Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
SOYUT
“Bir fonksiyonun tam çalışması ve grafiğinin oluşturulması.”
GİRİİŞ
Bir fonksiyonun özelliklerini incelemek ve grafiğini çizmek, türevlerin en harika uygulamalarından biridir. Fonksiyonu incelemeye yönelik bu yöntem defalarca dikkatli analizlere tabi tutulmuştur. Bunun temel nedeni, matematik uygulamalarında, yeni olgular incelenirken ortaya çıkan giderek daha karmaşık fonksiyonlarla uğraşmanın gerekli olmasıdır. Matematiğin geliştirdiği kuralların istisnaları ortaya çıktı, oluşturulan kuralların hiç uygun olmadığı durumlar ortaya çıktı, hiçbir noktada türevi olmayan fonksiyonlar ortaya çıktı.
10-11. Sınıflarda cebir ve temel analiz dersinin incelenmesinin amacı, fonksiyonların sistematik olarak incelenmesi, fonksiyonların incelenmesiyle ilgili genel matematik yöntemlerinin uygulamalı değerinin açıklanmasıdır.
Cebir çalışmaları sırasında fonksiyonel kavramların geliştirilmesi ve son eğitim düzeyinde analizin başlaması, lise öğrencilerinin fonksiyonların sürekliliği ve süreksizlikleri hakkında görsel fikirler edinmelerine, matematik alanındaki herhangi bir temel fonksiyonun sürekliliği hakkında bilgi edinmelerine yardımcı olur. uygulamasını, grafiklerini oluşturmayı ve temel temel işlevler hakkındaki bilgileri genelleştirmeyi öğrenir ve bunların insan pratiğinde gerçeklik olgusunun incelenmesindeki rolünü anlar.
Arttırma ve azaltma fonksiyonu
Matematik, fizik ve teknoloji alanlarındaki çeşitli problemlerin çözülmesi, bu olguya dahil olan değişkenler arasında işlevsel bir ilişkinin kurulmasına yol açmaktadır.
Böyle bir fonksiyonel bağımlılık analitik olarak, yani bir veya daha fazla formül şeklinde ifade edilebiliyorsa, o zaman bunun matematiksel analiz yoluyla incelenmesi mümkün hale gelir.
Bu, bir veya başka bir değişken değiştiğinde (fonksiyonun arttığı, azaldığı, maksimuma ulaştığı vb.) bir fonksiyonun davranışını netleştirme olasılığını ifade eder.
Diferansiyel hesabın bir fonksiyonun incelenmesine uygulanması, bir fonksiyonun davranışı ile türevinin, özellikle de birinci ve ikinci türevlerinin özellikleri arasında var olan çok basit bir bağlantıya dayanır.
Artan veya azalan fonksiyonun aralıklarını, yani monotonluk aralıklarını nasıl bulabileceğimizi düşünelim. Monoton olarak azalan ve artan bir fonksiyonun tanımına dayanarak, belirli bir fonksiyonun birinci türevinin değerini monotonluğunun doğasıyla ilişkilendirmemize izin veren teoremleri formüle etmek mümkündür.
Teorem 1.1. Eğer fonksiyon sen
=
F
(
X
)
, aralıkta türevlenebilir(
A
,
B
)
, bu aralıkta monoton olarak artar, daha sonra herhangi bir noktada
(
X
) >0;
monoton olarak azalırsa aralığın herhangi bir noktasında (
X
)<0.
Kanıt. Fonksiyona izin versen = F ( X ) monoton olarak artar( A , B ) , Bu, yeterince küçük olan herkes için > 0 aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
F ( X - ) < F ( X ) < F ( X + ) (Şekil 1.1).
Pirinç. 1.1
Sınırı göz önünde bulundurun
.
> 0 ise 
> 0 ise< 0, то
< 0.
Her iki durumda da limit işaretinin altındaki ifade pozitiftir yani limit pozitiftir yani ( X )>0 Kanıtlanması gereken şey buydu. Teoremin fonksiyonun monotonik azalmasıyla ilgili ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.
Teorem 1.2. Eğer fonksiyon sen = F ( X ) , segmentte sürekli[ A , B ] ve tüm iç noktalarında türevlenebilir ve buna ek olarak, ( X ) >0 herkes için X ϵ ( A , B ) , bu durumda bu fonksiyon monoton olarak artar( A , B ) ; Eğer
( X ) <0 herkes için xϵ ( A , B ), o zaman bu fonksiyon monoton olarak azalır( A , B ) .
