içindekiler 4
Çeviri editöründen 10
Üçüncü baskıya önsöz 13
İkinci baskıya önsöz 15
İlk baskıya önsöz 16
Gösterimler 20
Bölüm 1 Giriş 22
§ 1. Esneklik 22
§ 2. Gerilmeler 23
§ 3. Kuvvetler ve gerilmeler için notasyon 24
§ 4. Gerilme bileşenleri 25
§ 5. Deformasyon bileşenleri 26
§ 6. Hooke Yasası 28
§ 7. İndeks gösterimi 32
Görevler 34
Bölüm 2 Düzlem Gerilme ve Düzlem Gerinim 35
§ 8. Düzlem gerilimi 35'ten oluşuyordu
§ 9. Düzlem deformasyonu 35
§ 10. 37 noktasındaki gerilmeler
§ 11. 42 noktasındaki deformasyonlar
§ 12. Yüzey deformasyonlarının ölçümü 44
§ 13. Rozet 46 için Mohr deformasyon dairesinin inşası
§ 14. Diferansiyel denge denklemleri 46
§ 15. Sınır koşulları 47
§ 16. Uyumluluk denklemleri 48
§ 17. Stres fonksiyonu 50
Görevler 52
Bölüm 3. 2B Kartezyen Problemler 54
§ 18. Polinomlarda çözüm 54
§ 19. Son etkiler. Saint-Venant İlkesi 58
§ 20. Yer değiştirmelerin tanımı 59
§ 21. Uçtan yüklenen konsolun bükülmesi 60
§ 22. Bir kirişin düzgün bir yükle bükülmesi 64
§ 23. Sürekli yük dağılımına sahip diğer kiriş durumları 69
§ 24. Fourier serisi 71 kullanılarak iki boyutlu bir problemin çözümü
§ 25. Fourier serisinin diğer uygulamaları. Kendi ağırlığıyla yük 77
§ 26. Dairelerin etkisi. Yerel İşlevler 78
Görevler 80
Bölüm 4. Kutup Koordinatlarında 2B Problemler 83
§ 27. Kutupsal koordinatlarda genel denklemler 83
§ 28. Polar-simetrik gerilim dağılımı 86
§ 29. Kavisli çubukların tamamen bükülmesi 89
§ 30. Kutupsal koordinatlarda deformasyon bileşenleri 93
§ 31. Simetrik gerilim sıfırları ile yer değiştirmeler 94
§ 32. Dönen diskler 97
§ 33. Eğimli bir kirişin ucuna uygulanan bir kuvvetle bükülmesi 100
§ 34. Kenar dislokasyonları 105
§ 35. Yuvarlak bir deliğin bir plakadaki gerilmelerin dağılımı üzerindeki etkisi 106
§ 36. Doğrusal bir sınırın bir noktasında uygulanan konsantre kuvvet 113
§ 37. Doğrusal bir sınırda keyfi dikey yük 119
§ 38. Takozun ucuna etkiyen kuvvet 125
§ 39. Takozun ucuna etki eden eğilme momenti 127
§ 40. Yoğunlaştırılmış kuvvet ışını üzerindeki etki 128
§ 41. Yuvarlak bir diskteki gerilmeler 137
§ 42. Sonsuz bir levhanın bir noktasında etki eden kuvvet 141
§ 43. Kutupsal koordinatlarda iki boyutlu bir problemin genelleştirilmiş çözümü 146
§ 44. Genelleştirilmiş çözümün kutupsal koordinatlarda uygulamaları 150
§ 45. Yüzler boyunca yüklü kama 153
§ 46. Takozlar ve kesikler için kendi çözümleri 155
Görevler 158
Bölüm 5. Deneysel yöntemler. Fotoelastisite ve hareli yöntem 163
§ 47. Deneysel yöntemler ve teorik çözümlerin doğrulanması 163
§ 48. Fotoelastik yöntemle gerilmelerin ölçülmesi 163
§ 49. Dairesel polariskop 169
§ 50. Fotoelastik yöntemle gerilmeleri belirleme örnekleri 171
§ 51. Ana gerilimlerin belirlenmesi 174
§ 52. Üç boyutlu durumda fotoelastisite yöntemleri 175
§ 53. Moire yöntemi 177
Bölüm 6
§ 54. Karmaşık bir değişkenin işlevleri 180
§ 55. Analitik fonksiyonlar ve Laplace denklemi 182
§ 56. Harmonik ve karmaşık fonksiyonlar cinsinden ifade edilen gerilme fonksiyonları 184
§ 57. Belirli bir gerilim fonksiyonuna karşılık gelen yer değiştirmeler 186
§ 58. Karmaşık potansiyeller yoluyla gerilmelerin ve yer değiştirmelerin ifadesi 188
§ 59. Belirli bir eğri üzerinde etki eden sonuç gerilimi. Sınır koşulları 190
§ 60. Eğrisel koordinatlar 193
§ 61. Eğrisel koordinatlardaki gerilme bileşenleri 196
Görevler 198
§ 62. Eliptik koordinatlarda çözümler. Düzgün Gerilme Durumuna Sahip Bir Levhada Eliptik Delik 198
§ 63. Tek eksenli gerilime maruz kalan bir plakadaki eliptik delik 202
§ 64. Hiperbolik sınırlar. Kesikler 206
§ 65. Bipolar koordinatlar 208
§ 66. İki kutuplu koordinatlarda çözümler 209
§ 67. Verilen sınır koşulları ile karmaşık potansiyellerin belirlenmesi. N. I. Muskhelishvili'nin Yöntemleri 214
§ 68 Karmaşık potansiyeller için formüller 217
§ 69. Delik 219 çevresinde bulunan malzeme alanındaki analitik, karmaşık potansiyellere karşılık gelen gerilme ve gerilmelerin özellikleri
§ 70. Sınır integralleri için teoremler 221
§ 71. Eliptik bir delik için eşleme işlevi ω(ξ). İkinci sınır integrali 224
§ 72. Eliptik delik. ψ(ζ) 225 için formül
§ 73. Eliptik delik. Özel görevler 226
Görevler 229
Bölüm 7 Mekansal Durumda Gerilme ve Gerinim Analizi 230
§ 74 Giriş 230
§ 75. Temel stresler 232
§ 76. Gerilmelerin elipsoidi ve gerilmelerin yönlendirme yüzeyi 233
§ 77. Ana gerilimlerin belirlenmesi 234
§ 78. Gerilme değişmezleri 235
§ 79. Maksimum kesme geriliminin belirlenmesi 236
§ 80. Homojen deformasyon 238
§ 81. Vücudun bir noktasındaki deformasyonlar 239
§ 82. Ana gerinim eksenleri 242
§ 83. Döndürme 243
Görevler 245
Bölüm 8 Genel Teoremler 246
§ 84. Diferansiyel denge denklemleri 246
§ 85. Uyumluluk koşulları 247
§ 86. Yer değiştirmelerin tanımı 250
§ 87. Yer değiştirmelerde denge denklemleri 251
§ 88. Yer değiştirmeler için genel çözüm 252
§ 89. Üst üste binme ilkesi 253
§ 90. Deformasyon enerjisi 254
§ 91. Bir kenar dislokasyonu için gerinim enerjisi 259
§ 92. Sanal çalışma ilkesi 261
§ 93. Castigliano teoremi 266
§ 94. Asgari çalışma ilkesinin uygulamaları. Dikdörtgen plakalar 270
§ 95. Kirişlerin geniş flanşlarının etkin genişliği 273
Görevler 279
§ 96. Çözümün benzersizliği 280
§ 97. Karşılıklılık teoremi 282
§ 98. Düzlem gerilim durumu 285 için çözümlerin yaklaşık yapısı
Görevler 287
Bölüm 9. Esneklik teorisinin temel üç boyutlu problemleri 289
§ 99. Düzgün gerilim durumu 289
§ 100. Prizmatik bir çubuğun kendi ağırlığı altında gerilimi 290
§ 101. Sabit kesitli yuvarlak millerin burulması 293
§ 102. Prizmatik çubukların saf bükülmesi 294
§ 103. Plakaların tamamen bükülmesi 298
10. Bölüm
§ 104. Doğrusal çubukların burulması 300
§ 105. Eliptik kesit 305
§ 106. Diğer temel çözümler 307
§ 107. Zar analojisi 310
§ 108. Dar dikdörtgen kesitli bir çubuğun burulması 314
§ 109. Dikdörtgen çubukların burulması 317
§ 110. Ek sonuçlar 320
§ 111. Burulma problemlerinin enerji yöntemiyle çözümü 323
§ 112. Haddelenmiş profillerin çubuklarının burulması 329
§ 113. Deneysel analojiler 331
§ 114. Hidrodinamik analojiler 332
§ 115. İçi boş millerin burulması 335
§ 116. İnce cidarlı boruların burulması 339
§ 117. Vida dislokasyonları 343
§ 118. Enine kesitlerinden biri düz kalan bir çubuğun burulması 345
§ 119. 347 değişken çaplı yuvarlak millerin burulması
Görevler 355
Bölüm 11
§ 120. Konsolun bükülmesi 359
§ 121. Stres fonksiyonu 361
§ 122. Yuvarlak kesit 363
§ 123. Eliptik kesit 364
§ 124. Dikdörtgen kesit 365
§ 125. Ek sonuçlar 371
§ 126. Asimetrik kesitler 373
§ 127. Bükülme merkezi 375
§ 128. Sabun filmi yöntemini kullanarak bükme problemlerini çözme 378
Bölüm 129 Transferler 381
§ 130. Çubukların bükülmesine ilişkin ileri çalışmalar 382
Bölüm 12
§ 131. Genel denklemler 384
§ 132. Polinomlarda çözüm 387
§ 133. Yuvarlak bir levhanın bükülmesi 388
§ 134. Dönen bir diskin üç boyutlu sorunu 391
§ 135. Sonsuz bir cismin bir noktasında uygulanan kuvvet 393
§ 136. İç veya dış tekdüze basıncın etkisi altındaki küresel kap 396
§ 137. Küresel bir boşluk etrafındaki yerel gerilmeler 399
§ 138. Yarı sonsuz bir cismin sınırına uygulanan kuvvet 401
§ 139. Yarı sonsuz bir cismin sınırının bir kısmına dağıtılan yük 405
§ 140. Temas eden iki küresel cisim arasındaki basınç 412
§ 141. Temas halindeki iki cisim arasındaki basınç. Daha genel durum 417
§ 142. Topların çarpışması 422
§ 143. Yuvarlak silindir 424'ün simetrik deformasyonu
§ 144. Kuşak basıncının etkisi altındaki yuvarlak silindir 428
§ 145. Boussinesq'in iki harmonik fonksiyon şeklinde çözümü 430
§ 146. Sarmal bir yayın gerilmesi (bir halkadaki vida dislokasyonları) 431
§ 147. Yuvarlak bir halkanın bir parçasının saf bükülmesi 434
Bölüm 13 Termal Gerilmeler 436
§ 148. Termal gerilmelerin en basit dağılımı. Deformasyon Yöntemi 436
Görevler 442
§ 149. Şerit 442'de boylamasına sıcaklık değişimi
§ 150. İnce yuvarlak disk: merkeze göre simetrik sıcaklık dağılımı 445
§ 151. Uzun yuvarlak silindir 447
Görevler 455
§ 152. Kapsam 455
§ 153. Genel denklemler 459
§ 154. Termoelastisitede karşılıklılık teoremi 463
§ 155. Toplam termoelastik deformasyonlar. İsteğe bağlı sıcaklık dağılımı 464
§ 156. Termoelastik yer değiştirmeler. V. M. Maizel 466'nın entegre çözümü
Görevler 469
§ 157. Başlangıç ​​gerilmeleri 469
§ 158. İlk gerilimlerle ilişkili hacimdeki genel değişiklik 472
§ 159. Düzlem deformasyonu ve düzlem gerilme durumu. Deformasyon Yöntemi 472
§ 160. Sabit ısı akışı ile iki boyutlu problemler 474
§ 161. Yalıtılmış bir delik tarafından homojen bir ısı akışının bozulmasının neden olduğu düzlem termal olarak gerilmiş durum 480
§ 162. Genel denklemlerin çözümleri. Termoelastik yer değiştirme potansiyeli 481
§ 163. Dairesel bölgeler için genel iki boyutlu problem 485
§ 164. Genel iki boyutlu problem. Karmaşık potansiyellerde çözüm 487
Bölüm 14. Sürekli elastik bir ortamda dalgaların yayılması 490
§ 165 Giriş 490
§ 166. İzotropik elastik bir ortamda genişleme dalgaları ve bozulma dalgaları 491
§ 167. Uçak dalgaları 492
§ 168. Sabit kesitli çubuklarda boyuna dalgalar. Temel Teori 497
§ 169. Çubukların uzunlamasına etkisi 502
§ 170. Rayleigh yüzey dalgaları 510
§ 171. Sonsuz bir ortamda küresel simetriye sahip dalgalar 513
§ 172. Küresel bir boşlukta patlayıcı basınç 514
Başvuru. Sonlu fark denklemlerinin esneklik teorisinde uygulanması 518
§ 1. Sonlu fark denklemlerinin türetilmesi 518
§ 2. Ardışık yaklaşım yöntemleri 522
§ 3. Gevşeme yöntemi 525
§ 4. Üçgen ve altıgen ızgaralar 530
§ 5. Blok ve grup gevşemesi 535
§ 6. Çok bağlantılı enine kesitli çubukların burulması 536
§ 7. 538 sınırına yakın noktalar
§ 8. Biharmonik denklem 540
§ 9. Değişken çaplı 548 dairesel millerin burulması
§ 10. Bilgisayar yardımıyla problem çözme 551
Ad İndeksi 553
Dizin 558

