Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
ABSTRAKT
"Studimi i plotë i një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij."
PREZANTIMI
Studimi i vetive të një funksioni dhe vizatimi i grafikut të tij është një nga aplikimet më të mrekullueshme të derivateve. Kjo metodë e studimit të funksionit i është nënshtruar vazhdimisht analizave të kujdesshme. Arsyeja kryesore është se në aplikimet e matematikës ishte e nevojshme të merreshim me funksione gjithnjë e më komplekse që shfaqeshin gjatë studimit të fenomeneve të reja. U shfaqën përjashtime nga rregullat e zhvilluara nga matematika, u shfaqën raste kur rregullat e krijuara nuk ishin aspak të përshtatshme, u shfaqën funksione që nuk kishin derivat në asnjë moment.
Qëllimi i studimit të kursit të algjebrës dhe analizës elementare në klasat 10-11 është studimi sistematik i funksioneve, zbulimi i vlerës së aplikuar të metodave të përgjithshme të matematikës që lidhen me studimin e funksioneve.
Zhvillimi i koncepteve funksionale gjatë studimit të algjebrës dhe fillimet e analizës në nivelin e lartë të arsimit i ndihmon nxënësit e shkollave të mesme të marrin ide vizuale për vazhdimësinë dhe ndërprerjet e funksioneve, të mësojnë për vazhdimësinë e çdo funksioni elementar në fushën e zbatimin e tij, të mësojnë të ndërtojnë grafikët e tyre dhe të përgjithësojnë informacionin për funksionet kryesore elementare dhe të kuptojnë rolin e tyre në studimin e fenomeneve të realitetit, në praktikën njerëzore.
Funksioni rritës dhe pakësues
Zgjidhja e problemeve të ndryshme nga fushat e matematikës, fizikës dhe teknologjisë çon në vendosjen e një marrëdhënie funksionale midis variablave të përfshirë në këtë fenomen.
Nëse një varësi e tillë funksionale mund të shprehet në mënyrë analitike, domethënë në formën e një ose më shumë formulave, atëherë bëhet e mundur studimi i saj me anë të analizës matematikore.
Kjo i referohet mundësisë së qartësimit të sjelljes së një funksioni kur ndryshon një ose një variabël tjetër (ku funksioni rritet, ku zvogëlohet, ku arrin një maksimum, etj.).
Zbatimi i llogaritjes diferenciale për studimin e një funksioni bazohet në një lidhje shumë të thjeshtë që ekziston midis sjelljes së një funksioni dhe vetive të derivatit të tij, kryesisht derivateve të tij të parë dhe të dytë.
Le të shqyrtojmë se si mund të gjejmë intervale të funksionit në rritje ose në ulje, domethënë intervale të monotonitetit të tij. Bazuar në përkufizimin e një funksioni monotonik në rënie dhe rritje, është e mundur të formulojmë teorema që na lejojnë të lidhim vlerën e derivatit të parë të një funksioni të caktuar me natyrën e monotonitetit të tij.
Teorema 1.1. Nëse funksioni y
=
f
(
x
)
, i diferencueshëm në interval(
a
,
b
)
, rritet në mënyrë monotone në këtë interval, pastaj në çdo pikë
(
x
) >0;
nëse zvogëlohet në mënyrë monotonike, atëherë në çdo pikë të intervalit (
x
)<0.
Dëshmi. Lëreni funksioniny = f ( x ) në mënyrë monotone rritet me( a , b ) , Kjo do të thotë se për këdo mjaft të vogël > 0 vlen pabarazia e mëposhtme:
f ( x - ) < f ( x ) < f ( x + ) (Fig. 1.1).
Oriz. 1.1
Merrni parasysh kufirin
.
Nëse > 0, atëherë 
> 0 nëse< 0, то
< 0.
Në të dyja rastet, shprehja nën shenjën e kufirit është pozitive, që do të thotë se kufiri është pozitiv, d.m.th ( x )>0 , që ishte ajo që duhej vërtetuar. Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë e teoremës, e lidhur me uljen monotonike të funksionit.
Teorema 1.2. Nëse funksioni y = f ( x ) , e vazhdueshme në segment[ a , b ] dhe është i dallueshëm në të gjitha pikat e brendshme të tij, dhe, përveç kësaj, ( x ) >0 për këdo x ϵ ( a , b ) , atëherë ky funksion rritet në mënyrë monotonike me( a , b ) ; Nëse
( x ) <0 për këdo xϵ ( a , b ), atëherë ky funksion zvogëlohet në mënyrë monotonike me( a , b ) .