Kanıt. Hadi alalım ϵ ( A , B ) Ve ϵ ( A , B ) , Ve< . Lagrange teoremine göre
( C ) = .
Ancak ( C )>0 ve > 0, yani ( > 0, yani
(. Elde edilen sonuç, kanıtlanması gereken fonksiyonda monotonik bir artışa işaret ediyor. Teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.
Fonksiyonun ekstremum değerleri
Bir fonksiyonun davranışını incelerken, monoton artış aralıklarını monoton azalma aralıklarından ayıran noktalar özel bir rol oynar.
Tanım 2.1. Nokta fonksiyonun maksimum noktası denir
sen
=
F
(
X
)
, eğer varsa, ne kadar küçük olursa olsun ,
(
< 0
, а точка
ise minimum nokta denir (
> 0.
Minimum ve maksimum noktalar toplu olarak ekstrem noktalar olarak adlandırılır. Bu tür noktaların parçalı monotonik fonksiyonu, sonlu bir aralıkta sonlu bir sayıya sahiptir (Şekil 2.1).
Pirinç. 2.1
Teorem 2.1 (bir ekstremun varlığı için gerekli koşul). Aralıkta türevlenebilirse( A , B ) fonksiyon şu noktada var bu aralıktan itibaren maksimumdur, o zaman bu noktadaki türevi sıfıra eşittir. Aynı şey minimum puan için de söylenebilir .
Bu teoremin kanıtı, minimum veya maksimum noktalarda gösterildiği Rolle teoreminden gelir. = 0 olup fonksiyonun grafiğine bu noktalarda çizilen teğet eksene paraleldir.ÖKÜZ .
Teorem 2.1'den şu sonuç çıkıyor: eğer fonksiyonsen = F ( X ) her noktada türevi varsa, bu noktalarda bir uç noktaya ulaşabilir. = 0.
Ancak bu koşul yeterli değildir, çünkü belirtilen koşulun sağlandığı fonksiyonlar vardır ancak ekstremum yoktur. Örneğin, fonksiyonsen= bir noktada X = 0 türev sıfırdır ancak bu noktada ekstremum yoktur. Ayrıca ekstremum türevin bulunmadığı noktalarda da olabilir. Örneğin, fonksiyonsen = | X | bu noktada bir minimum varX = 0 , türev bu noktada mevcut olmasa da.
Tanım 2.2. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya süreksiz olduğu noktalara bu fonksiyonun kritik noktaları denir..
Sonuç olarak Teorem 2.1 uç noktaları belirlemek için yeterli değildir.
Teorem 2.2 (bir ekstremun varlığı için yeterli koşul). Fonksiyona izin ver sen = F ( X ) aralıkta sürekli( A , B ) kritik noktasını içeren ve noktanın kendisi hariç, bu aralığın tüm noktalarında türevlenebilir . Daha sonra, bu noktayı soldan sağa hareket ettirirken türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır ve tersine eksiden artıya minimum noktadır..
Kanıt. Bir fonksiyonun türevi bir noktadan geçerken işareti değişiyorsa soldan sağa, artıdan eksiye doğru hareket ederse fonksiyon artandan azalana doğru hareket eder yani şu noktaya ulaşır: maksimumdur ve bunun tersi de geçerlidir.
Yukarıdakilerden, bir fonksiyonun ekstremumda incelenmesine yönelik bir şema şöyledir:
1) fonksiyonun tanım kümesini bulun;
2) türevi hesaplayın;
3) kritik noktaları bulun;
4) Birinci türevin işareti değiştirilerek karakterleri belirlenir.
Bir ekstremum için bir fonksiyonu inceleme görevi, bir fonksiyonun bir segment üzerindeki minimum ve maksimum değerlerini belirleme görevi ile karıştırılmamalıdır. İkinci durumda, yalnızca segment üzerindeki uç noktaları bulmak değil, aynı zamanda bunları fonksiyonun uçlarındaki değeriyle karşılaştırmak da gerekir.