4-6. bölümlerde, vücudun keyfi bir noktasının yakınında gerilme ve gerinimlerdeki değişim yasalarının yanı sıra gerilmeleri gerinimlere ve gerinimleri yer değiştirmelere bağlayan ilişkileri belirleyen esneklik teorisinin temel denklemleri türetilmiştir. . Kartezyen koordinatlarda tüm esneklik denklemleri sistemini sunuyoruz.

Navier denge denklemleri:

Cauchy ilişkileri:

Hooke yasası (doğrudan ve ters formlarda):

Bunu burada hatırla e = e x + e y + ez- bağıl hacimsel deformasyon ve kayma gerilmelerinin eşleştirilmesi yasasına göre Xj. = Tj; ve buna göre y~ = ^ 7 . (16.3, a)'da yer alan Lame sabitleri, formüller (6.13) ile belirlenir.

Yukarıdaki sistemden, 15 bilinmeyen fonksiyon (gerilme tensörünün 6 bileşeni, gerinim tensörünün 6 bileşeni ve yer değiştirme vektörünün 3 bileşeni) içeren 15 diferansiyel ve cebirsel denklem içerdiği görülmektedir.

Tüm denklem sisteminin karmaşıklığından dolayı, uygulamada karşılaşılan tüm esneklik teorisi problemleri için geçerli olacak genel bir çözüm bulmak imkansızdır.

Örneğin bilinmeyen fonksiyonlar olarak yalnızca gerilmeler veya yer değiştirmeler alınırsa, denklem sayısını azaltmanın çeşitli yolları vardır.

Elastikiyet teorisi problemini çözerken yer değiştirmeleri dikkate almazsak, Cauchy bağıntıları (16.2) yerine gerinim tensörünün bileşenlerini birbiriyle ilişkilendiren denklemler elde edebiliriz. Deformasyonu ayırt edin rx, birinci eşitlik (16.2) ile tanımlanır, iki kez y, deformasyon g y - x için iki kez ve elde edilen ifadeleri ekleyin. Sonuç olarak, elde ederiz

(16.2)'ye göre parantez içindeki ifade açısal deformasyonu y belirler. Böylece, son eşitlik şu şekilde yazılabilir:

Benzer şekilde, son bağıntıyla birlikte birinci grubu oluşturan iki eşitlik daha elde edilebilir. Saint-Venant deformasyonlarının uyumluluk denklemleri:

Eşitliklerin her biri (16.4), bir düzlemdeki deformasyonlar arasında bir bağlantı kurar. Cauchy ilişkileri, farklı düzlemlerdeki deformasyonlarla ilgili uyumluluk koşullarını elde etmek için de kullanılabilir. Açısal deformasyonlar için ifadeleri (16.2) şu şekilde ayırıyoruz: y - by z y - tarafından X;

y'ye göre; İlk iki eşitliği toplayın ve üçüncüyü çıkarın. Sonuç olarak, elde ederiz

Bu eşitliğin y'ye göre türevi alınarak,

aşağıdaki ilişkiye varıyoruz:

Dairesel bir ikame yardımıyla, son ilişkiyle birlikte Saint-Venant deformasyon uyumluluk denklemlerinin ikinci grubunu oluşturan iki eşitlik daha elde ederiz:

Deformasyon uyumluluk denklemleri aynı zamanda koşullar olarak da adlandırılır. süreklilik veya süreklilik Bu terimler, vücudun deformasyon sırasında katı kalması gerçeğini karakterize eder. Eğer cismi bireysel elemanlardan oluşuyor olarak hayal edersek ve x, y deformasyonlarını keyfi fonksiyonlar olarak kabul edersek, deforme olmuş durumda bu elemanlardan bir katı cisim toplamak mümkün olmayacaktır. (16.4), (16.5) koşulları sağlandığında, tek tek elemanların sınırlarının yer değiştirmeleri, gövde deforme durumda bile sağlam kalacak şekilde olacaktır.

Bu nedenle, esneklik teorisi problemlerinin çözümünde bilinmeyen sayısını azaltmanın yollarından biri, yer değiştirmeleri dikkate almamaktır. Daha sonra, Cauchy ilişkileri yerine, tüm denklem sistemi Saint-Venant deformasyonları için uygunluk denklemlerini içerecektir.

Elastikiyet teorisinin tüm denklem sistemi göz önüne alındığında, pratikte vücudun gerilme-gerilme durumunu belirleyen faktörleri içermediğine dikkat edilmelidir. Bu tür faktörler, gövdenin şeklini ve boyutlarını, sabitleme yöntemlerini, vücut kuvvetleri hariç, gövdeye etki eden yükleri içerir. X, Y, Z.

Böylece, elastisite teorisinin tüm denklem sistemi, elastik cisimlerdeki gerilmeler, gerinimler ve yer değiştirmelerdeki yalnızca genel değişim modellerini oluşturur. Belirli bir problemin çözümü, cismin yükleme koşulları verilirse elde edilebilir. Bu, esneklik teorisinin bir problemini diğerinden ayıran sınır koşullarında verilmiştir.

Matematiksel bir bakış açısından, bir diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünün, sınır koşullarından belirlenmesi gereken keyfi fonksiyonlar ve sabitler içerdiği de açıktır.

4. DEPREM BİLGİLERİNE GÖRE DÜNYANIN YAPISI

Elastisite teorisinin temelleri: gerinim tensörü, gerilme tensörü, Hooke kanunu, elastik modüller, düzgün deformasyonlar, izotropik ortamda elastik dalgalar, Fermat, Huygens, Snell kanunları. sismik dalgalar. Sismometrik gözlemlerin gelişimi: sismik istasyonlar ve ağları, hodograflar, Dünya içindeki dalga yörüngeleri. Gertlotz-Wiechert denklemi kullanılarak sismik dalgaların yayılma hızının belirlenmesi. Dünyanın yarıçapının bir fonksiyonu olarak P ve S dalgası hızları. Sismolojiye göre Dünya'nın maddesinin durumu. Yerkabuğu. Litosfer ve astenosfer. Sismoloji ve küresel tektonik.

Esneklik teorisinin temelleri[Landau, Lifshitz, 2003, s. 9-25, 130-144]

Gerinim tensörü

Sürekli ortam olarak kabul edilen katıların mekaniği, içeriğidir. esneklik teorisi. Elastikiyet teorisinin temel denklemleri O.L. Cauchy ve S.D. 1920'lerde Poisson (ayrıntılar için Bölüm 15'e bakın).

Uygulanan kuvvetlerin etkisi altında, katı cisimler bir dereceye kadar deforme olur, yani. şeklini ve hacmini değiştirin. Vücudun deformasyonunun matematiksel bir açıklaması için aşağıdaki gibi ilerleyin. Vücudun her noktasının konumu, bazı koordinat sistemlerinde yarıçap vektörü r (x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z bileşenleri ile) tarafından belirlenir. Bir gövde deforme olduğunda, genel olarak konuşursak, tüm noktaları yer değiştirir. Cismin belirli bir noktasını ele alalım; deformasyondan önceki yarıçap vektörü r ise, deforme olmuş gövdede başka bir şeye sahip olacaktır.

değer r / (x i / bileşenlerle). Deformasyon sırasında vücudun noktasının yer değiştirmesi, u harfiyle gösterdiğimiz r / - r vektörü ile temsil edilecektir:

sen = x/ - x .

u adın vektör gerinim vektörü(veya yer değiştirme vektörü). u vektörü bilgisi

x i'nin bir fonksiyonu olarak cismin deformasyonunu tamamen belirler.

Bir gövde deforme olduğunda, noktaları arasındaki mesafeler değişir. Deformasyondan önce aralarındaki yarıçap vektörü dx i ise, deforme olmuş gövdede yarıçap

aynı iki nokta arasındaki vektör dx i / = dx ben + du i olacaktır. Deformasyondan önceki noktalar arasındaki mesafe şuna eşitti:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2 ,

ve deformasyondan sonra:

dl / = dx 1/2 + dx 2/2 + dx 3/2 .

Sonunda şunu elde ederiz:

dl / 2 = dl2 + 2u

∂u ben

∂uk

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x ben

∂x ben

Bu ifadeler, gövde deforme olduğunda uzunluk elemanındaki değişimi belirler. Tensör u ik denir gerinim tensörü; tanım gereği simetriktir:

u ik = sen ki .

Herhangi bir simetrik tensör gibi, her noktadaki tensör u ik şuna indirgenebilir:

ana eksenler ve vücudun her bir hacim öğesinde deformasyonun, gerinim tensörünün ana eksenleri olan üç dikey yönde üç bağımsız deformasyon seti olarak kabul edilebildiğinden emin olun. Hemen hemen tüm vücut deformasyon durumlarında, deformasyonların küçük olduğu ortaya çıkıyor. Bu, vücuttaki herhangi bir mesafedeki değişimin, mesafenin kendisine kıyasla küçük olduğu anlamına gelir. Diğer bir deyişle, nispi uzamalar birliğe kıyasla küçüktür.

Değinmeyeceğimiz bazı özel durumlar dışında, eğer cisim küçük bir deformasyona maruz kalıyorsa gerinim tensörünün tüm bileşenleri de küçüktür. Bu nedenle (4.3) ifadesinde son terim ikinci mertebeden küçük bir nicelik olarak ihmal edilebilir. Böylece, küçük gerinimler söz konusu olduğunda, gerinim tensörü aşağıdaki ifade ile belirlenir:

sen = 1			∂u ben	+ ∂u k ) .
			∂xk	∂x ben

Yani kuvvetler vücutta oluşan hareketlerin (yer değiştirmelerin) sebebi, deformasyonlar ise hareketlerin sonucudur [Khaikin, 1963, s. 176].

Klasik esneklik teorisinin temel varsayımı

Deformasyona uğramamış bir cisimde, moleküllerin dizilişi, onun termal denge durumuna karşılık gelir. Aynı zamanda tüm parçaları birbiriyle ve mekanik denge içindedir. Bu, vücudun içinde herhangi bir hacim seçilirse, diğer kısımlardan bu hacme etki eden tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.

Deforme olduğunda, moleküllerin düzeni değişir ve vücut başlangıçta bulunduğu denge durumundan çıkarılır. Sonuç olarak, vücudu bir denge durumuna döndürmeye çalışan kuvvetler ortaya çıkacaktır. Deformasyondan kaynaklanan bu iç kuvvetlere denir. iç gerilimler. Gövde deforme olmazsa, içinde iç gerilmeler olmaz.

İç gerilimler, moleküler bağlardan kaynaklanır, örn. vücut moleküllerinin birbirleriyle etkileşim kuvvetleri. Elastisite teorisi için çok önemli olan, moleküler kuvvetlerin çok küçük bir etki yarıçapına sahip olmasıdır. Etkileri, onları oluşturan parçacığın çevresine yalnızca moleküller arası mertebeden bir mesafede uzanır. Ancak, makroskopik teoride olduğu gibi, elastikiyet teorisinde, sadece moleküller arası mesafelere kıyasla büyük olan mesafeler dikkate alınır. Bu nedenle, esneklik teorisindeki moleküler kuvvetlerin "etki alanı" sıfıra eşit kabul edilmelidir. İç gerilmelere neden olan kuvvetlerin, esneklik teorisinde her noktadan sadece ona en yakın noktalara iletilen "kısa menzilli" kuvvetler olduğu söylenebilir.

Böylece klasik elastisite teorisinde cismin herhangi bir yerine onu çevreleyen parçalardan etki eden kuvvetler bu eylemi sergiler. sadece doğrudan yüzeyden vücudun bu kısmı.

Hatta esas eserin müellifi [Haikin, 1963, s. 484].

Gerilme tensörü

Tüm kuvvetlerin etkilerini yalnızca yüzey boyunca uyguladıkları sonucu, klasik esneklik teorisinin anahtarıdır. Tüm iç stres kuvvetlerinin bileşkesinin üç bileşeninin her biri için herhangi bir vücut hacmine izin verir.

∫ Fi dV (burada Fi birim hacim dV üzerine etkiyen kuvvettir) bu hacmin yüzeyi üzerinde bir integrale dönüştürülür. Bu durumda, vektör analizinden aşağıdaki gibi, Fi vektörü, ikinci sıradaki bazı tensörlerin ıraksaması olmalıdır, yani. gibi görünmek:

F ben = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

O halde belirli bir hacme etkiyen kuvvet, bu hacmi kaplayan kapalı bir yüzey üzerine bir integral olarak yazılabilir:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= / σ ik df k ,
burada vektör d f = df 2			Sf 2	yönlendirilmiş	yüzeye dış normal boyunca,

hacmi kapsayan dV .

Tensör σ ik denir Gerilme tensörü. (4.7)'den görülebileceği gibi, σ ik df k, i -incidir

yüzey elemanına etkiyen kuvvetin bileşeni d f . xy, уz, xz düzlemlerindeki yüzey elemanlarını seçerek, gerilme tensörünün σ ik bileşenini buluruz.

x k eksenine dik bir birim yüzeye etkiyen kuvvetin i'inci bileşenidir. Böylece, x eksenine dik bir birim alan üzerinde,

onun (x ekseni boyunca yönlendirilen) kuvveti σ xx ve teğetsel (y ve z eksenleri boyunca yönlendirilen)

σ yx ve σ zx kuvvetleri.

(4.7)'nin aksine, cismin tüm yüzeyine iç gerilmelerin yanından etki eden kuvvetin şu olduğuna dikkat edin:

- ∫ σ ik df k .

Cismin belirli bir hacmine etki eden M ik kuvvetlerinin momentini şu şekilde yazmak:

M ik = ∫ (F ben x k - F k x ben ) dV

ve sadece yüzey üzerinde bir integral olarak ifade edilmesini isteyerek, gerilme tensörünün simetrik olduğunu elde ederiz:

σ ik = σ ki .

Benzer bir sonuca daha basit bir şekilde varılabilir [Sivukhin, 1974, s. 383]. Yani. dM ik momenti, elementer atalet momenti ile doğru orantılıdır.

hacim dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 ve bu nedenle, (F ben x k − F k x ben )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 elde ederiz, buradan (4.8) ilişkisi otomatik olarak gelir.

Gerilim tensörünün simetrisi, her noktada asal eksenlere getirilmesine izin verir, yani her noktada, gerilim tensörü şu şekilde temsil edilebilir:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

Dengede, iç gerilmelerin kuvvetleri, vücut hacminin her bir elemanında karşılıklı olarak dengelenmelidir, yani. F ben = 0 olmalıdır. Yani denklemler

deforme olmuş bir cismin dengesi şu şekildedir:

∂σik = 0 .

∂xk

Gövde yerçekimi alanındaysa, F + ρ g iç gerilme kuvvetlerinin toplamı F ve birim hacme etki eden yerçekimi kuvveti ρ g, ρ -

cismin yoğunluğu, g serbest düşme ivmesi vektörüdür. Bu durumda denge denklemleri şu şekildedir:

∂ σ ik + ρ g ben = 0 .
∂xk

deformasyon enerjisi

Deforme olmuş bir cismi ele alalım ve deformasyon vektörünün ui küçük bir miktar δ ui değişecek şekilde değiştiğini varsayalım.

Bu durumda iç gerilme kuvvetleri tarafından yapılan işi belirleyelim. Kuvveti (4.6) yer değiştirme δ ui ile çarparak ve cismin tüm hacmi üzerinde integral alarak şunu elde ederiz:

		∫ ∂ xk
	δRdV =		∂σik	δ ui dV .

δ R sembolü, cismin birim hacmindeki iç gerilim kuvvetlerinin işini gösterir. Sonsuzda deforme olmayan sınırsız bir ortamı göz önünde bulundurarak, entegrasyon yüzeyinin sonsuza gitmesine izin vererek, o zaman σ ik = 0 üzerinde, şunu elde ederiz:

∫ δ RdV = - ∫ σ ik δ uik dV .

Böylece, şunu buluruz:

δ R = - σ ikδ sen ik .

Ortaya çıkan formül, vücudun iç enerjisindeki değişimi belirleyen gerinim tensörünü değiştirmek için yapılan işi belirler.

Rus Devlet Üniversitesi

petrol ve gaz onları. IM Gubkina

Teknik Mekanik Bölümü

SOYUT

"Elastikiyet teorisi"

Tamamlayan: Polyakov A. A.

Kontrol eden: Evdokimov A.P.

Moskova 2011

esneklik teorisi denklemi

1. Giriş

Bir vücudun bir noktasında stres-gerinim durumu teorisi

2.1 Stres teorisi

2 deformasyon teorisi

3 Elastik cisimler için gerilme ve deforme olma durumu arasındaki ilişki

Elastisite teorisinin temel denklemleri. Esneklik teorisindeki problem türleri

1 Esneklik teorisinin temel denklemleri

2 Esneklik teorisindeki problem türleri

4 Yer değiştirmelerde esneklik teorisinin denklemleri (Topal denklemler)

Esneklik teorisinin varyasyonel ilkeleri

1 Olası yer değiştirme ilkesi (Lagrange ilkesi)

2 Olası durumlar ilkesi (Castillano ilkesi)

3 Kesin çözüm ile Lagrange ve Castigliano ilkelerine dayalı olarak elde edilen çözümler arasındaki ilişki

Kullanılan literatür listesi

1. Giriş

Gerilme ve deformasyon teorileri O. Cauchy tarafından oluşturulmuştur. Bunlar, 1822'de Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan ve 1823'te bir özeti yayınlanan bir çalışmada ve sonraki birkaç makalede ortaya konmuştur. O. Koshi, temel bir tetrahedronun üç denge denklemini türetmiş, teğetsel gerilimlerin eşleştirilmesi yasasını kanıtlamış, temel eksenler ve temel gerilimler kavramlarını tanıtmış ve diferansiyel denge denklemlerini türetmiştir (genellikle bunlar, kuvvet sırasında türetilmezler. malzemeler). Ayrıca, yönleri alanlara normallerin yönüyle çakışan ve değeri karekök ile ters orantılı olan yarıçap vektörlerinin uçlarının yerleştirildiği normal gerilmelerin yüzeyini (Cauchy karesi) tanıttı. Bu alandaki normal gerilmenin mutlak değeri ve bu yüzeyin orijinde merkezli ikinci dereceden yüzey olduğu kanıtlanmıştır. Normal gerilmelerin yüzeyinin asal eksenlere dönüştürülmesi olasılığı, her noktada karşılıklı olarak üç asal dik alanın varlığını gösterir.

Benzer bir kayma gerilimi yüzeyi, Rus tamirci G.V. 1933'te Kolosov

Gerilme durumunun uzayda gerilme elipsoidi şeklinde geometrik yorumu, G. Lame ve B. Clapeyron tarafından 1828'de Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan ve 1833'te yayınlanan anılarında verildi.

Ana eksenden geçen bir dizi platform için bir düzlem üzerindeki gerilme durumunun bir gerilme çemberi şeklinde geometrik temsili, K. Kuhlman tarafından 1866'da kitabında önerildi.

Gerilme durumunun genel durumu için, 1882'de O. Mohr (sözde dairesel Mohr diyagramı) tarafından düzlem üzerinde çok net bir geometrik yorum verildi. Buradan, hakkında bir dizi önemli sonuç çıkarılabilir. asal gerilmelerin uç noktaları, teğetsel gerilmelerin maksimum olduğu alanların konumu ve bu maksimum kayma gerilmelerinin yaklaşık değerleri.

O. Cauchy, gerinimlerin bir tanımını verdi, küçük gerinimlerin özel durumunda yer değiştirmelere bağımlılıklarını türetti (bu bağımlılıklar, kural olarak, malzemelerin direnci sırasında türetilmez), asal gerilmeler ve asal gerilmeler kavramlarını tanımladı. izotropik ve anizotropik elastik cisim için olduğu gibi, gerilme bileşenlerinin gerinim bileşenlerine bağımlılıklarını elde etti. Malzemelerin direncinde, izotropik bir cisim için gerilme bileşenlerinin gerinim bileşenlerinin bağımlılıkları genellikle belirlenir. Bunlara genelleştirilmiş Hooke yasası denir, ancak elbette bu isim keyfidir, çünkü R. Hooke stres kavramını bilmiyordu.

Bu bağımlılıklarda, Cauchy önce iki sabit tanıttı ve gerilmelerin gerilmelere olan bağımlılıklarını şu şekilde yazdı:

M, ,

Ancak daha sonra O. Koshi, L. Navier konseptini benimsedi. Buna göre, elastik cisimler, deformasyon sırasında molekülleri birbirine bağlayan düz çizgiler yönünde hareket eden ve moleküller arasındaki mesafelerdeki değişiklikle orantılı olan kuvvetlerin ortaya çıktığı moleküllerden oluşur. O halde anizotropik bir cismin genel durumu için elastik sabitlerin sayısı 15'tir ve izotropik bir cisim için bir elastik sabit elde ederiz. S. Poisson bu hipoteze bağlı kaldı ve başlangıçta - G. Lame ve B. Clapeyron. Buna dayanarak Poisson, enine gerinim katsayısının 1/4 olduğunu buldu.

1839'da D. Green, elastik cisimlerin moleküler yapısının hipotezini kullanmadan gerinimler ve gerilmeler arasındaki ilişkiyi türetmiştir. Bunları, elastik potansiyel kavramını tanıtarak enerjinin korunumu ilkesine dayanarak elde etti ve altı gerinim bileşeninin altı gerilim bileşeni üzerindeki doğrusal bağımlılıklarını kullanırken, 36 katsayıdan 21'inin bağımsız olduğunu, yani genel durumda olduğunu gösterdi. anizotropik bir cisim için, elastik sabitlerin sayısı 21'dir. İzotropik bir cisim için, elastik sabitlerin sayısı ikiye düşürülür. Anizotropik bir cisim için elastik sabitlerin sayısının 15 ve izotropik bir cisim için 1 olduğu bir teori bazen "nadir sabit" veya "tek sabitsiz" olarak adlandırılır ve anizotropik bir cisim için elastik sabitlerin sayısının olduğu bir teori 21 ve izotropik 2 için - "çoklu sabit" .

Bu teorilerin destekçileri arasındaki anlaşmazlık, fizikçileri deneysel araştırmalara sevk etti.

G. Wertheim, eksenel gerilimde cam ve metal boruların iç hacimlerinin ölçümlerine dayanarak, 1848'de enine deformasyon katsayısının 1/4'e eşit olmadığını belirledi. Çeşitli malzemeler için farklı değerlendirdi, ancak birçok malzeme için 1/3'e yakındı.

VE BEN. Kupffer, 1853'te metal çubukları çekme ve burulma için test ederken, ayrıca kesme ve çekmedeki modül oranının 1/4'e eşit bir enine gerinime karşılık gelmediğini de buldu.

1855'te F. Neumann, bükülme için dikdörtgen kesitli numuneleri test etti ve kirişin iki yüzünün dönme açılarını ölçtü (kesit yamuk şeklini alır). Sonuç olarak, enine deformasyon katsayısının 1/4'e eşit olmadığını gösterdi. F. Neumann'ın öğrencisi G. Kirchhoff, 1859'da bir ucu sızdırmaz ve diğer ucu konsantre bir kuvvetle yüklenmiş yuvarlak pirinç çubukların eklem bükülmesi ve burulması için yapılan testlere dayanarak aynı sonuca vardı. çubuğun bükülme açısının ve bölümün dönme açısının ölçülmesi.

