Periyodik bir dizinin spektrumu. Bir dizi dikdörtgen darbenin spektrumu

2. Periyodik dikdörtgen darbe dizisinin spektrumu

Şekil 2'de gösterilen dikdörtgen darbelerin periyodik sırasını düşünün. 5. Bu sinyal, darbe süresi, genliği ve periyodu ile karakterize edilir. Stres dikey eksen boyunca çizilir.

Şekil 5. Dikdörtgen darbelerin periyodik dizisi

Nabzın ortasındaki başlangıç ​​noktasını seçiyoruz. Daha sonra sinyal yalnızca kosinüs cinsinden genişletilir. Harmonik frekanslar n/T'dir, burada N- herhangi bir tamsayı. (1.2.)'ye göre harmonik genlikler eşit olacaktır:

Çünkü V(t)=e darbe süresi nerede ve V(t)=0'da, o zaman

Bu formülü şu şekilde yazmak uygundur:

(2.1.)

Formül (1.5.), n'inci harmoniğin genliğinin periyoda ve süreye bağımlılığını sürekli bir fonksiyon (fonksiyon) şeklinde verir. ). Bu fonksiyona spektrum zarfı denir. Yalnızca karşılık gelen harmoniklerin mevcut olduğu frekanslarda fiziksel bir anlam taşıdığı unutulmamalıdır. İncirde. Şekil 6, periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin spektrumunu göstermektedir.

Şekil 6. Periyodik bir dizinin spektrumu

dikdörtgen darbeler.

Zarfı oluştururken şunu kastediyoruz:

Frekansın salınımlı bir fonksiyonudur ve payda artan frekansla monoton olarak artar. Bu nedenle, kademeli olarak azalan yarı salınımlı bir fonksiyon elde edilir. Frekans sıfıra yaklaştıkça hem pay hem de payda sıfıra yaklaşır ve oranları birliğe doğru yönelir (birinci klasik limit). Zarfın sıfır değerleri, yani.

Nerede M– bir tamsayı (hariç)M

Periyodik dikdörtgen video darbeleri dizisi, hareketli hedeflerin koordinatlarını tespit etmek ve ölçmek için sondalama sinyalleri olan periyodik bir dikdörtgen radyo darbeleri dizisinin (PPRP) oluşturulmasına yönelik bir modülasyon işlevidir. Bu nedenle, modülasyon fonksiyonunun (PPVI) spektrumunu kullanarak, araştırma sinyalinin (PPVI) spektrumunu nispeten basit ve hızlı bir şekilde belirlemek mümkündür. Hareketli bir hedeften bir tarama sinyali yansıtıldığında, taşıyıcı dalganın harmonik spektrumunun frekansları değişir (Doppler etkisi). Sonuç olarak, sabit nesnelerden (yerel nesneler) veya yavaş hareket eden nesnelerden (meteorolojik oluşumlar, kuş sürüleri vb.) yansıyan girişim (girişim) titreşimlerinin arka planına karşı hareketli bir hedeften yansıyan yararlı bir sinyali tanımlamak mümkündür. .

PPPVI (Şekil 1.42), eşit zaman aralıklarında birbirini takip eden bir dizi tek dikdörtgen video darbesidir. Sinyalin analitik ifadesi.

darbe genliği nerede; – darbe süresi; – darbe tekrarlama süresi; – darbe tekrarlama oranı, ; - görev döngüsü.

Periyodik darbe dizisinin spektral bileşimini hesaplamak için Fourier serisi kullanılır. Periyodik bir dizi oluşturan tek darbelerin bilinen spektrumlarıyla, darbelerin spektral yoğunluğu ile serinin karmaşık genlikleri arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz:

Tek bir dikdörtgen video darbesi için spektral yoğunluk aşağıdaki formülle tanımlanır:

Tek bir darbenin spektral yoğunluğu ile serinin karmaşık genlikleri arasındaki ilişkiyi kullanarak şunu buluruz:

burada = 0; ± 1; ± 2; ...

Genlik-frekans spektrumu (Şekil 1.43) bir dizi bileşenle temsil edilecektir:

bu durumda, pozitif değerler sıfır başlangıç ​​aşamalarına karşılık gelir ve negatif değerler, eşit başlangıç ​​aşamalarına karşılık gelir.