Dëshmi. Le ta marrim ϵ ( a , b ) Dhe ϵ ( a , b ) , dhe< . Sipas teoremës së Lagranzhit
( c ) = .
Por ( c )>0 dhe > 0, që do të thotë ( > 0, domethënë
(. Rezultati i marrë tregon një rritje monotonike të funksionit, që ishte ajo që duhej vërtetuar. Pjesa e dytë e teoremës vërtetohet në mënyrë të ngjashme.
Ekstreme e funksionit
Gjatë studimit të sjelljes së një funksioni, një rol të veçantë luajnë pikat që ndajnë nga njëra-tjetra intervalet e rritjes monotonike nga intervalet e uljes monotonike të tij.
Përkufizimi 2.1. Pika quhet pika maksimale e funksionit
y
=
f
(
x
)
, nëse për ndonjë, sado i vogël ,
(
< 0
, а точка
quhet pikë minimale nëse (
> 0.
Pikat minimale dhe maksimale quhen së bashku pikat ekstreme. Funksioni monoton pjesë-pjesë i pikave të tilla ka një numër të fundëm në një interval të fundëm (Fig. 2.1).
Oriz. 2.1
Teorema 2.1 (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi). Nëse diferencohet në interval( a , b ) funksioni ka në pikë nga ky interval është maksimumi, atëherë derivati i tij në këtë pikë është i barabartë me zero. E njëjta gjë mund të thuhet për pikën minimale .
Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh nga teorema e Rolle, në të cilën u tregua se në pikat minimale ose maksimale = 0, dhe tangjentja e tërhequr në grafikun e funksionit në këto pika është paralele me boshtinOK .
Nga teorema 2.1 rrjedh se nëse funksioniy = f ( x ) ka një derivat në të gjitha pikat, atëherë mund të arrijë një ekstrem në ato pika ku = 0.
Megjithatë, ky kusht nuk është i mjaftueshëm, pasi ka funksione për të cilat plotësohet kushti i specifikuar, por nuk ka ekstrem. Për shembull, funksioniy= në një pikë x = 0 derivati është zero, por nuk ka ekstrem në këtë pikë. Për më tepër, ekstremi mund të jetë në ato pika ku derivati nuk ekziston. Për shembull, funksioniy = | x | ka një minimum në pikëx = 0 , megjithëse derivati nuk ekziston në këtë pikë.
Përkufizimi 2.2. Pikat në të cilat derivati i një funksioni zhduket ose ka një ndërprerje quhen pika kritike të këtij funksioni..
Për rrjedhojë, teorema 2.1 nuk është e mjaftueshme për përcaktimin e pikave ekstreme.
Teorema 2.2 (kusht i mjaftueshëm për ekzistencën e një ekstremi). Lëreni funksionin y = f ( x ) e vazhdueshme në interval( a , b ) , e cila përmban pikën e saj kritike , dhe është i diferencueshëm në të gjitha pikat e këtij intervali, me përjashtim të mundshëm të vetë pikës . Atëherë, nëse, kur lëvizni këtë pikë nga e majta në të djathtë, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, atëherë kjo është një pikë maksimale, dhe, anasjelltas, nga minus në plus - një pikë minimale.
Dëshmi. Nëse derivati i një funksioni ndryshon shenjën e tij kur kalon një pikë nga e majta në të djathtë nga plus në minus, atëherë funksioni kalon nga rritja në zvogëlim, domethënë arrin në pikën maksimumin e tij dhe anasjelltas.
Nga sa më sipër, një skemë për studimin e një funksioni në një ekstrem vijon:
1) gjeni domenin e përkufizimit të funksionit;
2) llogarit derivatin;
3) gjeni pikat kritike;
4) duke ndryshuar shenjën e derivatit të parë, përcaktohet karakteri i tyre.
Detyra e studimit të një funksioni për një ekstrem nuk duhet të ngatërrohet me detyrën e përcaktimit të vlerave minimale dhe maksimale të një funksioni në një segment. Në rastin e dytë, është e nevojshme të gjesh jo vetëm pikat ekstreme në segment, por edhe t'i krahasosh ato me vlerën e funksionit në skajet e tij.