Çeşitli çelik sınıfları için enine deformasyon katsayılarına ilişkin geniş bir deneysel çalışma, G. Kirchhoff, M.F.'nin öğrencilerinden biri tarafından gerçekleştirildi. 1865 - 1866'da Okatov Sonuçlar doktora tezinde verilmektedir.Tek kristallerden kesilmiş ince prizmaların burulma ve eğilme testleri ile kristallerin düzgün eşit sıkıştırma altında sıkıştırılabilirlik testleri V. Voigt tarafından yapılmış ve daha sonra sayısız makalesinde açıklanmıştır. 1910'da yayınlanan bir kitapta bir araya gelerek çoklu sabit teorisinin doğruluğunu onayladılar.

Anizotropik cisimler için Hooke yasasının matematiksel yapısına ilişkin derin bir çalışma, mekanik ve mühendis Jan Rychlevsky tarafından 1984 yılında tanıttığı elastik özdurum kavramı temelinde gerçekleştirildi. Özellikle, 21 elastik sabitin altı gerçek sertlik modülünü, 12 sertlik dağıtıcısını ve üç açıyı temsil ettiğini gösterdi.

2. Bir cismin bir noktasındaki gerilim-uzama durumu teorisi

1 Stres teorisi

Elastik bir cisim yüklendiğinde ortaya çıkan iç kuvvet faktörleri, vücudun belirli bir bölümünün durumunu karakterize eder, ancak enine kesitin hangi noktasının en yüklü olduğu veya dedikleri gibi tehlikeli nokta olduğu sorusuna cevap vermez. Bu nedenle, belirli bir noktada vücudun durumunu karakterize eden bazı ek nicelikleri dikkate almak gerekir.

Dış kuvvetlerin uygulandığı bir cisim dengede ise, herhangi bir bölümünde iç direnç kuvvetleri oluşur. Temel alana etki eden iç kuvvetle ve bu alana normal olan değerle gösterin

tam voltaj denir.

Genel durumda, toplam gerilim, temel alanın normali ile aynı yönde çakışmaz, bu nedenle bileşenleriyle koordinat eksenleri boyunca çalışmak daha uygundur -

Dış normal herhangi bir koordinat ekseniyle, örneğin X ekseni ile çakışırsa, o zaman gerilim bileşenleri şeklini alırken, bileşen kesite dik olur ve normal gerilim olarak adlandırılır ve bileşenler içinde uzanır kesit düzlemi ve kesme gerilmeleri olarak adlandırılır.

Normal ve kesme gerilimlerini kolayca ayırt etmek için genellikle diğer gösterimler kullanılır: - normal gerilim, - kayma.

Dış kuvvetlerin etkisi altındaki vücuttan, yüzleri koordinat düzlemlerine paralel olan ve kenarları uzun olan sonsuz küçük bir paralel yüzlü seçelim. Böyle bir temel paralelyüzün her yüzünde, koordinat eksenlerine paralel olan üç gerilme bileşeni vardır. Toplamda, altı yüzde 18 stres bileşeni elde ediyoruz.

Normal gerilmeler, indeksin karşılık gelen yüze normali gösterdiği (yani, değerleri alabileceği) olarak gösterilir. Kayma gerilmeleri şu şekildedir; burada birinci indeks, verilen kayma gerilmesinin etki ettiği sahanın normaline karşılık gelir ve ikincisi, bu gerilmenin yönlendirildiği paralel ekseni gösterir (Şekil 1).

Şekil 1. Normal ve kesme gerilmeleri

Bu gerilimler için aşağıdaki işaret kuralı benimsenmiştir. Normal gerilme, gerilimde veya eşdeğer olarak, etki ettiği sahanın dış normalinin yönü ile çakıştığında pozitif olarak kabul edilir. Teğetsel stres, normalde kendisine paralel koordinat ekseninin yönü ile çakışan sahada, bu gerilime karşılık gelen pozitif koordinat eksenine doğru yönlendirilirse pozitif olarak kabul edilir.

Gerilme bileşenleri, üç koordinatın fonksiyonlarıdır. Örneğin, bir noktadaki normal gerilme koordinatlarla gösterilebilir.

İncelenmekte olandan sonsuz küçük bir mesafede olan bir noktada, birinci mertebeden sonsuz küçüklere kadar olan gerilim bir Taylor serisinde genişletilebilir:

Düzleme paralel olan platformlar için sadece x koordinatı değişir ve artışlar Bu nedenle, paralelyüzün düzlemle çakışan yüzünde normal gerilme olacaktır. Bu nedenle, 18 voltaj bileşeninden sadece dokuzu bilinmiyor.

Elastikiyet teorisinde, karşılıklı olarak dik iki alan boyunca, bu alanların kesişme hatlarına dik olan kayma gerilmelerinin bileşenlerinin birbirine eşit olduğu, kayma gerilmelerinin eşleşme yasası kanıtlanmıştır:

Eşitlikler (2), vücudun bir noktasındaki stres durumunu karakterize eden dokuz stres bileşeninden sadece altısının kalmasına yol açar:

Streslerin (3) sadece vücudun belirli bir noktadaki stres durumunu karakterize etmekle kalmayıp, onu benzersiz bir şekilde belirlediği gösterilebilir. Bu gerilimlerin kombinasyonu, gerilim tensörü olarak adlandırılan simetrik bir matris oluşturur:

(4)

Bir tensörü skaler bir değerle çarparken, tüm bileşenleri orijinal tensörün bileşenlerinden kat kat daha büyük olan yeni bir tensör elde edilir.

2 deformasyon teorisi

Dış yüklerin etkisi altında elastik gövde şeklini değiştirir ve deforme olur. Bu durumda, vücudun noktaları yeni bir pozisyon alır. Elastik bir cismin deformasyonunu belirlemek için, cismin noktalarının yükün uygulanmasından önceki ve sonraki konumlarını karşılaştırırız.

Yüksüz bir cismin bir noktasını ve yükün uygulanmasından sonraki yeni konumunu ele alalım. Vektör, nokta yer değiştirme vektörü olarak adlandırılır (Şekil 2).

İncir. 2. Nokta hareketli vektör

İki tür yer değiştirme mümkündür: tüm vücudun bir bütün olarak deformasyon olmadan yer değiştirmesi - bu tür yer değiştirmeler teorik mekanik tarafından kesinlikle katı bir cismin yer değiştirmeleri olarak incelenir ve vücudun deformasyonuyla ilişkili yer değiştirme - bu tür yer değiştirmeler teori tarafından incelenir esneklik.

Nokta yer değiştirme vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerini sırasıyla belirtelim. Noktaların karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşittirler ve :

ve koordinatların fonksiyonlarıdır:

Cismin deformasyonu, çeşitli noktalarının yer değiştirmelerindeki farklılıktan kaynaklanır. Kenarları keyfi bir noktanın yakınında elastik bir gövdeden kesilmiş sonsuz küçük bir paralelyüz, noktalarının çeşitli yer değiştirmeleri nedeniyle, kenarlarının uzunluğu değişecek ve yüzler arasındaki başlangıçta dik açılar bozulacak şekilde deforme olur.

Şekil 3.3 bu paralelyüzün iki kenarını göstermektedir: ve kenarın uzunluğu eşittir ve kenar

Deformasyondan sonra noktalar bir pozisyon alır.Bu durumda nokta, çizim düzlemindeki bileşenleri eşit olan bir yer değiştirme alır ve noktadan sonsuz küçük bir mesafede ayrılan nokta bir yer değiştirme alır, koordinattaki bir değişiklik nedeniyle bileşenleri nokta yer değiştirme bileşenlerinden sonsuz küçük bir değerle farklı olacak

Şek. 3. Doğrusal ve açısal deformasyonlar

Nokta yer değiştirmenin bileşenleri, koordinattaki bir değişiklik nedeniyle nokta yer değiştirmenin bileşenlerinden sonsuz küçük bir değerle farklı olacaktır.