Dolayısıyla PPPVI'nın analitik ifadesi şuna eşit olacaktır:

Şekil 1.43'te gösterilen grafiklerin analizinden şu sonuç çıkmaktadır:

· PPPVI spektrumu ayrıktır ve frekanslı bireysel harmoniklerden oluşur.

· ASF zarfı yasaya göre değişmektedir.

· Zarfın maksimum değeri, sabit bileşenin değerine eşittir.

· Tek loblarda harmoniklerin başlangıç ​​fazları çift loblarda 0'a eşittir.

· Her lob içindeki harmoniklerin sayısı eşittir.

Sinyal enerjisinin %90'ında sinyal spektrumu genişliği

· Sinyal tabanı, dolayısıyla sinyal basittir.

Darbelerin süresini veya tekrarlanma sıklığını değiştirirseniz F(dönem), ardından spektrumun parametreleri ve ASF'si değişecektir.

Şekil 1.43, darbe süresi iki katına çıktığında sinyalde ve onun ASF'sinde meydana gelen değişikliğin bir örneğini göstermektedir.

Dikdörtgen video darbelerinin periyodik dizileri ve bunların ASF parametreleri, T,. Ve , TŞekil 1.44'te gösterilmektedir.

Verilen grafiklerin analizinden şu sonuç çıkıyor:

1. Darbe süreli PPPVI için:

· Görev oranı Q=4, dolayısıyla her lobda 3 harmonik yoğunlaşmıştır;

· K-th harmoniğinin frekansı;

· %90 enerji seviyesinde sinyal spektrumu genişliği;

Sabit bileşen eşittir

2. Darbe süreli PPPVI için:

· Görev oranı q= 2, dolayısıyla her lobun içinde 1 harmonik vardır;

· K'inci harmoniğin frekansı değişmeden kalır;

· Enerjisinin %90'ı seviyesindeki sinyal spektrum genişliği 2 kat azaldı;

· Sabit bileşen 2 kat arttı.

Böylece, artan darbe süresiyle, ASF'nin ordinat ekseni boyunca "sıkıştırıldığı" (sinyal spektrumunun genişliği azalırken), spektral bileşenlerin genliklerinin arttığı sonucuna varabiliriz. Harmonik frekanslar değişmez.

Şekil 1.44'te. Tekrarlama periyodunda 4 kat artış (tekrar oranında 4 kat azalma) ile sinyalde ve ASF'sinde bir değişiklik örneği sunulmaktadır.

c) enerjisinin %90'ı seviyesindeki sinyal spektrumunun genişliği değişmedi;

d) sabit bileşen 4 kat azalmıştır.

Böylece, tekrarlama periyodundaki bir artışla (tekrarlama frekansında bir azalma), ASF'de frekans ekseni boyunca “sıkıştırma” meydana geldiği (harmoniklerin genlikleri, her lob içindeki sayıları arttıkça azalır) sonucuna varabiliriz. . Sinyal spektrumunun genişliği değişmez. Tekrarlama frekansındaki daha fazla azalma (tekrar periyodundaki artış), ('de) harmoniklerin genliklerinde sonsuz küçük değerlere bir azalmaya yol açacaktır. Bu durumda sinyal tek bir sinyale dönüşecek ve buna bağlı olarak spektrum sürekli hale gelecektir.

Periyodu T, darbe süresi t u ve maksimum değeri olan periyodik bir dikdörtgen darbe dizisini ele alalım. Şekil 2'de gösterildiği gibi koordinatların kökenini seçerek böyle bir sinyalin seri açılımını bulalım. 15. Bu durumda fonksiyon ordinat eksenine göre simetriktir. sinüzoidal bileşenlerin tüm katsayıları = 0 ve yalnızca katsayıların hesaplanması gerekir.

sabit bileşen

(2.28)

Sabit bileşen, dönem boyunca ortalama değerdir; nabzın alanı tüm periyoda bölünür, yani. yani katı bir resmi hesaplamada olanla aynı şey (2.28).

