичних «ігор», що забезпечують вміння вирішувати завдання чотирьох основних типів, пов'язаних з числовою колом (від числа до точки; від точки до числа; від дуги до подвійної нерівності; від подвійної нерівності до дуги).
(Мордкович А. Г.) М79 Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи (базовий рівень): методичний посібник для вчителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозіна, 2010. - 202 с. : іл.)
На цьому занятті використовуємо останні дві гри:
5-та «гра» - Складання аналітичних записів (подвійних нерівностей) для дуг числового кола. Наприклад, якщо дана дуга, що з'єднує середину першої чверті (початок дуги) і нижню точку з тих двох, що ділять другу чверть на три рівні частини (кінець дуги), то відповідний аналітичний запис має вигляд:
Якщо в тієї ж дуги поміняти місцями початок і кінець, то відповідний аналітичний запис дуги матиме вигляд:
Автори підручника зазначають, що терміни "ядро аналітичного запису дуги", "аналітичний запис дуги" не є загальновизнаними, вони введені з суто методичних міркувань, і використовувати їх чи ні - справа вчителя.
6-а «гра» – від цього аналітичного запису дуги (подвійного нерівності) перейти до її геометричному зображенню.
Пояснення слід проводити за допомогою прийому аналогії. Можна використовувати рухливу модель числової прямої, яку можна «згорнути» в числове коло.
Робота з підручником .
Розглядаємо приклад 8 із с. 33 підручники.
Динамічна пауза
IV. Формування умінь та навичок.
При виконанні завдань учні повинні стежити, щоб при аналітичному записі дуги ліва частина подвійної нерівності була меншою за праву частину. Для цього необхідно при записі рухатися у позитивному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.
1-я група . Вправи знайти на числової окружності «поганих» точок.
№ 4.16 № 4.17 (а; б).
2-я група . Вправи на аналітичний запис дуги та побудова дуги за її аналітичним записом.
№ 4.18 (а; б), № 4.19 (а; б), № 4.20 (а; б).
V. Самостійна робота.
варіант 1
3. За аналітичною моделлю 
запишіть позначення числової дуги та побудуйте її геометричну модель.
варіант 2
1. За геометричною моделлю дуги числового кола запишіть аналітичну модель у вигляді подвійної нерівності.
2. За заданим позначенням дуги числового кола 
вкажіть її геометричну та аналітичну моделі.
3. За аналітичною моделлю 
запишіть позначення дуги числового кола та побудуйте її геометричну модель.
VI. Підсумки уроку.
Запитання учням:
– Якими способами можна записати аналітично дугу числового кола?
– Що називається ядром аналітичного запису дуги?
– Яким умовам повинні відповідати числа, що стоять ліворуч та праворуч у записі подвійної нерівності?
Домашнє завдання:
1. , стор 23. № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).
2. За геометричною моделлю дуги числового кола запишіть її аналітичну модель у вигляді подвійної нерівності.
3. За заданим позначенням дуги числового кола 
вкажіть її геометричну та аналітичну моделі.