Dışbükey ve içbükey fonksiyonların aralıkları
Türev kullanılarak belirlenebilen bir fonksiyonun grafiğinin diğer bir özelliği de dışbükeyliği veya içbükeyliğidir.
Tanım 3.1. İşlev sen = F ( X ) aralıkta dışbükey denir( A , B ) Grafiği belirli bir aralıkta kendisine çizilen herhangi bir teğetin altında yer alıyorsa ve bunun tersi de geçerliyse, grafiği belirli bir aralıkta kendisine çizilen herhangi bir teğetin üzerindeyse içbükey olarak adlandırılır..
Bir fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını belirlememize olanak tanıyan bir teoremi kanıtlayalım.
Teorem 3.1. Aralığın tüm noktalarında ise( A , B ) fonksiyonun ikinci türevi ( X ) sürekli ve negatif ise fonksiyonsen = F ( X ) dışbükeydir ve bunun tersi de geçerlidir, eğer ikinci türev sürekli ve pozitifse, o zaman fonksiyon içbükeydir.
Fonksiyonun dışbükeylik aralığının ispatını yapıyoruz. Rastgele bir noktayı ele alalımϵ ( A , B ) ve bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizinsen = F ( X ) (Şekil 3.1).
Eğrinin tüm noktalarının aralıkta olduğu gösterilirse teorem kanıtlanacaktır.( A , B ) bu teğetin altında yatıyor. Başka bir deyişle, aynı değerler için bunu kanıtlamak gerekir.X eğri koordinatlarısen = F ( X ) o noktada kendisine çizilen teğetin koordinatından daha az .
Pirinç. 3.1
Kesinlik sağlamak için eğrinin denklemini belirtiyoruz: = F ( X ) ve ona bu noktada teğetin denklemi :
- F ( ) = ( )( X - )
veya
= F ( ) + ( )( X - ) .
Hadi farkı kapatalım Ve :
- = f(x) – f( ) - ( )(X- ).
Farklılığa uygulaF ( X ) – F ( ) Lagrange'ın ortalama değer teoremi:
- = ( )( X - ) - ( )( X - ) = ( X - )[ ( ) - ( )] ,
Nerede ϵ ( , X ).
Şimdi Lagrange teoremini köşeli parantez içindeki ifadeye uygulayalım:
- = ( )( - )( X - ) , Nerede ϵ ( , ).
Şekilden de görülebileceği gibi,X > , Daha sonra X - > 0 Ve - > 0 . Ayrıca teoreme göre, ( )<0.
Bu üç faktörü çarparsak şunu elde ederiz: Kanıtlanması gereken şey buydu.
Tanım 3.2. Dışbükey aralığı içbükey aralıktan ayıran noktaya bükülme noktası denir.
Tanım 3.1'den, belirli bir noktada teğetin eğriyi kestiği, yani eğrinin bir tarafta teğetin altında, diğer tarafta ise üstünde yer aldığı sonucu çıkar.
Teorem 3.2. Eğer bu noktada fonksiyonun ikinci türevi
sen = F ( X ) sıfıra eşittir veya yoktur ve bir noktadan geçerken ikinci türevin işareti ters yönde değişirse bu nokta bir dönüm noktasıdır.
Bu teoremin kanıtı, işaretlerin ( X ) noktanın karşıt taraflarında farklıdır. Bu, fonksiyonun bir tarafında dışbükey, diğer tarafında ise içbükey olduğu anlamına gelir. Bu durumda Tanım 3.2'ye göre nokta dönüm noktasıdır.
Bir fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik için incelenmesi, bir ekstremum için yapılan çalışmayla aynı şemaya göre gerçekleştirilir.
4. Fonksiyonun asimptotları
Önceki paragraflarda, türevi kullanarak bir fonksiyonun davranışını incelemeye yönelik yöntemler tartışılmıştı. Ancak bir fonksiyonun tam olarak incelenmesiyle ilgili sorular arasında türevle ilgili olmayan sorular da vardır.
Yani örneğin bir fonksiyonun grafiğindeki bir nokta orijinden sonsuza kadar uzaklaştığında nasıl davrandığını bilmek gerekir. Bu sorun iki durumda ortaya çıkabilir: Bir fonksiyonun argümanı sonsuza gittiğinde ve son noktadaki ikinci türden bir süreksizlik sırasında fonksiyonun kendisi sonsuza gittiğinde. Her iki durumda da, fonksiyonun asimptotu adı verilen bir düz çizgiye yöneldiği bir durum ortaya çıkabilir.