İlk harmoniğin frekansının ¦ 1 = olduğunu hatırlayalım, burada T dikdörtgen sinyalin periyodudur. Harmonikler arasındaki mesafe D¦=¦ 1. Harmonik sayısı n, sinüsün argümanı olacak şekilde çıkarsa, bu harmoniğin genliği ilk kez sıfıra gider. Bu koşul sağlandığında sağlanır. Genliğinin ilk kez sıfırlandığı harmonik sayıya ne ad verilir? "ilk sıfır" ve bu harmoniğin özel özelliklerini vurgulayarak onu N harfiyle belirtin:

Öte yandan, darbelerin görev döngüsü S, T periyodunun darbe süresine t u oranıdır, yani. . Bu nedenle “ilk sıfır” sayısal olarak darbenin görev döngüsüne eşittir. N=S. Argümanın p'nin katı olan tüm değerleri için sinüs sıfıra gittiğinden, "ilk sıfır" sayısının katları olan tüm harmoniklerin genlikleri de sıfıra gider. Yani, nerede k– herhangi bir tamsayı. Dolayısıyla, örneğin (2.22) ve (2.23)'ten görev çevrimi 2 olan dikdörtgen darbelerin spektrumunun yalnızca tek harmoniklerden oluştuğu sonucu çıkar. Çünkü S=2, Daha sonra N=2 yani ikinci harmoniğin genliği ilk kez sıfıra gider - bu "ilk sıfırdır". Ancak 2'ye bölünebilen sayılarla diğer tüm harmoniklerin genlikleri, yani. tüm çift olanlar da sıfıra gitmelidir. Görev döngüsü S=3 ile sıfır genlikler 3, 6, 9, 12, ... harmoniklerde olacaktır.

Görev çevrimi arttıkça “ilk sıfır” daha yüksek sayılı harmoniklerin olduğu bölgeye kayar ve dolayısıyla harmonik genliklerindeki azalma oranı azalır. Birinci harmoniğin genliğinin basit hesaplanması Hımm=100V görev döngüsü için S=2, U m 1=63,7V, S=5, U m 1=37,4V ve S=10, U m 1=19,7V, yani. Görev çevrimi arttıkça ilk harmoniğin genliği keskin bir şekilde azalır. Örneğin 5. harmoniğin genlik oranını bulursak U m 5 ilk harmoniğin genliğine U m 1, bundan dolayı S=2, U m 5/U m 1=0,2 ve için S=10, U m 5 / U m 1 = 0,9, yani Daha yüksek harmoniklerin zayıflama oranı, görev döngüsünün artmasıyla azalır.

Böylece, artan görev döngüsüyle birlikte dikdörtgen darbe dizisinin spektrumu daha düzgün hale gelir.

Literatür: [L.1], s.40

Örnek olarak, genlik, süre ve tekrarlama periyoduna sahip, sıfıra yakın simetrik, yani periyodik dikdörtgen darbe dizisinin Fourier serisi açılımını veriyoruz.

, (2.10)

Burada

Böyle bir sinyali Fourier serisine genişletmek şunu verir:

, (2.11)

görev döngüsü nerede.

Gösterimi basitleştirmek için gösterimi girebilirsiniz

, (2.12)

O halde (2.11) aşağıdaki gibi yazılacaktır.

, (2.13)

İncirde. 2.3 dikdörtgen darbelerin bir dizisini göstermektedir. Dizinin spektrumu, diğer periyodik sinyaller gibi, doğası gereği ayrıktır (çizgi).

Spektrum zarfı (Şekil 2.3, b) orantılıdır . İki bitişik spektrum bileşeni arasındaki frekans ekseni boyunca mesafe ve iki sıfır değeri (spektrum lobunun genişliği) arasındaki mesafe. Şeklin sağındaki sıfır değeri de dahil olmak üzere, bir lob içindeki harmonik bileşenlerin sayısı, işaretin en yakın tam sayıya yuvarlama anlamına geldiği yerde daha azdır (görev döngüsü kesirli bir sayı ise) veya (görev döngüsü kesirli bir sayı ise) bir tam sayı değeridir). Periyot arttıkça temel frekans Diyagramdaki spektral bileşenler birbirine yaklaştıkça harmoniklerin genlikleri de azalır. Bu durumda zarfın şekli korunur.

Spektral analizin pratik problemlerini çözerken açısal frekanslar yerine döngüsel frekanslar kullanılır , Hertz cinsinden ölçülür. Açıkçası, diyagramdaki bitişik harmonikler arasındaki mesafe ve bir spektrum lobunun genişliği olacaktır. Bu değerler grafikte parantez içinde sunulmuştur.

