За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»
При вирішенні механічних завдань неоціненну допомогу може використовувати поняття центру мас системи матеріальних точок. Одні завдання просто неможливо вирішити, не вдаючись до цього поняття, рішення інших за його допомогою може стати набагато простішим і наочнішим.
Перед тим як обговорювати конкретні завдання, нагадаємо основні властивості центру мас та проілюструємо їх прикладами.
Центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок назвемо точку, що характеризує розподіл мас у системі, координати якої визначаються формулами
Тут m i- маси матеріальних точок, що утворюють систему, x i, y i, z i- Координати цих точок. Читачі, знайомі з поняттям радіуса-вектора, віддадуть перевагу векторному запису:
(1)
Приклад 1. Знайдемо положення центру мас, найпростішої системи, що складається з двох точок, маси яких m 1 і m 2 та відстань між ними l(Рис. 1).
Направивши вісь Xвід першої точки до другої, отримаємо, що відстань від першої точки до центру мас (тобто координата центру мас) дорівнює а відстань від центру мас до другої точки дорівнює тобто. відношення відстаней назад до відношення мас. Отже, у разі положення центру мас збігається з центром тяжкості.
Обговоримо деякі властивості центру мас, що, як здається, наповнить фізичним змістом наведене вище дещо формальне визначення цього поняття.
1) Положення центру мас не зміниться, якщо якусь частину системи замінити однією точкою з масою, що дорівнює масі цієї підсистеми, і що знаходиться в її центрі мас.
Приклад 2. Розглянемо однорідний плоский трикутник і знайдемо положення його центру мас. Розділимо трикутник на тонкі смужки, паралельні до однієї зі сторін, і замінимо кожну смужку крапкою, розташованою в її середині. Так як усі такі точки лежать на медіані трикутника, центр ваги теж повинен лежати на медіані. Повторюючи міркування кожної зі сторін, отримуємо, що центр мас перебуває на перетині медіан.
2) Швидкість центру мас можна знайти, взявши похідну часу від обох частин рівності (1):
(2)
де - імпульс системи, m- Повна маса системи. Видно, що швидкість центру мас замкнутої системи стала. Значить, якщо пов'язати з центром мас систему відліку, що поступально рухається, то вона буде інерційною.
Приклад 3. Поставимо однорідний стрижень завдовжки lвертикально на гладку площину (рис. 2) та відпустимо. У процесі падіння як горизонтальна складова імпульсу, так і горизонтальна складова швидкості центру мас залишатимуться рівними нулю. Тому в момент падіння центр стрижня опиниться в тому місці, де спочатку стояв стрижень, а кінці стрижня змістяться по горизонталі. .
3) Прискорення центру мас дорівнює похідної від його швидкості за часом:
(3)
де у правій частині рівності стоять лише зовнішні сили, оскільки всі внутрішні сили скорочуються за третім законом Ньютона. Отримуємо, що центр мас рухається так, як рухалася б уявна точка з масою, що дорівнює масі системи, під дією результуючої зовнішньої сили. Напевно, це фізична властивість центру мас.
Приклад 4. Якщо кинути палицю, привівши її при цьому в обертання, то центр мас палиці (її середина) рухатиметься з постійним прискоренням з параболі (рис. 3).
4) Нехай система точок перебуває у однорідному полі тяжкості. Тоді сумарний момент сил тяжіння щодо будь-якої осі, що проходить через центр мас, дорівнює нулю. Це означає, що рівнодіюча сил тяжкості проходить через центр мас, тобто. центр мас також є центром тяжкості.
5) Потенційна енергія системи точок у однорідному полі тяжкості обчислюється за формулою
де hц - висота центру мас системи.
Приклад 5. При викопуванні в однорідному фунті ями завглибшки hі розкиданні ґрунту по поверхні його потенційна енергія зростає на , де m- Маса видобутого ґрунту.
6) І ще одна корисна властивість центру мас. Кінетична енергія системи точок може бути представлена у вигляді суми двох доданків: кінетичної енергії загального поступального руху системи, що дорівнює , і кінетичної енергії Eвідн руху щодо системи відліку, пов'язаної з центром мас:
Приклад 6. Кінетична енергія обруча, що котиться без прослизання горизонтальною поверхнею зі швидкістю υ, дорівнює
оскільки відносний рух у цьому випадку є чистим обертанням, для якого лінійна швидкість точок обруча дорівнює υ (повна швидкість нижньої точки повинна дорівнювати нулю).
Тепер приступимо до розбору завдань використання центру мас.
Завдання 1. Однорідний стрижень лежить на гладкій горизонтальній поверхні. До стрижня прикладають дві однакові за величиною, але протилежні за напрямом горизонтальні сили: одна сила прикладена до середини стрижня, інша - до кінця (рис. 4). Щодо якої точки почне повертатися стрижень?
На перший погляд може здатися, що віссю обертання буде точка, що лежить посередині між точками докладання сил. Однак рівняння (3) показує, що оскільки сума зовнішніх сил дорівнює нулю, то нулю і прискорення центру мас. Отже, центр стрижня залишатиметься у спокої, тобто. служити віссю обертання.
Завдання 2. Тонкий однорідний стрижень завдовжки lта масою mпривели в рух уздовж гладкої горизонтальної поверхні так, що він рухається поступально і одночасно обертається з кутовою швидкістю? Знайдіть натяг стрижня в залежності від відстані xдо його центру.
Перейдемо в інерційну систему відліку, пов'язану із центром стрижня. Розглянемо рух шматка стрижня, укладеного між точкою стрижня, що розглядається (розташованою на відстані xвід центру) та його кінцем (рис. 5).
Єдиною зовнішньою силою для цього шматка є сила натягу, що шукається. Fн, маса дорівнює , яке центр мас рухається по колу радіусом 
з прискоренням. Записуючи рівняння руху центру мас виділеного шматка, отримаємо
Завдання 3. Подвійна зірка складається з двох зірок-компонентів масами m 1 і m 2 , відстань між якими не змінюється і залишається рівною L. Знайдіть період обертання подвійної зірки.
Розглянемо рух зірок-компонентів в інерційній системі відліку, пов'язаної із центром мас подвійної зірки. У цій системі відліку зірки рухаються з однією і тією ж кутовою швидкістю по кількох різних радіусів (рис. 6).
Радіус обертання зірки масою m 1 дорівнює (див. Приклад 1), а її доцентрове прискорення створюється силою тяжіння до іншої зірки:
Бачимо, що період обертання подвійної зірки дорівнює
та визначається повною масою подвійної зірки, незалежно від того, як вона розподілена між зірками-компонентами.
Завдання 4. Дві точкові маси mі 2 mпов'язані невагомою ниткою завдовжки lі рухаються гладкою горизонтальною площиною. У деякий момент часу швидкість маси 2 mдорівнює нулю, а швидкість маси mдорівнює υ і спрямована перпендикулярно до нитки (рис. 7). Знайдіть натяг нитки та період обертання системи.
Мал. 7
Центр мас системи знаходиться на відстані від маси 2 mі рухається зі швидкістю. У системі відліку, пов'язаної з центром мас, точка масою 2 mрухається по колу радіусом зі швидкістю. Значить, період обертання дорівнює (перевірте, що така сама відповідь виходить, якщо розглянути точку масою m). Натяг нитки знайдемо з рівняння руху будь-якої з двох точок:
Завдання 5. На гладкій горизонтальній площині лежать два однакові бруски масою mкожен, пов'язаних легкою пружиною жорсткістю k(Рис. 8). Першому бруску повідомляють швидкість 0 в напрямку від другого бруска. Опишіть рух системи. За який час деформація пружини вперше досягне максимального значення?
Центр мас системи переміщатиметься з постійною швидкістю. У системі відліку центру мас початкова швидкість кожного бруска дорівнює , а жорсткість половинної пружини, яка з'єднує його з нерухомим центром мас, становить 2 k(Жорсткість пружини обернено пропорційна її довжині). Період таких коливань дорівнює
а амплітуда коливань кожного бруска, яку можна знайти із закону збереження енергії, становить
Вперше деформація стане максимальною через чверть періоду, тобто. через час .
Завдання 6. Куля масою mналітає зі швидкістю υ на кулю, що покоїться масою 2 m. Знайдіть швидкості обох куль після пружного центрального удару.
У системі відліку, пов'язаної з центром мас, повний імпульс двох куль дорівнює нулю як до, так і після coyдарування. Легко здогадатися, яка відповідь для кінцевих швидкостей задовольняє одночасно і цій умові, і закону збереження енергії: швидкості залишаться такими, як до удару, за величиною, але змінять свої напрямки на протилежні. Швидкість центру мас системи дорівнює. У системі центру мас перша куля рухається зі швидкістю, а друга куля рухається назустріч першій зі швидкістю. Після удару кулі розлітатимуться з такими ж швидкостями. Залишилося повернутися до початкової системи відліку. Застосовуючи закон складання швидкостей, знаходимо, що кінцева швидкість кулі масою mдорівнює і спрямована назад, а швидкість кулі, що покоїлася раніше, масою 2 mдорівнює та спрямована вперед.
Зазначимо, що у системі центру мас очевидним є твердження, що з ударі відносна швидкість куль не змінюється за величиною, але змінюється в напрямку. А оскільки різниця швидкостей при переході в іншу інерційну систему відліку не змінюється, можна вважати, що ми вивели це важливе співвідношення для початкової системи відліку:
υ 1 - υ 2 = u 1 – u 2 ,
де буква υ використовується для позначення початкових швидкостей, а u- для кінцевих. Це рівняння можна вирішувати разом із законом збереження імпульсу замість закону збереження енергії (куди швидкості входять у другому ступені).
Завдання 7. Відомо, що при пружному нецентральному ударі двох однакових куль, одна з яких спочивала до удару, кут розльоту дорівнює 90°. Доведіть це твердження.
У системі центру мас нецентральний удар можна описати в такий спосіб. До удару кулі зближуються з однаковими імпульсами, після удару вони розлітаються з тими самими за величиною, але протилежно спрямованими імпульсами, а пряма розльоту повертається деякий кут щодо прямої зближення. Щоб перейти назад до початкової системи відліку, треба кожну кінцеву швидкість скласти (векторно!) зі швидкістю центру мас. У разі однакових куль швидкість центру мас дорівнює , де - швидкість налітає кулі, і в системі відліку центру мас кулі зближуються і розлітаються з однаковими швидкостями . У тому, що після складання кожної кінцевої швидкості зі швидкістю центру мас виходять взаємно перпендикулярні вектори, можна переконатися з малюнка 9. А можна й просто перевірити, що скалярний добуток векторів і перетворюється на нуль через те, що модулі векторів рівні один одному.
Вправи
1. Стрижень масою mта довжиною lшарнірно закріплений за один із кінців. Стрижень відхилили деякий кут від вертикального становища і відпустили. У момент проходження вертикального положення швидкість нижньої точки дорівнює υ. Знайдіть натяг у середній точці стрижня в цей момент часу.
2. Стрижень масою mта довжиною lобертають в горизонтальній площині з кутовою швидкістю навколо одного з його кінців. Знайдіть залежність натягу стрижня від відстані xдо осі обертання, якщо на іншому кінці закріплений маленький грузик масою М.
3. Знайдіть період коливань для системи, описаної в задачі 5 статті, але для брусків різних мас m 1 і m 2 .
4. Виведіть відомі загальні формули для пружного центрального удару двох куль, використовуючи перехід у систему відліку центру мас.
5. Куля масою m 1 налітає на кулю меншої маси, що покоїться. m 2 . Знайдіть максимально можливий кут відхилення кулі, що налітає, при пружному нецентральному ударі.
1. 
2. 
3. 
Центр мас. Рівняння руху центру мас. Сам закон: Тіла діють один на одного з силами, що мають однакову природу, спрямованими вздовж однієї і тієї ж прямої рівними за модулем і протилежними за напрямом: Центр мас це геометрична точка, що характеризує рух тіла або системи частинок як цілого. Визначення Положення центру мас центру інерції в класичній механіці визначається наступним чином: де радіусвектор центру мас радіусвектор i точки системи маса i точки.
7.Третій закон Ньютона. Центр мас. Рівняння руху центру мас.
Третій закон Ньютонастверджує: сила дії дорівнює модулю і протилежна за напрямом силі протидії.
Сам закон:
Тіла діють один на одного з силами, що мають однакову природу, спрямованими вздовж однієї і тієї ж прямої, рівними за модулем і протилежними за напрямом:
Центр мас Це геометрична точка, що характеризуєрух тіла чи системи частинок як цілого.
Визначення
Положення центру мас (центру інерції) у класичній механіці визначається так:
де радіус-вектор центру мас, радіус-вектор i -ї точки системи,
маса i-ї точки.
.
Це рівняння руху центру мас системи матеріальних точок з масою, що дорівнює масі всієї системи, до якої прикладена сума всіх зовнішніх сил (головний вектор зовнішніх сил) або теорема про рух центру мас.
А також інші роботи, які можуть Вас зацікавити |
|||
| 22476. | КЛАСИФІКАЦІЯ СИСТЕМ ПЕРСОНАЛЬНОГО РАДІОВИЗОВУ, ПЕЙДЖЕРИ, РЕПІТЕРИ, ОСНОВНІ ПРОТОКОЛИ ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ. | 1.21 MB | |
| КЛАСИФІКАЦІЯ СИСТЕМ ПЕРСОНАЛЬНОГО РАДІОВИЗОВУ ПЕЙДЖЕРИ РЕПІТЕРИ ОСНОВНІ ПРОТОКОЛИ ПЕРЕДАЧІ ІНФОРМАЦІЇ. Мета роботи Вивчити класифікацію систем персонального радіовиклику пейджери репітери основні протоколи передачі інформації. Ознайомитися з основними протоколами передачі у СПРВ. При цьому для передачі виклику абоненту використовувалося послідовне тональне кодування адреси, що забезпечує можливість обслуговування до кількох десятків тисяч користувачів. | |||
| 22477. | ВИВЧЕННЯ МЕТОДІВ КОДИРУВАННЯ МОВНИХ СИГНАЛІВ У СТАНДАРТІ ТЕТRА ТРАНКІНГОВИХ МЕРЕЖ | 961.5 KB | |
| Завдання Ознайомитись із загальним описом алгоритму кодування мовного сигналу. Вивчити особливості канального кодування для різноманітних логічних каналів. Загальний опис алгоритму кодування мовного сигналу СЕLР Для кодування інформаційного ущільнення мовних сигналів у стандарті ТЕТRА використовується кодер з лінійним передбаченням та багатоімпульсним збудженням від коду СЕLР Соdе Ехсited Linear Ргеdiction. | |||
| 22478. | СИСТЕМА стільникового зв'язку СТАНДАРТУ GSM-900 | 109.5 KB | |
| Мета роботи Вивчити основні технічні характеристики функціональну побудову та інтерфейси, прийняті в цифровій стільниковій системі рухомого радіозв'язку стандарту GSM. Завдання Ознайомитись із загальними характеристиками стандарту GSM. Коротка теорія Стандарт GSM Global System for Mobile communications тісно пов'язані з усіма сучасними стандартами цифрових мереж насамперед із ISDN і IN Intelligent Network. | |||
Основний закон динаміки можна записати в іншій формі, знаючи поняття центру мас системи:
Це є рівняння руху центру мас системи, одне з найважливіших рівнянь механіки Воно стверджує, що центр мас будь-якої системи частинок рухається так, ніби вся маса системи була зосереджена в цій точці і до неї були б докладені всі зовнішні сили.
Прискорення центру мас системи не залежить від точок застосування зовнішніх сил.
Якщо , то , значить і це випадок замкнутої системи в інерційній системі відліку. Таким чином, якщо центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно, це означає, що її імпульс зберігається у процесі руху.
Приклад: однорідний циліндр маси та радіусу скочується без ковзання по похилій площині, що становить кут з горизонтом. Знайти рівняння руху?
| |
Спільне рішення дає значення параметрів
Рівняння руху центру мас збігається з основним рівнянням динаміки матеріальної точки і є його узагальненням на систему частинок: прискорення системи як цілого, що пропорційно результує всіх зовнішніх сил і обернено пропорційно масі системи.
Систему відліку, жорстко пов'язану з центром мас, яка поступово поступається щодо ІСО називають системою центру мас. Її особливістю і те, що повний імпульс системи частинок у ній завжди дорівнює нулю, оскільки .
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Кінематика поступального руху
Фізичні основи механіки.. кінематика поступального руху.. механічний рух формою існування.
Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
Механічне рух
Матерія, як відомо, існує у двох видах: у вигляді речовини та поля. До першого виду належать атоми та молекули, з яких побудовано всі тіла. До другого виду відносяться всі види полів: гравітації.
Простір та час
Всі тіла існують і рухаються у просторі та часі. Ці поняття є основними всім природничих наук. Будь-яке тіло має розміри, тобто. свою просторову протяжність
Система відліку
Для однозначного визначення положення тіла в довільний момент часу необхідно вибрати систему відліку - систему координат, забезпечену годинами і жорстко пов'язуючи з абсолютно твердим тілом,
Кінематичні рівняння руху
При русі т.м її координати і змінюються з часом, тому завдання закону руху необхідно вказати вид фун
Переміщення елементарне переміщення
Нехай точка М рухається від А до по криволінійному шляху АВ. Спочатку її радіус-вектор дорівнює
Прискорення. Нормальне та тангенціальне прискорення
Рух точки характеризується також прискоренням-швидкістю зміни швидкості. Якщо швидкість точки за довільний час
Поступальний рух
Найпростішим видом механічного руху твердого тіла є поступальний рух, при якому пряма, що з'єднує будь-які дві точки тіла, переміщається разом з тілом, залишаючись паралельною| сво
Закон інерції
В основі класичної механіки лежать три закони Ньютона, сформульовані ним у творі «Математичні засади натуральної філософії», опублікованому в 1687р. Ці закони стали результатом геніал
Інерційна система відліку
Відомо, що механічний рух щодо та його характер залежить від вибору системи відліку. Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Наприклад, тіла, що лежать на гладкому п
Маса. Другий закон Ньютона
Основне завдання динаміки полягає у визначенні характеристик руху тіл під дією доданих до них сил. З досвіду відомо, що під дією сили
Основний закон динаміки матеріальної точки
Рівняння описує зміну руху тіла кінцевих розмірів під дією сили за відсутності деформації і якщо воно
Третій закон Ньютона
Спостереження та досліди свідчать про те, що механічна дія одного тіла на інше є завжди взаємодією. Якщо тіло 2 діє на тіло 1, то тіло 1 обов'язково протидіє
Перетворення Галілея
Вони дозволяють визначити кінематичні величини під час переходу від однієї інерційної системи відліку до іншої. Візьмемо
Принцип відносності Галілея
Прискорення будь-якої точки у всіх системах відліку, що рухаються одна щодо одної прямолінійно і рівномірно однаково:
Зберігаються величини
Будь-яке тіло або система тіл є сукупністю матеріальних точок або частинок. Стан такої системи в деякий момент часу в механіці визначається завданням координат і швидкостей
Центр мас
У будь-якій системі частинок можна знайти точку, яка називається центром мас
Консервативні сили
Якщо в кожній точці простору на частинку, поміщену туди, діє сила, кажуть, що частка знаходиться в полі сил, наприклад, у полі сил тяжіння, гравітаційної, кулонівської та інших сил. Поле
Центральні сили
Будь-яке силове поле викликано дією певного тіла чи системи тіл. Сила, що діє на частинку в цьому полі
Потенційна енергія частки у силовому полі
Та обставина, що робота консервативної сили (для стаціонарного поля) залежить тільки від початкового та кінцевого положень частинки у полі, дозволяє ввести важливе фізичне поняття потенційно
Зв'язок між потенційною енергією та силою для консервативного поля
Взаємодія частки з оточуючими тілами можна описати двома способами: за допомогою поняття сили чи за допомогою поняття потенційної енергії. Перший спосіб загальніший, т.к. він застосовний і до сил
Кінетична енергія частки у силовому полі
Нехай частка масою рухається в силу
Повна механічна енергія частки
Відомо, що збільшення кінетичної енергії частки при переміщенні в силовому полі дорівнює елементарній роботі всіх сил, що діють на частинку:
Закон збереження механічної енергії частки
З виразу випливає, що у стаціонарному полі консервативних сил повна механічна енергія частки може змінюватись
Кінематика
Повертання тіла на деякий кут можна
Момент імпульсу частки. Момент сили
Крім енергії та імпульсу існує ще одна фізична величина, з якою пов'язаний закон збереження – це момент імпульсу. Моментом імпульсу частки
Момент імпульсу та момент сили щодо осі
Візьмемо в системі відліку, що цікавить нас, довільну нерухому вісь
Закон збереження моменту імпульсу системи
Розглянемо систему, що складається з двох взаємодіючих частинок, на які діють також зовнішні сили та
Таким чином, момент імпульсу замкнутої системи часток залишається постійним, не змінюється з часом
Це справедливо щодо будь-якої точки інерційної системи відліку: . Моменти імпульсу окремих частин системи м
Момент інерції твердого тіла
Розглянемо тверде тіло, яке можливо
Рівняння динаміки обертання твердого тіла
Рівняння динаміки обертання твердого тіла можна отримати, записавши рівняння моментів для твердого тіла, що обертається навколо довільної осі
Кінетична енергія тіла, що обертається
Розглянемо абсолютно тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, що проходить через нього. Розіб'ємо його на частинки з малими обсягами та масами
Робота обертання твердого тіла
Якщо тіло обертається силою
Відцентрова сила інерції
Розглянемо диск, який обертається разом із кулькою на пружині, одягненої на спицю, рис.5.3. Кулька знаходиться
Сила Коріоліса
При русі тіла щодо СО, що обертається, крім, з'являється ще одна сила-сила Коріоліса або коріолісова сила
Малі коливання
Розглянемо механічну систему, положення якої може бути визначено за допомогою однієї величини, наприклад х. У цьому випадку кажуть, що система має один ступінь свободи. Величиною х може бути
Гармонічні коливання
Рівняння 2-го Закону Н'ютона без сил тертя для квазіпружної сили виду має вигляд:
Математичний маятник
Це матеріальна точка, підвішена на нерозтяжній нитці довжиною, що здійснює коливання у вертикальній плоскості
Фізичний маятник
Це тверде тіло, що чинить коливання навколо нерухомої осі, пов'язаної з тілом. Вісь перпендикулярна малюнку та нап
Затухаючі коливання
У реальній коливальній системі є сили опору, дія яких призводять до зменшення потенційної енергії системи, і коливання будуть загасаючими.
Автоколивання
При загасаючих коливаннях енергія системи поступово зменшується і коливання припиняються. Для того, щоб їх зробити незагасаючими, необхідно поповнювати енергію системи ззовні у певний момент
Вимушені коливання
Якщо коливальна система, крім сил опору, піддається дії зовнішньої періодичної сили, що змінюється за гармонічним законом
Резонанс
Крива залежності амплітуди вимушених коливань призводить до того, що при певній певній для даної системи
Поширення хвиль у пружному середовищі
Якщо в якомусь місці пружного середовища (твердого, рідкого, газоподібного) помістити джерело коливань, то через взаємодію між частинками коливання поширюватиметься в середовищі від частки до години.
Рівняння плоскої та сферичної хвиль
Рівняння хвилі виражає залежність усунення коливається частинки від її кординат,
Хвильове рівняння
Рівняння хвилі є рішенням диференціального рівняння, що називається хвильовим. Для його встановлення знайдемо другі приватні похідні за часом та координатами від рівня
Центром мас системи називається точка з радіус-вектором
Для безперервного розподілу маси із щільністю 
. Якщо сили тяжіння, прикладені до кожної частки системи, спрямовані в одну сторону, Центр мас збігається з центром тяжіння. Але якщо 
не паралельні, Центр мас і центр тяжкості не збігаються.
Взявши похідну за часом від 
, Отримаємо:
тобто. повний імпульс системи дорівнює добутку її маси швидкість центру мас.
Підставляючи цей вислів до закону зміни повного імпульсу, знаходимо:
Центр мас системи рухається як частка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладена результуюча зовнішніхсил.
При поступальномурух всі точки твердого тіла рухаються так само, як і центр мас (за такими ж траєкторіями), тому для опису поступального руху достатньо записати і вирішити рівняння руху центру мас.
Так як 
, то центр мас замкнутої системиповинен зберігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, тобто. 
= Const. Але при цьому вся система може обертатися, розлітатися, вибухати тощо. внаслідок дії внутрішніх сил.
Реактивний рух. Рівняння Мещерського
Реактивнимназивається рух тіла, при якому відбувається приєднанняабо відкиданнямаси. У процесі руху відбувається зміна маси тіла: за час dt тіло маси m приєднує (поглинає) або відкидає (випускає) масу dm зі швидкістю 
щодо тіла; у першому випадку dm>0, у другому dm<0.
Розглянемо такий рух з прикладу ракети. Перейдемо до інерційної системи відліку K", яка в даний момент часу t рухається з тією ж швидкістю 
, що і ракета – така ІСО називається супутньою- У цій системі відліку ракета в даний момент t спочиває(швидкість ракети у цій системі 
=0). Якщо сума зовнішніх сил, що діють на ракету, не дорівнює нулю, то рівняння руху ракети в системі K", але так як всі ІСО еквівалентні, то і в системі До рівняння матиме той самий вид:
Це – рівняння Мещерського, що описує рух будь-якого тілазі змінною масою).
У рівнянні маса m – величина змінна і її не можна внести під знак похідної. Друге доданок у правій частині рівняння називається реактивною силою
Для ракети реактивна сила відіграє роль сили тяги, але у разі приєднання маси dm/dt>0 і реактивна сила буде силою гальмування (наприклад, при русі ракети в хмарі пилу).
Енергія системи частинок
Енергія системи частинок складається з кінетичної та потенційної. Кінетична енергія системи є сумою кінетичних енергій всіх частинок системи
і є, згідно з визначенням, величиною адитивний(як і імпульс).
Інакше справа з потенційною енергією системи. По-перше, між частинками системи діють сили взаємодії 
. Тому A ij =-dU ij , де U ij - потенційна енергія взаємодії i-ої та j-ої частинок. Підсумовуючи U ij за всіма частинками системи, знаходимо так звану власну потенційну енергіюсистеми:
Істотно, що Власна потенційна енергія системи залежить від її конфігурації.До того ж ця величина – не адитивна.
По-друге, на кожну частину системи, взагалі, діють і зовнішні сили. Якщо ці сили - консервативні, то їх робота дорівнюватиме вбутку зовнішньої потенційної енергії A=-dU зовніш, де
де U i – потенційна енергія i-ої частинки у зовнішньому полі. Вона залежить від положень всіх частинок у зовнішньому полі та є адитивною.
Таким чином, повна механічна енергія системи частинок, що знаходиться у зовнішньому потенційному полі, визначається як
E сист = До сист +U соб +U внеш
Урок «Центр мас»
Регламент: 2 уроки
Ціль:Ознайомити учнів із поняттям «центр мас» та її властивостями.
Обладнання:фігури з картону чи фанери, «неваляшка», складаний ніж, олівці.
План уроку
Етапи уроку час методи та прийоми
I Введення учнів 10 Переднє опитування, робота учнів біля дошки.
у проблему уроку
ІІ. Вивчення нового 15-20 Розповідь вчителя, розв'язання задачі,
матеріалу: 10 експериментальне завдання
III Відпрацювання нового 10 повідомлення учнів
матеріалу: 10-15 вирішення завдань,
15 фронтальне опитування
IV.Висновки. Домашнє 5-10 Усне узагальнення матеріалу вчителем.
завдання Запис на дошці
Хід уроку.
I Повторення 1. Фронтальне опитування: плече сили, момент сили, умова рівноваги, види рівноваги
Епіграф: Центром тяжкості кожного тіла є деяка розташована всередині його точка - така, що якщо за неї подумки підвісити тіло, то воно залишається в спокої і зберігає початкове положення.
II. Поясненнянового матеріалу
Нехай дано тіло чи система тіл. Подумки розіб'ємо тіло на скільки завгодно малі частини з масами m1, m2, m3… Кожну з цих частин можна як матеріальну точку. Положення у просторі i-ої матеріальної точки з масою mi визначається радіус-вектором ri(Рис. 1.1). Маса тіла є сумою мас окремих його частин: т = ∑ mi.
Центром мас тіла (системи тіл) називається така точка С, радіус-вектор якої визначається за формулою
r= 1/m∙∑ mi ri
Можна показати, що положення центру мас щодо тіла не залежить від вибору початку координат О, тобто. це визначення центру мас однозначно і коректно.
Центр мас однорідних симетричних тіл розташований в їх геометричному центрі або на осі симетрії, центр мас біля плоского тіла у вигляді довільного трикутника знаходиться на перетині його медіан.
Рішення завдання
ЗАВДАННЯ 1. На легкому стрижні (рис. 1.2) закріплені однорідні кулі масами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, і m4 = 3 кг. Відстань між центрами будь-яких найближчих куль
а = 10 см. Знайти положення центру тяжіння і центру мас конструкції.
РІШЕННЯ. Положення щодо куль центру ваги конструкції залежить від орієнтації стрижня у просторі. Для вирішення завдання зручно розташувати стрижень горизонтально, як показано на малюнку 2. Нехай центр тяжіння знаходиться на стрижні на відстані L від центру лівої кулі, тобто. від т. А. У центрі тяжкості прикладена рівнодіюча всіх сил тяжіння та її момент щодо осі А дорівнює сумі моментів сил тяжіння куль. Маємо r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.
Звідси L=α (m1 +2m3 + 3m4)/(m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см
ВІДПОВІДЬ. Центр тяжкості збігається з центром мас і знаходиться, в точці З на відстані L = 16,4 см від центру лівої кулі.
Виявляється, що в центру мас тіла (або системи тіл) є ряд чудових властивостей. У динаміці показується, що імпульс тіла, що довільно рухається, дорівнює добутку маси тіла на швидкість його центру мас і що центр мас рухається так, якби всі зовнішні сили, що діють на тіло, були прикладені в центрі мас, а маса всього тіла була зосереджена в ньому.
Центром тяжкості тіла, що знаходиться в полі тяжіння Землі, називають точку докладання рівнодіючої всіх сил тяжкості, що діють на всі частини тіла. Ця рівнодіюча називається силою тяжкості, що діє на тіло. Сила тяжкості, прикладена в центрі тяжкості тіла, робить на тіло такий самий вплив, як і її сили тяжкості, що діють на окремі частини тіла.
Цікавий випадок, коли розміри тіла набагато менші за розміри Землі. Тоді вважатимуться, що це частини тіла діють паралельні сили тяжкості, тобто. тіло знаходиться в однорідному полі тяжкості. У паралельних і однаково спрямованих сил завжди є рівнодіюча, що можна довести. Але при певному положенні тіла в просторі можна вказати тільки лінію дії рівнодіючої всіх паралельних сил тяжкості, точка її застосування залишиться поки невизначеною, т.к. для твердого тіла будь-яку силу можна переносити вздовж лінії її дії. Як же бути з точкою програми?
Можна показати, що при будь-якому положенні тіла в однорідному полі тяжкості, лінія дії рівнодіючої всіх сил тяжіння, що діють на окремі частини тіла, проходять через одну і ту ж точку, нерухому щодо тіла. У цій точці і прикладається рівнодіюча, а сама точка буде центром ваги тіла.
Положення центру тяжкості щодо тіла залежить тільки від форми тіла та розподілу маси в тілі і не залежить від положення тіла в однорідному полі тяжкості. Центр тяжкості не обов'язково знаходиться в самому тілі. Наприклад, у обруча в однорідному полі тяжкості центр ваги лежить у його геометричному центрі.
У однорідному полі тяжкості центр тяжкості тіла співпадає з його центром мас.
У переважній більшості випадків один термін безболісно можна замінювати іншим.
Але: центр мас тіла існує незалежно від наявності поля тяжкості, а про центр тяжкості можна говорити тільки за наявності сили тяжіння.
Розташування центру ваги тіла, отже, і центру мас, зручно знаходити, враховуючи симетричність тіла і використовуючи поняття моменту сили.
Якщо плече сили дорівнює нулю, момент сили дорівнює нулю і така сила не викликає обертального руху тіла.
Отже, якщо лінія дії сили проходить через центр мас, воно рухається поступально.
Таким чином, можна визначити центр мас будь-якої плоскої фігури. Для цього треба закріпити її в одній точці, давши можливість вільно повертатися. Вона встановиться так, щоб сила тяжіння, що її повертає, проходила через центр мас. У точці закріплення фігури підвісимо нитку з вантажем (гайкою), проведемо лінію вздовж підвісу (тобто лінію дії сили тяжіння). Повторимо дії, закріпивши фігуру в іншій точці. Перетин ліній дії сил тяжіння - центр мас тіла
Експериментальне завдання:визначити центр тяжкості плоскої фігури (за приготованими раніше учнями фігур з картону чи фанери).
Інструкція: закріплюємо фігурку на штативі. Підвішуємо за один з кутів фігури схилу. Проводимо лінію дії сили тяжіння. Повертаємо фігуру, повторюємо дію. Центр мас лежить у точці перетину ліній дії сили тяжіння.
Учням, що швидко впоралися із завданням, можна дати додаткове завдання: прикріпити до фігури вантаж (металевий болт) і визначити нове положення центру мас. Зробити висновок.
Вивчення чудових властивостей «центрів», якому понад дві тисячі років, виявилося корисним не тільки для механіки - наприклад, при конструюванні транспортних засобів і військової техніки, розрахунку стійкості споруд або для виведення рівнянь руху реактивних апаратів. Навряд чи Архімед міг навіть подумати про те, що поняття центру мас виявиться дуже зручним для досліджень в ядерній фізиці або у фізиці елементарних частинок.
Повідомлення учнів:
У своїй праці «Про рівновагу плоских тіл» Архімед використовував поняття центру тяжіння, практично не визначаючи його. Мабуть, воно вперше було введено невідомим попередником Архімеда або ж ним самим, але в більш ранній роботі, що не дійшла до нас.
Повинно було пройти довгих сім-надцять століть, як наука додала до досліджень Архімеда про центри тяжкості нові результати. Це сталося, коли Леонардо да Вінчі зумів знайти центр тяжкості тетраедру. Він же, розмірковуючи про стійкість італійських похилих веж, у тому числі - Пізанської, прийшов до «теореми про опорний багатокутник».
З'ясовані ще Архімедом умови рівноваги плаваючих тіл згодом довелося перевідкривати. Займався цим наприкінці XVI століття: голландський вчений Симон Стевін, який застосовував, поряд з поняттям центру тяжкості, і поняття «центр тиску» - точку докладання сили тиску навколишнього тіла води.
Прин-цип Торрічеллі (а його ім'я носять і формули для розрахунку центру мас), виявляється, був передбачений його учителем Галілеєм. У свою чергу, цей принцип ліг в основу класичної праці Гюйгенса про маятниковий годинник, а також був використаний у знаменитих гідростатичних дослідженнях Паскаля.
Метод, що дозволив Ейлеру вивчати рух твердого тіла під дією будь-яких сил, полягав у розкладанні цього руху на переміщення центру мас тіла і обертання навколо осей, що проходять через нього.
Для збереження в незмінному положенні предметів при русі їх опори вже кілька століть застосовується так званий карданів підвіс - пристрій, в якому центр тяжкості тіла мають нижче осей, навколо яких воно може обертатися. Прикладом може бути корабельна гасова лампа.
Хоча на Місяці сила тяжкості у шість разів менша, ніж на Землі, збільшити там рекорд зі стрибків у висоту вдалося б «всього» лише в чотири рази. Такого висновку наводять розрахунки зі зміни висоти центру тяжкості тіла спортсмена.
Крім добового обертання навколо своєї осі і річного звернення навколо Сонця, Земля бере участь ще в одному круговому русі. Разом із Місяцем вона «крутиться» навколо загального центру мас, розташованого приблизно за 4700 кілометрів від центру Землі.
Деякі штучні супутники Землі забезпечені доладною штангою в кілька або навіть в десятки метрів, обтяженої на кінці (так званий гравітаційний стабілізатор). Справа в тому, що супутник витягнутої форми прагне при русі по орбіті повернутися навколо свого центру мас так, щоб його поздовжня вісь розташувалася вертикально. Тоді він, подібно до Місяця, буде весь час звернений до Землі однією стороною.
Спостереження за рухом деяких видимих зірок свідчать про те, що вони входять у подвійні системи, в яких відбувається обертання «небесних партнерів» навколо загального центру мас. Одним з невидимих компаньйонів в такій системі може бути нейтронна зірка або, можливо, чорна діра.
Пояснення вчителя
Теорема про центр мас: центр мас тіла може змінити своє положення тільки під дією зовнішніх сил.
Наслідок теореми про центр мас: центр мас замкнутої системи тіл залишається нерухомим за будь-яких взаємодій тіл системи.
Розв'язання задачі (біля дошки)
ЗАВДАННЯ 2. Човен стоїть нерухомо у стоячій воді. Людина, яка перебуває в човні, переходить із носа на корму. На яку відстань h зрушить човен, якщо маса людини m= 60кг, маса човна М = 120кг, довжина човна L=3м? Опір води знехтувати.
РІШЕННЯ. Скористаємося умовою завдання, що початкова швидкість центру мас дорівнює нулю (човен і людина спочатку спочивали) і опір води відсутня (ніякі зовнішні сили в горизонтальному напрямку на систему «людина-човен» не діють). Отже, координата центру мас системи у горизонтальному напрямі не змінилася. На рис.3 зображено початкове та кінцеве положення човна та людини. Початкова координата х0 центру мас х0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Кінцева координата х центру мас х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Прирівнюючи х0 = х, знаходимо h = mL / (m + M) = 1м
Додатково:збірник завдань Степанової Г.М. №393
Пояснення вчителя
Згадуючи умови рівноваги, ми з'ясували, що
Для тіл, що мають площу опори, стійка рівновага спостерігається в тому випадку, коли лінія дії сили тяжіння проходить через основу.
Наслідок: чим більше площа опори і нижче центр ваги, тим стійкіше положення рівноваги.
Демонстрація
Поставте дитячу іграшку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шорстку дошку і підніміть правий край дошки. В яку сторону відхиляється «голова» іграшки при збереженні її рівноваги?
Пояснення: Центр тяжкості З неваляшки знаходиться нижче геометричного центру Про кулясту поверхню «тулуба». У положенні рівноваги точка С і точка дотику А іграшки з похилою площиною повинні знаходитися на одній вертикалі; отже «голова» неваляшки відхилиться вліво
Як пояснити збереження рівноваги у випадку, показаному на малюнку?
Пояснення: Центр ваги системи олівець - ніж лежить нижче точки опори
IIIЗакріплення.Фронтальне опитування
Запитання та завдання
1. При переміщенні тіла з екватора на полюс сила тяжіння, що діє на нього, змінюється. Чи це відбивається на положенні центру тяжкості тіла?
Відповідь: ні, т.к. відносні зміни сили тяжіння всіх елементів тіла однакові.
2. Чи можна знайти центр ваги «гантелі», що складається з двох масивних кульок, з'єднаних невагомим стрижнем, за умови, що довжина «гантелі» можна порівняти з діаметром Землі?
Відповідь: ні. Умова існування центру тяжкості - однорідність поля тяжіння. У неоднорідному гравітаційному полі повороти гантелі навколо її центру мас призводять до того, що лінії дії L1 і L2, рівнодіючих сил тяжіння, прикладених до кульок, не мають спільної точки.
3. Чому при різкому гальмуванні автомобіля його передня частина опускається?
Відповідь: при гальмуванні на колеса з боку дороги діє сила тертя, що створює крутний момент навколо центру мас автомобіля.
4. Де знаходиться центр тяжкості буб-ліку?
Відповідь: у дірці!
5. У циліндричну склянку потроху наливають воду. Як змінюватиметься положення центру тяжкості системи склянку - вода?
Відповідь: Центр тяжкості системи спочатку знижуватиметься, а потім - підвищуватиметься.
6. Яку довжину кінець треба відрізати від однорідного стрижня, щоб його центр ваги змістився на ∆ℓ?
Відповідь: довжиною 2∆ℓ.
7. Однорідний стрижень зігнути посередині під прямим кутом. Де виявився тепер його центр тяжіння?
Відповідь: у точці О — середині відрізка О1О2, що з'єднує середини ділянок АВ і ВС стрижня
9. Нерухома космічна стація є циліндр. Космонавт починає круговий обхід стації її поверхні. Що станеться із станцією?
Відповідь: зтанція прийде в обертання в протилежну сторону, причому її центр описуватиме коло навколо спільного з космонавтом центру мас.
11. Чому важко пересуватися на ходулях?
Відповідь: центр тяжкості людини на ходулях значно підвищується, а площа його опори на землю зменшується.
12. Коли канатоходцю легше утримувати рівновагу - при звичайному пересуванні по канату або при переносі сильно вигнутого коромисла, навантаженого відрами з водою?
Відповідь: У другому випадку, оскільки центр мас канатоходця з відрами лежить нижче, тобто. ближче до опори – канату.
IVДомашнє завдання:(Виконується бажаючими - завдання важкі, які вирішили їх отримують "5").
*1. Знайдіть центр ваги системи куль, що у вершинах рівностороннього невагомого трикутника, зображеного малюнку
Відповідь: центр ваги лежить на середині бісектриси кута, у вершині якого знаходиться куля масою 2m
*2. Глибина лунки в дошці, в яку вставлена куля, вдвічі менше радіусу кулі. При якому куті нахилу дошки до горизонту куля вискочить з лунки?