Tanım . Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotusen = F ( X ) grafik noktası orijinden süresiz olarak hareket ettikçe grafikten bu düz çizgiye olan mesafenin sıfıra yaklaşması özelliğine sahip düz bir çizgidir.
İki tür asimptot vardır: dikey ve eğik.
Dikey asimptotlar düz çizgiler içerirX
=
Çevrelerindeki fonksiyonun grafiğinin sonsuza gitmesi özelliğine sahip olan, yani koşulun karşılandığı: 
.
Açıkçası, belirtilen tanımın gerekliliği burada karşılanmaktadır: eğrinin grafiğinden düz çizgiye olan mesafeX = sıfıra yönelir ve eğrinin kendisi de sonsuza gider. Dolayısıyla, ikinci türden süreksizlik noktalarında fonksiyonların dikey asimptotları vardır, örneğin,sen= bir noktada X = 0 . Sonuç olarak, bir fonksiyonun dikey asimptotlarının belirlenmesi, ikinci türden süreksizlik noktalarının bulunmasıyla örtüşür.
Eğik asimptotlar, bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin genel denklemiyle tanımlanır;sen = kx + B . Bu, dikey asimptotlardan farklı olarak burada sayıları belirlemenin gerekli olduğu anlamına gelir.k Ve B .
Öyleyse eğriye izin ver = F ( X ) eğik bir asimptotu vardır, yaniX eğrinin noktaları düz çizgiye istenildiği kadar yaklaşır = kx + B (Şekil 4.1). İzin vermek M ( X , sen ) - bir eğri üzerinde bulunan bir nokta. Asimptottan uzaklığı dik uzunluğu ile karakterize edilecektir| MN | .
Fonksiyonu tam olarak incelemek ve grafiğini çizmek için aşağıdaki şema önerilir:
A) tanım alanını, kesme noktalarını bulun; Süreksizlik noktaları yakınındaki bir fonksiyonun davranışını keşfedin (fonksiyonun bu noktalarda sol ve sağdaki limitlerini bulun). Dikey asimptotları belirtin.
B) Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyin ve simetri olduğu sonucuna varın. Eğer ise fonksiyon OY eksenine göre eşit ve simetriktir; fonksiyon tek olduğunda, orijine göre simetrik olduğunda; ve if genel formun bir fonksiyonudur.
C) Fonksiyonun OY ve OX koordinat eksenleriyle kesişim noktalarını (mümkünse) bulun, fonksiyonun sabit işaret aralıklarını belirleyin. Bir fonksiyonun sabit işaretli aralıklarının sınırları, fonksiyonun sıfıra eşit olduğu (fonksiyon sıfırları) veya mevcut olmadığı noktalar ve bu fonksiyonun tanım alanının sınırları tarafından belirlenir. Fonksiyonun grafiğinin OX ekseninin üzerinde ve bu eksenin altında olduğu aralıklarla.
D) Fonksiyonun birinci türevini bulun, sıfırlarını ve sabit işaret aralıklarını belirleyin. Fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıklarda. Ekstremaların (bir fonksiyonun ve türevin bulunduğu ve içinden geçerken işaret değiştirdiği noktalar) varlığı hakkında bir sonuca varın. Eğer işaret artıdan eksiye değişirse, o zaman bu noktada fonksiyonun bir maksimumu vardır ve eksiden artıya ise , ardından minimum). Fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerlerini bulun.
D) ikinci türevi, sıfırlarını ve sabit işaretli aralıkları bulun. Aralıklarla nerede< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) denklemleri şu şekilde olan eğimli (yatay) asimptotları bulun 
; Nerede 
.
Şu tarihte: 
fonksiyonun grafiğinde iki eğik asimptot bulunur ve x'in her değeri ve ayrıca b'nin iki değerine de karşılık gelebilir.
G) Grafiği netleştirmek için ek noktalar bulun (gerekirse) ve bir grafik oluşturun.
örnek 1
Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun. Çözüm: A) tanım alanı 
; fonksiyon kendi tanım alanında süreklidir; – kırılma noktası, çünkü 
;
. Sonra – dikey asimptot.