Pratik radyo mühendisliğinde çoğu durumda spektral gösterim yerine (Şekil 2.3, b), genlik ve faz spektrumlarının spektral diyagramları kullanılır. Dikdörtgen darbe dizisinin genlik spektrumu Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.3, c.

Açıkçası, genlik spektrumunun zarfı orantılıdır .

Faz spektrumuna gelince (Şekil 2.3, d), harmonik bileşenlerin başlangıç ​​fazlarının miktar kadar aniden değiştiğine inanılmaktadır. -π Zarfın işareti değiştiğinde kπ/q'dan beri. Birinci lobun harmoniklerinin başlangıç ​​fazlarının sıfır olduğu varsayılmaktadır. Daha sonra ikinci lobun harmoniklerinin başlangıç ​​aşamaları φ = -π , üçüncü taç yaprağı φ = -2π vesaire.

Sinyalin başka bir Fourier serisi gösterimini ele alalım. Bunu yapmak için Euler formülünü kullanıyoruz

.

Bu formüle uygun olarak sinyalin Fourier serisine açılımının k'inci bileşeni (2.9) aşağıdaki gibi gösterilebilir.

; . (2.15)

Burada ve miktarları karmaşıktır ve spektrum bileşenlerinin karmaşık genliklerini temsil eder. Daha sonra seri

Fourier (2.8) (2.14) dikkate alınarak aşağıdaki formu alacaktır.

, (2.16)

, (2.17)

Genişletmenin (2.16) temel fonksiyonlara göre gerçekleştirildiğini doğrulamak kolaydır. , bunlar aynı zamanda aralıkta diktir yani

İfade (2.16) karmaşık biçim Negatif frekanslara uzanan Fourier serileri. Miktarlar ve Bir miktarın karmaşık eşleniğinin belirtildiği yere denir karmaşık genlikler spektrum Çünkü karmaşık bir niceliktir, (2.15)'ten şu sonuç çıkar:

Ve .

Daha sonra bütünlük, sinyalin genlik spektrumunu, bütünlük ise sinyalin faz spektrumunu oluşturur.

İncirde. Şekil 2.4, karmaşık bir Fourier serisi ile temsil edilen, yukarıda tartışılan dikdörtgen darbe dizisinin spektrumunun spektral diyagramını göstermektedir.

Spektrum da bir çizgi karakterine sahiptir, ancak daha önce ele alınan spektrumlardan farklı olarak hem pozitif bölgede hem de negatif frekanslar bölgesinde belirlenir. Argümanın çift fonksiyonu olduğundan spektral diyagram sıfıra göre simetriktir.

(2.15)'e dayanarak, katsayılar ile genişleme (2.3) arasında bir ilişki kurabiliriz. Çünkü

Ve ,

o zaman sonuç olarak şunu elde ederiz

. (2.18)

(2.5) ve (2.18) ifadeleri pratik hesaplamalarda değerleri bulmanızı sağlar.

Fourier serisinin karmaşık formunun geometrik yorumunu verelim. Sinyal spektrumunun k'inci bileşenini seçelim. Karmaşık formda, k'inci bileşen aşağıdaki formülle tanımlanır

nerede ve (2.15) ifadeleriyle belirlenir.

Karmaşık düzlemde (2.19)'daki terimlerin her biri uzunluk vektörleri olarak temsil edilir , gerçek eksene göre bir açıyla döndürülmüş ve frekansla zıt yönlerde dönmektedir (Şekil 2.5).

Açıkçası, bu vektörlerin toplamı gerçek eksen üzerinde bulunan ve uzunluğu 0 olan bir vektör verir. Ancak bu vektör harmonik bileşene karşılık gelir

Vektörlerin hayali eksen üzerindeki izdüşümlerine gelince, bu izdüşümlerin uzunlukları eşit, ancak zıt yönleri vardır ve toplamı sıfırdır. Bu, karmaşık biçimde (2.16) sunulan sinyallerin aslında gerçek sinyaller olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle Fourier serisinin karmaşık formu matematiksel spektral analizin bir takım problemlerini çözmek için çok uygun bir soyutlama. Bu nedenle bazen trigonometrik Fourier serisi tarafından tanımlanan spektruma denir. fiziksel spektrum ve Fourier serisinin karmaşık formu matematiksel spektrum.