Intervalet e funksioneve konvekse dhe konkave
Një karakteristikë tjetër e grafikut të një funksioni që mund të përcaktohet duke përdorur derivatin është konveksiteti ose konkaviteti i tij.
Përkufizimi 3.1. Funksioni y = f ( x ) quhet konveks në interval( a , b ) , nëse grafiku i tij ndodhet nën çdo tangjente të tërhequr ndaj tij në një interval të caktuar, dhe anasjelltas, ai quhet konkav nëse grafiku i tij është mbi çdo tangjente të tërhequr ndaj tij në një interval të caktuar..
Le të vërtetojmë një teoremë që na lejon të përcaktojmë intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të një funksioni.
Teorema 3.1. Nëse në të gjitha pikat e intervalit( a , b ) derivati i dytë i funksionit ( x ) është e vazhdueshme dhe negative, pastaj funksioniy = f ( x ) është konveks dhe anasjelltas, nëse derivati i dytë është i vazhdueshëm dhe pozitiv, atëherë funksioni është konkav.
Ne kryejmë vërtetimin për intervalin e konveksitetit të funksionit. Le të marrim një pikë arbitrareϵ ( a , b ) dhe vizatoni një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikëy = f ( x ) (Fig. 3.1).
Teorema do të vërtetohet nëse tregohet se të gjitha pikat e lakores në interval( a , b ) shtrihen nën këtë tangjente. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të vërtetohet se për të njëjtat vlerax ordinatat e lakoresy = f ( x ) më e vogël se ordinata e tangjentes së tërhequr ndaj saj në pikë .
Oriz. 3.1
Për definicion, shënojmë ekuacionin e kurbës: = f ( x ) , dhe ekuacioni i tangjentes me të në pikë :
- f ( ) = ( )( x - )
ose
= f ( ) + ( )( x - ) .
Le të bëjmë dallimin Dhe:
- = f(x) – f( ) - ( ) (x- ).
Aplikoni për dalliminf ( x ) – f ( ) Teorema e vlerës mesatare të Lagranzhit:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
Ku ϵ ( , x ).
Le të zbatojmë tani teoremën e Lagranzhit për shprehjen në kllapa katrore:
- = ( )( - )( x - ) , Ku ϵ ( , ).
Siç shihet nga figura,x > , Pastaj x - > 0 Dhe - > 0 . Për më tepër, sipas teoremës, ( )<0.
Duke shumëzuar këta tre faktorë, marrim atë , që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Përkufizimi 3.2. Pika që ndan intervalin konveks nga intervali konkav quhet pika e përkuljes.
Nga përkufizimi 3.1 rrjedh se në një pikë të caktuar tangjentja e pret kurbën, domethënë nga njëra anë kurba ndodhet poshtë tangjentes, dhe nga ana tjetër, sipër.
Teorema 3.2. Nëse në pikën derivati i dytë i funksionit
y = f ( x ) është e barabartë me zero ose nuk ekziston, dhe kur kalon nëpër një pikë shenja e derivatit të dytë ndryshon në të kundërtën, atëherë kjo pikë është një pikë lakimi.
Vërtetimi i kësaj teoreme rrjedh nga fakti se shenjat ( x ) në anët e kundërta të pikës janë të ndryshme. Kjo do të thotë se në njërën anë të pikës funksioni është konveks, dhe nga ana tjetër është konkav. Në këtë rast, sipas përkufizimit 3.2, pika është pika e përkuljes.
Studimi i një funksioni për konveksitet dhe konkavitet kryhet sipas të njëjtës skemë si studimi për një ekstremum.
4. Asimptotat e funksionit
Në paragrafët e mëparshëm, u diskutuan metodat për studimin e sjelljes së një funksioni duke përdorur derivatin. Megjithatë, ndër pyetjet që lidhen me studimin e plotë të një funksioni, ka edhe nga ato që nuk lidhen me derivatin.
Kështu, për shembull, është e nevojshme të dihet se si sillet një funksion kur një pikë në grafikun e tij largohet pafundësisht nga origjina. Ky problem mund të lindë në dy raste: kur argumenti i një funksioni shkon në pafundësi dhe kur, gjatë një ndërprerjeje të llojit të dytë në pikën fundore, vetë funksioni shkon në pafundësi. Në të dyja këto raste, mund të lindë një situatë kur funksioni priret në një vijë të drejtë, e quajtur asimptota e tij.
Përkufizimi . Asimptota e grafikut të një funksioniy = f ( x ) është një vijë e drejtë që ka vetinë që distanca nga grafiku në këtë vijë të drejtë priret në zero ndërsa pika e grafikut lëviz pafundësisht nga origjina.
Ka dy lloje asimptotesh: vertikale dhe të zhdrejtë.
Asimptotat vertikale përfshijnë vija të drejtax
=
, të cilat kanë vetinë që grafiku i funksionit në afërsi të tyre të shkojë në pafundësi, pra të plotësohet kushti: 
.
Natyrisht, kërkesa e përkufizimit të specifikuar plotësohet këtu: distanca nga grafiku i kurbës në vijën e drejtë.x = priret në zero, dhe vetë kurba shkon në pafundësi. Pra, në pikat e ndërprerjes së llojit të dytë, funksionet kanë asimptota vertikale, për shembull,y= në një pikë x = 0 . Rrjedhimisht, përcaktimi i asimptotave vertikale të një funksioni përkon me gjetjen e pikave të ndërprerjes së llojit të dytë.
Asimptotat e zhdrejta përshkruhen nga ekuacioni i përgjithshëm i një vije të drejtë në një plan, d.m.thy = kx + b . Kjo do të thotë se, ndryshe nga asimptotat vertikale, këtu është e nevojshme të përcaktohen numratk Dhe b .
Pra, le kurbë = f ( x ) ka një asimptotë të zhdrejtë, pra nëx pikat e kurbës i afrohen drejtëzës sa të dëshirohet = kx + b (Fig. 4.1). Le M ( x , y ) - një pikë e vendosur në një kurbë. Distanca e saj nga asimptota do të karakterizohet nga gjatësia e pingules| MN | .
Për të studiuar plotësisht funksionin dhe për të paraqitur grafikun e tij, rekomandohet skema e mëposhtme:
A) gjeni domenin e përkufizimit, pikat e ndërprerjes; eksploroni sjelljen e një funksioni pranë pikave të ndërprerjes (gjeni kufijtë e funksionit majtas dhe djathtas në këto pika). Tregoni asimptotat vertikale.
B) përcaktoni nëse një funksion është çift apo tek dhe arrini në përfundimin se ka simetri. Nëse , atëherë funksioni është çift dhe simetrik rreth boshtit OY; kur funksioni është tek, simetrik në lidhje me origjinën; dhe nëse është funksion i formës së përgjithshme.
C) gjeni pikat e kryqëzimit të funksionit me boshtet koordinative OY dhe OX (nëse është e mundur), përcaktoni intervalet e shenjës konstante të funksionit. Kufijtë e intervaleve të shenjës konstante të një funksioni përcaktohen nga pikat në të cilat funksioni është i barabartë me zero (funksioni zero) ose nuk ekziston dhe kufijtë e fushës së përcaktimit të këtij funksioni. Në intervalet ku grafiku i funksionit ndodhet mbi boshtin OX, dhe ku - nën këtë bosht.
D) gjeni derivatin e parë të funksionit, përcaktoni zerat e tij dhe intervalet e shenjës konstante. Në intervale ku funksioni rritet dhe ku zvogëlohet. Bëni një përfundim për praninë e ekstremeve (pikat ku ekziston një funksion dhe derivat dhe kur kalon nëpër të cilat ai ndryshon shenjën. Nëse shenja ndryshon nga plus në minus, atëherë në këtë pikë funksioni ka një maksimum, dhe nëse nga minus në plus , pastaj një minimum). Gjeni vlerat e funksionit në pikat ekstreme.
D) gjeni derivatin e dytë, zerot e tij dhe intervalet e shenjës konstante. Në intervale ku< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) gjeni asimptota të prirura (horizontale), ekuacionet e të cilave kanë formën 
; Ku 
.
Në 
grafiku i funksionit do të ketë dy asimptota të pjerrëta, dhe secila vlerë e x në dhe gjithashtu mund të korrespondojë me dy vlera të b.
G) gjeni pika shtesë për të sqaruar grafikun (nëse është e nevojshme) dhe ndërtoni një grafik.
Shembulli 1
Eksploroni funksionin dhe ndërtoni grafikun e tij. Zgjidhja: A) fusha e përkufizimit 
; funksioni është i vazhdueshëm në fushën e tij të përkufizimit; – pikë pushimi, sepse 
;
. Pastaj - asimptotë vertikale.
B)
ato. y(x) është një funksion i formës së përgjithshme.
C) Gjeni pikat e prerjes së grafikut me boshtin OY: vendoseni x=0; atëherë y(0)=–1, d.m.th. grafiku i funksionit pret boshtin në pikën (0;-1). Zerot e funksionit (pikat e prerjes së grafikut me boshtin OX): bashkësia y=0; Pastaj 
.
Diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është më i vogël se zero, që do të thotë se nuk ka zero. Atëherë kufiri i intervaleve të shenjës konstante është pika x=1, ku funksioni nuk ekziston.
Shenja e funksionit në secilin prej intervaleve përcaktohet me metodën e vlerave të pjesshme:
Nga diagrami është e qartë se në interval grafiku i funksionit ndodhet nën boshtin OX, dhe në interval - mbi boshtin OX.
D) Konstatojmë praninë e pikave kritike.
.
Ne gjejmë pika kritike (ku ekziston ose nuk ekziston) nga barazitë dhe .
Marrim: x1=1, x2=0, x3=2. Le të krijojmë një tabelë ndihmëse
Tabela 1 
(Rreshti i parë përmban pikat kritike dhe intervalet në të cilat këto pika ndahen me boshtin OX; rreshti i dytë tregon vlerat e derivatit në pikat kritike dhe shenjat në intervalet. Shenjat përcaktohen nga vlera e pjesshme Rreshti i tretë tregon vlerat e funksionit y(x) në pikat kritike dhe tregon sjelljen e funksionit - duke u rritur ose zvogëluar në intervalet përkatëse të boshtit numerik. Për më tepër, prania e një minimumi ose maksimumi është treguar.
D) Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të funksionit.
; ndërtoni një tabelë si në pikën D); Vetëm në rreshtin e dytë shkruajmë shenjat, dhe në të tretën tregojmë llojin e konveksitetit. Sepse ; atëherë pika kritike është një x=1.
tabela 2 
Pika x=1 është pika e lakimit.
E) Gjeni asimptota të zhdrejta dhe horizontale 
Atëherë y=x është një asimptotë e zhdrejtë.
G) Në bazë të të dhënave të marra ndërtojmë një grafik të funksionit 
1). Shtrirja e funksionit.
Është e qartë se ky funksion është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik, përveç pikave “” dhe “”, sepse në këto pika emëruesi është i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, funksioni nuk ekziston, dhe vijat e drejta dhe janë asimptota vertikale.
2). Sjellja e një funksioni si argument tenton në pafundësi, ekzistenca e pikave të ndërprerjes dhe kontrollimi i pranisë së asimptotave të zhdrejta.
Le të kontrollojmë fillimisht se si funksioni sillet kur i afrohet pafundësisë majtas dhe djathtas. 
Kështu, kur funksioni tenton në 1, d.m.th. – asimptotë horizontale.
Në afërsi të pikave të ndërprerjes, sjellja e funksionit përcaktohet si më poshtë: 
Ato. Kur i afrohemi pikave të ndërprerjes në të majtë, funksioni zvogëlohet pafundësisht, dhe në të djathtë rritet pafundësisht.
Ne përcaktojmë praninë e një asimptote të zhdrejtë duke marrë parasysh barazinë: 
Nuk ka asimptota të zhdrejtë.
3). Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative.
Këtu është e nevojshme të merren parasysh dy situata: gjeni pikën e kryqëzimit me boshtin Ox dhe boshtin Oy. Shenja e prerjes me boshtin Ox është vlera zero e funksionit, d.m.th. është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni:
Ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, grafiku i këtij funksioni nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Ox.
Shenja e prerjes me boshtin Oy është vlera x = 0. Në këtë rast
,
ato. – pika e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oy.
4).Përcaktimi i pikave ekstreme dhe intervaleve të rritjes dhe uljes.
Për të studiuar këtë çështje, ne përcaktojmë derivatin e parë: 
.
Le të barazojmë vlerën e derivatit të parë me zero. 
.
Një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi i saj është i barabartë me zero, d.m.th. .
Le të përcaktojmë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.
Kështu, funksioni ka një pikë ekstreme dhe nuk ekziston në dy pika.
Kështu, funksioni rritet në intervalet dhe dhe zvogëlohet në intervalet dhe .
5). Pikat e lakimit dhe zonat e konveksitetit dhe konkavitetit.
Kjo karakteristikë e sjelljes së një funksioni përcaktohet duke përdorur derivatin e dytë. Le të përcaktojmë së pari praninë e pikave të lakimit. Derivati i dytë i funksionit është i barabartë me 
Kur dhe funksioni është konkav;
kur dhe funksioni është konveks.
6). Grafikimi i një funksioni.
Duke përdorur vlerat e gjetura në pika, ne do të ndërtojmë skematikisht një grafik të funksionit:
Shembulli 3
Funksioni i eksplorimit 
dhe ndërtoni grafikun e tij. Zgjidhje
Funksioni i dhënë është një funksion jo periodik i formës së përgjithshme. Grafiku i tij kalon përmes origjinës së koordinatave, pasi .
Fusha e përcaktimit të një funksioni të caktuar janë të gjitha vlerat e ndryshores përveç dhe për të cilat emëruesi i fraksionit bëhet zero.
Rrjedhimisht, pikat janë pikat e ndërprerjes së funksionit.
Sepse 
, 
Sepse 
,
, atëherë pika është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë.
Vijat e drejta janë asimptota vertikale të grafikut të funksionit.
Ekuacionet e asimptotave të zhdrejta, ku, 
.
Në 
,
.
Kështu, për dhe grafiku i funksionit ka një asimptotë.
Le të gjejmë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit dhe pikave ekstreme.
.
Derivati i parë i funksionit në dhe, për rrjedhojë, në dhe funksioni rritet.
Kur , pra, kur , funksioni zvogëlohet.
nuk ekziston për , . 
, pra, kur 
Grafiku i funksionit është konkav.
Në 
, pra, kur 
Grafiku i funksionit është konveks. 
Kur kalon nëpër pikat , , ndryshon shenjë. Kur , funksioni nuk është i përcaktuar, prandaj, grafiku i funksionit ka një pikë lakimi.
Le të ndërtojmë një grafik të funksionit. 
Studimi i një funksioni kryhet sipas një skeme të qartë dhe kërkon që studenti të ketë njohuri solide të koncepteve themelore matematikore si fusha e përkufizimit dhe vlerave, vazhdimësia e funksionit, asimptota, pikat ekstreme, barazia, periodiciteti, etj. . Nxënësi duhet të jetë në gjendje të diferencojë lirisht funksionet dhe të zgjidhë ekuacione, të cilat ndonjëherë mund të jenë shumë komplekse.
Kjo do të thotë, kjo detyrë teston një shtresë të konsiderueshme njohurish, çdo boshllëk në të cilin do të bëhet pengesë për marrjen e zgjidhjes së saktë. Veçanërisht shpesh, lindin vështirësi me ndërtimin e grafikëve të funksioneve. Ky gabim vihet re menjëherë tek mësuesi dhe mund të dëmtojë shumë notën tuaj, edhe nëse çdo gjë tjetër është bërë siç duhet. Këtu mund të gjeni problemet e kërkimit të funksionit në internet: studio shembuj, shkarko zgjidhje, porosit detyra.
Eksploroni një funksion dhe vizatoni një grafik: shembuj dhe zgjidhje në internet
Ne kemi përgatitur për ju shumë studime funksioni të gatshme, të paguara në librin e zgjidhjeve dhe falas në seksionin Shembuj të studimeve të funksionit. Bazuar në këto detyra të zgjidhura, do të jeni në gjendje të njiheni në detaje me metodologjinë për kryerjen e detyrave të ngjashme dhe të kryeni kërkimin tuaj me analogji.
Ne ofrojmë shembuj të gatshëm të hulumtimit të plotë dhe grafikimit të funksioneve të llojeve më të zakonshme: funksionet polinome, thyesore-racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike, trigonometrike. Çdo problem i zgjidhur shoqërohet nga një grafik i gatshëm me pika kyçe të theksuara, asimptota, maksimum dhe minimum; zgjidhja kryhet duke përdorur një algoritëm për studimin e funksionit.
Në çdo rast, shembujt e zgjidhur do t'ju ndihmojnë shumë pasi mbulojnë llojet më të njohura të funksioneve. Ne ju ofrojmë qindra probleme tashmë të zgjidhura, por, siç e dini, ka një numër të pafund funksionesh matematikore në botë dhe mësuesit janë ekspertë të shkëlqyeshëm për të shpikur gjithnjë e më shumë detyra të ndërlikuara për studentët e varfër. Pra, të dashur studentë, ndihma e kualifikuar nuk do t'ju dëmtojë.
Zgjidhja e problemeve të kërkimit të funksioneve me porosi
Në këtë rast, partnerët tanë do t'ju ofrojnë një shërbim tjetër - hulumtim i plotë i funksionit në internet për të porositur. Detyra do të kryhet për ju në përputhje me të gjitha kërkesat për një algoritëm për zgjidhjen e problemeve të tilla, gjë që do t'i pëlqejë shumë mësuesit tuaj.
Ne do të bëjmë një studim të plotë të funksionit për ju: do të gjejmë domenin e përkufizimit dhe domenin e vlerave, do të shqyrtojmë për vazhdimësi dhe mosvazhdimësi, do të vendosim barazi, do të kontrollojmë funksionin tuaj për periodicitet dhe do të gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave . Dhe, sigurisht, duke përdorur më tej llogaritjen diferenciale: do të gjejmë asimptota, do të llogarisim ekstremet, pikat e lakimit dhe do të ndërtojmë vetë grafikun.
Ndërtimi i një grafiku të një funksioni duke përdorur pika njëjës përfshin studimin e vetë funksionit: përcaktimin e gamës së vlerave të lejueshme të argumentit, përcaktimin e gamës së variacionit të funksionit, përcaktimin nëse funksioni është çift apo tek, përcaktimi i pikave të ndërprerjes. të funksionit, gjetja e intervaleve të shenjës konstante të funksionit, gjetja e asimptotave të grafikut të funksionit. Duke përdorur derivatin e parë, mund të përcaktoni intervalet e rritjes (uljes) të funksionit dhe pranisë së pikave ekstreme. Duke përdorur derivatin e dytë, mund të përcaktoni intervalet e konveksitetit (konkavitetit) të grafikut të funksionit, si dhe pikat e lakimit. Në të njëjtën kohë, ne besojmë se nëse në një moment xo tangjente me grafikun e funksionit mbi kurbë, atëherë grafiku i funksionit në këtë pikë ka konveksitet; nëse tangjentja është nën kurbë, atëherë grafiku i funksionit në këtë pikë ka një konkavitet.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Studimi i funksionit.
a) Gama e vlerave të lejuara të argumentit: (-∞,+∞).
b) Zona e ndryshimit të funksionit: (-∞, +∞).
c) Funksioni është tek, sepse y(-x) = -y(x), ato. grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën.
d) Funksioni është i vazhdueshëm, nuk ka pika ndërprerjeje, prandaj, nuk ka asimptota vertikale.
e) Gjetja e ekuacionit të asimptotës së zhdrejtë y(x) = k∙x + b, Ku
k = /x Dhe b = 
Në këtë shembull, parametrat e asimptotës janë përkatësisht të barabartë:
k = , sepse shkalla më e lartë e numëruesit dhe e emëruesit janë të njëjta, e barabartë me tre, dhe raporti i koeficientëve në këto shkallë më të larta është i barabartë me një. Kur x→ + ∞ kufiri i tretë i shquar është përdorur për të llogaritur kufirin.
b = = = 0, kur llogaritet kufiri në x→ + ∞ përdori kufirin e tretë të shquar. Pra, grafiku i këtij funksioni ka një asimptotë të pjerrët y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - derivati llogaritet duke përdorur formulën e diferencimit të herësit.
a) Përcaktoni zeron e derivatit dhe pikën e ndërprerjes, duke barazuar numëruesin dhe emëruesin e derivatit me zero, përkatësisht: y = 0, Nëse x=0. Derivati i parë nuk ka pikë ndërprerjeje.
b) Përcaktojmë intervalet e shenjës konstante të derivatit, d.m.th. intervalet e monotonitetit të funksionit: në -∞
3. Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin e dytë.
Duke përdorur formulën për diferencimin e koeficientëve dhe duke bërë shndërrime algjebrike, marrim: y´´ = /(x²+3)³
a) Përcaktoni zerot e derivatit të dytë dhe intervalet e shenjës konstante: y'' = 0, Nëse x=0 Dhe x= + 3 . Derivati i dytë nuk ka pikë ndërprerjeje.
b) Le të përcaktojmë intervalet e qëndrueshmërisë së derivatit të 2-të, d.m.th. intervalet e konveksitetit ose konkavitetit të grafikut të një funksioni. Në -∞
Shembull: Eksploroni një funksion dhe grafikoni atë y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Studimi i funksionit.
a) Gama e vlerave të pranueshme: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Zona e ndryshimit të funksionit: (-∞,+∞).
d) Ky funksion ka një pikë ndërprerjeje të llojit të dytë në x=0.
e) Gjetja e asimptotave. Sepse funksioni ka një pikë ndërprerjeje të llojit të 2-të në x=0, atëherë për rrjedhojë funksioni ka një asimptotë vertikale x=0. Ky funksion nuk ka asimptota të zhdrejtë ose horizontale.
2.Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin e parë.
Le ta transformojmë funksionin duke kryer të gjitha veprimet algjebrike. Si rezultat, forma e funksionit do të thjeshtohet ndjeshëm: y(x)=x²-x-1+(1/x).Është shumë e lehtë të marrim derivatin nga shuma e termave dhe marrim: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Përcaktoni zerot dhe pikat e ndërprerjes së derivatit të parë. Ne i sjellim shprehjet për derivatin e parë në një emërues të përbashkët dhe, duke barazuar numëruesin dhe pastaj emëruesin në zero, marrim: y'=0 në x=1, y' - nuk ekziston kur x=0.
b) Le të përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit, d.m.th. intervalet e shenjës konstante të derivatit. Në -∞<x<0
Dhe 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Duke përdorur derivatin e dytë, ne përcaktojmë intervalet e konveksitetit ose konkavitetit të grafikut të funksionit, si dhe, nëse ka, pikat e lakimit. Le të paraqesim shprehjen për derivatin e dytë me emëruesin e përbashkët, dhe më pas, duke barazuar numëruesin dhe emëruesin me zero nga ana tjetër, marrim: y''=0 në x=-1, y''- nuk ekziston kur x=0.
Në -∞
oriz. 4 fig. 5
Shembull: Eksploroni një funksion dhe grafikoni atë y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Studimi i funksionit.
a) Gama e vlerave të lejueshme të argumenteve: funksioni logaritmik ekziston vetëm për argumente rreptësisht më të mëdha se zero, prandaj, x²+4x+5>0 - ky kusht është i plotësuar për të gjitha vlerat e argumentit, d.m.th. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Zona e ndryshimit të funksionit: (0, +∞). Le ta transformojmë shprehjen nën shenjën e logaritmit dhe ta barazojmë funksionin me zero: n((x+2)²+1) =0. Ato. funksioni shkon në zero kur x=-2. Grafiku i funksionit do të jetë simetrik në lidhje me drejtëzën x=-2.
c) Funksioni është i vazhdueshëm dhe nuk ka pika ndërprerjeje.
d) Grafiku i funksionit nuk ka asimptota.
2.Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin e parë.
Duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks, marrim: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Le të përcaktojmë zerot dhe pikat e ndërprerjes së derivatit: y = 0, në x=-2. Derivati i parë nuk ka pikë ndërprerjeje.
b) Përcaktojmë intervalet e monotonitetit të funksionit, d.m.th. intervalet e shenjës konstante të derivatit të parë: në -∞<x<-2
derivatore y'<0,
prandaj funksioni zvogëlohet; kur -2
3.Studimi i funksionit në terma të derivatit të 2-të.
Le të paraqesim derivatin e parë në formën e mëposhtme: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Le të përcaktojmë intervalet e shenjës konstante të derivatit të dytë. Meqenëse emëruesi i derivatit të dytë është gjithmonë jo negativ, shenja e derivatit të dytë përcaktohet vetëm nga numëruesi. y''=0 në x=-3 Dhe x=-1.
Në -∞
Shembull: Eksploroni një funksion dhe vizatoni një grafik y(x) = x²/(x+2)²
1.Studimi i funksionit.
a) Gama e vlerave të lejuara të argumentit (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Zona e ndryshimit të funksionit².
a) Le të përcaktojmë zerot dhe intervalet e shenjës konstante të derivatit të dytë. Sepse Meqenëse emëruesi i thyesës është gjithmonë pozitiv, shenja e derivatit të dytë përcaktohet plotësisht nga numëruesi. Në -∞