B)
onlar. y(x) genel formun bir fonksiyonudur.
C) Grafiğin OY ekseniyle kesişme noktalarını bulun: x=0 olarak ayarlayın; o zaman y(0)=–1, yani fonksiyonun grafiği ekseni (0;-1) noktasında keser. Fonksiyonun sıfırları (grafiğin OX ekseni ile kesişme noktaları): y=0 olarak ayarlayın; Daha sonra 
.
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfırdan küçüktür, bu da sıfır olmadığı anlamına gelir. Bu durumda sabit işaretli aralıkların sınırı, fonksiyonun bulunmadığı x=1 noktasıdır.
Her bir aralıktaki fonksiyonun işareti kısmi değerler yöntemiyle belirlenir:
Diyagramdan, fonksiyonun grafiğinin aralıkta OX ekseninin altında ve aralıkta - OX ekseninin üstünde yer aldığı açıktır.
D) Kritik noktaların varlığını buluruz.
.
Eşitliklerden kritik noktaları (var olan veya olmayan) buluyoruz ve .
Şunu elde ederiz: x1=1, x2=0, x3=2. Yardımcı bir tablo oluşturalım
tablo 1 
(Birinci satır kritik noktaları ve bu noktaların OX ekseni tarafından bölündüğü aralıkları içerir; ikinci satır ise türevin kritik noktalardaki değerlerini ve aralıklardaki işaretleri gösterir. İşaretler kısmi değere göre belirlenir. Üçüncü satır, kritik noktalarda y(x) fonksiyonunun değerlerini gösterir ve fonksiyonun davranışını gösterir - sayısal eksenin karşılık gelen aralıklarında artan veya azalan.Ek olarak, bir minimum veya maksimumun varlığı belirtilen.
D) Fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun.
; D noktasındaki gibi bir tablo oluşturun); Sadece ikinci satırda işaretleri yazıyoruz ve üçüncü satırda dışbükeyliğin türünü belirtiyoruz. Çünkü ; o zaman kritik nokta bir x=1'dir.
Tablo 2 
x=1 noktası dönüm noktasıdır.
E) Eğik ve yatay asimptotları bulun 
O halde y=x eğik bir asimptottur.
G) Elde edilen verilere dayanarak fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz 
1). Fonksiyonun kapsamı.
Bu fonksiyonun “” ve “” noktaları dışında sayı doğrusunda tanımlı olduğu açıktır, çünkü bu noktalarda payda sıfıra eşittir ve bu nedenle fonksiyon mevcut değildir ve düz çizgiler ve dikey asimptotlardır.
2). Bir fonksiyonun davranışının sonsuza eğilimli olması, süreksizlik noktalarının varlığı ve eğik asimptotların varlığının kontrol edilmesi.
Öncelikle fonksiyonun sola ve sağa doğru sonsuza yaklaşırken nasıl davrandığını kontrol edelim. 
Dolayısıyla fonksiyon 1'e yaklaştığında, yani - Yatay asimptot.
Süreksizlik noktalarının yakınında fonksiyonun davranışı şu şekilde belirlenir: 
Onlar. Soldaki süreksizlik noktalarına yaklaşıldığında fonksiyon sonsuza kadar azalır, sağda ise sonsuz artar.
Eşitliği dikkate alarak eğik bir asimptotun varlığını belirleriz: 
Eğik asimptot yoktur.
3). Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları.
Burada iki durumu dikkate almak gerekir: Ox ekseni ve Oy ekseni ile kesişme noktasını bulun. Ox ekseni ile kesişme işareti fonksiyonun sıfır değeridir, yani. denklemi çözmek gerekir:
Bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla bu fonksiyonun grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktaları yoktur.
Oy ekseni ile kesişme işareti x = 0 değeridir. Bu durumda
,
onlar. – fonksiyon grafiğinin Oy ekseni ile kesişme noktası.
4).Ekstrem noktaların ve artış ve azalış aralıklarının belirlenmesi.
Bu konuyu incelemek için birinci türevi tanımlıyoruz: 
.
Birinci türevin değerini sıfıra eşitleyelim. 
.
Bir kesrin payı sıfıra eşit olduğunda, kesir sıfıra eşittir; .
Fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleyelim.
Dolayısıyla fonksiyonun bir ekstrem noktası vardır ve iki noktada mevcut değildir.
Böylece fonksiyon aralıklarda artar ve aralıklarda azalır.
5). Bükülme noktaları ve dışbükey ve içbükey alanlar.
Bir fonksiyonun davranışının bu özelliği ikinci türev kullanılarak belirlenir. Önce bükülme noktalarının varlığını belirleyelim. Fonksiyonun ikinci türevi şuna eşittir: 
Ne zaman ve fonksiyon içbükeydir;
ne zaman ve fonksiyon dışbükeydir.
6). Bir fonksiyonun grafiğini çizmek.
Bulunan değerleri noktalar halinde kullanarak, fonksiyonun grafiğini şematik olarak oluşturacağız:
Örnek3
İşlevi keşfedin 
ve grafiğini oluşturun. Çözüm
Verilen fonksiyon genel formda periyodik olmayan bir fonksiyondur. Grafiği koordinatların orijininden geçer, çünkü .
Belirli bir fonksiyonun tanım alanı, kesirin paydasının sıfır olduğu değişkenin tüm değerleridir.
Sonuç olarak noktalar fonksiyonun süreksizlik noktalarıdır.
Çünkü 
, 
Çünkü 
,
ise bu nokta ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır.
Düz çizgiler, fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.
Eğik asimptot denklemleri, burada, 
.
Şu tarihte: 
,
.
Dolayısıyla, for ve fonksiyonunun grafiğinin bir asimptotu vardır.
Fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulalım.
.
Fonksiyonun birinci türevi ve dolayısıyla at ve fonksiyon artar.
Ne zaman, dolayısıyla ne zaman, fonksiyon azalır.
, için mevcut değil. 
bu nedenle ne zaman 
Fonksiyonun grafiği içbükeydir.
Şu tarihte: 
bu nedenle ne zaman 
Fonksiyonun grafiği dışbükeydir. 
, noktalarından geçerken işaret değiştirir. Fonksiyon tanımlı olmadığında fonksiyonun grafiğinin bir dönüm noktası vardır.
Fonksiyonun grafiğini oluşturalım. 
Bir fonksiyonun incelenmesi açık bir şemaya göre gerçekleştirilir ve öğrencinin tanım ve değerler alanı, fonksiyonun sürekliliği, asimptot, ekstremum noktaları, parite, periyodiklik vb. gibi temel matematiksel kavramlar hakkında sağlam bir bilgiye sahip olmasını gerektirir. . Öğrenci serbestçe fonksiyonların türevini alabilmeli ve bazen çok karmaşık olabilen denklemleri çözebilmelidir.
Yani bu görev, önemli bir bilgi katmanını test eder; herhangi bir boşluk, doğru çözümün elde edilmesine engel teşkil edecektir. Özellikle fonksiyonların grafiklerini oluşturmada zorluklar ortaya çıkar. Bu hata öğretmen tarafından hemen fark edilir ve her şey doğru yapılmış olsa bile notunuza büyük zarar verebilir. Burada bulabilirsiniz çevrimiçi işlev araştırma sorunları: çalışma örnekleri, indirme çözümleri, sipariş atamaları.
Bir fonksiyonu keşfedin ve bir grafik çizin: çevrimiçi örnekler ve çözümler
Sizler için hem çözüm kitabında ücretli hem de Fonksiyon çalışmaları örnekleri bölümünde ücretsiz olarak birçok hazır fonksiyon çalışması hazırladık. Bu çözülmüş görevlere dayanarak, benzer görevleri gerçekleştirme metodolojisini ayrıntılı olarak öğrenebilecek ve araştırmanızı benzetme yoluyla gerçekleştirebileceksiniz.
En yaygın türlerdeki fonksiyonların tam araştırması ve çiziminin hazır örneklerini sunuyoruz: polinomlar, kesirli-rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik fonksiyonlar. Çözülen her soruna, vurgulanan anahtar noktaları, asimptotları, maksimumları ve minimumları içeren hazır bir grafik eşlik eder; çözüm, fonksiyonu incelemek için bir algoritma kullanılarak gerçekleştirilir.
Her durumda, çözülmüş örnekler en popüler fonksiyon türlerini kapsadığından size çok yardımcı olacaktır. Size zaten çözülmüş yüzlerce problem sunuyoruz, ancak bildiğiniz gibi dünyada sonsuz sayıda matematiksel fonksiyon var ve öğretmenler fakir öğrenciler için giderek daha zorlu görevler icat etme konusunda büyük uzmanlardır. Yani sevgili öğrenciler, nitelikli yardımın size zararı olmaz.
Özel işlev araştırma problemlerini çözme
Bu durumda ortaklarımız size başka bir hizmet sunacaktır - çevrimiçi tam işlev araştırması sipariş etmek. Görev sizin için bu tür sorunları çözmeye yönelik bir algoritmanın tüm gereksinimlerine uygun olarak tamamlanacak ve bu, öğretmeninizi çok memnun edecektir.
Sizin için fonksiyonun tam bir çalışmasını yapacağız: tanım bölgesini ve değerler bölgesini bulacağız, süreklilik ve süreksizlik açısından inceleyeceğiz, eşlik kuracağız, fonksiyonunuzu periyodiklik açısından kontrol edeceğiz ve koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulacağız . Ve elbette, diferansiyel hesabı kullanarak: asimptotları bulacağız, ekstremumları, dönüm noktalarını hesaplayacağız ve grafiğin kendisini oluşturacağız.
Tekil noktaları kullanarak bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak, fonksiyonun kendisinin incelenmesini içerir: argümanın izin verilen değerlerinin aralığını belirlemek, fonksiyonun varyasyon aralığını belirlemek, fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirlemek, kesme noktalarını belirlemek fonksiyonun sabit işaretli aralıklarının bulunması, fonksiyonun grafiğinin asimptotlarının bulunması. Birinci türevi kullanarak fonksiyonun artış (azalış) aralıklarını ve ekstremum noktalarının varlığını belirleyebilirsiniz. İkinci türevi kullanarak, fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve ayrıca bükülme noktalarını belirleyebilirsiniz. Aynı zamanda inanıyoruz ki, eğer bir noktada evet Eğrinin üstündeki fonksiyonun grafiğine teğet ise, fonksiyonun bu noktadaki grafiği dışbükeydir; eğer teğet eğrinin altındaysa, fonksiyonun bu noktadaki grafiği içbükeydir.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Fonksiyon çalışması.
a) Argümanın izin verilen değerlerinin aralığı: (-∞,+∞).
b) Fonksiyonun değişim alanı: (-∞, +∞).
c) Fonksiyon tektir çünkü y(-x) = -y(x), onlar. Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
d) Fonksiyon süreklidir, süreksizlik noktaları yoktur, dolayısıyla dikey asimptotlar da yoktur.
e) Eğik asimptot denkleminin bulunması y(x) = k∙x + b, Nerede
k = /X Ve b = 
Bu örnekte asimptot parametreleri sırasıyla eşittir:
k = çünkü pay ve paydanın en yüksek derecesi aynı olup üçe eşit olup, bu en yüksek derecelerdeki katsayıların oranı bire eşittir. x→ ne zaman + ∞ Limiti hesaplamak için dikkat çekici üçüncü limit kullanıldı.
b = = = 0, x→'deki limiti hesaplarken + ∞ üçüncü dikkate değer limiti kullandı. Dolayısıyla bu fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu vardır. y=x.
2.
y'= /(x²+3)² - türev bölüm farklılaşma formülü kullanılarak hesaplanır.
a) Türevin sıfırlarını ve süreksizlik noktasını belirleyin, sırasıyla türevin payını ve paydasını sıfıra eşitleyin: y'=0, Eğer x=0. 1. türevin süreksizlik noktası yoktur.
b) Türevin sabit işaretinin aralıklarını belirleriz, yani. fonksiyonun monotonluk aralıkları: -∞
3. Bir fonksiyonun 2. türevini kullanarak incelenmesi.
Bölümlerin türevini almak ve cebirsel dönüşümler yapmak için formülü kullanarak şunu elde ederiz: y'' = /(x²+3)³
a) 2. türevin sıfırlarını ve sabit işaretli aralıkları belirleyin: y'' = 0, Eğer x=0 Ve x= + 3 . 2. türevin süreksizlik noktası yoktur.
b) 2. türevin sabitlik aralıklarını belirleyelim; bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik veya içbükeylik aralıkları. -∞'da
Örnek: Bir fonksiyonu keşfedin ve grafiğini çizin y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Fonksiyon çalışması.
a) Kabul edilebilir değer aralığı: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Fonksiyonun değişim alanı: (-∞,+∞).
d) Bu fonksiyonun 2. türden bir süreksizlik noktası vardır. x=0.
e) Asimptotları bulmak. Çünkü fonksiyonun 2. türden bir süreksizlik noktası vardır. x=0, dolayısıyla sonuç olarak fonksiyonun dikey bir asimptotu vardır x=0. Bu fonksiyonun eğik veya yatay asimptotu yoktur.