Sonuç olarak, periyodik bir sinyalin spektrumunda enerji ve güç dağılımı konusunu ele alacağız. Bunu yapmak için Parseval eşitliğini (1.42) kullanıyoruz. Sinyal trigonometrik Fourier serisine genişletildiğinde ifade (1.42) şu şekli alır:

.

doğru akım enerjisi

,

ve k'inci harmoniğin enerjisi

.

Daha sonra sinyal enerjisi

. (2.20)

Çünkü ortalama sinyal gücü

,

daha sonra (2.18) dikkate alınarak

. (2.21)

Sinyal karmaşık bir Fourier serisine genişletildiğinde, ifade (1.42) şu şekli alır:

,

Nerede
- k'inci harmoniğin enerjisi.

Bu durumda sinyal enerjisi

,

ve ortalama gücü

.

Yukarıdaki ifadelerden, matematiksel spektrumun k'inci spektral bileşeninin enerjisinin veya ortalama gücünün, fiziksel spektrumun karşılık gelen spektral bileşeninin enerjisinin veya gücünün yarısı kadar olduğu anlaşılmaktadır. Bunun nedeni fiziksel spektrumun matematiksel spektrum arasında eşit olarak dağılmasıdır.

-τ ve /2

τ ve /2

T

T

U 0

S(t)

Görev No. 1, grup RI – 210701

Mesaj kaynağının çıkışından, bilgi taşıyan sinyaller ve iletim sisteminin vericisi ve alıcısının çalışmasını senkronize etmek için kullanılan saat sinyalleri alınır. Bilgi sinyalleri periyodik olmayan bir formdadır ve saat sinyalleri periyodik bir darbe dizisidir.

Bu tür darbelerin iletişim kanalları aracılığıyla iletilme olasılığını doğru bir şekilde değerlendirmek için bunların spektral bileşimlerini belirleyeceğiz. Herhangi bir şekle sahip darbeler şeklindeki periyodik bir sinyal (7)'ye göre bir Fourier serisine genişletilebilir.

Havai ve kablolu iletişim hatları üzerinden iletim için çeşitli şekillerde sinyaller kullanılır. Bir biçimin veya diğerinin seçimi, iletilen mesajların doğasına, sinyallerin frekans spektrumuna ve sinyallerin frekans ve zaman parametrelerine bağlıdır. Şekil olarak dikdörtgen darbelere yakın sinyaller, ayrı mesajların iletilmesi teknolojisinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Spektrumu hesaplayalım, yani. bir dizi sabit genlik ve

Periyodik dikdörtgen darbelerin süre ve periyot ile harmonik bileşenleri (Şekil 4,a). Sinyal zamanın çift bir fonksiyonu olduğundan, ifade (3)'te tüm çift harmonik bileşenler kaybolur ( =0) ve tek bileşenler aşağıdaki değerleri alır:

(10)

Sabit bileşen eşittir

(11)

1:1 sinyal için (telgraf noktaları) Şekil 4a:

,
. (12)

Periyodlu dikdörtgen darbe dizisinin spektral bileşenlerinin genlik modülleri
Şekil 2'de gösterilmektedir. 4, b. Apsis ekseni ana darbe tekrarlama frekansını gösterir
() ve tek harmonik bileşenlerin frekansları
,
vesaire. Spektrum zarfı yasaya göre değişir.

Darbe süresine göre periyot arttıkça periyodik sinyalin spektral bileşimindeki harmonik bileşenlerin sayısı artar. Örneğin, periyodu olan bir sinyal için (Şekil 4, c), sabit bileşenin şuna eşit olduğunu görüyoruz:

Sıfırdan frekansa kadar olan frekans bandında beş harmonik bileşen bulunurken (Şekil 4, d), yalnızca bir gelgit vardır.

Darbe tekrarlama periyodunun daha da artmasıyla harmonik bileşenlerin sayısı giderek artar. Aşırı durumda ne zaman
sinyal zamanın periyodik olmayan bir fonksiyonu haline gelir, frekans bandındaki harmonik bileşenlerinin sayısı sıfırdan frekansa doğru sonsuza kadar artar; sonsuz yakın frekans mesafelerine yerleştirileceklerdir; periyodik olmayan sinyalin spektrumu sürekli hale gelecektir.