Deformasyondan sonra nervürün eksen üzerindeki izdüşümünün uzunluğu:

Nervürün mutlak uzamasının eksen üzerindeki izdüşümü

Eksen boyunca bağıl uzama

(6)

eksen yönünde doğrusal deformasyon olarak adlandırılır.

Benzer şekilde, eksenlerin yönleri boyunca doğrusal deformasyonlar ve

(7)

Paralel borunun kenarları arasındaki açılardaki değişimi göz önünde bulundurun (Şek. 3). Düzlemde nervürün dönme açısının tanjantı

a deformasyonlarının küçüklüğünden dolayı, lineer deformasyon birliğe kıyasla küçük olması nedeniyle ihmal edilebilir ve sonra

Benzer şekilde, nervürün dönme açısını aynı düzlemde belirleyebilirsiniz:

Dik açının bozulmasına açısal deformasyon denir ve nervürlerin dönme açılarının toplamı olarak tanımlanır ve:

(8)

Aynı şekilde diğer iki koordinat düzlemindeki açısal deformasyonlar belirlenir:

(9)

Formüller (6)-(9), yer değiştirme bileşenlerinde doğrusal ve açısal deformasyonlar için altı temel bağımlılık verir. Bu bağımlılıklar Cauchy denklemleri olarak adlandırılır:

(10)

Paralel borunun kenar uzunluklarının sıfıra yaklaştığı limitte, Cauchy bağıntıları nokta civarındaki doğrusal ve açısal deformasyonları belirler.

Pozitif doğrusal deformasyonlar uzamalara, negatif olanlar ise kısalmalara karşılık gelir. Kayma açısı, karşılık gelen koordinat eksenlerinin pozitif yönleri arasındaki açı azaldığında pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir.

Gerilme tensörüne benzer şekilde, vücudun belirli bir noktadaki deforme olmuş durumu gerinim tensörü ile tanımlanır.

(11)

Gerilme tensörü gibi, gerinim tensörü de altısı farklı olan dokuz bileşen içeren simetrik bir matristir.

2.3 Elastik cisimler için gerilme ve şekil değiştirme arasındaki ilişki

Gerilmeler ve gerinimler arasındaki ilişkiler fiziksel niteliktedir. Küçük gerinimlerle sınırlı, gerilimler ve gerinimler arasındaki ilişki doğrusal olarak kabul edilebilir.

Bir çubuk çekmede test edilirken (malzemelerin mekanik testi bir sonraki bölümde ayrıntılı olarak ele alınacaktır), normal gerilim ile bir yöndeki doğrusal deformasyon arasında Hooke yasası adı verilen orantılı bir ilişki kurulur:

burada elastik sabite boyuna elastikiyet modülü denir.

Aynı deneysel yolla, boyuna ve enine yönlerde doğrusal deformasyonlar arasında bir ilişki kurulmuştur:

burada - enine yönde doğrusal deformasyon, - Poisson oranı olarak adlandırılan ikinci elastik sabit.

Saf kesme için yapılan mekanik testlerde, kesme gerilimi ile bu gerilimin etki düzlemindeki açısal deformasyon arasında doğrudan orantılı bir ilişki kurulmuştur ve buna kesmede Hooke yasası adı verilir:

değer üçüncü elastik sabittir ve kayma modülü olarak adlandırılır. Ancak bu elastik sabiti bağımsız değildir, çünkü ilk ikisi ile ilgili

Gerinimler ve gerilimler arasındaki ilişkiyi kurmak için, gövdeden sonsuz küçük bir paralelyüz seçiyoruz (Şekil 1) ve sadece normal gerilimlerin etkisini göz önünde bulunduruyoruz. daha yüksek bir küçüklük mertebesinde deformasyonlara yol açar.

Nervürün gerilime paralel uzamasını belirleyelim Bu gerilimin etkisi altında, Hooke yasasına (3.12) göre, nervürde nispi uzama meydana gelecektir.

Stres, kaburgaya dik yönde benzer bir uzamaya neden olur

ve nervür yönünde - (13)'e göre olan kısalma

veya deformasyon ifadesini dikkate alarak

Benzer şekilde, nervürün gerilme etkisi altındaki nispi kısalması belirlenir.

Kuvvetlerin etkisinin bağımsızlığı ilkesine dayanarak, nervürün toplam bağıl uzaması, her bir gerilimin etkisinden kaynaklanan uzamaların toplamı olarak tanımlanabilir:

Benzer şekilde, diğer iki eksenin yönleri boyunca doğrusal deformasyonlar tanımlanabilir:

Hooke'un kesme yasasına (14) uygun olarak, açısal deformasyonlar ve kayma gerilmeleri arasındaki ilişki, koordinat düzlemlerine paralel üç düzlemin her biri için bağımsız olarak temsil edilebilir:

Böylece, izotropik elastik bir cisimdeki gerinim ve gerilme bileşenleri arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ifade eden ve genelleştirilmiş Hooke yasası olarak adlandırılan altı formül elde edilmiştir:

(16)

3. Elastisite teorisinin temel denklemleri. Esneklik teorisindeki problem türleri

Elastisite teorisinin ana görevi, verilen yükleme ve cismin sabitlenme koşullarına göre gerilme-uzama durumunun belirlenmesidir.

Gerilme-gerinim durumu, gerilme tensör(ler)inin ve yer değiştirme vektörünün bileşenleri, dokuz fonksiyon bulunursa belirlenir.

3.1 Esneklik teorisinin temel denklemleri

Bu dokuz fonksiyonu bulmak için, esneklik teorisinin temel denklemlerini yazmak gerekir veya:

Diferansiyel Kartuşları

(17)

Cauchy deformasyonlarının doğrusal kısmının tensörünün bileşenleri nerede;

yarıçap boyunca yer değiştirmenin türevinin tensörünün bileşenleri.

diferansiyel denge denklemleri

stres tensör bileşenleri nerede; vücut kuvvetinin j ekseni üzerindeki izdüşümüdür.

Lineer elastik izotropik bir cisim için Hooke yasası

Lame sabitleri nerede; izotropik bir cisim için. İşte normal ve kayma gerilmeleri; sırasıyla gerinim ve kayma açıları.

Yukarıdaki denklemler, Saint-Venant bağımlılıklarını sağlamalıdır.

Esneklik teorisinde, tüm temel denklemler sağlanırsa problem çözülür.

2 Esneklik teorisindeki problem türleri

Cismin yüzeyindeki sınır koşulları sağlanmalıdır ve sınır koşullarının türüne bağlı olarak, elastisite teorisinde üç tür problem vardır.

İlk tip. Kuvvetler cismin yüzeyine verilir. sınır koşulları

İkinci tip. Yer değiştirmenin vücut yüzeyinde belirtildiği problemler. sınır koşulları

Üçüncü tip. Esneklik teorisinin karışık problemleri. Kuvvetler cisim yüzeyinin bir kısmına, yer değiştirme cisim yüzeyinin bir kısmına verilir. sınır koşulları

Kuvvetlerin veya yer değiştirmelerin cismin yüzeyinde belirtildiği, ancak cismin içindeki gerilme-gerinim durumunu bulmak için gerekli olan ve yüzeyde belirtilmeyen problemlere doğrudan problemler denir. Ancak, gövde içinde gerilmeler, deformasyonlar, yer değiştirmeler vb. belirtilmişse ve gövde içinde belirtilmeyenlerin yanı sıra gövde yüzeyindeki yer değiştirmeler ve gerilmelerin de belirlenmesi (yani bulmak için) isteniyorsa böyle bir stres-gerilme durumuna neden olan nedenler), o zaman bu tür sorunlara ters denir.

4 Yer değiştirmelerde esneklik teorisinin denklemleri (Topal denklemler)

Yer değiştirmelerde esneklik teorisinin denklemlerini belirlemek için şunları yazarız: diferansiyel denge denklemleri (18) Lineer elastik izotropik bir cisim için Hooke yasası (19)

Deformasyonların yer değiştirmeler (17) cinsinden ifade edildiğini dikkate alırsak, şunu yazarız:

Ayrıca, kayma açısının yer değiştirmelerle aşağıdaki ilişkiyle ilişkili olduğu da hatırlanmalıdır (17):

(23)

İfadeyi (22) ilk eşitlik denklemine (19) koyarak, normal gerilmeleri elde ederiz.

(24)

Bu durumda u notasyonunun i üzerinde toplama anlamına gelmediğine dikkat edin.

İfadeyi (23) ikinci eşitlik denklemine (19) koyarak, kayma gerilmelerini elde ederiz.

(25)

Denge denklemlerini (18) j = 1 için genişletilmiş biçimde yazalım.

(26)

Normal (24) ve teğetsel (25) gerilmeler için denklem (26) ifadelerini değiştirerek şunu elde ederiz:

burada λ, şu ifadeyle belirlenen Lame sabitidir:

İfadeyi (28) denklem (27) ile değiştiriyoruz ve yazıyoruz,

burada ifade (22) ile veya genişletilmiş biçimde belirlenir

(29) ifadesini G'ye bölüp benzer terimleri toplarız ve ilk Lame denklemini elde ederiz:

(30)

olarak tanımlanan Laplace operatörü (harmonik operatör) nerededir?

(31)

Benzer şekilde şunları elde edebilirsiniz:

(32)

Denklemler (30) ve (32) aşağıdaki gibi yazılabilir:

(33)

Denklemler (33) veya (30) ve (32), Lame denklemleridir. Vücut kuvvetleri sıfır veya sabit ise, o zaman

(34)

ayrıca, bu durumda gösterim, i üzerinden toplama anlamına gelmez. Burada

Yer değiştirmelerin harmonik bir fonksiyon cinsinden böyle bir temsilinin, Lame denklemlerini (33) bir özdeşliğe dönüştürdüğü gösterilebilir. Genellikle Popkovich-Grodsky koşulları olarak adlandırılırlar. φ0 sıfıra eşitlenebileceğinden dört harmonik fonksiyon gerekli değildir.

4. Elastisite Teorisinin varyasyonel ilkeleri.

1 Olası yer değiştirme ilkesi (Lagrange ilkesi)

Lagrange ilkesi. Denge halindeki bir cisim için, olası sonsuz küçük yer değiştirme artışları üzerindeki dış ve iç kuvvetlerin işi sıfırdır.

Clapeyron teoremini kullanarak, yer değiştirmeyi değiştirerek elastik olarak deforme olmuş bir cisim için Lagrange ilkesini elde ederiz.

Deforme olabilen cisimlerin mekaniğinde, cisme dayatılan dış ve iç kısıtlamaları karşılayan bu tür yer değiştirmeler mümkündür.

Dış bağlantılar sabitleme şartı, iç bağlantılar süreklilik şartıdır.

Dahili kısıtlamaları karşılamak için, yer değiştirme artışlarının koordinatların sürekli tek değerli fonksiyonları olması gerekir.

Bu formda, Lagrange ilkesi deforme olabilen tüm cisimler için geçerlidir.

Elastik cisimler için şu elde edildi:

(41)

O zaman (40), (41) dikkate alınarak şu şekilde yazılabilir:

(42)

burada W spesifik suştur ve

Burada U, vücudun tüm potansiyel enerjisinin bir varyasyonudur.

(43) ifadesini (42) ile değiştiriyoruz ve kuvvetler değişmediği için şunu yazıyoruz:

(44)

Denklem (44), varyasyonel bir Lagrange denklemidir.

Kuvvetler korunumlu ise, ilk iki integral, deforme olmayan durumdan deforme olana geçiş sırasında dış kuvvetlerin potansiyelindeki değişimi temsil eder.

Dış kuvvetlerin potansiyeli

(45)

burada - deforme olmamış durumdan deforme olmuş duruma geçiş sırasında dış kuvvetlerin olası çalışması, dış kuvvetlerin değişmeden kaldığı varsayımı altında hesaplanır. Sistemin toplam enerjisi

Daha sonra (44) - (46) ifadeleri dikkate alınarak Lagrange ilkesi yazılacaktır:

yani denge konumunda sistemin toplam enerjisinin olası yer değiştirmelerdeki değişimi sıfıra eşittir. İfade (47), yalnızca korunumlu kuvvetlerin etkisi durumundaki varyasyonel Lagrange denklemidir.

Kararlı denge konumunda, toplam enerji P minimumdur,

Lagrange ilkesi minimum enerji ilkesidir.

2 Olası durumlar ilkesi (Castillano ilkesi)

Dış ve iç kuvvetlere uygun olan, yani denge denklemlerini sağlayan olası durumlar diyeceğiz.

Denklem (57) Castigliano İlkesini yazar. Cismin gerilme durumundaki olası değişikliklerde, varyasyon, vücut yüzeyinin, olası yüzey kuvvetleri ve yer değiştirmelerin çarpımlarından yer değiştirmelerin verildiği kısmı üzerindeki integrale eşittir.

3 Kesin çözüm ile Lagrange ve Castigliano ilkelerine dayalı olarak elde edilen çözümler arasındaki ilişki

Lagrange ilkesine dayanarak, bazı fonksiyonları veya bir dizisini seçerek ve fonksiyonlar kümesi sınırlı olduğundan, sistemin daha az sayıda serbestlik derecesini elde ederiz, böylece yapının serbestlik derecesini azaltırız. Yani, enerji anlamında, çözüm kesin olandan daha katı çıkıyor.

İntegral özelliklerini alırsak, yaklaşık çözüm daha katı bir integraldir.

Menteşeli bir kirişi açıklığın ortasında enine bir kuvvetle yükleme problemini çözerken (Şekil 1), yaklaşık çözüm, kuvvet altında kesin çözümden daha küçük bir yer değiştirme verecektir.

kesin çözüm

Aynı problemi Castigliano varyasyon ilkesini kullanarak çözerken, süreklilik koşulu sağlanmadığı için sistem gerçekte olduğundan daha fazla özgürlüğe kavuşur.

Kesin çözüm, bu iki yaklaşık yöntem (Lagrange ve Castigliano) arasındadır. Bazen elde edilen çözümler arasındaki fark küçüktür.

5. Kullanılan literatür listesi

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Elastisite ve plastisite teorisinin temelleri. 400 sayfa Lise 1990.

2. Veretimus D.K. Elastikiyet teorisinin temelleri Bölüm I. Stres teorisi "Elastikiyet ve plastisite teorisinin temelleri" kursu için metodolojik rehber. 2005.-37s.

Veretimus D.K. Elastisite teorisinin temelleri Kısım II Deformasyon teorisi. Gerilmiş ve deforme olmuş durum arasındaki ilişki "Elastikiyet ve plastisite teorisinin temelleri" kursu için metodolojik rehber, 2005.-53s.

Veretimus D.K. Elastikiyet teorisinin temelleri Bölüm III.Elastikiyet teorisinin temel denklemleri Elastikiyet teorisindeki problem türleri "Elastikiyet ve plastisite teorisinin temelleri" dersi için metodolojik rehber, 2005.-45s.