2.1. türevi kullanarak bir fonksiyonun incelenmesi.
Tüm cebirsel işlemleri yaparak fonksiyonu dönüştürelim. Sonuç olarak, işlevin biçimi önemli ölçüde basitleştirilecektir: y(x)=x²-x-1+(1/x). Terimlerin toplamından türev almak çok kolaydır ve şunu elde ederiz: y' = 2x – 1 –(1/x²).
a) 1. türevin sıfırlarını ve süreksizlik noktalarını belirleyin. 1. türev için ifadeleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve payı ve ardından paydayı sıfıra eşitleyerek şunu elde ediyoruz: y'=0 en x=1, y' - ne zaman mevcut değil x=0.
b) Fonksiyonun monotonluk aralıklarını belirleyelim, yani. türevin sabit işaretli aralıkları. -∞'da<X<0
Ve 0
3.
y''= 2 + 2/x³. 2. türevi kullanarak fonksiyon grafiğinin dışbükeylik veya içbükeylik aralıklarını ve varsa bükülme noktalarını belirleriz. İkinci türevin ifadesini ortak paydaya sunalım ve ardından pay ve paydayı sırasıyla sıfıra eşitleyerek şunu elde ederiz: y''=0 en x=-1, y''- ne zaman mevcut değil x=0.
-∞'da
pirinç. 4 Şek. 5
Örnek: Bir fonksiyonu keşfedin ve grafiğini çizin y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Fonksiyon çalışması.
a) İzin verilen argüman değerleri aralığı: logaritmik fonksiyon yalnızca sıfırdan kesinlikle büyük argümanlar için mevcuttur, bu nedenle, x²+4x+5>0 – bu koşul argümanın tüm değerleri için sağlanır, yani. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Fonksiyonun değişim alanı: (0, +∞). Logaritma işareti altındaki ifadeyi dönüştürelim ve fonksiyonu sıfıra eşitleyelim: In((x+2)²+1) =0. Onlar. fonksiyon sıfıra gittiğinde x=-2. Fonksiyonun grafiği düz çizgiye göre simetrik olacaktır. x=-2.
c) Fonksiyon süreklidir ve kesme noktası yoktur.
d) Fonksiyonun grafiğinde asimptot yoktur.
2.1. türevi kullanarak bir fonksiyonun incelenmesi.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak şunu elde ederiz: y'= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Türevin sıfırlarını ve süreksizlik noktalarını belirleyelim: y'=0, en x=-2. Birinci türevin süreksizlik noktası yoktur.
b) Fonksiyonun monotonluk aralıklarını belirleriz, yani. birinci türevin sabit işaretli aralıkları: -∞'da<X<-2
türev sen<0,
bu nedenle fonksiyon azalır; ne zaman -2
3.Fonksiyonun 2. türev açısından incelenmesi.
Birinci türevi aşağıdaki biçimde temsil edelim: y'=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y''=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) İkinci türevin sabit işaretli aralıklarını belirleyelim. 2. türevin paydası her zaman negatif olmadığından, ikinci türevin işareti yalnızca pay tarafından belirlenir. y''=0 en x=-3 Ve x=-1.
Şu tarihte: -∞
Örnek: Bir Fonksiyonu Keşfedin ve Grafik Çizin y(x) = x²/(x+2)²
1.Fonksiyon çalışması.
a) Bağımsız değişkenin izin verilen değerleri aralığı (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Fonksiyon değişim alanı².
a) İkinci türevin sabit işaretinin sıfırlarını ve aralıklarını belirleyelim. Çünkü Kesrin paydası her zaman pozitif olduğundan ikinci türevin işareti tamamen pay tarafından belirlenir. -∞'da