Şekil 4

2.4 Tek bir darbenin spektrumu

Tek bir video darbesi belirtilir (Şekil 5):

Şekil 5

Fourier serisi yöntemi, periyodik olmayan sinyallerin spektral özelliklerinin elde edilmesini mümkün kılan derin ve verimli bir genelleme yapılmasına olanak tanır. Bunu yapmak için, tek bir darbeyi zihinsel olarak aynı darbelerle destekleyelim, belirli bir zaman aralığından sonra periyodik olarak takip edelim ve daha önce çalışılan periyodik sırayı elde edelim:

Tek bir darbeyi, geniş bir periyoda sahip periyodik darbelerin toplamı olarak hayal edelim.

, (14)

tamsayılar nerede.

Periyodik salınım için

. (15)

Tek bir dürtüye dönebilmek için tekrar periyodunu sonsuza yönlendirelim: . Bu durumda şu açıktır:

, (16)

Haydi belirtelim

. (17)

Miktar, tek bir darbenin (doğrudan Fourier dönüşümü) spektral karakteristiğidir (fonksiyonu). Yalnızca nabzın zamansal tanımına bağlıdır ve genel olarak karmaşıktır:

, (18) nerede
; (19)

; (20)

,

Nerede
- spektral fonksiyonun modülü (nabzın genlik-frekans tepkisi);

- faz açısı, darbenin faz-frekans karakteristiği.

Spektral fonksiyonu kullanarak formül (8)'i kullanarak tek bir darbeyi bulalım:

.

Eğer olursa:

. (21)

Ortaya çıkan ifadeye ters Fourier dönüşümü denir.

Fourier integrali, momentumu tüm frekanslarda bulunan sonsuz küçük harmonik bileşenlerin sonsuz toplamı olarak tanımlar.

Buna dayanarak, tek bir darbenin sahip olduğu sürekli (katı) bir spektrumdan bahsediyorlar.

Toplam darbe enerjisi (Ohm aktif direncinde salınan enerji) şuna eşittir:

(22)

Entegrasyon sırasını değiştirerek şunu elde ederiz:

.

İç integral, argümanla birlikte alınan momentumun spektral fonksiyonudur - yani. karmaşık bir eşlenik miktardır:

Buradan

Kare modülü (iki eşlenik karmaşık sayının çarpımı kare modülüne eşittir).

Bu durumda geleneksel olarak darbe spektrumunun iki taraflı olduğu söylenir. ile arasındaki frekans bandında bulunur.

Darbe enerjisi (1 Ohm dirençte) ile spektral fonksiyonunun modülü arasındaki bağlantıyı kuran verilen ilişki (23), Parseval eşitliği olarak bilinir.

Bir darbenin içerdiği enerjinin, spektrumun tüm bileşenlerinin enerjilerinin toplamına eşit olduğunu belirtir. Parseval eşitliği sinyallerin önemli bir özelliğini karakterize eder. Seçici bir sistem sinyal spektrumunun yalnızca bir kısmını ileterek diğer bileşenlerini zayıflatırsa, bu, sinyal enerjisinin bir kısmının kaybolduğu anlamına gelir.

Modülün karesi entegrasyon değişkeninin çift bir fonksiyonu olduğundan, integralin değeri iki katına çıkarılarak 0 ila:

. (24)

Bu durumda darbe spektrumunun 0'dan 0'a kadar olan frekans bandında bulunduğunu ve tek taraflı olarak adlandırıldığını söylüyorlar.

(23)'teki integrand, darbenin enerji spektrumu (spektral enerji yoğunluğu) olarak adlandırılır.

Enerjinin frekansa göre dağılımını karakterize eder ve frekanstaki değeri, 1 Hz'e eşit frekans bandı başına darbe enerjisine eşittir. Sonuç olarak, darbe enerjisi, sinyalin enerji spektrumunun tüm frekans aralığı boyunca entegrasyonunun sonucudur, yani enerji, sinyalin enerji spektrumunu gösteren eğri ile apsis ekseni arasında kalan alana eşittir.

Spektrum üzerindeki enerji dağılımını tahmin etmek için göreceli integral enerji dağıtım fonksiyonunu (enerji karakteristiği) kullanın.

, (25)

Nerede
- belirli bir frekans bandındaki 0 ​​ila 0 ila 0 ila frekans aralığında yoğunlaşan nabız enerjisinin fraksiyonunu karakterize eden darbe enerjisi.

Çeşitli şekillerdeki tek darbeler için aşağıdaki yasalar geçerlidir: